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专题 02 整式及因式分解（10 个高频考点）（强化训练）
【考点1 整式的相关概念】
1.（2022·湖北荆州·中考真题）下列代数式中，整式为（ ）
1 x+1
A．x+1 B． C．√x2+1 D．
x+1 x
2．（2022·福建厦门·中考真题）已知一个单项式的系数是2，次数是3，则这个单项式可以是（ ）
A．−2x y2 B．3x2 C．2x y3 D．2x3
3．（2022·浙江舟山·中考真题）如图，多边形的各顶点都在方格纸的格点（横竖格子线的交错点）上，这
1
样的多边形称为格点多边形，它的面积S可用公式S=a+ b−1（ 是多边形内的格点数， 是多边形边
2
界上的格点数）计算，这个公式称为“皮克定理”．现有一张方格纸共有200个格点，画有一个格点多边
形，它的面积S=40．
（1）这个格点多边形边界上的格点数b=___（用含 的代数式表示）；
（2）设该格点多边形外的格点数为c，则c−a=___．
4．（2022·四川绵阳·中考真题）若多项式 是关于x，y的三次多项式，则
x y|m−n|+(n−2)x2y2+1 mn=
_____．
5．（2022·河北·中考真题）有一电脑程序：每按一次按键，屏幕的A区就会自动加上a2，同时B区就会自
动减去3a，且均显示化简后的结果．已知A，B两区初始显示的分别是25和－16，如图．
如，第一次按键后，A，B两区分别显示：（1）从初始状态按2次后，分别求A，B两区显示的结果；
（2）从初始状态按4次后，计算A，B两区代数式的和，请判断这个和能为负数吗？说明理由．
【考点2 整式的加减运算】
6.（2022·全国·七年级课时练习）在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数充满好奇，如
学习自然数时，我们发现一种特殊的自然数——“好数”．
定义：对于三位自然数n，各位数字都不为0，且百位数字与十位数字之和恰好能被个位数字整除，则称这
个自然数n为“好数”．
例如：426是“好数”，因为4，2，6都不为0，且4+2=6，6能被6整除；
643不是“好数”，因为6+4=10，10不能被3整除．
（1）判断312，675是否是“好数”？并说明理由；
（2）求出百位数字比十位数字大5的所有“好数”的个数，并说明理由．
7．（2022·河北·中考真题）嘉淇准备完成题目：化简： ，发现系数“ ”
(□x2+6x+8)−(6x+5x2+2) □
印刷不清楚．
(1)他把“□”猜成3，请你化简：(3x2+6x+8)–(6x+5x2+2)；
(2)他妈妈说：“你猜错了，我看到该题标准答案的结果是常数．”通过计算说明原题中“□”是几？
【点睛】本题主要考查整式的加减，解题的关键是掌握去括号、合并同类项法则．
8．（2022·河北·中考真题）老师在黑板上写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个二次三项式，
形式如下：
－3x＝x2－5x＋1．
（ ）求所捂的二次三项式：
1
（2）若x=√6+1，求所捂二次三项式的值．
9．（2022·江苏扬州·中考真题）如果10b=n，那么b为n的劳格数，记为b=d(n)，由定义可知：10b=n与
b=d(n)所表示的b、n两个量之间的同一关系．
(1)根据劳格数的定义，填空：d(10)= ，d(10-2)= ；
(2)劳格数有如下运算性质：
m
若m、n为正数，则d(mn)=d(m)+d(n)，d( )=d(m)-d(n)．
n根据运算性质，填空：d(a3)
= (a为正数)，若d(2)=0.3010，则d(4)= ，d(5)=
d(a)
，d(0.08)= ；
(3)如表中与数x对应的劳格数d(x)有且只有两个是错误的，请找出错误的劳格数，说明理由并改正．
x 1.5 3 5 6 8 9 12 27
d(x) 3a−b+c 2a−b a+c 1+a−b−c 3−3a−3c4a−2b 3−b−2c 6a−3b
10．（2022·河北邢台·模拟预测）已知A＝x2﹣mx+2，B＝nx2+2x﹣1，且化简2A﹣B的结果与x无关．
（1）求m、n的值；
（2）求式子﹣3（m2n﹣2mn2）﹣[m2n+2（mn2﹣2m2n）﹣5mn2]的值．
【考点3 幂的运算】
11．（2022·四川攀枝花·中考真题）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
(a2b) 2=a2b2 a6÷a2=a3 (3x y2 ) 2=6x2y4 (−m) 7÷(−m) 2=−m5
12．（2022·山东淄博·中考真题）计算 的结果是（ ）
(−2a3b) 2−3a6b2
A．﹣7a6b2 B．﹣5a6b2 C．a6b2 D．7a6b2
13．（2022·广东江门·一模）已知xm=3，xn=2，那么x2m+3n=（ ）
A．17 B．54 C．72 D．81
14．（2022·广东·佛山市南海外国语学校三模）已知4a=3b，12a=27，则a+b=（ ）
1 1
A． B． C．2 D．3
3 2
15．（2022·广东广州·二模）已知3m=4，32m−4n=2．若9n=x，则x的值为（ ）
A．8 B．4 C．2√2 D．√2
【考点4 整式乘法公式的运用】
16．（2022·湖南益阳·中考真题）已知m，n同时满足2m+n＝3与2m﹣n＝1，则4m2﹣n2的值是 _____．
17．（2022·四川·梓潼县教育研究室二模）已知x，y为实数，且满足x2−xy+4 y2=4，记u=x2+xy+4 y2
的最大值为M，最小值为m，则M+m＝________．
18．（2022·浙江·宁波市鄞州蓝青学校一模）已知a、b、c均为实数，且a+b=4，2c2−ab=4√3c−10，
则abc=______．
19．（2022·四川成都·二模）计算：（2+1）（22+1）（24+1）…（232+1）+1＝_____．
20．（2022·浙江丽水·一模）已知，实数m，n满足m+n=3，m2n+mn2=−30．（1）若m>n，则m−n=_______；
（2）若n+p=−5，则代数式m2p−n2p+m3−mn2的值是______________．
【考点5 整式的混合运算】
21．（2023·河北·九年级专题练习）已知有甲、乙两个长方形，它们的边长如图所示（m为正整数），甲、
乙的面积分别为S，S．
1 2
（1）S 与S 的大小关系为：S___S；（用“＞”、“＜”、“＝”填空）
1 2 1 2
（2）若满足条件|S﹣S|＜n≤2021的整数n有且只有4个，则m的值为___．
1 2
22．（2022·广东·佛山市南海外国语学校三模）先化简，再求值： ，其中
(x−y)(2x−y)−(x−y) 2−x2
x=√2023−1，y=√2023+1．
23．（2022·广西·梧州市第一中学三模）先化简，再求值：（3a+1）（2a-3）-（6a-5）•（a-4），其中
a=-2．
24．（2022·河北·唐山市路北区教育局中教研二模）在化简 题目中：◆
3(m2n+mn)−4(m2n−mn)◆2mn
表示＋，－，×，÷四个运算符号中的某一个．
（1）若◆表示－，请化简
3(m2n+mn)−4(m2n−mn)−2mn
（2）当 ， 时， 的值为12，请推算出◆所表示的符号．
m=−2 n=1 3(m2n+mn)−4(m2n−mn)◆2mn
25．（2022·广西河池·模拟预测）先化简，再求值： ，其中 ，
(−x−2y)(x−2y)+(2x3−4x2y)÷2x x=−2
y=1．
【考点6 完全平方公式、平方差公式的几何背景】
26．（2022·甘肃·兰州树人中学七年级期中）如图，矩形ABCD的周长是10cm，以AB，AD为边向外作正
方形ABEF和正方形ADGH，若正方形ABEF和ADGH的面积之和为17cm2，那么矩形ABCD的面积是（
）A．3cm2 B．4cm2 C．5cm2 D．6cm2
27．（2022·福建省厦门第六中学二模）如图，4块完全相同的长方形围成一个正方形，图中阴影部分的面
积可以用不同的代数式进行表示，由此能验证的式子是（ ）
A．(a＋b)(a－b)＝a2－b2 B．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2
C．(a－b)2＝a2－2ab＋b2 D．(a＋b)2－(a－b)2＝4ab
28．（2022·新疆·伊宁市教育教学研究室一模）如图1，将边长为x的大正方形剪去一个边长为1的小正方形
（阴影部分），并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图2所示长方形．这
两个图能解释下列哪个等式（ ）
A． B． C． D．
x2−2x+1=(x−1) 2 x2−1=(x+1)(x−1) x2+2x+1=(x+1) 2 x2−x=x(x−1)
29．（2022·辽宁大连·一模）如图，用大小相同的小正方形拼图形，第1个图形是一个小正方形；第2个图
形由9个小正方形拼成；第3个图形由25个小正方形拼成，依此规律，若第n个图形比第（n-1）个图形多
用了72个小正方形，则n的值是___________.30．（2022·重庆·一模）阅读理解：
若 满足 ，求 的值．
x (9−x)(x−4)=4 (4−x) 2+(x−9) 2
解：设9−x=a，x−4=b，
则(9−x)(x−4)=ab=4，a+b=(9−x)+(x−4)=5，
．
∴(9−x) 2+(x−4) 2=a2+b2=(a+b) 2−2ab=52−2×4=17
迁移应用：
(1)若 满足 ，求 的值；
x (2020−x) 2+(x−2022) 2=10 (2020−x)(x−2022)
(2)如图，点E，G分别是正方形ABCD的边AD、AB上的点，满足DE=k，BG=k+1(k为常数，且
21
k>0)，长方形AEFG的面积是 ，分别以GF、AG作正方形GFIH和正方形AGJK，求阴影部分的面积．
16
【考点7 因式分解】
1 3
31．（2022·湖北黄冈·三模）已知a+b＝ ，ab＝﹣ ，先因式分解，再求值：a3b+2a2b2+ab3．
2 8
32．（2022·湖南张家界·二模）阅读材料：我们知道，两数之积大于0，那么这两数同号，即ab>0，则¿或
¿；两数之积小于0，那么这两数异号，即ab<0，则¿或¿．解决问题：
(1)分解因式： _________；
(x+1) 2−4=(2)解不等式： ．
(x+1) 2−4<0
33．（2022·广东广州·二模）已知 ．
M=(k−b) 2−(k+b)(k−b)
(1)化简M；
(2)若一次函数y=kx+b，当x=−3时，函数图象与x轴相交；当y=3时，函数图象与y轴相交．
求M的值．
34．（2022·山西·大同市云州区初级示范中学校二模）
(1)|−1|−(π−2022) 0+
(1) −1
−2tan45°
2
(2)下面是小明同学进行因式分解的过程，请认真阅读并完成相应任务．
因式分解：
(3a+b) 2−(a+3b) 2
解：原式 第一步
=(9a2+6ab+b2)−(a2+6ab+9b2)
=8a2−8b2 第二步
第三步
=8(a2−b2)
任务一：填空：①以上解题过程中，第一步进行整式乘法用到的是___________公式；
②第三步进行因式分解用到的方法是___________法．
任务二：同桌互查时，小明的同桌指出小明因式分解的结果是错误的，具体错误是
______________________．
任务三：小组交流的过程中，大家发现这个题可以先用公式法进行因式分解，再继续完成，请你写出正确
的解答过程．
35．（2022·河北保定·一模）n是正整数．
(1)请用n表示两个连续的奇数为______、______．
(2)这两个连续奇数的平方差是8的倍数吗？给出理由．
【考点8 利用添项、拆项进行因式分解】
36．（2022·广西百色·二模）我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法等，
其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等．例如，分组分解法：
．仔细阅读以上内容，解决问
x2−2xy+ y2−4=(x2−2xy+ y2)−4=(x−y) 2−22=(x−y−2)(x−y+2)题：已知：a、b、c为△ABC的三条边，a2+b2+c2−4a−4b−6c+17=0，则△ABC的周长______．
37．（2022·广西柳州·二模）添项、拆项是因式分解中常用的方法，比如分解多项式a2−1可以用如下方法
分解因式：
①a2−1=a2−a+a−1=a(a−1)+(a−1)=(a−1)(a+1)；
又比如多项式a3−1可以这样分解：
② ；
a3−1=a3−a2+a2−a+a−1=a2(a−1)+a(a−1)+(a−1)=(a−1)(a2+a+1)
仿照以上方法，分解多项式a5−1的结果是______．
38．（2022·上海·七年级单元测试）阅读理解：对于形如x2+2ax+a2这样的二次三项式，可以用公式法将
它分解成 的形式．但对于二次三项式 ，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在
(x+a) 2 x2+2ax−3a2
二次三项式x2+2ax−3a2中先加上一项a2，使它与x2+2ax的和成为一个完全平方式，再减去a2，整个式
子的值不变，于是有： ＝ ＝ ＝ ＝
x2+2ax−3a2 x2+2ax+a2−a2−3a2 (x+a) 2−4a2 (x+a) 2−(2a) 2
(x+3a)(x−a)，像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变
的方法称为“配方法”．
请利用“配方法”进行因式分解：
(1)x2−8x+15；
(2)a4+a2b2+b4．
39．（2022·甘肃·甘州中学八年级期中）对于形如x2+2ax+a2这样的二次三项式，可以用公式法将它分解
成 的形式．但对于二次三项式 ，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三
(x+a) 2 x2+2ax−3a2
项式x2+2ax−3a2中先加上一项a2，使它与x2+2ax的和成为一个完全平方式，再减去a2，整个式子的值
不变，于是有：
x2+2ax−3a2=(x2+2ax+a2)−a2−3a2
＝
(x+a) 2−(2a) 2
＝（x+3a）（x﹣a）．
像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方
法”．(1)利用“配方法”分解因式：
①a2﹣6a﹣7；
②a4+a2b2+b4．
(2)若a+b＝5，ab＝6，求：
①a2+b2；
②a4+b4的值．
40．（2022·江苏·九年级课时练习）因式定理：对于多项式f(x)，若f(a)=0，则(x−a)是f(x)的一个因
式，并且可以通过添减单项式从 中分离出来．已知 ．
f(x) f(x) =x3−5x2+(k+4)x−k
(1)填空：当x=1时，f(1)=0，所以(x−1)是f(x)的一个因式．于是f(x) =x3−x2−4x2+4x+kx−k
=(x−1)×g(x)．则g(x)=________________；
(2)已知关于x的方程f(x)=0的三个根是一个等腰三角形的三边长，求实数k的值．
【考点9 因式分解的应用】
41．（2022·浙江·舟山市定海区第七中学一模）如图是一个长和宽分别为a、b的长方形，它的周长为14、
面积为10，则a2b+ab2的值为_____．
42．（2022·广东·揭西县宝塔实验学校模拟预测）在日常生活中如取款、上网等都需要密码．有一种用
“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理是：如对于多项式x4﹣y4，因式分解的结果是（x﹣y）
（x+y）（x2+y2），若取x＝9，y＝9时，则各个因式的值是：（x﹣y）＝0，（x+y）＝18，（x2+y2）＝
162，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码，对于多项式x3﹣4xy2，取x＝20，y＝5时，写出一个
用上述方法产生的密码__．
43．（2022·河北唐山·二模）如果两个多项式有公因式，则称这两个多项式为关联多项式，若x2﹣25与（x
＋b）2为关联多项式，则b＝___；若（x＋1）（x＋2）与A为关联多项式，且A为一次多项式，当A＋x2
﹣6x＋2不含常数项时，则A为____．
44．（2022·河北·育华中学三模）如图的长方体中，已知高为x，S＝16﹣x2，S＝4x﹣x2．
1 2(1)用x表示图中S；
3
(2)求长方体的表面积．
a+4 b+3 c+8
45．（2022·安徽·合肥市五十中学新校一模）已知a、b、c是△ABC的三边，且满足 = = ，
3 2 4
且a+b+c=12，请你探索△ABC的形状．
【考点10 图形或数字变化类的规律探究】
46．（2022·重庆南开中学三模）有n个依次排列的整式：第1项是(x+1)，用第1项乘以(x−1)，所得之
积记为 ，将第1项加上 得到第2项，再将第2项乘以 得到 ，将第2项加 得到第3
a (a +1) (x−1) a (a +1)
1 1 2 2
项，以此类推；某数学兴趣小组对此展开研究，得到4个结论：①第5项为x5+x4+x3+x2+x+1；②
1−2k+1
a =x6−1；③若第2021项的值为0，则x2022=1；④当x=−2时，第k项的值为 ．以上结论正确的
5 3
个数为（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
47．（2022·广东·二模）如图所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的．称为杨辉三角形．
(a+b) n
的展开式中的各项系数依次对应杨辉三角的第 行中的每一项，如： ．
(n+1) (a+b) 3=a3+3a2b+3ab2+b3
若 是 展开式中 的系数，则 的值为（ ）
t (a−b) 2023 ab2022 t
A．2022 B．−2022 C．2023 D．−2023
48．（2022·重庆渝北·九年级二模）用正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有5个正方形，
第②个图案中有9个正方形，第③个图案中有13个正方形，第④个图案中有17个正方形，此规律排列下
去，则第⑨个图案中正方形的个数为（ ）A．32 B．34 C．37 D．41
49．（2022·黑龙江牡丹江·二模）观察下面图形的构成规律，依照此规律，第10个图形中“·”的个数是（
）
A．128 B．162 C．200 D．226
50．（2022·重庆·模拟预测）某数学兴趣小组的同学对a ，a ，a ，a ，a 这5个正整数进行规律探索，发
1 2 3 4 5
现它们同时满足以下3个条件：（1）a ，a ，a 是三个连续偶数，且a
