文档内容
衔接点 02 根式、分式的化简
1、能熟练把二次根式化简为最简根式
2、了解分式和最简分式
3、能熟练应用分式基本性质约分和通分
1、初中知识再现
（1）二次根式的定义
一般地，形如 的式子叫做二次根式.
（2）二次根式性质：
①
② [来源:学科网]
③
④
（3）分式
形如： （其中 中含有字母）的式子叫作分式.
（4）分式的基本性质：
分式的分子与分母同时乘以（或除以）同一个不为 的整式，分式的值不变.用式子表示为：
2、高中相关知识
2.1无理式：根号下含有字母的式子并且开不尽方的根式叫做无理式.例如： ， 是无理
式，而 不是无理式
2.2分母有理化：把分母中的根号化去，叫做分母有理化.其方法是分子、分母同时乘分母的有理化因式.
例如： .
2.3有理化因式：两个含有根式的代数式相乘，如果它们的积不含根式，那么这两个代数式叫做互为有理
化因式.常用的有理化因式有：
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司① 与 ② 与
2.4繁分式：当一个分式的分子或分母中仍含有分式时，该分式就称为繁分式.如： 或 等.
繁分式的化简，通常将其化成分式的除法进行运算.
对点特训一：二次根式有意义的条件
典型例题
例题1．（23-24九年级下·云南昭通·阶段练习）函数 有意义，则自变量x的取值范围是（ ）
A． B． C． 且 D． 且
【答案】D
【分析】本题考查了分式有意义以及二次根式有意义，根据分母不为0以及被开方数为非负数，据此即可
作答．
【详解】解：∵函数 有意义
∴
解得 且
故选：D
例题2．（2024·江苏盐城·一模）若二次根式 有意义，则x的取值范围为 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件，分式有意
义的条件列出不等式组，解不等式组即可求解．
【详解】解：依题意 ，
解得 ，
故答案为： ．
精练
1．（2024·山东聊城·一模）使 有意义的x的取值范围是（ ）
A． 且 B．
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司C． 且 D．
【答案】A
【分析】本题考查了分式有意义的条件，二次根式有意义的条件．根据二次根式的被开方数是非负数，分
母不等于0求解即可．
【详解】解： 由题意得， 且 ，
解得 且 ．
故选：A．
2．（2024年西藏自治区中考二模数学模拟试题）函数 中自变量x的取值范围是 ．
【答案】 且
【分析】本题考查的是求解函数的取值范围，二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，根据分式与二
次根式有意义的条件可得 且 ，从而可得答案．
【详解】解：∵ ，
∴ 且 ，
解得： 且 ，
故答案为： 且 ．
对点特训二：求二次根式中的参数
典型例题
例题1．（23-24八年级下·湖北省直辖县级单位·阶段练习）已知 是正整数， 是整数，则 的最小值
为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【分析】本题考查了二次根式的意义，根据 是正整数， 是正整数，得出 是一个完全平方数，再
将 分解质因数，即可得出结果．
【详解】解： 是正整数， 是正整数，
是一个完全平方数，
，
是一个完全平方数，
的最小值为2，
故选：A．
例题2．（23-24八年级上·四川达州·期中）已知有理数满足 ，则 的值是 .
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司【答案】
【分析】将已知等式整理得 ，由a，b为有理数，得到 ，求出
a，b的值，代入计算即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵a，b为有理数，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】此题考查了求二次根式中的参数，将已知等式整理后得到对应关系，由此求出a，b的值是解题的
关键．
精练
1．（23-24八年级下·四川凉山·期中）如果 是一个正整数，则整数 的最小值是（ ）
A．-4 B．-2 C．2 D．8
【答案】A
【分析】根据 是一个正整数，得出 ，根据 为整数，得出a的最小值为 ，最后代入
验证 是一个正整数符合题意，得出答案即可．
【详解】解：∵ 是一个正整数，
∴ ，
∴ ，
∵ 为整数，
∴a的最小值为 ，
且 时， 符合题意，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了二次根式的性质，根据题意求出 ，是解题的关键．
2．（2024九年级下·广东·专题练习）若实数m满足 ，则m的取值范围是 ．
【答案】 /
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司【分析】本题考查了二次根式的性质，根据二次根式的性质即可求出m的取值范围．理解
是解决问题的关键．
【详解】解：由题意可知： ，
解得： ，
故答案为： ．
对点特训三：二次根式的乘法与除法及其混合运算
典型例题
例题1．（23-24九年级上·四川成都·期中）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了二次根式的乘法和除法，二次根式的加法，以及二次根式的性质，熟练掌握运算法则
是解答本题的关键．根据运算法则逐项分析即可．
【详解】解：A． ，正确；
B． 与 不是同类二次根式，不能合并，故不正确；
C． ，故不正确；
D． ，故不正确．
故选：A．
例题2．（23-24八年级下·河南商丘·阶段练习）计算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）本题考查了二次根式的混合运算， ， ，熟悉
其运算规则是解决问题的关键．
（2）本题考查了二次根式与平方差公式和完全平方公式的结合，熟悉二次根式混合运算规则和公式是解
决问题的关键．
【详解】（1）解：
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司．
（2）
．
精练
1．（2024·河北衡水·一模）设 ，其中 ， ，则M的值为（ ）
A．2 B． C．1 D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次根式乘法运算；先利用乘法分配律展开，再利用二次根式乘法法则进行运算，代
值运算即可求解；掌握 （ ， ）是解题的关键．
【详解】解：
，
当 ， 时，
；
故选：B．
2．（23-24八年级下·山东日照·阶段练习）小亮的作业本上有以下四题：（1） ；（2）
；（3） ；（4） 做错的题目是（ ）
A．（1） B．（1）（3） C．（4） D．（1）（4）
【答案】D
【分析】本题考查了二次根式的加减运算：先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式．
也考查了二次根式的性质与化简以及二次根式的乘除法．
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司（1）根据二次根式的性质得到 ；
（2）根据二次根式的乘法进行计算；
（3）先判断 ，再根据二次根式的性质进行计算；
（4）根据二次根式的加法法则进行判断，非同类二次根式不能合并．
【详解】解：因为 ，所以（1）错误；
因为 ，所以（2）正确；
因为 有意义，所以 ，所以 ，所以（3）正确；
与 不是同类二次根式，不能合并，所以（4）错误；
综上分析可知，正错误的是（1）（4）．
故选：D．
对点特训四：最简二次根式
典型例题
例题1．（23-24八年级上·河北石家庄·期末）若最简二次根式 可以与 合并，则 的值可以是
（ ）
A．5 B．4 C．2 D．1
【答案】C
【分析】本题考查合并同类二次根式，涉及同类二次根式、最简二次根式、合并同类二次根式等知识，由
题意，将 化为最简二次根式 ，从而得到 ，解方程即可得到答案，熟记最简二次根式及同
类二次根式的定义是解决问题的关键．
【详解】解： ， 是最简二次根式，且 可以与 合并，
，解得 ，
故选：C．
例题2．（2024八年级下·全国·专题练习）已知二次根式 ．
(1)求使得该二次根式有意义的 的取值范围；
(2)已知 是最简二次根式，且与 可以合并，
求 的值；
求 与 的乘积．
【答案】(1) ；
(2) ； ．
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司【分析】（1）根据二次根式有意义的条件是被开方数大于等于 进行求解即可；
（2） 根据最简根式和同类二次根式的定义可得 ，解方程即可得到答案；
根据 所求利用二次根式的乘法计算法则求解即可；
本题主要考查了二次根式有意义的条件，最简二次根式和同类二次根式的定义，二次根式的乘法等等，熟
知二次根式的相关知识是解题的关键．
【详解】（1）∵二次根式 有意义，
∴ ，
解得： ；
（2） ，
∵ 与 可以合并，
∴ ，
解得： ；
由 得： ，
，
．
精练
1．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）已知最简二次根式 与 是同类二次根式，则x的值为
．
【答案】4
【分析】本题考查同类二次根式的概念，几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同是同类二
次根式，先化简 ，根据最简二次根式被开方数相等，由此可得出关于x的方程，求出x的值即可．
【详解】解：
由题意可得： ，
解得： ．
当 时， 与 是同类二次根式．
故答案为：4．
2．（23-24八年级上·江苏常州·阶段练习）若最简二次根式 和 是同类二次根式．
(1)求 、 的值；
(2) 、 平方和的算术平方根．
【答案】(1) ，
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司(2)
【分析】（1）根据同类二次根式得出 和 的二元一次方程组，从而得出 和 的值；
（2）将 和 的值代入代数式得出答案．
【详解】（1）解：∵最简二次根式 和 是同类二次根式，
∴， ，
解得 ， ．
（2）解：当 ， 时 ．
【点睛】本题考查了算术平方根、最简二次根式，二元一次方程组的应用以及求代数式的值，熟练掌握算
术平方根、最简二次根式以及二元一次方程组的应用是解题的关键．
对点特训五：二次根式的加法与减法及其混合运算
典型例题
例题1．（23-24八年级下·湖南邵阳·阶段练习）点 在数轴上的位置如图所示，则可以近似表
示 运算结果的点是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
【答案】C
【分析】本题考查了二次根式的混合运算、估算无理数的大小、实数与数轴，先根据二次根式混合运算的
法则得出 ，再估算出 的大小，结合数轴即可得出答案．
【详解】解： ，
，
，即 ，
，
由数轴可得：点 在 到 之间，
故选：C．
例题2．（23-24八年级下·广西钦州·阶段练习）计算：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司(2)
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键；
（1）先化简再计算即可；
（2）把括号里的每一项都除以 ，再化简即可；
【详解】（1）解：
（2）解：
精练
1．（23-24八年级下·湖南邵阳·阶段练习）下列运算中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次根式的加减、二次根式的乘除，根据二次根式的加减、二次根式的乘除的运算法
则逐项判断即可．
【详解】解：A、 和 不是同类二次根式，不能直接相加，故原选项计算错误，不符合题意；
B、 ，故原选项计算错误，不符合题意；
C、 ，故原选项计算错误，不符合题意；
D、 ，故原选项计算正确，符合题意．
故选：D．
2．（23-24八年级下·辽宁大连·阶段练习）计算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
（1）先化简二次根式，再计算二次根式的乘法和除法，最后加减即可；
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司（2）先利用完全平方公式和平方差公式去括号，分母有理化，再计算加减即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
对点特训六：分母有理化
典型例题
例题1．（2024八年级下·全国·专题练习）阅读下列材料，然后回答问题．
在进行二次根式运算时，我们有时会碰上 这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：
，以上这种化简的步骤叫作分母有理化．
(1)化简： ；
(2)已知 的整数部分为a，小数部分为b，求 的值．
(3)计算： ．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了分母有理化，无理数的估算：
（1）仿照题意进行分母有理化即可；
（2）将 进行分母有理化为 ，进而可得 的整数部分为 ，小数部分为
，代入即可求解；
（3）先分母有理化得到 ，据此把所求式子对应项分母有理化，然后根据二次根式
的加减计算法则化简求解即可得到答案．
【详解】（1）解：解：
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司；
（2）解：
∵ ，
∴ ，
∴ 的整数部分为 ，小数部分为 ，
∴ ；
（3）解：∵ ，
∴
．
例题2．（23-24八年级下·辽宁大连·阶段练习）阅读下列解题过程：
请回答下列问题：
(1)仿照上面的解题过程化简： ＝ ＝ ．
(2)请直接写出 的化简结果： ．
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司(3)利用上面的结论，通过计算试比较 与 的大小，并说明理由．
【答案】(1) ， ，
(2)
(3)
【分析】本题考查了二次根式的分母有理化．
（1）把分子分母有乘以 ，然后利用平方差公式计算；
（2）利把分子分母有乘以 ，然后利用平方差公式计算；
（3）利用（2）中的结论得到 ， 然后比较大小即可．
【详解】（1） ，
故答案为： ， ， ；
（2） ，
故答案为： ；
（3） ，理由如下：
由（2）中规律可得： ， ，
∵ ，
∴
∴ ．
精练
1．（2024八年级下·全国·专题练习）已知 ， ，求 ．
【答案】10
【分析】本题考查二次根式的化简求值，正确化简二次根式是解题关键．
先利用分母有理化进行化简，然后再求出 和 的值，从而利用完全平方公式进行计算，即可解答．
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司【详解】解：∵ ，
，
∴ ， ，
∴
．
2．（23-24八年级下·云南昭通·阶段练习）观察以下式子的化简过程：
① ，
② ，
③ ，
④ ，
……
根据以上式子的化简过程，得出规律．完成下列问题：
(1)如果n为正整数，那么 的值为______；
(2)根据以上规律计算： 的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查分母有理化：
（1）根据题干给定的等式，化简即可；
（2）先进行分母有理化，再进行计算即可．
【详解】（1）解： ；
故答案为： ；
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司（2）原式
．
对点特训七：二次根式化简求值
典型例题
例题1．（23-24八年级下·湖南邵阳·阶段练习）（1）已知 ， ，求 的
值；
（2）已知 ，求 的值．
【答案】（1） ；（2）2
【分析】本题考查了算术平方根的非负性、二次根式的混合运算、利用完全平方公式进行计算，求代数式
的值，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
（1）由题意得出 ， ，再利用完全平方公式将式子变形为 ，
代入计算即可得出答案；
（2）由二次根式有意义的条件得出 且 ，从而得出 ，代入得出 ，利用完全平
方公式将式子展开，再将 的值代入计算即可得出答案．
【详解】解∶（1）∵ ， ，
∴ ， ，
；
（2）根据题意得 且 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
例题2．（23-24八年级下·山东日照·阶段练习）（1）先化简，再求值： ，
其中 ， ．
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司（2）已知 ， ，求代数式 的值．
【答案】（1） ； ；（2）7
【分析】本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则
及完全平方公式、平方差公式．
（1）根据二次根式的性质化简，然后代入即可求出答案；
（2）先由x与y的值计算出 和 的值，再代入原式计算即可．
【详解】解：（1）
，
当 ， 时，原式 ．
（2）∵ ，
，
∴ ，
，
．
精练
1．（23-24八年级下·山东济南·阶段练习）已知， ， ．求值：
(1) ；
(2)求 的值．
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值：
（1）先求出 ， ，再根据 进行求解即可；
（2）根据（1）得 ， ，再根据 进行求解即可．
【详解】（1）解：∵ ， ，
∴ ， ，
∴
；
（2）解：由（1）得 ， ，
∴
．
2．（23-24八年级下·湖北武汉·阶段练习）（1）计算：式子 ______（请直接写出这个
常数）；
（2）已知 ，求 的值；
（3）若 的整数部分为x，小数部分为y，直接写出 的值．
【答案】（1）4；（2） ；（3）
【分析】本题考查分式、二次根式化简求值，解题的关键是掌握完全平方公式，分母有理化等知识．
（1）展开去括号，再合并即可得答案；
（2）利用 可得答案；
（3）先分母有理化，再求出 、 的值，代入所求式子计算即可．
【详解】解：（1）
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司；
（2） ，
，
，
；
（3） ，
又∵ ，
， ，
．
∴ 的值为 ．
对点特训八：分式的意义
典型例题
例题1．（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）要使分式 有意义，则x的取值范围是
．
【答案】 且
【分析】根据 ，且 计算即可，本题考查了分式有意义条件，熟练掌握是解题的关键．
【详解】分式 有意义．
故 ，且 ，
解得 ，且
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司故答案为： 且 # 且 ．
例题2．（2024·广东深圳·一模）先化简 ，再从不等式组 中选择一个适当的
整数，代入求值．
【答案】 ，当 时，原式 ．
【分析】本题考查了分式的化简求值，先利用分式的性质和运算法则对分式化简，再从不等式组
中选择一个适当的整数代入到化简后的结果中计算即可求解，掌握分式的性质和运算法则是解题的关键．
【详解】解：原式
，
，
当 或 时，原式无意义，
故取整数 时，
原式 ．
精练
1．（23-24九年级下·北京·阶段练习）若 在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件为分母不等于零是解题的关键．
根据分式有意义的条件结合已知条件列式计算即可．
【详解】解：∵ 在实数范围内有意义，
∴ ，即 ．
故答案为: ．
2．（23-24九年级下·广东深圳·阶段练习）先化简 ，然后从 ，1， ，2中选
一个合适的数代入求值．
【答案】 ，2
【分析】本题考查分式化简求值，涉及通分、因式分解、分式加减乘除混合运算、约分、分式有意义的条
件等知识，先将分式分子分母因式分解、再由分式加减乘除混合运算法则，利用通分、约分化简，再根据
分式有意义的条件取得 的值，代值求解即可得到答案，熟练掌握分式加减乘除混合运算法则，根据分式
有意义的条件取值是解决问题的关键．
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司【详解】解：
，
分式分母不能为0，
，则原式 ．
对点特训九：分式的化简求值
典型例题
例题1．（23-24九年级下·北京·阶段练习）已知 ，求代数式 的值．
【答案】
【分析】本题考查分式化简求值，先计算除法，再计算加法即可化简，然后把 变形为
a2+2a=2，代入化简式计算即可．熟练掌握分式混合运算法则是解题的关键．
【详解】解：
=
=
=
=
= ，
∵
∴ ，
∴原式= ．
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司例题2．（23-24八年级下·山东泰安·阶段练习）（1）先化简，再求值： ，其
中a满足 ．
（2）已知 ，探究m与n的关系．
【答案】（1） ， ；（2）
【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，分式的化简求值：
（1）先把小括号内的式子通分，然后把除法变成乘法化简，再求出 ，最后利用整体代入法求解
即可；
（2）先把原式变形为 ，再利用平方差公式得到
，两边同时平方推出 ，则 ．
【详解】解：
，
∵ ，
∴ ，
∴原式 ；
（2）∵ ，
∴ ，
∴ ，
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
精练
1．（23-24八年级下·重庆铜梁·阶段练习）先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】 ，
【分析】本题主要考查分式化简求值，二次根式运算，根据分式的混合运算先化简，再代入求值，即可求
解．掌握相关运算法则，是解题的关键．
【详解】解：原式=
，
当 时，原式 ．
2．（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）先化简 ，然后从 的范围内选
取一个你喜欢的整数作为 的值代入求值．
【答案】 ，当 时，原式 ；当 时，原式
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先把小括号内的式子通分化简，然后计算分式除法化简，再根
据分式有意义的条件选择符合题意的x的值代值计算即可．
【详解】解：
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司，
∵分式要有意义，
∴ ，
∴ 且 ，
∵ ，且x为整数，
∴当 时，原式 ；当 时，原式 ．
对点特训十：分式的基本性质
典型例题
例题1．（23-24八年级上·山东·课后作业）不改变分式 的值，使分子、分母最高次项的系数为
正数，正确的是（）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】让分子，分母同时改变符号即可让分子和分母中x的最高次项的系数都是正数．
【详解】分子的最高次项为﹣3x2，分母的最高次项为﹣5x3，系数均为负数，所以应同时改变分子，分母
的符号可得原式= = ．
故选D．
【点睛】用到的知识点为：分子，分母，分式本身的符号，改变其中的2个，分式的大小不变；分子，分
母的最高次项的系数均为负数，应同时改变分子，分母的符号．
例题2．（23-24八年级上·全国·课堂例题）不改变分式的值，把下列各分式的分子与分母中各项系数都化
为整数：
(1) ；
(2) ．
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司【答案】(1)
(2)
【分析】此题主要考查了分式的基本性质，关键是掌握分式的分子与分母同乘 (或除以) 一个不等于0的
整式，分式的值不变；
（1）分子分母都乘以60即可；
（2）分子分母同时乘以12即可；
【详解】（1）根据分式的基本性质，将 的分子与分母同乘60，
得 ．
（2）解：根据分式的基本性质，将 的分子与分母同乘12，
得 ．
题型归类练
1．（23-24八年级上·湖南长沙·期末）下列各式中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了分式的性质，根据分式的性质逐项判断即可求解．
【详解】解：A、等号右边 分子分母同时乘以 ，得 左边，故A错误，不合题意；
B、分式的分子分母同时加一个非零的数，得到的分式值与原分式不一定相等，故B错误，不合题意；
C、 ，故C错误，不合题意；
D、分子分母同时乘以 ，即 ，故D正确，符合题意．
故选：D
2．（23-24八年级下·全国·课后作业）不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数．
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】此题考查的是分式的变形，掌握分式的基本性质是解决此题的关键；
（1）根据分式的基本性质变形即可；
（2）根据分式的基本性质变形即可．
【详解】（1）解： ；
（2）解： ．
第 02 讲 根式、分式的化简(分层精练）
A夯实基础 B能力提升
A夯实基础
1．（23-24八年级下·云南昭通·阶段练习）若代数式 在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0进行
求解即可．
【详解】解：∵代数式 在实数范围内有意义，
∴ ，
∴ ，
故选：B．
2．（23-24八年级下·海南儋州·阶段练习）在 、 、 、 、 、 中分式的个数有（
）
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
【答案】B
【分析】本题主要考查了分式的定义，判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分
式，如果不含有字母则不是分式．
【详解】解：在 、 、 、 、 、 中分式有 、 、 ，共3个，
故选：B．
3．（23-24八年级下·广东湛江·阶段练习）计算： 的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查二次根式的除法运算，掌握分母有理化是解题的关键．
【详解】解： ，
故选A．
4．（23-24八年级下·广东湛江·阶段练习）若 ，则x的值可以是（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】D
【分析】本题考查了二次根式的性质化简，掌握二次根式 是解题的关键．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
解得 ，
符合题意的为2，
故选D．
5．（2024·贵州遵义·一模）要使 无意义，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了分式无意义的条件．根据分式无意义的条件为分式的分母为0，即可求解．
【详解】解：∵ 无意义，
∴ ，
∴ ．
故选：A
6．（2024八年级下·江苏·专题练习）下列运算正确的是（ ）
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】此题考查分式化简，关键是根据约分进行计算．根据分式进行计算判断即可．
【详解】解： 、 ，正确；
、 不能约分，错误；
、 ，错误；
、 ，错误；
故选： ．
7．（2024·山东·一模）已知 ，则 的值分别为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
本题考查了分式的加减和二元一次方程组的解法，先对等号右边的分式进行加减，根据等号左右两边相
等，得到关于 的二元一次方程组，求解即可，根据分式方程的左右两边相等，得到关于 的方程组
是解题的关键．
【详解】解：∵ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
故选：A．
8．（23-24八年级下·广西贺州·阶段练习）若实数a，b在数轴上的对应点如图，则化简
的结果为（ ）
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次根式的性质，整式的加减，化简绝对值；根据数轴可得 ，则
进而根据二次根式以及绝对值的性质化简，即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴
故选：D．
二、填空题
9．（23-24八年级下·湖南邵阳·阶段练习）化简 的结果是 ．
【答案】6
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件、二次根式的性质，由二次根式有意义的条件得出 ，从
而得出 ，再根据二次根式的性质化简即可．
【详解】解： ，
，
，
，
故答案为： ．
10．（2024·西藏·二模）先化简再求值： ，其中 ， ．
【答案】 ，
【分析】本题考查了分式的化简求值，正确对分式的分子和分母分解因式是解题的关键．
首先把所求的式子分子和分母分解因式，把除法转化为乘法，计算乘法，再进行分式的减法运算即可化
简，最后代入数值计算即可．
【详解】解：原式
，
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司把 ， 代入得：原式 ．
故答案为： ， ．
三、解答题
11．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）先化简，再求代数式 的值，其中
．
【答案】 ，
【分析】本题考查特殊角的三角函数值，分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
先化简括号内的式子，再算括号外的乘除法，最后将求出x的值代入化简后的式子计算即可．
【详解】解：原式
，
当 时，原式 ．
12．（23-24八年级下·湖南邵阳·阶段练习）观察下列等式∶
第1个： ；
第2个： ；
第3个： ；
第4个： ；
…
按照以上规律，解决下列问题∶
(1)写出你猜想的第 个等式 ；（用含 的等式表示）
(2)根据上面的结论计算 的结果．
【答案】(1)
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司(2)
【分析】本题考查了数字类规律探索，二次根式的性质与化简，熟练掌握运算法则，得出规律
是解此题的关键．
（1）根据题目中所给式子呈现的规律即可得出答案；
（2）根据（1）中得出的规律，计算即可得出答案．
【详解】（1）解： 第1个： ；
第2个： ；
第3个： ；
第4个： ；
…
第 个等式 ，
故答案为： ；
（2）解：
．
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