第02讲整式与因式分解（17个考点）（知识精讲）-冲刺2023年中考数学热点、重难点题型解题方法与策略+真题演练（通用版）（原卷版）_中考复习资料_语数英物化_2数学中考复习_专项复习

第 02 讲 整式与因式分解（17 个考点） 【考纲要求】 1.整式部分主要考查幂的性质、整式的有关计算、乘法公式的运用，多以选择题、填空题的形式出现； 2.因式分解是中考必考内容，题型多以选择题和填空题为主，也常常渗透在一元二次方程和分式的化简中 进行考查. 【知识导图】【考点梳理】 考点一、整式 1. 单项式 数与字母的积的形式的代数式叫做单项式．单项式是代数式的一种特殊形式，它的特点是对字母来说 只含有乘法的运算，不含有加减运算．在含有除法运算时，除数(分母)只能是一个具体的数，可以看成分 数因数．单独一个数或一个字母也是单项式． 要点诠释： （1）单项式的系数是指单项式中的数字因数． （2）单项式的次数是指单项式中所有字母的指数和． 2.多项式 几个单项式的代数和叫做多项式．也就是说，多项式是由单项式相加或相减组成的． 要点诠释： （1）在多项式中，不含字母的项叫做常数项． （2）多项式中次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数． （3）多项式的次数是n次，有m个单项式，我们就把这个多项式称为n次m项式． （4）把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母降幂 排列．另外，把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母 升幂排列． 3.整式 单项式和多项式统称整式． 4.同类项 所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项，叫做同类项． 5.整式的加减 整式的加减其实是去括号法则与合并同类项法则的综合运用． 把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项.合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项 的系数的和，且字母部分不变. 如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负 数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反. 整式加减的运算法则：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项. 6.整式的乘除 ①幂的运算性质：②单项式相乘：两个单项式相乘，把系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母， 则连同它的指数作为积的一个因式． ③单项式与多项式相乘：单项式与多项式相乘，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加． 用式子表达： ④多项式与多项式相乘：一般地，多项式乘以多项式，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项 式的每一项，再把所得的积相加．用式子表达： 平方差公式： 完全平方公式： 在运用乘法公式计算时，有时要在式子中添括号，添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的 各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号. ⑤单项式相除：两个单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含 有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式． ⑥多项式除以单项式：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的 商相加． 要点诠释： （1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的有理数，也可以是单项式、多项式. （2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质， amanap amnp m, n, p 即 （ 都是正整数）. (am)n amn ((am)n)p amnp a0 m,n, p （3）公式 的推广： ( ， 均为正整数) (ab)n anbn (abc)n anbncn n （4）公式 的推广： ( 为正整数). 考点二、因式分解1. 因式分解 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解． 2.因式分解常用的方法 mambmc  m(abc) （1）提取公因式法： （2）运用公式法： a2 b2  (ab)(ab) a2 2abb2 (ab)2 平方差公式： ；完全平方公式： x2 (ab)xab  (xa)(xb) （3）十字相乘法： 3.因式分解的一般步骤 （1）如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式； （2）提出公因式或无公因式可提，再考虑可否运用公式或十字相乘法； （3）对二次三项式，应先尝试用十字相乘法分解，不行的再用求根公式法； （4）最后考虑用分组分解法及添、拆项法. 要点诠释： （1）因式分解的对象是多项式； （2）最终把多项式化成乘积形式； （3）结果要彻底，即分解到每个因式都不能再分解为止． a （4）十字相乘法分解思路为“看两端，凑中间”，二次项系数 一般都化为正数，如果是负数，则提 出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上. 【典型例题】 一．列代数式（共1小题） 1．（2021•罗湖区校级模拟）如图，数轴的单位长度为 1，点C，D表示的数互为相反数，结合数轴回答 下列问题： （1）请在数轴上标出原点O的位置． （2）直接写出点A，B，C，D所表示的数，并判断哪一点表示的数的平方最大，最大是多少？ （3）从A，B两题中任选一题作答． A．①若点F在数轴上，与点C的距离CF＝3.5，求点F表示的数； ②设动点P从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴的正方向匀速向终点D运动，运动时间为t 秒，求点P，C之间的距离CP．（用含t的代数式表示） B．设点M，N都从点A出发沿数轴的正方向匀速向终点D运动．点M的速度为每秒2个单位长度，点N的速度为每秒5个单位长度，当点M运动到点B时点N开始运动，设点M运动的时间为t秒，求点 M，N之间的距离MN．（用含t的代数式表示） 二．代数式求值（共2小题） 2．（2022•广东四模）若代数式x﹣2y+2的值是5，则代数式2x﹣4y+1的值是（ ） A．4 B．7 C．5 D．不能确定 3．（2022•北京模拟）已知a2﹣8＝3a，代数式3（a﹣1）2﹣3（a+1）的值为 ． 三．同类项（共1小题） 4．（2022•兴宁区校级模拟）若7axb2与﹣a3by是同类项，则yx＝ ． 四．规律型：数字的变化类（共6小题） 5．（2022•八步区模拟）观察下列一行数2，1，﹣4，1，8，1，﹣16，1，…，则第16个数与第17个数 的和为（ ） A．1+28 B．1﹣28 C．1+29 D．1﹣29 6．（2022•武汉模拟）x ，x ，x ，…x 是2022个由1和﹣1组成的数，且满足x +x +x +…+x ＝202， 1 2 3 2022 1 2 3 2022 则（x ﹣1）2+（x ﹣1）2+（x ﹣1）2+…+（x ﹣1）2的值为（ ） 1 2 3 2022 A．2021 B．4042 C．3640 D．4842 7．（2022•沈阳模拟）观察下列按一定规律排列的n个数：2，4，6，8，10，12，…若最后三个数之和是 1794，则n等于（ ） A．299 B．300 C．600 D．601 8．（2022•兴宁区校级模拟）如图，将正整数按此规律排列成数表，则2022分布在表中的第 行．9．（2022•沈阳模拟）一组按规律排列的式子： ， ， ， ，…，第 n 个式子是 （a≠0，n为正整数）． 10．（2022•安徽三模）观察以下等式： 第1个等式： ； 第2个等式： ； 第3个等式： ； 第4个等式： ； 第5个等式： ；…… 按照以上规律，解决下列问题： （1）写出第6个等式： ； （2）写出你猜想的第n个等式： （用含n的等式表示），并证明． 五．规律型：图形的变化类（共2小题） 11．（2022•泰安模拟）观察下列图形规律，当图形中的“〇”的个数和“．”个数差为 2022时，n的值 为 ．12．（2022•成都模拟）如图，直线l 与直线l 所成的角∠B OA ＝30°，过点A 作A B ⊥l 交直线l 于点 1 2 1 1 1 1 1 1 2 B ，OB ＝2，以A B 为边在△OA B 外侧作等边三角形A B C ，再过点C 作A B ⊥l ，分别交直线l 和 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 l 于A ，B 两点，以A B 为边在△OA B 外侧作等边三角形A B C ，…按此规律进行下去，则第2022 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 个等边三角形A B C 的周长为 ． 2022 2022 2022 六．整式的加减（共1小题） 13．（2022•长沙模拟）已知多项式A＝﹣3x2+5x﹣4，B＝﹣x2﹣2x，则A﹣3B的结果为（ ） A．﹣6x2﹣x﹣4 B．11x﹣4 C．﹣x﹣4 D．﹣6x2﹣5 七．幂的乘方与积的乘方（共1小题） 14．（2022•南海区校级模拟）已知4a＝3b，12a＝27，则a+b＝（ ） A． B． C．2 D．3 八．同底数幂的除法（共3小题） 15．（2022•仙游县模拟）下列运算正确的是（ ） A．a+a2＝a3 B．（ab）2＝ab2 C．a5÷a3＝a2 D．（a2）3＝a5 16．（2022•沈阳模拟）下列运算正确的是（ ） A．2a2+a3＝3a5 B．a2•a3＝a6 C．2a3÷a＝2a D．（2a）3＝8a3 17．（2022•沈阳模拟）下列运算正确的是（ ） A．3m3+4m2＝7m5 B．2m3÷m2＝2m C．m（m2）2＝m4 D．（x﹣y）（y﹣x）＝x2﹣y2 九．单项式乘单项式（共2小题） 18．（2022•武汉模拟）下列运算正确的是（ ） A．（﹣a2）3＝﹣a6 B．2a+3a＝5a2 C．2a•3a＝6a D．2a﹣3a＝﹣1 19．（2022•八步区模拟）下列运算正确的是（ ） A．﹣2a2⋅3a3＝﹣6a5 B．a6÷a2＝a3 C．3a+b＝3ab D．a﹣（b+c）＝a﹣b+c一十．多项式乘多项式（共1小题） 20．（2022•天河区校级模拟）某种植基地有一块长方形和一块正方形实验田，长方形实验田每排种植 （3a﹣b）株豌豆幼苗，种植了（3a+b）排，正方形实验田每排种植（a+b）株豌豆幼苗，种植了 （a+b）排，其中a＞b＞0． （1）正方形实验田比长方形实验田少种植豌豆幼苗多少株？ （2）当a＝5，b＝2时，该种植基地这两块实验田一共种植了多少株豌豆幼苗？ 一十一．完全平方公式（共3小题） 21．（2022•洪山区模拟）下列计算正确的是（ ） A．（x+y）2＝x2+y2 B．（﹣x）3⋅x2＝﹣x6 C．x3+x4＝x7 D．（﹣2a2b）3＝﹣8a6b3 22．（2022•沈阳模拟）下列各式中，正确的是（ ） A．（2a）3＝6a3 B．（a3）2＝a6 C．（a+b）2＝a2+b2 D．3a2﹣4a2＝﹣1 23．（2022•东坡区校级模拟）下列各式计算正确的是（ ） A．a2•a3＝a6 B．（a3）2＝a6 C．（2a）3＝2a3 D．（a+b）2＝a2+b2 一十二．整式的混合运算（共3小题） 24．（2022•河南模拟）下列计算正确的是（ ） A．3a﹣2a＝1 B．（a﹣b）2＝a2﹣b2 C．（2a﹣1）（2a+1）＝4a2﹣1 D．（﹣2a）3＝﹣6a325．（2022•西城区校级模拟）计算： （1） ； （2）2x3•（﹣x）2﹣（﹣x2）2•（﹣3x）； （3）（x+1）2﹣（x﹣1）（x+2）； （4）（2x+3y+5）（2x﹣3y﹣ 5）； （5）（﹣2x2y+6x3y4﹣8xy）÷（﹣2xy）； （6）9×11×101． 26．（2022•西城区校级模拟）计算： （1）（﹣ m2n）3•（﹣2mn）÷（2m3）； （2）（a﹣2b）2﹣（a+3b）（a﹣ 3b）． 一十三．整式的混合运算—化简求值（共5小题） 27．（2022•南海区校级模拟）先化简，再求值：（x﹣y）（2x﹣y）﹣（x﹣y）2﹣x2，其中x＝ ﹣ 1，y＝ +1．28．（2022•长沙模拟）先化简，再求值：（x+y）2+（x+2y）（x﹣2y）+y（x+3y），其中x＝1，y＝2． 29．（2022•东城区校级模拟）已知x2﹣3x﹣1＝0，求代数式x（3x﹣6）﹣（x+2）（x﹣2）的值． 30．（2022•长沙模拟）先化简，再求值：（2x﹣1）（2x+1）﹣（x﹣3）2﹣6x，其中x＝﹣ ． 31．（2022•天心区模拟）先化简后求值：（x+5）（x﹣5）﹣（x﹣2）2+（x+2）（x﹣1），其中x＝3． 一十四．因式分解的意义（共1小题） 32．（2022•长沙模拟）下列从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A．（x+3）（x﹣3）＝x2﹣9 B．x2﹣9+x＝（x+3）（x﹣3）﹣x C．xy2﹣x2y＝xy（y﹣x） D．x2+5x+4＝x（x+5）+4 一十五．因式分解-提公因式法（共5小题） 33．（2022•长沙模拟）将多项式a2﹣16a进行因式分解的结果是（ ） A．a（a+4）（a﹣4） B．（a﹣4）2 C．a（a﹣16） D．（a+4）（a﹣4） 34．（2022•广东四模）因式分解：2（a﹣b）2+6（b﹣a）＝ ． 35．（2022•沈阳模拟）因式分解：﹣4y3+4y＝ ．36．（2022•沈阳模拟）分解因式：m3n+mn＝ ． 37．（2022•北京模拟）分解因式：6x2y﹣3xy＝ ． 一十六．提公因式法与公式法的综合运用（共3小题） 38．（2022•南海区校级模拟）分解因式：27m3﹣3m＝ ． 39．（2022•长沙模拟）因式分解：9ab2﹣a＝ ． 40．（2022•成都模拟）分解因式：4ax2﹣a＝ ． 一十七．因式分解的应用（共4小题） 41．（2022•东坡区校级模拟）已知x2﹣2x﹣1＝0，则2x3﹣6x2+2x+1＝（ ） A．﹣1 B．5 C．﹣3 D．1 42．（2022•重庆模拟）一个三位自然数m．将它任意两个数位上的数字对调后得一个首位不为0的新三位 自然数m'（m'可以与m相同），记m'＝ ，在m′所有的可能情况中，当|a+2b﹣c|最小时，我们称此 时的m′是m的“幸福美满数”，并规定K（m）＝a2+2b2﹣c2．例如：318按上述方法可得新数有： 381、813、138；因为|3+2×1﹣8|＝3，|3+2×8﹣1|＝18，|8+2×1﹣3|＝7，|1+2×3﹣8|＝1，1＜3＜7＜18． 所以138是318的“幸福美满数”．K（318）＝12+2×32﹣82＝﹣45． （1）若三位自然数t的百位上的数字与十位上的数字都为n（1≤n≤9．n为自然数），个位上的数字为 0，求证：K（t）＝0； （2）设三位自然数s＝100+10x+y（1≤x≤9，1≤y≤9，x，y为自然数），且x＜y，交换其个位与十位 上的数字得到新数s'，若19s+8s'＝3888，那么我们称s为“梦想成真数”，求所有“梦想成真数”中K （s）的最大值． 43．（2022•重庆模拟）若一个三位整数，百位上数字的2倍加上十位上数字的3倍，再加上个位上数字所得的和能被7整除，则称这个整数为“劳动数”． 例如：判断210是“劳动数”的过程如下：2×2+3×1+0＝7，∵7能被7整除，∴210是“劳动数”； 判断322是“劳动数”的过程如下：2×3+3×2+2＝14，∵14能被7整除，∴322是“劳动数”； （1）直接写出最小的“劳动数”为 ，并请用上面的方法判断448是否为“劳动数”； （2）试证明：所有的“劳动数”均能被7整除． 44．（2022•重庆模拟）如果一个自然数从高位到个位是由一个数字或几个数字重复出现组成，那么我们 把这样的自然数叫做循环数，重复的一个或几个数字称为“循环节”，我们把“循环节”的数字个数叫 做循环节的阶数．例如：525252，它由“52”依次重复出现组成，所以525252是循环数，它是2阶6 位循环数，再如：77，是1阶2位循环数，135135135是3阶9位循环数… （1）请你直接写出2个2阶4位循环数，并证明对于任意一个2阶4位循环数，若交换其循环节的数字 所得到的新数和原数的差能够被9整除； （2）已知一个能被9整除的2阶4位循环数，设循环节为ab，求a，b应满足的关系．