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第 02 讲 整式与因式分解【挑战中考满分模拟练】
一．列代数式（共3小题）
1．（2022•二道区校级二模）小月去餐厅就餐，餐厅推出活动，消费每满 100元减30元，已知小月消费原
价为n元（300＜n＜400），则她实际付款 元．（用含n的式子表示）
2．（2022•蜀山区校级三模）某快递公司受新一次疫情影响，4月份业务量比3月份下降了30%，由于采
取了科学的防控措施，5月份疫情明显好转，该快递公司5月份业务量比4月份增长了40%，若设该快递
公司3月份业务量为a，则5月份的业务量为（ ）
A．（1﹣30%+40%）a B．（30%+40%）a
C．（40%﹣30%）a D．（1﹣30%）（1+40%）a
3．（2022•庐阳区校级三模）某工厂2020的产值比2019的产值增长了a%，2021的产值又比2020的产值
增长了a%，则2021的产值比2019增长了（ ）
A．2a% B．1+2a% C．（1+a%）•a% D．（2+a%）•a%
二．代数式求值（共4小题）
4．（2022•三水区校级三模）定义：若a﹣b＝0，则称a与b互为平衡数，若2x2﹣2与x+4互为平衡数，
则代数式6x2﹣3x﹣9＝ ．
5．（2022秋•岳麓区校级月考）若a﹣2b＝3，则9﹣3a+6b的值为 ．
6．（2022•章丘区模拟）若a﹣2b﹣1＝0，则24+4b﹣2a的值为 ．
7．（2022•朝阳区校级模拟）下列说法正确的是（ ）
A．2m表示m和m相乘
B．2m的值一定比m的值大
C．2m的值一定比2大
D．2m的值随m的增大而增大
三．同类项（共1小题）
8．（2022•南岸区校级模拟）下列各组整式中，不是同类项的是（ ）
A．3a2b与﹣2a2b B．2xy与5yx
C．2x3y2与﹣x2y3 D．5和0
四．规律型：数字的变化类（共3小题）9．（2022•五华区校级模拟）按一定规律排列的单项式：x， ， ，x7， ， ，…，第2022个单
项式为（ ）
A． B． C．x4045 D．
10．（2022•肥东县校级模拟）观察以下等式：
第1个等式：1+
第2个等式：1+
第3个等式：1+
第4个等式：1+
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第5个等式： ；
（2）写出你猜想的第n个等式： （用含n的等式表示），并证明．
11．（2022•蜀山区校级三模）阅读理解，完成任务
三角形数
古希腊著名数学家毕达哥拉斯把1、3、6、10、...这样的数称为“三角形
数”，第n个“三角形数“可表示为：1+2+3+...+n＝ .
发现：每相邻两个“三角形数”的和有一定的规律，如：1+3＝4；3+6＝9；6+10＝16；……；
（1）第6个“三角形数”与第7个“三角形数”的和为 ；
（2）第n个“三角形数”与第（n+1）个“三角形数”的和可用下面等式表示： + ＝
，
请补全等式并说明它的正确性．五．规律型：图形的变化类（共7小题）
12．（2022•五华区校级三模）观察图中菱形四个顶点所标的数字规律，可知数 2022应标在（ ）
A．第505个菱形的上边 B．第506个菱形的上边
C．第505个菱形的左边 D．第506个菱形的右边
13．（2022•海口模拟）观察如图“品”字形中各数之间的规律，根据观察到的规律得出第六个“品”字
形中a的值为 ，c的值为 ．
14．（2022•山西模拟）如图，用若干相同的小棒拼成含正五边形的图形，拼第 1个图形需要5根小棒；拼
第2个图形需要9根小棒；拼第3个图形需要13根小棒……按此规律，拼第n个图形需要 根小棒
（ 用 含 n 的 代 数 式 表 示 ） ．
15．（2022•杜尔伯特县一模）把黑色三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个黑色三
角形，第②个图案中有3个黑色三角形，第③个图案中有6个黑色三角形，…，按此规律排列下去，则
第100个图案中黑色三角形的个数为 ．16．（2022•兴庆区校级三模）2022年北京冬奥会开幕式主火炬台由96块小雪花形态和6块橄榄枝构成的
巨型“雪花”形态，在数学上，我们可以通过“分形”近似地得到雪花的形状．操作：将一个边长为 1的
等边三角形（如图①）的每一边三等分，以居中那条线段为底边向外作等边三角形，并去掉所作的等边三
角形的一条边，得到一个六角星（如图②），称为第一次分形．接着对每个等边三角形凸出的部分继续上
述过程，即在每条边三等分后的中段向外画等边三角形，得到一个新的图形（如图③），称为第二次分形．
不断重复这样的过程，就得到了“科赫雪花曲线”．第 n次分形后所得图形的边数是 ．（用含n
的代数式表示）
17．（2022•丰南区二模）如图，自左向右，水平摆放一组小球，按照以下规律排列：红球、黄球、绿球、
红球、黄球、绿球…，嘉琪依次在小球上标上数字1、2、3、4、5、6…
尝试：左数第三个黄球上标的数字是 ；
应用：若某个小球上标的数字是100，则这个小球的颜色是 ，它左边共有 个与它颜色相
同的小球．
发现：试用含n的代数式表示左边第n个黄球所标的数字．
18．（2022•庐阳区校级三模）在滨湖国际会展中心广场中央摆放着一个正六边形的鲜花图案，如图所示，
已知第一层摆红色花，第二层摆黄色花，第三层是紫色花，第四层摆红色花…由里向外依次按红、黄、紫的颜色摆放．
（1）这个鲜花图案有n层，则这n层共摆放了 盆花（用含n的代数式表示）；
（2）如果最外层共有96盆花，则最外层花的颜色是 ．请计算此时鲜花图案共有多少盆花摆成的．
六．单项式（共1小题）
19．（2022•思明区校级二模）单项式x2y的次数是 ．
七．整式的加减（共2小题）
20．（2022•丽水二模）如图1，将一个边长为10的正方形纸片剪去两个全等小长方形，得到图2，再将剪
下的两个小长方形拼成一个长方形（图3），若图3的长方形周长为30，则b的值为 ．
21．（2022•渝北区校级模拟）有依次排列的2个整式x，y，将第1个整式乘以2再与第2个整式相加，称
为第一次操作，得到第3个整式2x+y；将第2个整式乘以2再与第3个整式相加，称为第二次操作，得到
第 4 个整式 2x+3y；将第 3 个整式乘以 2 再与第 4 个整式相加，称为第三次操作，得到第 5 个整式
6x+5y；……以此类推，下列四个说法：①第7个整式为22x+21y；②第20个整式中x的系数与y的系数
的差为﹣1；③第11个整式和第12个整式中x的所有系数与y的所有系数之和等于2048；④若x＞0，y＜
0，第2023次操作完成后，所有整式的和为0，则|x|＜|y|，其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
八．幂的乘方与积的乘方（共3小题）
22．（2022•兴庆区校级三模）下列运算正确的是（ ）
A．（﹣m3）2＝﹣m5 B．（mn2）3＝m3n6
C．m6﹣m3＝m2 D．（﹣2）﹣2＝﹣423．（2022•南岸区校级模拟）计算：22022•（ ）2022+（﹣1）﹣1＝ ．
24．（2022•兴庆区校级三模）若a2n＝2，则3a6n﹣1＝ ．
九．同底数幂的除法（共2小题）
25．（2022•肥东县校级模拟）下列各式中计算结果为x2的是（ ）
A．x2•x B．x+x C．x8÷x4 D．（﹣x）2
26．（2022•香坊区校级三模）下列计算正确的是（ ）
A．a5÷a2＝a7 B．a4•a2＝a8 C．a3﹣a2＝a D．a
一十．多项式乘多项式（共1小题）
27．（2022•湖北模拟）计算：（a﹣1）（2a+3）＝ ．
一十一．完全平方公式（共2小题）
28．（2022•濠江区一模）若（a+b）2＝7，ab＝2，则a2+b2＝ ．
29．（2022•雁塔区校级模拟）化简：（x﹣3）2﹣（x+1）（x﹣4）．
一十二．完全平方公式的几何背景（共3小题）
30．（2022•景县校级模拟）如图，有两个正方形纸板A，B，纸板A与B的面积之和为34．现将纸板B按
甲方式放在纸板A的内部，阴影部分的面积为4．若将纸板A，B按乙方式并列放置后，构造新的正方形，
则阴影部分的面积为（ ）
A．30 B．32 C．34 D．36
31．（2022•潮安区模拟）一个长方形的面积为10，设长方形的边长为a和b，且a2+b2＝29，则长方形的周长为 ．
32．（2022•永康市模拟）现有A，B，C三种型号的纸片若干张，大小如图所示．从中取出一些纸片进行
无空隙、无重叠拼接，拼成一个长宽分别为11和5的新矩形，在各种拼法中，B型纸片最多用了
张．
一十三．平方差公式（共2小题）
33．（2022•碑林区模拟）计算：（2x+1）（2x﹣1）（4x2+1）＝ ．
34．（2022•北仑区校级三模）（1）计算：（a﹣1）2+（2﹣a）（a+2）；
（2）解不等式：4x+5＜3（x+1）．
一十四．整式的除法（共1小题）
35．（2022•固安县模拟）一个长方体体积为x2y﹣9y，长和宽是关于x的一次二项式，且长大于宽，高是
y，则长是 ，宽是 ．
一十五．整式的混合运算（共1小题）
36．（2022•开福区校级三模）下列运算正确的是（ ）
A．（3a）2＝6a2 B．2a2+3a3＝5a3
C．（﹣x+1）（﹣x﹣1）＝x2﹣1 D．（﹣4x2+2x）÷2x＝﹣2x
一十六．整式的混合运算—化简求值（共3小题）
37．（2022•南关区校级模拟）已知a2+2a﹣2＝0，求代数式（a﹣1）（a+1）+2（a﹣3）的值．
38．（2022•南关区校级模拟）先化简，再求值：（2x﹣1）2﹣4x（x﹣2），其中x＝﹣ ．39．（2022•朝阳区校级模拟）先化简，再求值：（m﹣2）2+4（m﹣1）+2，其中m＝ ．
一十七．因式分解的意义（共1小题）
40．（2022•易县二模）下列等式中，从左到右的变形属于因式分解的是（ ）
A．x+2y＝（x+y）+y B．5x2y﹣10xy2＝5xy（x﹣2y）
C．4a2﹣4a+1＝4a（a﹣1）+1 D．p（q+h）＝pq+ph
一十八．因式分解-提公因式法（共2小题）
41．（2022•邯郸二模）若20222022﹣20222020＝2023×2022n×2021，则n的值是（ ）
A．2020 B．2021 C．2022 D．2023
42．（2022•五华区校级模拟）已知x+y＝2，xy＝﹣3，则x2y+xy2＝ ．
一十九．因式分解-运用公式法（共3小题）
43．（2022•玉树市校级一模）分解因式：a2﹣16＝ ．
44．（2022•环江县模拟）因式分解：x2﹣2x+1的结果是（ ）
A．x（x﹣2）+1 B．（x﹣1）2 C．（x+1）2 D．（x﹣2）（x+1）
45．（2022•蓬江区一模）下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是（ ）
A．a2+b2 B．a2﹣4b2 C．a2﹣2ab+b2 D．﹣a2﹣b2
二十．提公因式法与公式法的综合运用（共6小题）
46．（2022•临邑县模拟）把a3﹣4a分解因式正确的是（ ）
A．a（a2﹣4） B．a（a﹣2）2
C．a（a+2）（a﹣2） D．a（a+4）（a﹣4）
47．（2022•南岗区三模）把多项式5a2﹣10ab+5b2分解因式的结果是 ．
48．（2022•南岗区校级模拟）把多项式2ab3﹣8ab分解因式的结果为 ．
49．（2022•雨花台区校级模拟）分解因式：2a3﹣8a2b+8ab2＝ ．
50．（2022•南岗区校级模拟）把多项式a2b﹣6ab2+9b3分解因式的结果是 ．
51．（2022•青县二模）已知整式A＝5x2﹣9，B＝﹣x2+5，若A+B＝C．
（1）求整式C；（2）将整式C因式分解；
（3）整式D＝﹣7﹣4x，比较整式C和整式D的大小．
二十一．因式分解-十字相乘法等（共1小题）
52．（2022•蜀山区校级三模）下列因式分解中，错误的是（ ）
A．2x2﹣x＝x（2x﹣1） B．y2﹣x2＝（x+y）（y﹣x）
C．x2﹣2x+4＝（x﹣2）2 D．x2+x+ ＝（x+ ）2
二十二．因式分解的应用（共8小题）
53．（2022•小店区校级模拟）若a+b＝2，则a2+2ab+b2﹣6的值为 ．
54．（2022•景县校级模拟）对于m，n，定义：若m+n＝2，则称m与n是关于1的“对称数”．
（1）填空：7与 是关于1的“对称数”；2x+5与 是关于1的“对称数”；
（2）已知A＝（x+a）（x﹣2），B＝﹣x2﹣4x+b，其中a，b均为常数，且无论x取何值，A与B都是关于
1的“对称数”，求a，b的值；
（3）若C＝﹣x2+6x，D＝4x2﹣7，且C与D是关于1的“对称数”，求满足条件的x的值．
55．（2022•长丰县校级模拟）已知实数a，b，c满足：4a+4b+c＝0，4a﹣4b+c＞0，则（ ）
A．b＞0，b2﹣4ac≥0 B．b＞0，b2﹣ac≤0
C．b＜0，b2﹣4ac≤0 D．b＜0，b2﹣ac≥056．（2022•红花岗区模拟）同号两实数a，b满足a2+b2＝4﹣2ab，若a﹣b为整数，则ab的值为（ ）
A．1或 B．1或 C．2或 D．2或
57．（2022•南岸区校级模拟）两个不同的多位正整数，若它们各数位上的数字和相等，则成这两个多位
数互为“友好数”．例如：37和82，它们各数位上的数字之和分别是3+7，8+2，∵3+7＝8+2＝10，∴37
和82互为“友好数”．又如：123和51，它们各数位上的数字之和分别是1+2+3，5+1，∵1+2+3＝5+1＝
6，∴123和51互为“友好数”．
（1）直接写出103的所有两位数的“友好数”；
（2）若两个不同的三位数m＝100a+40+b、n＝200+10c（1≤a≤5，0≤b≤5，0≤c≤9，且a、b、c为整
数）互为友好数，且m﹣n是11的倍数，记P＝ ，求P的所有值．
58．（2022•新洲区校级模拟）解决次数较高的代数式问题时，通常可以用降次的思想方法．已知：x2﹣x
﹣1＝0，且x＞0，则x4﹣2x3+3x的值是（ ）
A．1+ B．1﹣ C．3+ D．3﹣
59．（2022•渝北区校级模拟）一个四位自然数m，若它的千位数字与百位数字的差等于5，十位数字与个
位数字的差等于4，则称这个四位自然数m为“青年数”．“青年数”m的千位数字与百位数字的和的2
倍与十位数字及个位数字的和记为P（m）；“青年数”m的千位数字与4的差记为Q（m），令F（m）
＝ ．
例如：∵对7240，7﹣2＝5，4﹣0＝4，∴7240是“青年数”．
∵P（7240）＝2×（7+2）+4+0＝22，Q（7240）＝7﹣4＝3，
∴F（7240）＝ ＝ ．
又如：∵对5093，5﹣0＝5，但9﹣3≠4，∴5093不是“青年数”．
（1）请判断8273，9462是否为“青年数”？并说明理由；如果是，请求出对应的F（m）的值；
（2）若一个“青年数”m，当F（m）能被10整除时，求出所有满足条件的m．60．（2022•万州区校级一模）如果一个自然数M的个位数字不为0，且能分解成A×B，其中A与B都是两
位数，A与B的十位数字相同，个位数字之和为8，则称数M为“团圆数”，并把数M分解成M＝A×B的
过程，称为“欢乐分解”．
例如：∵572＝22×26，22和26的十位数字相同，个位数字之和为8，∴572是“团圆数”．
又如：∵334＝18×13，18和13的十位数字相同，但个位数字之和不等于8，∴234不是“团圆数”．
（1）判断195，621是否是“团圆数”？并说明理由．
（2）把一个“团圆数”M进行“欢乐分解”，即M＝A×B，A与B之和记为P（M），A与B差的绝对值
记为Q（M），令G（M）＝ ，当G（M）能被8整除时，求出所有满足条件的M的值．
