文档内容
第 02 讲 整式与因式分解【中考过关真题练】
一．列代数式（共2小题）
1．（2022•长沙）为落实“双减”政策，某校利用课后服务开展了主题为“书香满校园”的读书活动．现
需购买甲，乙两种读本共100本供学生阅读，其中甲种读本的单价为10元/本，乙种读本的单价为8元/本，
设购买甲种读本x本，则购买乙种读本的费用为（ ）
A．8x元 B．10（100﹣x）元
C．8（100﹣x）元 D．（100﹣8x）元
【分析】直接利用乙的单价×乙的本数＝乙的费用，进而得出答案．
【解答】解：设购买甲种读本x本，则购买乙种读本的费用为：8（100﹣x）元．
故选：C．
【点评】此题主要考查了列代数式，正确表示出乙的本数是解题关键．
2．（2022•杭州）某体育比赛的门票分A票和B票两种，A票每张x元，B票每张y元．已知10张A票的
总价与19张B票的总价相差320元，则（ ）
A．| |＝320 B．| |＝320
C．|10x﹣19y|＝320 D．|19x﹣10y|＝320
【分析】直接利用10张A票的总价与19张B票的总价相差320元，得出等式求出答案．
【解答】解：由题意可得：|10x﹣19y|＝320．
故选：C．
【点评】此题主要考查了列代数式，正确表示出两种门票的费用是解题关键．
二．代数式求值（共3小题）
3．（2022•六盘水）已知（x+y）4＝a x4+a x3y+a x2y2+a xy3+a y4，则a +a +a +a +a 的值是（ ）
1 2 3 4 5 1 2 3 4 5
A．4 B．8 C．16 D．32
【分析】通过计算（x+y）4可得a ，a ，a ，a ，a 的值，再求解此题结果即可．
1 2 3 4 5
【解答】解：∵（x+y）4＝x4+4x3y+6x2y2+4xy3+y4，
∴a +a +a +a +a
1 2 3 4 5
＝1+4+6+4+1
＝16，
故选：C．
【点评】此题考查了整式乘法的综合运用能力，关键是能进行整式乘法的准确计算．
4．（2022•岳阳）已知a2﹣2a+1＝0，求代数式a（a﹣4）+（a+1）（a﹣1）+1的值．【分析】先化简所求的式子，再结合已知求解即可．
【解答】解：a（a﹣4）+（a+1）（a﹣1）+1
＝a2﹣4a+a2﹣1+1
＝2a2﹣4a
＝2（a2﹣2a），
∵a2﹣2a+1＝0，
∴a2﹣2a＝﹣1，
∴原式＝2×（﹣1）＝﹣2．
【点评】本题考查代数式的运算，熟练掌握单项式乘多项式，平方差公式是解题的关键．
5．（2022•苏州）已知3x2﹣2x﹣3＝0，求（x﹣1）2+x（x+ ）的值．
【分析】直接利用整式的混合运算法则化简，进而合并同类项，再结合已知代入得出答案．
【解答】解：原式＝x2﹣2x+1+x2+ x
＝2x2﹣ x+1，
∵3x2﹣2x﹣3＝0，
∴x2﹣ x＝1，
∴原式＝2（x2﹣ x）+1
＝2×1+1
＝3．
【点评】此题主要考查了代数式求值，正确将原式变形是解题关键．
三．同类项（共1小题）
6．（2022•湘潭）下列整式与ab2为同类项的是（ ）
A．a2b B．﹣2ab2 C．ab D．ab2c
【分析】根据同类项的定义，所含字母相同，相同字母的指数也相同，即可判断．
【解答】解：在a2b，﹣2ab2，ab，ab2c四个整式中，与ab2为同类项的是：﹣2ab2，
故选：B．
【点评】本题考查了同类项，熟练掌握同类项的定义是解题的关键．
四．合并同类项（共2小题）
7．（2022•西藏）下列计算正确的是（ ）A．2ab﹣ab＝ab B．2ab+ab＝2a2b2
C．4a3b2﹣2a＝2a2b D．﹣2ab2﹣a2b＝﹣3a2b2
【分析】根据合并同类项法则进行一一计算．
【解答】解：A、2ab﹣ab＝（2﹣1）ab＝ab，计算正确，符合题意；
B、2ab+ab＝（2+1）ab＝3ab，计算不正确，不符合题意；
C、4a3b2与﹣2a不是同类项，不能合并，计算不正确，不符合题意；
D、﹣2ab2与﹣a2b不是同类项，不能合并，计算不正确，不符合题意．
故选：A．
【点评】本题主要考查了合并同类项．合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字
母和字母的指数不变．
8．（2022•荆州）化简a﹣2a的结果是（ ）
A．﹣a B．a C．3a D．0
【分析】利用合并同类项的法则进行求解即可．
【解答】解：a﹣2a＝（1﹣2）a＝﹣a．
故选：A．
【点评】本题主要考查合并同类项，解答的关键是对合并同类项的法则的掌握．
五．规律型：数字的变化类（共6小题）
9．（2022•西藏）按一定规律排列的一组数据： ，﹣ ， ，﹣ ， ，﹣ ，…．则按此规律排列
的第10个数是（ ）
A．﹣ B． C．﹣ D．
【分析】把第3个数转化为： ，不难看出分子是从1开始的奇数，分母是n2+1，且奇数项是正，偶数项
是负，据此即可求解．
【解答】解：原数据可转化为： ，﹣ ， ，﹣ ， ，﹣ ，…，
∴ ＝（﹣1）1+1× ，
﹣ ＝（﹣1）2+1× ，＝（﹣1）3+1× ，
..．
∴第n个数为：（﹣1）n+1 ，
∴第10个数为：（﹣1）10+1× ＝﹣ ．
故选：A．
【点评】本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是由所给的数总结出存在的规律．
10．（2022•新疆）将全体正偶数排成一个三角形数阵：
按照以上排列的规律，第10行第5个数是（ ）
A．98 B．100 C．102 D．104
【分析】由三角形的数阵知，第n行有n个偶数，则得出前9行有45个偶数，且第45个偶数为90，得出
第10行第5个数即可．
【解答】解：由三角形的数阵知，第n行有n个偶数，
则得出前9行有1+2+3+4+5+6+7+8+9＝45个偶数，
∴第9行最后一个数为90，
∴第10行第5个数是90+2×5＝100，
故选：B．
【点评】本题主要考查数字的变化规律，根据数字的变化得出第9行最后一个数字是解题的关键．
11．（2022•云南）按一定规律排列的单项式：x，3x2，5x3，7x4，9x5，……，第n个单项式是（ ）
A．（2n﹣1）xn B．（2n+1）xn C．（n﹣1）xn D．（n+1）xn
【分析】根据题目中的单项式，可以发现系数是一些连续的奇数，x的指数是一些连续的整数，从而可以
写出第n个单项式．【解答】解：∵单项式：x，3x2，5x3，7x4，9x5，…，
∴第n个单项式为（2n﹣1）xn，
故选：A．
【点评】本题考查数字的变化类、单项式，解答本题的关键是明确题意，发现单项式系数和字母指数的变
化特点．
12．（2022•鄂尔多斯）按一定规律排列的数据依次为 ， ， ， ……按此规律排列，则第30个数
是 ．
【分析】由所给的数，发现规律为第n个数是 ，当n＝30时即可求解．
【解答】解：∵ ， ， ， ……，
∴第n个数是 ，
当n＝30时， ＝ ＝ ，
故答案为： ．
【点评】本题考查数字的变化规律，能够通过所给的数，探索出数的一般规律是解题的关键．
13．（2022•嘉兴）设 是一个两位数，其中a是十位上的数字（1≤a≤9）．例如，当a＝4时， 表示
的两位数是45．
（1）尝试：
①当a＝1时，152＝225＝1×2×100+25；
②当a＝2时，252＝625＝2×3×100+25；
③当a＝3时，352＝1225＝ 3×4×100+2 5 ；
……
（2）归纳： 与100a（a+1）+25有怎样的大小关系？试说明理由．
（3）运用：若 与100a的差为2525，求a的值．【分析】（1）根据规律直接得出结论即可；
（2）根据 ＝（10a+5）（10a+5）＝100a2+100a+25＝100a（a+1）+25即可得出结论；
（3）根据题意列出方程求解即可．
【解答】解：（1）∵①当a＝1时，152＝225＝1×2×100+25；②当a＝2时，252＝625＝2×3×100+25；
∴③当a＝3时，352＝1225＝3×4×100+25，
故答案为：3×4×100+25；
（2） ＝100a（a+1）+25，理由如下：
＝（10a+5）（10a+5）＝100a2+100a+25＝100a（a+1）+25；
（3）由题知， ﹣100a＝2525，
即100a2+100a+25﹣100a＝2525，
解得a＝5或﹣5（舍去），
∴a的值为5．
【点评】本题主要考查数字的变化规律，根据数字的变化规律得出 ＝100a（a+1）+25的结论是解题的
关键．
14．（2022•安徽）观察以下等式：
第1个等式：（2×1+1）2＝（2×2+1）2﹣（2×2）2，
第2个等式：（2×2+1）2＝（3×4+1）2﹣（3×4）2，
第3个等式：（2×3+1）2＝（4×6+1）2﹣（4×6）2，
第4个等式：（2×4+1）2＝（5×8+1）2﹣（5×8）2，
……
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第5个等式： （ 2×5+ 1 ） 2 ＝（ 6×10+ 1 ） 2 ﹣（ 6×1 0 ） 2 ；
（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明．
【分析】（1）根据题目中等式的特点，可以写出第5个等式；
（2）根据题目中等式的特点，可以写出猜想，然后将等式左边和右边展开，看是否相等，即可证明猜想．
【解答】解：（1）因为第1个等式：（2×1+1）2＝（2×2+1）2﹣（2×2）2，
第2个等式：（2×2+1）2＝（3×4+1）2﹣（3×4）2，
第3个等式：（2×3+1）2＝（4×6+1）2﹣（4×6）2，第4个等式：（2×4+1）2＝（5×8+1）2﹣（5×8）2，
第5个等式：（2×5+1）2＝（6×10+1）2﹣（6×10）2，
故答案为：（2×5+1）2＝（6×10+1）2﹣（6×10）2；
（2）第n个等式：（2n+1）2＝[（n+1）×2n+1]2﹣[（n+1）×2n]2，
证明：左边＝4n2+4n+1，
右边＝[（n+1）×2n]2+2×（n+1）×2n+12﹣[（n+1）×2n]2
＝4n2+4n+1，
∴左边＝右边．
∴等式成立．
【点评】本题考查数字的变化类、列代数式，解答本题的关键是明确题意，发现式子的变化特点，写出相
应的等式和猜想，并证明．
六．规律型：图形的变化类（共8小题）
15．（2022•济宁）如图，用相同的圆点按照一定的规律拼出图形．第一幅图 4个圆点，第二幅图7个圆点，
第三幅图10个圆点，第四幅图13个圆点……按照此规律，第一百幅图中圆点的个数是（ ）
A．297 B．301 C．303 D．400
【分析】首先根据前几个图形圆点的个数规律即可发现规律，从而得到第100个图摆放圆点的个数．
【解答】解：观察图形可知：
摆第1个图案需要4个圆点，即4+3×0；
摆第2个图案需要7个圆点，即4+3＝4+3×1；
摆第3个图案需要10个圆点，即4+3+3＝4+3×2；
摆第4个图案需要13个圆点，即4+3+3+3＝4+3×3；
…
第n个图摆放圆点的个数为：4+3（n﹣1）＝3n+1，
∴第100个图放圆点的个数为：3×100+1＝301．
故选：B．
【点评】本题主要考查图形的变化规律，解答的关键是由所给的图形总结出存在的规律．16．（2022•广州）如图，用若干根相同的小木棒拼成图形，拼第1个图形需要6根小木棒，拼第2个图形
需要14根小木棒，拼第3个图形需要22根小木棒……若按照这样的方法拼成的第n个图形需要2022根小
木棒，则n的值为（ ）
A．252 B．253 C．336 D．337
【分析】根据图形特征，第1个图形需要6根小木棒，第2个图形需要6×2+2＝14根小木棒，第3个图形
需要6×3+2×2＝22根小木棒，按此规律，得出第n个图形需要的小木棒根数即可．
【解答】解：由题意知，第1个图形需要6根小木棒，
第2个图形需要6×2+2＝14根小木棒，
第3个图形需要6×3+2×2＝22根小木棒，
按此规律，第n个图形需要6n+2（n﹣1）＝（8n﹣2）根小木棒，
当8n﹣2＝2022时，
解得n＝253，
故选：B．
【点评】本题主要考查了图形的变化规律，解决问题的关键是由特殊找到规律：第n个图形需要（8n﹣2）
根小木棒是解题的关键．
17．（2022•玉林）如图的电子装置中，红黑两枚跳棋开始放置在边长为2的正六边形ABCDEF的顶点A
处．两枚跳棋跳动规则是：红跳棋按顺时针方向 1秒钟跳1个顶点，黑跳棋按逆时针方向3秒钟跳1个顶
点，两枚跳棋同时跳动，经过2022秒钟后，两枚跳棋之间的距离是（ ）
A．4 B．2 C．2 D．0
【分析】分别计算红跳棋和黑跳棋过2022秒钟后的位置，红跳棋跳回到A点，黑跳棋跳到F点，可得结论．
【解答】解：∵红跳棋从A点按顺时针方向1秒钟跳1个顶点，∴红跳棋每过6秒返回到A点，
2022÷6＝337，
∴经过2022秒钟后，红跳棋跳回到A点，
∵黑跳棋从A点按逆时针方向3秒钟跳1个顶点，
∴黑跳棋每过18秒返回到A点，
2022÷18＝112•••6，
∴经过2022秒钟后，黑跳棋跳到E点，
连接AE，过点F作FM⊥AE，
由题意可得：AF＝AE＝2，∠AFE＝120°，
∴∠FAE＝30°，
在Rt△AFM中，AM＝ AF＝ ，
∴AE＝2AM＝2 ，
∴经过2022秒钟后，两枚跳棋之间的距离是2 ．
故选：B．
【点评】本题考查了正六边形和两动点运动问题，根据方向和速度确定经过2022秒钟后两枚跳棋的位置是
解本题的关键．
18．（2022•荆州）如图，已知矩形ABCD的边长分别为a，b，进行如下操作：第一次，顺次连接矩形
ABCD各边的中点，得到四边形A B C D ；第二次，顺次连接四边形A B C D 各边的中点，得到四边形
1 1 1 1 1 1 1 1
A B C D ；…如此反复操作下去，则第n次操作后，得到四边形A B D 的面积是（ ）
2 2 2 2 n n n n
∁A． B． C． D．
【分析】连接A C ，D B ，可知四边形A B C D 的面积为矩形ABCD面积的一半，则S ＝ ab，再根据三
1 1 1 1 1 1 1 1 1
角形中位线定理可得C D ＝ C ，A D ＝ B D ，则S ＝ C × B D ＝ ab，依此可得规律．
2 2 1 2 2 1 1 2 1 1 1
【解答】解：如图，连接A C ，D B ，
1 1 1 1
∵顺次连接矩形ABCD各边的中点，得到四边形A B C D ，
1 1 1 1
∴四边形A BCC 是矩形，
1 1
∴A C ＝BC，A C ∥BC，
1 1 1 1
同理，B D ＝AB，B D ∥AB，
1 1 1 1
∴A C ⊥B D ，
1 1 1 1
∴S ＝ ab，
1
∵顺次连接四边形A B C D 各边的中点，得到四边形A B C D ，
1 1 1 1 2 2 2 2
∴C D ＝ C ，A D ＝ B D ，
2 2 1 2 2 1 1
∴S ＝ C × B D ＝ ab，
2 1 1 1
……
依此可得S ＝ ，
n
故选：A．
【点评】本题主要考查了矩形的性质，三角形中位线定理等知识，通过计算S 、S 发现规律是解决问题的
1 2
关键．
19．（2022•重庆）用正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有5个正方形，第②个图案中有9个正方形，第③个图案中有13个正方形，第④个图案中有17个正方形，此规律排列下去，则第⑨
个图案中正方形的个数为（ ）
A．32 B．34 C．37 D．41
【分析】根据图形的变化规律得出第n个图形中有4n+1个正方形即可．
【解答】解：由题知，第①个图案中有5个正方形，
第②个图案中有9个正方形，
第③个图案中有13个正方形，
第④个图案中有17个正方形，
…，
第n个图案中有4n+1个正方形，
∴第⑨个图案中正方形的个数为4×9+1＝37，
故选：C．
【点评】本题主要考查图形的变化规律，根据图形的变化得出第n个图形中有4n+1个正方形是解题的关键．
20．（2022•重庆）把菱形按照如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个菱形，第②个图案中有
3个菱形，第③个图案中有5个菱形，…，按此规律排列下去，则第⑥个图案中菱形的个数为（ ）
A．15 B．13 C．11 D．9
【分析】根据前面三个图案中菱形的个数，得出规律，第n个图案中菱形有（2n﹣1）个，从而得出答案．
【解答】解：由图形知，第①个图案中有1个菱形，
第②个图案中有3个菱形，即1+2＝3，
第③个图案中有5个菱形即1+2+2＝5，
……
则第n个图案中菱形有1+2（n﹣1）＝（2n﹣1）个，
∴第⑥个图案中有2×6﹣1＝11个菱形，
故选：C．
【点评】本题主要考查了图形的变换规律，归纳出第n个图案中菱形的个数为2n﹣1，是解题的关键．，体现了从特殊到一般的数学思想．
21．（2022•青海）木材加工厂将一批木料按如图所示的规律依次摆放，则第 n个图中共有木料
根．
【分析】观察图形可得：第n个图形最底层有n根木料，据此可得答案．
【解答】解：由图可知：
第一个图形有木料1根，
第二个图形有木料1+2＝3（根），
第三个图形有木料1+2+3＝6（根），
第四个图形有木料1+2+3+4＝10（根），
.....．
第n个图有木料1+2+3+4+......+n＝ （根），
故答案为： ．
【点评】本题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，得出数字之间的变化规律是解题的关键．
22．（2022•聊城）如图，线段AB＝2，以AB为直径画半圆，圆心为A ，以AA 为直径画半圆①；取A B
1 1 1
的中点A ，以A A 为直径画半圆②；取A B的中点A ，以A A 为直径画半圆③…按照这样的规律画下去，
2 1 2 2 3 2 3
大半圆内部依次画出的8个小半圆的弧长之和为 ．
π
【分析】由AB＝2，可得半圆①弧长为 ，半圆②弧长为（ ）2 ，半圆③弧长为（ ）3 ，......半圆
π π π⑧弧长为（ ）8 ，即可得8个小半圆的弧长之和为 +（ ）2 +（ ）3 +...+（ ）8 ＝ ．
【解答】解：∵AπB＝2， π π π π π
∴AA ＝1，半圆①弧长为 ＝ ，
1
π
同理A A ＝ ，半圆②弧长为 ＝（ ）2 ，
1 2
π
A A ＝ ，半圆③弧长为 ＝（ ）3 ，
2 3
.....． π
半圆⑧弧长为 ＝（ ）8 ，
π
∴8个小半圆的弧长之和为 +（ ）2 +（ ）3 +...+（ ）8 ＝ ．
π π π π π
故答案为： ．
【点评】本题考查π 图形的变化类规律，解题的关键是掌握圆的周长公式和找到弧长的变化规律．
七．单项式（共1小题）
23．（2022•攀枝花）下列各式不是单项式的为（ ）
A．3 B．a C． D． x2y
【分析】根据单项式的概念判断即可．
【解答】解：A、3是单项式，故本选项不符合题意；
B、a是单项式，故本选项不符合题意；
C、 不是单项式，故本选项符合题意；
D、 x2y是单项式，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查的是单项式的概念，数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单
项式．
八．整式的加减（共1小题）24．（2022•吉林）下面是一道例题及其解答过程的一部分，其中A是关于m的多项式．请写出多项式A，
并将该例题的解答过程补充完整．
例：先去括号，再合并同类项：m（A）﹣6（m+1）．
解：m（A）﹣6（m+1）
＝m2+6m﹣6m﹣6
＝ m 2 ﹣ 6 ．
【分析】根据题意合并同类项即可．
【解答】解：由题知，m（A）﹣6（m+1）
＝m2+6m﹣6m﹣6
＝m2﹣6，
∵m2+6m＝m（m+6），
∴A为：m+6，
故答案为：m2﹣6．
【点评】本题主要考查整式的加减，熟练掌握整式的运算是解题的关键．
九．同底数幂的乘法（共3小题）
25．（2022•淮安）计算a2•a3的结果是（ ）
A．a2 B．a3 C．a5 D．a6
【分析】直接利用同底数幂的乘法运算法则计算得出答案．
【解答】解：a2•a3＝a5．
故选：C．
【点评】此题主要考查了同底数幂的乘法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
26．（2022•镇江）下列运算中，结果正确的是（ ）
A．3a2+2a2＝5a4 B．a3﹣2a3＝a3
C．a2•a3＝a5 D．（a2）3＝a5
【分析】直接利用合并同类项法则以及同底数幂的乘法运算法则、幂的乘方运算法则分别化简，进而得出
答案．
【解答】解：A.3a2+2a2＝5a2，故此选项不合题意；
B．a3﹣2a3＝﹣a3，故此选项不合题意；
C．a2•a3＝a5，故此选项符合题意；
D．（a2）3＝a6，故此选项不合题意；
故选：C．
【点评】此题主要考查了合并同类项以及同底数幂的乘法运算、幂的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
27．（2022•朝阳）下列运算正确的是（ ）
A．a8÷a4＝a2 B．4a5﹣3a5＝1 C．a3•a4＝a7 D．（a2）4＝a6
【分析】分别根据同底数幂的乘除法法则，合并同类项的法则，幂的乘方的运算法则，逐一判断即可．
【解答】解：A．a8÷a4＝a4，故本选项不合题意；
B．4a5﹣3a5＝a5，故本选项不合题意；
C．a3•a4＝a7，故本选项符合题意；
D（a2）4＝a8，故本选项不合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了同底数幂的乘除法法则，合并同类项的法则，幂的乘方的运算法则，解题的关键是熟
记相关法则并灵活运用．
一十．幂的乘方与积的乘方（共1小题）
28．（2022•淄博）计算（﹣2a3b）2﹣3a6b2的结果是（ ）
A．﹣7a6b2 B．﹣5a6b2 C．a6b2 D．7a6b2
【分析】先根据积的乘方法则计算，再合并同类项．
【解答】解：原式＝4a6b2﹣3a6b2＝a6b2，
故选：C．
【点评】本题主要考查了积的乘方，合并同类项，关键是熟记法则．
一十一．同底数幂的除法（共3小题）
29．（2022•巴中）下列运算正确的是（ ）
A． ＝﹣2 B．（ ）﹣1＝﹣
C．（a2）3＝a6 D．a8÷a4＝a2（a≠0）
【分析】根据算术平方根及负整数指数幂、幂的乘方、同底数幂的除法依次计算判断即可．
【解答】解：A、 ，选项错误，不符合题意；
B、 ，选项错误，不符合题意；
C、（a2）3＝a6，选项正确，符合题意；
D、a8÷a4＝a4（a≠0），选项错误，不符合题意；
故选：C．
【点评】此题主要考查算术平方根及负整数指数幂、幂的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握各个运算法则是解题关键．
30．（2022•徐州）下列计算正确的是（ ）
A．a2•a6＝a8 B．a8÷a4＝a2
C．2a2+3a2＝6a4 D．（﹣3a）2＝﹣9a2
【分析】利用同底数幂的乘法，同底数幂的除法，合并同类项法则和幂的乘方与积的乘方的法则对每个选
项进行逐一判断即可得出结论．
【解答】解：∵a2•a6＝a2+6＝a8，
∴A选项的结论符合题意；
∵a8÷a4＝a8﹣4＝a4，
∴B选项的结论不符合题意；
∵2a2+3a2＝5a2，
∴C选项的结论不符合题意；
∵（﹣3a）2＝9a2，
∴D选项的结论不符合题意，
故选：A．
【点评】本题主要考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，合并同类项法则和幂的乘方与积的乘方的法
则，熟练掌握上述法则是解题的关键．
31．（2022•黄石）下列运算正确的是（ ）
A．a9﹣a7＝a2 B．a6÷a3＝a2
C．a2•a3＝a6 D．（﹣2a2b）2＝4a4b2
【分析】根据合并同类项法则，同底数幂的乘除运算法则以及积的乘方运算法则即可求出答案．
【解答】解：A．a9与a7不是同类项，所以不能合并，故A不符合题意
B．原式＝a3，故B不符合题意
C．原式＝a5，故C不符合题意
D．原式＝4a4b2，故D符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查合并同类项法则，同底数幂的乘处法法则以及积的乘方运算法则，本题属于基础题型．
一十二．单项式乘单项式（共1小题）
32．（2022•梧州）（1）计算： ﹣5+（﹣3）×（﹣2）2．
（2）化简：3a+2（a2﹣a）﹣2a•3a．
【分析】（1）根据算术平方根的性质，实数的运算法则解答即可；（2）根据整式的运算法则解答即可．
【解答】解：（1）原式＝3﹣5+（﹣3）×4
＝3﹣5﹣12
＝﹣14，
（2）原式＝3a+2a2﹣2a﹣6a2，
＝a﹣4a2．
【点评】本题主要考查了实数的运算和整式的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
一十三．完全平方公式（共3小题）
33．（2022•东营）下列运算结果正确的是（ ）
A．3x3+2x3＝5x6 B．（x+1）2＝x2+1
C．x8÷x4＝x2 D． ＝2
【分析】根据合并同类项法则，完全平方公式，同底数幂的除法法则，算术平方根的定义解答即可．
【解答】解：A、3x3+2x3＝5x3，原计算错误，故此选项不符合题意；
B、（x+1）2＝x2+2x+1，原计算错误，故此选项不符合题意；
C、x8÷x4＝x4，原计算错误，故此选项不符合题意；
D、 ＝2，原计算正确，故此选项符合题意．
故选：D．
【点评】此题主要考查了合并同类项、完全平方公式、同底数幂的除法、算术平方根，解题的关键是掌握
合并同类项法则，完全平方公式，同底数幂的除法法则，算术平方根的定义．
34．（2022•资阳）下列计算正确的是（ ）
A．2a+3b＝5ab B．（a+b）2＝a2+b2
C．a2×a＝a3 D．（a2）3＝a5
【分析】根据合并同类项法则，完全平方公式，同底数幂的乘法法则以及幂的乘方运算法则即可求出答案．
【解答】解：A．2a与3b不是同类项，所以不能合并，故A不符合题意
B．（a+b）2＝a2+2ab+b2，故B不符合题意
C．a2×a＝a3，故C符合题意
D．（a2 ）3＝a6，故D不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方，完全平方公式，熟练掌握相关运算法则及公
式，本题属于基础题型．35．（2022•荆门）已知x+ ＝3，求下列各式的值：
（1）（x﹣ ）2；
（2）x4+ ．
【分析】（1）利用完全平方公式的特征得到：（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab，用上述关系式解答即可；
（2）将式子用完全平方公式的特征变形后，利用整体代入的方法解答即可．
【解答】解：（1）∵ ＝ ，
∴ ＝
＝
＝ ﹣4x•
＝32﹣4
＝5；
（2）∵ ＝ ，
∴
＝ +2
＝5+2
＝7，
∵ ＝ ，∴
＝ ﹣2
＝49﹣2
＝47．
【点评】本题主要考查了求代数式的值，完全平方公式的应用，利用完全平方公式的特征将所求的式子进
行适当变形是解题的关键．
一十四．平方差公式（共2小题）
36．（2022•六盘水）如图，学校劳动实践基地有两块边长分别为a，b的正方形秧田A，B，其中不能使用
的面积为M．
（1）用含a，M的代数式表示A中能使用的面积 a 2 ﹣ M ；
（2）若a+b＝10，a﹣b＝5，求A比B多出的使用面积．
【分析】（1）根据面积之间的关系，从边长为a的正方形面积中，减去不能使用的面积M即可；
（2）用代数式表示A比B多出的使用面积，再利用平方差公式进行计算即可．
【解答】解：（1）A中能使用的面积＝大正方形的面积﹣不能使用的面积，
即a2﹣M，
故答案为：a2﹣M；
（2）A比B多出的使用面积为：（a2﹣M）﹣（b2﹣M）
＝a2﹣b2
＝（a+b）（a﹣b）
＝10×5
＝50，
答：A比B多出的使用面积为50．
【点评】本题考查列代数式，掌握图形面积的计算方法以及面积之间的和差关系是正确解答的前提．37．（2022•常州）计算：
（1）（ ）2﹣（ ﹣3）0+3﹣1；
π
（2）（x+1）2﹣（x﹣1）（x+1）．
【分析】（1）利用实数的运算法则、零指数幂的性质、负整数指数幂的性质分别化简得出答案；
（2）利用完全平方公式，以及平方差公式化简，去括号合并即可得出答案．
【解答】解：（1）原式＝2﹣1+
＝ ；
（2）原式＝（x2+2x+1）﹣（x2﹣1）
＝x2+2x+1﹣x2+1
＝2x+2．
【点评】此题主要考查了整式的运算、实数运算，正确掌握相关运算法则是解题的关键．
一十五．整式的混合运算—化简求值（共3小题）
38．（2022•安顺）（1）计算：（﹣1）2+（ ﹣3.14）0+2sin60°+|1﹣ |﹣ ．
π
（2）先化简，再求值：（x+3）2+（x+3）（x﹣3）﹣2x（x+1），其中x＝ ．
【分析】（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答；
（2）先去括号，再合并同类项，然后把x的值代入化简后的式子，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）（﹣1）2+（ ﹣3.14）0+2sin60°+|1﹣ |﹣
π
＝1+1+2× + ﹣1﹣2
＝2+ + ﹣1﹣2
＝1；
（2）（x+3）2+（x+3）（x﹣3）﹣2x（x+1）
＝x2+6x+9+x2﹣9﹣2x2﹣2x
＝4x，
当x＝ 时，原式＝4× ＝2．
【点评】本题考查了整式的混合运算﹣化简求值，实数的运算，零指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
39．（2022•盐城）先化简，再求值：（x+4）（x﹣4）+（x﹣3）2，其中x2﹣3x+1＝0．
【分析】根据平方差公式、完全平方公式、合并同类项法则把原式化简，整体代入即可．
【解答】解：原式＝x2﹣16+x2﹣6x+9
＝2x2﹣6x﹣7，
∵x2﹣3x+1＝0，
∴x2﹣3x＝﹣1，
∴2x2﹣6x＝﹣2，
∴原式＝﹣2﹣7＝﹣9．
【点评】本题考查的是整式的化简求值，掌握平方差公式、完全平方公式、合并同类项法则、灵活运用整
体思想是解题的关键．
40．（2022•广西）先化简，再求值：（x+y）（x﹣y）+（xy2﹣2xy）÷x，其中x＝1，y＝ ．
【分析】根据平方差公式和多项式除以单项式，可以将题目中的式子化简，然后将 x、y的值代入化简后的
式子计算即可．
【解答】解：（x+y）（x﹣y）+（xy2﹣2xy）÷x
＝x2﹣y2+y2﹣2y
＝x2﹣2y，
当x＝1，y＝ 时，原式＝12﹣2× ＝0．
【点评】本题考查整式的混合运算—化简求值，解答本题的关键是明确整式混合运算的运算法则，注意平
方差公式的应用．
一十六．因式分解的意义（共2小题）
41．（2022•济宁）下面各式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A．x2﹣x﹣1＝x（x﹣1）﹣1 B．x2﹣1＝（x﹣1）2
C．x2﹣x﹣6＝（x﹣3）（x+2） D．x（x﹣1）＝x2﹣x
【分析】根据因式分解的定义判断即可．
【解答】解：A选项不是因式分解，故不符合题意；
B选项计算错误，故不符合题意；
C选项是因式分解，故符合题意；
D选项不是因式分解，故不符合题意；
故选：C．【点评】本题主要考查因式分解的知识，熟练掌握因式分解的定义是解题的关键．
42．（2022•永州）下列因式分解正确的是（ ）
A．ax+ay＝a（x+y）+1 B．3a+3b＝3（a+b）
C．a2+4a+4＝（a+4）2 D．a2+b＝a（a+b）
【分析】根据因式分解的定义和因式分解常用的两种方法：提公因式法和公式法判断即可．
【解答】解：A选项，ax+ay＝a（x+y），故该选项不符合题意；
B选项，3a+3b＝3（a+b），故该选项符合题意；
C选项，a2+4a+4＝（a+2）2，故该选项不符合题意；
D选项，a2与b没有公因式，故该选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了因式分解的意义，掌握a2+2ab+b2＝（a+b）2是解题的关键．
一十七．因式分解-提公因式法（共3小题）
43．（2022•青海）下列运算正确的是（ ）
A．3x2+4x3＝7x5 B．（x+y）2＝x2+y2
C．（2+3x）（2﹣3x）＝9x2﹣4 D．2xy+4xy2＝2xy（1+2y）
【分析】利用合并同类项法则、完全平方公式、平方差公式、提公因式法分别计算各题，根据计算结果得
结论．
【解答】解：A．3x2与4x3不是同类项不能加减，故选项A计算不正确；
B．（x+y）2＝x2+2xy+y2≠x2+y2，故选项B计算不正确；
C．（2+3x）（2﹣3x）＝4﹣9x2≠9x2﹣4，故选项C计算不正确；
D．2xy+4xy2＝2xy（1+2y），故选项D计算正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查了整式的运算，掌握整式的运算法则和整式的提取公因式法是解决本题的关键．
44．（2022•柳州）把多项式a2+2a分解因式得（ ）
A．a（a+2） B．a（a﹣2） C．（a+2）2 D．（a+2）（a﹣2）
【分析】直接提取公因式a，进而分解因式得出答案．
【解答】解：a2+2a＝a（a+2）．
故选：A．
【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
45．（2022•广州）分解因式：3a2﹣21ab＝ 3 a （ a ﹣ 7 b ） ．
【分析】直接提取公因式3a，进而分解因式得出答案．【解答】解：3a2﹣21ab＝3a（a﹣7b）．
故答案为：3a（a﹣7b）．
【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
一十八．因式分解-运用公式法（共4小题）
46．（2022•荆门）对于任意实数a，b，a3+b3＝（a+b）（a2﹣ab+b2）恒成立，则下列关系式正确的是（
）
A．a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2）
B．a3﹣b3＝（a+b）（a2+ab+b2）
C．a3﹣b3＝（a﹣b）（a2﹣ab+b2）
D．a3﹣b3＝（a+b）（a2+ab﹣b2）
【分析】把所给公式中的b换成﹣b，进行计算即可解答．
【解答】解：∵a3+b3＝（a+b）（a2﹣ab+b2），
∴a3﹣b3
＝a3+（﹣b3）
＝a3+（﹣b）3
＝[a+（﹣b）][（a2﹣a•（﹣b）+（﹣b）2]
＝（a﹣b）（a2+ab+b2）
故选：A．
【点评】本题考查了因式分解﹣运用公式法，把所给公式中的b换成﹣b是解题的关键．
47．（2022•河池）多项式x2﹣4x+4因式分解的结果是（ ）
A．x（x﹣4）+4 B．（x+2）（x﹣2） C．（x+2）2 D．（x﹣2）2
【分析】原式利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：原式＝（x﹣2）2．
故选：D．
【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
48．（2022•菏泽）分解因式：x2﹣9y2＝ （ x ﹣ 3 y ）（ x + 3 y ） ．
【分析】直接利用平方差公式分解因式得出答案．
【解答】解：原式＝（x﹣3y）（x+3y）．
故答案为：（x﹣3y）（x+3y）．
【点评】此题主要考查了公式法分解因式，正确运用平方差公式分解因式是解题关键．
49．（2022•绥化）因式分解：（m+n）2﹣6（m+n）+9＝ （ m + n ﹣ 3 ） 2 ．【分析】将m+n看作整体，利用完全平方公式即可得出答案．
【解答】解：原式＝（m+n）2﹣2•（m+n）•3+32
＝（m+n﹣3）2．
故答案为：（m+n﹣3）2．
【点评】本题考查了因式分解﹣运用公式法，考查整体思想，掌握a2±2ab+b2＝（a±b）2是解题的关键．
一十九．提公因式法与公式法的综合运用（共3小题）
50．（2022•绵阳）因式分解：3x3﹣12xy2＝ 3 x （ x + 2 y ）（ x ﹣ 2 y ） ．
【分析】先提取公因式，再套用平方差公式．
【解答】解：原式＝3x（x2﹣4y2）
＝3x（x+2y）（x﹣2y）．
故答案为：3x（x+2y）（x﹣2y）．
【点评】本题考查了整式的因式分解，掌握因式分解的提公因式法和公式法是解决本题的关键．
51．（2022•丹东）因式分解：2a2+4a+2＝ 2 （ a + 1 ） 2 ．
【分析】原式提取2，再利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：原式＝2（a2+2a+1）
＝2（a+1）2．
故答案为：2（a+1）2．
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
52．（2022•沈阳）因式分解：ay2+6ay+9a＝ a （ y + 3 ） 2 ．
【分析】首先提取公因式a，进而利用完全平方公式分解因式得出即可．
【解答】解：ay2+6ay+9a
＝a（y2+6y+9）
＝a（y+3）2．
故答案为：a（y+3）2．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用完全平方公式是解题关键．
二十．因式分解-十字相乘法等（共1小题）
53．（2022•台湾）多项式39x2+5x﹣14可因式分解成（3x+a）（bx+c），其中a、b、c均为整数，求a+2c
之值为何？（ ）
A．﹣12 B．﹣3 C．3 D．12
【分析】根据十字相乘法可以将多项式39x2+5x﹣14分解因式，然后再根据多项式39x2+5x﹣14可因式分解
成（3x+a）（bx+c），即可得到a、b、c的值，然后计算出a+2c的值即可．【解答】解：∵39x2+5x﹣14＝（3x+2）（13x﹣7），多项式 39x2+5x﹣14 可因式分解成（3x+a）
（bx+c），
∴a＝2，b＝13，c＝﹣7，
∴a+2c
＝2+2×（﹣7）
＝2+（﹣14）
＝﹣12，
故选：A．
【点评】本题考查因式分解—十字相乘法，解答本题的关键是明确题意，会用十字相乘法分解因式．
二十一．因式分解的应用（共5小题）
54．（2022•广安）已知a+b＝1，则代数式a2﹣b2+2b+9的值为 1 0 ．
【分析】方法一：直接将a2﹣b2进行因式分解为（a+b）（a﹣b），再根据a+b＝1，可得a2﹣b2＝a﹣b，
由此可得原式＝a+b+9＝10．
方法二：将原式分为三部分，即a2﹣（b2﹣2b+1）+10，把前两部分利用平方差进行因式分解，其中得到
一因式a+b﹣1＝0．从而得出原式的值．
【解答】方法一：解：∵a2﹣b2+2b+9
＝（a+b）（a﹣b）+2b+9
又∵a+b＝1，
∴原式＝a﹣b+2b+9
＝a+b+9
＝10．
方法二：解：∵a2﹣b2+2b+9
＝a2﹣（b2﹣2b+1）+10
＝a2﹣（b﹣1）2+10
＝（a﹣b+1）（a+b﹣1）+10．
又∵a+b＝1，
∴原式＝10．
【点评】本题考查了因式分解应用，用到的知识为平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
55．（2022•西宁）八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
将2a﹣3ab﹣4+6b因式分解．
【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法：解法一：原式＝（2a﹣3ab）﹣（4﹣6b）
＝a（2﹣3b）﹣2（2﹣3b）
＝（2﹣3b）（a﹣2）
解法二：原式＝（2a﹣4）﹣（3ab﹣6b）
＝2（a﹣2）﹣3b（a﹣2）
＝（a﹣2）（2﹣3b）
【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式
法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求值及方
程、函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止）
【类比】（1）请用分组分解法将x2﹣a2+x+a因式分解；
【挑战】（2）请用分组分解法将ax+a2﹣2ab﹣bx+b2因式分解；
【应用】（3）“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，我们利用它验证了勾股定理．如图，“赵爽弦图”
是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间是一个小正方形．若直角三角形的两条直角边长分
别是a和b（a＞b），斜边长是3，小正方形的面积是1．
根据以上信息，先将a4﹣2a3b+2a2b2﹣2ab3+b4因式分解，再求值．
【分析】（1）用分组分解法将x2﹣a2+x+a因式分解即可；
（2）用分组分解法将ax+a2﹣2ab﹣bx+b2因式分解即可；
（3）先将a4﹣2a3b+2a2b2﹣2ab3+b4因式分解，再求值即可．
【解答】解：（1）原式＝（x2﹣a2）+（x+a）
＝（x+a）（x﹣a）+（x+a）
＝（x+a）（x﹣a+1）；
（2）原式＝（ax﹣bx）+（a2﹣2ab+b2）
＝x（a﹣b）+（a﹣b）2
＝（a﹣b）（x+a﹣b）；
（3）原式＝（a4+2a2b2+b4）﹣（2ab3+2a3b）
＝（a2+b2）2﹣2ab（a2+b2）
＝（a2+b2）（a2+b2﹣2ab）
＝（a2+b2）（a﹣b）2，∵直角三角形的两条直角边长分别是a和b（a＞b），斜边长是3，小正方形的面积是1，
∴a2+b2＝32＝9，（a﹣b）2＝1，
∴原式＝9．
【点评】本题主要考查因式分解的知识，熟练掌握因式分解的应用是解题的关键．
56．（2022•常州）第十四届国际数学教育大会（ICME﹣14）会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现
了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是
以 8 作为进位基数的数字系统，有 0～7 共 8 个基本数字．八进制数 3745 换算成十进制数是
3×83+7×82+4×81+5×80＝2021，表示ICME﹣14的举办年份．
（1）八进制数3746换算成十进制数是 202 2 ；
（2）小华设计了一个n进制数143，换算成十进制数是120，求n的值．
【分析】（1）根据已知，从个位数字起，将八进制的每一位数分别乘以 80，81，82，83，再把所得结果相
加即可得解；
（2）根据n进制数和十进制数的计算方法得到关于n的方程，解方程即可求解．
【解答】解：（1）3746＝3×83+7×82+4×81+6×80
＝1536+448+32+6
＝2022．
故八进制数字3746换算成十进制是2022．
故答案为：2022；
（2）依题意有：n2+4×n1+3×n0＝120，
解得n ＝9，n ＝﹣13（舍去）．
1 2
故n的值是9．
【点评】本题主要考查因式分解的应用，有理数的混合运算，解题的关键是弄清各个进制数转化为十进制
数的计算方法．
57．（2022•台湾）健康生技公司培养绿藻以制作「绿藻粉」，再经过后续的加工步骤，制成绿藻相关的
保健食品．已知该公司制作每1公克的「绿藻粉」需要60亿个绿藻细胞．
请根据上述信息回答下列问题，完整写出你的解题过程并详细解释：
（1）假设在光照充沛的环境下，1个绿藻细胞每20小时可分裂成4个绿藻细胞，且分裂后的细胞亦可继续分裂．今从1个绿藻细胞开始培养，若培养期间绿藻细胞皆未死亡且培养环境的光照充沛，经过 15天后，
共分裂成4k个绿藻细胞，则k之值为何？
（2）承（1），已知60亿介于232与233之间，请判断4k个绿藻细胞是否足够制作8公克的「绿藻粉」？
【分析】（1）由1个绿藻细胞每20小时可分裂成4个绿藻细胞，可知经过15天，即360小时，分裂成418
个绿藻细胞，故k之值为18；
（2）根据每1公克的「绿藻粉」需要60亿个绿藻细胞，60亿介于232与233之间，可得制作8公克的「绿
藻粉」需要60×8亿个绿藻细胞，且235＜60×8亿＜236，又418＝（22）18＝236，即得418个绿藻细胞足够制
作8公克的「绿藻粉」．
【解答】解：（1）15天＝15×24小时＝360小时，
∵1个绿藻细胞每20小时可分裂成4个绿藻细胞，
∴从1个绿藻细胞开始培养，经过20小时分裂成4个绿藻细胞，
经过20×2＝40（小时），分裂成42个绿藻细胞，
经过20×3＝60（小时），分裂成43个绿藻细胞，
.....．
经过20×18＝360（小时），分裂成418个绿藻细胞，
∴k之值为18；
（2）∵每1公克的「绿藻粉」需要60亿个绿藻细胞，
∴制作8公克的「绿藻粉」需要60×8亿个绿藻细胞，
∵60亿介于232与233之间，
∴232×8＜60×8亿＜233×8，即235＜60×8亿＜236，
而418＝（22）18＝236，
∴60×8亿＜418，
∴418个绿藻细胞足够制作8公克的「绿藻粉」．
【点评】本题考查有理数的乘方，解题的关键是读懂题意，根据已知找到规律求出k的值．
58．（2022•重庆）对于一个各数位上的数字均不为0的三位自然数N，若N能被它的各数位上的数字之和
m整除，则称N是m的“和倍数”．
例如：∵247÷（2+4+7）＝247÷13＝19，∴247是13的“和倍数”．
又如：∵214÷（2+1+4）＝214÷7＝30……4，∴214不是“和倍数”．
（1）判断357，441是否是“和倍数”？说明理由；
（2）三位数A是12的“和倍数”，a，b，c分别是数A其中一个数位上的数字，且a＞b＞c．在a，b，c中任选两个组成两位数，其中最大的两位数记为F（A），最小的两位数记为G（A），若
为整数，求出满足条件的所有数A．
【分析】（1）根据“和倍数”的定义依次判断即可；
（2）设 A＝ （a+b+c＝12，a＞b＞c），根据“和倍数”的定义表示 F（A）和 G（A），代入
中，根据 为整数可解答．
【解答】解：（1）∵357÷（3+5+7）＝357÷15＝23……12，
∴357不是“和倍数”；
∵441÷（4+4+1）＝441÷9＝49，
∴441是9的“和倍数”；
（2）设A＝ （a+b+c＝12，a＞b＞c），
由题意得：F（A）＝ ，G（A）＝ ，
∴ ＝ ＝ ＝ ，
∵a+c＝12﹣b， 为整数，
∴ ＝ ＝ ＝ ＝7+ （1﹣b），
∵1＜b＜9，
∴b＝3，5，7，
∴a+c＝9，7，5，
①当b＝3，a+c＝9时， （舍）， ，
则A＝732或372；
②当b＝5，a+c＝7时， ，
则A＝156或516；③当b＝7，a+c＝5时，此种情况没有符合的值；
综上，满足条件的所有数A为：732或372或156或516．
【点评】本题考查了新定义问题，根据新定义问题进行计算是解题关键．
