第02讲整式与因式分解（17个考点）（知识精讲）-冲刺2023年中考数学热点、重难点题型解题方法与策略+真题演练（通用版）（解析版）_中考复习资料_语数英物化_2数学中考复习_专项复习

第 02 讲 整式与因式分解（17 个考点） 【考纲要求】 1.整式部分主要考查幂的性质、整式的有关计算、乘法公式的运用，多以选择题、填空题的形式出现； 2.因式分解是中考必考内容，题型多以选择题和填空题为主，也常常渗透在一元二次方程和分式的化简中 进行考查. 【知识导图】【考点梳理】 考点一、整式 1. 单项式 数与字母的积的形式的代数式叫做单项式．单项式是代数式的一种特殊形式，它的特点是对字母来说 只含有乘法的运算，不含有加减运算．在含有除法运算时，除数(分母)只能是一个具体的数，可以看成分 数因数．单独一个数或一个字母也是单项式． 要点诠释： （1）单项式的系数是指单项式中的数字因数． （2）单项式的次数是指单项式中所有字母的指数和． 2.多项式 几个单项式的代数和叫做多项式．也就是说，多项式是由单项式相加或相减组成的． 要点诠释： （1）在多项式中，不含字母的项叫做常数项． （2）多项式中次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数． （3）多项式的次数是n次，有m个单项式，我们就把这个多项式称为n次m项式． （4）把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母降幂 排列．另外，把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母 升幂排列． 3.整式 单项式和多项式统称整式． 4.同类项 所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项，叫做同类项． 5.整式的加减 整式的加减其实是去括号法则与合并同类项法则的综合运用． 把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项.合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项 的系数的和，且字母部分不变. 如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负 数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反. 整式加减的运算法则：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项. 6.整式的乘除 ①幂的运算性质：②单项式相乘：两个单项式相乘，把系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母， 则连同它的指数作为积的一个因式． ③单项式与多项式相乘：单项式与多项式相乘，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加． 用式子表达： ④多项式与多项式相乘：一般地，多项式乘以多项式，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项 式的每一项，再把所得的积相加．用式子表达： 平方差公式： 完全平方公式： 在运用乘法公式计算时，有时要在式子中添括号，添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的 各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号. ⑤单项式相除：两个单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含 有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式． ⑥多项式除以单项式：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的 商相加． 要点诠释： （1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的有理数，也可以是单项式、多项式. （2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质， amanap amnp m, n, p 即 （ 都是正整数）. (am)n amn ((am)n)p amnp a0 m,n, p （3）公式 的推广： ( ， 均为正整数) (ab)n anbn (abc)n anbncn n （4）公式 的推广： ( 为正整数). 考点二、因式分解1. 因式分解 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解． 2.因式分解常用的方法 mambmc  m(abc) （1）提取公因式法： （2）运用公式法： a2 b2  (ab)(ab) a2 2abb2 (ab)2 平方差公式： ；完全平方公式： x2 (ab)xab  (xa)(xb) （3）十字相乘法： 3.因式分解的一般步骤 （1）如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式； （2）提出公因式或无公因式可提，再考虑可否运用公式或十字相乘法； （3）对二次三项式，应先尝试用十字相乘法分解，不行的再用求根公式法； （4）最后考虑用分组分解法及添、拆项法. 要点诠释： （1）因式分解的对象是多项式； （2）最终把多项式化成乘积形式； （3）结果要彻底，即分解到每个因式都不能再分解为止． a （4）十字相乘法分解思路为“看两端，凑中间”，二次项系数 一般都化为正数，如果是负数，则提 出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上. 【典型例题】 一．列代数式（共1小题） 1．（2021•罗湖区校级模拟）如图，数轴的单位长度为 1，点C，D表示的数互为相反数，结合数轴回答 下列问题： （1）请在数轴上标出原点O的位置． （2）直接写出点A，B，C，D所表示的数，并判断哪一点表示的数的平方最大，最大是多少？ （3）从A，B两题中任选一题作答． A．①若点F在数轴上，与点C的距离CF＝3.5，求点F表示的数； ②设动点P从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴的正方向匀速向终点 D运动，运动时间为t秒， 求点P，C之间的距离CP．（用含t的代数式表示） B．设点M，N都从点A出发沿数轴的正方向匀速向终点D运动．点M的速度为每秒2个单位长度，点N的速度为每秒5个单位长度，当点M运动到点B时点N开始运动，设点M运动的时间为t秒，求点M，N 之间的距离MN．（用含t的代数式表示） 【分析】（1）根据点C、D表示的数互为相反数即可确定原点的位置； （2）观察数轴即可写出各点所表示的数； （3）A．①根据数轴上两点之间的距离即可求解； ②根据数轴上两点之间的距离用含t的代数式即可表示； B．根据动点在数轴上的运动速度和时间，即可表示两点之间的距离． 【解答】解：（1）如图：即为原点的位置． （2）点A，B，C，D所表示的数为：﹣7、﹣5、﹣3、3． A点表示的数的平方最大，最大是49． （3）A．①﹣3+3.5＝0.5或﹣3﹣3.5＝﹣6.5； ②分三种情况： 因为点P以每秒3个单位长度的速度运动，运动时间是t， 所以点P运动的路程是3t， 当点P运动在点C左侧时，CP＝BC﹣PB＝2﹣3t． 当点P在点C重合时，CP＝0． 当点P运动在点C右侧时，CP＝PB﹣BC＝3t﹣2． B．结合点M点N在运动过程中的位置关系，分以下五种情况： ①当M运动，N不动时，MN之间的距离为2t； ②当点N追上点M前， 因为点M运动2t，点N运动5（t﹣1）， 所以点M，N之间的距离：MN＝2t﹣5（t﹣1）＝﹣3t+5； ③当点N追上点M时，MN＝0； ④当点N超过点M到达终点D前，MN＝5（t﹣1）﹣2t＝3t﹣5； ⑤当点N到达终点D，而点M向终点D运动时，MN＝10﹣2t． 【点评】本题考查了数轴、列代数式，解决本题的关键是运用代数式表示数轴上两点之间的距离． 二．代数式求值（共2小题） 2．（2022•广东四模）若代数式x﹣2y+2的值是5，则代数式2x﹣4y+1的值是（ ）A．4 B．7 C．5 D．不能确定 【分析】首先根据x﹣2y+2＝5，求出x﹣2y的值；然后把2x﹣4y+1化成2（x﹣2y）+1，再把x﹣2y的值代 入计算即可． 【解答】解：∵x﹣2y+2＝5， ∴x﹣2y＝3， ∴2x﹣4y+1 ＝2（x﹣2y）+1 ＝2×3+1 ＝6+1 ＝7． 故选：B． 【点评】此题主要考查了代数式求值问题，求代数式的值可以直接代入计算．如果给出的代数式可以化简， 要先化简再求值．题型简单总结以下三种：①已知条件不化简，所给代数式化简；②已知条件化简，所 给代数式不化简；③已知条件和所给代数式都要化简． 3．（2022•北京模拟）已知a2﹣8＝3a，代数式3（a﹣1）2﹣3（a+1）的值为 2 4 ． 【分析】原式利用完全平方公式化简，去括号合并得到最简结果，把已知等式变形后代入计算即可求出值． 【解答】解：∵a2﹣8＝3a， ∴a2﹣3a＝8， 原式＝3（a2﹣2a+1）﹣3a﹣3 ＝3a2﹣6a+3﹣3a﹣3 ＝3a2﹣9a ＝3（a2﹣3a） ＝3×8 ＝24． 故答案为：24． 【点评】此题考查了代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 三．同类项（共1小题） 4．（2022•兴宁区校级模拟）若7axb2与﹣a3by是同类项，则yx＝ 8 ． 【分析】根据同类项的定义，所含字母相同且相同字母的指数也相同的项是同类项，可得答案． 【解答】解：因为7axb2与﹣a3by是同类项， 所以x＝3，y＝2，则yx＝23＝8． 故答案为：8． 【点评】本题考查同类项的定义，同类项定义中的两个“相同”：所含字母相同；相同字母的指数相同， 是易混点，还有注意同类项定义中隐含的两个“无关”：①与字母的顺序无关；②与系数无关． 四．规律型：数字的变化类（共6小题） 5．（2022•八步区模拟）观察下列一行数2，1，﹣4，1，8，1，﹣16，1，…，则第16个数与第17个数 的和为（ ） A．1+28 B．1﹣28 C．1+29 D．1﹣29 【分析】通过观察发现偶数位置上的数是1，奇数位置上的数是2，﹣4，8，﹣16，…，则可求出第16个 数是1，第17个数是29，由此可求解． 【解答】解：∵2，1，﹣4，1，8，1，﹣16，1，…， ∴偶数位置上的数是1，奇数位置上的数是2，﹣4，8，﹣16，…， ∴第16个数是1，第17个数是29， ∴第16个数与第17个数的和为1+29， 故选：C． 【点评】本题考查数字的变化规律，能够通过观察找到奇数位置和偶数位置上数的规律是解题的关键． 6．（2022•武汉模拟）x ，x ，x ，…x 是2022个由1和﹣1组成的数，且满足x +x +x +…+x ＝202， 1 2 3 2022 1 2 3 2022 则（x ﹣1）2+（x ﹣1）2+（x ﹣1）2+…+（x ﹣1）2的值为（ ） 1 2 3 2022 A．2021 B．4042 C．3640 D．4842 【分析】根据x +x +x +…+x ＝202可知1的个数比﹣1的个数多202个，再代入所求的式子可得答案． 1 2 3 2022 【解答】解：∵x ，x ，x ，…x 是2022个由1和﹣1组成的数，且满足x +x +x +…+x ＝202， 1 2 3 2022 1 2 3 2022 ∴1的个数比﹣1的个数多202个， ∴1的个数是 （2022+202）＝1112（个），﹣1的个数是2022﹣1112＝910（个）， 无论x ，x ，x ，…x 中哪个数是1，哪个数是﹣1， 1 2 3 2022 均有（x ﹣1）2+（x ﹣1）2+（x ﹣1）2+…+（x ﹣1）2 1 2 3 2022 ＝910×（﹣1﹣1）2+1112×（1﹣1）2 ＝910×4+0 ＝3640． 故选：C． 【点评】本题考查规律型：数字的变化类，熟练掌握1和﹣1的乘方的特征是解题关键．7．（2022•沈阳模拟）观察下列按一定规律排列的n个数：2，4，6，8，10，12，…若最后三个数之和是 1794，则n等于（ ） A．299 B．300 C．600 D．601 【分析】观察得出第n个数为2n，根据最后三个数的和为300，列出方程，求解即可． 【解答】解：由题意得，第n个数为2n， 那么2n+2（n﹣1）+2（n﹣2）＝1794， 解得n＝300， 故选：B． 【点评】此题考查规律型：数字的变化类，找出数字的变化规律，得出第n个数为2n是解决问题的关键． 8．（2022•兴宁区校级模拟）如图，将正整数按此规律排列成数表，则2022分布在表中的第 6 4 行． 【分析】观察规律：第1行有1个数字，第2行有2个数字，第3行有3个数字……，以此类推，第n行有 n个数字．观察每一行最后一个数字的结果可以发现：第1行最后一个数是1，第2行最后一个数是1+2＝ 3，第3行最后一个数是1+2+3＝6，第4行最后一个数是1+2+3+4＝10，以此类推，第n行最后一个数是 1+2+3+……+n＝n（n+1）÷2，从而发现数表的规律． 【解答】解：观察每一行最后一个数字的结果可以发现：第 1行是1，第2行是1+2＝3，第3行是1+2+3 ＝6，第4行是1+2+3+4＝10． 以此类推，第n行最后一个数字是1+2+3+……+n＝n（n+1）÷2，显然2022并不是某一行最后一个数字， 通过计算发现第63行最后一个数字是63×64÷2＝2016，第64行最后一个数字是64×65÷2＝2080． ∵2016＜2022＜2080， ∴2022是在第64行． 故答案为：64． 【点评】本题注重考查数感，观察数字变化规律和数表变化规律的关系． 9．（2022•沈阳模拟）一组按规律排列的式子： ， ， ， ，…，第n个式子是 （﹣ 1 ） n ﹣1 × （a≠0，n为正整数）． 【分析】根据分子的变化得出分子变化的规律，根据分母得变化得出分母变化的规律，根据分数符号的变 化规律得出分数符号的边化规律，即可得到该组式子的变化规律，进而可得出结论． 【解答】解：根据前几个数可以发现规律，奇数项为正，偶数项为负， 第1个式子为（﹣1）1﹣1× ， 第2个式子为（﹣1）2﹣1× ， 第3个式子为（﹣1）3﹣1× ， 第4个式子为（﹣1）4﹣1× ， ..． 第n个式子为（﹣1）n﹣1× ， 故答案为：（﹣1）n﹣1× ． 【点评】本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是由所给的数分析出存在的规律． 10．（2022•安徽三模）观察以下等式： 第1个等式： ； 第2个等式： ； 第3个等式： ；第4个等式： ； 第5个等式： ；…… 按照以上规律，解决下列问题： （1）写出第6个等式： ； （2）写出你猜想的第n个等式： （用含n的等式表示），并证明． 【分析】（1）根据所给的等式进行求解即可； （2）分析所给的等式不难得出： ，再把等式左边进行整理即可求证． 【解答】解：（1） ； 故答案为： ； （2） ； 证明：左边＝ ＝右边， ∴等式成立． 故答案为： ． 【点评】本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是由所给的等式总结出存在的规律． 五．规律型：图形的变化类（共2小题） 11．（2022•泰安模拟）观察下列图形规律，当图形中的“〇”的个数和“．”个数差为2022时，n的值 为 不存在 ．【分析】分别用含n的代数式表示出点和〇的个数，再列方程求解即可． 【解答】解：∵n＝1时，“•”的个数是3＝3×1； n＝2时，“•”的个数是6＝3×2； n＝3时，“•”的个数是9＝3×3； n＝4时，“•”的个数是12＝3×4； ……， ∴第n个图形中“•”的个数是3n； 又∵n＝1时，“〇”的个数是1＝ ； n＝2时，“〇”的个数是3＝ ， n＝3时，“〇”的个数是6＝ ， n＝4时，“〇”的个数是10＝ ， ……， ∴第n个“〇”的个数是 ， 由图形中的“〇”的个数和“．”个数差为2022， ∴ ①， ②， 解①得：无解， 解②得： ，n ． 故答案为：不存在． 【点评】本题考查了规律型：图形的变化类，根据图形中“O”和“•”个数的变化，找出变化规律是解题 的关键． 12．（2022•成都模拟）如图，直线l 与直线l 所成的角∠B OA ＝30°，过点A 作A B ⊥l 交直线l 于点 1 2 1 1 1 1 1 1 2 B ，OB ＝2，以A B 为边在△OA B 外侧作等边三角形A B C ，再过点C 作A B ⊥l ，分别交直线l 和l 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 2 于A ，B 两点，以A B 为边在△OA B 外侧作等边三角形A B C ，…按此规律进行下去，则第2022个等 2 2 2 2 2 2 2 2 2边三角形A B C 的周长为 ． 2022 2022 2022 【分析】由题意可得A B ＝1，∠C A A ＝30°，则有A C ＝ ，可求得A B ＝1+ ，同理可求得A B ＝ 1 1 1 1 2 2 1 2 2 3 3 （1+ ）2，...，从而可得第n个等边三角形的边长为：A B ＝（1+ ）n﹣1，从而可求解． n n 【解答】解：∵∠B OA ＝30°，A B ⊥l ，OB ＝2， 1 1 1 1 1 1 ∴A B ＝1，∠C A A ＝30°，∠A B O＝60°， 1 1 1 1 2 1 1 ∵A B ⊥l ， 2 2 1 ∴∠A C A ＝60°，A B ∥A B ， 1 1 2 1 1 2 2 ∴∠A B O＝∠A B O＝60°， 2 2 1 1 ∵△A B C 是等边三角形， 1 1 1 ∴∠A C B ＝∠B A C ＝∠A B C ＝60°，A B ＝A C ＝B C ＝1， 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ∴∠C A A ＝30°，∠C B B ＝60°，∠B C B ＝60°， 1 1 2 1 1 2 1 1 2 ∴△B C B 是等边三角形， 1 1 2 ∴B C ＝B C ＝1， 2 1 1 1 ∴A C ＝ A C ＝ ， 2 1 1 1 ∴A B ＝B C +A C ＝1+ ， 2 2 2 1 2 1 同理：A B ＝（1+ ）2＝（ ）2， 3 3 ∴第n个等边三角形的边长：A B ＝（ ）n﹣1， n n ∴其周长为：3×（ ）n﹣1＝ ，∴第第2022个等边三角形A B C 的周长为 ． 2022 2022 2022 故答案为： ． 【点评】本题主要考查图形的变化规律，解答的关键是得出第 n个等边三角形的边长为：A B ＝（ ）n﹣ n n 1． 六．整式的加减（共1小题） 13．（2022•长沙模拟）已知多项式A＝﹣3x2+5x﹣4，B＝﹣x2﹣2x，则A﹣3B的结果为（ ） A．﹣6x2﹣x﹣4 B．11x﹣4 C．﹣x﹣4 D．﹣6x2﹣5 【分析】把A与B代入原式，去括号合并即可得到结果． 【解答】解：∵A＝﹣3x2+5x﹣4，B＝﹣x2﹣2x， ∴A﹣3B＝（﹣3x2+5x﹣4）﹣3（﹣x2﹣2x） ＝﹣3x2+5x﹣4+3x2+6x ＝11x﹣4． 故选：B． 【点评】此题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 七．幂的乘方与积的乘方（共1小题） 14．（2022•南海区校级模拟）已知4a＝3b，12a＝27，则a+b＝（ ） A． B． C．2 D．3 【分析】根据幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法法则，进行计算即可解答． 【解答】解：∵4a＝3b，12a＝27， ∴（3×4）a＝27， ∴3a•4a＝27， ∵3a•3b＝27， ∴3a+b＝33， ∴a+b＝3， 故选：D． 【点评】本题考查了幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，熟练掌握幂的乘方与积的乘方，同底数幂的 乘法法则是解题的关键．八．同底数幂的除法（共3小题） 15．（2022•仙游县模拟）下列运算正确的是（ ） A．a+a2＝a3 B．（ab）2＝ab2 C．a5÷a3＝a2 D．（a2）3＝a5 【分析】根据合并同类项，同底数幂的除法，幂的乘方与积的乘方运算法则，进行计算逐一判断即可解答． 【解答】解：A、a与a2不能合并，故A不符合题意； B、（ab）2＝a2b2，故B不符合题意； C、a5÷a3＝a2，故C符合题意； D、（a2）3＝a6，故D不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了合并同类项，同底数幂的除法，幂的乘方与积的乘方，熟练掌握它们的运算法则是解 题的关键． 16．（2022•沈阳模拟）下列运算正确的是（ ） A．2a2+a3＝3a5 B．a2•a3＝a6 C．2a3÷a＝2a D．（2a）3＝8a3 【分析】根据合并同类项判断A选项；根据同底数幂的乘法判断B选项；根据同底数幂的除法判断C选项； 根据积的乘方判断D选项． 【解答】解：A选项，2a2与a3不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意； B选项，原式＝a5，故该选项不符合题意； C选项，原式＝2a2，故该选项不符合题意； D选项，原式＝8a3，故该选项符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘除法，幂的乘方与积的乘方，掌握（ab）n＝anbn是解题的 关键． 17．（2022•沈阳模拟）下列运算正确的是（ ） A．3m3+4m2＝7m5 B．2m3÷m2＝2m C．m（m2）2＝m4 D．（x﹣y）（y﹣x）＝x2﹣y2 【分析】根据合并同类项判断A选项；根据同底数幂的除法判断B选项；根据幂的乘方和同底数幂的乘法 判断C选项；根据完全平方公式判断D选项． 【解答】解：A选项，3m3与4m2不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意； B选项，原式＝2m，故该选项符合题意； C选项，原式＝m•m4＝m5，故该选项不符合题意； D选项，原式＝﹣（x﹣y）2＝﹣x2+2xy﹣y2，故该选项不符合题意；故选：B． 【点评】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘除法，幂的乘方与积的乘方，完全平方公式，掌握 （a±b）2＝a2±2ab+b2是解题的关键． 九．单项式乘单项式（共2小题） 18．（2022•武汉模拟）下列运算正确的是（ ） A．（﹣a2）3＝﹣a6 B．2a+3a＝5a2 C．2a•3a＝6a D．2a﹣3a＝﹣1 【分析】直接利用幂的乘方运算法则以及积的乘方运算法则、同底数幂的乘法运算法则、合并同类项法则 分别判断得出答案． 【解答】解：A．（﹣a2）3＝﹣a6，故此选项符合题意； B．2a+3a＝5a，故此选项不合题意； C．2a•3a＝6a2，故此选项不合题意； D．2a﹣3a＝﹣a，故此选项不合题意； 故选：A． 【点评】此题主要考查了幂的乘方运算以及积的乘方运算、同底数幂的乘法运算、合并同类项，正确掌握 相关运算法则是解题关键． 19．（2022•八步区模拟）下列运算正确的是（ ） A．﹣2a2⋅3a3＝﹣6a5 B．a6÷a2＝a3 C．3a+b＝3ab D．a﹣（b+c）＝a﹣b+c 【分析】直接利用单项式乘单项式以及同底数幂的除法运算法则、合并同类项、去括号法则分别判断，进 而得出答案． 【解答】解：A．﹣2a2⋅3a3＝﹣6a5，故此选项符合题意； B．a6÷a2＝a4，故此选项不合题意； C.3a+b，无法合并，故此选项不合题意； D．a﹣（b+c）＝a﹣b﹣c，故此选项不合题意； 故选：A． 【点评】此题主要考查了单项式乘单项式以及同底数幂的除法运算、合并同类项、去括号法则，正确掌握 相关运算法则是解题关键． 一十．多项式乘多项式（共1小题） 20．（2022•天河区校级模拟）某种植基地有一块长方形和一块正方形实验田，长方形实验田每排种植 （3a﹣b）株豌豆幼苗，种植了（3a+b）排，正方形实验田每排种植（a+b）株豌豆幼苗，种植了（a+b） 排，其中a＞b＞0．（1）正方形实验田比长方形实验田少种植豌豆幼苗多少株？ （2）当a＝5，b＝2时，该种植基地这两块实验田一共种植了多少株豌豆幼苗？ 【分析】（1）根据题意列出算式，计算后即可得出结果； （2）根据题意列出算式，化简后把a＝5，b＝2代入计算，即可得出结果． 【解答】解：（1）由题意得：（3a﹣b）（3a+b）﹣（a+b）2 ＝9a2﹣b2﹣a2﹣2ab﹣b2 ＝8a2﹣2ab﹣2b2， 答：正方形实验田比长方形实验田少种植豌豆幼苗（8a2﹣2ab﹣2b2）株； （2）由题意得：（3a﹣b）（3a+b）+（a+b）2 ＝9a2﹣b2+a2+2ab+b2 ＝10a2+2ab， 当a＝5，b＝2时， 原式＝10×52+2×5×2 ＝250+20 ＝270， 答：该种植基地这两块实验田一共种植了270株豌豆幼苗． 【点评】本题考查了多项式乘多项式，弄清题意，列出算式，掌握平方差公式，完全平方公式是解决问题 的关键． 一十一．完全平方公式（共3小题） 21．（2022•洪山区模拟）下列计算正确的是（ ） A．（x+y）2＝x2+y2 B．（﹣x）3⋅x2＝﹣x6 C．x3+x4＝x7 D．（﹣2a2b）3＝﹣8a6b3 【分析】根据完全平方公式，同底数幂的乘法法则，合并同类项法则，积的乘方的运算法则解答即可． 【解答】解：A、（x+y）2＝x2+2xy+y2，原计算错误，故此选项不符合题意； B、（﹣x）3⋅x2＝﹣x5，原计算错误，故此选项不符合题意； C、x3与x4不是同类项，不能合并，原计算错误，故此选项不符合题意； D、（﹣2a2b）3＝﹣8a6b3，原计算正确，故此选项符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查了完全平方公式，同底数幂的乘法法则，合并同类项法则，积的乘方的运算法则．熟记 法则和公式是解题的关键． 22．（2022•沈阳模拟）下列各式中，正确的是（ ）A．（2a）3＝6a3 B．（a3）2＝a6 C．（a+b）2＝a2+b2 D．3a2﹣4a2＝﹣1 【分析】根据积的乘方判断A选项；根据幂的乘方判断B选项；根据完全平方公式判断C选项；根据合并 同类项判断D选项． 【解答】解：A选项，原式＝8a3，故该选项不符合题意； B选项，原式＝a6，故该选项符合题意； C选项，原式＝a2+2ab+b2，故该选项不符合题意； D选项，原式＝﹣a2，故该选项不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查了完全平方公式，幂的乘方与积的乘方，合并同类项，掌握（a±b）2＝a2±2ab+b2是解题 的关键． 23．（2022•东坡区校级模拟）下列各式计算正确的是（ ） A．a2•a3＝a6 B．（a3）2＝a6 C．（2a）3＝2a3 D．（a+b）2＝a2+b2 【分析】根据同底数幂的乘法法则，幂的乘方的运算法则，积的乘方的运算法则，完全平方公式分别化简 求出答案． 【解答】解：A、a2•a3＝a5，原计算错误，故此选项不符合题意； B、（a3）2＝a6，原计算正确，故此选项符合题意； C、（2a）3＝8a3，原计算错误，故此选项不符合题意； D、（a+b）2＝a2+2ab+b2，原计算错误，故此选项不符合题意． 故选：B． 【点评】此题主要考查了完全平方公式、同底数幂的乘法，幂的乘方和积的乘方，正确掌握运算法则和公 式是解题的关键． 一十二．整式的混合运算（共3小题） 24．（2022•河南模拟）下列计算正确的是（ ） A．3a﹣2a＝1 B．（a﹣b）2＝a2﹣b2 C．（2a﹣1）（2a+1）＝4a2﹣1 D．（﹣2a）3＝﹣6a3 【分析】根据整式的加减运算、完全平方公式、平方差公式以及积的乘方运算即可求出答案． 【解答】解：A、原式＝a，故A不符合题意． B、原式＝a2﹣2ab+b2，故B不符合题意． C、原式＝4a2﹣1，故C符合题意．D、原式＝﹣8a3，故D不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查整式的混合运算，解题的关键是熟练运用整式的加减运算以及乘除运算法则，本题属于 基础题型． 25．（2022•西城区校级模拟）计算： （1） ； （2）2x3•（﹣x）2﹣（﹣x2）2•（﹣3x）； （3）（x+1）2﹣（x﹣1）（x+2）； （4）（2x+3y+5）（2x﹣3y﹣5）； （5）（﹣2x2y+6x3y4﹣8xy）÷（﹣2xy）； （6）9×11×101． 【分析】（1）原式利用乘方的意义，零指数幂、负整数指数幂法则计算即可求出值； （2）原式利用幂的乘方与积的乘方运算法则计算，合并即可得到结果； （3）原式利用完全平方公式，以及多项式乘以多项式法则计算，去括号合并即可得到结果； （4）原式利用平方差公式，以及完全平方公式计算即可求出值； （5）原式利用多项式除以单项式法则计算即可得到结果； （6）原式变形后，利用平方差公式计算即可求出值． 【解答】解：（1）原式＝﹣1+4﹣1 ＝2； （2）原式＝2x5+3x5 ＝5x5； （3）原式＝x2+2x+1﹣（x2+x﹣2） ＝x2+2x+1﹣x2﹣x+2 ＝x+3； （4）原式＝4x2﹣（3y+5）2 ＝4x2﹣9y2﹣30y﹣25； （5）原式＝x﹣3x2y3+4； （6）原式＝99×101 ＝（100﹣1）×（100+1） ＝1002﹣1 ＝10000﹣1＝9999． 【点评】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 26．（2022•西城区校级模拟）计算： （1）（﹣ m2n）3•（﹣2mn）÷（2m3）； （2）（a﹣2b）2﹣（a+3b）（a﹣3b）． 【分析】（1）原式利用幂的乘方与积的乘方运算法则计算，再利用单项式乘除单项式法则计算即可求出 值； （2）原式利用完全平方公式，以及平方差公式计算，去括号合并即可得到结果． 【解答】解：（1）原式＝（﹣ m6n3）•（﹣2mn）÷（2m3） ＝ m4n4； （2）原式＝a2﹣4ab+4b2﹣a2+9b2 ＝﹣4ab+13b2． 【点评】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 一十三．整式的混合运算—化简求值（共5小题） 27．（2022•南海区校级模拟）先化简，再求值：（x﹣y）（2x﹣y）﹣（x﹣y）2﹣x2，其中x＝ ﹣ 1，y＝ +1． 【分析】原式利用多项式乘多项式法则，以及完全平方公式化简，去括号合并得到最简结果，把 x与y的 值代入计算即可求出值． 【解答】解：原式＝2x2﹣xy﹣2xy+y2﹣（x2﹣2xy+y2）﹣x2 ＝2x2﹣xy﹣2xy+y2﹣x2+2xy﹣y2﹣x2 ＝﹣xy， 当x＝ ﹣1，y＝ +1时， 原式＝﹣（ ﹣1）×（ +1） ＝﹣（2023﹣1） ＝﹣2022． 【点评】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，以及分母有理化，熟练掌握运算法则是解本题的关键．28．（2022•长沙模拟）先化简，再求值：（x+y）2+（x+2y）（x﹣2y）+y（x+3y），其中x＝1，y＝2． 【分析】根据完全平方公式，平方差公式，单项式乘多项式法则进行化简，再代值计算便可． 【解答】解：原式＝x2+2xy+y2+x2﹣4y2+xy+3y2 ＝2x2+3xy， 当x＝1，y＝2时，原式＝2×12+3×1×2 ＝2+6 ＝8． 【点评】本题主要考查了整式的化简求值运算，关键是熟记乘法公式与整式的乘法法则． 29．（2022•东城区校级模拟）已知x2﹣3x﹣1＝0，求代数式x（3x﹣6）﹣（x+2）（x﹣2）的值． 【分析】原式利用单项式乘多项式法则，以及平方差公式化简，去括号合并得到最简结果，把已知等式整 理后代入计算即可求出值． 【解答】解：原式＝3x2﹣6x﹣（x2﹣4） ＝3x2﹣6x﹣x2+4 ＝2x2﹣6x+4 ＝2（x2﹣3x）+4， ∵x2﹣3x﹣1＝0， ∴x2﹣3x＝1， 则原式＝2+4＝6． 【点评】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键． 30．（2022•长沙模拟）先化简，再求值：（2x﹣1）（2x+1）﹣（x﹣3）2﹣6x，其中x＝﹣ ． 【分析】直接利用乘法公式化简，再合并同类项，把已知数据代入得出答案． 【解答】解：原式＝4x2﹣1﹣（x2﹣6x+9）﹣6x ＝4x2﹣1﹣x2+6x﹣9﹣6x ＝3x2﹣10， 当x＝﹣ 时， 原式＝3×（﹣ ）2﹣10 ＝3×3﹣10 ＝9﹣10 ＝﹣1．【点评】此题主要考查了整式的混合运算——化简求值，正确运用乘法公式化简是解题关键． 31．（2022•天心区模拟）先化简后求值：（x+5）（x﹣5）﹣（x﹣2）2+（x+2）（x﹣1），其中x＝3． 【分析】直接利用乘法公式以及多项式乘多项式运算法则化简，再合并同类项，再把已知数据代入得出答 案． 【解答】解：原式＝x2﹣25﹣（x2﹣4x+4）+x2+x﹣2 ＝x2﹣25﹣x2+4x﹣4+x2+x﹣2 ＝x2+5x﹣31， 当x＝3时，原式＝32+5×3﹣31＝﹣7． 【点评】此题主要考查了整式的混合运算—化简求值，正确运用乘法公式计算得出答案． 一十四．因式分解的意义（共1小题） 32．（2022•长沙模拟）下列从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A．（x+3）（x﹣3）＝x2﹣9 B．x2﹣9+x＝（x+3）（x﹣3）﹣x C．xy2﹣x2y＝xy（y﹣x） D．x2+5x+4＝x（x+5）+4 【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．由定义判断即可． 【解答】解：A．从左到右的变形是整式乘法，不是因式分解，故A不符合题意； B．等式的右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，故B不符合题意； C．是因式分解，故C符合题意； D．等式的右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，故D不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查因式分解的定义，熟练掌握因式分解的定义，能够根据所给形式判断是否符合因式分解 的变形是解题的关键． 一十五．因式分解-提公因式法（共5小题） 33．（2022•长沙模拟）将多项式a2﹣16a进行因式分解的结果是（ ） A．a（a+4）（a﹣4） B．（a﹣4）2 C．a（a﹣16） D．（a+4）（a﹣4） 【分析】直接提取公因式a，进而分解因式得出答案． 【解答】解：a2﹣16a＝a（a﹣16）． 故选：C． 【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键． 34．（2022•广东四模）因式分解：2（a﹣b）2+6（b﹣a）＝ 2 （ a ﹣ b ）（ a ﹣ b ﹣ 3 ） ． 【分析】原式变形后，提取公因式即可．【解答】解：原式＝2（a﹣b）2﹣6（a﹣b） ＝2（a﹣b）[（a﹣b）﹣3] ＝2（a﹣b）（a﹣b﹣3）． 故答案为：2（a﹣b）（a﹣b﹣3）． 【点评】此题考查了因式分解﹣提公因式法，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键． 35．（2022•沈阳模拟）因式分解：﹣4y3+4y＝ ﹣ 4 y （ y + 1 ）（ y ﹣ 1 ） ． 【分析】分别利用提取公因式法和平方差公式进行因式分解即可． 【解答】解：原式＝﹣4y（y2﹣1） ＝﹣4y（y+1）（y﹣1）， 故答案为：﹣4y（y+1）（y﹣1）． 【点评】本题主要考查了提取公因式法和公式法进行因式分解，正确利用上述法则进行因式分解是解题的 关键． 36．（2022•沈阳模拟）分解因式：m3n+mn＝ m n （ m 2 + 1 ） ． 【分析】直接提取公因式mn，进而分解因式得出答案． 【解答】解：m3n+mn＝mn（m2+1）． 故答案为：mn（m2+1）． 【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键． 37．（2022•北京模拟）分解因式：6x2y﹣3xy＝ 3 x y （ 2 x ﹣ 1 ） ． 【分析】直接提取公因式3xy，进而得出答案． 【解答】解：6x2y﹣3xy＝3x（2xy﹣y）． 故答案为：3xy（2x﹣1）． 【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键． 一十六．提公因式法与公式法的综合运用（共3小题） 38．（2022•南海区校级模拟）分解因式：27m3﹣3m＝ 3 m （ 3 m ﹣ 1 ）（ 3 m + 1 ） ． 【分析】先提取公因式3m，再用平方差公式进行分解即可． 【解答】解：27m3﹣3m ＝3m（9m2﹣1） ＝3m（3m﹣1）（3m+1）， 故答案为：3m（3m﹣1）（3m+1）． 【点评】本题考查了因式分解的方法，熟练掌握提取公因式法和公式法是解题的关键． 39．（2022•长沙模拟）因式分解：9ab2﹣a＝ a （ 3 b + 1 ）（ 3 b ﹣ 1 ） ．【分析】先提取公因式，再用平方差公式分解因式即可． 【解答】解：原式＝a（9b2﹣1） ＝a（3b+1）（3b﹣1）． 故答案为：a（3b+1）（3b﹣1）． 【点评】本题考查提公因式法与公式法的综合运用，掌握a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）是解题的关键． 40．（2022•成都模拟）分解因式：4ax2﹣a＝ a （ 2 x ﹣ 1 ）（ 2 x + 1 ） ． 【分析】直接提取公因式a，进而利用平方差公式分解因式得出答案． 【解答】解：4ax2﹣a ＝a（4x2﹣1） ＝a（2x﹣1）（2x+1）． 故答案为：a（2x﹣1）（2x+1）． 【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用乘法公式分解因式是解题关键． 一十七．因式分解的应用（共4小题） 41．（2022•东坡区校级模拟）已知x2﹣2x﹣1＝0，则2x3﹣6x2+2x+1＝（ ） A．﹣1 B．5 C．﹣3 D．1 【分析】原式变形后，分解因式，把已知等式变形后代入计算即可求出值． 【解答】解：∵x2﹣2x﹣1＝0， ∴x2﹣2x＝1， 原式＝2x3﹣4x2﹣2x2+2x+1 ＝2x（x2﹣2x）﹣2x2+2x+1 ＝2x﹣2x2+2x+1 ＝﹣2x2+4x+1 ＝﹣2（x2﹣2x）+1 ＝﹣2+1 ＝﹣1． 故选：A． 【点评】此题考查了因式分解的应用，利用了整体代入的思想，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 42．（2022•重庆模拟）一个三位自然数m．将它任意两个数位上的数字对调后得一个首位不为0的新三位 自然数m'（m'可以与m相同），记m'＝ ，在m′所有的可能情况中，当|a+2b﹣c|最小时，我们称此时 的m′是m的“幸福美满数”，并规定K（m）＝a2+2b2﹣c2．例如：318按上述方法可得新数有：381、813、138；因为|3+2×1﹣8|＝3，|3+2×8﹣1|＝18，|8+2×1﹣3|＝7，|1+2×3﹣8|＝1，1＜3＜7＜18．所以138 是318的“幸福美满数”．K（318）＝12+2×32﹣82＝﹣45． （1）若三位自然数t的百位上的数字与十位上的数字都为n（1≤n≤9．n为自然数），个位上的数字为 0，求证：K（t）＝0； （2）设三位自然数s＝100+10x+y（1≤x≤9，1≤y≤9，x，y为自然数），且x＜y，交换其个位与十位上 的数字得到新数s'，若19s+8s'＝3888，那么我们称s为“梦想成真数”，求所有“梦想成真数”中K（s） 的最大值． 【分析】（1）根据案例找出t变化后得到的新数，验证后即可得出 是t的“幸福美满数”．进而即可 得出K（t）＝n2﹣2×02﹣n2＝0． （2）根据题意找出s、s′，结合19s+8s'＝3888即可得出2x+y＝12，根据“1≤x≤9，1≤y≤9，x＜y”即 可得出x、y的可能值，进而可找出s的“幸福美满数”和K（s）的值，取其最大值即可． 【解答】（1）证明： 按上述方法可得新数 ， ∵|n+2n﹣0|＝3n，|n+2×0﹣n|＝0，0＜3n， ∴ 是t的“幸福美满数”． ∴K（t）＝n2﹣2×02﹣n2＝0． （2）解：根据题意得：s＝ ，s′＝ ， ∵19s+8s'＝3888， ∴19×（100+10x+y）+8×（100+10y+x）＝3888，即2x+y＝12． ∵1≤x≤9，1≤y≤9，x＜y， ∴x＝2，y＝8；x＝3，y＝6． ∴s＝128或s＝136． ∵128是128的“幸福美满数”，136和316是136的“幸福美满数”， ∴K（s）＝﹣55或﹣17或﹣25． ∴所有“梦想成真数”中K（s）的最大值为﹣17． 【点评】本题考查了因式分解的应用以及解二元一次方程，解题的关键是：（1）结合案例找出t的“幸福 美满数”；（2）结合案列找出s的“幸福美满数”． 43．（2022•重庆模拟）若一个三位整数，百位上数字的2倍加上十位上数字的3倍，再加上个位上数字所得的和能被7整除，则称这个整数为“劳动数”． 例如：判断210是“劳动数”的过程如下：2×2+3×1+0＝7，∵7能被7整除，∴210是“劳动数”； 判断322是“劳动数”的过程如下：2×3+3×2+2＝14，∵14能被7整除，∴322是“劳动数”； （1）直接写出最小的“劳动数”为 10 5 ，并请用上面的方法判断448是否为“劳动数”； （2）试证明：所有的“劳动数”均能被7整除． 【分析】（1）根据“劳动数”的定义及三位数的特点即可得出结论； （2）先设出三位数，然后判断出此三位数除以7的商是整数即可． 【解答】解：（1）∵“劳动数”是三位数，而三位数要最小，百位最小是1，十位最小是0， 设这个最小的“劳动数”为a， 由“劳动数”的定义得，1×2+3×0+a＝2+a， ∴2+a能被7整除，且要最小， ∴2+a＝7， ∴a＝5， ∴最小的“劳动数”为 105， 故答案为：105； ∵2×4+3×4+8＝28，而28能被7整除， ∴448是“劳动数”； （2）设一个“劳动数”为 ， ∴2a+3b+c能被7整除， ∴2a+3b+c是7的倍数， ∴ ＝ ＝ ＝14a+b+ ， ∵a，b， 是整数， ∴“劳动数”为 能被7整除． 【点评】此题主要考查了三位数的表示，整除问题，新定义，解本题的关键是理解和应用新定义“劳动 数”． 44．（2022•重庆模拟）如果一个自然数从高位到个位是由一个数字或几个数字重复出现组成，那么我们 把这样的自然数叫做循环数，重复的一个或几个数字称为“循环节”，我们把“循环节”的数字个数叫做 循环节的阶数．例如：525252，它由“52”依次重复出现组成，所以525252是循环数，它是2阶6位循环数，再如：77，是1阶2位循环数，135135135是3阶9位循环数… （1）请你直接写出2个2阶4位循环数，并证明对于任意一个2阶4位循环数，若交换其循环节的数字所 得到的新数和原数的差能够被9整除； （2）已知一个能被9整除的2阶4位循环数，设循环节为ab，求a，b应满足的关系． 【分析】（1）根据循环节”的数字个数叫做循环节的阶数，可得答案； （2）根据一个能被9整除的2阶4位循环数，可得 ，根据不等式的性质，可得答案． 【解答】解：（1）1717是2阶4位循环数，7171是2阶4位循环数； 证明：设原数为 ，新数为 即原数1000a+100b+10a+b，新数是1000b+100a+10b+a， 1000b+100a+10b+a﹣（1000a+100b+10a+b） ＝990b﹣909a ＝909（b﹣a） ＝9×101（b﹣a）， ∵a，b为整数， ∴b﹣a也为整数， ∴新数和原数的差能够被9整除； （2）该2阶4位循环数为 ， 即 ＝112a+11b+ ， 要使得1010a+101b能被9整除，则需（a+b）能被9整除， ∵0＜a≤9，0＜b≤9， ∴0＜a+b≤18， ∴a，b应满足的关系是a+b＝9或a+b＝18． 【点评】本题考查了因式分解的应用，理解循环阶的阶数是解题关键．