文档内容
1、用提公因式法把多项式进行因式分解
【知识精读】
如果多项式的各项有公因式，根据乘法分配律的逆运算，可以把这个公因式提到括号
外面，将多项式写成因式乘积的形式。
提公因式法是因式分解的最基本也是最常用的方法。它的理论依据就是乘法分配律。
多项式的公因式的确定方法是：
（1）当多项式有相同字母时，取相同字母的最低次幂。
（2）系数和各项系数的最大公约数，公因式可以是数、单项式，也可以是多项式。
下面我们通过例题进一步学习用提公因式法因式分解
【分类解析】
1. 把下列各式因式分解
（1）
（2）
分析：（1）若多项式的第一项系数是负数，一般要提出“－”号，使括号内的第一项
系数是正数，在提出“－”号后，多项式的各项都要变号。
解：
（2）有时将因式经过符号变换或将字母重新排列后可化为公因式，如：当 n为自然数
时， ，是在因式分解过程中常用的因式
变换。
解：
2. 利用提公因式法简化计算过程
例：计算
分析：算式中每一项都含有 ，可以把它看成公因式提取出来，再算出结果。
解：原式
3. 在多项式恒等变形中的应用例：不解方程组 ，求代数式 的值。
分析：不要求解方程组，我们可以把 和 看成整体，它们的值分别是3
和 ，观察代数式，发现每一项都含有 ，利用提公因式法把代数式恒等变形，化
为含有 和 的式子，即可求出结果。
解：
把 和 分别为3和 带入上式，求得代数式的值是 。
4. 在代数证明题中的应用
例：证明：对于任意自然数n， 一定是10的倍数。
分析：首先利用因式分解把代数式恒等变形，接着只需证明每一项都是10的倍数即可。
对任意自然数n， 和 都是10的倍数。
一定是10的倍数
5、中考点拨：
例1。因式分解
解：
说明：因式分解时，应先观察有没有公因式，若没有，看是否能通过变形转换得到。
例2．分解因式：
解：
说明：在用提公因式法分解因式前，必须对原式进行变形得到公因式，同时一定要注
意符号，提取公因式后，剩下的因式应注意化简。
题型展示：
例1. 计算：
精析与解答：
设 ，则说明：此题是一个有规律的大数字的运算，若直接计算，运算量必然很大。其中
2000、2001重复出现，又有 的特点，可通过设未知数，将复杂数字间的
运算转化为代数式，再利用多项式的因式分解化简求值，从而简化计算。
例2. 已知： （b、c为整数）是 及 的公
因式，求b、c的值。
分析：常规解法是分别将两个多项式分解因式，求得公因式后可求b、c，但比较麻烦。
注 意 到 是 及 的 因 式 。 因 而 也 是
的因式，所求问题即可转化为求这个多项式的二次因式。
解： 是 及 的公因式
也是多项式 的二次因式
而
b、c为整数
得：
说明：这是对原命题进行演绎推理后，转化为解多项式 ，从而简便
求得 。
例3. 设x为整数，试判断 是质数还是合数，请说明理由。
解：
都是大于1的自然数
是合数
说明：在大于1的正数中，除了1和这个数本身，还能被其它正整数整除的数叫合数。
只能被1和本身整除的数叫质数。
【实战模拟】
1. 分解因式：
（1）
（2） （n为正整数）（3）
2. 计算： 的结果是（ ）
A. B. C. D.
3. 已知x、y都是正整数，且 ，求x、y。
4. 证明： 能被45整除。
5. 化简： ，且当 时，求原式的值。【试题答案】
1. 分析与解答：
（1）
（2）
（3）原式
注意：结果多项因式要化简，同时要分解彻底。
2. B
3.
是正整数
分解成
又 与 奇偶性相同，且
说明：求不定方程的整数解，经常运用因式分解来解决。
4. 证明：
能被45整除
5. 解：逐次分解：原式当 时，原式2、运用公式法进行因式分解
【知识精读】
把乘法公式反过来，就可以得到因式分解的公式。
主要有：平方差公式
完全平方公式
立方和、立方差公式
补充：欧拉公式：
特别地：（1）当 时，有
（2）当 时，欧拉公式变为两数立方和公式。
运用公式法分解因式的关键是要弄清各个公式的形式和特点，熟练地掌握公式。但有
时需要经过适当的组合、变形后，方可使用公式。
用公式法因式分解在求代数式的值，解方程、几何综合题中也有广泛的应用。因此，
正确掌握公式法因式分解，熟练灵活地运用它，对今后的学习很有帮助。
下面我们就来学习用公式法进行因式分解
【分类解析】
1. 把 分解因式的结果是（ ）
A. B.
C. D.
分析： 。
再利用平方差公式进行分解，最后得到 ，故选择B。
说明：解这类题目时，一般先观察现有项的特征，通过添加项凑成符合公式的形式。
同时要注意分解一定要彻底。
2. 在简便计算、求代数式的值、解方程、判断多项式的整除等方面的应用
例：已知多项式 有一个因式是 ，求 的值。
分析：由整式的乘法与因式分解互为逆运算，可假设另一个因式，再用待定系数法即
可求出 的值。
解：根据已知条件，设
则由此可得
由（1）得
把 代入（2），得
把 代入（3），得
3. 在几何题中的应用。
例：已知 是 的三条边，且满足 ，试
判断 的形状。
分析：因为题中有 ，考虑到要用完全平方公式，首先要把 转成
。所以两边同乘以2，然后拆开搭配得完全平方公式之和为0，从而得解。
解：
为等边三角形。
4. 在代数证明题中应用
例：两个连续奇数的平方差一定是8的倍数。
分析：先根据已知条件把奇数表示出来，然后进行变形和讨论。
解：设这两个连续奇数分别为 （ 为整数）
则由此可见， 一定是8的倍数。
5、中考点拨：
例1：因式分解： ________。
解：
说明：因式分解时，先看有没有公因式。此题应先提取公因式，再用平方差公式分解
彻底。
例2：分解因式： _________。
解：
说明：先提取公因式，再用完全平方公式分解彻底。
题型展示：
例1. 已知： ，
求 的值。
解：
原式
说明：本题属于条件求值问题，解题时没有把条件直接代入代数式求值，而是把代数
式因式分解，变形后再把条件带入，从而简化计算过程。
例2. 已知 ，
求证：
证明：把 代入上式，
可得 ，即 或 或
若 ，则 ，
若 或 ，同理也有
说明：利用补充公式确定 的值，命题得证。
例3. 若 ，求 的值。
解：
且
又
两式相减得
所以
说明：按常规需求出 的值，此路行不通。用因式分解变形已知条件，简化计算
过程。
【实战模拟】
1. 分解因式：
（1）
（2）
（3）
2. 已知： ，求 的值。
3. 若 是三角形的三条边，求证：
4. 已知： ，求 的值。
5. 已知 是不全相等的实数，且 ，试求
（1） 的值；（2） 的值。【试题答案】
1. （1）解：原式
说明：把 看成整体，利用平方差公式分解。
（2）解：原式
（3）解：原式
2. 解：
3. 分析与解答：由于对三角形而言，需满足两边之差小于第三边，因此要证明结论就需要
把问题转化为两边差小于第三边求得证明。
证明：
是三角形三边
且
即
4. 解
，即
5. 分析与解答：（1）由因式分解可知故需考虑 值的情况，（2）所求代数式较复杂，考虑恒等
变形。
解：（1）
又
而
不全相等
（2）
原式
而 ，即
原式
说明：因式分解与配方法是在代数式的化简与求值中常用的方法。3、三角形及其有关概念
【知识精读】
1. 三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
2. 三角形中的几条重要线段：
（1）三角形的角平分线（三条角平分线的交点叫做内心）
（2）三角形的中线（三条中线的交点叫重心）
（3）三角形的高（三条高线的交点叫垂心）
3. 三角形的主要性质
（1）三角形的任何两边之和大于第三边，任何两边之差小于第三边；
（2）三角形的内角之和等于180°
（3）三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角，等于和它不相邻的两个内角的和；
（4）三角形中，等角对等边，等边对等角，大角对大边，大边对大角；
（5）三角形具有稳定性。
4. 补充性质：在 中，D 是 BC 边上任意一点，E 是 AD 上任意一点，则
。
三角形是最常见的几何图形之一，在工农业生产和日常生活中都有广泛的应用。三角
形又是多边形的一种，而且是最简单的多边形，在几何里，常常把多边形分割成若干个三
角形，利用三角形的性质去研究多边形。实际上对于一些曲线，也可以利用一系列的三角
形去逼近它，从而利用三角形的性质去研究它们。因此，学好本章知识，能为以后的学习
打下坚实的基础。
5. 三角形边角关系、性质的应用
【分类解析】
例1. 锐角三角形ABC中，∠C＝2∠B，则∠B的范围是（ ）
A. B.
C. D.
分析：
因为 为锐角三角形，所以
又∠C＝2∠B，又∵∠A为锐角， 为锐角
，即
，故选择C。
例2. 选择题：已知三角形的一个外角等于160°，另两个外角的比为2:3，则这个三角形
的形状是（ ）
A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 无法确定
分析：由于三角形的外角和等于360°，其中一个角已知，另两个角的比也知道，因此
三个外角的度数就可以求出，进而可求出三个内角的度数，从而可判断三角形的形状。
解：∵三角形的一个外角等于160°
∴另两个外角的和等于200°
设这两个外角的度数为2x，3x
解得：
与80°相邻的内角为100°
∴这个三角形为钝角三角形
应选C
例3. 如图，已知：在 中， ，求证： 。
分析：欲证 ，可作∠ABC 的平分线 BE 交 AC 于 E，只要证
即可。为与题设 联系，又作AF//BE交CB的延长线于F。
显然∠EBC＝∠F，只要证 即可。由 可得证。
证明：作∠ABC的角平分线BE交AC于E，过点A作AF//BE交CB的延长线于F
又∵BE平分∠ABC，∴∠EBC＝∠ABE
∴∠F＝∠FAB，∴AB＝BF
又∵AB＋FB＞AF，即2AB＞AF又∵
，又∵
例4. 已知：三角形的一边是另一边的两倍。求证：它的最小边在它的周长的 与 之间。
分析：首先应根据已知条件，运用边的不等关系，找出最小边，然后由周长与边的关
系加以证明。
证明：如图，设 的三边为a、b、c，其中 ，
因此，c是最小边，
因此， ，即
故最小边在周长的 与 之间。
中考点拨：
例1. 选择题：如图是一个任意的五角星，它的五个顶角的和是（ ）
A. 50 B. 100 C. 180 D. 200
分析：由于我们学习了三角形的内角、外角的知识，所以需要我们把问题转化为三角
形角的问题。
解：所以选择C
例2. 选择题：已知三角形的两边分别为5和7，则第三边x的范围是（ ）
A. 大于2 B. 小于12 C. 大于2小于12 D. 不能确定
分析：根据三角形三边关系应有 ，即
所以应选C
例3. 已知：P为边长为1的等边 内任一点。
求证：
证明：过P点作EF//BC，分别交AB于E，交AC于F，
则∠AEP＝∠ABC＝60°
在 中，
是等边三角形题型展示：
例1. 已知：如图，在 中，D是BC上任意一点，E是AD上任意一点。求证：
（1）∠BEC＞∠BAC；
（2）AB＋AC＞BE＋EC。
分析：在（1）中，利用三角形内角和定理的推论即可证出在（2）中，添加一条辅助
线，转化到另一个三角形中，利用边的关系定理即可证出。
证明：（1）∵∠BED是 的一个外角，
同理，
即
（2）延长BE交AC于F点
即
例2. 求证：直角三角形的两个锐角的相邻外角的平分线所夹的角等于45°。
已知：如图，在 中， 是 的外角，AF、BF
分别平分∠EAB及∠ABD。
求证：∠AFB＝45°分析：欲证 ，须证
∵AF、BF分别平分∠EAB及∠ABD
∴要转证∠EAB＋∠ABD＝270°
又∵∠C＝90°，三角形一个外角等于和它不相邻的两个内角之和
∴问题得证
证明：∵∠EAB＝∠ABC＋∠C
∠ABD＝∠CAB＋∠C
∠ABC＋∠C＋∠CAB＝180°，∠C＝90°
∵AF、BF分别平分∠EAB及∠ABD
在 中，
【实战模拟】
1. 已知：三角形的三边长为3，8， ，求x的取值范围。
2. 已知： 中， ，D点在BC的延长线上，使 ， ，
，求α和β间的关系为？
3. 如图， 中， 的平分线交于P点， ，则
（ ）
A. 68° B. 80° C. 88° D. 46°4. 已知：如图，AD是 的BC边上高，AE平分 。
求证：
5. 求证：三角形的两个外角平分线所成的角等于第三个外角的一半。【试题答案】
1.
分析：本题是三边关系的应用问题，只需用三边关系确定第三边的取值范围即可。
解：∵三边长分别为3，8， ，由三边关系定理得：
2.
解：
又
，又∵
根据三角形内角和，得：
3.
解：
又∵BP、CP为∠B、∠C的平分线
4.
证明：
∵AE平分∠BAC，
又∵AD⊥BC，
又5.
证明：如图，设 的∠BAC和∠ABC的外角平分线交于点D
则
又5、用十字相乘法把二次三项式分解因式
【知识精读】
对于首项系数是1的二次三项式的十字相乘法，重点是运用公式
进行因式分解。掌握这种方法的关键是确定适合条件
的两个数，即把常数项分解成两个数的积，且其和等于一次项系数。
对于二次三项 （a、b、c都是整数，且 ）来说，如果存在四个整数
满足 ，并且 ，那么二次三项式
即 可以分解为 。这里要
确定四个常数 ，分析和尝试都要比首项系数是1的类型复杂，因此一般要
借助画十字交叉线的办法来确定。
下面我们一起来学习用十字相乘法因式分解。
【分类解析】
1. 在方程、不等式中的应用
例1. 已知： ，求x的取值范围。
分析：本题为二次不等式，可以应用因式分解化二次为一次，即可求解。
解：
例2. 如果 能分解成两个整数系数的二次因式的积，试求 m的
值，并把这个多项式分解因式。
分析：应当把 分成 ，而对于常数项-2，可能分解成 ，或者分解成
，由此分为两种情况进行讨论。
解：（1）设原式分解为 ，其中a、b为整数，去括号，得：
将它与原式的各项系数进行对比，得：
解得：此时，原式
（2）设原式分解为 ，其中c、d为整数，去括号，得：
将它与原式的各项系数进行对比，得：
解得：
此时，原式
2. 在几何学中的应用
例. 已知：长方形的长、宽为x、y，周长为16cm，且满足
，求长方形的面积。
分析：要求长方形的面积，需借助题目中的条件求出长方形的长和宽。
解：
或
又
解得： 或
∴长方形的面积为15cm2或
3、在代数证明题中的应用
例. 证明：若 是7的倍数，其中x，y都是整数，则 是49的倍数。
分析：要证明原式是49的倍数，必将原式分解成49与一个整数的乘积的形式。
证明一：
∵ 是7的倍数，7y也是7的倍数（y是整数）∴ 是7的倍数
而2与7互质，因此， 是7的倍数，所以 是49的倍数。
证明二：∵ 是7的倍数，设 （m是整数）
则
又∵
∵x，m是整数，∴ 也是整数
所以， 是49的倍数。
4、中考点拨
例1.把 分解因式的结果是________________。
解：
说明：多项式有公因式，提取后又符合十字相乘法和公式法，继续分解彻底。
例2.
因式分解： _______________
解：
说明：分解系数时一定要注意符号，否则由于不慎将造成错误。
5、题型展示
例1. 若 能分解为两个一次因式的积，则m的值为（ ）
A. 1 B. -1 C. D. 2
解：
-6可分解成 或 ，因此，存在两种情况：
由（1）可得： ，由（1）可得：故选择C。
说明：对二元二次多项式分解因式时，要先观察其二次项能否分解成两个一次式乘积，
再通过待定系数法确定其系数，这是一种常用的方法。
例2. 已知：a、b、c为互不相等的数，且满足 。
求证：
证明：
说明：抓住已知条件，应用因式分解使命题得证。
例3. 若 有一因式 。求a，并将原式因式分解。
解： 有一因式
∴当 ，即 时，
说明：由条件知， 时多项式的值为零，代入求得a，再利用原式有一个因式是
，分解时尽量出现 ，从而分解彻底。
【实战模拟】
1. 分解因式：
（1）
（2）
（3）
2. 在多项式 ，哪些是多项式 的因式？
3. 已知多项式 有一个因式，求k的值，并把原式分解因式。
4. 分解因式：
5. 已知： ，求 的值。【试题答案】
1.
（1）解：原式
（2）解：原式
（3）解：原式
2.
解：
∴其中 是多项式
的因式。
说明：先正确分解，再判断。
3.
解：设
则
解得：
且
说明：待定系数法是处理多项式问题的一个重要办法，所给多项式是三次式，已知有
一个一次因式，则另一个因式为二次式，由多项式乘法法则可知其二次项系数为1。
4.
解：简析：由于项数多，直接分解的难度较大，可利用待定系数法。
设比较同类项系数，得：
解得：
5.
解：
说明：用因式分解可简化计算。4、用分组分解法进行因式分解
【知识精读】
分组分解法的原则是分组后可以直接提公因式，或者可以直接运用公式。使用这种方法
的关键在于分组适当，而在分组时，必须有预见性。能预见到下一步能继续分解。而“预
见”源于细致的“观察”，分析多项式的特点，恰当的分组是分组分解法的关键。
应用分组分解法因式分解，不仅可以考察提公因式法，公式法，同时它在代数式的化
简，求值及一元二次方程，函数等学习中也有重要作用。
下面我们就来学习用分组分解法进行因式分解。
【分类解析】
1. 在数学计算、化简、证明题中的应用
例1. 把多项式 分解因式，所得的结果为（ ）
分析：先去括号，合并同类项，然后分组搭配，继续用公式法分解彻底。
解：原式
故选择C
例2. 分解因式
分析：这是一个六项式，很显然要先进行分组，此题可把
分别看成一组，此时六项式变成二项式，提取公因式后，再进一步分解；此题也可把
， 分别看作一组，此时的六项式变成三项式，提取公因式后再进行
分解。
解法1：
解法2：2. 在几何学中的应用
例：已知三条线段长分别为a、b、c，且满足
证明：以a、b、c为三边能构成三角形
分析：构成三角形的条件，即三边关系定理，是“两边之和大于第三边，两边之差小
于第三边”
证明：
3. 在方程中的应用
例：求方程 的整数解
分析：这是一道求不定方程的整数解问题，直接求解有困难，因等式两边都含有 x与
y，故可考虑借助因式分解求解
解：4、中考点拨
例1.分解因式： _____________。
解：
说明：观察此题是四项式，应采用分组分解法，中间两项虽符合平方差公式，但搭配
在一起不能分解到底，应把后三项结合在一起，再应用完全平方公式和平方差公式。
例2．分解因式： ____________
解：
说明：前两项符合平方差公式，把后两项结合，看成整体提取公因式。
例3. 分解因式： ____________
解：
说明：分组的目的是能够继续分解。
5、题型展示：
例1. 分解因式：
解：说明：观察此题，直接分解比较困难，不妨先去括号，再分组，把 4mn分成2mn和
2mn，配成完全平方和平方差公式。
例2. 已知： ，求ab+cd的值。
解：ab+cd=
说明：首先要充分利用已知条件 中的1（任何数乘以1，其值
不变），其次利用分解因式将式子变形成含有ac+bd因式乘积的形式，由ac+bd=0可算出
结果。
例3. 分解因式：
分析：此题无法用常规思路分解，需拆添项。观察多项式发现当 x=1时，它的值为
0，这就意味着 的一个因式，因此变形的目的是凑 这个因式。
解一（拆项）：
解二（添项）：
说明：拆添项法也是分解因式的一种常见方法，请同学们试拆一次项和常数项，看看
是否可解？
【实战模拟】
1. 填空题：2. 已知：
3. 分解因式：
4. 已知： ，
试求A的表达式。
5. 证明：【试题答案】
1. （1）解：
（2）解：
（3）解：
2. 解：
说明：因式分解是一种重要的恒等变形，在代数式求值中有很大作用。
3. 解：
4. 解：5. 证明：6、全等三角形及其应用
【知识精读】
1. 全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形；两个全等三角形
中，互相重合的顶点叫做对应顶点。互相重合的边叫对应边，互相重合的角叫对应角。
2. 全等三角形的表示方法：若△ABC 和△A′B′C′是全等的三角形，记作
“△ABC≌△A′B′C′其中，“≌”读作“全等于”。记两个三角形全等时，通常把表示
对应顶点的字母写在对应的位置上。
3. 全等三角形的的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等；
4. 寻找对应元素的方法
（1）根据对应顶点找
如果两个三角形全等，那么，以对应顶点为顶点的角是对应角；以对应顶点为端点的
边是对应边。通常情况下，两个三角形全等时，对应顶点的字母都写在对应的位置上，因
此，由全等三角形的记法便可写出对应的元素。
（2）根据已知的对应元素寻找
全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；
（3）通过观察，想象图形的运动变化状况，确定对应关系。
通过对两个全等三角形各种不同位置关系的观察和分析，可以看出其中一个是由另一
个经过下列各种运动而形成的。
翻折
如图（1），BOC≌EOD，BOC可以看成是由EOD沿直线AO翻折180得到的；
旋转
如图（2），COD≌BOA，COD可以看成是由BOA绕着点O旋转180得到的；
平移如图（3），DEF≌ACB，DEF可以看成是由ACB沿CB方向平行移动而得到的。
5. 判定三角形全等的方法：
（1）边角边公理、角边角公理、边边边公理、斜边直角边公理
（2） 推论：角角边定理
6. 注意问题：
（1）在判定两个三角形全等时，至少有一边对应相等；
（2）不能证明两个三角形全等的是，a: 三个角对应相等，即AAA；b :有两边和其中一
角对应相等，即SSA。
全等三角形是研究两个封闭图形之间的基本工具，同时也是移动图形位置的工具。在
平面几何知识应用中，若证明线段相等或角相等，或需要移动图形或移动图形元素的位置
常常需要借助全等三角形的知识。
【分类解析】全等三角形知识的应用
（1） 证明线段（或角）相等
例1：如图，已知AD=AE,AB=AC.求证：BF=FC
分析：由已知条件可证出ΔACD≌ΔABE，而BF和FC分别位于ΔDBF和ΔEFC中，
因此先证明ΔACD≌ΔABE，再证明ΔDBF≌ΔECF，既可以得到BF=FC.
证明：在ΔACD和ΔABE中，
∴ ΔACD≌ΔABE (SAS)
∴ ∠B=∠C（全等三角形对应角相等）
又 ∵ AD=AE,AB=AC.
∴ AB－AD=AC－AE
即 BD=CE
在ΔDBF和ΔECF中∴ ΔDBF≌ΔECF （AAS）
∴ BF=FC （全等三角形对应边相等）
（2）证明线段平行
例2：已知：如图，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为E、F，DE=BF，AF=CE.求证：
AB∥CD
分析：要证AB∥CD，需证∠C＝∠A，而要证∠C＝∠A，又需证ΔABF≌ΔCDE.由已
知 BF⊥AC，DE⊥AC，知∠DEC＝∠BFA=90°，且已知 DE=BF，AF=CE.显然证明
ΔABF≌ΔCDE 条件已具备，故可先证两个三角形全等，再证∠C＝∠A,进一步证明
AB∥CD.
证明：∵ DE⊥AC，BF⊥AC （已知）
∴ ∠DEC＝∠BFA=90° （垂直的定义）
在ΔABF与ΔCDE中，
∴ ΔABF≌ΔCDE（SAS）
∴ ∠C＝∠A (全等三角形对应角相等)
∴ AB∥CD （内错角相等，两直线平行）
（3）证明线段的倍半关系，可利用加倍法或折半法将问题转化为证明两条线段相等
例3：如图，在△ ABC中，AB=AC，延长AB到D，使BD=AB，取AB的中点E，
连接CD和CE. 求证：CD=2CE
分析：
(ⅰ)折半法：取CD中点F，连接BF，再证ΔCEB≌ΔCFB.这里注意利用BF是ΔACD
中位线这个条件。
证明：取CD中点F，连接BF
∴ BF=AC,且BF∥AC （三角形中位线定理）
∴ ∠ACB＝∠2 (两直线平行内错角相等)又∵ AB=AC
∴ ∠ACB＝∠3 （等边对等角）
∴ ∠3＝∠2
在ΔCEB与ΔCFB中，
∴ ΔCEB≌ΔCFB (SAS)
∴ CE=CF=CD （全等三角形对应边相等）
即CD=2CE
（ⅱ）加倍法
证明：延长CE到F，使EF=CE，连BF.
在ΔAEC与ΔBEF中，
∴ΔAEC≌ΔBEF (SAS)
∴ AC=BF, ∠4＝∠3 (全等三角形对应边、对应角相等)
∴ BF∥AC (内错角相等两直线平行)
∵ ∠ACB+∠CBF=180o,
∠ABC+∠CBD=180o,
又AB=AC ∴∠ACB=∠ABC
∴∠CBF=∠CBD （等角的补角相等）
在ΔCFB与ΔCDB中，
∴ ΔCFB≌ΔCDB (SAS)
∴ CF=CD
即CD=2CE
说明：关于折半法有时不在原线段上截取一半，而利用三角形中位线得到原线段一半
的线段。例如上面折道理题也可这样处理，取AC中点F，连BF(如图)（B为AD中点是利
用这个办法的重要前提），然后证CE=BF.
(4)证明线段相互垂直
例4：已知：如图，A、D、B三点在同一条直线上，ΔADC、ΔBDO为等腰三角形，AO、BC的大小关系和位置关系分别如何？证明你的结论。
分析：本题没有直接给出待证的结论，而是让同学们先根据已知条件推断出结论，然
后再证明所得出的结论正确。通过观察，可以猜测：AO=BC，AO⊥BC.
证明：延长AO交BC于E,在ΔADO和ΔCDB中
∴ ΔADO≌ΔCDB (SAS)
∴ AO=BC, ∠OAD=∠BCD（全等三角形对应边、对应角相等）
∵ ∠AOD＝∠COE （对顶角相等）
∴ ∠COE+∠OCE=90o
∴ AO⊥BC
5、中考点拨：
例1．如图，在△ABC中，AB＝AC，E是AB的中点，以点E为圆心，EB为半径画弧，交
BC于点D，连结ED，并延长ED到点F，使DF＝DE，连结FC．
求证：∠F＝∠A．
分析：证明两个角相等，常证明这两个角所在的两个三角形全等，在已知图形中
∠A、∠F不在全等的两个三角形中，但由已知可证得EF∥AC，因此把∠A通过同位角转
到△BDE中的∠BED，只要证△EBD≌△FCD即可．
证明：∵AB＝AC，
∴∠ACB＝∠B，
∵EB＝ED，
∴∠ACB＝∠EDB．
∴ED∥AC．
∴∠BED＝∠A．
∵BE＝EA．
∴BD＝CD．
又DE＝DF，∠BDE＝∠CDF
∴△BDE≌△CDF，
∴∠BED＝∠F．∴∠F＝∠A．
说明：证明角（或线段）相等可以从证明角（或线段）所在的三角形全等入手，在寻
求全等条件时，要注意结合图形，挖掘图中存在的对项角、公共角、公共边、平行线的同
位角、内错角等相等的关系。
例2 如图，已知△ ABC为等边三角形，延长BC到D，延长BA到E，并且使AE=BD，
连接CE、DE.求证：EC=ED
分析：把已知条件标注在图上，需构造和△AEC全等的三角形，因此过D点作DF∥AC
交BE于F点，证明△AEC≌△FED即可。
证明：过D点作DF∥AC交BE于F点
∵ △ ABC为等边三角形
∴ △BFD为等边三角形
∴ BF=BD=FD
∵ AE=BD
∴ AE=BF=FD
∴ AE－AF=BF－AF 即 EF=AB
∴ EF=AC
在△ ACE和△DFE中，
∴ △AEC≌△FED（SAS）
∴ EC=ED（全等三角形对应边相等）
题型展示：
例1 如图，△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2。求证：AB＝AC＋CD．
分析：在AB上截取AE＝AC，构造全等三角形，△AED≌△ACD，得DE＝DC，只需证DE＝BE问题便可以解决．
证明：在AB上截取AE＝AC，连结DE．
∵ AE＝AC，∠1＝∠2，AD＝AD，
∴ △AED≌△ACD，
∴ DE＝DC，∠AED＝∠C．
∵ ∠AED＝∠B＋∠EDB，∠C＝2∠B，
∴ 2∠B＝∠B＋∠EDB．
即 ∠B＝∠EDB．
∴ EB＝ED，即ED＝DC，
∴ AB＝AC＋DC．
剖析：证明一条线段等于另外两条线段之和的常用方法有两种，一种是截长法（即在
长线段上截取一段等于两条短线段的一条，再证余下的部分等于另一条短线段）；如作 AE
＝AC是利用了角平分线是角的对称轴的特性，构造全等三角形，另一种方法是补短法（即
延长一条短线段等于长线段，再证明延长的部分与另一条短线段相等），其目的是把证明
线段的和差转化为证明线段相等的问题，实际上仍是构造全等三角形，这种转化图形的能
力是中考命题的重点考查的内容．
【实战模拟】
1. 下列判断正确的是（ ）
（A）有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等
（B）有两边对应相等，且有一角为30°的两个等腰三角形全等
（C）有一角和一边对应相等的两个直角三角形全等
（D）有两角和一边对应相等的两个三角形全等
2. 已知：如图，CD⊥AB于点 D，BE⊥AC 于点 E，BE、CD交于点 O，且 AO平分
∠BAC．求证：OB＝OC．
3. 如图，已知C为线段AB上的一点，ACM和CBN都是等边三角形，AN和CM相
交于F点，BM和CN交于E点。求证：CEF是等边三角形。4.如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线．求证：AD<(AB+AC)
5. 如图，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，D是斜边上AB上任一点，AE⊥CD于E，
BF⊥CD交CD的延长线于F，CH⊥AB于H点，交AE于G．
求证：BD＝CG．【试题答案】
1. D
2.证明：
∵ AO平分∠ODB，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，BE、CE交于点O，
∴ OD＝OE，∠ODB＝∠OEC＝90°, ∠BOD＝∠COE。
∴ △BOD≌△COE（ASA）．
∴ OB＝OC
3. 分析 由ACM=BCN=60，知ECF=60，欲证CEF是等边三角形，只要证明
CEF是等腰三角形。先证CAN≌MCB，得1=2.再证CFN≌CEB，即可推得CEF
是等边三角形的结论。
证明：在CAN和MCB，
∵AC=MC，CN=CB，
CAN=MCB=120，
∴ACN≌MCB中，
∴ FCB和CEB中，
∵FCN=ECB=60，1=2，CN=CB，
∴CFN≌CEB，∴CF=CE，
又∵ECF=60，
∴CEF是等边三角形.
4. 分析： 关于线段不等的问题，一般利用在同一个三角形中三边关系来讨论，由于
AB、AC、AD不在同一个三角形，应设法将这三条线段转化在同一个三角形中，也就是将
线段相等地转化，而转化的通常方法利用三角形全等来完成，注意 AD是BC边上的中线，
延长AD至E，使DE＝AD，即可得到△ACD≌△EBD．
证明：延长AD到E，使DE＝AD，连结BE
在ACD与EBD中∴ ACD≌EBD（SAS）
∴ AC＝EB（全等三角形对应边相等）
在ABE中，AB＋EB＞AE（三角形两边之和大于第三边）
∴ AB＋AC＞2AD（等量代换）
说明：一般在有中点的条件时，考虑延长中线来构造全等三角形。
5.分析：由于BD与CG分别在两个三角形中，欲证BD与CG相等，设法证
△CGE≌△BDF。由于全等条件不充分，可先证△AEC≌△CFB
证明：在Rt△AEC与Rt△CFB中，
∵AC＝CB，AE⊥CD于E，BF⊥C交CD的延长线于F
∴∠AEC＝∠CFB＝90°
又∠ACB＝90°
∴ ∠CAE＝90°－∠ACE＝∠BCF
∴ Rt△AEC≌Rt△CFB
∴CE＝BF
在Rt△BFD与Rt△CEG中，∠F＝∠GEC＝90°，CE＝BF，由∠FBD＝90°－∠FDB＝
90°－∠CDH＝∠ECG，
∴ Rt△BFD≌Rt△CEG
∴ BD＝CG7、因式分解小结
【知识精读】
因式分解是把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，它和整式乘法互为逆运算，在
初中代数中占有重要的地位和作用，在其它学科中也有广泛应用，学习本章知识时，应注
意以下几点。
1. 因式分解的对象是多项式；
2. 因式分解的结果一定是整式乘积的形式；
3. 分解因式，必须进行到每一个因式都不能再分解为止；
4. 公式中的字母可以表示单项式，也可以表示多项式；
5. 结果如有相同因式，应写成幂的形式；
6. 题目中没有指定数的范围，一般指在有理数范围内分解；
7. 因式分解的一般步骤是：
（1）通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“变”的步骤。即首先看有无公因
式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前两个步骤都不能实施，可用分组分解法，分
组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解；
（2）若上述方法都行不通，可以尝试用配方法、换元法、待定系数法、试除法、拆项
（添项）等方法；
下面我们一起来回顾本章所学的内容。
【分类解析】
1. 通过基本思路达到分解多项式的目的
例1. 分解因式
分析：这是一个六项式，很显然要先进行分组，此题可把
分别看成一组，此时六项式变成二项式，提取公因式后，再进一步分解；也可把 ，
， 分别看成一组，此时的六项式变成三项式，提取公因式后再进行分解。
解一：原式
解二：原式=2. 通过变形达到分解的目的
例1. 分解因式
解一：将 拆成 ，则有
解二：将常数 拆成 ，则有
3. 在证明题中的应用
例：求证：多项式 的值一定是非负数
分析：现阶段我们学习了两个非负数，它们是完全平方数、绝对值。本题要证明这个
多项式是非负数，需要变形成完全平方数。
证明：
设 ，则
4. 因式分解中的转化思想
例：分解因式：
分析：本题若直接用公式法分解，过程很复杂，观察a+b，b+c与a+2b+c的关系，努
力寻找一种代换的方法。
解：设a+b=A，b+c=B，a+2b+c=A+B说明：在分解因式时，灵活运用公式，对原式进行“代换”是很重要的。
中考点拨：
例1.在 中，三边a,b,c满足
求证：
证明：
说明：此题是代数、几何的综合题，难度不大，学生应掌握这类题不能丢分。
例2. 已知： __________
解：
说明：利用 等式化繁为易。
题型展示：
1. 若x为任意整数，求证： 的值不大于100。
解：说明：代数证明问题在初二是较为困难的问题。一个多项式的值不大于 100，即要求
它们的差小于零，把它们的差用因式分解等方法恒等变形成完全平方是一种常用的方法。
2. 将
解：
说明：利用因式分解简化有理数的计算。
【实战模拟】
1. 分解因式：
2. 已知： 的值。
3. 矩形的周长是28cm，两边x,y使 ，求矩形的面积。
4. 求证： 是6的倍数。（其中n为整数）
5. 已知：a、b、c 是非零实数，且 ，求
a+b+c的值。
6. 已知：a、b、c为三角形的三边，比较 的大小。
【试题答案】1. （1）解：
（2）解：
（3）解：
（4）解：
2. 解：
3. 解：4. 证明：
5. 解： 用abc乘以第二个条件等式的两边，得：
说明：因式分解与配方法是代数式化简与求值中常用的方法和手段，应当熟练掌握。
6. 分析：比较两式大小最基本的方法是作差看它们与零的大小。
解：8、分式的概念、分式的基本性质
【知识精读】
分式的概念要注意以下几点：
（1）分式是两个整式相除的商，其中分母是除式，分子是被除式，而分数线则可以理
解为除号，还含有括号的作用；
（2）分式的分子可以含字母，也可以不含字母，但分母必须含有字母；
（3）分式有意义的条件是分母不能为0。
分式的基本性质类似于分数的基本性质，是分式的符号变换法则、约分和通分的理论
基础。在运用分式的基本性质时，要抓住对性质中的“都”与“同”两个字的理解，并注
意法则中M“不为零”的条件。
下面我们通过习题进一步理解分式的有关概念。
【分类解析】
例1. 已知 为有理数，要使分式 的值为非负数， 应满足的条件是（
）
A. B.
C. D. ，或
分析：首先考虑分母 ，但 可以等于 0，由 ，得 ，或
故选择D。
例2. 当x为何值时，分式 的值为零？
分析：分式的值为零必须满足两个条件：（1）分子为零；（2）分母不为零。
解：由题意得，得 ，而当 时，分母 的值为零。
当 时，分式 的值为零。
例3. 已知 ，求 的值（ ）
A. B. C. D.
分析： ，将分式的分母和分子都除以 ，得
，故选择C。例4. 已知 ，求 的值。
分析：根据已知条件，先消元，再化简求值。
解：
原式
例5. 已知： ，求 的值。
解一：由 得 ，等式两边同除以x得：
，即
解二：由已知得： ，两边平方得：
两边平方得：
中考点拨：
1.若代数式 的值为零，则x的取值范围应为（ ）
A. 或 B. C. D.
解：由已知得：
解得： 故选D
简析：在求解分式值为零的题目时，考虑到分子为零，但不要忽略了分母不为零这一条件。
2. 已知： ，求 的值。
解：设 ，则
题型展示：
1. x为何值时， 成立？
解：
当 且 时，分式 与 都有意义。
当 时，由分式的基本性质知：
解不等式组：
得：
当 时，
说明：利用分式的基本性质解决恒等变形问题是基本性质的灵活运用，注意分式的基
本性质所适用的条件是分式有意义，做题时应考虑分母不为零的条件。
2. 把分式 化为一个整式和一个分子为常数的分式的和，并且求出
这个整式与分式的乘积等于多少？
解：原式说明：利用因式分解、分式的基本性质可以化简分式。
【实战模拟】
1. 在下列有理式 中，分式的个数是（
）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
2. 如果分式 的值为零，则a的值为（ ）
A. 2 B. -2 C. 且 D. 0
3. 填空题：
（1）
（2）当 _______时，分式 的值等于零；
当 _______时，分式 无意义。
4. 化简分式：
5. 已知： ，求 的值。
6. 已知： ，
求 的值。【试题答案】
1. 简析：判断一个有理式是否为分式，关键在于看分母中是含有字母，故选D。
2. B
说明：分式值为0的条件：
3. （1）
（2）当 时， 的值为0。
当 或 时， 无意义。
4. 解：原式
说明：利用因式分解把分子、分母恒等变形，再约分。
5. 解：
说明：变形已知条件，先消元，再化简求值。
6. 解：
原式9、等腰三角形
【知识精读】
（－）等腰三角形的性质
1. 有关定理及其推论
定理：等腰三角形有两边相等；
定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。
推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等腰三角形
的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。
推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°。等腰三角形是以底边的
垂直平分线为对称轴的轴对称图形；
2. 定理及其推论的作用
等腰三角形的性质定理揭示了三角形中边相等与角相等之间的关系，由两边相等推出
两角相等，是今后证明两角相等常用的依据之一。等腰三角形底边上的中线、底边上的高
顶角的平分线“三线合一”的性质是今后证明两条线段相等，两个角相等以及两条直线互
相垂直的重要依据。
（二）等腰三角形的判定
1. 有关的定理及其推论
定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角
对等边”。）
推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。
推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。
推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一
半。
2. 定理及其推论的作用。
等腰三角形的判定定理揭示了三角形中角与边的转化关系，它是证明线段相等的重要
定理，也是把三角形中角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据，是本节的重点。
3. 等腰三角形中常用的辅助线
等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线常常作为解决有关等腰三角形问
题的辅助线，由于这条线可以把顶角和底边折半，所以常通过它来证明线段或角的倍分问
题，在等腰三角形中，虽然顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，添加辅
助线时，有时作哪条线都可以，有时需要作顶角的平分线，有时则需要作高或中线，这要
视具体情况来定。
【分类解析】
例1. 如图，已知在等边三角形ABC中，D是AC的中点，E为BC延长线上一点，且
CE＝CD，DM⊥BC，垂足为M。求证：M是BE的中点。分析：欲证M是BE的中点，已知DM⊥BC，所以想到连结BD，证BD＝ED。因为
△ABC是等边三角形，∠DBE＝ ∠ABC，而由CE＝CD，又可证∠E＝ ∠ACB，所以
∠1＝∠E，从而问题得证。
证明：因为三角形ABC是等边三角形，D是AC的中点
所以∠1＝ ∠ABC
又因为CE＝CD，所以∠CDE＝∠E
所以∠ACB＝2∠E
即∠1＝∠E
所以BD＝BE，又DM⊥BC，垂足为M
所以M是BE的中点 （等腰三角形三线合一定理）
例2. 如图，已知： 中， ，D是BC上一点，且 ，求
的度数。
分析：题中所要求的 在 中，但仅靠 是无法求出来的。因此需要
考虑 和 在题目中的作用。此时图形中三个等腰三角形，构成了内外角的
关系。因此可利用等腰三角形的性质和三角形的内外角关系定理来求。
解：因为 ，所以
因为 ，所以 ；
因为 ，所以 （等边对等角）
而
所以
所以
又因为
即 所以
即求得
说明1. 等腰三角形的性质是沟通本题中角之间关系的重要桥梁。把边的关系转化成角
的关系是此等腰三角形性质的本质所在。本条性质在解题中发挥着重要的作用，这一点在
后边的解题中将进一步体现。
2. 注意“等边对等角”是对同一个三角形而言的。3. 此题是利用方程思想解几何计算题，而边证边算又是解决这类题目的常用方法。
例3. 已知：如图， 中， 于D。求证： 。
分析：欲证角之间的倍半关系，结合题意，观察图形， 是等腰三角形的顶角，
于是想到构造它的一半，再证与 的关系。
证明：过点A作 于E，
所以 （等腰三角形的三线合一性质）
因为
又 ，所以
所以 （直角三角形两锐角互余）
所以 （同角的余角相等）
即
说明：
1. 作等腰三角形底边高线的目的是利用等腰三角形的三线合一性质，构造角的倍半关系。
因此添加底边的高是一条常用的辅助线；
2. 对线段之间的倍半关系，常采用“截长补短”或“倍长中线”等辅助线的添加方法，
对角间的倍半关系也同理，或构造“半”，或构造“倍”。因此，本题还可以有其它的证
法，如构造出 的等角等。
4、中考题型：
1.如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD、CE分别为∠ABC与∠ACB的角
平分线，且相交于点F，则图中的等腰三角形有（ ）
A. 6个 B. 7个 C. 8个 D. 9个
分析：由已知条件根据等腰三角形的性质和三角形内角和的度数可求得等腰三角形有
8个，故选择C。
2.）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，E、
F分别是垂足。求证：AE＝AF。证明：因为 ，所以
又因为
所以
又D是BC的中点，所以
所以
所以 ，所以
说明：证法二：连结AD，通过 证明即可
5、题形展示：
例1. 如图， 中， ，BD平分 。
求证： 。
分析一：从要证明的结论出发，在BC上截取 ，只需证明 ，考虑到
，想到在 BC 上截取 ，连结 DE，易得，则有 ，只需证明
，这就要从条件出发，通过角度计算可以得出 。
证明一：在BC上截取 ，连结DE、DF
在 和 中，
又
而
即分析二：如图，可以考虑延长BD到E，使DE＝AD，这样BD＋AD=BD+DE=BE，只
需证明BE＝BC，由于 ，只需证明
易证 ， ，故作 的角平分
线，则有 ，进而证明 ，从而可证出 。
证明二：延长BD到E，使DE＝AD，连结CE，作DF平分 交BC于F。
由证明一知：
则有
DF平分
，在 和 中
，而
在 和 中，
在 中，
说明：“一题多证”在几何证明中经常遇到，它是培养思维能力提高解题水平的有效
途径，读者在以后的几何学习中要善于从不同角度去思考、去体会，进一步提高自身的解
题能力。
【实战模拟】
1. 选择题：等腰三角形底边长为5cm，一腰上的中线把其周长分为两部分的差为3cm，
则腰长为（ ）
A. 2cm B. 8cm C. 2cm或8cm D. 以上都不对
2. 如图， 是等边三角形， ，则 的度数是________。
3. 求证：等腰三角形两腰中线的交点在底边的垂直平分线上.
4. 中， ，AB的中垂线交AB于D，交CA延长线于E，求
证： 。【试题答案】
1. B
2. 分析：结合三角形内角和定理，计算图形中角的度数是等边三角形性质的重要应用。
解：因为 是等边三角形
所以
因为 ，所以
所以
在 中，因为
所以 ，所以
所以
3. 分析：首先将文字语言翻译成数学的符号语言和图形语言。
已知：如图，在 中， ，D、E分别为AC、AB边中点，BD、CE交于O
点。求证：点O在BC的垂直平分线上。
分析：欲证本题结论，实际上就是证明 。而OB、OC在 中，于是想到
利用等腰三角形的判定角等，那么问题就转化为证含有 的两个三角形全等。
证明：因为在 中，
所以 （等边对等角）
又因为D、E分别为AC、AB的中点，所以 （中线定义）
在 和 中，
所以
所以 （全等三角形对应角相等）。
所以 （等角对等边）。
即点O在BC的垂直平分线上。
说明：
（1）正确地理解题意，并正确地翻译成几何符号语言是非常重要的一步。特别是把
“在
底边的垂直平分线上”正确地理解成“OB＝OC”是关键的一点。
（2）实际上，本题也可改成开放题：“△ABC中，AB＝AC，D、E分别为AC、AB
上的中点，BD、CE交于O。连结AO后，试判断AO与BC的关系，并证明你的结论”其
解决方法是和此题解法差不多的。
4. 分析：此题没有给出图形，那么依题意，应先画出图形。题目中是求线段的倍半关系，
观察图形，考虑取BC的中点。
证明：过点A作BC边的垂线AF，垂足为F。在 中，
所以
所以 （等腰三角形三线合一性质）。
3
1
所以 （邻补角定义）。
所以
又因为ED垂直平分AB，所以 （直角三角形两锐角互余）。
（线段垂直平分线定义）。
又因为 （直角三角形中 角所对的边等于斜边的一半）。
所以
在 和 中，
所以
所以
即 。
说明：
（1）根据题意，先准确地画出图形，是解几何题的一项基本功；
（2）直角三角形中 角的特殊关系，沟通了边之间的数量关系，为顺利证明打通了
思路。10、分式的运算
【知识精读】
1. 分式的乘除法法则
；
当分子、分母是多项式时，先进行因式分解再约分。
2. 分式的加减法
（1）通分的根据是分式的基本性质，且取各分式分母的最简公分母。
求最简公分母是通分的关键，它的法则是：
①取各分母系数的最小公倍数；
②凡出现的字母（或含有字母的式子）为底的幂的因式都要取；
③相同字母（或含有字母的式子）的幂的因式取指数最高的。
（2）同分母的分式加减法法则
（3）异分母的分式加减法法则是先通分，变为同分母的分式，然后再加减。
3. 分式乘方的法则
（n为正整数）
4. 分式的运算是初中数学的重要内容之一，在分式方程，求代数式的值，函数等方面有重
要应用。学习时应注意以下几个问题：
（1）注意运算顺序及解题步骤，把好符号关；
（2）整式与分式的运算，根据题目特点，可将整式化为分母为“1”的分式；
（3）运算中及时约分、化简；
（4）注意运算律的正确使用；
（5）结果应为最简分式或整式。
下面我们一起来学习分式的四则运算
【分类解析】
例1：计算 的结果是（ ）
A. B. C. D.
分析：原式故选C
说明：先将分子、分母分解因式，再约分。
例2：已知 ，求 的值。
分析：若先通分，计算就复杂了，我们可以用 替换待求式中的“1”，将三个分式
化成同分母，运算就简单了。
解：原式
例3：已知： ，求下式的值：
分析：本题先化简，然后代入求值。化简时在每个括号内通分，除号改乘号，除式的
分子、分母颠倒过来，再约分、整理。最后将条件等式变形，用一个字母的代数式来表示
另一个字母，带入化简后的式子求值。这是解决条件求值问题的一般方法。
解：
故原式例 4 ： 已 知 a 、 b 、 c 为 实 数 ， 且 ， 那 么
的值是多少？
分析：已知条件是一个复杂的三元二次方程组，不容易求解，可取倒数，进行简化。
解：由已知条件得：
所以
即
又因为
所以
例5：化简：
解一：原式
解二：原式
说明：解法一是一般方法，但遇到的问题是通分后分式加法的结果中分子是一个四次
多项式，而它的分解需要拆、添项，比较麻烦；解法二则运用了乘法分配律，避免了上述
问题。因此，解题时注意审题，仔细观察善于抓住题目的特征，选择适当的方法。例1、计算：
解：原式
说明：分式运算时，若分子或分母是多项式，应先因式分解。
例2、
已知： ，则 _________。
解：
说明：分式加减运算后，等式左右两边的分母相同，则其分子也必然相同，即可求出
M。
中考点拨：
例1：计算：
解一：原式解二：原式
说明：在分式的运算过程中，乘法公式和因式分解的使用会简化解题过程。此题两种
方法的繁简程度一目了然。
例2：若 ，则 的值等于（ ）
A. B. C. D.
解：原式
故选A
【实战模拟】
1. 已知： ，则 的值等于（ ）
A. B. C. D.
2. 已知 ，求 的值。3. 计算：
4. 若 ，试比较A与B的大小。
5. 已知： ，求证： 。【试题答案】
1. 解：
故选B
2. 解：
说明：此题反复运用了已知条件的变形，最终达到化简求值的目的。
3. 解：原式
说明：本题逆用了分式加减法则对分式进行拆分，简化计算。
4. 解：设 ，则5. 证明：
，即
又
均不为零11、公式变形与字母系数方程
【知识精读】
含有字母系数的方程和只含有数字系数的一元一次方程的解法是相同的，但用含有字
母的式子去乘以或除以方程的两边，这个式子的值不能为零。
公式变形实质上是解含有字母系数的方程
对于含字母系数的方程，通过化简，一般归结为解方程 型，讨论如下：
（1）当 时，此时方程 为关于x的一元一次方程，解为：
（2）当 时，分以下两种情况：
<1>若 ，原方程变为 ，为恒等时，此时x可取任意数，故原方程有无数个解；
<2>若 ，原方程变为 ，这是个矛盾等式，故原方程无解。
含字母系数的分式方程主要有两类问题：（一）求方程的解，其中包括：字母给出条
件和未给出条件：（二）已知方程解的情况，确定字母的条件。
下面我们一起来学习公式变形与字母系数方程
【分类解析】
1. 求含有字母系数的一元一次方程的解
例1. 解关于x的方程
分析：将x以外字母看作数字，类似解一元一次方程，但注意除数不为零的条件。
解：去分母得：
移项，得
2. 求含字母系数的分式方程的解
例2. 解关于x的方程
分析：字母未给出条件，首先挖掘隐含的条件，分情况讨论。
解：若a、b全不为0，去分母整理，得
对 是否为0分类讨论：
（1）当 ，即 时，有 ，方程无解。
（2）当 ，即 时，解之，得
若a、b有一个为0，方程为 ，无解若a、b全为0，分母为0，方程无意义
检验：当 时，公分母 ，所以当 时，
是原方程的解。
说明：这种字母没给出条件的方程，首先讨论方程存在的隐含条件，这里a、b全不为
0时，方程存在，然后在方程存在的情况下，去分母、化为一元一次方程的最简形式，再
对未知数的字母系数分类讨论求解。当a、b中只有一个为0时，方程也存在，但无解；当
a、b全为0时，方程不存在。最后对字母条件归纳，得出方程的解。
3. 已知字母系数的分式方程的解，确定字母的条件
例3. 如果关于x的方程 有唯一解，确定a、b应满足的条件。
分析：显然方程存在的条件是： 且
解：若 且 ，去分母整理，得
当且仅当 ，即 时，解得
经检验， 是原方程的解
应满足的条件： 且
说明：已知方程有唯一解，显然方程存在的隐含条件是a、b全不为0，然后在方程存
在的条件下，求有解且唯一的条件。因为是分式方程，需验根后确定唯一解的条件。
4. 在其它学科中的应用（公式变形）
例4. 在物理学中我们学习了公式 ，其中所有的字母都不为零。已知S、
、t，试求a。
分析：利用字母系数方程完成公式变形，公式变形时要分清哪个量是被表示的量，则
这个量就是未知数，其它的量均视为已知量，然后按解字母系数方程求解。
解：
5、中考点拨
例1. 填空：在 中，已知 且 ，则 ________。解：
例2. 在公式 中，已知P、F、t都是正数，则s等于（ ）
A. B. C. D. 以上都不对
解：
，故选A
说明：以上两题均考察了公式变形。
6、题型展示：
例1. 解关于x的方程
解：原方程化为：
即
说明：本题中，常数“3”是一个重要的量，把3拆成3个1，正好能凑成公因式
。若按常规在方程两边去分母，则解法太繁，故解题中一定要注意观察方程
的结构特征，才能找到合适的办法。
例2. 解关于x的方程。
解：去括号：说明：解含字母系数的方程，在消未知数的系数时，一定要强调未知数的系数不等于
0，如果方程的解是分式形式，必须化成最简分式或整式。
例3. 已知 ，求z。（ ）
分析：本题是求z，实质上是解含有字母系数的分式方程，应确定已知量和未知量，
把方程化归为 的形式，便可求解。
解：
又
【实战模拟】
1. 解关于x的方程 ，其中 。
2. 解关于x的方程 。
3. a为何值时，关于x的方程 的解等于零？
4. 已知关于x的方程 有一个正整数解，求m的取值范围。
5. 如果a、b为定值，关于x的一次方程 ，无论取何值，它的根总
是1，求a、b的值。【试题答案】
1. 解：去分母，得
2. 解：原方程变为
即
（1）当 且 时，得
（2）当 时，原方程变为
为任意数，即原方程有无数个解
（3）当 时，原方程为 ，此时原方程无解。
3. 解：去分母，得
当 时，方程有唯一解，
设 ，则
综上所述，当 时，原方程的解为0。
4. 分析：解分式方程综合了分式的运算，整式方程等知识，除此之外，分式方程一般还可
能应用代数式的恒等变形的知识。
解：
原方程有解， 不能为增根
，即
又 方程解为正整数
，则
当 且 时，原方程有正整数解
5. 分析：原方程是关于x的一元一次方程，由题意把根代入原方程转化为解关于k的方程。
解：
由题意得 代入上式得：有无数解，
解得12、分式方程及其应用
【知识精读】
1. 解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程。
2. 解分式方程的一般步骤：
（1）在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程；
（2）解这个整式方程；
（3）验根：把整式方程的根代入最简公分母，看结果是否等于零，使最简公分母等于
零的根是原方程的增根，必须舍去，但对于含有字母系数的分式方程，一般不要求检验。
3. 列分式方程解应用题和列整式方程解应用题步骤基本相同，但必须注意，要检验求得的
解是否为原方程的根，以及是否符合题意。
下面我们来学习可化为一元一次方程的分式方程的解法及其应用。
【分类解析】
例1. 解方程：
分析：首先要确定各分式分母的最简公分母，在方程两边乘这个公分母时不要漏乘，
解完后记着要验根
解：方程两边都乘以 ，得
例2. 解方程
分析：直接去分母，可能出现高次方程，给求解造成困难，观察四个分式的分母发现
的值相差1，而分子也有这个特点，因此，可将分母
的值相差1的两个分式结合，然后再通分，把原方程两边化为分子相等的两个分式，利用
分式的等值性质求值。
解：原方程变形为：
方程两边通分，得经检验：原方程的根是
例3. 解方程：
分析：方程中的每个分式都相当于一个假分数，因此，可化为一个整数与一个简单的
分数式之和。
解：由原方程得：
即
例4. 解方程：
分析：此题若用一般解法，则计算量较大。当把分子、分母分解因式后，会发现分子
与分母有相同的因式，于是可先约分。
解：原方程变形为：
约分，得
方程两边都乘以
注：分式方程命题中一般渗透不等式，恒等变形，因式分解等知识。因此要学会根据
方程结构特点，用特殊方法解分式方程。
5、中考题解：
例1．若解分式方程 产生增根，则m的值是（ ）A. B.
C. D.
分析：分式方程产生的增根，是使分母为零的未知数的值。由题意得增根是：
化简原方程为： 把 代入解得
，故选择D。
例2. 甲、乙两班同学参加“绿化祖国”活动，已知乙班每小时比甲班多种2棵树，甲
班种60棵所用的时间与乙班种66棵树所用的时间相等，求甲、乙两班每小时各种多少棵
树？
分析：利用所用时间相等这一等量关系列出方程。
解：设甲班每小时种x棵树，则乙班每小时种（x+2）棵树，
由题意得：
答：甲班每小时种树20棵，乙班每小时种树22棵。
说明：在解分式方程应用题时一定要检验方程的根。
6、题型展示：
例1. 轮船在一次航行中顺流航行80千米，逆流航行42千米，共用了7小时；在另一
次航行中，用相同的时间，顺流航行40千米，逆流航行70千米。求这艘轮船在静水中的
速度和水流速度
分析：在航行问题中的等量关系是“船实际速度=水速+静水速度”，有顺水、逆水，
取水速正、负值，两次航行提供了两个等量关系。
解：设船在静水中的速度为x千米/小时，水流速度为y千米/小时
由题意，得
答：水流速度为3千米/小时，船在静水中的速度为17千米/小时。例2. m为何值时，关于x的方程 会产生增根？
解：方程两边都乘以 ，得
整理，得
说明：分式方程的增根，一定是使最简公分母为零的根
【实战模拟】
1. 甲、乙两地相距S千米，某人从甲地出发，以v千米/小时的速度步行，走了a小时后改
乘汽车，又过b小时到达乙地，则汽车的速度（ ）
A. B.
C. D.
2. 如果关于x的方程
A. B. C. D. 3
3. 解方程：
4. 求x为何值时，代数式 的值等于2？
5. 甲、乙两个工程队共同完成一项工程，乙队先单独做1天后，再由两队合作2天就完成
了全部工程。已知甲队单独完成工程所需的天数是乙队单独完成所需天数的 ，求甲、乙
两队单独完成各需多少天？【试题答案】
1. 由已知，此人步行的路程为av千米，所以乘车的路程为 千米。
又已知乘车的时间为b小时，故汽车的速度为
2. 把方程两边都乘以
若方程有增根，则
3. （1）分析：方程左边很特殊，从第二项起各分式的分母为两因式之积，两因式的值都
相差1，且相邻两项的分母中都有相同的因式。因此，可利用 裂项，
即用“互为相反数的和为0”将原方程化简
解：原方程可变为
（2）分析：用因式分解（提公因式法）简化解法
解：
因为其中的
经检验： 是原方程的根。
4. 解：由已知得的值等于2。
5. 设：乙队单独完成所需天数x天，则甲队单独完成需 天。
由题意，得
经检验
答：甲、乙两队单独完成分别需4天，6天。13、分式总复习
【知识精读】
【分类解析】
1. 分式有意义的应用
例1. 若 ，试判断 是否有意义。
分析：要判断 是否有意义，须看其分母是否为零，由条件中等式左边因
式分解，即可判断 与零的关系。
解：
即
或
中至少有一个无意义。
2. 结合换元法、配方法、拆项法、因式分解等方法简化分式运算。例2. 计算：
分析：如果先通分，分子运算量较大，观察分子中含分母的项与分母的关系，可采取
“分离分式法”简化计算。
解：原式
例3. 解方程：
分析：因为 ， ，所以最简公
分母为： ，若采用去分母的通常方法，运算量较大。由于
故可得如下解法。
解：
原方程变为
经检验， 是原方程的根。
3. 在代数求值中的应用
例4. 已知 与 互为相反数，求代数式的值。
分析：要求代数式的值，则需通过已知条件求出 a、b 的值，又因为
， ，利用非负数及相反数的性质可求出a、b的值。
解：由已知得 ，解得
原式
把 代入得：原式
4. 用方程解决实际问题
例5. 一列火车从车站开出，预计行程450千米，当它开出3小时后，因特殊任务多停一
站，耽误30分钟，后来把速度提高了0.2倍，结果准时到达目的地，求这列火车的速度。
解：设这列火车的速度为x千米/时
根据题意，得
方程两边都乘以12x，得
解得
经检验， 是原方程的根
答：这列火车原来的速度为75千米/时。
5. 在数学、物理、化学等学科的学习中，都会遇到有关公式的推导，公式的变形等问题。
而公式的变形实质上就是解含有字母系数的方程。
例6. 已知 ，试用含x的代数式表示y，并证明 。
解：由 ，得6、中考原题：
例1．已知 ，则M＝__________。
分析：通过分式加减运算等式左边和右边的分母相同，则其分子也必然相同，即可求
出M。
解：
例2．已知 ，那么代数式 的值是_________。
分析：先化简所求分式，发现把 看成整体代入即可求的结果。
解：原式
7、题型展示：
例1. 当x取何值时，式子 有意义？当x取什么数时，该式子值为零？
解：由得 或
所以，当 和 时，原分式有意义
由分子 得
当 时，分母
当 时，分母 ，原分式无意义。
所以当 时，式子 的值为零
例2. 求 的值，其中 。
分析：先化简，再求值。
解：原式
【实战模拟】
1. 当x取何值时，分式 有意义？
2. 有一根烧红的铁钉，质量是m，温度是 ，它放出热量Q后，温度降为多少？（铁的
比热为c）
3. 计算：4. 解方程：
5. 要在规定的日期内加工一批机器零件，如果甲单独做，刚好在规定日期内完成，乙单独
做则要超过3天。现在甲、乙两人合作2天后，再由乙单独做，正好按期完成。问规定日
期是多少天？
6. 已知 ，求 的值。【试题答案】
1. 解：由题意得
解得 且
当 且 时，原式有意义
2. 解：设温度降为t，由已知得：
答：温度降为 。
3. 分析：此题的解法要比将和后两个分式直接通分计算简便，它采用了逐步通分的方法。
因此灵活运用法则会给解题带来方便。同时注意结果要化为最简分式。
解：原式
4. 解：原方程化为
方程两边通分，得
化简得
解得
经检验： 是原方程的根。
说明：解分式方程时，在掌握一般方法的基础上，要注意根据题目的特点，选用简便
的方法，减少繁琐计算。5. 分析：设规定日期是x天，则甲的工作效率为 ，乙的工作效率为 ，工作总量为
1
解：设规定日期为x天
根据题意，得
解得
经检验 是原方程的根
答：规定日期是6天。
6. 解：
由(1)(2)解得14、如何做几何证明题
【知识精读】
1. 几何证明是平面几何中的一个重要问题，它对培养学生逻辑思维能力有着很大作用。几
何证明有两种基本类型：一是平面图形的数量关系；二是有关平面图形的位置关系。这两
类问题常常可以相互转化，如证明平行关系可转化为证明角等或角互补的问题。
2. 掌握分析、证明几何问题的常用方法：
（1）综合法（由因导果），从已知条件出发，通过有关定义、定理、公理的应用，逐
步向前推进，直到问题的解决；
（2）分析法（执果索因）从命题的结论考虑，推敲使其成立需要具备的条件，然后再
把所需的条件看成要证的结论继续推敲，如此逐步往上逆求，直到已知事实为止；
（3）两头凑法：将分析与综合法合并使用，比较起来，分析法利于思考，综合法易于
表达，因此，在实际思考问题时，可合并使用，灵活处理，以利于缩短题设与结论的距离
最后达到证明目的。
3. 掌握构造基本图形的方法：复杂的图形都是由基本图形组成的，因此要善于将复杂图形
分解成基本图形。在更多时候需要构造基本图形，在构造基本图形时往往需要添加辅助线
以达到集中条件、转化问题的目的。
【分类解析】
1、证明线段相等或角相等
两条线段或两个角相等是平面几何证明中最基本也是最重要的一种相等关系。很多其
它问题最后都可化归为此类问题来证。证明两条线段或两角相等最常用的方法是利用全等
三角形的性质，其它如线段中垂线的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等
也经常用到。
例1. 已知：如图1所示， 中， 。
求证：DE＝DF
分析：由 是等腰直角三角形可知， ，由D是AB中点，可考
虑连结CD，易得 ， 。从而不难发现
证明：连结CD说明：在直角三角形中，作斜边上的中线是常用的辅助线；在等腰三角形中，作顶角
的平分线或底边上的中线或高是常用的辅助线。显然，在等腰直角三角形中，更应该连结
CD，因为CD既是斜边上的中线，又是底边上的中线。本题亦可延长 ED到G，使DG＝
DE，连结BG，证 是等腰直角三角形。有兴趣的同学不妨一试。
例2. 已知：如图2所示，AB＝CD，AD＝BC，AE＝CF。
求证：∠E＝∠F
证明：连结AC
在 和 中，
在 和 中，
说明：利用三角形全等证明线段求角相等。常须添辅助线，制造全等三角形，这时应
注意：
（1）制造的全等三角形应分别包括求证中一量；
（2）添辅助线能够直接得到的两个全等三角形。
2、证明直线平行或垂直
在两条直线的位置关系中，平行与垂直是两种特殊的位置。证两直线平行，可用同位
角、内错角或同旁内角的关系来证，也可通过边对应成比例、三角形中位线定理证明。证
两条直线垂直，可转化为证一个角等于90°，或利用两个锐角互余，或等腰三角形“三线
合一”来证。例3. 如图3所示，设BP、CQ是 的内角平分线，AH、AK分别为A到BP、CQ
的垂线。
求证：KH∥BC
分析：由已知，BH平分∠ABC，又BH⊥AH，延长AH交BC于N，则BA＝BN，
AH＝HN。同理，延长AK交BC于M，则CA＝CM，AK＝KM。从而由三角形的中位线
定理，知KH∥BC。
证明：延长AH交BC于N，延长AK交BC于M
∵BH平分∠ABC
又BH⊥AH
BH＝BH
同理，CA＝CM，AK＝KM
是 的中位线
即KH//BC
说明：当一个三角形中出现角平分线、中线或高线重合时，则此三角形必为等腰三角
形。我们也可以理解成把一个直角三角形沿一条直角边翻折（轴对称）而成一个等腰三角
形。
例4. 已知：如图4所示，AB＝AC， 。
求证：FD⊥ED
证明一：连结AD在 和 中，
说明：有等腰三角形条件时，作底边上的高，或作底边上中线，或作顶角平分线是常
用辅助线。
证明二：如图5所示，延长ED到M，使DM＝ED，连结FE，FM，BM
说明：证明两直线垂直的方法如下：
（1）首先分析条件，观察能否用提供垂直的定理得到，包括添常用辅助线，见本题证
二。（2）找到待证三直线所组成的三角形，证明其中两个锐角互余。
（3）证明二直线的夹角等于90°。
3、证明一线段和的问题
（一）在较长线段上截取一线段等一较短线段，证明其余部分等于另一较短线段。
（截长法）
例5. 已知：如图6所示在 中， ，∠BAC、∠BCA的角平分线AD、CE
相交于O。
求证：AC＝AE＋CD
分析：在AC上截取AF＝AE。易知 ， 。由 ，
知 。 ，得：
证明：在AC上截取AF＝AE
又
即
（二）延长一较短线段，使延长部分等于另一较短线段，则两较短线段成为一条线段，证
明该线段等于较长线段。（补短法）
例6. 已知：如图7所示，正方形ABCD中，F在DC上，E在BC上， 。
求证：EF＝BE＋DF分析：此题若仿照例1，将会遇到困难，不易利用正方形这一条件。不妨延长CB至
G，使BG＝DF。
证明：延长CB至G，使BG＝DF
在正方形ABCD中，
又
即∠GAE＝∠FAE
4、中考题：
如图8所示，已知 为等边三角形，延长BC到D，延长BA到E，并且使AE＝
BD，连结CE、DE。
求证：EC＝ED
证明：作DF//AC交BE于F
是正三角形
是正三角形
又AE＝BD
即EF＝AC题型展示：
证明几何不等式：
例题：已知：如图9所示， 。
求证：
证明一：延长AC到E，使AE＝AB，连结DE
在 和 中，
证明二：如图10所示，在AB上截取AF＝AC，连结DF
则易证
说明：在有角平分线条件时，常以角平分线为轴翻折构造全等三角形，这是常用辅助
线。【实战模拟】
1. 已知：如图11所示， 中， ，D是AB上一点，DE⊥CD于D，交BC
于E，且有 。求证：
2. 已知：如图12所示，在 中， ，CD是∠C的平分线。
求证：BC＝AC＋AD
3. 已知：如图13所示，过 的顶点A，在∠A内任引一射线，过B、C作此射线的
垂线BP和CQ。设M为BC的中点。
求证：MP＝MQ
4. 中， 于D，求证：【试题答案】
1. 证明：取CD的中点F，连结AF
又
2. 分析：本题从已知和图形上看好象比较简单，但一时又不知如何下手，那么在证明一条
线段等于两条线段之和时，我们经常采用“截长补短”的手法。“截长”即将长的线段截
成两部分，证明这两部分分别和两条短线段相等；“补短”即将一条短线段延长出另一条
短线段之长，证明其和等于长的线段。
证明：延长CA至E，使CE＝CB，连结ED
在 和 中，又
3. 证明：延长PM交CQ于R
又
是 斜边上的中线
4. 取BC中点E，连结AE15、三角形总复习
【知识精读】
1. 三角形的内角和定理与三角形的外角和定理；
2. 三角形中三边之间的关系定理及其推论；
3. 全等三角形的性质与判定；
4. 特殊三角形的性质与判定（如等腰三角形）；
5. 直角三角形的性质与判定。
三角形一章在平面几何中占有十分重要的地位。从知识上来看，许多内容应用十分广
泛，可以解决一些简单的实际问题；从证题方法来看，全等三角形的知识，为我们提供了
一个及为方便的工具，通过证明全等，解决证明两条线段相等，两个角相等，从而解决平
行、垂直等问题。因此，它揭示了研究封闭图形的一般方法，为以后的学习提供了研究的
工具。因此，在学习中我们应该多总结，多归纳，使知识更加系统化，解题方法更加规范
从而提高我们的解题能力。
【分类解析】
1. 三角形内角和定理的应用
例1. 如图1，已知 中， 于D，E是AD上一点。
求证：
证明：由AD⊥BC于D，可得∠CAD＝∠ABC
又
则
可证
即
说明：在角度不定的情况下比较两角大小，如果能运用三角形内角和都等于180°间接
求得。
2. 三角形三边关系的应用
例2. 已知：如图2，在 中， ，AM是BC边的中线。
求证：证明：延长AM到D，使MD＝AM，连接BD
在 和 中，
在 中， ，而
说明：在分析此问题时，首先将求证式变形，得 ，然后通过倍长中
线的方法，相当于将 绕点旋转180°构成旋转型的全等三角形，把AC、AB、2AM
转化到同一三角形中，利用三角形三边不等关系，达到解决问题的目的。很自然有
。请同学们自己试着证明。
3. 角平分线定理的应用
例3. 如图3，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC。
求证：AM平分DAB。
证明：过M作MG⊥AD于G，∵DM平分∠ADC，MC⊥DC，MG⊥AD
∴MC＝MG（在角的平分线上的点到角的两边距离相等）
∵MC＝MB，∴MG＝MB
而MG⊥AD，MB⊥AB
∴M在∠ADC的平分线上（到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上）
∴DM平分∠ADC
说明：本题的证明过程中先使用角平分线的定理是为判定定理的运用创造了条件MG＝MB。同时要注意不必证明三角形全等，否则就是重复判定定理的证明过程。
4. 全等三角形的应用
（1）构造全等三角形解决问题
例4. 已知如图4，△ABC是边长为1的等边三角形，△BDC是顶角（∠BDC）为
120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°的角，它的两边分别交AB于M，交AC于N，
连结MN。求证： 的周长等于2。
分析：欲证 的周长等于2，需证明它等于等边 的两边的长，只需证
。采用旋转构造全等的方法来解决。
证明：以点D为旋转中心，将 顺时针旋转120°，点B落在点C的位置，点M
落在M'点的位置。
得：∠MBD＝∠NCD＝90°
∴∠NCD 与∠DCM'构成平角，且 BM＝CM'，DM＝DM'，∠NDM'＝∠NDC＋
∠CDM'＝∠NDC＋∠BDM＝120°－60°＝60°
在 和 中，
的周长
说明：通过旋转，使已知图形中的角、线段充分得到利用，促进了问题的解决。
（2）“全等三角形”在综合题中的应用
例5. 如图5，已知：点C是∠FAE的平分线AC上一点，CE⊥AE，CF⊥AF，E、F为垂
足。点B在AE的延长线上，点D在AF上。若AB＝21，AD＝9，BC＝DC＝10。求AC
的长。分析：要求AC的长，需在直角三角形ACE中知AE、CE的长，而AE、CE均不是已
知长度的线段，这时需要通过证全等三角形，利用其性质，创设条件证出线段相等，进而
求出AE、CE的长，使问题得以解决。
解：∵AC平分∠FAE，CF⊥AF，CE⊥AE
∴CF＝CE
∴BE＝DF
设 ，则
在 中，
在 中，
答：AC的长为17。
5、中考点拨
例1.
如图，在 中，已知∠B和∠C的平分线相交于点F，过点F作DE∥BC，交AB
于点D，交AC于点E，若BD＋CE＝9，则线段DE的长为（ ）
A. 9 B. 8 C. 7 D. 6分析：初看此题，看到DE＝DF＋FE后，就想把DF和FE的长逐个求出后再相加得
DE，但由于DF与FE的长都无法求出，于是就不知怎么办了？其实，若能注意到已知条
件中的“BD＋CE＝9”，就应想一想，DF＋FE是否与BD＋CE相关？是否可以整体求出？
若能想到这一点，就不难整体求出DF＋FE也就是DE的长了。
解：∵BF是∠B的平分线
∴∠DBF＝∠CBF
又DE∥BC
∴∠DFB＝∠CBF
∴∠BDF＝∠DFB
∴DF＝BD
同理，FE＝CE
∴DF＋FE＝BD＋CE＝9
即DE＝9
故选A
6、题型展示
例1. 已知：如图6， 中，AB＝AC，∠ACB＝90°，D是AC上一点，AE垂直BD
的延长线于E， 。
求证：BD平分∠ABC
分析：要证∠ABD＝∠CBD，可通过三角形全等来证明，但图中不存在可证全等的三
角形，需设法进行构造。注意到已知条件的特点，采用补形构造全等的方法来解决。
简证：延长AE交BC的延长线于F
易证 （ASA或AAS）于是又不难证得
∴BD平分∠BAC
说明：通过补形构造全等，沟通了已知和未知，打开了解决问题的通道。
例2. 某小区结合实际情况建了一个平面图形为正三角形的花坛。如图 7，在正三角形
ABC花坛外有满足条件PB＝AB的一棵树P，现要在花坛内装一喷水管D，点D的位置必
须满足条件AD＝BD，∠DBP＝DBC，才能使花坛内全部位置及树P均能得到水管D的喷
水，问∠BPD为多少度时，才能达到上述要求？
分析：此题是一个实际问题，应先将实际问题转化成数学问题，转化后的数学问题是：
如图7，D为正 内一点，P为正 外一点，PB＝AB，AD＝BD，∠DBP＝
∠DBC，求∠BPD＝？在解此数学问题时，要用到全等三角形的知识。
解：连CD
又
，即 时，才能达到要求。【实战模拟】
1. 填空：等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12cm和21cm，则这个等腰三
角形底边的长为____________。
2. 在锐角 中，高AD和BE交于H点，且BH＝AC，则∠ABC＝__________。
3. 如图所示，D是 的∠ACB的外角平分线与BA的延长线的交点。试比较∠BAC
与∠B的大小关系。
4. 如图所示，AB＝AC，∠BAC＝90°，M是AC中点，AE⊥BM。
求证：∠AMB＝∠CMD
5. 设三个正数a、b、c满足 ，求证：a、b、c一定是某
个三角形三边的长。【试题答案】
1. 5cm
2. 45°
3. 分析：如图所示，∠BAC是 的外角，所以
因为∠1＝∠2，所以∠BAC＞∠2
又因为∠2是 的外角，所以∠2＞∠B，问题得证。
答：∠BAC＞∠B
∵∠CD平分∠ACE，∴∠1＝∠2
∵∠BAC＞∠1，∴∠BAC＞∠2
∵∠2＞∠B，∴∠BAC＞∠B
4. 证明一：过点C作CF⊥AC交AD的延长线于F
又∠BAC＝∠ACF＝90°
AC＝AB
又AM＝MC，∴MC＝CF
又∠3＝∠4＝45°，CD＝CD
证明二：过点A作AN平分∠BAC交BM于N
又AN平分∠BAC又AB＝AC
又
AM＝CM
说明：若图中所证的两个角或两条线段没有在全等三角形中，可以把求证的角或线段
用和它相等的量代换。若没有相等的量代换，可设法作辅助线构造全等三角形。
5. 证明：由已知得：
即
是某一三角形三边的长
