专题16.2二次根式的混合运算（压轴题专项讲练）（人教版）（教师版）_初中数学_八年级数学下册（人教版）_压轴题专项-V5_2025版

专题 16.2 二次根式的混合运算 ◆ 典例分析 【典例1】材料一：由(❑√5+❑√3)(❑√5−❑√3)=(❑√5) 2 −(❑√3) 2=2可以看出，两个含有二次根式的代数式相 乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因 式，有时可以化去分母中的根号，例如： 1 ❑√3−❑√2 = =❑√3−❑√2； ❑√3+❑√2 (❑√3+❑√2)(❑√3−❑√2) 材料二：根式化简 1 1 ❑√3−1 1( 1 ) = = = 1− ； 3+❑√3 ❑√3(❑√3+1) ❑√3(❑√3+1)(❑√3−1) 2 ❑√3 1 1 ❑√5−❑√3 1( 1 1 ) = = = − ． 5❑√3+3❑√5 ❑√15(❑√5+❑√3) ❑√15(❑√5+❑√3)(❑√5−❑√3) 2 ❑√3 ❑√5 根据以上材料，请完成下列问题： 3 （1） =_____ _；（直接写结果） 3−❑√6 1 1 1 1 （2）计算： + + +…+ ； ❑√2+1 ❑√3+❑√2 ❑√4+❑√3 ❑√100+❑√99 1 1 1 1 （3）计算： + + +…+ ； 3+❑√3 5❑√3+3❑√5 7❑√5+5❑√7 49❑√47+47❑√49 ❑√5−❑√3 ❑√7−❑√5 ❑√2025−❑√2023 （4）计算： + +…+ ． 1+❑√3+❑√5+❑√3×5 1+❑√5+❑√7+❑√5×7 1+❑√2023+❑√2025+❑√2023×2025 【思路点拨】 本题考查分母有理数、二次根式的混合运算，理解分母有理化的求解过程并灵活运用是解答的关键． （1）仿照题中例题解过程求解即可； （2）仿照题中求解过程化简各式，然后加减运算即可求解； （3）仿照题中求解过程化简各式，然后加减运算即可求解； （4）先对分母分解因式，再进行裂项化简各数，然后加减运算即可． 【解题过程】3 3(3+❑√6) 3(3+❑√6) （1）解： = = =3+❑√6， 3−❑√6 (3−❑√6)(3+❑√6) 9−6 故答案为：3+❑√6 1 1 1 1 （2）解： + + +…+ ❑√2+1 ❑√3+❑√2 ❑√4+❑√3 ❑√100+❑√99 1×(❑√2−1) 1×(❑√3−❑√2) 1×(❑√4−❑√3) 1×(❑√100−❑√99) = + + +…+ (❑√2+1)(❑√2−1) (❑√3+❑√2)(❑√3−❑√2) (❑√4+❑√3)(❑√4−❑√3) (❑√100+❑√99)(❑√100−❑√99) ❑√2−1 ❑√3−❑√2 ❑√4−❑√3 ❑√100−❑√99 = + + +…+ 2−1 3−2 4−4 100−99 =(❑√2−1)+(❑√3−❑√2)+(❑√4−❑√3)+…+(❑√100−❑√99) =−1+❑√100 =−1+10 =9； 1 1 1 1 （3）解： + + +…+ 3+❑√3 5❑√3+3❑√5 7❑√5+5❑√7 49❑√47+47❑√49 1 1 1 1 = + + +…+ ❑√3(❑√3+1) ❑√3×5(❑√5+❑√3) ❑√5×7(❑√7+❑√5) ❑√47×49(❑√49+❑√47) ❑√3−1 ❑√5−❑√3 ❑√7−❑√5 ❑√49−❑√47 = + + +…+ ❑√3(❑√3+1)(❑√3−1) ❑√3×5(❑√5+❑√3)(❑√5−❑√3) ❑√5×7(❑√7+❑√5)(❑√7−❑√5) ❑√47×49(❑√49+❑√47)(❑√49−❑√47) ❑√3−1 ❑√5−❑√3 ❑√7−❑√5 ❑√49−❑√47 = + + +…+ 2❑√3 2❑√3×5 2❑√5×7 2❑√47×49 1 ( 1 1 1 1 1 1 1 ) = × 1− + − + − +…+ − 2 ❑√3 ❑√3 ❑√5 ❑√5 ❑√7 ❑√47 ❑√49 1 ( 1 ) = × 1− 2 ❑√49 1 ( 1) = × 1− 2 7 3 = ； 7❑√5−❑√3 ❑√7−❑√5 ❑√2025−❑√2023 （4）解： + +…+ 1+❑√3+❑√5+❑√3×5 1+❑√5+❑√7+❑√5×7 1+❑√2023+❑√2025+❑√2023×2025 ❑√5−❑√3 ❑√7−❑√5 ❑√2025−❑√2023 = + +…+ 1+❑√3+❑√5+❑√3⋅❑√5 1+❑√5+❑√7+❑√5⋅❑√7 1+❑√2023+❑√2025+❑√2023⋅❑√2025 (❑√5+1)−(❑√3−1) (❑√7+1)−(❑√5+1) (❑√2025+1)−(❑√2023+1) = + +…+ (❑√3+1)(❑√5+1) (❑√5+1)(❑√7+1) (❑√2025+1)(❑√2023+1) 1 1 1 1 1 1 = − + − +…+ − ❑√3+1 ❑√5+1 ❑√5+1 ❑√7+1 ❑√1023+1 ❑√2025+1 1 1 = − ❑√3+1 ❑√2025+1 ❑√3−1 1 = − (❑√3+1)(❑√3−1) 45+1 ❑√3−1 1 ❑√3 12 = − = − ． 2 46 2 23 ◆ 学霸必刷 √1 1．（24-25八年级上·河北保定·阶段练习）估计(❑√72−❑√24)÷❑√2+9❑ 的运算结果应在（ ） 3 A．4到5之间 B．5到6之间 C．6到7之间 D．7到8之间 【思路点拨】 本题考查了二次根式的混合运算、无理数的估算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键．先化简二次 根式，再计算二次根式的除法与乘法，然后计算二次根式的加法与减法，最后根据无理数的估算方法求解 即可得． 【解题过程】 √1 解：(❑√72−❑√24)÷❑√2+9❑ 3 ❑√3 =(6❑√2−2❑√6)÷❑√2+9× 3 =6❑√2÷❑√2−2❑√6÷❑√2+3❑√3 =6−2❑√3+3❑√3 =6+❑√3， ∵1<3<4，∴❑√1<❑√3<❑√4，即1<❑√3<2， ∴1+6<6+❑√3<2+6，即7<6+❑√3<8， √1 即估计(❑√72−❑√24)÷❑√2+9❑ 的运算结果应在7到8之间， 3 故选：D． 2．（24-25九年级上·河南南阳·阶段练习）张老师在黑板上出了一道计算题：(3−❑√6)◯(❑√6+3)，要求 同学们在“○”中填入适当的运算符号，使得计算结果是有理数，“○”中可以填的符号是（ ） A．×或÷ B．+或÷ C．+或× D．−或× 【思路点拨】 本题主要考查了二次根式的四则运算，分别填入加减乘除在圆圈里面，根据二次根式的相关计算法则求出 对应的结果即可得到答案． 【解题过程】 解：(3−❑√6)−(❑√6+3)=3−❑√6−❑√6−3=−2❑√6； (3−❑√6)+(❑√6+3)=3−❑√6+❑√6+3=6； (3−❑√6)×(❑√6+3)=32−(❑√6) 2=9−6=3； (3−❑√6)÷(❑√6+3) 3−❑√6 = ❑√6+3 (3−❑√6)(❑√6−3) = (❑√6+3)(❑√6−3) 3❑√6−6−9+3❑√6 = (❑√6) 2 −32 6❑√6−15 = 6−9 =5−2❑√6； ∴“○”中可以填的符号是+或×， 故选：C．3．（23-24八年级下·重庆江津·阶段练习）某数学兴趣小组在学习二次根式的时候发现：有时候两个含有 二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，如❑√a⋅❑√a=a，(2❑√3−❑√2)(2❑√3+❑√2)=10．通过查阅相 关资料发现，这样的两个代数式互为有理化因式．小组成员利用有理化因式，得到了一些结论： 1 3+❑√7 ① = ； ❑√7−3 2 a b ②设有理数a，b满足： + =−6❑√2+4，则a+b=6； ❑√2+1 ❑√2−1 1 1 ③ > ； ❑√2022−❑√2021 ❑√2020−❑√2019 ④已知❑√43−x−❑√11−x=4，则❑√43−x+❑√11−x=6； 1 1 1 1 33−❑√11 ⑤ + + +⋅⋅⋅+ = ． 3+❑√3 5❑√3+3❑√5 7❑√5+5❑√7 99❑√97+97❑√99 66 以上结论正确的有（ ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【思路点拨】 本题考查了二次根式的混合运算，对各个项利用有理化因式进行变形计算后即可判断，在二次根式的混合 运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 【解题过程】 1 ❑√7+3 ❑√7+3 解：① = =− ，故错误； ❑√7−3 (❑√7−3)(❑√7+3) 2 a b ②设有理数a，b满足： + =−6❑√2+4， ❑√2+1 ❑√2−1 a b ∵ + ❑√2+1 ❑√2−1 a(❑√2−1) b(❑√2+1) = + 2−1 2−1 =(a+b)❑√2+(−a+b)， ∴(a+b)❑√2+(−a+b)=−6❑√2+4， ∴a+b=−6，故错误； 1 ❑√2022+❑√2021 ③∵ = =❑√2022+❑√2021， ❑√2022−❑√2021 2022−20211 ❑√2020+❑√2019 = =❑√2020+❑√2019， ❑√2020−❑√2019 2020−2019 ∴❑√2022+❑√2021>❑√2020+❑√2019， 1 1 ∴ > ，故正确； ❑√2022−❑√2021 ❑√2020−❑√2019 ④∵(❑√43−x−❑√11−x)(❑√43−x+❑√11−x) =(43−x)−(11−x) =32， 而❑√43−x−❑√11−x=4， ∴ ❑√43−x+❑√11−x=8，故错误； 1 1 1 1 ⑤ + + +……+ ， 3+❑√3 5❑√3+3❑√5 7❑√5+5❑√7 99❑√97+97❑√99 3−❑√3 5❑√3−3❑√5 7❑√5−5❑√7 99❑√97−97❑√99 = + + +……+ ， 6 30 70 2×99×97 1 ❑√3 ❑√3 ❑√5 ❑√5 ❑√7 ❑√97 ❑√99 = − + − + − +⋯⋯+ − ， 2 6 6 10 10 14 2×97 2×99 1 ❑√99 = − 2 2×99 1 ❑√11 = − 2 2×33 33−❑√11 = ，故正确； 66 综上所述，正确的为③⑤，为2个， 故选：B． 4．（23-24八年级下·重庆北碚·期中）已知a =❑√3，将a 的整数部分加上a 的小数部分的倒数得到a ，再 0 0 0 1 将a 的整数部分加上a 的小数部分的倒数得到a ，以此类推可得到a ，a ，……，a ．如❑√3的整数部分为 1 1 2 3 4 n 1 ❑√3+1 1，小数部分为❑√3−1，所以a =1+ =1+ ．根据以上信息，下列说法正确的有 1 ❑√3−1 2 （ ） 9+❑√3 ❑√3−1 3+❑√3 ①a = ；②a 的小数部分为 ；③a −a = ；④ 3 2 2022 2 20 19 21 1 1 47 + +⋯⋯+ = ；⑤ (a −❑√3)(a −❑√3) (a −❑√3)(a −❑√3) (a −❑√3)(a −❑√3) 450 2 4 4 6 98 100 ． a +a +a +⋯⋯+a =1230+30❑√3 1 2 3 40 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【思路点拨】 根据定义找到a 的规律，再逐个判断即可． n 【解题过程】 1 ❑√3+1 ❑√3+3 ❑√3−1 解：由题意得，a =1+ =1+ = ，它的整数部分为2，小数部分为 ； 1 ❑√3−1 2 2 2 2 a =2+ =2+❑√3+1=❑√3+3，它的整数部分为4，小数部分为❑√3−1； 2 ❑√3−1 1 ❑√3+1 ❑√3+9 ❑√3−1 a =4+ =4+ = ，它的整数部分为5，小数部分为 ； 3 ❑√3−1 2 2 2 2 a =5+ =5+❑√3+1=❑√3+6，它的整数部分为7，小数部分为❑√3−1； 4 ❑√3−1 1 ❑√3+1 ❑√3+15 ❑√3−1 a =7+ =7+ = ，它的整数部分为8，小数部分为 ； 5 ❑√3−1 2 2 2 2 a =8+ =8+❑√3+1=❑√3+9，它的整数部分为10，小数部分为❑√3−1； 6 ❑√3−1 ❑√3+3n n−1 3n+1 ❑√3−1 ∴n为奇数时，a = ，它的整数部分为2+3× = ，小数部分为 ； n 2 2 2 2 3 n−2 3n+2 n为偶数时，a =❑√3+ n，它的整数部分为4+3× = ，小数部分为❑√3−1； n 2 2 2 9+❑√3 ∴①a = ，正确； 3 2 ②a 的小数部分为❑√3−1，错误； 2022 57+❑√3 3+❑√3 ③a −a =❑√3+30− = ，正确； 20 19 2 2 1 1 1 ④ + +⋯⋯+ (a −❑√3)(a −❑√3) (a −❑√3)(a −❑√3) (a −❑√3)(a −❑√3) 2 4 4 6 98 100 1 1 1 = + +⋯⋯+ 3×6 6×9 49×3×50×31 ( 1 ) 49 = × 1− = ，错误； 9 50 450 ⑤a +a +a +⋯⋯+a 1 2 3 40 =(a +a +⋯+a )+(a +a ⋯+a ) 1 3 39 2 4 40 (❑√3+3 ❑√3+6 ❑√3+127) = + +⋯++ +(❑√3+3+❑√3+6⋯+❑√3+60) 2 2 2 =(10❑√3+600)+(20❑√3+630) =30❑√3+1230，正确； 综上所述，正确的是①③⑤,共3个； 故选：B． 5．（23-24八年级下·重庆九龙坡·阶段练习）“黑白双雄，纵横江湖；双剑合壁，天下无敌”．其意指两 个人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中也有这样相辅相成的例子．如 (❑√5+❑√2)(❑√5−❑√2)=(❑√5) 2 −(❑√2) 2=3，它们的积是有理数，我们说这两个二次根式互为有理化因式，在 进行二次根式计算时利用有理化因式可以去掉根号，令A =❑√n（n为非负数），则 n (A +A )(A −A )=(❑√m+❑√n)(❑√m−❑√n)=(❑√m) 2 −(❑√n) 2=m−n； m n m n 1 1 ❑√m−❑√n ❑√m−❑√n = = = ．则下列选项正确的有（ ）个 A +A (❑√m+❑√n) (❑√m+❑√n)(❑√m−❑√n) m−n m n 3 ①若a是A 的小数部分，则 的值为❑√7−2； 7 a b c ②若 − =8❑√5+4（其中b、c为有理数），则bc=−15； A −A A +A 5 4 5 4 ③❑√A +10−❑√A −2=2，则❑√A +10+❑√A −2=6 n n n n 1 1 1 1 ❑√2023 ④ + + +⋯+ =1− 2A +A 3A +2A 4A +3A 2023A +2022A 2023 1 2 2 3 3 4 2022 2023 A．4 B．3 C．2 D．1 【思路点拨】3 先估算出2<❑√7<3，则a=❑√7−2，然后对 进行分母有理化即可判断①；根据 a b c − =8❑√5+4推出❑√5(b−c)+2(b+c)=8❑√5+4，正在由b、c为有理数，得到方程组 A −A A +A 5 4 5 4 {b−c=8) ，解方程组即可得到答案；只需要根据 b+c=2 (❑√A +10−❑√A −2)(❑√A +10+❑√A −2)=2(❑√A +10+❑√A −2)，推出 n n n n n n 1 ❑√n ❑√n+1 A +10−(A −2)=2(❑√A +10+❑√A −2)，即可判断③；证明 = − ，然后 n n n n (n+1)❑√n+n❑√n+1 n n+1 对原式裂项即可判断④． 【解题过程】 解：由题意得A =❑√7， 7 ∵4<7<9， ∴2<❑√7<3， ∴a=❑√7−2， 3 3 3(❑√7+2) 3(❑√7+2) ∴ = = = =❑√7+2，故①错误； a ❑√7−2 (❑√7−2)(❑√7+2) 7−4 b c ∵ − =8❑√5+4， A −A A +A 5 4 5 4 b c ∴ − =8❑√5+4， ❑√5−❑√4 ❑√5+❑√4 b c ∴ − =8❑√5+4， ❑√5−2 ❑√5+2 (❑√5+2)b−(❑√5−2)c ∴ =8❑√5+4， 5−4 ∴❑√5(b−c)+2(b+c)=8❑√5+4， ∵b、c为有理数， {b−c=8) ∴ ， b+c=2 { b=5 ) ∴ ， c=−3∴bc=−15，故②正确； ∵❑√A +10−❑√A −2=2， n n ∴(❑√A +10−❑√A −2)(❑√A +10+❑√A −2)=2(❑√A +10+❑√A −2) n n n n n n ∴A +10−(A −2)=2(❑√A +10+❑√A −2)， n n n n ∴A +10−A +2=2(❑√A +10+❑√A −2)， n n n n ∴❑√A +10+❑√A −2=6，故③正确； n n 1 (n+1)❑√n−n❑√n+1 = ∵ (n+1)❑√n+n❑√n+1 [(n+1)❑√n+n❑√n+1)[(n+1)❑√n−n❑√n+1) (n+1)❑√n−n❑√n+1 = (n+1) 2n−n2(n+1) (n+1)❑√n−n❑√n+1 = n(n+1) ❑√n ❑√n+1 = − ， n n+1 1 1 1 1 ∴ + + +⋯+ 2A +A 3A +2A 4A +3A 2023A +2022A 1 2 2 3 3 4 2022 2023 ❑√1 ❑√2 ❑√2 ❑√3 ❑√3 ❑√4 ❑√2022 ❑√2023 = − + − + − +⋯+ − 1 2 2 3 3 4 2022 2022 ❑√2023 =1− ，故④正确； 2023 故选B． 6．（24-25八年级上·上海杨浦·阶段练习）(❑√3+❑√2) 6的整数部分是 ． 【思路点拨】 本题考查了估算无理数的大小和二次根式的性质与化简，能根据幂的运算法则简化指数是解此题的关键． 根据完全平方公式可得(❑√3+❑√2) 2=5+2❑√6，根据幂的运算法则可得(❑√3+❑√2) 6=(5+2❑√6) 3 ，进一步化简 即可求解．【解题过程】 解：∵(❑√3+❑√2) 2=5+2❑√6， ∴(❑√3+❑√2) 6=(5+2❑√6) 3 =(49+20❑√6)(5+2❑√6) =245+98❑√6+100❑√6+240 =485+198❑√6， ∵ 198❑√6=❑√235224，❑√234256<❑√235224<❑√235225， ∴484<198❑√6<485， ∴(❑√3+❑√2) 6 的整数部分为：485+484=969． 故答案为：969． 7．（23-24八年级上·全国·单元测试）已知x=√3 4(❑√5+1)−√3 4(❑√5−1)，则x3+12x的算术平方根是 ． 【思路点拨】 本题考查了二次根式、立方根和平方根的应用，熟练掌握各自的定义是解本题的关键． 令 a=√3 4(❑√5+1)，b=√3 4(❑√5−1)，则x=a−b，将x3+12x化简得出=a3−b3+(12−3ab)(a−b)，再代 入依据二次根式和立方根的运算法则解答即可． 【解题过程】 解：令 a=√3 4(❑√5+1)，b=√3 4(❑√5−1)． ∴x=a−b． ∴x3+12x =(a−b) 3+12(a−b) =a3−3a2b+3ab2−b3+12(a−b) =a3−b3−3ab(a−b)+12(a−b) =a3−b3+(12−3ab)(a−b)， ∵a=√3 4(❑√5+1)，b=√3 4(❑√5−1)，∴a3−b3+(12−3ab)(a−b) =4(❑√5+1)−4(❑√5−1)+(12−3√364)(√3 4(❑√5+1)−√3 4(❑√5−1)) =4❑√5+4−4❑√5+4+(12−12)(√3 4(❑√5+1)−√3 4(❑√5−1)) =8， 则x3+12x=8的算术平方根是2❑√2， 故答案为：2❑√2． 3❑√5+❑√105+3❑√7+5❑√3 8．（23-24九年级上·浙江嘉兴·开学考试）化简 = ． ❑√3+2❑√5+❑√7 【思路点拨】 ❑√3(❑√3+❑√5)(❑√5+❑√7) 1 ❑√7−❑√3 ❑√21+3 将原式变形为 ，再求出 = ，继而化简得到A= ． (❑√3+❑√5)+(❑√5+❑√7) A 2❑√3 2 【解题过程】 3❑√5+❑√105+3❑√7+5❑√3 解：设A= ❑√3+2❑√5+❑√7 ❑√3×❑√3×❑√5+❑√3×❑√3×❑√7+❑√3×❑√5×❑√7+❑√3×❑√5×❑√5 = (❑√3+❑√5)+(❑√5+❑√7) ❑√3(❑√3×❑√5+❑√3×❑√7+❑√5×❑√7+❑√5×❑√5) = (❑√3+❑√5)+(❑√5+❑√7) ❑√3(❑√3+❑√5)(❑√5+❑√7) = (❑√3+❑√5)+(❑√5+❑√7) ❑√3(❑√3+❑√5)(❑√5+❑√7) = (❑√3+❑√5)+(❑√5+❑√7) 1 (❑√3+❑√5)+(❑√5+❑√7) 则 = A ❑√3(❑√3+❑√5)(❑√5+❑√7) 1 1 = + ❑√3(❑√5+❑√7) ❑√3(❑√3+❑√5) ❑√7−❑√5 ❑√5−❑√3 = + 2❑√3 2❑√3❑√7−❑√3 = ， 2❑√3 2❑√3 2❑√3(❑√7+❑√3) ❑√21+3 ∴A= = = ， ❑√7−❑√3 4 2 ❑√21+3 故答案为： ． 2 1 9．（23-24八年级上·上海虹口·阶段练习）已知x= ，则 ❑√2022−❑√2021 x6−2❑√2021x5−x4+x3−2❑√2022x2+2x−❑√2022的值为 ． 【思路点拨】 先对已知条件进行化简，再依次代入所求的式子进行运算即可． 【解题过程】 1 解：∵x= ， ❑√2022−❑√2021 ❑√2022+❑√2021 ∴x= =❑√2022+❑√2021， (❑√2022−❑√2021)(❑√2022+❑√2021) ∴x6−2❑√2021x5−x4+x3−2❑√2022x2+2x−❑√2022 =(❑√2022−❑√2021)x5−x4+x3−2❑√2022x2+2x−❑√2022 =(❑√2022−❑√2021)(❑√2022+❑√2021)x4−x4+x3−2❑√2022x2+2x−❑√2022 =x4−x4+x3−2❑√2022x2+2x−❑√2022 =x3−2❑√2022x2+2x−❑√2022 =x2(x−2❑√2022)+2x−❑√2022 =x2(❑√2021−❑√2022)+2x−❑√2022 =x(❑√2021+❑√2022)(❑√2021−❑√2022)+2x−❑√2022 =−x+2x−❑√2022 =x−❑√2022 =❑√2021 故答案为：❑√202110．（23-24八年级下·浙江宁波·开学考试）已知实数x，y满足(x−❑√x2−2018)(y−❑√y2−2018)=2018 ，则x2+ y2的值为 ． 【思路点拨】 本题主要考查了二次根式的混合运算，先分别求出x−❑√x2−2018和y−❑√y2−2018 ．然后再求出x−y 和y−x．两式子相加，即可得出❑√y2−2018+❑√x2−2018=0，然后利用二次根式的非负性质可得出 y2−2018=0，x2−2018=0，即可得出x2和y2，然后代入计算即可． 【解题过程】 解：∵(x−❑√x2−2018)(y−❑√y2−2018)=2018 2018 2018(y+❑√y2−2018) ∴x−❑√x2−2018= = = y+❑√y2−2018① y−❑√y2−2018 y2−(y2−2018) 同理可得出y−❑√y2−2018=x+❑√x2−2018②， ∴x−y=❑√x2−2018+❑√y2−2018① y−x=❑√y2−2018+❑√x2−2018②， 由①+②得：2(❑√y2−2018+❑√x2−2018)=0， ∴❑√y2−2018+❑√x2−2018=0 ， ∵❑√y2−2018≥0 ，❑√x2−2018≥0， ∴y2−2018=0，x2−2018=0， ∴y2=2018，x2=2018， 故x2+ y2=2018+2018=4036， 故答案为：4036． 11．（24-25八年级上·山东枣庄·期中）计算： （1）2❑√12+❑√48−❑√27； √1 （2）❑√(−3) 2−3 +(2−π) 0+|1−❑√3)； 8（3）(❑√2−1) 2+2❑√8−(❑√5−2)(❑√5+2)； ( 1 √1) （4） 2❑√27+ ❑√108−12❑ ÷❑√12． 3 3 【思路点拨】 本题考查了二次根式的混合运算、实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）先化简二次根式，再计算二次根式的加减即可； （2）先计算算术平方根、立方根、零指数幂、绝对值，再计算加减即可； （3）根据二次根式的混合运算法则计算即可得解； （4）根据二次根式的混合运算法则计算即可得解． 【解题过程】 （1）解：2❑√12+❑√48−❑√27 =4❑√3+4❑√3−3❑√3 =5❑√3； √1 （2）解：❑√(−3) 2−3 +(2−π) 0+|1−❑√3) 8 1 =3− +1+❑√3−1 2 5 =❑√3+ ； 2 （3）解：(❑√2−1) 2+2❑√8−(❑√5−2)(❑√5+2) =3−2❑√2+4❑√2−(5−4) =2❑√2+2； 1 √1 （4）解：(2❑√27+ ❑√108−12❑ )÷❑√12 3 3 =(6❑√3+2❑√3−4❑√3)÷2❑√3 =4❑√3÷2❑√3 =2． 12．（24-25八年级上·上海长宁·阶段练习）计算： √ 1 √ 1 （1）❑1 −10❑√0.4+4❑ ； 9 401 √ y2 （2）2❑√3x2y⋅ ❑√6x+❑ ； 3 x 2❑√2 ❑√6 （3） − ； ❑√6−❑√10 2❑√3+3❑√2 ( 1 1 ) （4）❑√6÷ − ； ❑√2 ❑√3 (2 √a) √b （5） ❑√ab3−3b❑ ÷❑ (b>0)； b b a ❑√a−❑√b a−2❑√ab+b 1 （6） ⋅ ÷ ． a−b a−b a+2❑√ab+b 【思路点拨】 本题考查二次根式的运算，熟练掌握相关运算法则，正确的计算，是解题的关键： （1）先化简，再合并同类二次根式即可； （2）先化简，再进行乘法运算，然后合并同类二次根式即可； （3）先分母有理化，再合并同类二次根式即可； （4）先计算括号内，再进行除法运算即可； （5）先计算括号内，再进行除法运算即可； （6）根据乘除运算法则进行计算即可． 【解题过程】 √10 √2 √ 1 （1）解：原式=❑ −10❑ +4❑ 9 5 40 ❑√10 1 = −2❑√10+ ❑√10 3 5 22❑√10 =− ； 15 1 y （2）解：原式=2x❑√3 y⋅ ❑√6x+ ❑√x 3 x y =2x❑√2xy+ ❑√x． x 2❑√2(❑√6+❑√10) ❑√6(3❑√2−2❑√3) （3）解：原式= − (❑√6−❑√10)(❑√6+❑√10) (2❑√3+3❑√2)(3❑√2−2❑√3)4❑√3+4❑√5 6❑√3−6❑√2 = − −4 6 =−❑√3−❑√5−❑√3+❑√2 =−2❑√3−❑√5+❑√2； (❑√2 ❑√3) （4）解：原式=❑√6÷ − 2 3 3❑√2−2❑√3 =❑√6÷ 6 6 =❑√6⋅ 3❑√2−2❑√3 6(3❑√2+2❑√3) =❑√6⋅ (3❑√2−2❑√3)(3❑√2+2❑√3) =❑√6⋅(3❑√2+2❑√3) =6❑√3+6❑√2； (2 ❑√ab) √b （5）解：原式= ⋅b❑√ab−3b⋅ ÷❑ b b a √b =−❑√ab÷❑ a √ a =−❑ab⋅ b =−a； （6）解：原式= (❑√a−❑√b)⋅(❑√a−❑√b) 2 ⋅(❑√a+❑√b) 2 (a−b) 2 (❑√a−❑√b)⋅(❑√a−❑√b) 2 (❑√a+❑√b) 2 = (a−b) 2 (❑√a−❑√b)⋅(a−b) = (a−b) 2 ❑√a−❑√b = ． a−b 13．（23-24八年级下·黑龙江绥化·期中）计算：√ n ab n √m √ n （1）(a2❑ − ❑√mn+ ❑ )÷a2b2❑ ； m m m n m b−❑√ab a b a+b （2）(❑√a+ )÷( + − )（a≠b）． ❑√a+❑√b ❑√ab+b ❑√ab−a ❑√ab 【思路点拨】 （1）先将除法转化为乘法计算，然后利用乘法的分配率分别相乘，根据二次根式、分式的运算法则计算 即可； （2）先对括号内分别通分计算加减法，将除法转化为乘法计算，根据二次根式、分式的运算法则计算即 可． 【解题过程】 √ n ab n √m √ n （1）解：(a2❑ − ❑√mn+ ❑ )÷a2b2❑ m m m n m √ n ab n √m 1 √m =(a2❑ − ❑√mn+ ❑ )⋅ ❑ m m m n a2b2 n 1 √ n m 1 √ m n √m m ＝ ❑ ⋅ − ❑mn⋅ + ❑ ⋅ b2 m n mab n ma2b2 n n 1 1 1 ＝ － ＋ b2 ab a2b2 a2−ab+1 = ． a2b2 b−❑√ab a b a+b （2）解：(❑√a+ )÷( + − ) ❑√a+❑√b ❑√ab+b ❑√ab−a ❑√ab a+❑√ab+b−❑√ab a❑√a(❑√a−❑√b)−b❑√b(❑√a+❑√b)−(a+b)(a−b) = ÷ ❑√a+❑√b ❑√ab(❑√a+❑√b)(❑√a−❑√b) a+b a2−a❑√ab−b❑√ab−b2−a2+b2 = ÷ ❑√a+❑√b ❑√ab(❑√a+❑√b)(❑√a−❑√b) a+b −❑√ab(a+b) = ÷ ❑√a+❑√b ❑√ab(❑√a+❑√b)(❑√a−❑√b) a+b ❑√ab(❑√a−❑√b)(❑√a+❑√b) ＝ · ❑√a+❑√b −❑√ab(a+b)=−❑√a+❑√b． 2 2 14．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）已知：x= ，y= ，求下列各式的值． ❑√3−1 ❑√3+1 1 1 （1） + ； x y （2）❑√x2+ y2−xy． 【思路点拨】 本题主要考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，熟练掌握二次根式的混合运算及分母有理化是解题 的关键， 2 2 1 ❑√3−1 1 ❑√3+1 （1）根据x= ，y= ， = , = ，代入求值即可； ❑√3−1 ❑√3+1 x 2 y 2 2 2 （2）先由x= ，y= ，求得x+ y=2❑√3，xy=2，再将❑√x2+ y2−xy化为❑√(x+ y) 2−3xy后 ❑√3−1 ❑√3+1 代入求值即可． 【解题过程】 2 2 （1）解：∵x= ，y= ， ❑√3−1 ❑√3+1 1 ❑√3−1 1 ❑√3+1 ∴ = , = x 2 y 2 1 1 ❑√3−1 ❑√3+1 ∴ + = + =❑√3； x y 2 2 2 2 （2）解：∵x= =❑√3+1，y= =❑√3−1， ❑√3−1 ❑√3+1 ∴x+ y=❑√3+1+❑√3−1=2❑√3，xy=(❑√3+1)(❑√3−1)=3−1=2， ∴❑√x2+ y2−xy =❑√x2+ y2+2xy−3xy =❑√(x+ y) 2−3xy =❑√(2❑√3) 2 −3×2 =❑√6．15．（24-25八年级上·山东济南·阶段练习）阅读下面解题过程． 1 例：化简 ． ❑√2+❑√1 1 ❑√2−❑√1 ❑√2−❑√1 ❑√2−❑√1 解： = = = =❑√2−1． ❑√2+❑√1 (❑√2+❑√1)(❑√2−❑√1) (❑√2) 2 −(❑√1) 2 1 请回答下列问题． 1 （1）归纳：请直接写出下面式子的结果： = __________． ❑√6+❑√5 1 1 1 1 （2）应用：化简 + + +⋯+ ； ❑√3+❑√2 ❑√4+❑√3 ❑√5+❑√4 ❑√2023+❑√2022 1 1 1 1 （3）拓展： + + +⋅⋅⋅+ = __________．（用含n的式子表 ❑√3+❑√1 ❑√5+❑√3 ❑√7+❑√5 ❑√2n+1+❑√2n−1 示，n为正整数） 【思路点拨】 本题考查二次根式的化简、二次根式的加减、分母有理数，会利用类比方法求解是解答的关键． （1）仿照例题求解过程求解即可； （2）根据例题和（1）中结果可得出变化规律，进而求解即可； （3）仿照（2）中计算过程求解即可． 【解题过程】 1 ❑√6−❑√5 ❑√6−❑√5 ❑√6−❑√5 （1）解： = = = =❑√6−❑√5， ❑√6+❑√5 (❑√6+❑√5)(❑√6−❑√5) (❑√6) 2 −(❑√5) 2 6−5 故答案为：❑√6−❑√5； （2）解：由例题和（1）中结果可得， 1 ❑√n+1−❑√n ❑√n+1−❑√n ❑√n+1−❑√n = = = =❑√n+1−❑√n， ❑√n+1+❑√n (❑√n+1+❑√n)(❑√n+1−❑√n) (❑√n+1) 2 −(❑√n) 2 n+1−n 1 1 1 1 ∴ + + +⋯+ ❑√3+❑√2 ❑√4+❑√3 ❑√5+❑√4 ❑√2023+❑√2022 =❑√3−❑√2+❑√4−❑√3+❑√5−❑√4+⋯+❑√2023−❑√2022 =❑√2023−❑√2； 1 ❑√2n+1−❑√2n−1 1 （3）解：∵ = = (❑√2n+1−❑√2n−1)， ❑√2n+1+❑√2n−1 (❑√2n+1+❑√2n−1)(❑√2n+1−❑√2n−1) 21 1 1 1 ∴ + + +⋯+ ❑√3+❑√1 ❑√5+❑√3 ❑√7+❑√5 ❑√2n+1+❑√2n−1 1 = (❑√3−❑√1+❑√5−❑√3+❑√7−❑√5+⋯+❑√2n+1−❑√2n−1) 2 1 = (❑√2n+1−1) 2 ❑√2n+1 1 = − ． 2 2 16．（24-25八年级上·山西晋中·期中）阅读理解： 材料一：两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不是二次根式，那么这两个代数式互为有理 化因式． 例1：❑√3×❑√3=3，(❑√6+❑√2)(❑√6−❑√2)=6−2=4我们称❑√3的一个有理化因式是❑√3，❑√6−❑√2的一个有 理化因式是❑√6+❑√2． 材料二：如果一个代数式的分母含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不 含根号，这种变形叫分母有理化． 1 1×❑√3 ❑√3 例2： = = ❑√3 ❑√3×❑√3 3 1 1×(❑√3−❑√2) = =❑√3−❑√2 ❑√3+❑√2 (❑√3+❑√2)(❑√3−❑√2) 请仿照材料中的方法探索并解决下列问题： （1）❑√10的有理化因式是________．❑√2−❑√3的有理化因式是________（均写出一个即可）． 3 （2）若a是❑√5的小数部分，化简 ． a （3）利用你发现的规律计算下面式子的值 ( 1 1 1 1 ) + + +⋯⋯+ (❑√2024+❑√2) ❑√2+❑√4 ❑√4+❑√6 ❑√6+❑√8 ❑√2022+❑√2024 【思路点拨】 本题考查二次根式的混合运算、分母有理化、平方差公式， （1）根据题目中的材料，可以求出❑√10的有理化因式和❑√2−❑√3的有理化因式； 3 （2）先求出a=❑√5−2，再代入 进行分母有理化即可； a （3）先将所求式子分母有理化，然后合并同类二次根式即可．【解题过程】 （1）解：∵❑√10×❑√10=10，(❑√2−❑√3)(❑√2+❑√3)=(❑√2) 2 −(❑√3) 2=2−3=−1， ∴❑√10的有理化因式为❑√10，❑√2−❑√3的有理化因式为❑√2+❑√3， 故答案为：❑√10，❑√2+❑√3； （2）∵4<5<9， ∴❑√4<❑√5<❑√9， ∴2<❑√5<3， ∴❑√5的整数部分是2，小数部分是❑√5−2， ∴a=❑√5−2， 3 3 3(❑√5+2) 3(❑√5+2) 3(❑√5+2) ∴ = = = = =3❑√5+6， a ❑√5−2 (❑√5−2)(❑√5+2) (❑√5) 2 −22 1 ( 1 1 1 1 ) （3） + + +⋯⋯+ (❑√2024+❑√2) ❑√2+❑√4 ❑√4+❑√6 ❑√6+❑√8 ❑√2022+❑√2024 1 ( 1 1 1 1 ) = + + +…+ (❑√2024+❑√2) ❑√2 ❑√2+1 ❑√3+❑√2 ❑√4+❑√3 ❑√1012+❑√1011 ( ❑√2−1 ❑√3−❑√2 ❑√4−❑√3 ❑√1012−❑√1011 ) = + + +…+ (❑√1012+1) (❑√2+1)(❑√2−1) (❑√3+❑√2)(❑√3−❑√2) (❑√4+❑√3)(❑√4−❑√3) (❑√1012+❑√1011)(❑√1012−❑√1011) =(❑√2−1+❑√3−❑√2+❑√4−❑√3+…+❑√1012−❑√1011)(❑√1012+1) =(❑√1012−1)(❑√1012+1) =(❑√1012) 2 −12 =1012−1 =1011． 17．（23-24八年级上·江西抚州·阶段练习）化简一个分母含有二次根式的式子时，采用分子、分母同乘以 分母的有理化因式的方法就可以了，例如： 1 ❑√2−1 ❑√2−1 ❑√2−1 ， = = = =❑√2−1 ❑√2+1 (❑√2+1)(❑√2−1) (❑√2) 2 −1 1❑√2 ❑√2×❑√3 ❑√6 = = ， ❑√3 ❑√3×❑√3 3 1 （1）若a= ，求3a2−12a−1的值； ❑√5−2 （2）比较❑√2025−❑√2024与❑√2024−❑√2023的大小，并说明理由． 1 1 1 1 （3）利用这一规律计算： + + +⋯+ ． 2❑√1+❑√2 3❑√2+2❑√3 4❑√3+3❑√4 2024❑√2023+2023❑√2024 【思路点拨】 （1）先化简a，再代入代数式计算即可； 1 1 （2）利用倒数的关系，先分别化简 、 ，比较结果的大小，进而可比较 ❑√2025−❑√2024 ❑√2024−❑√2023 ❑√2025−❑√2024与❑√2024−❑√2023的大小； 1 1 （3）由题意可得每项可表示为 − ，利用该规律拆项后计算即可求解； ❑√n ❑√n+1 本题考查了二次根式的化简及化简求值，二次根式的混合运算，掌握二次根式的化简是解题的关键． 【解题过程】 1 ❑√5+2 （1）解：∵a= = =❑√5+2， ❑√5−2 (❑√5−2)(❑√5+2) ∴原式=3(❑√5+2) 2 −12(❑√5+2)−1 =3(5+4❑√5+4)−(12❑√5+24)−1， =27+12❑√5−12❑√5−24−1， =2； 1 ❑√2025+❑√2024 （2）解：∵ = =❑√2025+❑√2024， ❑√2025−❑√2024 (❑√2025−❑√2024)(❑√2025+❑√2024) 1 ❑√2024+❑√2023 = =❑√2024+❑√2023， ❑√2024−❑√2023 (❑√2024−❑√2023)(❑√2024+❑√2023) 又∵❑√2025+❑√2024>❑√2024+❑√2023>0， 1 1 ∴ > >0， ❑√2025−❑√2024 ❑√2024−❑√2023 ∴❑√2025−❑√2024<❑√2024−❑√2023；1 1 1 （3）解：∵ = − ， 2❑√1+❑√2 ❑√1 ❑√2 1 1 1 = − ， 3❑√2+2❑√3 ❑√2 ❑√3 1 1 1 = − ， 4❑√3+3❑√4 ❑√3 ❑√4 ⋯， 1 1 1 1 1 1 1 1 ∴原式= − + − + − +⋯+ − ❑√1 ❑√2 ❑√2 ❑√3 ❑√3 ❑√4 ❑√2023 ❑√2024 1 1 = − ， ❑√1 ❑√2024 ❑√506 =1− ． 1012 18．（23-24八年级上·湖南岳阳·期末）阅读下列材料，然后回答问题． 学习数学，最重要的是学习数学思想，其心一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如 我们熟悉的下面这个题：已知a+b=2，ab=−3，求a2+b2我们可以把a+b和ab看成是一个整体，令 x=a+b，y=ab，则a2+b2=(a+b) 2−2ab=x2−2y=4+6=10这样，我们不用求出a，b，就可以得到 最后的结果． ❑√3+❑√2 ❑√3−❑√2 ❑√3+❑√2 ❑√3−❑√2 （1）计算： ⋅ =____， + =____ ❑√3−❑√2 ❑√3+❑√2 ❑√3−❑√2 ❑√3+❑√2 ❑√m+1−❑√m ❑√m+1+❑√m （2）m是正整数，a= ,b= ,且2a2+1955ab+2b2=2023，求m． ❑√m+1+❑√m ❑√m+1−❑√m （3）已知❑√15+x2−❑√19−x2=2，求❑√15+x2+❑√19−x2的值． 【思路点拨】 本题考查了二次根式的化简求值，分母有理化，数学常识，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）先把每一个二次根式进行分母有理化，然后再进行计算即可解答； （2）先利用分母有理化化简a,b，从而求出a+b= 4m+2,ab=1，然后根据已知可得 2(a+b) 2+1951ab=2023，再利用完全平方公式进行计算即可解答； （3）利用完全平方公式，进行计算即可解答． 【解题过程】❑√3+❑√2 ❑√3−❑√2 （1）解： ⋅ ❑√3−❑√2 ❑√3+❑√2 (❑√3+❑√2) 2 (❑√3−❑√2) 2 = ⋅ (❑√3+❑√2)(❑√3−❑√2) (❑√3+❑√2)(❑√3−❑√2) =(❑√3+❑√2) 2 ⋅(❑√3−❑√2) 2 2 =[(❑√3+❑√2)⋅(❑√3−❑√2)) =1. ❑√3+❑√2 ❑√3−❑√2 + ❑√3−❑√2 ❑√3+❑√2 (❑√3+❑√2) 2 (❑√3−❑√2) 2 = + (❑√3−❑√2)(❑√3+❑√2) (❑√3+❑√2)(❑√3−❑√2) =(❑√3+❑√2) 2+(❑√3−❑√2) 2 =10. ❑√m+1−❑√m ❑√m+1+❑√m （2）∵a= ,b= , ❑√m+1+❑√m ❑√m+1−❑√m (❑√m+1−❑√m) 2 ∴a= =(❑√m+1−❑√m) 2 , (❑√m+1+❑√m)(❑√m+1−❑√m) (❑√m+1+❑√m) 2 b= =(❑√m+1+❑√m) 2 ， (❑√m+1−❑√m)(❑√m+1+❑√m) ∴a+b=(❑√m+1−❑√m) 2+(❑√m+1+❑√m) 2=4m+2, ab=(❑√m+1−❑√m) 2 (❑√m+1+❑√m) 2=[(❑√m+1−❑√m)(❑√m+1+❑√m)] 2=(m+1−m) =1, ∵2a2+1955ab+2b2=2023, ∴2(a+b) 2+1951ab=2023, ∴(a+b) 2=36, ∴a>0,b>0,∴a+b=6, ∴4m+2=6, ∴m=1； （3）∵❑√15+x2−❑√19−x2=2, 2 ∴(❑√15+x2−❑√19−x2) =4， ∴15+x2−2❑√15+x2 ⋅❑√19−x2+19−x2=4， ∴❑√15+x2 ⋅❑√19−x2=15， 2 ∴(❑√15+x2+❑√19−x2) 2 =(❑√15+x2−❑√19−x2) +4❑√15+x2 ⋅❑√19−x2 =4+4×15 =64， ∵❑√15+x2≥0,❑√19−x2≥0， ∴❑√15+x2+❑√19−x2=8．