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专题 1-2 二次根式（拓展提升，运用整体思想解题的技巧）
1.（23-24八年级下·云南昭通·阶段练习）若 ，则代数式 的值为（ ）
A．7 B． C． D．5
【答案】D
【分析】本题考查代数式求值，二次根式的混合运算，完全正确平方公式．能够灵活运用完全平方公式是
解答本题的关键．
将代数式化简为 ，然后再代入求解即可．
【详解】解：∵
∴ ．
故选：D
2.（22-23八年级下·江苏·期末）已知 ，则 的值为（ ）
A． B．4 C． D．
【答案】B
【分析】将 化为 ，将 ，代入值进行计算即可得到答案．
【详解】解： ，
，
，
故选：B．
【点睛】本题主要考查求代数式的值，将式子进行配方以及采用整体代入法是解题的关键
3.（21-22八年级下·四川成都·期末）已知 ， ，则 的值为 ．【答案】
【分析】根据题目的特点，先通过因式分解将式子变形，然后再进行整体代入．
【详解】解：∵ ， ，
∴原式=
=
=
=
故答案为： ．
【点睛】本题考查了因式分解，用因式分解的方法将式子变形时，根据已知条件，变形的可以是整个代数
式，也可以是其中的一部分
4.（23-24八年级下·河南商丘·阶段练习）已知 ，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了完全平方公式的合理运用，将 ， 完全平方展开后有共同的式子 是解
决问题的关键．
【详解】解： ，
，
，
．
故答案为：
5.（22-23八年级下·广东湛江·期中）已知： ，求 ， 的值．【答案】 ，
【分析】先利用完全平方公式得到 ，由此求出 ，再根据完全平
方公式 求出 的值即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了二次根式的混合计算，完全平方公式的变形求值，熟知完全平方公式是解题的关
键
6.（20-21八年级下·河南商丘·期末）（1）先化简，再求值： ，其中 ；
（2） ， ，求 的值．
【答案】（1） ， ；（2）15
【分析】（1）先将小括号内的式子进行通分计算，然后算括号外面的除法，最后代入求值．
（2）由a﹣b＝2+ ，b﹣c＝2﹣ ，得到a﹣c＝4，再都变成完全平方公式的形式，然后三式相加即可
求出．
【详解】解：
＝[ ]•＝ •
＝ •
＝ ，
当 时，
原式＝
（2）∵a﹣b＝2+ ，b﹣c＝2﹣ ，
∴a﹣b+b﹣c＝4，
即a﹣c＝4，
∴（a﹣b）2＝7+4 ，（b﹣c）2＝7﹣4 ，（a﹣c）2＝16，
即a2﹣2ab+b2＝7+4 ，①
b2﹣2bc+c2＝7﹣4 ，②
a2﹣2ac+c2＝16．③
①+②+③得，a2﹣2ab+b2+b2﹣2bc+c2+a2﹣2ac+c2＝30，
即2（a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac）＝30，
∴a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac＝15．
【点睛】本题考查分式的化简求值，理解二次根式的性质，掌握分式混合运算的运算顺序（先算乘方，然
后算乘除，最后算加减，有小括号先算小括号里面的）和计算法则是解题关键．
7.（23-24八年级下·河南信阳·阶段练习）已知 ， ，求下列各式的值：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，分母有理化：
（1）先利用分母有理化法则求出 ，进而得到 ， ，再根据完全平
方公式的变形求解即可；
（2）根据 进行求解即可．
【详解】（1）解：∵ ， ，
∴ ， ，
， ，
∴ ；
（2）解：
．
8.（2022春•庐阳区校级期中）已知： ， ，求
（1） 的值；
（2） 的值．
【分析】先分母有理化得到 ， ，再计算出 ， ， 的值，接着把 变
形为 ，把 变形为 ，然后利用整体代入的方法计算．【解答】解： ， ，
， ， ，
（1） ；
（2） ．
【点评】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．利用整体代
入的方法可简化计算．
9.（2022春•东营区校级月考）已知 ， ，求：
（1）求 的值；
（2）求 的值．
【分析】（1）先利用完全平方公式得到 ，然后把 的值代入计算即可；
（2）先计算出 与 的值，再利用完全平方公式得到 ，然后利用整体代入
的方法计算．
【解答】解：（1） ，
；
（2） ， ，
， ，
．
【点评】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．利用整体代
入的方法可简化计算．
10.（2021春•孝义市期中）已知 ， ．求 的值．【分析】先计算出 与 的值，再通分和利用完全平方公式得到原式 ，然后利用整体
代入的方法计算．
【解答】解： ， ，
， ，
．
【点评】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．利用整体代
入的方法可简化计算．
11．（2021春•西丰县期中）已知 ， ，求代数式 的值．
【分析】先计算出 的值，再利用完全平方公式得到 ，然后利用整体代入的方法
计算．
【解答】解： ， ，
，
．
【点评】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．利用整体代
入的方法可简化计算．
12．（2021春•建阳区期中）已知 ， ，求下列代数式的值：
（1） ；
（2） ．
【分析】先计算出 与 的值，（1）利用平方公式得到 ；（2）利用完全平方公式得到 ，然后分别利用整体代入的方法计算．
【解答】解： ， ，
， ，
（1） ；
（2） ．
【点评】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．利用整体代
入的方法可简化计算．
13．（2021春•钟祥市期中）已知 ， ，求下列各式的值：
（1） ．
（2） ．
【分析】（1）先计算出 与 的值，再通分得到 ，然后利用整体代入的方法计算；
（2）把 变形为 ，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：（1） ， ，
， ，
；
（2） ．
【点评】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．利用整体代
入的方法可简化计算．14．（2020春•田东县期中）已知 ， ，求代数式 的值．
【分析】先计算出 与 的值，再利用完全平方公式得到 ，然后利用整体代
入的方法计算．
【解答】解： ， ，
， ，
．
【点评】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．利用整体代
入的方法可简化计算．
15．（2023秋•长沙期末）已知 ， ，求下列各式的值；
（1） ；
（2） ．
【分析】（1）先计算出 和 的值，再把 分解因式，然后利用整体代入的方法计算；
（2）先计算出 ，再通分，则根据完全平方公式得到原式 ，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：（1） ， ，
， ，
；
（2） ， ，
，原式
．
【点评】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．利用整体代
入的方法可简化计算．
16．（23-24八年级上·山西吕梁·阶段练习）阅读下列材料，完成下列任务．
小丽在数学资料上看到这样一道题：
已知 ，求代数式 的值．
解：∵ ，∴ ，
∴ ，∴ ，∴ ，
∴ ．
任务：
(1)在材料解答过程中，主要用了我们学过的数学知识是（ ）
A．平方差公式 B．完全平方公式
C．因式分解 D．单项式与多项式的乘法
(2)在材料解答的过程中，主要用的思想方法是（ ）
A．整体与化归思想 B．方程思想
C．分类讨论思想 D．数形结合思想
(3)已知 ，求 的值．
【答案】(1)B
(2)A
(3)【分析】本题考查了完全平方公式的应用，整体代入法求代数式的值，熟练掌握完全平方公式是解答本题
的关键．
（1）根据变形时用到了 可知用到的数学知识是完全平方公式；
（2）由 可知用了整体代入法；
（3）由 得 ，两边平方后用整体代入法求解即可．
【详解】（1）在材料解答过程中，主要用了我们学过的数学知识是完全平方公式．
故选B；
（2）在材料解答的过程中，主要用的思想方法是整体与化归思想．
故选A；
（3）∵ ，
∴ ．
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的值为 ．
17．（23-24八年级下·广东惠州·阶段练习）在课外学习活动中，小明遇到一道题：已知 ，求
的值．
他是这样解答的： ，所以 ．
所以 ，即 ．
所以
所以 ．
小明的解题过程运用了二次根式化简的方法和整体思想，请你参考他的解题过程，解决如下问题：(1) ______；
(2)化简： ；
(3)若 ，求 的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是读懂阅读材料，仿照材料方法解决问题．
（1）根据已知材料的方法分母有理化即可；
（2）将每个加数分母有理化，再合并即可；
（3）仿照材料的方法解答即可．
【详解】（1）解： ，
故答案为： ；
（2）解：
；
（3）解： ，
，
，即 ，．
18．（23-24八年级上·湖南长沙·阶段练习）阅读材料一：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使
不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，例如， ，求证： ．证明：
左边 右边．
阅读材料二：基本不等式 ，当且仅当 时等号成立，它是解决最值问题的有力
工具．例如：在 的条件下， ，∴ ，当且仅当 ，即 时， 有最小
值，最小值为2．请根据阅读材料解答下列问题
(1)若正数x，则 的最小值为______．
(2)若正数a，b满足 ， ，n为 的最小值，求 ；
(3)若正数a，b满足 ，若不等式 恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据材料2即可求解；
（2）先根据分式的性质以及恒等式变形求得 的值，再根据负指数幂即可求解；（3）根据题意可得 ，进而解不等式组，即可求解．
【详解】（1）解：∵
∴ 的最小值为
故答案为： ．
（2）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴
（3）∵正数a，b满足 ，
∴
∵不等式 恒成立，
∴
∴ ①或 ②
∴解不等式组①无解，解不等式组②得
【点睛】本题主要考查了不等式恒成立与最值关系的转化，二次根式的性质化简，分式的加减运算，负整数指数幂，理解题意，利用好不等式的性质是解题的关键
19．（20-21八年级上·江苏南通·阶段练习）《见微知著》读到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一
般，由简单到复杂：从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展重要途径，是思想阀
门发现新问题、结论的重要方法．
阅读材料一：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便
解决方法，常用的途径有：（1）整体观察；（2）整体设元；（3）整体代入；（4）整体求和等．
例如： ，求证：
证明：左边：
波利亚在《怎样解题》中指出：“当你找到第一个藤菇或作出第一个发现后，再四处看看，他们总是成群
生长”类似问题，我们有更多的式子满足以上特征：
阅读材料二
基本不等式 （ ， ），当且仅当 时等号成立时等号成立，它是解决最值问题的有
力工具．
例如：在 的条件下的，当x为何值时， 有最小值，最小值是多少？
解：∵ ， ，∴ ，即 ，
当且仅当 ，即 时， 有，最小值为2，
请根据阅读材料解答下列问题：
（1）已知 ，求下列各式的值：
① ____________
② ____________
（2）若 ，求 的值；
（3）已知长方形的面积为9，求此长方形周长的最小值；
（4）若正数a、b满足 ，求 的最小值．【答案】（1）①1； ②1；（2）5；（3）12；（4）
【分析】（1）①由题意可得a= ，代入式中可求值；②由题意可得a= ，代入式中可求值；
（2）将abc=1代入方程可求解；
（3）设此长方形的连长为a，b，则 ， ，由此解答即可．
（4）由 ，可得当a+ 取最小
值时，M的值最小．
【详解】（1）①∵
∴
∴原式
②∵
∴
原式
（2）∵ ，且
∴
（3）设此长方形的边长为a，b，则
∵ ，∴
所以周长的最小值为12
（4）∵正数a，b满足
∴ ， ， ，
∴
∵
∴当 时，M有最小值，
∴M最小值为： ．
【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，读懂材料，理解题意并能运用是本题的关键．
