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探究专题
初 一
// Grade Seven - Mathematics //
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目录
第1 讲
数学思维——新定义探究
（一）
1
模块一
定义新运算
2
模块二
绝对值有关的新定义
4
第2 讲
数学思维——新定义探究
（二）
7
模块一
数字游戏
8
模块二
阅读材料探究
9
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第1 讲
数学思维——新
数学思维——
新定义探究（一）
模块一
定义新运算
模块二
绝对值有关的新定义
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第
1
讲
新
定
义
探
究
（一）
2
模块一
模块一
定义新运算
典型例题1
现定义两种运算“⊕”
“∗”．对于任意两个整数，𝑎⊕𝑏= 𝑎+𝑏−1，𝑎∗𝑏= 𝑎×𝑏−1，则8∗(3⊕5)
的结果是（ ）．
A. 27
B. 21
C. 14
D. 55
典型例题2
规定图形
表示运算𝑎−𝑏+𝑐，图形
表示运算𝑥+𝑧−𝑦−𝑤．
则
+
=
(直接写出答案)．
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第
1
讲
新
定
义
探
究
（一）
3
典型例题3
【概念学习】
规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，
(−3) ÷ (−3) ÷ (−3) ÷ (−3) 等．类比有理数的乘方，我们把2 ÷ 2 ÷ 2 记作2③，读作“2 的
圈3 次方”，(−3) ÷ (−3) ÷ (−3) ÷ (−3) 记作(−3)④，读作“−3 的圈4 次方”，一般地，把
𝑎÷𝑎÷𝑎÷⋯÷𝑎
⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟
𝑐个𝑎
(𝑎≠0) 记作𝑎c⃝，读作“𝑎的圈𝑐次方”．
（1）【初步探究】直接写出计算结果：3③=
，(−1
3)
⑤
=
．
（2）关于除方，下列结果错误的是（ ）．
A. 任何非零数的圈2 次方都等于1
B. 对于任何正整数𝑛，1
= 1
C. 3④= 4③
D. 负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数
（3）【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化
为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？
①试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式．
(−3)④= ；5⑥= ；(−1
2)
⑩
= ．
②想一想：将一个非零有理数𝑎的圈𝑛次方写成幂的形式等于 ．
③算一算：122 ÷(1
3)
④
÷(−2)⑤−(1
3)
⑥
÷33 = ．
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第
1
讲
新
定
义
探
究
（一）
4
模块二
模块二
绝对值有关的新定义
典型例题4
对于有理数𝑎，𝑏，𝑐，𝑑，给出如下定义：如果|𝑎−𝑐|+|𝑏−𝑐| = 𝑑，那么称𝑎和𝑏关于𝑐的相
对距离为𝑑，如果𝑚和3 关于1 的相对距离为5，那么𝑚的值为
．
典型例题5
我们定义一种新的运算，运算法则是：对于任意两个非零有理数𝑎、𝑏，当𝑎𝑏> 0 时，
𝑎⊚𝑏= |𝑎|+|𝑏|，当𝑎𝑏< 0 时，𝑎⊚𝑏= −|𝑎|−|𝑏|，
例如：(+4)⊚(+2) = +6，(−4)⊚(−3) = +7，(−5)⊚(+6) = −11，(+6)⊚(−7) = −13．
（1）计算：(−8)⊚(+10) =
．
（2）计算：[(−2)⊚(+3)]⊚[(−12)⊚(+2)] =
．
（3）如图，有理数𝑎、𝑏在数轴上的位置如图所示，化简：(𝑎−1)⊚(𝑏−𝑎)．
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第
1
讲
新
定
义
探
究
（一）
5
典型例题6
阅读与理解
在有理数的范围内，我们定义三个数之间的新运算法则“⊕”：
𝑎⊕𝑏⊕𝑐= 1
2(|𝑎−𝑏−𝑐|+𝑎+𝑏+𝑐)．如：(−1)⊕2⊕3 = 1
2 ×[|−1−2−3|+(−1)+2+3] = 5．
解答下列问题：
（1）计算：3⊕(−2)⊕(−3) 的值．
（2）在−6
7，−5
7，−4
7，…，−1
7，0，1
9，2
9，3
9，…，8
9 这15 个数中，任意取三个数作为𝑎，𝑏，𝑐的
值，进行“𝑎⊕𝑏⊕𝑐”运算，求在所有计算结果中的最大值．
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第2 讲
数学思维——新
数学思维——
新定义探究（二）
模块一
数字游戏
模块二
阅读材料探究
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第
2
讲
新
定
义
探
究
（二）
8
模块一
模块一
数字游戏
典型例题1
10 个人围成一个圆圈做游戏，游戏的规则是：每个人心里都想好一个数，并把自己想好的
数如实地告诉与他相邻的两个人，然后每个人将与他相邻的两个人告诉他的数的平均数
报出来．若报出来的数如图所示，则报3 的人心里想的数是
．
典型例题2
一部分同学围在一起做“传数”游戏，我们把某同学传给后面的同学的数称为该同学的
“传数”．游戏规则是：同学1 心里先想好一个数，将这个数乘2 再加1 后传给同学2，同
学2 把同学1 传给他的数除以2 再减1
2 后传给同学3，同学3 把同学2 传给他的数乘
2 再加1 后传给同学4，同学4 把同学3 传给他的数除以2 再减1
2 后传给同学5，同学
5 把同学4 传给他的数乘2 再加1 后传给同学6，⋯，按照上述规律，序号排在前面的同
学继续依次传数给后面的同学，直到传数给同学1 为止．
（1）若只有同学1，同学2，同学3 做“传数”游戏．
①同学1 心里想好的数是2，则同学3 的“传数”是 ．
②这三个同学的“传数”之和为17，则同学1 心里先想好的数是 ．
（2）若有𝑛个同学（𝑛为大于1 的偶数）做“传数”游戏，这𝑛个同学的“传数”之和为
20𝑛，求同学1 心里先想好的数．
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第
2
讲
新
定
义
探
究
（二）
9
模块二
模块二
阅读材料探究
知识梳理
新定义及阅读材料类型题，是独具特色的考题，出题新，灵活性强，要求学生现场学习新
知识，并利用已学知识，解决新的问题.
解题步骤：
①快速审题，从已知信息中提炼隐含信息；
②将新定义语言转化成已学的数学符号语言或数学模型；
③理解问题实质，寻找解题突破口；
④按照要求答题.
典型例题3
一般情况下𝑎
2 + 𝑏
3 = 𝑎+𝑏
2+3 不成立，但有些数可以使得它成立，例如：𝑎= 𝑏= 0．我们称使
得𝑎
2 + 𝑏
3 = 𝑎+𝑏
2+3 成立的一对数𝑎，𝑏为“相伴数对”，记为(𝑎,𝑏)．
（1）若(1,𝑏) 是“相伴数对”，求𝑏的值．
（2）写出一个“相伴数对”(𝑎,𝑏)，其中𝑎≠0，且𝑎≠1．
（3）若(𝑚,𝑛) 是“相伴数对”，求代数式𝑚−22
3 𝑛−[4𝑚−2(3𝑛−1)] 的值．
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第
2
讲
新
定
义
探
究
（二）
10
典型例题4
有依次排列的3 个数：3，5，9，对任意相邻的两个数，都用右边的数减去左边的数，所得之
差写在这两个数之间，可产生一个新数串：3，2，5，4，9，这称为第1 次操作；做第2 次同样
的操作后也可产生一个新数串：3，−1，2，3，5，−1，4，5，9，继续依次操作下去．问：
从数串2，10，7 开始操作，请用含𝑛的代数式表示第𝑛次操作以后所产生的那个新数串
的所有数之和
．
典型例题5
把几个有理数用大括号围起来，中间用逗号断开，如：{3,4}，{−3,6,8,18}，我们称之为集
合，其中大括号内的数称其为集合的元素．如果一个集合满足：只要其中有一个元素𝑎，
使得−2𝑎+ 4 也是这个集合的元素，这样的集合我们称为条件集合，例如：集合{3,−2}，
因为−2 × 3 + 4 = −2，−2 恰好是这个集合的元素，所以{3,−2} 是条件集合；例如：集合
{−2,9,8}，因为−2×(−2)+4 = 8，8 恰好是这个集合的元素，所以{−2,9,8} 是条件集合．
（1）集合{−4,12}
条件集合；集合{1
2，−5
3，22
3 }
条件集合
（填“是”或“不是”）．
（2）若集合{8,10,𝑛} 和集合{−𝑚} 都是条件集合，求𝑚，𝑛的和．
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