2022
创
新
班
全
国
版
初
一
春
上
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目录
ONTENTS
C
第1 讲
平行专题1
Part 1
拐点模型进阶
2
Part 2
平行相关动态问题
5
第2 讲
实数进阶训练
Part 1
根号2 是无理数吗？
12
Part 2
方根综合
13
Part 3
有理数幂
16
第3 讲
漫步数与式求和
Part 1
裂项求和
24
Part 2
公式求和
27
第4 讲
平面直角坐标系
Part 1
点与坐标
32
Part 2
坐标变换基础
37
第5 讲
平面直角坐标系中的规律探究
Part 1
坐标系中点的规律
42
Part 2
坐标变换进阶
46
Part 3
坐标系中的新定义问题
48
第6 讲
坐标系中的几何问题
Part 1
坐标系中的面积问题
52
Part 2
坐标系中的动点问题
57
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第
讲
1
1
平行专题1
Part 1
拐点模型进阶
Part 2
平行相关动态问题
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2
Part 1
拐点模型进阶
精讲精练
【例1】
解答下列各题．
（1）【感知】如图①，AB//CD，∠AEP = 40◦，∠PFD = 130◦，求∠EPF 的度数．
小乐想到了以下方法，请帮忙完成推理过程．
解：如图①，过点P 作PM//AB．
∴∠1 = ∠AEP = 40◦（ ），
∵AB//CD，
∴PM// （平行于同一条直线的两直线平行），
∴ （两直线平行，同旁内角互补），
∵∠PFD = 130◦，
∴∠2 = 180◦−130◦= 50◦，
∴∠1+∠2 = 40◦+50◦= 90◦，
即∠EPF = 90◦．
（2）【探究】如图②，AB//CD，∠AEP = 50◦，∠PFC = 120◦，求∠EPF 的度数．
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第1 讲
3
（3）【应用】
①如图③在【探究】的条件下，∠PEA 的平分线和∠PFC 的平分线交于点G，则∠G 的度数是 ◦．
②已知直线a//b，点A，B 在直线a 上，点C、D 在直线b 上（点C 在点D 的左侧），连接AD，BC，若BE 平
分∠ABC，DE 平分∠ADC，且BE，DE 所在的直线交于点E．设∠ABC = α，∠ADC = β（α̸ = β），请直接写出
∠BED 的度数（用含α，β 的式子表示）．
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4
【例2】
已知：直线EF 分别与直线AB，CD 相交于点F，E，EM 平分∠FED，AB//CD，H，P 分别为直线AB 和线段EF 上
的点．
（1）如图1，HM 平分∠BHP，若HP⊥EF，求∠M 的度数．
（2）如图2，EN 平分∠HEF 交AB 于点N，NQ⊥EM 于点Q，当H 在直线AB 上运动（不与点F 重合）时，探究
∠FHE 与∠ENQ 的关系，并证明你的结论．
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第1 讲
5
Part 2
平行相关动态问题
精讲精练
【例3】
如图1，CE 平分∠ACD，AE 平分∠BAC，∠EAC +∠ACE = 90◦．
（1）请判断AB 与CD 的位置关系并说明理由．
（2）如图2，P 为线段AC 上一定点，点Q 为直线CD 上一动点，且AB 与CD 的位置关系保持不变，当点Q 在射线
CD 上运动时（点C 除外），∠CPQ+∠CQP 与∠BAC 的数量关系为
．
（请直接写出答案）
（3）如图3，当∠E = 90◦且AB 与CD 的位置关系保持不变，移动直角顶点E，使∠MCE = ∠ECD，当直角顶点E
移动时，∠BAE 与∠MCD 是否存在确定的数量关系？并说明理由．
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6
【例4】
问题情景：如图1，AB//CD，∠PAB = 130◦，∠PCD = 120◦，求∠APC 的度数．小明的思路是：过P 作PE//AB，通过
平行线性质来求∠APC．
（1）按小明的思路，易求得∠APC 的度数为
度．
（2）问题迁移：如图2，AB//CD，点P 在射线ON 上运动，记∠PAB = α，∠PCD = β，当点P 在B、D 两点之间运动
时，问∠APC 与α、β 之间有何数量关系？请说明理由．
（3）在（2）的条件下，如果点P 在B、D 两点外侧运动时（点P 与点O、B、D 三点不重合），请你直接写出∠APC、
α、β 之间的数量关系．
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第1 讲
7
【例5】
如图，直线PQ//MN，一副三角板（∠ABC = ∠CDE = 90◦，∠ACB = 30◦，∠BAC = 60◦，∠DCE = ∠DEC = 45◦）按如
图①放置，其中点E 在直线PQ 上，点B，C 均在直线MN 上，且CE 平分∠ACN．
（1）求∠DEQ 的度数．
（2）如图②，若将三角形ABC 绕点B 以每秒3◦的速度按逆时针方向旋转（A，C 的对应点分别为F，G），设旋转
时间为t 秒（0 ⩽t ⩽60）．
①在旋转过程中，若边BG//CD，求t 的值．
②若在三角形ABC 绕点B 旋转的同时，三角形CDE 绕点E 以每秒2◦的速度按顺时针方向旋转（C，D 的对
应点分别为H，K），请直接写出当边BG//HK 时t 的值．
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8
【例6】
已知，如图1 所示：射线PE 分别与两直线AB，CD 相交于E，F 两点，作∠PFD 的角平分线与AB 相交于点M，再
作射线PM 交CD 于点N，设∠PFM = m◦，∠EMF = n◦且(80−2m)2 与|n−40| 互为相反数．
（1）求证：AB//CD．
（2）如图2：若点G 是射线MA 上任意一点，且∠MGH = ∠PNF，试判断∠1 与∠2 之间存在一个什么确定的数量
关系．并证明你的结论．
（3）若将图中的射线PM 绕着端点P 逆时针方向旋转（如图3）分别与AB，CD 相交于点M1 和点N1 时，作
∠PM1B 的角平分线与FM 相交于点Q，问在旋转的过程中∠FPN1
∠Q
的值变不变？若不变，请求出其值；若变化，
请说明理由．
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第1 讲
9
堂上巩固
【巩固1】
请回答下列各题．
（1）如图，直线AB//CD，点E 在直线AB 上，点F、H 在直线CD 上，∠AEF = 48◦，∠EHF = 30◦，EG 平分∠AEH，
FG 平分∠EFH，EG、FG 相交于点G，求∠EGF 的度数．
（2）将（1）中的线段EH 向右平移至E′H′ 的位置，如图所示，此时，E′G 平分∠EE′H′，FG 平分∠EFD，
∠AEF = 48◦，∠E′H′F = 30◦，求∠E′GF 的度数．
（四边形EFGE′ 的内角和等于360◦）
（3）将（1）中的线段EH 向左平移至E′H′ 的位置，如图所示，其他条件与（2）相同．请直接写出∠E′GF =
◦．
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10
【巩固2】
如图1，AB//CD，G 为AB、CD 之间的一点．
（1）若EG 平分∠AEF，FG 平分∠EFC．求证：EG⊥FG．
（2）如图2，若∠AEP = 2
5∠AEF，∠CFP = 2
5∠EFC，且FP 的延长线交∠AEP 的平分线于点M，EP 的延长线交
∠CFP 的平分线于点N，猜想∠M +∠N 的结果并且证明你的结论．
（3）如图3，若H 是射线EB 上的一动点，FG 平分∠EFH，MF 平分∠EFC．过点G 作GQ⊥FM 于点Q，猜想
∠EHF 与∠FGQ 的数量关系，并证明你的结论．
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第
讲
2
11
实数进阶训练
Part 1
根号2 是无理数吗？
Part 2
方根综合
Part 3
有理数幂
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12
Part 1
根号2 是无理数吗？
精讲精练
【例1】
（1）证明：
√
2 是无理数．
（2）已知
√
2，
√
3 为无理数，求证：3
√
2+2
√
3 是无理数．
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第2 讲
13
Part 2
方根综合
精讲精练
【例2】
（1）已知a+1 的算术平方根是1，−27 的立方根是b−12，c−3 的平方根是±2，求a+b+c 的平方根．
（2）已知2a−1 的立方根是3，3a+b+5 的平方根是±7，c 是
√
13 的整数部分，求a、b、c．
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14
【例3】
解答下列各题．
（1）已知一个正数的两个平方根是2m+1 和3−m，求这个正数．
（2）已知2a−1 的平方根是±3，3a+b−1 的立方根是3，c 是
√
57 的整数部分，求a+2b+c 的算术平方根．
（3）已知一个数的平方根是±(2a−1)，算术平方根是a+4，求这个数．
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第2 讲
15
【例4】
类比平方根（二次方根）、立方根（三次方根）的定义可给出四次方根、五次方根的定义：①如果x4 = a（a ⩾0)，
那么x 叫做a 的四次方根，
②如果x5 = a，那么x 叫做a 的五次方根，
请根据以上两个定义并结合有关数学知识回答问题．
（1）81 的四次方根为
；−32 的五次方根为
．
（2）若
4√a−1 有意义，则a 的取值范围为
，若
5√a 意义，则a 的取值范围为
．
（3）解方程．
①x4 = 16．
②100000x5 = 243．
（4）我们学习过一个数的平方根有以下的性质：一个正数的平方根有两个，它们互为相反数；0 的平方根是0；负数
没有平方根．类比一个数的平方根的性质，归纳一个数的n（n 是大于1 的整数）次方根的性质．
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16
Part 3
有理数幂
知识点睛
一、负整数指数幂
a−n = 1
an（a̸ = 0，n 是正整数）．即：任何不等于0 的数的−n（n 是正整数）次幂，等于这个数的n 次幂的倒
数．
二、小数的科学记数法
一般地，用科学记数法可以把一个大于10 的数写成a×10n 的形式，其中1 ⩽a < 10 ，n 是整数．类似地，一个
大于0 小于1 的数也可以用科学记数法表示，例如：0.00015=1.5×10−4．
一、分数指数幂
规定：n√
am = a
m
n (a ⩾0) ，1
n√
am = a−m
n (a > 0) ，其中m、n 为正整数，n > 1．规定中的a
m
n 和a−m
n 叫做分数指数
幂．
【注】1．一个正数的分数指数幂的值是一个正数．
2．求分数指数幂的值，就是求一个数的方根，可将分数指数幂表示成方根的形式. 如：49
1
2 =
√
49 = 7．
二、有理数指数幂
1．定义：整数指数幂和分数指数幂统称为有理数指数幂．
2．运算性质：设a > 0,b > 0,p、q 为有理数，那么
(1) ap aq = ap+q,ap ÷aq = ap−q.
(2) (ap)q = apq.
(3) (ab)p = apbp,
(
a
b
)p
= ap
bp .
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第2 讲
17
精讲精练
【例5】
（1）计算：100 ÷3−2 =
．
（2）计算：(−1)2018 +
(
−1
2
)−2
−(3.14−π)0．
【例6】
（1）把
4√
63 化为幂的形式是
．
（2）把
1
5√
34 化成幂的形式：
．
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18
【例7】
（1）计算：5
1
2 +
√
5−2
−(−3)0 +
(
1
2
)−1
．
（2）计算：
√
3−1
−4
1
2 −
√
12+
(
1
3
)−2
．
（3）化简：
a
5
3 −8a
2
3 b
a
2
3 +2
3√
ab+4b
2
3
·
a
1
3
a
1
3 −2b
1
3
=
．
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第2 讲
19
【例8】
在形如ab = N 的式子中，我们已经研究过两种情况：
①已知a 和b，求N，这是乘方运算．
②已知b 和N，求a，这是开方运算．
现在我们研究第三种情况：已知a 和N，求b，我们把这种运算叫做对数运算．
定义：如果ab = N(a > 0,a̸ = 1,N > 0)，则b 叫做以a 为底N 的对数，记作b = logaN．
例如：求log28，因为23 = 8，所以log28 = 3；又比如∵2−3 = 1
8，∴log2
1
8 = −3．
（1）根据定义计算：
①log381 = ．
②log101 = ．
③如果logx16 = 4，那么x = ．
（2）设ax = M，ay = N，则logaM = x，logaN = y（a > 0，a̸ = 1，M、N 均为正数），∵ax · ay = ax+y，∴ax+y = M · N，
∴logaMN = x + y，即logaMN = logaM + logaN，这是对数运算的重要性质之一．进一步，我们还可以得出：
logaM1M2M3 ···Mn =
（其中M1、M2、M3、···、Mn 均为正数，a > 0，a̸ = 1）．
（3）请你猜想：loga
M
N =
（a > 0，a̸ = 1，M、n 均为正数）．
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20
堂上巩固
【巩固1】
32 的五次方根是
，16 的四次方根是
．
【巩固2】
计算：
√
8÷ 3√
16．
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第2 讲
21
【巩固3】
计算：(3−2
√
3)÷
√
3+3
3
2 −(
√
5+2)
0．
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第
讲
3
23
漫步数与式求和
Part 1
裂项求和
Part 2
公式求和
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24
Part 1
裂项求和
精讲精练
【例1】
计算：1
1×2 +
2
1×2×3 +
3
1×2×3×4 +···+
9
1×2×···×10 =
【例2】
计算：
99
1×2×3 +
98
2×3×4 +
97
3×4×5 +···+
1
99×100×101 =
．
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第3 讲
25
【例3】
观察下列规律，在括号内填入适当的数．
（1）1×2 = [1×2×(3)−(0)×1×2]×
1
(
)；
2×3 = [2×3×(
)−(
)×2×3]×
1
(
)；
3×4 = [3×4×(
)−(
)×3×4]×
1
(
)．
上面三个等式“左边相加= 右边相加”，右边相同的内容可以加减抵消：
所以：1×2+2×3+3×4= [3×4×(
)−(
)×1×2]×
1
(
) =
．
（2）1×2+2×3+3×4+4×5+5×6+6×7+7×8= [7×8×(
)−(
)×1×2]×
1
(
) =
．
（3）2×3+3×4+···+29×30 =[（ ）×（ ）×（ ）−（ ）×（ ）×（ ）]× 1
(
)=
．
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26
【例4】
an =
1
n
(
1+ 1
1
)
×
(
1+ 1
2
)
×
(
1+ 1
3
)
×···×
(
1+ 1
n
)．
（1）求出a1，a2，a100，a200 的大小．
（2）计算：1
a1
+ 2
a2
+ 3
a3
+···+ 30
a30
．
【例5】
计算：3!×1
3
+ 4!×2
32
+ 5!×3
33
+···+ 102!×100
3100
=
(结果可以用阶乘和乘方表示).
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第3 讲
27
Part 2
公式求和
精讲精练
【例6】
S = 1−2+4−8+16−···+1024−2048 =
．
【例7】
（1）计算：12 +22 +32 +···+n2．
（2）计算：（前面填分子，后面填分母）3
12 +
5
12 +22 +
7
12 +22 +32 +···+
21
12 +22 +···+102 =
/
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28
【例8】
（1）根据图(a)，第一行数的和为1+2+3+4；
根据图(b)，左上角的1 = 13．
第二组被连线的数的和分别为：(1+2+3+4)×(
)；2+4+2 = (1+2+1)×2 = (
)3．
第三组被连线的数的和分别为：(1+2+3+4)×(
)；3+6+9+6+3 = (1+2+3+2+1)×3 = (
)3．
第四组被连线的数的和分别为：(1+2+3+4)×(
)；4+8+12+16+12+8+4 = (
)3．
综上可知，图(a) 中所有数的和为(
)2；
图(b) 中所有数的和为：13 +(
)3 +(
)3 +(
)3．
可以推断13 +23 +33 +···+n3 = (
）．
（2）12
13 −12 +22
13 +23 + 12 +22 +32
13 +23 +33 −12 +22 +32 +42
13 +23 +33 +43 +···−12 +22 +···+302
13 +23 +···+303 =
．
【例9】
计算：1×2+3×4+5×6+···+15×16+17×18 =
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第3 讲
29
堂上巩固
【巩固1】
计算：1−
2
1×(1+2) −
3
(1+2)(1+2+3) −
4
(1+2+3)(1+2+3+4) −···−
100
(1+2+···+99)(1+2+···+100)．
【巩固2】
计算：1
1×6 +
1
6×11 +
1
11×16 +···+
1
51×56．
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30
【巩固3】
观察下面的图形，计算：12 +12 +22 +32 +52 +82 +132 +212 =
．
【巩固4】
计算：1×19+2×17+3×15+···+10×1 =
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第
讲
4
31
平面直角坐标系
Part 1
点与坐标
Part 2
坐标变换基础
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32
Part 1
点与坐标
知识点睛
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第4 讲
33
精讲精练
【例1】
（1）如图是天安门广场周围的景点分布示意图的一部分，若表示“王府井”的点的坐标为(4,1)，表示“人民大会堂”
的点的坐标为(0,−1)，则表示“天安门”的点的坐标为( )
A. (0,0)
B. (1,0)
C. (−1,0)
D. (1,1)
（2）方格纸上有A、B 两点，若以B 点为原点，建立平面直角坐标系，则A 点坐标为(3,4)，若以A 点为原点建立平
面直角坐标系，则B 点坐标为（ ）．
A. (−3,−4)
B. (−3,4)
C. (3,−4)
D. (3,4)
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34
知识点睛
精讲精练
【例2】
已知P(a,b) 是平面直角坐标系内一点．请在下面横线是填上点P 的具体位置：
（1）若ab > 0，则P 点在
；
（2）若ab = 0，则P 点在
；
（3）若a2 +b2 = 0，则P 点在
；
（4）若a = b，则P 点在
；
（5）若a+b = 0，则P 点在
；
（6）若a = 1，则P 点在
．
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第4 讲
35
【例3】
（1）在平面直角坐标系的第二象限内有一点M，点M 到x 轴的距离为3，到y 轴的距离为4，则点M 的坐标是
( )
A. (3,−4)
B. (4,−3)
C. (−4,3)
D. (−3,4)
（2）已知点P(0，m) 在y 轴的负半轴上，则点M(−m，−m+1) 在( )
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
（3）若点M(x，y) 满足(x+y)2 = x2 +y2 −2，则点M 所在象限是( )
A. 第一象限或第三象限
B. 第二象限或第四象限
C. 第一象限或第二象限
D. 不能确定
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36
知识点睛
精讲精练
【例4】
（1）点A 的坐标为(2,3)，点B 的坐标为(4,3)，则线段AB 所在的直线与x 轴的位置关系是
．
（2）在下列四点中，与点(−3,4) 的连线平行于y 轴的是( )
A. (−2,3)
B. (2,−3)
C. (3,2)
D. (−3,2)
（3）已知点P(2x,x+3) 在坐标轴夹角平分线上，则点Q(−x+2,2x+3) 的坐标为
．
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第4 讲
37
Part 2
坐标变换基础
知识点睛
平移
⑴点平移：
①将点(x，y) 向右或向左平移a 个单位可得对应点(x+a，y) 或(x−a，y)．
②将点(x，y) 向上或向下平移b 个单位，可得对应点(x，y+b) 或(x，y−b)．
⑵图形平移：
①把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a
个单位．
②如果把图形各个点的纵坐标都加上（减去）一个正数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a 个
单位．
对称
①点(x，y) 关于横轴（x 轴）的对称点为(x，−y)；
②点(x，y) 关于纵轴（y 轴）的对称点为(−x，y)；
③点(x，y) 关于原点(0，0) 的对称点为(−x，−y)；
④点(x，y) 关于点(a，b) 的对称点为(2a−x，2b−y)；
⑤点(x，y) 关于一三象限的平分线的对称点为(y，x)；
⑥点(x，y) 关于二四象限的平分线的对称点为(−y，−x)．
旋转
这里旋转特指旋转90◦．弦图是解决旋转90◦的主要解题手段．
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38
精讲精练
【例5】
（1）点A(−2，2) 向上平移3 个单位，再向右平移5 个单位得到点A
′，点A
′ 的坐标为
；
点A(m，n) 向下平移2 个单位，再向左平移1 个单位得到点A
′(2，3)，则A 坐标为
．
（2）如图，一个机器人从O 点出发，向正东方向走a 米到达A1 点，，再向正北方向走2a 米到达A2 点，再向正西方
向走3a 米到达A3 点，再向正南方向走4a 米到达A4 点，再向正东方向走5a 米到达A5 点，按如此规律走下
去，当机器人走到A6 点时，请用含a 的式子求出A6 点的坐标．(a > 0)
【例6】
（1）若点A(1+m,1−n) 与点B(−3,2) 关于y 轴对称，则m+n 的值是( )
A. −5
B. −3
C. 3
D. 1
（2）在平面直角坐标系中，若点P(m,m−n) 与点Q(−2,3) 关于原点对称，则点M (m,n) 在( )
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
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第4 讲
39
【例7】
如图，将△AOB 绕点O 逆时针旋转90◦，得到△A′OB′，若点A 的坐标为(a,b)，则点A′ 的坐标为
．
【例8】
如图，在平面直角坐标系中，直线l 是第一、三象限的角平分线．
实验与探究：
（1）由图观察易知A(2，0) 关于直线l 的对称点A′ 的坐标为(0，2)，请在图中分别标明B(5，3)，C(−2，5) 关于直线l
的对称点B′、C′ 的位置，并写出他们的坐标：B′
，C′
．
（2）结合图形观察以上三组点的坐标，你会发现：坐标系平面内任一点P(a，b) 关于第一、三象限的角平分线l 的对
称点P′ 的坐标为
．(不必证明)
（3）点A(a，b) 在直线l 的下方，则a、b 的大小关系为
；若在直线l 的上方，则
．
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40
堂上巩固
【巩固1】
象棋在中国有着三千多年的历史，由于用具简单，趣味性强，成为流行极为广泛的益智游戏．如图是一局象棋残局，
已知表示棋子“马”和“车”的点的坐标分别为(4,3)，(−2,1)，则表示棋子“炮”的点的坐标为（ ）．
A. (−3,3)
B. (0,3)
C. (3,2)
D. (1,3)
【巩固2】
若点P(x,y) 在第四象限，且|x| = 2，|y| = 3，则x+y =( )
A. −1
B. 1
C. 5
D. −5
【巩固3】
在平面直角坐标系中，将点P(−2,1) 向右平移3 个单位长度，再向上平移4 个单位长度得到点P′ 的坐标是（ ）．
A. (2,4)
B. (1,5)
C. (1,−3)
D. (−5,5)
【巩固4】
已知点A(2,−2)，如果点A 关于x 轴的对称点是B，点B 关于原点的对称点是C，那么C 点的坐标是（ ）．
A. (−2,−2)
B. (−2,2)
C. (−1,−1)
D. (2,2)
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第
讲
5
41
平面直角坐标系中的规律探究
Part 1
坐标系中点的规律
Part 2
坐标变换进阶
Part 3
坐标系中的新定义问题
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42
Part 1
坐标系中点的规律
知识点睛
找规律的题目一定要先找n = 1、2、3... 几个图形规律，再推广到n 的情况．
从简单情形入手，从中发现规律，猜想、推测、归纳出结论，这是创造性思维的特点．
规律探究回顾：
1. 等差数列（相邻两个数字之间相差的数一样）
例：2，5，8，11，14，…，3n−1
2. 等比数列（相邻两个数字之间的比例关系相同）
例：（1）2，4，8，16，32，…，2n
（2）1，2，4，8，16，…，2n−1
3. 其他常见数列
（1）乘积数列
例：2，6，12，20，30，…，n(n+1)
（2）平方数列
例：2，5，10，17，26，…，n2 +1
（3）求和数列
例：1，3，6，10，15，…，n(n+1)
2
4. 周期规律：关键点在于寻找循环周期．
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第5 讲
43
精讲精练
【例1】
（1）如图，在平面直角坐标系中，第1 次将△OAB 变换成△OA1B1，第2 次将△OA1B1 变换成△OA2B2，第3 次将
△OA2B2 变换成△OA3B3．
已知A(1,3)，A1 (2,3)，A2 (4,3)，A3 (8,3)，B(2,0)，B1 (4,0)，B2 (8,0)，B3 (16,0)，观察每次变化前后的三角形，找出
规律，按此变化规律再将△OA3B3 变换成△OA4B4，则点A4 的坐标是
，点B4 的坐标是
，点
An 的坐标是
，点Bn 的坐标是
．
（2）如图，将边长为1 的正方形OAPB 沿x 轴正方向连续翻转2013 次，点P 依次落在点P1、P2、P3、P4、···Pn、··· 的
位置，则P2013 的横坐标x2013 =
．
（3）如图，在平面直角坐标系中，动点P 按图中箭头所示方向从原点出发，第1 次运动到P1 (1,1)，第2 次接着运动
到点P2 (2,0)，第3 次接着运动到点P3 (3,−2)，···，按这样的运动规律，点P2019 的坐标是
．
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44
【例2】
（1）如图，在平面直角坐标系中，A(−3,0),B(0,4), 对△AOB 按图示方式连续作旋转变换，这样算到第2016 个三
角形时，A 点的对应点的坐标为( )
A. (8064,4)
B. (8064,0)
C. (8064,3)
D. (8061,0)
（2）如图在平面直角坐标系上有一点A(0,1)，点A 第一次跳动至点A1 (1,−1)，第二次由点A1 跳到点A2 (1,2)，第
三次由点A2 跳到点A3 (2,−2)…由此规律跳动下去，第80 次跳到点A80 的坐标是( )
A. (40,40)
B. (41,40)
C. (40,41)
D. (41,41)
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第5 讲
45
【例3】
在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标都为整数的点称为整点，图中的正方形的四个顶点都在格点上，观察图中每
一个正方形四条边上的整点的个数，请你猜测由里向外第10 个正方形四条边上的整点共有
个．
【例4】
一个粒子在第一象限内及x 轴、y 轴上运动，在第1min 内它从原点运动到(1，0)，而后接着按如图所示方式在与
x 轴、y 轴平行的方向上来回运动，且每分钟移动1 个单位长度，那么，在2011min 后，这个粒子所处的位置坐标
是
．
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46
Part 2
坐标变换进阶
精讲精练
【例5】
如图，弹性小球从P(2,0) 出发，沿所示方向运动，每当小球碰到正方形OABC 的边时反弹，反弹时反射角等于入射
角，当小球第一次碰到正方形的边时的点为P1，第二次碰到正方形的边时的点为P2，···，第n 次碰到正方形的边时
的点为Pn，则P2015 的坐标是( )
A. (5,3)
B. (3,5)
C. (0,2)
D. (2,0)
【例6】
在平面直角坐标系xOy 中，将点A(2,3) 绕(−2,−1) 旋转90◦后的坐标是
．
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第5 讲
47
【例7】
如图，在直角坐标平面内，已知点A 的坐标为(3,3)，点B 的坐标为(−4,3)，点P 为直线AB 上任意一点(不与A、B
重合)，点Q 是点P 关于y 轴的对称点．
（1）△ABO 的面积为
．
（2）设点P 的横坐标为a，那么点Q 的坐标为
．
（3）设点P 的横坐标为1
3，如果△OPA 和△OPQ 的面积相等，且点P 在点Q 的右侧，那么应将点P 向
(填
“左”
“右”) 平移
个单位．
（4）如果△OPA 的面积是△OPQ 的面积的2 倍，那么点P 的坐标为
．
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48
Part 3
坐标系中的新定义问题
精讲精练
【例8】
对于平面直角坐标系xOy 中的点P(a,b)（其中b > 0），若a > 0 时，点P′ 的坐标为(b,−a)，若a ⩽0 时，点P′ 的
坐标为(−b,−a)，则称点P′ 为点P 的“派生点”．
例如：点(2,3) 的“派生点”为点(3,−2)，点(−5,4) 的“派生点”为点(−4,5)．
（1）点E(4,1) 的“派生点”E′ 的坐标为
；若点F 的“派生点”F′ 的坐标为(−7,3)，则点F 的坐标
．
（2）已知点A(−6,1)、B(−3,2)、C(−9,4)，A、B、C 的“派生点”为A′、B′、C′，则△A′B′C′ 的面积为
．
（3）若M(a,b)（其中b > 0）的“派生点”M′ 与N(m,n)（其中n > 0）的“派生点”N′ 关于原点对称，求a、b、m、n 满
足的条件．
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第5 讲
49
堂上巩固
【巩固1】
如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,2)，(3,1)，
(3,0)，(4,0)，···．根据这个规律探索可得，第100 个点的坐标为( )
A. (14,8)
B. (13,0)
C. (100,99)
D. (15,14)
【巩固2】
平面直角坐标系中，点P 关于原点的对称点坐标为(2,−3)，则点P 关于x 轴的对称点坐标为
．
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50
【巩固3】
当m，n 都是实数，且满足2m = 8+n，就称点P
(
m−1, n+2
2
)
为“抗疫点”．
（1）点A(5,3)，B(4,8) 为“抗疫点”的是点
．
（2）若点M(a,−4)、N(4,b) 是“抗疫点”，求a，b 的值．
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第
讲
6
51
坐标系中的几何问题
Part 1
坐标系中的面积问题
Part 2
坐标系中的动点问题
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52
Part 1
坐标系中的面积问题
知识点睛
在平面直角坐标系中求面积的常用方法
1. 公式法：利用面积公式（如三角形面积公式）进行求解．
【举例】
S△ABC = 1
2 ·AB·CD =
.
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第6 讲
53
2. 割补法：
①切割法：将难以求解面积的图形分割成易求解面积的图形；
②补形法：将不规则图形补成规则图形，再用大图形的总面积减去周围小三角形的面积．
【举例】
①切割法：
S四边形ABCD= S△ABD +S△BCD=
.
②补形法：
S△ABC = S四边形ADEF −S△ABD −S△BCE −S△ACF =
.
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54
精讲精练
【例1】
如图，在平面直角坐标系中，A(2,0)，B(−3,−4)，O(0,0)，则△AOB 的面积为（ ）．
A. 4
B. 6
C. 8
D. 3
【例2】
已知点A(1,0)，B(0,2)，点P 在x 轴上，且△PAB 的面积为5，则点P 的坐标是（ ）．
A. (−4,0)
B. (6,0)
C. (−4,0) 或(6,0)
D. (0,12) 或(0,−8)
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第6 讲
55
【例3】
（1）如图，四边形OABC 各个顶点的坐标分别是O(0,0)，A(3,0)，B(5,2)，C(2,3)．求这个四边形的面积．
（2）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD 各顶点的坐标分别为A(0,0)，B(9,0)，C(7,5)，D(2,7)．求四边形
ABCD 的面积．
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56
【例4】
已知：A(0,1)，B(2,0)，C(4,3)．
（1）在平面直角坐标系中描出各点，画出△ABC．
（2）求△ABC 的面积．
（3）设点P 在坐标轴上，且△ABP 与△ABC 的面积相等，求点P 的坐标．
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第6 讲
57
Part 2
坐标系中的动点问题
精讲精练
【例5】
如图，在长方形OABC 中，O 为平面直角坐标系的原点，点A，点C 分别在x 轴，y 轴上，点B 坐标为(4,6)，点P 从
点O 出发，以每秒2 个单位长度的速度沿O →C →B 方向运动，到点B 停止．设点P 运动的时间为t（秒）．
（1）点A 的坐标为
．
（2）当t = 1 秒时，点P 的坐标为
．
（3）当点P 在OC 上运动时，请直接写出点P 的坐标(用含有t 的式子表示)．
（4）在运动过程中，当点P 到y 轴的距离为1 个单位长度时，求t 的值．
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58
【例6】
在平面直角坐标系中，如图1，点A、B 的坐标分别为A(a,0)、B(b,0)，且a、b 满足|a+4|+(a−4b+12)2 = 0，现同
时将点A、B 分别向左平移2 个单位，再向上平移2 个单位，分别得到点A、B 的对应点C、D，连接AC、BD．
（1）A、B 两点的坐标分别为
，
．
（2）如图2，点P 是线段AC 上的一个动点，点Q 是线段CD 的中点，连接PQ、PO，当点P 在线段AC 上移动时（不
与A、C 重合），请找出∠PQD、∠OPQ、∠POB 的数量关系，并证明你的结论．
（3）设BC 与OD 的交点为E
(
0, 1
2
)
，若坐标轴上的一点M，使三角形MBC 的面积与三角形ABD 的面积相等，请
直接写出点M 的坐标．
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第6 讲
59
【例7】
在平面直角坐标系中，A(0,a)，B(5,b)，且a，b 满足|3a+2b+14|+
√
a−2b−6 = 0，平移线段AB 至CD，其中A，B
的对应点分别为C，D，CD 交y 轴于点E．
（1）a =
，b =
．
（2）若点C 的坐标为(−2,6)，点E 的坐标为
(
0, 26
5
)
，求y 轴上是否存在一点M 使△CDM 的面积为6，若存在，
请求出点M 的坐标，若不存在，请说明理由．
（3）在（2）的条件下，点F 在OD 的延长线上，若P 是射线OD（不与D 重合）上一动点，∠CDF 与∠PAB 的平分
线所在直线相交于点Q，试探究∠DPA 与∠AQD 之间的数量关系并说明理由．
（注：三角形内角和为180 度）
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60
堂上巩固
【巩固1】
已知坐标平面内的三个点A(1,3)，B(3,1),O(0,0)，求△ABO 的面积．
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
【巩固2】
在平面直角坐标系xOy 中，对于任意三点A，B，C 的“矩面积”，给出如下定义：
“水平底”a：任意两点横坐标差的
最大值，
“铅垂高”h：任意两点纵坐标差的最大值，则“矩面积”S = ah．例如：三点坐标分别为A(1,2)、B(−3,1)、
C(2,−2)，则“水平底”a = 5，
“铅垂高”h = 4，
“矩面积”S = ah = 20．已知点A(1,2)、B(−3,1)、P(0,t)．
（1）若A、B、P 三点的“矩面积”为12，求点P 的坐标．
（2）直接写出A、B、P 三点的“矩面积”的最小值．
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第6 讲
61
【巩固3】
如图，长方形OABC 的顶点B 的坐标为(8,6)，动点P 从原点O 出发，以每秒1 个单位的速度沿线段OA 运动，到
点A 时停止．同时，动点Q 从点C 出发，以每秒2 个单位的速度在线段CO 上运动，当一个点停止时，另一个点也
随之停止．在运动过程中，当运动时间t 等于
时，△OPQ 为等腰直角三角形．
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11220108452740
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