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2017 年湖北省宜昌市中考数学试卷
一、选择题：本大题共15个小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的.
1
1．（3分）有理数﹣ 的倒数为（ ）
5
1 1
A．5 B． C．- D．﹣5
5 5
2．（3分）如下字体的四个汉字中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）如图是一个小正方体的展开图，把展开图折叠成小正方体后，有“爱”字一面
的相对面上的字是（ ）
A．美 B．丽 C．宜 D．昌
4．（3分）谜语：干活两腿脚，一腿勤，一腿懒，一脚站，一脚转．打一数学学习用具，
谜底为（ ）
A．量角器 B．直尺 C．三角板 D．圆规
5．（3分）5月18 日，新华社电讯：我国利用世界唯一的“蓝鲸1号”，在南海实现了可
燃冰（即天然气水合物）的安全可控开采．据介绍，“蓝鲸 1号”拥有27354台设备，约
40000根管路，约50 000个MCC报验点，电缆拉放长度估计1200千米．其中准确数是（
）
A．27354 B．40000 C．50000 D．1200
6．（3分）九一（1）班在参加学校4×100m接力赛时，安排了甲，乙，丙，丁四位选
手，他们的顺序由抽签随机决定，则甲跑第一棒的概率为（ ）
1 1 1
A．1 B． C． D．
2 3 4
第1页（共23页）7．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a3+a2=a5 B．a3•a2=a5 C．（a3）2=a5D．a6÷a2=a3
1
8．（3分）如图，在△AEF中，尺规作图如下：分别以点E，点F为圆心，大于 EF的长为
2
半径作弧，两弧相交于G，H两点，作直线GH，交EF于点O，连接AO，则下列结论正确的
是（ ）
A．AO平分∠EAF B．AO垂直平分EFC．GH垂直平分EFD．GH平分AF
9．（3分）如图，要测定被池塘隔开的A，B两点的距离．可以在AB外选一点C，连接
AC，BC，并分别找出它们的中点D，E，连接ED．现测得AC=30m，BC=40m，DE=24m，则AB=
（ ）
A．50m B．48m C．45m D．35m
10．（3分）如图，将一张四边形纸片沿直线剪开，如果剪开后的两个图形的内角和相
等，下列四种剪法中，符合要求的是（ ）
A．①② B．①③ C．②④ D．③④
11．（3分）如图，四边形ABCD内接⊙O，AC平分∠BAD，则下列结论正确的是（ ）
第2页（共23页）A．AB=AD B．BC=CD C．^AB=^AD D．∠BCA=∠DCA
12．（3分）今年5月21日是全国第27个助残日，某地开展“心手相连，共浴阳光”为主
题的手工制品义卖销售活动．长江特殊教育学校将同学们手工制作的手串、中国结、手提
包、木雕笔筒的相关销售信息汇总如下表，其中销售率最高的是（ ）
手工制品 手串 中国结 手提包 木雕笔筒
总数量（个） 200 100 80 70
销售数量（个） 190 100 76 68
A．手串 B．中国结 C．手提包 D．木雕笔筒
13．（3分）△ABC在网格中的位置如图所示（每个小正方形边长为1），AD⊥BC于D，下
列选项中，错误的是（ ）
A．sinα=cosα B．tanC=2 C．sinβ=cosβ D．tanα=1
(x+ y) 2-(x- y) 2
14．（3分）计算 的结果为（ ）
4xy
1 1
A．1 B． C． D．0
2 4
15．（3分）某学校要种植一块面积为100m2的长方形草坪，要求两边长均不小于5m，则草
坪的一边长为y（单位：m）随另一边长x（单位：m）的变化而变化的图象可能是（ ）
第3页（共23页）A． B．
C． D．
二、解答题（本大题共9小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
1
16．（6分）计算：23×（1﹣ ）×0.5．
4
{ x
& ≥-1
17．（6分）解不等式组 2 ．
&2(1-x)＜4-3x.
18．（7分）YC市首批一次性投放公共自行车700辆供市民租用出行，由于投入数量不
够，导致出现需要租用却未租到车的现象，现随机抽取的某五天在同一时段的调查数据汇
成如下表格．
请回答下列问题：
时间 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天
7：00﹣ 7：00﹣ 7：00﹣ 7：00﹣ 7：00﹣
8：00 8：00 8：00 8：00 8：00
需要租用自行车却未租到 1500 1200 1300 1300 1200
第4页（共23页）车的人数（人）
（1）表格中的五个数据（人数）的中位数是多少？
（2）由随机抽样估计，平均每天在7：00﹣8：00：需要租用公共自行车的人数是多少？
19．（7分）“和谐号”火车从车站出发，在行驶过程中速度y（单位：m/s）与时间x
（单位：s）的关系如图所示，其中线段BC∥x轴．
（1）当0≤x≤10，求y关于x的函数解析式；
（2）求C点的坐标．
20．（8分）阅读：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数 a，b，c，称为勾股数．世
界上第一次给出勾股数通解公式的是我国古代数学著作《九章算术》，其勾股数组公式
1
{&a= (m2-n2
)
2
为： &b=mn 其中m＞n＞0，m，n是互质的奇数．
1
&c= (m2+n2 ).
2
应用：当n=1时，求有一边长为5的直角三角形的另外两条边长．
第5页（共23页）21．（8分）已知，四边形ABCD中，E是对角线AC上一点，DE=EC，以AE为直径的⊙O与
边CD相切于点D．B点在⊙O上，连接OB．
（1）求证：DE=OE；
（2）若CD∥AB，求证：四边形ABCD是菱形．
22．（10分）某市总预算a亿元用三年时间建成一条轨道交通线．轨道交通线由线路敷
设、搬迁安置、辅助配套三项工程组成．从2015年开始，市政府在每年年初分别对三项工
程进行不同数额的投资．
2015年年初，对线路敷设、搬迁安置的投资分别是辅助配套投资的2倍、4倍．随后两
年，线路敷设投资每年都增加b亿元，预计线路敷设三年总投资为54亿元时会顺利如期完
工；搬迁安置投资从2016年初开始遂年按同一百分数递减，依此规律，在 2017年年初只
需投资5亿元，即可顺利如期完工；辅助配套工程在2016年年初的投资在前一年基础上的
增长率是线路敷设2016年投资增长率的1.5倍，2017年年初的投资比该项工程前两年投资
的总和还多4亿元，若这样，辅助配套工程也可以如期完工．经测算，这三年的线路敷
设、辅助配套工程的总投资资金之比达到3：2．
（1）这三年用于辅助配套的投资将达到多少亿元？
（2）市政府2015年年初对三项工程的总投资是多少亿元？
（3）求搬迁安置投资逐年递减的百分数．
第6页（共23页）23．（11分）正方形ABCD的边长为1，点O是BC边上的一个动点（与B，C不重合），以
O为顶点在BC所在直线的上方作∠MON=90°．
（1）当OM经过点A时，
①请直接填空：ON （可能，不可能）过D点；（图1仅供分析）
②如图2，在ON上截取OE=OA，过E点作EF垂直于直线BC，垂足为点F，作EH⊥CD于H，
求证：四边形EFCH为正方形．
（2）当OM不过点A时，设OM交边AB于G，且OG=1．在ON上存在点P，过P点作PK垂直
于直线BC，垂足为点K，使得S =4S ，连接GP，求四边形PKBG的最大面积．
△PKO △OBG
第7页（共23页）24．（12分）已知抛物线y=ax2+bx+c，其中2a=b＞0＞c，且a+b+c=0．
（1）直接写出关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根；
（2）证明：抛物线y=ax2+bx+c的顶点A在第三象限；
（3）直线y=x+m与x，y轴分别相交于B，C两点，与抛物线y=ax2+bx+c相交于A，D两
点．设抛物线y=ax2+bx+c的对称轴与x轴相交于E．如果在对称轴左侧的抛物线上存在点
1
F，使得△ADF与△BOC相似，并且S = S ，求此时抛物线的表达式.
△ADF 2 △ADE
第8页（共23页）2017 年湖北省宜昌市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共15个小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的.
1
1．（3分）（2017•宜昌）有理数﹣ 的倒数为（ ）
5
1 1
A．5 B． C．- D．﹣5
5 5
【考点】17：倒数．菁优网版权所有
1
【分析】根据倒数的定义，找出﹣ 的倒数为﹣5，此题得解．
5
1
【解答】解：根据倒数的定义可知：﹣ 的倒数为﹣5．
5
故选D．
【点评】本题考查了倒数，熟练掌握倒数的定义是解题的关键．
2．（3分）（2017•宜昌）如下字体的四个汉字中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】P3：轴对称图形．菁优网版权所有
【分析】根据轴对称图形的意义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这
样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；据此判断即可．
【解答】解：根据轴对称图形的概念可知，A为轴对称图形．
故选：A．
【点评】本题考查轴对称图形的知识，要求掌握轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是
寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
3．（3分）（2017•宜昌）如图是一个小正方体的展开图，把展开图折叠成小正方体后，
有“爱”字一面的相对面上的字是（ ）
A．美 B．丽 C．宜 D．昌
【考点】I8：专题：正方体相对两个面上的文字．菁优网版权所有
【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答．
【解答】解：∵正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，
第9页（共23页）∴有“爱”字一面的相对面上的字是宜．
故选C．
【点评】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面
入手，分析及解答问题．
4．（3分）（2017•宜昌）谜语：干活两腿脚，一腿勤，一腿懒，一脚站，一脚转．打一
数学学习用具，谜底为（ ）
A．量角器 B．直尺 C．三角板 D．圆规
【考点】1O：数学常识．菁优网版权所有
【分析】利用圆规的特点直接得到答案即可．
【解答】解：圆规有两只脚，一铁脚固定，另一脚旋转，
故选D．
【点评】本题考查了简单的数学知识，稍有点数学常识的同学就会做出正确的回答，难度
不大．
5．（3分）（2017•宜昌）5月18 日，新华社电讯：我国利用世界唯一的“蓝鲸1号”，
在南海实现了可燃冰（即天然气水合物）的安全可控开采．据介绍，“蓝鲸 1号”拥有
27354台设备，约40000根管路，约50 000个MCC报验点，电缆拉放长度估计1200千米．
其中准确数是（ ）
A．27354 B．40000 C．50000 D．1200
【考点】1H：近似数和有效数字．菁优网版权所有
【分析】利用精确数和近似数的区别进行判断．
【解答】解：27354为准确数，4000、50000、1200都是近似数．
故选A．
【点评】本题考查了近似数和有效数字：精确到第几位”和“有几个有效数字”是精确度
的两种常用的表示形式，它们实际意义是不一样的，前者可以体现出误差值绝对数的大
小，而后者往往可以比较几个近似数中哪个相对更精确一些．
6．（3分）（2017•宜昌）九一（1）班在参加学校4×100m接力赛时，安排了甲，乙，
丙，丁四位选手，他们的顺序由抽签随机决定，则甲跑第一棒的概率为（ ）
1 1 1
A．1 B． C． D．
2 3 4
【考点】X4：概率公式．菁优网版权所有
【分析】根据概率公式进行解答．
1
【解答】解：甲跑第一棒的概率为 ．
4
故选：D．
【点评】本题考查了概率公式．随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数所有可
能出现的结果数．
7．（3分）（2017•宜昌）下列计算正确的是（ ）
A．a3+a2=a5 B．a3•a2=a5 C．（a3）2=a5D．a6÷a2=a3
【考点】48：同底数幂的除法；35：合并同类项；46：同底数幂的乘法；47：幂的乘方与
积的乘方．菁优网版权所有
第10页（共23页）【分析】由合并同类项、同底数幂的乘法法则、幂的乘方法则、同底数幂的除法法则即可
得出结论．
【解答】解：A、a3+a2=a5．不正确；
B、a3•a2=a5正确；
C、（a3）2=a6≠a5，不正确；
D、a6÷a2=a4≠a3，不正确；
故选：B．
【点评】本题考查了合并同类项、同底数幂的乘法法则、幂的乘方法则、同底数幂的除法
法则；熟记有关法则是关键．
8．（3分）（2017•宜昌）如图，在△AEF中，尺规作图如下：分别以点E，点F为圆心，
1
大于 EF的长为半径作弧，两弧相交于G，H两点，作直线GH，交EF于点O，连接AO，则
2
下列结论正确的是（ ）
A．AO平分∠EAF B．AO垂直平分EFC．GH垂直平分EFD．GH平分AF
【考点】N2：作图—基本作图；KG：线段垂直平分线的性质．菁优网版权所有
【分析】直接根据线段垂直平分线的作法即可得出结论．
【解答】解：由题意可得，GH垂直平分线段EF．
故选C．
【点评】本题考查的是作图﹣基本作图，熟知线段垂直平分线的作法是解答此题的关键．
9．（3分）（2017•宜昌）如图，要测定被池塘隔开的A，B两点的距离．可以在AB外选一
点C，连接AC，BC，并分别找出它们的中点D，E，连接ED．现测得AC=30m，BC=40m，
DE=24m，则AB=（ ）
A．50m B．48m C．45m D．35m
【考点】KX：三角形中位线定理．菁优网版权所有
【分析】根据中位线定理可得：AB=2DE=48m．
第11页（共23页）【解答】解：∵D是AC的中点，E是BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
1
∴DE= AB，
2
∵DE=24m，
∴AB=2DE=48m，
故选B．
【点评】本题考查了三角形的中位线定理，属于基础题，熟练掌握三角形的中位线平行于
第三边，并且等于第三边的一半．
10．（3分）（2017•宜昌）如图，将一张四边形纸片沿直线剪开，如果剪开后的两个图形
的内角和相等，下列四种剪法中，符合要求的是（ ）
A．①② B．①③ C．②④ D．③④
【考点】L3：多边形内角与外角．菁优网版权所有
【分析】根据多边形的内角和定理即可判断．
【解答】解：∵①剪开后的两个图形是四边形，它们的内角和都是360°，③剪开后的两
个图形是三角形，它们的内角和都是180°；
∴①③剪开后的两个图形的内角和相等，
故选B．
【点评】本题考查了三角形内角和、四边形的内角和以及多边形的内角和定理．
11．（3分）（2017•宜昌）如图，四边形ABCD内接⊙O，AC平分∠BAD，则下列结论正确
的是（ ）
A．AB=AD B．BC=CD C．^AB=^AD D．∠BCA=∠DCA
【考点】M4：圆心角、弧、弦的关系．菁优网版权所有
【分析】根据圆心角、弧、弦的关系对各选项进行逐一判断即可．
【解答】解：A、∵∠ACB与∠ACD的大小关系不确定，∴AB与AD不一定相等，故本选项错
误；
B、∵AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠DAC，∴BC=CD，故本选项正确；
C、∵∠ACB与∠ACD的大小关系不确定，∴^AB与^AD不一定相等，故本选项错误；
D、∠BCA与∠DCA的大小关系不确定，故本选项错误．
故选B．
第12页（共23页）【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条
弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
12．（3分）（2017•宜昌）今年5月21日是全国第27个助残日，某地开展“心手相连，
共浴阳光”为主题的手工制品义卖销售活动．长江特殊教育学校将同学们手工制作的手
串、中国结、手提包、木雕笔筒的相关销售信息汇总如下表，其中销售率最高的是
（ ）
手工制品 手串 中国结 手提包 木雕笔筒
总数量（个） 200 100 80 70
销售数量（个） 190 100 76 68
A．手串 B．中国结 C．手提包 D．木雕笔筒
【考点】18：有理数大小比较；1D：有理数的除法．菁优网版权所有
【分析】分别求出各手工制品的销售率，再比较大小即可．
190 19 100
【解答】解：∵手串的销售率= = ＜1；中国结的销售率= =1；手提包的销售率=
200 20 100
76 19 68 34
= ＜1；木雕笔筒的销售率= = ＜1，
80 20 70 35
∴销售率最高的是中国结．
故选B．
【点评】本题考查的是有理数的大小比较，熟知有理数大小比较的法则是解答此题的关
键．
13．（3分）（2017•宜昌）△ABC在网格中的位置如图所示（每个小正方形边长为1），
AD⊥BC于D，下列选项中，错误的是（ ）
A．sinα=cosα B．tanC=2 C．sinβ=cosβ D．tanα=1
【考点】T1：锐角三角函数的定义．菁优网版权所有
【分析】观察图象可知，△ADB是等腰直角三角形，BD=AD=2，AB=2√2，AD=2，CD=1，AC=
√5，利用锐角三角函数一一计算即可判断．
【解答】解：观察图象可知，△ADB是等腰直角三角形，BD=AD=2，AB=2√2，AD=2，CD=1，
AC=√5，
√2
∴sinα=cosα= ，故①正确，
2
AD
tanC= =2，故②正确，
CD
tanα=1，故D正确，
CD √5 2√5
③∵sinβ= = ，cosβ= ，
AC 5 5
∴sinβ≠cosβ，故C错误．
第13页（共23页）故选C．
【点评】本题考查锐角三角函数的应用．等腰直角三角形的判定和性质、勾股定理等知
识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
(x+ y) 2-(x- y) 2
14．（3分）（2017•宜昌）计算 的结果为（ ）
4xy
1 1
A．1 B． C． D．0
2 4
【考点】66：约分．菁优网版权所有
【分析】分子利用平方差公式进行因式分解，然后通过约分进行化简．
(x+ y) 2-(x- y) 2 (x+ y+x- y)(x+ y-x+ y) 4xy
【解答】解： = = =1．
4xy 4xy 4xy
故选：A．
【点评】本题考查了约分．约分时，分子与分母都必须是乘积式，如果是多项式的，必须
先分解因式．
15．（3分）（2017•宜昌）某学校要种植一块面积为100m2的长方形草坪，要求两边长均
不小于5m，则草坪的一边长为y（单位：m）随另一边长x（单位：m）的变化而变化的图
象可能是（ ）
A． B． C． D．
【考点】GA：反比例函数的应用．菁优网版权所有
【分析】易知x、y是反比例函数，再根据边长的取值范围即可解题．
【解答】解：∵草坪面积为100m2，
第14页（共23页）100
∴x、y存在关系y= ，
x
∵两边长均不小于5m，
∴x≥5、y≥5，则x≤20，
故选 C．
【点评】反比例函数确定y的取值范围，即可求得 x的取值范围，熟练掌握是解题的关
键．
二、解答题（本大题共9小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
1
16．（6分）（2017•宜昌）计算：23×（1﹣ ）×0.5．
4
【考点】1G：有理数的混合运算．菁优网版权所有
【专题】11 ：计算题；511：实数．
【分析】原式先计算括号中的减法运算，再计算乘方运算，最后算乘法运算即可得到结
果．
3 1
【解答】解：原式=8× × =3．
4 2
【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
{ x
& ≥-1
17．（6分）（2017•宜昌）解不等式组 2 ．
&2(1-x)＜4-3x.
【考点】CB：解一元一次不等式组．菁优网版权所有
【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可．
{ x
& ≥-1①
【解答】解： 2 ，
&2(1-x)＜4-3x②
由①得：x≥﹣2，
由②得：x＜2，
故不等式组的解集为﹣2≤x＜2．
【点评】此题主要考查了解一元一次不等式组，关键是掌握解集的规律：同大取大；同小
取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
18．（7分）（2017•宜昌）YC市首批一次性投放公共自行车700辆供市民租用出行，由于
投入数量不够，导致出现需要租用却未租到车的现象，现随机抽取的某五天在同一时段的
调查数据汇成如下表格．
请回答下列问题：
时间 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天
7：00﹣ 7：00﹣ 7：00﹣ 7：00﹣ 7：00﹣
8：00 8：00 8：00 8：00 8：00
需要租用自行车却未租到 1500 1200 1300 1300 1200
车的人数（人）
（1）表格中的五个数据（人数）的中位数是多少？
第15页（共23页）（2）由随机抽样估计，平均每天在7：00﹣8：00：需要租用公共自行车的人数是多少？
【考点】W4：中位数；V5：用样本估计总体．菁优网版权所有
【分析】（1）表格中5个数据按从小到大的顺序排列后，中位数应是第3个数据；
（2）根据平均数等于数据之和除以总个数求出平均每天需要租用自行车却未租到车的人
数，再加上700即可．
【解答】解：（1）表格中5个数据按从小到大的顺序排列为 1200，1200，1300，1300，
1500，
所以中位数是1300；
（2）平均每天需要租用自行车却未租到车的人数：（1500+1200+1300+1300+1200）
÷5=1300，
∵YC市首批一次性投放公共自行车700辆供市民租用出行，
∴平均每天需要租用公共自行车的人数是1300+700=2000．
【点评】本题考查了中位数，平均数以及用样本估计总体．将一组数据从小到大依次排
列，把中间数据（或中间两数据的平均数）叫做中位数．平均数=总数÷总个数．
19．（7分）（2017•宜昌）“和谐号”火车从车站出发，在行驶过程中速度 y（单位：
m/s）与时间x（单位：s）的关系如图所示，其中线段BC∥x轴．
（1）当0≤x≤10，求y关于x的函数解析式；
（2）求C点的坐标．
【考点】FH：一次函数的应用．菁优网版权所有
【分析】（1）根据函数图象和图象中的数据可以求得当0≤x≤10，y关于x的函数解析
式；
（2）根据函数图象可以得到当10≤x≤30时，y关于x的函数解析式，然后将x=30代入求
出相应的y值，然后线段BC∥x轴，即可求得点C的坐标．
【解答】解：（1）当0≤x≤10时，设y关于x的函数解析式为y=kx，
10k=50，得k=5，
即当0≤x≤10时，y关于x的函数解析式为y=5x；
（2）设当10≤x≤30时，y关于x的函数解析式为y=ax+b，
{&10a+b=50 {&a=2
，得 ，
&25a+b=80 &b=30
即当10≤x≤30时，y关于x的函数解析式为y=2x+30，
当x=30时，y=2×30+30=90，
∵线段BC∥x轴，
∴点C的坐标为（60，90）．
第16页（共23页）【点评】本题考查了一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析
式，利用一次函数的性质解答．
20．（8分）（2017•宜昌）阅读：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数 a，b，c，
称为勾股数．世界上第一次给出勾股数通解公式的是我国古代数学著作《九章算术》，其
1
{&a= (m2-n2
)
2
勾股数组公式为： &b=mn 其中m＞n＞0，m，n是互质的奇数．
1
&c= (m2+n2 ).
2
应用：当n=1时，求有一边长为5的直角三角形的另外两条边长．
【考点】KT：勾股数；KQ：勾股定理．菁优网版权所有
1 1
【分析】由n=1，得到a= （m2﹣1）①，b=m②，c= （m2+1）③，根据直角三角形有一边
2 2
长为5，列方程即可得到结论．
1 1
【解答】解：当n=1，a= （m2﹣1）①，b=m②，c= （m2+1）③，
2 2
∵直角三角形有一边长为5，
1
∴Ⅰ、当a=5时， （m2﹣1）=5，解得：m=±√11（舍去），
2
Ⅱ、当b=5时，即m=5，代入①③得，a=12，c=13，
1
Ⅲ、当c=5时， （m2+1）=5，解得：m=±3，
2
∵m＞0，
∴m=3，代入①②得，a=4，b=3，
综上所述，直角三角形的另外两条边长分别为12，13或3，4．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，分类讨论是解题的关键．
21．（8分）（2017•宜昌）已知，四边形ABCD中，E是对角线AC上一点，DE=EC，以AE
为直径的⊙O与边CD相切于点D．B点在⊙O上，连接OB．
（1）求证：DE=OE；
（2）若CD∥AB，求证：四边形ABCD是菱形．
【考点】MC：切线的性质；L9：菱形的判定．菁优网版权所有
【分析】（1）先判断出∠2+∠3=90°，再判断出∠1=∠2即可得出结论；
（2）先判断出△ABO≌△CDE得出AB=CD，即可判断出四边形ABCD是平行四边形，最后判
断出CD=AD即可．
第17页（共23页）【解答】解：（1）如图，连接OD，
∵CD是⊙O的切线，
∴OD⊥CD，
∴∠2+∠3=∠1+∠COD=90°，
∵DE=EC，
∴∠1=∠2，
∴∠3=∠COD，
∴DE=OE；
（2）∵OD=OE，
∴OD=DE=OE，
∴∠3=∠COD=∠DEO=60°，
∴∠2=∠1=30°，
∵OA=OB=OE，OE=DE=EC，
∴OA=OB=DE=EC，
∵AB∥CD，
∴∠4=∠1，
∴∠1=∠2=∠4=∠OBA=30°，
∴△ABO≌△CDE，
∴AB=CD，
∴四边形A∴D是平行四边形，
1
∴∠DAE= ∠DOE=30°，
2
∴∠1=∠DAE，
∴CD=AD，
∴ ABCD是菱形．
▱
【点评】此题是切线的性质，主要考查了同角的余角相等，等腰三角形的性质，平行四边
形的判定和性质，菱形的判定，判断出△ABO≌△CDE是解本题的关键．
22．（10分）（2017•宜昌）某市总预算a亿元用三年时间建成一条轨道交通线．轨道交
通线由线路敷设、搬迁安置、辅助配套三项工程组成．从 2015年开始，市政府在每年年初
分别对三项工程进行不同数额的投资．
2015年年初，对线路敷设、搬迁安置的投资分别是辅助配套投资的2倍、4倍．随后两
年，线路敷设投资每年都增加b亿元，预计线路敷设三年总投资为54亿元时会顺利如期完
工；搬迁安置投资从2016年初开始遂年按同一百分数递减，依此规律，在 2017年年初只
需投资5亿元，即可顺利如期完工；辅助配套工程在2016年年初的投资在前一年基础上的
第18页（共23页）增长率是线路敷设2016年投资增长率的1.5倍，2017年年初的投资比该项工程前两年投资
的总和还多4亿元，若这样，辅助配套工程也可以如期完工．经测算，这三年的线路敷
设、辅助配套工程的总投资资金之比达到3：2．
（1）这三年用于辅助配套的投资将达到多少亿元？
（2）市政府2015年年初对三项工程的总投资是多少亿元？
（3）求搬迁安置投资逐年递减的百分数．
【考点】AD：一元二次方程的应用；B7：分式方程的应用．菁优网版权所有
【分析】（1）由线路敷设三年总投资为54亿元及这三年的线路敷设、辅助配套工程的总
投资资金之比达到3：2，可得答案．
（2）设2015年年初，对辅助配套的投资为x亿元，则线路敷设的投资为2x亿元，搬迁安
置的投资是4x亿元，根据“线路敷设三年总投资为54亿元、辅助配套三年的总投资为36
亿元”列方程组，解之求得x、b的值可得答案．
（3）由x=5得出2015年初搬迁安置的投资为20亿元，设从2016年初开始，搬迁安置投
资逐年递减的百分数为y，根据“2017年年初搬迁安置的为投资5亿”列方程求解可得．
2
【解答】解：（1）三年用于辅助配套的投资将达到54× =36（亿元）；
3
（2）设2015年年初，对辅助配套的投资为x亿元，则线路敷设的投资为2x亿元，搬迁安
置的投资是4x亿元，
{
&2x+2x+b+2x+2b=54
根据题意，得： 1.5b 1.5b ，
&x+(1+ )x+x+(1+ )x+4=36
2x 2x
{&x=5
解得： ，
&b=8
∴市政府2015年年初对三项工程的总投资是7x=35亿元；
（3）由x=5得，2015年初搬迁安置的投资为20亿元，
设从2016年初开始，搬迁安置投资逐年递减的百分数为y，
由题意，得：20（1﹣y）2=5，
解得：y=0.5，y=1.5（舍）
1 2
答：搬迁安置投资逐年递减的百分数为50%．
【点评】本题主要考查一元二次方程、二元一次方程组的应用，理解题意、准确梳理题中
所涉数量关系，找到题目蕴含的相等关系是解题的关键．
23．（11分）（2017•宜昌）正方形ABCD的边长为1，点O是BC边上的一个动点（与B，C
不重合），以O为顶点在BC所在直线的上方作∠MON=90°．
（1）当OM经过点A时，
①请直接填空：ON 不可能 （可能，不可能）过D点；（图1仅供分析）
②如图2，在ON上截取OE=OA，过E点作EF垂直于直线BC，垂足为点F，作EH⊥CD于H，
求证：四边形EFCH为正方形．
（2）当OM不过点A时，设OM交边AB于G，且OG=1．在ON上存在点P，过P点作PK垂直
于直线BC，垂足为点K，使得S =4S ，连接GP，求四边形PKBG的最大面积．
△PKO △OBG
第19页（共23页）【考点】LO：四边形综合题．菁优网版权所有
【分析】（1）①若ON过点D时，则在△OAD中不满足勾股定理，可知不可能过D点；
②由条件可先判业四边形EFCH为矩形，再证明△OFE≌△ABO，可证得结论；
（2）由条件可证明△PKO∽△OBG，利用相似三角形的性质可求得OP=2，可求得△POG面积
为定值及△PKO和△OBG的关系，只要△CGB的面积有最大值时，则四边形PKBG的面积就最
大，设OB=a，BG=b，由勾股定理可用b表示出a，则可用a表示出△CBG的面积，利用二次
函数的性质可求得其最大值，则可求得四边形PKBG面积的最大值．
【解答】解：
（1）①若ON过点D，则OA＞AB，OD＞CD，
∴OA2＞AD2，OD2＞AD2，
∴OA2+OD2＞2AD2≠AD2，
∴∠AOD≠90°，这与∠MON=90°矛盾，
∴ON不可能过D点，
故答案为：不可能；
②∵EH⊥CD，EF⊥BC，
∴∠EHC=∠EFC=90°，且∠HCF=90°，
∴四边形EFCH为矩形，
∵∠MON=90°，
∴∠EOF=90°﹣∠AOB，
在正方形ABCD中，∠BAO=90°﹣∠AOB，
∴∠EOF=∠BAO，
在△OFE和△ABO中
{
&∠EOF=∠BAO
&∠EFO=∠B
&OE=AO
∴△OFE≌△ABO（AAS），
∴EF=OB，OF=AB，
又OF=CF+OC=AB=BC=BO+OC=EF+OC，
∴CF=EF，
∴四边形EFCH为正方形；
（2）∵∠POK=∠OGB，∠PKO=∠OBG，
∴△PKO∽△OBG，
∵S =4S ，
△PKO △OBG
S OP
∴ △PKO =（ ）2=4，
S OG
△OBG
第20页（共23页）∴OP=2，
1 1
∴S = OG•OP= ×1×2=1，
△POG 2 2
设OB=a，BG=b，则a2+b2=OG2=1，
∴b=√1-a2，
∴S =
1
ab=
1
a√1-a2=
1
√-a4+a2 =
1√
-(a2-
1
) 2+
1
，
△OBG 2 2 2 2 2 4
1 1
∴当a2= 时，△OBG有最大值 ，此时S =4S =1，
2 4 △PKO △OBG
1 9
∴四边形PKBG的最大面积为1+1+ = ．
4 4
【点评】本题为四边形的综合应用，涉及矩形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、
相似三角形的判定和性质、三角形的面积、二次函数的性质及方程思想等知识．在（1）①
中注意反证法的应用，在（1）②中证得CE=EF是解题的关键，在（2）中确定出△OBG面
积的最大值是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．
24．（12分）（2017•宜昌）已知抛物线y=ax2+bx+c，其中2a=b＞0＞c，且a+b+c=0．
（1）直接写出关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根；
（2）证明：抛物线y=ax2+bx+c的顶点A在第三象限；
（3）直线y=x+m与x，y轴分别相交于B，C两点，与抛物线y=ax2+bx+c相交于A，D两
点．设抛物线y=ax2+bx+c的对称轴与x轴相交于E．如果在对称轴左侧的抛物线上存在点
1
F，使得△ADF与△BOC相似，并且S = S ，求此时抛物线的表达式．
△ADF 2 △ADE
【考点】HF：二次函数综合题．菁优网版权所有
【专题】15 ：综合题；535：二次函数图象及其性质．
第21页（共23页）【分析】（1）根据a+b+c=0，结合方程确定出方程的一个根即可；
（2）表示出抛物线的对称轴，将2a=b代入，并结合a+b+c=0，表示出c，判断顶点坐标即
可；
（3）根据表示出的b与c，求出方程的解确定出抛物线解析式，由直线y=x+m与x，y轴交
于B，C两点，表示出OB=OC=|m|，可得出三角形BOC为等腰直角三角形，确定出三角形三
角形ADE面积，根据三角形ADF等于三角形ADE面积的一半求出a的值，即可确定出抛物
线解析式．
【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c，a+b+c=0，
∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根为x=1；
（2）证明：∵2a=b，
b
∴对称轴x=﹣ =﹣1，
2a
把b=2a代入a+b+c=0中得：c=﹣3a，
∵a＞0，c＜0，
∴△=b2﹣4ac＞0，
4ac-b2
∴ ＜0，
4a
4ac-b2
则顶点A（﹣1， ）在第三象限；
4a
-b±√b2-4ac -2a±4a
（3）由b=2a，c=﹣3a，得到x= = ，
2a 2a
解得：x=﹣3，x=1，
1 2
二次函数解析式为y=ax2+2ax﹣3a，
∵直线y=x+m与x，y轴分别相交于点B，C两点，则OB=OC=|m|，
∴△BOC是以∠BOC为直角的等腰直角三角形，即此时直线 y=x+m与对称轴x=﹣1的夹角
∠BAE=45°，
∵点F在对称轴左侧的抛物线上，则∠DAF＞45°，此时△ADF与△BOC相似，
顶点A只可能对应△BOC的直角顶点O，即△ADF是以A为直角顶点的等腰直角三角形，且
对称轴为x=﹣1，
设对称轴x=﹣1与OF交于点G，
∵直线y=x+m过顶点A（﹣1，﹣4a），
∴m=1﹣4a，
∴直线解析式为y=x+1﹣4a，
{& y=x+1-4a
联立得： ，
& y=ax2+2ax-3a
1
{&x= -1
{&x=-1 a
解得： 或 ，
& y=-4a 1
& y= -4a
a
1 1
这里（﹣1，﹣4a）为顶点A，（ ﹣1， ﹣4a）为点D坐标，
a a
第22页（共23页）1 1
点D到对称轴x=﹣1的距离为 ﹣1﹣（﹣1）= ，AE=|﹣4a|=4a，
a a
1 1
∴S = × ×4a=2，即它的面积为定值，
△ADE 2 a
这时等腰直角△ADF的面积为1，
∴底边DF=2，
1
而x=﹣1是它的对称轴，此时D、C重合且在y轴上，由 ﹣1=0，
a
解得：a=1，此时抛物线解析式为y=x2+2x﹣3．
【点评】此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：二次函数的图象与性质，二次函数与
一次函数的关系，以及待定系数法求函数解析式，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
第23页（共23页）
