文档内容
2019年湖北省宜昌市中考数学试卷
一.选择题（下列各小题中，只有一个选项是符合题目要求的，请在答题卡上指定的位置填涂
符合要求的选项前的字母代号，每题3分，计45分）
1．（3分）﹣66的相反数是（ ）
A．﹣66 B．66 C． D．
2．（3分）如下字体的四个汉字中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）如图，A，B，C，D是数轴上的四个点，其中最适合表示无理数π的点是（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点D
4．（3分）如图所示的几何体的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
5．（3分）在纳木错开展的第二次青藏高原综合科学考查研究中，我国自主研发的系留浮空器
于5月23日凌晨达到海拔7003米的高度．这一高度也是已知的同类型同量级浮空器驻
空高度的世界纪录．数据7003用科学记数法表示为（ ）
A．0.7×104 B．70.03×102 C．7.003×103 D．7.003×104
16．（3分）如图，将一块含有30°角的直角三角板的两个顶点分别放在直尺的两条平行对边
上，若∠α＝135°，则∠β等于（ ）
A．45° B．60° C．75° D．85°
7．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．3ab﹣2ab＝1 B．（3a2）2＝9a4 C．a6÷a2＝a3 D．3a2•2a＝6a2
8．（3分）李大伯前年在驻村扶贫工作队的帮助下种了一片果林，今年收货一批成熟的果子．
他选取了5棵果树，采摘后分别称重．每棵果树果子总质量（单位：kg）分别为：90，100，
120，110，80．这五个数据的中位数是（ ）
A．120 B．110 C．100 D．90
9．（3分）化简（x﹣3）2﹣x（x﹣6）的结果为（ ）
A．6x﹣9 B．﹣12x+9 C．9 D．3x+9
10．（3分）通过如下尺规作图，能确定点D是BC边中点的是（ ）
A． B．
C． D．
11．（3分）如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这
些小正方形的顶点上，则sin∠BAC的值为（ ）
2A． B． C． D．
12．（3分）如图，点A，B，C均在⊙O上，当∠OBC＝40°时，∠A的度数是（ ）
A．50° B．55° C．60° D．65°
13．（3分）在“践行生态文明，你我一起行动”主题有奖竞赛活动中，903班共设置“生态知
识、生态技能、生态习惯、生态文化”四个类别的竞赛内容，如果参赛同学抽到每一类别
的可能性相同，那么小宇参赛时抽到“生态知识”的概率是（ ）
A． B． C． D．
14．（3分）古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积
的公式，称为海伦﹣秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记p＝ ，
那么三角形的面积为S＝ ．如图，在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的
边分别记为a，b，c，若a＝5，b＝6，c＝7，则△ABC的面积为（ ）
A．6 B．6 C．18 D．
15．（3分）如图，平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上，∠AOB＝∠B＝
30°，OA＝2，将△AOB绕点O逆时针旋转90°，点B的对应点B'的坐标是（ ）
A．（﹣1，2+ ） B．（﹣ ，3） C．（﹣ ，2+ ）D．（﹣3， ）
3二.解答题（本大题共有9个小题，共75分）
16．（6分）已知：x≠y，y＝﹣x+8，求代数式 + 的值．
17．（6分）解不等式组 ，并求此不等式组的整数解．
18．（7分）如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，AB＝DB，BE平分∠ABC，交AC边于点E，连接
DE．
（1）求证：△ABE≌△DBE；
（2）若∠A＝100°，∠C＝50°，求∠AEB的度数．
19．（7分）《人民日报》点赞湖北宜昌“智慧停车平台”．作为“全国智慧城市”试点，我市
通过“互联网”、“大数据”等新科技，打造“智慧停车平台”，着力化解城市“停车
难”问题．市内某智慧公共停车场的收费标准是：停车不超过30分钟，不收费；超过30分
钟，不超过60分钟，计1小时，收费3元；超过1小时后，超过1小时的部分按每小时2元
收费（不足1小时，按1小时计）．
（1）填空：若市民张先生某次在该停车场停车2小时10分钟，应交停车费 元．若李
先生也在该停车场停车，支付停车费11元，则停车场按 小时（填整数）计时收费．
（2）当x取整数且x≥1时，求该停车场停车费y（单位：元）关于停车计时x（单位：小时）
的函数解析式．
20．（8分）某校在参加了宜昌市教育质量综合评价学业素养测试后，随机抽取八年级部分学
生，针对发展水平四个维度“阅读素养、数学素养、科学素养、人文素养”，开展了“你最
需要提升的学业素养”问卷调查（每名学生必选且只能选择一项）．小明、小颖和小雯在
协助老师进行统计后，有这样一段对话：
小明：“选科学素养和人文素养的同学分别为16人，12人．”
小颖：“选数学素养的同学比选阅读素养的同学少4人．”
小雯：“选科学素养的同学占样本总数的20%．”
（1）这次抽样调查了多少名学生？
4（2）样本总数中，选“阅读素养”、“数学素养”的学生各多少人？
（3）如图是调查结果整理后绘制成的扇形图．请直接在横线上补全相关百分比；
（4）该校八年级有学生400人，请根据调查结果估计全年级选择“阅读素养”的学生有多
少人？
21．（8分）如图，点O是线段AH上一点，AH＝3，以点O为圆心，OA的长为半径作⊙O，过点H
作AH的垂线交⊙O于C，N两点，点B在线段CN的延长线上，连接AB交⊙O于点M，以AB，
BC为边作 ABCD．
▱
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若OH＝ AH，求四边形AHCD与⊙O重叠部分的面积；
（3）若NH＝ AH，BN＝ ，连接MN，求OH和MN的长．
22．（10分）HW公司2018年使用自主研发生产的“QL”系列甲、乙、丙三类芯片共2800万块，
生产了2800万部手机，其中乙类芯片的产量是甲类芯片的2倍，丙类芯片的产量比甲、乙
两类芯片产量的和还多400万块．这些“QL”芯片解决了该公司2018年生产的全部手机
所需芯片的10%．
（1）求2018年甲类芯片的产量；
（2）HW公司计划2020年生产的手机全部使用自主研发的“QL”系列芯片．从2019年起逐
年扩大“QL”芯片的产量，2019年、2020年这两年，甲类芯片每年的产量都比前一年增长
一个相同的百分数m%，乙类芯片的产量平均每年增长的百分数比m%小1，丙类芯片的产
量每年按相同的数量递增.2018年到2020年，丙类芯片三年的总产量达到1.44亿块．这
样，2020年的HW公司的手机产量比2018年全年的手机产量多10%，求丙类芯片2020年
的产量及m的值．
523．（11分）已知：在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，AD上的点，过点F作EF的垂线交DC于
点H，以EF为直径作半圆O．
（1）填空：点A （填“在”或“不在”）⊙O上；当 ＝ 时，tan∠AEF的值是；
（2）如图1，在△EFH中，当FE＝FH时，求证：AD＝AE+DH；
（3）如图2，当△EFH的顶点F是边AD的中点时，求证：EH＝AE+DH；
（4）如图3，点M在线段FH的延长线上，若FM＝FE，连接EM交DC于点N，连接FN，当AE＝
AD时，FN＝4，HN＝3，求tan∠AEF的值．
24．（12分）在平面直角坐标系中，正方形ABCD的四个顶点坐标分别为A（﹣2，4），B（﹣2，﹣
2），C（4，﹣2），D（4，4）．
（1）填空：正方形的面积为 ；当双曲线y＝ （k≠0）与正方形ABCD有四个交点时，
k的取值范围是： ；
（2）已知抛物线L：y＝a（x﹣m）2+n（a＞0）顶点P在边BC上，与边AB，DC分别相交于点E，
F，过点B的双曲线y＝ （k≠0）与边DC交于点N．
①点Q（m，﹣m2﹣2m+3）是平面内一动点，在抛物线L的运动过程中，点Q随m运动，分别切
运动过程中点Q在最高位置和最低位置时的坐标；
②当点F在点N下方，AE＝NF，点P不与B，C两点重合时，求 ﹣ 的值；
③求证：抛物线L与直线x＝1的交点M始终位于x轴下方．
62019年湖北省宜昌市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一.选择题（下列各小题中，只有一个选项是符合题目要求的，请在答题卡上指定的位置填涂
符合要求的选项前的字母代号，每题3分，计45分）
1．（3分）﹣66的相反数是（ ）
A．﹣66 B．66 C． D．
【分析】直接利用相反数的定义得出答案．
【解答】解：﹣66的相反数是66．
故选：B．
【点评】此题主要考查了相反数，正确把握相反数的定义是解题关键．
2．（3分）如下字体的四个汉字中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；
B、不是轴对称图形，故本选项错误；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、是轴对称图形，故本选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折
叠后可重合．
3．（3分）如图，A，B，C，D是数轴上的四个点，其中最适合表示无理数π的点是（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点D
【分析】能够估算无理数π的范围，结合数轴找到点即可．
7【解答】解：因为无理数π大于3，在数轴上表示大于3的点为点D；
故选：D．
【点评】本题考查无理数和数轴的关系；能够准确估算无理数π的范围是解题的关键．
4．（3分）如图所示的几何体的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
【解答】解：从正面看易得左边比右边高出一个台阶，故选项D符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，主视图是从物体的正面看得到的视图．
5．（3分）在纳木错开展的第二次青藏高原综合科学考查研究中，我国自主研发的系留浮空器
于5月23日凌晨达到海拔7003米的高度．这一高度也是已知的同类型同量级浮空器驻
空高度的世界纪录．数据7003用科学记数法表示为（ ）
A．0.7×104 B．70.03×102 C．7.003×103 D．7.003×104
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值
时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当
原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将7003用科学记数法表示为：7.003×103．
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中
1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
6．（3分）如图，将一块含有30°角的直角三角板的两个顶点分别放在直尺的两条平行对边
上，若∠α＝135°，则∠β等于（ ）
8A．45° B．60° C．75° D．85°
【分析】直接利用平行线的性质以及三角形的性质进而得出答案．
【解答】解：由题意可得：∵∠α＝135°，
∴∠1＝45°，
∴∠β＝180°﹣45°﹣60°＝75°．
故选：C．
【点评】此题主要考查了平行线的性质，正确得出∠1的度数是解题关键．
7．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．3ab﹣2ab＝1 B．（3a2）2＝9a4 C．a6÷a2＝a3 D．3a2•2a＝6a2
【分析】直接利用合并同类项法则以及同底数幂的乘除运算法则分别化简得出答案．
【解答】解：A、3ab﹣2ab＝ab，故此选项错误；
B、（3a2）2＝9a4，正确；
C、a6÷a2＝a4，故此选项错误；
D、3a2•2a＝6a3，故此选项错误．
故选：B．
【点评】此题主要考查了合并同类项以及同底数幂的乘除运算，正确掌握相关运算法则是
解题关键．
8．（3分）李大伯前年在驻村扶贫工作队的帮助下种了一片果林，今年收货一批成熟的果子．
他选取了5棵果树，采摘后分别称重．每棵果树果子总质量（单位：kg）分别为：90，100，
120，110，80．这五个数据的中位数是（ ）
9A．120 B．110 C．100 D．90
【分析】直接利用中位数的求法进而得出答案．
【解答】解：90，100，120，110，80，从小到大排列为：80，90，100，110，120，
则这五个数据的中位数是：100．
故选：C．
【点评】此题主要考查了中位数，正确把握中位数的定义是解题关键．
9．（3分）化简（x﹣3）2﹣x（x﹣6）的结果为（ ）
A．6x﹣9 B．﹣12x+9 C．9 D．3x+9
【分析】直接利用完全平方公式以及单项式乘以多项式运算法则化简得出答案．
【解答】解：原式＝x2﹣6x+9﹣x2+6x
＝9．
故选：C．
【点评】此题主要考查了完全平方公式以及单项式乘以多项式运算，正确掌握相关运算法
则是解题关键．
10．（3分）通过如下尺规作图，能确定点D是BC边中点的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】作线段BC的垂直平分线可得线段BC的中点．
【解答】解：作线段BC的垂直平分线可得线段BC的中点．
由此可知：选项A符合条件，
故选：A．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考
题型．
11．（3分）如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这
些小正方形的顶点上，则sin∠BAC的值为（ ）
10A． B． C． D．
【分析】过C作CD⊥AB于D，首先根据勾股定理求出AC，然后在Rt△ACD中即可求出
sin∠BAC的值．
【解答】解：如图，过C作CD⊥AB于D，则∠ADC＝90°，
∴AC＝ ＝ ＝5．
∴sin∠BAC＝ ＝ ．
故选：D．
【点评】本题考查了勾股定理的运用以及锐角三角函数，正确作出辅助线是解题的关键．
12．（3分）如图，点A，B，C均在⊙O上，当∠OBC＝40°时，∠A的度数是（ ）
A．50° B．55° C．60° D．65°
【分析】先利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠BOC的度数，然后根据圆周角
定理可得到∠A的度数．
【解答】解：∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠OBC＝40°，
∴∠BOC＝180°﹣40°﹣40°＝100°，
11∴∠A＝ ∠BOC＝50°．
故选：A．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于
这条弧所对的圆心角的一半．
13．（3分）在“践行生态文明，你我一起行动”主题有奖竞赛活动中，903班共设置“生态知
识、生态技能、生态习惯、生态文化”四个类别的竞赛内容，如果参赛同学抽到每一类别
的可能性相同，那么小宇参赛时抽到“生态知识”的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】直接利用概率公式计算得出答案．
【解答】解：∵共设置“生态知识、生态技能、生态习惯、生态文化”四个类别的竞赛内容，
参赛同学抽到每一类别的可能性相同，
∴小宇参赛时抽到“生态知识”的概率是： ．
故选：B．
【点评】此题主要考查了概率公式，正确掌握概率求法是解题关键．
14．（3分）古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积
的公式，称为海伦﹣秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记p＝ ，
那么三角形的面积为S＝ ．如图，在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的
边分别记为a，b，c，若a＝5，b＝6，c＝7，则△ABC的面积为（ ）
A．6 B．6 C．18 D．
【分析】利用阅读材料，先计算出p的值，然后根据海伦公式计算△ABC的面积；
【解答】解：∵a＝7，b＝5，c＝6．
∴p＝ ＝9，
∴△ABC的面积S＝ ＝6 ；
12故选：A．
【点评】考查了二次根式的应用，解题的关键是代入后正确的运算，难度不大．
15．（3分）如图，平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上，∠AOB＝∠B＝
30°，OA＝2，将△AOB绕点O逆时针旋转90°，点B的对应点B'的坐标是（ ）
A．（﹣1，2+ ） B．（﹣ ，3） C．（﹣ ，2+ ）D．（﹣3， ）
【分析】如图，作B′H⊥y轴于H．解直角三角形求出B′H，OH即可．
【解答】解：如图，作B′H⊥y轴于H．
由题意：OA′＝A′B′＝2，∠B′A′H＝60°，
∴∠A′B′H＝30°，
∴AH′＝ A′B′＝1，B′H＝ ，
∴OH＝3，
∴B′（﹣ ，3），
故选：B．
【点评】本题考查坐标与图形变化﹣旋转，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加
常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
二.解答题（本大题共有9个小题，共75分）
16．（6分）已知：x≠y，y＝﹣x+8，求代数式 + 的值．
【分析】先根据分式加减运算法则化简原式，再将y＝﹣x+8代入计算可得．
13【解答】解：原式＝ + ＝ ＝ ，
当x≠y，y＝﹣x+8时，
原式＝x+（﹣x+8）＝8．
【点评】本题主要考查分式的化简求值，分式中的一些特殊求值题并非是一味的化简，代
入，求值．许多问题还需运用到常见的数学思想，如化归思想（即转化）、整体思想等，了解
这些数学解题思想对于解题技巧的丰富与提高有一定帮助．就本节内容而言，分式求值题
中比较多的题型主要有三种：转化已知条件后整体代入求值；转化所求问题后将条件整体
代入求值；既要转化条件，也要转化问题，然后再代入求值．
17．（6分）解不等式组 ，并求此不等式组的整数解．
【分析】首先求出不等式组中每一个不等式的解集，再根据大小小大中间找确定不等式组
的解集即可．
【解答】解： ，
由①得：x ，
由②得：x＜4，
不等式组的解集为： ＜x＜4．
则该不等式组的整数解为：1、2、3．
【点评】此题主要考查了解一元一次不等式组，关键是掌握解集的规律：同大取大；同小取
小；大小小大中间找；大大小小找不到．
18．（7分）如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，AB＝DB，BE平分∠ABC，交AC边于点E，连接
DE．
（1）求证：△ABE≌△DBE；
（2）若∠A＝100°，∠C＝50°，求∠AEB的度数．
14【分析】（1）由角平分线定义得出∠ABE＝∠DBE，由SAS证明△ABE≌△DBE即可；
（2）由三角形内角和定理得出∠ABC＝30°，由角平分线定义得出∠ABE＝∠DBE＝ ∠ABC
＝15°，在△ABE中，由三角形内角和定理即可得出答案．
【解答】（1）证明：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠DBE，
在△ABE和△DBE中， ，
∴△ABE≌△DBE（SAS）；
（2）解：∵∠A＝100°，∠C＝50°，
∴∠ABC＝30°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠DBE＝ ∠ABC＝15°，
在△ABE中，∠AEB＝180°﹣∠A﹣∠ABE＝180°﹣100°﹣15°＝65°．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的定义、三角形内角和定理；熟练
掌握三角形内角和定理和角平分线定义，证明三角形全等是解题的关键．
19．（7分）《人民日报》点赞湖北宜昌“智慧停车平台”．作为“全国智慧城市”试点，我市
通过“互联网”、“大数据”等新科技，打造“智慧停车平台”，着力化解城市“停车
难”问题．市内某智慧公共停车场的收费标准是：停车不超过30分钟，不收费；超过30分
钟，不超过60分钟，计1小时，收费3元；超过1小时后，超过1小时的部分按每小时2元
收费（不足1小时，按1小时计）．
（1）填空：若市民张先生某次在该停车场停车2小时10分钟，应交停车费 7 元．若李先
生也在该停车场停车，支付停车费11元，则停车场按 5 小时（填整数）计时收费．
（2）当x取整数且x≥1时，求该停车场停车费y（单位：元）关于停车计时x（单位：小时）
的函数解析式．
【分析】（1）根据题意可知，停车2小时10分钟，则超出设计以2小时计算；支付停车费
11元，则超出时间为（11﹣3）÷2＝4（小时），所以停车场按5小时计时收费；
15（2）根据题意即可得出停车场停车费y（单位：元）关于停车计时x（单位：小时）的函数解
析式．
【解答】解：（1）若市民张先生某次在该停车场停车2小时10分钟，应交停车费为：3+2×2
＝7（元）；
若李先生也在该停车场停车，支付停车费11元，则超出时间为（11﹣3）÷2＝4（小时），所
以停车场按5小时计时收费．
故答案为：7；5；
（2）当x取整数且x≥1时，该停车场停车费y（单位：元）关于停车计时x（单位：小时）的
函数解析式为：y＝3+（2（x﹣1），
即y＝2x+1．
【点评】本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是理解公共停车场的收费标准分为
规定时间的费用+超过规定时间的费用．
20．（8分）某校在参加了宜昌市教育质量综合评价学业素养测试后，随机抽取八年级部分学
生，针对发展水平四个维度“阅读素养、数学素养、科学素养、人文素养”，开展了“你最
需要提升的学业素养”问卷调查（每名学生必选且只能选择一项）．小明、小颖和小雯在
协助老师进行统计后，有这样一段对话：
小明：“选科学素养和人文素养的同学分别为16人，12人．”
小颖：“选数学素养的同学比选阅读素养的同学少4人．”
小雯：“选科学素养的同学占样本总数的20%．”
（1）这次抽样调查了多少名学生？
（2）样本总数中，选“阅读素养”、“数学素养”的学生各多少人？
（3）如图是调查结果整理后绘制成的扇形图．请直接在横线上补全相关百分比；
（4）该校八年级有学生400人，请根据调查结果估计全年级选择“阅读素养”的学生有多
少人？
【分析】（1）用选科学素养的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数；
16（2）设样本中选数学素养的同学数为x人，则选阅读素养的同学数为（x+4）人，列方程
x+x+4+16+12＝80，然后解方程即可；
（3）分别计算出选数学素养、选阅读素养和选人文素养的百分比，然后补全扇形统计图；
（4）用400乘以样本中选择“阅读素养”的学生所占的百分比即可．
【解答】解：（1）16÷20%＝80，
所以这次抽样调查了80名学生；
（2）设样本中选数学素养的同学数为x人，则选阅读素养的同学数为（x+4）人，
x+x+4+16+12＝80，解得x＝24，
则x+4＝28，
所以本总数中，选“阅读素养”的学生数为28人，选“数学素养”的学生数为24人；
（3）选数学素养的学生数所占的百分比为 ×100%＝30%；
选阅读素养的学生数所占的百分比为 ×100%＝35%；
选人文素养的学生数所占的百分比为 ×100%＝15%；
如图，
（4）400×35%＝140，
所以估计全年级选择“阅读素养”的学生有140人．
【点评】本题考查了条形统计图：条形统计图是用线段长度表示数据，根据数量的多少画
成长短不同的矩形直条，然后按顺序把这些直条排列起来．从条形图可以很容易看出数据
的大小，便于比较．也考查了扇形统计图．
21．（8分）如图，点O是线段AH上一点，AH＝3，以点O为圆心，OA的长为半径作⊙O，过点H
作AH的垂线交⊙O于C，N两点，点B在线段CN的延长线上，连接AB交⊙O于点M，以AB，
BC为边作 ABCD．
▱
（1）求证：AD是⊙O的切线；
17（2）若OH＝ AH，求四边形AHCD与⊙O重叠部分的面积；
（3）若NH＝ AH，BN＝ ，连接MN，求OH和MN的长．
【分析】（1）根据平行四边形的性质可知AD∥BC，证明OA⊥AD，又因为OA为半径，即可证
明结论；
（2）利用锐角三角函数先求出∠OCH＝30°，再求出扇形OAC的面积，最后求出△OHC的面
积，两部分面积相加即为重叠部分面积；
（3）设⊙O半径OA＝r＝OC，OH＝3﹣r，在Rt△OHC中，利用勾股定理求出半径r＝ ，推出
OH＝ ，再在 Rt△ABH和 Rt△ACH中利用勾股定理分别求出 AB，AC的长，最后证
△BMN∽△BCA，利用相似三角形对应边的比相等即可求出MN的长．
【解答】解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∵∠AHC＝90°，
∴∠HAD＝90°，即OA⊥AD，
又∵OA为半径，
∴AD是⊙O的切线；
（2）解：如右图，连接OC，
∵OH＝ OA，AH＝3，
∴OH＝1，OA＝2，
∵在Rt△OHC中，∠OHC＝90°，OH＝ OC，
∴∠OCH＝30°，
∴∠AOC＝∠OHC+∠OCH＝120°，
18∴S ＝ ＝ ，
扇形OAC
∵CH＝ ＝ ，
∴S ＝ ×1× ＝ ，
△OHC
∴四边形ABCD与⊙O重叠部分的面积＝S +S ＝ + ；
扇形OAC △OHC
（3）设⊙O半径OA＝r＝OC，OH＝3﹣r，
在Rt△OHC中，OH2+HC2＝OC2，
∴（3﹣r）2+12＝r2，
∴r＝ ，则OH＝ ，
在Rt△ABH中，AH＝3，BH＝ +1＝ ，则AB＝ ，
在Rt△ACH中，AH＝3，CH＝NH＝1，得AC＝ ，
在△BMN和△BCA中，
∠B＝∠B，∠BMN＝∠BCA，
∴△BMN∽△BCA，
∴ ＝ 即 ＝ ＝ ，
∴MN＝ ，
∴OH＝ ，MN＝ ．
【点评】本题考查了切线的判定定理，解直角三角形，扇形的面积与三角形的面积，勾股定
理，相似三角形的判定与性质等，综合性较强，解题关键是要熟练各部分的内容，对学生
的综合能力要求较高，一定要注意将所学知识贯穿起来．
1922．（10分）HW公司2018年使用自主研发生产的“QL”系列甲、乙、丙三类芯片共2800万块，
生产了2800万部手机，其中乙类芯片的产量是甲类芯片的2倍，丙类芯片的产量比甲、乙
两类芯片产量的和还多400万块．这些“QL”芯片解决了该公司2018年生产的全部手机
所需芯片的10%．
（1）求2018年甲类芯片的产量；
（2）HW公司计划2020年生产的手机全部使用自主研发的“QL”系列芯片．从2019年起逐
年扩大“QL”芯片的产量，2019年、2020年这两年，甲类芯片每年的产量都比前一年增长
一个相同的百分数m%，乙类芯片的产量平均每年增长的百分数比m%小1，丙类芯片的产
量每年按相同的数量递增.2018年到2020年，丙类芯片三年的总产量达到1.44亿块．这
样，2020年的HW公司的手机产量比2018年全年的手机产量多10%，求丙类芯片2020年
的产量及m的值．
【分析】（1）设2018年甲类芯片的产量为x万块，由题意列出方程，解方程即可；
（2）2018年万块丙类芯片的产量为3x+400＝1600万块，设丙类芯片的产量每年增加的熟
练为y万块，则1600+1600+y+1600+2y＝14400，解得：y＝3200，得出丙类芯片2020年的
产量为1600+2×3200＝8000万块，2018年HW公司手机产量为2800÷10%＝28000万部，
由题意得出400（1+m%）2+2×400（1+m%﹣1）2+8000＝28000×（1+10%），设m%＝t，化简得：
3t2+2t﹣56＝0，解得：t＝4，或t＝﹣ （舍去），即可得出答案．
【解答】解：（1）设2018年甲类芯片的产量为x万块，
由题意得：x+2x+（x+2x）+400＝2800，
解得：x＝400；
答：2018年甲类芯片的产量为400万块；
（2）2018年万块丙类芯片的产量为3x+400＝1600万块，
设丙类芯片的产量每年增加的数量为y万块，
则1600+1600+y+1600+2y＝14400，
解得：y＝3200，
∴丙类芯片2020年的产量为1600+2×3200＝8000万块，
2018年HW公司手机产量为2800÷10%＝28000万部，
400（1+m%）2+2×400（1+m%﹣1）2+8000＝28000×（1+10%），
设m%＝t，
化简得：3t2+2t﹣56＝0，
20解得：t＝4，或t＝﹣ （舍去），
∴t＝4，
∴m%＝4，
∴m＝400；
答：丙类芯片2020年的产量为8000万块，m＝400．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用、一元一次方程的应用以及一元二次方程和一元
一次方程的解法；弄清数量关系列出方程是解题的关键．
23．（11分）已知：在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，AD上的点，过点F作EF的垂线交DC于
点H，以EF为直径作半圆O．
（1）填空：点A 在 （填“在”或“不在”）⊙O上；当 ＝ 时，tan∠AEF的值是；
（2）如图1，在△EFH中，当FE＝FH时，求证：AD＝AE+DH；
（3）如图2，当△EFH的顶点F是边AD的中点时，求证：EH＝AE+DH；
（4）如图3，点M在线段FH的延长线上，若FM＝FE，连接EM交DC于点N，连接FN，当AE＝
AD时，FN＝4，HN＝3，求tan∠AEF的值．
【分析】（1）连接AO，∠EAF＝90°，O为EF中点，所以AO＝ EF，因此点A在⊙O上，当
＝ 时，∠AEF＝45°，tan∠AEF＝tan45°＝1；
（2）证明△AEF≌△DFH，得到AF＝DH，AE＝DF，所以AD＝AF+DF＝AE+DH；
（3）延长EF交HD的延长线于点G，先证明△AEF≌△DGF（ASA），所以AE＝DG，EF＝FG，因
为EF⊥FG，所以EH＝GH，GH＝DH+DG＝DH+AE，即EH＝AE+DH；
（4）过点M作MQ⊥AD于点Q．设AF＝x，AE＝a，所以△EFM为等腰直角三角形，∠FEM＝
∠FMN＝45°，因此△AEF≌△QFM（ASA），AE＝EQ＝a，AF＝QM，AE＝AD，AF＝DQ＝QM由
△FEN～△HMN，得到 ，所以 ．
【解答】解：（1）连接AO，
21∵∠EAF＝90°，O为EF中点，
∴AO＝ EF，
∴点A在⊙O上，
当 ＝ 时，∠AEF＝45°，
∴tan∠AEF＝tan45°＝1，
故答案为：在，1；
（2）∵EF⊥FH，
∴∠EFH＝90°，
在矩形ABCD中，∠A＝∠D＝90°，
∴∠AEF+∠AFE＝90°，
∠AFE+∠DFH＝90°，
∴∠AEF＝∠DFH，
又FE＝FH，
∴△AEF≌△DFH（AAS），
∴AF＝DH，AE＝DF，
∴AD＝AF+DF＝AE+DH；
（3）延长EF交HD的延长线于点G，
∵F分别是边AD上的中点，
∴AF＝DF，
22∵∠A＝∠FDG＝90°，∠AFE＝∠DFG，
∴△AEF≌△DGF（ASA），
∴AE＝DG，EF＝FG，
∵EF⊥FG，
∴EH＝GH，
∴GH＝DH+DG＝DH+AE，
∴EH＝AE+DH；
（4）过点M作MQ⊥AD于点Q．
设AF＝x，AE＝a，
∵FM＝FEEF⊥FH，
∴△EFM为等腰直角三角形，
∴∠FEM＝∠FMN＝45°，
∵FM＝FE，
∠A＝∠MQF＝90°，
∠AEF＝∠MFQ，
∴△AEF≌△QFM（ASA），
∴AE＝EQ＝a，AF＝QM，
∵AE＝AD，
∴AF＝DQ＝QM＝x，
∵DC∥QM，
∴ ，
∵DC∥AB∥QM，
∴ ，
∴ ，
∵FE＝FM，
23∴ ，
∠FEM＝∠FMN＝45°，
∴△FEN～△HMN，
∴ ，
∴ ．
【点评】本题考查了圆的综合知识，熟练运用相似三角形的判定与性质是解题的关键．
24．（12分）在平面直角坐标系中，正方形ABCD的四个顶点坐标分别为A（﹣2，4），B（﹣2，﹣
2），C（4，﹣2），D（4，4）．
（1）填空：正方形的面积为 3 6 ；当双曲线y＝ （k≠0）与正方形ABCD有四个交点时，k
的取值范围是： 0 ＜ k ＜ 4 或﹣ 8 ＜ k ＜ 0 ；
（2）已知抛物线L：y＝a（x﹣m）2+n（a＞0）顶点P在边BC上，与边AB，DC分别相交于点E，
F，过点B的双曲线y＝ （k≠0）与边DC交于点N．
①点Q（m，﹣m2﹣2m+3）是平面内一动点，在抛物线L的运动过程中，点Q随m运动，分别切
运动过程中点Q在最高位置和最低位置时的坐标；
②当点F在点N下方，AE＝NF，点P不与B，C两点重合时，求 ﹣ 的值；
③求证：抛物线L与直线x＝1的交点M始终位于x轴下方．
【分析】（1）求出正方形边长，数形结合求出k的范围；
（2）①由题意可知，﹣2≤m≤4，y＝﹣m2﹣2m+3＝﹣（m+1）2+4，分m＝﹣1，m＞﹣1和m＜﹣
Q
1分别讨论Q点符合条件的坐标；
②点B（﹣2，﹣2）代入双曲线，可求k＝4，N（4，1），由顶点P（m，n）在边BC上，求n＝﹣2，
24进而求出E（﹣2，a（﹣2﹣m）2﹣2），F（4，a（4﹣m）2﹣2），由BE＝a（﹣2﹣m）2，CF＝a（4﹣m）
2， ＝ ﹣ ，可求a（m﹣1）＝ ，所以 ＝ ；
③由题意得，M（1，a（1﹣m）2﹣2），y＝a（m﹣1）2﹣2（﹣2≤m≤4），当m＝1时，y最小＝﹣
M M
2，当m＝﹣2或4时，y最大＝9a﹣2，当m＝4时，y＝a（x﹣4）2﹣2，求出F（4，﹣2），E（﹣
M
2，36a﹣2）进而确定0＜a≤ ，y≤﹣ ；同理m＝﹣2时，y＝y＝a（x+2）2﹣2，E（﹣2，﹣
M
2），F（4，36a﹣2），解得0＜a≤ ，y≤﹣ ．
M
【解答】解：（1）由点A（﹣2，4），B（﹣2，﹣2）可知正方形的边长为6，
∴正方形面积为36；
有四个交点时0＜k＜4或﹣8＜k＜0；
故答案为36，0＜k＜4或﹣8＜k＜0；
（2）①由题意可知，﹣2≤m≤4，y＝﹣m2﹣2m+3＝﹣（m+1）2+4，
Q
当m＝﹣1，y最大＝4，在运动过程中点Q在最高位置时的坐标为（﹣1，4），
Q
当m＜﹣1时，y随m的增大而增大，当m＝﹣2时，y最小＝3，
Q Q
当m＞﹣1时，y随m的增大而减小，当m＝4时，y最小＝﹣21，
Q Q
∴3＞﹣21，
∴y最小＝﹣21，点Q在最低位置时的坐标（4，﹣21），
Q
∴在运动过程中点Q在最高位置时的坐标为（﹣1，4），最低位置时的坐标为（4，﹣21）；
②当双曲线y＝ 经过点B（﹣2，﹣2）时，k＝4，
∴N（4，1），
∵顶点P（m，n）在边BC上，
∴n＝﹣2，
∴BP＝m+2，CP＝4﹣m，
∵抛物线y＝a（x﹣m）2﹣2（a＞0）与边AB、DC分别交于点E、F，
∴E（﹣2，a（﹣2﹣m）2﹣2），F（4，a（4﹣m）2﹣2），
∴BE＝a（﹣2﹣m）2，CF＝a（4﹣m）2，
∴ ＝ ﹣ ，
∴a（m+2）﹣a（4﹣m）＝2am﹣2a＝2a（m﹣1），
25∵AE＝NF，点F在点N下方，
∴6﹣a（﹣2﹣m）2＝3﹣a（4﹣m）2，
∴12a（m﹣1）＝3，
∴a（m﹣1）＝ ，
∴ ＝ ；
③由题意得，M（1，a（1﹣m）2﹣2），
∴y＝a（1﹣m）2﹣2（﹣2≤m≤4），
M
即y＝a（m﹣1）2﹣2（﹣2≤m≤4），
M
∵a＞0，
∴对应每一个a（a＞0）值，当m＝1时，y最小＝﹣2，
M
当m＝﹣2或4时，y最大＝9a﹣2，
M
当m＝4时，y＝a（x﹣4）2﹣2，
∴F（4，﹣2），E（﹣2，36a﹣2），
∵点E在边AB上，且此时不与B重合，
∴﹣2＜36a﹣2≤4，
∴0＜a≤ ，
∴﹣2＜9a﹣2≤﹣ ，
∴y≤﹣ ，
M
同理m＝﹣2时，y＝y＝a（x+2）2﹣2，
∴E（﹣2，﹣2），F（4，36a﹣2），
∵点F在边CD上，且此时不与C重合，
∴﹣2＜36a﹣2≤4，
解得0＜a≤ ，
∴﹣2＜9a﹣2≤﹣ ，
∴y≤﹣ ，
M
综上所述，抛物线L与直线x＝1的交点M始终位于x轴下方；
26【点评】本题考查二次函数的图象及性质，反比例函数的图象及性质，是综合性较强的题；
熟练掌握二次函数的图象及性质，反比例函数的图象及性质，数形结合，分类讨论是解题
的关键．
27
