文档文本内容
4.1 整式
课标要点
1. 在现实情境中理解用字母表示数，能分析简单数量关系，列出单项式、多项式；
2. 理解整式、单项式、多项式定义，分清三者包含关系；
3. 掌握单项式系数、次数；多项式的项、常数项、次数，能正确判定；
4. 能区分整式与分式、根式代数式，辨别单项式、多项式；
5. 会根据实际问题列整式，并代入数值求整式的值。
学习重难点
重点：
1. 单项式定义，准确找出单项式的系数、次数；
2. 多项式定义，分清多项式的各项（带符号）、常数项、最高次数；
3. 区分单项式、多项式，掌握整式判断方法；
4. 根据题意列简单整式，并代入求值。
难点：
1. 含负号、分数、π 的单项式系数识别（π 是常数，不算字母）；
2. 拆分多项式各项时遗漏前面正负符号；
3. 区分 “单项次数” 与 “多项式次数”，常数项次数为 0 易忽略；
4. 快速排除分母含字母、根号带字母的非整式；
5. 从文字应用题中抽象数量关系，正确写出整式。
第四章
整式的加减
知识点
单项式
◆1、单项式的定义：
数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式．
◆、判断单项式的方法：
（1）单独一个数或一个字母也是单项式.
（2）不含加减运算，单项式只含有乘积运算.
（3）单项式数字因数与字母可能一个或多个.
（4）可以含有除以数的运算，不能含有除以字母的运算．
◆3、单项式的系数、次数
（1）系数：单项式中的数字因数叫做单项式的系数．
（2）次数：一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数．
（3）确定单项式的系数及次数时，应注意：
① 圆周率 π 是常数；
② 当一个单项式的系数是 1 或 －1 时，“1”通常省略不写；
③ 单项式的次数只与字母指数有关，计算次数时，字母指数是 1 的别漏掉；
④ 对于单独一个非 0 的数，规定它的次数为 0.
随学随练
1．（25-26 六年级下·四川成都·期中）下列式子中是单项式的是（ ）
A．−15𝑎3 +𝑏
B．
3
𝑏
C．
2𝑥−𝑦
5
D．−𝑎
2．（25-26 七年级上·湖南·期末）下列说法错误的是（ ）
A．−
2
3𝑥2𝑦的系数是−
2
3
B．0是单项式
C．
2
3𝑥𝑦的次数是1
D．−𝑥是一次单项式
3．（25-26 七年级上·福建泉州·期中）若(𝑚−2)𝑥3𝑦|𝑚|是关于x，y 的五次单项式，则m 的值为____．
知识点
多项式
◆1、多项式的定义：几个单项式的和叫做多项式.
◆2、多项式的项：在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数
项.
（1）单项式的个数就是多项式的项数，如果一个多项式含有a 个单项式，次数是b，那么这个多项式就
叫b 次a 项式．
（2）多项式的每一项包含它前面的符号．
◆3、多项式的次数：多项式里次数最高项的次数就是多项式的次数多项式中次数最高的项的次数叫做多
项式的次数．
（1）要确定一个多项式的次数，先要确定此多项式中各项(单项式)的次数，然后找次数最高的；
（2）一个多项式的最高次项可以不唯一.
（3）一个多项式是几次、有几项就叫几次几项式.
随学随练
1．下列代数式
𝑚−𝑛
2 ，0，
1
3𝑎2 +2，
1
𝑥−1，𝑚2 + 𝑛2，𝜋−6，5𝑎2𝑏3𝑐中，多项式的个数有（ ）
A．3 个
B．4 个
C．5 个
D．6 个
2．多项式
1
3𝑥|𝑚|−(𝑚−5)𝑥2 +6是关于𝑥的五次三项式，则𝑚的值为（ ）
A．5
B．−5
C．5 或−5
D．3
知识点
整式
（1）单项式和多项式统称整式.
（2）单项式、多项式、整式与代数式这四者之间的关系：单项式、多项式一定是整式，整式一定是代数式，
但反过来不一定成立.
（3）分母中含有字母的式子一定不是整式，但是代数式.
随学随练
1．（25-26 七年级上·广东揭阳·期末）代数式
3
2𝑥，
4
𝑥−𝑦，𝑥+ 𝑦，
𝑥2+2
π ，
9
8中，是整式的有（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
2．（25-26 七年级上·全国·课后作业）将式子
1
3,
1
𝑥+2,
𝑥
3−𝑦,π(𝑥2−𝑦2),
1
6𝑎2,7𝑥−1,𝑦2 +8𝑥,9𝑎2 +
1
𝑎−2填入相应的大
括号中．
单项式：{ …}；
多项式：{ …}；
整式：{ …}．
题型一 单项式的有关概念
▌例1 （25-26 七年级上·上海·期中）在整式5𝑥2𝑦，
𝑎−𝑏
2 ，−
𝑚𝑛
2 ，𝑎，𝑎2 +2中，单项式的个数是（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
▌对点练1-1 下列代数式中，不是单项式的是（ ）
A．𝑎3
B．3𝑎
C．
𝑎
3
D．𝑎+ 3
▌对点练1-2 （23-24 七年级上·上海·期中）下列各代数式中，是五次单项式的是（
）
A．5𝑎𝑏5
B．32𝑎2𝑏
C．−𝑎2𝑏3
D．4𝑎5−𝑏
▌对点练1-3 下列说法正确的是（ ）．
解题贴士
1、数与字母的积的形式的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式；单项式的次数只
与字母指数有关，计算次数时，字母指数是 1 的别漏掉；
2、在判别单项式的系数时，要注意包括数字前面的符号，而形如a 或﹣a 这样的式子的系数是1 或﹣1，
不能误以为没有系数，一个单项式的次数是几，通常称这个单项式为几次单项式．
A．单项式x 的系数是0
B．单项式32𝑎𝑏𝑐的次数是5
C．单项式−
2
5π𝑥𝑦2的系数是−
2
5
D．单项式−52𝑎2𝑏的次数是3
题型二 利用单项式的相关概念求值
▌例2 若(𝑚+ 2)2𝑥2𝑦𝑛−2是关于x，y 的五次单项式，则常数m，n 满足的条件是（ ）
A．𝑛= 5，𝑚= −1
B．𝑛= 5，𝑚≠−2
C．𝑛= 3，𝑚≠−2
D．𝑛= 5，m 为任意数
▌对点练2-1 若﹣ax2yb+1 是关于x、y 的五次单项式，且系数为﹣
1
2，则a、b 的值分别是（ ）
A．
1
2，1
B．﹣
1
2，﹣1
C．﹣
1
2，2
D．
1
2，2
▌对点练2-1 （25-26 七年级上·全国·课后作业）若单项式−
3
4𝜋𝑥𝑚𝑦𝑛𝑧3是关于𝑥,𝑦,𝑧的九次单项式，那么
𝑚+ 𝑛= ______．
▌对点练2-3 （24-25 七年级上·湖南衡阳·期中）已知𝑥2𝑦𝑎+ (𝑏+ 2)是关于𝑥、𝑦的五次单项式，求𝑎2 +3𝑎𝑏
的值．
题型三 多项式的判断
▌例3（25-26 七年级上·广东江门·期末）下列代数式中，是多项式的是（ ）
A．2𝑎2
B．
3
8𝑚2−5𝑛
C．𝑥𝑦𝑧
D．−
2
3𝑣𝑡
解题贴士
根据单项式的相关的概念（定义、次数或系数）得到关于字母的简易方
程，求出方程的解即可.
▌对点练3-1 （25-26 七年级上·河北秦皇岛·期末）在代数式
1
3𝑥𝑦、
𝑥+3𝑦
2 、2𝑥𝑦2−𝑦+ 1、5、
1
𝑥、𝑥3−𝑥2−4中，
多项式有（ ）
A．2 个
B．3 个
C．4 个
D．5 个
▌对点练3-2
𝑧𝑥
3 ；3𝑎+ 2𝑏；
2𝑎
π ；−π𝑟2；
5
𝑥；
𝑥𝑦
2 −3；0；𝑥2−𝑏𝑥+ 1其中单项式有
个，多项式有___个．
▌对点练3-3（25-26 七年级上·云南昭通·阶段检测）把下列各式填在相应的大括号里（填序号）：
①𝑥−7，②
1
3𝑥，③4𝑎𝑏，④5−
𝑥
3，⑤y，⑥
𝑥
7 +
𝑦
7，⑦𝑥2 +
𝑥
2 +1，⑧8𝑎3𝑥，⑨−1
单项式集合{ …}；
多项式集合{ …}．
题型四 多项式的项、次数、系数
▌例4（2026·浙江·模拟预测）对于多项式𝑎2𝑏+ 𝑎𝑏+ 3，这个多项式的次数是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
▌对点练4-1 （23-24 七年级上·上海·期中）下列各多项式中，是四次三项式的是（
）
A．2𝑥2−3𝑥𝑦+ 𝑦2
B．𝑥2 +2𝑦+ 𝑧3 +1
C．−2𝑥+ 7𝑥2𝑦2
D．7𝑥3𝑦+ 4𝑥𝑦+ 6𝑥𝑦3
▌对点练4-2 （2026·青海西宁·二模）下列说法中正确的是（ ）
解题贴士
多项式核心：多个单项式相加 / 相减，最少两项；单独一个单项式不是多项式。
解题贴士
1.找项：拆分每一项时必须带着前面的正负符号，不含字母的项叫常数项。
2 求系数：只看每一项字母前面的数字，正负号要一起带上。
3.要确定一个多项式的次数，先要确定此多项式中各项(单项式)的次数，然后找次数最高的；
A．单项式
1
3𝜋𝑥的次数为1，系数是
1
3
B．单项式2𝑚2𝑛和3𝑛𝑚2是同类项
C．多项式2𝑥2𝑦+ 3𝑥𝑦−4是二次三项式
D．多项式−𝑥2 +2𝑥−1的项是−𝑥2，2𝑥和1
▌对点练4-3（25-26 七年级上·河北保定·阶段检测）多项式−𝑎2 +2𝑎𝑏3−5𝑎4𝑏−1的次数是____________．
题型五 整式的判断
▌例5 2 代数式𝑎+
1
2𝑎，4𝑥𝑦，
𝑎+𝑏
3 ，𝑎，2009，
1
2𝑎2𝑏𝑐，−
3𝑚𝑛
4 中，整式的个数是（ ）
A．3个
B．4个
C．5个
D．6个
▌对点练5-1 （25-26 七年级上·河南开封·期末）在代数式𝑥2 +5,−5𝑥2 +6,π,
2026
𝑥2+1,𝑎2 +
1
𝑎，7 × 109,3𝑎2𝑏中，
整式有（ ）
A．7 个
B．6 个
C．5 个
D．4 个
▌对点练5-2 （25-26 七年级上·江苏扬州·期中）在式子2025，−4𝑥𝑦，𝑥+ 𝑦−2，
1
𝑥，
𝑥+1
3 中，整式的个数是
________个．
▌对点练5-3（25-26 七年级上·全国·课后作业）（教材变式）下列代数式中，哪些是单项式？哪些是多项
式？哪些是整式？
𝑥+𝑦+𝑧
3
，4xy，
1
𝑎，
𝑚2𝑛
2 ，𝑥2 +𝑥+
1
𝑥，0，
1
𝑥2−2𝑥，m，−2.01 × 105．
整式：{ …}；
单项式：{ …}；
多项式：{ …}．
解题贴士
单项式和多项式统称为整式.所有的单项式和多项式整式，既不是单项式也不是多项式的式子一定不是整
式.
题型六 利用多项式的相关概念求值
▌例6 如果𝑥|𝑚−1|𝑦2−(𝑚−3)𝑥𝑦+ 3𝑥是关于x，y 的四次三项式，那么𝑚= （ ）
A．−1
B．−1或3
C．3
D．−3
▌对点练6-1 （25-26 七年级上·江西吉安·期末）多项式𝑥|𝑚|+1𝑦2−(𝑚−2)𝑥+ 5是关于𝑥，𝑦的五次三项式，
则𝑚的值是（ ）
A．−1
B．2
C．−2或−1
D．−2
▌对点练6-2 （24-25 七年级上·湖南永州·阶段检测）已知关于x 的多项式(2𝑚+ 3)𝑥3 +𝑥−𝑥𝑛−5是二次三项
式，则𝑚𝑛= ______.
▌对点练6-3 已知多项式−3𝑥3𝑦|𝑚+1| +𝑥𝑦3 + (𝑛−2)𝑥2𝑦2−4是六次三项式，求代数式(𝑚+ 1)2𝑛−3的值．
题型七 综合利用单项式、多项式的相关概念求值
▌例7（25-26 七年级上·陕西延安·阶段检测）已知关于m、n 的多项式−5𝑚2𝑛𝑥+1 +𝑚𝑛2−3𝑥𝑚3−𝑦的次数是
6，且与关于m、n 的单项式3𝑚2+𝑦𝑛5−𝑥的次数相同．
(1)求x、y 的值；
(2)求该多项式各项的系数之和．
解题贴士
根据多项式的相关的概念（定义、次数或系数）得到关于字母的简易方程，求出方程的解即可.
▌对点练7-1 （25-26 七年级上·全国·期中）已知多项式−2𝑥2𝑦𝑚+1 +𝑥𝑦2−3𝑥3−6是六次四项式，单项式−𝑥2𝑛
𝑦5−𝑚与该多项式的次数相同，求m，n 的值．
▌对点练7-2（24-25 七年级上·全国·课后作业）（1）如果(𝑘−5)𝑥|𝑘−2|𝑦3是关于x、y 的六次单项式，求k 的
值；
（2）若−2𝑎𝑥3𝑦|𝑏−3|是关于x、y 的单项式，且系数为8，次数为4，求a、b 的值．
▌对点练7-3 （23-24 七年级上·山西临汾·期中）已知多项式2𝑥3−𝑥𝑦4−𝑥2𝑦2 +3𝑥𝑦−5．
(1)写出该多项式的第2 项的系数和第4 项的次数．
(2)求这个多项式中各项系数之和．
(3)若这个多项式的次数和单项式9𝑥𝑘𝑦𝑘+1的次数相同，求k 的值．
解题贴士
主要考查多项式与单项式，解题的关键是熟练运用多项式与单项式的相关概念解题即可．
题型八 多项式中结论开放性问题
▌例8 （25-26 七年级上·全国·课后作业）开放题：至少写出两个只含有字母x，y 的多项式，且满足下列条
件的多项式为：____________.
（1）是五次三项式；
（2）每一项的系数均为1 或−1；
（3）每一项必须同时含有字母x，y，但不能含有其他字母．
（4）不含常数项．
▌对点练8-1 有一个关于x，y 的多项式，每项的次数都是3．请你写出一个这样的多项式为：
．
▌对点练8-2 （25-26 七年级上·全国·单元复习）有一个关于x，y 的多项式，每项的次数都是3．
（1）这个多项式最多有________项．
（2）在（1）的条件下，若此时这个多项式各项系数和为0，则这个多项式可能为________________（写出
一个即可）．
▌对点练8-3（26-27 七年级上·全国·课前预习）写出同时满足下列4个条件的一个多项式：
①该多项式含有字母𝑥和𝑦；
②该多项式第一项是常数项；
③该多项式是三次四项式；
④该多项式各项系数和为零
解题贴士
本题考查了多项式中每项的次数，掌握多项式的项，组成多项式项的次数的概念是关键．
．
题型九 单项式中的规律探究问题
▌例9 观察下列关于𝑎 的单项式，探究其规律：𝑎,3𝑎2,5𝑎3,7𝑎4,9𝑎5,⋯，按照上述规律，第2024 个单项式是
（ ）
A．2024𝑎2024
B．4047𝑎2024
C．4048𝑎2023
D．4049𝑎2024
▌对点练9-1 9．（2026·云南昆明·模拟预测）一列代数式按以下规律排列：𝑥3，−2𝑥5，4𝑥7，−8𝑥9，16
𝑥11，…，第n 个代数式是（ ）
A．(−2)𝑛𝑥2𝑛−1
B．(−2)𝑛𝑥2𝑛+1
C．(−2)𝑛−1𝑥2𝑛+1
D．(−2)𝑛−1𝑥2𝑛−1
▌对点练9-2 （2026·河南南阳·二模）一组按规律排列的代数式为：𝑎2，
𝑎4
3 ，
𝑎6
5 ，
𝑎8
7 ，
𝑎10
9 ，⋯，第𝑛个代数
式为
．
▌对点练9-3（25-26 七年级上·全国·课后作业）请观察下面按照某种规律排列的一组单项式：
−2𝑥，4𝑥2，
，16𝑥4，−32𝑥5，64𝑥6，…
(1)第3 个单项式应该是
．
(2)按此规律排列，次数是7 的单项式的系数应该是
．
(3)第n 个单项式应该是
．
题型十 多项式中的规律探究问题
▌例10 有一组多项式：𝑎−𝑏2，𝑎3 + 𝑏4，𝑎5−𝑏6，𝑎7 + 𝑏8，．．．，请观察它们的构成规律，用你发现的
规律写出第𝑛个多项式为________．
解题贴士
对于与单项式关的规律探究题，应全面分析式子中各项的符号、各项的次数、各项中字母的指数的变化
规律，利用找到的规律解决此类问题.
▌对点练10-1 有一组多项式：a－b2，a3＋b4，a5－b6，a7＋b8，…，请观察它们的构成规律，用你发现的规
律写出第10 个多项式为________，第n 个多项式为________．
▌对点练10-2 有一个多项式为a10－a9b＋a8b2－a7b3＋…，按这种规律写下去．
（1）写出它的第六项和最后一项；
（2）这个多项式是几次几项式？
▌对点练10-3（2024 七年级上·全国·专题练习）观察多项式𝑥−3𝑥2 +5𝑥3−7𝑥4 +…的构成规律，并回答下列
问题：
(1)它的第100 项是什么？
(2)它的第𝑛(𝑛为正整数)项是什么？
(3)当𝑥= 1时，求前2014 项的和．
基础通关
1．（2024·广东湛江·模拟预测）单项式−4𝑎2𝑏3的次数是（ ）
A．2
B．5
C．3
D．4
2．（25-26 七年级上·福建宁德·期中）下列代数式中，属于多项式的是（ ）
A．−5
B．𝑎5𝑏
C．𝑎−5𝑏
D．−5𝑏
3．下列说法错误的是（ ）
A．3𝑥2−4𝑥𝑦+ 1是二次三项式
B．−𝑥+ 1是多项式
C．−
2
3π𝑥𝑦2的系数是−
2
3π
D．−22𝑥𝑎𝑏2的次数是6
解题贴士
对于与多项式关的规律探究题，应全面分析式子中各项的符号、各项的次数、各项中字母的指数的变化
规律，利用找到的规律解决此类问题.
4．下列说法错误的是（ ）
A．由数字与字母的乘积组成的代数式叫做单项式．
B．几个单项式的和叫做多项式．
C．单项式与多项式统称整式．
D．一个数字不是一个单项式，它的次数是0．
5．（25-26 七年级上·江苏无锡·阶段检测）下列代数式：（1）−
1
2𝑚𝑛，（2）𝑚，（3）
1
2，（4）
𝑏
𝑎，（5）
2𝑚+ 1，（6）
𝑥−𝑦
5 ，（7）
2𝑥+𝑦
𝑥−𝑦，（8）𝑥2 +2𝑥+
2
3，（9）𝑦3−5𝑦+
3
𝑦中，则其中单项式有___________个
6．（25-26 七年级上·四川成都·期末）单项式−
7𝑥2𝑦
5 的系数是______ ，次数是______ ．
7．（25-26 七年级上·湖北荆门·期中）式子
2𝑥+1
2 ，𝑎𝑥3，
1
𝑥+3，𝑥+ 4，
π
𝑎+𝑏，𝑥2 +2𝑥+ 1中，多项式有___个．
8．多项式𝑎2−2𝑎𝑏2−3的项是________，次数是________．
素养提升
9．（24-25 七年级上·吉林·期末）若关于x 的多项式(𝑎−3)𝑥3 +4𝑥2 + (4−𝑏)𝑥+ 3中不含三次项和一次项，
则𝑎𝑏= （ ）
A．7
B．12
C．64
D．81
10．（2026·云南昆明·模拟预测）按一定规律排列的代数式：3𝑎2，5𝑎3，7𝑎4，9𝑎5，11𝑎6，…，第2026个
代数式为（ ）
A．4051𝑎2026
B．4051𝑎2027
C．4053𝑎2026
D．4053𝑎2027
11．（24-25 七年级上·江西赣州·期中）若多项式(𝑚+ 2)𝑥2𝑦|𝑚| + 𝑥2𝑦−𝑦+ 3是一个关于x，y 的三次三项式，
则m 的值为
．
12．（25-26 七年级上·陕西榆林·期中）写出一个关于字母𝑎、𝑏的多项式，使其次数是3，项数是2：
__________．（写出一个即可）
13．（24-25 七年级上·全国·单元复习）已知关于x，y 的多项式𝑥2𝑦𝑚+1 +1 + 𝑥𝑦2−2𝑥3−5是六次四项式，
单项式3𝑥2𝑛𝑦5−𝑚的次数与这个多项式的次数相同，则𝑚−𝑛= ________．
迁移创新
14．（25-26 七年级上·河北邯郸·期中）代数式：①−𝑥；②𝑥2 +𝑥−1；③
𝑛
𝑚；④
𝑚
2 +1；⑤−
1
2；⑥−2π𝑚3𝑦；
⑦
𝑚+𝑛
2 ．
(1)请把上述代数式的序号分别填在相应的圆圈内：
(2)其中次数最高的多项式是______次多项式；
(3)其中次数最高的单项式的次数是______，系数是______．
15．（25-26 七年级上·陕西安康·期末）对于有理数m、n，定义一种新运算☆：𝑚☆𝑛= 3𝑚−4𝑛．例如：
1☆2 = 3 × 1−4 × 2 = −5．
(1)求(−4)☆7的值；
(2)已知x 是绝对值为1 的负整数，y 是单项式−6𝑎𝑏2的次数，求(−2)☆(𝑥☆𝑦)的值．
16．已知式子(𝑎−1)𝑥3−2𝑥−(𝑎+ 3)．
(1)若它是关于x 的一次式，求a 的值并写出常数项；
(2)若它是关于x 的三次二项式，求a 的值并写出次数最高的项．
17．（2025 七年级上·全国·专题练习）已知一个整式为(𝑎−2)𝑥2−3𝑥−(𝑎+ 3)．
(1)若该整式是关于x 的一次式，求a 的值，并写出此时的一次式；
(2)若该整式是二次二项式，求a 的值，并写出此时的二次二项式；
(3)若该整式是二次式，求a 的取值范围．
18．（25-26 七年级上·河南驻马店·期末）观察下列各单项式： 𝑎2,4𝑎3,9𝑎4,16𝑎5,25𝑎6,⋯根据你发现的规律：
(1)请你写出第9 个单项式为
，第n 个单项式为
．
(2)请你求出当𝑎= −1时，第9 个单项式与第10 个单项式和的值．
19．（2024·北京海淀·模拟预测）（1）关于x，y 的多项式4𝑥2𝑦𝑚+2 +𝑥𝑦2 +(𝑛−2)𝑥2𝑦3 +𝑥𝑦−4是七次四项
式，求m 和n 的值；
（2）关于x，y 的多项式(5𝑎−2)𝑥3 + (10𝑎+ 𝑏)𝑥2𝑦−𝑥+ 2𝑦+ 7不含三次项，求5𝑎+ 𝑏的值．
