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1 / 21 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 专题03 全等三角形常考八大模型汇编 常考题型·精准突破 ◆题型 1:平移型 1．如图，已知𝐵，𝐸，𝐶，𝐹在同一条直线上，𝐴𝐵= 𝐷𝐸，𝐴𝐵 ∥ 𝐷𝐸，𝐵𝐸= 𝐶𝐹，𝐴𝐶与𝐷𝐸交于点𝐺．求证： △𝐴𝐵𝐶 ≌ △𝐷𝐸𝐹． 2．如下图，已知点C，D 都在线段𝐵𝐹上，𝐵𝐷= 𝐶𝐹，𝐴𝐶∥𝐷𝐸，∠𝐴= ∠𝐸．试说明：△𝐴𝐵𝐶≌△𝐸𝐹𝐷； 3．如图，点𝐷、𝐸在△𝐴𝐵𝐶的边𝐵𝐶的延长线上，过点𝐸作𝐸𝐹，使得𝐸𝐹= 𝐴𝐵，连接𝐷𝐹，𝐷𝐹= 𝐴𝐶，𝐵𝐷= 𝐶𝐸．试 说明∠𝐵= ∠𝐸． 2 / 21 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 4．如图，点𝐴、𝐷、𝐶、𝐹在一条直线上，𝐵𝐶与𝐷𝐸交于点𝐺，𝐵𝐶∥𝐸𝐹，𝐵𝐶= 𝐸𝐹，∠𝐵= ∠𝐸．𝐴𝐷与𝐶𝐹相等 吗？为什么？ 5．如图，点A，C，F，D 在同一条直线上，𝐵𝐶⊥𝐴𝐷，𝐸𝐹⊥𝐴𝐷，𝐸𝐷∥𝐴𝐵，且𝐸𝐷= 𝐴𝐵．求证：△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹； ◆题型 2:翻折型 6．如图，已知𝐴𝐶= 𝐴𝐷，∠𝐶𝐴𝐵= ∠𝐷𝐴𝐵．求证：𝐵𝐶= 𝐵𝐷． 7．如图，某民间手艺人制作风筝的支撑骨架中，点E，F 分别在𝐴𝐵，𝐴𝐷的延长线上，𝐴𝐶平分∠𝐵𝐶𝐷，∠𝐶𝐵𝐸= ∠𝐶𝐷𝐹．求证：𝐴𝐵= 𝐴𝐷． 3 / 21 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 8．△𝐴𝐵𝐶与△𝐷𝐸𝐹按如图所示的位置摆放，𝐵𝐶交𝐷𝐹于点M，𝐴𝐶交𝐸𝐹于点N，𝐵𝐶与𝐸𝐹交于点O．若∠𝐶= ∠𝐹， 𝐵𝐶= 𝐸𝐹，𝐵𝑂= 𝐸𝑂．求证：𝑀𝐹= 𝑁𝐶． 9．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，D 是𝐵𝐶边上的一点，𝐴𝐵= 𝐷𝐵， 𝐵𝐸平分∠𝐴𝐵𝐶，交𝐴𝐶边于点E，连接𝐷𝐸． (1)求证： △𝐴𝐵𝐸≌△𝐷𝐵𝐸； (2)若∠𝐴= 100°， ∠𝐶= 50°，求∠𝐴𝐸𝐵的度数． ◆题型3:旋转型 10．如图，已知𝐶𝐴= 𝐶𝐷，∠𝐵𝐶𝐸= ∠𝐴𝐶𝐷，𝐵𝐶= 𝐸𝐶．求证：𝐴𝐵= 𝐷𝐸． 4 / 21 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 11．如图，点F，G 分别在△𝐴𝐷𝐸的𝐴𝐷，𝐷𝐸边上，C，B 依次为𝐺𝐹延长线上两点，𝐴𝐵= 𝐴𝐷，∠𝐵𝐴𝐹= ∠𝐶𝐴𝐸， ∠𝐵= ∠𝐷． (1)求证：𝐵𝐶= 𝐷𝐸； (2)若∠𝐵= 35°，∠𝐴𝐹𝐵= 78°，求∠𝐷𝐺𝐵的度数，并直接写出当∠𝐶𝐴𝐵= 时，𝐷𝐸∥𝐴𝐶． 12．如图，∠𝐴= ∠𝐵, ∠1 = ∠2, 𝐴𝐸= 𝐵𝐸，点𝐷在𝐴𝐶边上．判断𝐸𝐷与𝐸𝐶的数量关系，并说明理由． 13．已知：如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵𝐴𝐶= 90°，∠𝐴𝐶𝐵的平分线𝐶𝐷⊥𝐵𝐹交𝐴𝐵于点𝐸，𝐶𝐸= 2𝐵𝐷．判断𝐴𝐵与 𝐴𝐶的关系并加以证明． 5 / 21 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ◆题型4:一线三等角型(高频) 14．在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵= 90°,𝐴𝐶= 𝐵𝐶，直线𝑀𝑁经过点𝐶，且𝐴𝐷⊥𝑀𝑁于𝐷．𝐵𝐸⊥𝑀𝑁于𝐸． (1)当直线𝑀𝑁绕点𝐶旋转到图1 的位置时，求证：𝐷𝐸= 𝐴𝐷+ 𝐵𝐸； (2)当直线𝑀𝑁绕点𝐶旋转到图2 的位置时，求证：𝐷𝐸= 𝐴𝐷−𝐵𝐸； (3)当直线𝑀𝑁绕点𝐶旋转到图3 的位置时，试问𝐷𝐸、𝐴𝐷、𝐵𝐸具有怎样的等量关系？请写出这个等量关 系，并加以证明． 15．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵= 90°, 𝐴𝐶= 𝐵𝐶，𝐴𝐷⊥𝐶𝐷于点𝐷，𝐵𝐸⊥𝐶𝐷于点𝐸． (1)求证：△𝐴𝐶𝐷≌△𝐶𝐵𝐸； (2)若𝐵𝐸= 6, 𝐷𝐸= 4，求△𝐴𝐶𝐸的面积． 6 / 21 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 16．模型意识以及知识运用 (1)【感知模型】如图1，正方形𝐴𝐵𝐶𝐷的顶点𝐵在直线𝑙上，分别过点𝐴、𝐶作𝐴𝐸⊥𝑙于𝐸，𝐶𝐹⊥𝑙于𝐹．则 △𝐴𝐵𝐸≌______． (2)【模型应用】如图2 所示，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵= 90°，𝐴𝐶= 𝐵𝐶，𝐵𝐸⊥𝐶𝐸于𝐸，𝐴𝐷⊥𝐶𝐸于𝐷，𝐷𝐸= 12cm， 𝐴𝐷= 18cm，则𝐵𝐸的长为______cm． (3)【模型变式】如图3，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，点𝐷、𝐸分别是边𝐴𝐶、𝐵𝐶上一点，连接𝐴𝐸、𝐵𝐷交于 点𝐺．点𝐹是𝐴𝐸上一点，连接𝐶𝐹，若∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐵𝐺𝐸= ∠𝐸𝐹𝐶，求证：𝐴𝐺= 𝐶𝐹． 17．在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵= 90°，𝐴𝐶= 𝐵𝐶，过点C 作直线𝑀𝑁，𝐴𝑀⊥𝑀𝑁于点M，𝐵𝑁⊥𝑀𝑁于点N． (1)若𝑀𝑁在△𝐴𝐵𝐶外（如图1）， 求证：𝑀𝑁= 𝐴𝑀+ 𝐵𝑁； (2)若𝑀𝑁与线段𝐴𝐵相交（如图2），且𝐴𝑀= 2.4，𝐵𝑁= 0.9，则𝑀𝑁= 7 / 21 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 18．如图，等腰Rt △𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，∠𝐵𝐴𝐶= 90°，点A 在线段𝐷𝐸上，∠𝐵𝐷𝐴= ∠𝐸= 90°． (1)求证△𝐵𝐷𝐴≌△𝐴𝐸𝐶； (2)若𝐴𝐷= 6，求△𝐷𝐴𝐶的面积． ◆题型5:手拉手模型(高频) 19．已知：如图，△𝐴𝐵𝐶和△𝐶𝐷𝐸都是等腰三角形（𝐶𝐴= 𝐶𝐵，𝐶𝐷= 𝐶𝐸，∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐷𝐶𝐸= 𝛼），点𝐵、𝐶、 𝐸不在同一条直线上，连接𝐴𝐸和𝐵𝐷．试探究线段𝐴𝐸与𝐵𝐷的数量关系并说明理由． 20．若△𝐸𝐷𝐶在△𝐴𝐵𝐶的外部， 如图△𝐴𝐵𝐶和△𝐸𝐷𝐶都为等边三角形，点B、C、D 在同一直线上． (1)①证明△𝐴𝐶𝐷≌△𝐵𝐶𝐸； ②图中还有哪些三角形全等？ (2)若连接𝑀𝑁，试判断△𝑀𝑁𝐶的形状． (3)𝑀𝑁与𝐵𝐷在位置上有什么关系？ 8 / 21 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 21．已知在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐶= 𝐵𝐶，在△𝐷𝐸𝐶中，𝐷𝐶= 𝐸𝐶，∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐷𝐶𝐸= 𝛼，点𝐴、𝐷、𝐸在同一条直线 上，𝐴𝐸与𝐵𝐶相交于点𝐹，连接𝐵𝐸． (1)如图1，当𝛼= 40°时，求∠𝐴𝐸𝐵的度数； (2)如图2，当𝛼= 90°时，完成下列问题： ①判断𝐴𝐷与𝐵𝐸的数量关系和位置关系； ②我们已经知道等腰三角形的两个底角相等，反过来，有两个角相等的三角形是等腰三角形也成立．若 ∠𝐶𝐴𝐹= ∠𝐵𝐴𝐹，𝐵𝐸= 3，求线段𝐴𝐹的长． 22．【综合与探究】 (1)在△𝐴𝑂𝐵和△𝐶𝑂𝐷中，𝑂𝐴= 𝑂𝐵，𝑂𝐶= 𝑂𝐷，∠𝐴𝑂𝐵= ∠𝐶𝑂𝐷，连接𝐴𝐶，𝐵𝐷． ①【模型呈现】如图1，A，O，D 三点共线，试判断𝐴𝐶与𝐵𝐷的数量关系，并说明理由； ②【模型应用】如图2，设𝐴𝐶，𝐵𝐷相交于点P，𝐴𝐶，𝑂𝐵相交于点Q，若∠𝐴𝑂𝐵= 50°，求∠𝐴𝑃𝐷的度 数； (2)【拓展延伸】如图3 是某公园的局部平面示意图，已知△𝐴𝑂𝐵和△𝐶𝑂𝐷为等腰直角三角形，∠𝐴𝑂𝐵= ∠𝐶𝑂𝐷= 90°，𝑂𝐴= 𝑂𝐵，𝑂𝐶= 𝑂𝐷，𝐴𝐶，𝐵𝐷为公园内的两条小路，现公园规划部门决定在小路𝐴𝐶和𝐵𝐷 上分别取点M，N，且满足点M，N 分别是𝐴𝐶，𝐵𝐷的中点，在△𝑂𝑀𝑁区域修建一个喷泉，根据设计要 求需满足△𝑂𝑀𝑁为等腰直角三角形．请问按照上述作法，公园的规划能否实现？并证明你的结论． 9 / 21 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ◆题型6:半角模型(难) 23．按要求解答问题： (1)如图①，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵= 𝐴𝐷，∠𝐵= ∠𝐷= 90°，E，F 分别是边𝐵𝐶, 𝐶𝐷上的点，且∠𝐸𝐴𝐹= 1 2 ∠𝐵𝐴𝐷．请直接写出线段𝐸𝐹，𝐵𝐸，𝐹𝐷之间的数量关系：______； (2)如图②，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵= 𝐴𝐷，∠𝐵+ ∠𝐷= 180°，𝐸，𝐹分别是边𝐵𝐶，𝐶𝐷上的点，且∠𝐸𝐴𝐹= 1 2 ∠𝐵𝐴𝐷，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程； (3)在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵= 𝐴𝐷，∠𝐵+ ∠𝐷= 180°，𝐸，𝐹分别是边𝐵𝐶，𝐶𝐷所在直线上的点，且∠𝐸𝐴𝐹= 1 2 ∠𝐵𝐴𝐷．请直接写出线段𝐸𝐹，𝐵𝐸，𝐹𝐷之间的数量关系： ． 24．如图，在四边形𝐴𝐵𝐷𝐶中，𝐷𝐶= 𝐷𝐵，∠𝐴= 60°，∠𝐶𝐷𝐵= 120°，𝐸是边𝐴𝐶上一点，𝐹是𝐴𝐵的延长线上 一点，且𝐶𝐸= 𝐵𝐹． (1)求证：𝐷𝐸= 𝐷𝐹； (2)若点𝐺在边𝐴𝐵上，且∠𝐸𝐷𝐺= 60°，试猜想𝐶𝐸，𝐸𝐺，𝐵𝐺之间的数量关系，并说明理由； (3)若将题中条件“∠𝐴= 60°，∠𝐶𝐷𝐵= 120°”改为“∠𝐶𝐴𝐵= 𝛼，∠𝐶𝐷𝐵= 180° −𝛼，点𝐺在边𝐴𝐵上”， 则当∠𝐸𝐷𝐺满足什么条件时，（2）中结论仍然成立？（只写结果即可） 10 / 21 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 25．在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵= 𝐴𝐷，∠𝐵𝐴𝐷= 120°，∠𝐵= ∠𝐴𝐷𝐶= 90°，𝐸、𝐹分别是𝐵𝐶、𝐶𝐷上的点，且∠𝐸𝐴𝐹= 60°，试探究图1 中线段𝐵𝐸、𝐸𝐹、𝐹𝐷之间的数量关系． 【初步探索】 (1)小亮同学认为：延长𝐹𝐷到点𝐺，使𝐷𝐺= 𝐵𝐸，连接𝐴𝐺，根据三角形全等的条件SAS，可以得到△𝐴𝐵𝐸≌ △𝐴𝐷𝐺，从而根据三角形全等的性质得到∠𝐺𝐴𝐷= ∠𝐵𝐴𝐸，由∠𝐵𝐴𝐷= 120°，∠𝐸𝐴𝐹= 60°进而得到 ∠𝐹𝐴𝐺= ∠𝐹𝐴𝐸= 60°，这样，就可以根据三角形全等的条件SAS，确定△𝐴𝐸𝐹≌△𝐴𝐺𝐹，则可得到𝐵𝐸、 𝐸𝐹、𝐹𝐷之间的数量关系是 ． 【探索延伸】 (2)如图2，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵= 𝐴𝐷，∠𝐵+ ∠𝐷= 180°，𝐸、𝐹分别是𝐵𝐶、𝐶𝐷上的点，∠𝐸𝐴𝐹= 1 2 ∠𝐵𝐴𝐷， 上述结论是否仍然成立？说明理由． 26．按要求完成下面小题． (1)【问题发现】如图①，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵= 𝐴𝐷，∠𝐵= ∠𝐴𝐷𝐶= 90°，点𝐸、点𝐹分别是𝐵𝐶、𝐶𝐷上 的点，且𝐸𝐹= 𝐵𝐸+ 𝐹𝐷，试猜想图中∠𝐵𝐴𝐷与∠𝐸𝐴𝐹的数量关系，小王同学解决此问题的方法是：延长 𝐹𝐷到点𝐺，使𝐷𝐺= 𝐵𝐸．连接𝐴𝐺．先证明△𝐴𝐵𝐸≌△𝐴𝐷𝐺，再证明△𝐴𝐸𝐹≌△𝐴𝐺𝐹，可得出结论，他 的结论是_______， (2)【问题解决】如图②，为了丰富市民活动，政府规划了一块四边形的运动场地𝐴𝐵𝐶𝐷，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷 中，𝐴𝐵= 𝐴𝐷，∠𝐵+ ∠𝐷= 180°．点𝐸、点𝐹分别是𝐵𝐶、𝐶𝐷上的点，且𝐸𝐹= 𝐵𝐸+ 𝐹𝐷，试探究∠𝐵𝐴𝐸、 ∠𝐹𝐴𝐷、∠𝐸𝐴𝐹之间的数量关系，并说明理由． 11 / 21 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ◆题型7:对角互补模型 27．已知𝑂𝐶是∠𝐴𝑂𝐵的角平分线，点𝑃是𝑂𝐶上一点，𝐷，𝐸分别是𝑂𝐴，𝑂𝐵上的动点． (1)如图1，若∠𝑃𝐸𝐵+ ∠𝑃𝐷𝑂= 180∘，求证：𝑃𝐷= 𝑃𝐸； (2)如图2，若∠𝑃𝐸𝐵+ ∠𝑃𝐷𝐴= 180∘，求证：𝑃𝐷= 𝑃𝐸； (3)如图3，𝐷、𝑃、𝐸在同一直线上，𝑄𝐸平分∠𝑃𝐸𝐵，交𝑂𝐶于点𝑄，作𝑄𝐹⊥𝑂𝐵于点𝐹．若𝐸𝐹= 1，𝐷𝑃= 2， 𝑃𝐸= 3，请直接写出𝑂𝐸−𝑂𝐷的值_____． 28．如图，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐵𝐷平分∠𝐴𝐵𝐶，𝐷𝐸⊥𝐵𝐶于点E，且∠𝐵𝐴𝐷+ ∠𝐵𝐶𝐷= 180°． (1)求证：𝐴𝐷= 𝐷𝐶； (2)若𝐵𝐶= 16，𝐴𝐵= 12，求𝐶𝐸的长； (3)若𝐵𝐶+ 𝐴𝐵= 𝑚，请直接写出𝐵𝐸的长． 12 / 21 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 29．小明在数学课外兴趣小组学习中遇到一道题：如图1，已知∠𝑀𝐴𝑁+ ∠𝐷𝐶𝐵= 180°，𝐴𝐶平分∠𝑀𝐴𝑁， 点B、D 分别在𝐴𝑁，𝐴𝑀所在直线上． (1)小明猜想：𝐶𝐷= 𝐶𝐵，以下是小明的思考过程，有两个步骤还空着，请你补充完整证明： 过点C 分别作𝐴𝑀、𝐴𝑁的垂线，垂足分别为E、F ∵𝐴𝐶平分∠𝑀𝐴𝑁， ∴______=______（角平分线上一点到这个角两边的距离相等）， ∵∠𝑀𝐴𝑁+ ∠𝐷𝐶𝐵= 180°，由四边形ABCD 的内角和等于360°， ∴∠𝐴𝐷𝐶+ ∠𝐴𝐵𝐶= 180°， 又∵∠𝐴𝐷𝐶+ ∠𝐶𝐷𝐸= 180°， ∴______=______， 又∵∠𝐶𝐸𝐷= ∠𝐶𝐹𝐵= 90°， ∴△𝐶𝐸𝐷≌△𝐶𝐹𝐵， ∴𝐶𝐷= 𝐶𝐵． (2)如图2，当∠𝐷𝐶𝐵绕点C 逆时针旋转，𝐶𝐷交𝑀𝐴的延长线于点D，𝐶𝐵交射线𝐴𝑁于点B．请证明（1） 中的结论𝐶𝐷= 𝐶𝐵依然成立． (3)如图3，若∠𝑀𝐴𝑁= 120°，写出线段𝐴𝐵、𝐴𝐷、𝐴𝐶之间的数量关系，并证明．（证明方法不限） (4)如图4，△𝐴𝐵𝐶为等边三角形，边长为4，点O 为𝐵𝐶边中点，∠𝐸𝑂𝐹= 120°，其两边分别交𝐴𝐵和𝐶𝐴的 延长线于E、F．求𝐴𝐸−𝐴𝐹=______． 13 / 21 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 30．感知： 如图①，𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶，∠𝐵= ∠𝐶= 180°，易知：𝐷𝐵= 𝐷𝐶． 探究：（1）如图②，在四边形𝐴𝐵𝐷𝐶中，𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶，∠𝐵= 45°, ∠𝐶= 135°，试探究𝐷𝐵与𝐷𝐶的数量 关系． 应用：（2）如图③，在四边形𝐴𝐵𝐷𝐶中，𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶，∠𝐴𝐵𝐷+ ∠𝐴𝐶𝐷= 180°，∠𝐴𝐵𝐷<90°, 𝐷𝐵与𝐷𝐶的 上述关系还成立吗？并说明理由． ◆题型8:倍长中线法模型(难) 31．综合与探究 【阅读理解】 如图1，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 7, 𝐴𝐶= 4，D 是𝐵𝐶的中点，求𝐵𝐶边上的中线𝐴𝐷的取值范围． 小明在小组内经过合作交流，得到了如下的解决思路： 延长𝐴𝐷到点E，使𝐷𝐸= 𝐴𝐷，连接𝐵𝐸． 根据“SAS”可判定△𝐴𝐷𝐶≌△𝐸𝐷𝐵，得𝐵𝐸= 𝐴𝐶= 4， 进而，在△𝐴𝐵𝐸中利用三角形的三边关系求得𝐴𝐸的取值范围，即可求出𝐴𝐷的取值范围． 感悟：当条件中出现“中点”条件时，可以考虑作“辅助线”，构造以中点分成的两条等 线段为边的全等三角形，把分散的已知条件重新“集中”，以解决问题． （1）上述问题中，𝐴𝐷的取值范围是______． 【尝试运用】 14 / 21 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 （2）如图2，在△𝐴𝐵𝐶中，D 是𝐵𝐶的中点，过点C 作𝐶𝐸∥𝐴𝐵，点F 在𝐷𝐴的延长线上，∠𝐷𝐴𝐵= ∠𝐹， 若𝐴𝐵= 10,𝐶𝐸= 3，求𝐸𝐹的长． 【拓展延伸】 （3）如图3，在△𝐴𝐵𝐶中，D 是𝐵𝐶的中点，E 是𝐴𝐷上一点，𝐵𝐸= 𝐴𝐶, 𝐴𝐸= 𝐵𝐷，若∠𝐶𝐴𝐷= 52°，求∠𝐷𝐵𝐸 的度数． 32．【学习问题】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，△𝐴𝐵𝐶中，若𝐴𝐵= 8，𝐴𝐶= 6，求𝐵𝐶边上的中线𝐴𝐷的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图2，延长𝐴𝐷至点𝐸，使𝐷𝐸= 𝐴𝐷，连接𝐵𝐸．请 根据小明的方法思考并解答： （1）①由已知和作图能得到△𝐴𝐷𝐶≌△𝐸𝐷𝐵，依据是 ； A. SSS B. SAS C.AAS D. HL ②由“三角形的三边关系”可求得𝐴𝐷的取值范围是 ； 【学习反思】题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线，构造全等三角形、平行线、平 移线段，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． 【类比运用】 （2）如图3，𝐸是𝐵𝐶中点，点𝐴在𝐷𝐸上，且∠𝐵𝐴𝐸= ∠𝐶𝐷𝐸，求证：𝐴𝐵= 𝐶𝐷； 【拓展运用】 （3）如图4，已知直线𝑚∥𝑛，点𝐴、𝐷是直线𝑚上两点，点𝐵、𝐶是直线𝑛上两点，点𝑃是线段𝐶𝐷中点， 且𝐴𝑃⊥𝐵𝑃，两平行线𝑚、𝑛间的距离为4．求证：𝑃𝐴· 𝑃𝐵= 2𝐴𝐵． 15 / 21 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 33．【方法呈现】 （1）如图①：在 △𝐴𝐵𝐶中，若𝐴𝐵= 6，𝐴𝐶= 4，点D 为𝐵𝐶边的中点.求𝐵𝐶边上的中线𝐴𝐷的取值范围. 解决此问题可以用如下方法：延长𝐴𝐷到点E，使𝐷𝐸= 𝐷𝐴，再连接𝐵𝐸，可证△𝐴𝐶𝐷≌△𝐸𝐵𝐷，从而把 𝐴𝐵, 𝐴𝐶, 2𝐴𝐷（即𝐴𝐸）集中在△𝐴𝐵𝐸中，利用三角形三边的关系可求出𝐴𝐸的取值范围，从而可求出中线 𝐴𝐷的取值范围是 （直接写出范围即可）.这种解决问题的方法我们称为倍长中线法； 【探究应用】 （2）如图②：在 △𝐴𝐵𝐶中，点D 是𝐵𝐶的中点，𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶，判断𝐴𝐵与𝐴𝐶的大小关系，并证明. 【问题拓展】 （3）如图③：在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中， 𝐴𝐵∥𝐶𝐷，𝐴𝐹与𝐷𝐶的延长线交于点F.点E 是𝐵𝐶的中点，若𝐴𝐸是∠𝐵𝐴𝐹 的角平分线. 若𝐴𝐵= 13，𝐶𝐹= 2，求𝐴𝐹的长. 34．发现问题 （1）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图①，在△𝐴𝐵𝐶中，若𝐴𝐵= 3，𝐴𝐶= 2，求𝐵𝐶边 上的中线𝐴𝐷的取值范围．小亮在组内经过合作交流，得到了如下解决方法：延长𝐴𝐷到点𝐸，使𝐷𝐸= 𝐴𝐷， 连接𝐵𝐸，得到△𝐴𝐷𝐶≌△𝐸𝐷𝐵，他用到的判定定理是______；（用字母表示） 解决问题 （2）小刚发现，解题时，条件中若出现“中点”， “中线”字样，可以考虑构造全等三角形，要学好 数学一定要多思考，做到举一反三，于是他又提出了一个新的问题：如图②，在△𝐴𝐵𝐶中，点𝐷是𝐵𝐶的 中点，点𝑀在𝐴𝐵边上，点𝑁在𝐴𝐶边上，若𝐷𝑀⊥𝐷𝑁，求证：𝑀𝑁< 𝐵𝑀+ 𝐶𝑁； 16 / 21 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 拓展应用 （3）如图③，在△𝐴𝐵𝐶中，分别以𝐴𝐵，𝐴𝐶为边向外作△𝐴𝐵𝐸和△𝐴𝐶𝐷，使𝐴𝐸= 𝐴𝐵，𝐴𝐷= 𝐴𝐶，∠𝐸𝐴𝐵= ∠𝐷𝐴𝐶= 90°，点𝑀是𝐵𝐶的中点，连接𝐴𝑀，𝐷𝐸，当𝐴𝑀= 14时，求𝐷𝐸的长． 综合攻坚·知能拔高 1．如图，已知点𝐵，𝐸，𝐶，𝐹在一条直线上，𝐴𝐶= 𝐷𝐸，𝐴𝐶∥𝐷𝐸，∠𝐴= ∠𝐷． (1)请说明△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐹𝐸； (2)若∠𝐴= 70°，∠𝐴𝐶𝐵= 60°，求∠𝐹的度数． 2．小程为了测量一幢高楼高度，在旗杆𝐶𝐷与楼𝐴𝐵之间选定一点P．测得旗杆顶C 视线𝑃𝐶与地面夹角∠𝐷𝑃𝐶= 12°，测得楼顶A 视线𝑃𝐴与地面夹角∠𝐴𝑃𝐵= 78°，量得P 到楼底距离𝑃𝐵与旗杆𝐶𝐷高度相等，都等于10 米，量得旗杆与楼之间距离为𝐷𝐵= 57 米，请你帮小程计算出楼高𝐴𝐵是多少米？ 3．已知：在△𝐴𝐵𝐶和△𝐴𝐷𝐸中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，𝐴𝐷= 𝐴𝐸，∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐷𝐴𝐸= 90°．请判断线段𝐶𝐸和𝐵𝐷有怎样 的关系？请说明理由． 17 / 21 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 4．阅读与思考 再探判定三角形全等的条件 几何主要研究图形形状、大小、位置，若两个三角形形状相同，大小也相同．即这两个三 角形全等．它们通过平移、旋转或轴对称变化可完全重合． 回顾探究判定方法过程：根据条件作三角形，若只可作出唯一的三角形，即可知这些条件 可作为三角形全等的判定方法．小红在已知两边及其一边对角作三角形时，也可作出唯一 三角形，小丽也同样作出唯一三角形． 小红：已知∠𝐴= 120°,𝐴𝐶= 4cm, 𝐵𝐶= 7cm． 如图． 小丽：已知∠𝐴= 90°, 𝐴𝐵= 3cm,𝐵𝐶= 4cm． …… 任务： (1)按照小丽的条件，作出△𝐴𝐵𝐶（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． (2)按照小丽，小红所给条件，作出唯一三角形，但“SSA”未作为判定三角形全等方法，一定有“SSA” 不成立的情况，类比小红、小丽的思路画图举出反例并进行适当的标注说明（作图工具不限）． (3)木工师傅拿一些木条制作四边形模型．已有模型框架如图，木条𝐵𝐷, 𝐴𝐵, 𝐵𝐶钉在同一点𝐵处．此时𝐵𝐷 平分∠𝐴𝐵𝐶，𝑃是𝐵𝐷上固定一点，选取两根长度相等的木条，将两根木条的一端都钉在𝑃处，另一端分 别钉在木条𝐵𝐴, 𝐵𝐶上，师傅钉完后发现有两种不同形状模型．如图1，如图2． 通过测量发现模型2 中四边形𝐵𝑀𝑃𝑁面积比模型1 中四边形𝐵𝐸𝑃𝐹面积大10cm2，且𝐵𝑁= 2𝐵𝐹, 𝐵𝑀= 𝐵𝐸．此时四边形𝐵𝐸𝑃𝐹的面积为______cm2，请说明钉出两种不同模型的原因． 18 / 21 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 5．如图，已知𝐴为线段𝐸𝐵上一点，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，在△𝐴𝐸𝐷中𝐴𝐸= 𝐴𝐷，且∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐸𝐴𝐷，连接 𝐵𝐷、𝐶𝐸，𝐵𝐷分别交𝐶𝐸、𝐴𝐶于点𝐹、𝑁，𝐶𝐸交𝐴𝐷于点𝑀． (1)求证：△𝐴𝐵𝐷≌△𝐴𝐶𝐸； (2)如果∠𝐶𝐴𝐷= 100°，求∠𝐷𝐹𝐸的度数． 6．如图，𝐶𝐴= 𝐶𝐵 ，𝐶𝐷= 𝐶𝐸 ，∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐷𝐶𝐸= 50° ，𝐴𝐷 ，𝐵𝐸 相交于点𝐻 ，连接𝐶𝐻 ． (1)求证：△𝐴𝐶𝐷≌△𝐵𝐶𝐸 ； (2)求∠𝐴𝐻𝐸 的度数． 7．如图，点E 在𝐶𝐷上，𝐵𝐶与𝐴𝐸交于点F，𝐴𝐵= 𝐶𝐵，𝐵𝐸= 𝐵𝐷，∠1 = ∠2 = 50°． 19 / 21 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (1)求证：△𝐴𝐵𝐸≌△𝐶𝐵𝐷； (2)求∠3的度数． 8．本学期，我们学习了“特殊化”问题解决策略，面对一般性问题，可以先考虑特殊情形，通过取特殊点、 特殊位置、特殊数据等简化问题，借助特殊情形下获得的结论或方法解决一般性问题． 【问题提出】如图①，△𝑂𝐴𝐵和△𝑂𝐶𝐷都是等腰三角形，𝑂𝐴= 𝑂𝐵，𝑂𝐶= 𝑂𝐷，∠𝐴𝑂𝐵= ∠𝐶𝑂𝐷= 𝛼， 且点A、C、D 在同一直线上，𝐴𝐶和𝐷𝐵有怎样的关系？ 【问题解决】 如图②中，先设𝛼= 90°，点A、C、D 在同一直线上，则∠𝐴𝑂𝐶与∠𝐵𝑂𝐶互余，∠𝐵𝑂𝐷与∠𝐵𝑂𝐶互余，可 得∠𝐴𝑂𝐶= ∠𝐵𝑂𝐷，再结合相等边就可以证明△𝐴𝑂𝐶≌△𝐵𝑂𝐷，根据全等就可以得到𝐴𝐶= 𝐷𝐵，再根据 全等三角形的对应角，结合对顶角，就能推出∠𝐴𝐷𝐵= 90°，即𝐴𝐶⊥𝐷𝐵： (1)在图③中，若𝛼= 60°，点A、C、D 在同一直线上，判断说明𝐴𝐶和𝐷𝐵数量关系，并求∠𝐴𝐷𝐵的度数； (2)在图④中，若𝛼= 30°，点A、C、D 在同一直线上，则𝐴𝐶和𝐷𝐵的数量关系是____，∠𝐴𝐷𝐵=_____； (3)通过上述特殊化研究，解决在【问题提出】中，𝐴𝐶和𝐷𝐵有怎样的数量关系和位置关系．（位置关系 即求∠𝐴𝐷𝐵） 20 / 21 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 9．数学课上，老师让同学们准备等腰三角形纸片进行操作活动，探究有关线段之间的关系．已知：在△𝐴𝐵𝐶 中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶． 【初步探究】 (1)如图1，若∠𝐵𝐴𝐶= 90°，点𝐷，𝐴，𝐸在直线𝑚上，∠𝐵𝐷𝐴= ∠𝐴𝐸𝐶= ∠𝐵𝐴𝐶，则𝐵𝐷与𝐴𝐸有怎样的数 量关系？请直接写出结论； (2)【变式训练】 如图2，若∠𝐵𝐴𝐶> 90°，点𝐷，𝐴，𝐸在直线𝑚上，∠𝐵𝐷𝐴= ∠𝐴𝐸𝐶= ∠𝐵𝐴𝐶，试判断线段𝐵𝐷、𝐶𝐸和𝐷𝐸的 数量关系，并说明理由． (3)【拓展应用】 如图3，若∠𝐵𝐴𝐶< 90°，𝐴𝐵= 𝐴𝐶= 12 cm，𝐵𝐶= 8 cm，𝐸是𝐴𝐵中点，点𝑃在线段𝐵𝐶上以2 cm/s的速 度由点𝐵到点𝐶运动，同时点𝑄在线段𝐶𝐴上由点𝐶到点𝐴运动，它们运动的时间为𝑡(s)，当点𝑄的运动速度 为多少时，能使△𝐵𝑃𝐸与以𝐶，𝑃，𝑄三点为顶点所构成的三角形全等．（直接写出结果） 10．如图，𝐶𝐷是△𝐴𝐵𝐶的𝐴𝐵边上的高，且𝐶𝐷= 𝐵𝐷，以𝐴𝐶为直角边，在𝐴𝐶上方作△𝐴𝐶𝐸，使∠𝐴𝐶𝐸= 90°， 𝐴𝐶= 𝐶𝐸，过点E 作𝐸𝐹⊥𝐷𝐶，交𝐷𝐶的延长线于点F，连接𝐵𝐸交𝐷𝐹于点H． 21 / 21 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (1)求证：△𝐴𝐷𝐶≌△𝐶𝐹𝐸； (2)求证：𝐷𝐻= 𝐻𝐹； (3)若𝑆△𝐴𝐵𝐶= 8𝑆△𝐻𝐶𝐸，𝐷𝐶= 4，求𝐴𝐵的长．
