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专题03 全等三角形之一线三等角模型与倍长中线模型
常考题型·精准突破
题型1 全等三角形之一线三等角模型（难）
题型2 全等三角形之倍长中线模型（难）
综合攻坚·知能拔高
常考题型·精准突破
◆题型1 全等三角形之一线三等角模型
【常见模型及证法】
1）一线三等角（K 型图）模型（同侧型）
锐角一线三等角
直角一线三等角（“K型图”）
钝角一线三等角
条件：
A
CED
B
，AE=DE；
结论：ABE
ECD
，AB+CD=BC。
2）一线三等角（K型图）模型（异侧型）
锐角一线三等角
直角一线三等角
钝角一线三等角
条件：
DCF
ABC
AED
，AE=DE； 结论：ABE
ECD
，AB-CD=BC。
1）（同侧型）证明：∵∠AEC=∠B+∠BAE，∠B=∠AED，∴∠AEC=∠AED+∠BAE，
∵∠AEC=∠AED+∠CED，∴∠BAE=∠CED。
在△ABE 和△ECD 中，∠B=∠C，∠BAE=∠CED，AE=ED；∴ABE
ECD
，
∴AB
EC
，BE
CD
，∵BC=BE+EC，∴AB+CD=BC。
2）（异侧型）证明：∵
DCF
ABC
，∴∠ECD=∠ABE，
∵
ABC
AEB
A
，∠AED=∠AEB+∠CED，
ABC
AED
，
∴∠AEB+∠A=∠AEB+∠CED，∴∠A=∠CED，
在△ABE 和△ECD 中，∠A=∠CED，∠ECD=∠ABE，AE=ED；∴ABE
ECD
，
∴AB
EC
，BE
CD
，∵BC=EC-BE，∴AB-CD=BC。
1．（25-26 七年级下·广东深圳·期末）在不同情境下探究三角形的关系．
(1)如图（a），
90
MAN
° ，射线AE 在这个角的内部，点B ，C 分别在
MAN
的边AM ，AN 上，且
AB
AC
，CF
AE
^
，垂足为F ，BD
AE
^
，垂足为D ，ABD
与CAF
全等吗？请说明理由；
(2)如图（b），点B ，C 分别在
MAN
的边AM ，AN 上，点E ，F 都在
MAN
内部的射线AD 上．已知
AB
AC
，且1
2
BAC
，ABE
与CAF
全等吗？请说明理由．
2．（25-26 七年级下·辽宁沈阳·期末）根据图形解决以下问题
(1)如图1，在等腰直角ABC
中，
90
ACB
°，CA
CB
，直线l 经过点C，过点A 作AD
l
^ 于点D，过点
B 作BE
l
^ 于点E，求证：△
≌△
ADC
CEB ；
(2)在等腰直角ABC
中，
90
ACB
°，CA
CB
，点D 是直线AB 上一动点，分别过点
,
A B 作直线CD 的垂
线，垂足分别为点
,
E F ；
①如图2，点D 在线段AB 上，
AEC
△
与CFB
是否全等？请说明理由；
②如图3，点D 在线段AB 延长线上，若
1
BF ，
3
AE
，请直接写出线段EF 的长．
3．（24-25 七年级下·广东揭阳·阶段检测）综合实践：
(1)如图1，在ABC
中，
90
BAC
AB
AC
°
，
，直线l 经过点A，分别从点B，C 向直线l 作垂线，垂足分
别为D，E．求证：
ABD
CAE
≌
△
△
；
【变式探究】
(2)如图2，在ABC
中，AB
AC
，直线l 经过点A，点D，E 分别在直线l 上，如果
CEA
ADB
BAC
，猜想DE
BD
CE
，
，
有何数量关系，并说明理由；
【拓展应用】
(3)小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图3 所示，以ABC
的边AB
AC
，
为一边向外
作BAD
和CAE
，其中
90
BAD
CAE
°，AB
AD
AC
AE
，
，AG 是边BC 上的高．延长GA交DE
于点H，设ADH
的面积为
1S ，AEH
的面积为
2
S ，猜想
1
2
S
S
，
大小关系，并说明理由．
◆题型2 全等三角形之倍长中线模型
【常见模型及证法】
1）倍长中线模型（中线型）
条件：AD 为△ABC 的中线。
结论：ABD
ECD
证明：延长AD至点E，使DE=AD，连结CE。
∵AD为△ABC的中线，∴BD=CD，∵∠BDA=∠CDE，∴△ABD≌△ECD（SAS）
2）倍长类中线模型（中点型）
条件：△ABC 中，D 为BC 边的中点，E 为AB 边上一点（不同于端点）。 结论：△EDB≌△FDC。
证明：延长ED，使DF=DE，连接CF。
∵D 为BC 边的中点，∴BD=DC，∵∠BDE=∠CDF，∴△EDB≌△FDC（SAS）
4．（25-26 七年级下·山东枣庄·期末）【问题情境】
课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图①，ABC
中，若
10
AB
，
6
AC
，求BC 边上的中线AD 的取值范围．小明在组内经过合作交流，
得到了如下的解决方法：延长AD 到E，使DE
AD
，连接BE．请根据小明的方法思考：
(1)由已知和作图能得到ADC
EDB
≌
，依据是___________．
A．SSS B．SAS C．AAS D．HL
(2)由“三角形的三边关系”可求得AD 的取值范围是___________；
解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求
证的结论集中到同一个三角形之中．
【灵活运用】
(3)如图②，AD 是ABC
的中线，BE 交AC 于E，交AD 于F，AE
EF
．若
6
EF
，
4
EC
，求线段BF
的长．
5．（25-26 七年级下·广东深圳·期中）在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种方法叫倍长中线法．
(1)【问题背景】如图1，AD 是ABC
的中线，
8,
5
AB
AC
，求AD 的取值范围．
我们可以延长AD 到点E ，使DE
AD
，连接BE ，根据SAS 可证
ADC
EDB
≌
△
△
，所以BE
AC
．接下
来，在ABE
中利用三角形的三边关系可求得AE 的取值范围，从而得到中线AD 的取值范围．请按照上述
思路，写出求解AD 的取值范围的完整过程；
(2)【变式思考】如图2，ABC
中，AD 是中线，分别以
,
AB AC 为腰向外作等腰Rt ABE
和等腰Rt ACF
，
,
,
90
AB
AE AC
AF
BAE
CAF
° ，连接EF ．求证：
2
EF
AD
；
(3)【探究延伸】如图3，在四边形ABCD 中，对角线
,
AC BD 相交于点
,
180
E
BAC
BAD
° ，点F 是BC
的中点，
CEF
ADB
，当
6
EF
时，求BD 的长．
6．（25-26 七年级下·江西吉安·期末）阅读以下材料，完成以下两个问题．
【阅读材料】已知：如图，ABC
（AB
AC
¹
）中，D、E 在BC 上，且DE
EC
，过D 作DF
BA
∥
交AE
于点F，DF
AC
．求证：AE 平分
BAC
．
结合此题，DE
EC
，点E 是DC 的中点，考虑倍长，并且要考虑连接哪两点，目的是证明全等，从而转
移边和角．有两种考虑方法：①考虑倍长FE ，如图（1）所示；②考虑倍长AE ，如图（2）所示
(1)请选择方法①或方法②，完成阅读材料中的证明．
(2)根据上述材料，完成下列问题：
已知，如图3，在ABC
中，AD 是BC 边上的中线，分别以AB ，AC 为直角边向外作等腰直角三角形，
90
BAE
CAF
° ，AE
AB
，AC
AF
，证明：
^
AD
EF ；
(3) ABC
与AEF
面积之间的关系，并说明理由．
综合攻坚·知能拔高
一、单选题
1．（2026·江苏无锡·一模）已知ABC
中，
6
AB
，
7
AC
，则中线AD 的长可以是（ ）
A．6
B．7
C．8
D．9
2．
（2026·重庆·模拟预测）如图，
90
9cm
3cm
AC
CE
ACE
AB
BD
ED
BD
AB
DE
°
^
^
，
，
，
，
，
，则BD
等于（ ）
A．6cm
B．9cm
C．12cm
D．15cm
3．（25-26 七年级下·重庆奉节·期末）如图，在ABC
中，点D 为AC 的中点，点E 是AC 下方一点，连接
BE ，CE ．BD 平分
ABE
，CE
AB
P
．若
3
CE
，
8
BE ，则AB 的长为（ ）
A．8
B．10
C．11
D．12
二、填空题
4．（25-26 七年级下·辽宁辽阳·期末）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图，在ABC
中，
8
AB
，
6
AC
，求BC 边上的中线AD 的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：
延长AD 至点E ，使DE
AD
，连接CE ．依据小明的方法，可求得AD 的取值范围是____________．
5．
（25-26 七年级下·山西运城·期末）如图，在ABC
中，
90
ABC
°，BE
AC
^
于点F ，
2
EF
BF
，ED
BC
^
交BC 的延长线于点D ，AB
BD
．若
2cm
BF
，则AC ______ cm ．
6．（25-26 八年级上·北京·期中）如图，ABC
和ADE
都是等腰直角三角形，
90
BAC
DAE
°，连接CE
交AD 于点F ，连接BD 交CE 于点G ，连接BE ，CD，点H 是CD的中点，延长HA 交BE 于点K ，下列结
论：①CE
BD
；②
ADC
是等腰直角三角形；③
ADB
AEB
；④
2
BE
AH
；⑤HK
BE
^
；其中正
确的是______．（填序号）
三、解答题
7．
（25-26 八年级上·山东日照·阶段检测）
（1）如图1，C、A、E 在一条直线上，
90 ,
,
BAD
AB
AD BC
CA
°
^
于点C，DE
AE
^
于点E．求证：BC
AE
．
（2）如图2，EA
AB
^
且
,
AE
AB BC
CD
^
且BC
CD
，计算图中实线所围成的图形ABCDE 的面积．
（3）如图3，
90 ,
,
BAD
CAE
AB
AD AC
AE
°
，连接BC 、DE ，且BC
AF
^
于点F，DE 与AF 交
于点G，若
21,
12
BC
AF
，求
ADG
△
的面积．
8．（25-26 八年级上·安徽淮南·阶段检测）为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，
小丽在组内做了如下尝试：如图1，在ABC
中，AD 是BC 边上的中线，延长AD 至点M ，使DM
AD
，
连接BM ．
【探究发现】
（1）如图1，求证：AC
BM
且AC
BM
∥
；
【初步应用】
（2）如图2，在ABC
中，若
12
AB
，
8
AC ，求BC 边上的中线AD 的取值范围；
【探究提升】
（3）如图3，AD 是ABC
的中线，过点A 分别向外作AE
AB
^
，AF
AC
^
，使得AE
AB
，AF
AC
，连
接EF ，延长DA 交EF 于点P ，直接写出线段EF 与AD 的数量关系和位置关系，无需证明．
9．（25-26 八年级上·内蒙古通辽·期中）【基础回顾】
（1）如图1，在ABC
中，
90
BAC
° ，AB
AC
，直线l 经过点A ，分别从点B ，C 向直线l 作垂线，垂
足分别为D ，E ．求证：
ABD
CAE
△
△
≌
；
【变式探究】
（2）如图2，在ABC
中，AB
AC
，直线l 经过点A ，点D ，E 分别在直线l 上，如果
CEA
ADB
BAC
，求证：ED
BD
CE
；
【拓展应用】
（3）小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图3 所示，以ABC
的边AB ，AC 为一边
向外作BAD
和CAE
，其中
90
BAD
CAE
°，AB
AD
，AC
AE
，AG 是边BC 上的高．延长GA
交DE 于点H ，设ADH
的面积为
1S ，AEH
的面积为
2
S ，猜想
1S ，
2
S 大小关系，并说明理由．
10．（25-26 八年级上·江西赣州·期末）【发现问题】数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图①，
5
3
AB
AC
，
，中线AD 的取值范围是多少？
【探究方法】
（1）第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法：
①延长AD 到E ， 使得DE
AD
； ②连接BE ， 通过三角形全等把AB 、AC 、2AD 转化在ABE
中； ③
利用三角形的三边关系可得AE 的取值范围为AB
BE
AE
AB
BE
-
<
<
， 从而得到AD 的取值范围是 ；
方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形．
【问题拓展】
（2） 如图②，OA
OB
OC
OD
，
，
AOB
与
COD
互补， 连接AC ， BD ， E 是AC 的中点，求证：
1
;
2
OE
BD
（3） 如图③， 在（2） 的条件下， 若
90
AOB
° ， 延长EO 交BD 于点F ，
2
5
OF
OE
，
，求AOC
的面积．
11．（24-25 七年级下·上海·阶段检测）某校七年级学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基
本图形．
(1)如图①，在ABC
中，
90
BAC
° ，AB
AC
，直线l 经过点A，BD ^ 直线l，CE ^ 直线l，垂足分别为
D、E．可证得：DE 、BD 、CE 的数量关系为 ；
(2)组员小丽想，如果将图①中的直角变式为一般情况，那么结论是否成立呢？如图②，将（1）中的条件
改为：在ABC
中，AB
AC
，D、A、E 三点都在直线l 上，并且有
BDA
AEC
BAC
a
，其中α
为任意钝角．请问（1）中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
(3)数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用以上结论来解决问题：如图③，以ABC
的边AB 、AC
为腰向外作等腰直角ABE
和ACG
，其中
90
BAE
CAG
° ，若AH
BC
^
，垂足为点H，延长HA 交EG
于点M．求证：点M 是EG 的中点．
12．（25-26 八年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）【学习问题】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图1，ABC
中，若
8
AB
，
6
AC
，求BC 边上的中线AD 的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图2 ，延长AD 至点E ，使DE
AD
，连接BE ．请
根据小明的方法思考并解答：
（1）①由已知和作图能得到ADC
EDB
≌
，依据是 ；
A.SSS B.SAS C.AAS D.HL
②由“三角形的三边关系”可求得AD 的取值范围是 ；
【学习反思】题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线，构造全等三角形、平行线、平移线段，
把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中．
【类比运用】
（2 ）如图3，E 是BC 中点，点A 在DE 上，且
BAE
CDE
，求证：AB
CD
；
【拓展运用】
（3）如图4 ，已知直线
//
m n ，点A 、D 是直线m 上两点，点B 、C 是直线n 上两点，点P 是线段CD 中点，
且AP
BP
^
，两平行线m 、n 间的距离为4 ．求证：
·
2
PA PB
AB
．
