文档文本内容
专题03 有理数运算中的新定义型及规律探究问题
常考题型·精准突破
题型1 有理数运算中的程序问题（重）
题型2 古代中的有理数运算问题
题型3 有理数运算的实际应用问题（高频）
题型4 有理数运算中的新定义型问题
题型5 有理数运算中的规律探究问题（难）
综合攻坚·知能拔高
常考题型·精准突破
◆题型1 有理数运算中的程序问题
1．（25-26 七年级上·河南鹤壁·期中）按如图所示的程序计算，如果输入1
- ，则输出的结果为______．
2．（25-26 七年级上·江苏常州·阶段检测）按如图所示的程序进行计算，如果输入的数是72，则最后输出的
结果是________ ．
3．（25-26 七年级上·广西崇左·期末）如图，是一个有理数混合运算程序的流程图，请根据这个程序回答问
题：当输入的x 为16
-
时，最后输出的结果y 是多少？（写出计算过程）
◆题型2 古代中的有理数运算问题
4．（25-26 七年级上·河南周口·期末）我国古代天文学和数学著作《周髀算经》中提到：一年有二十四个节
气，每个节气的晷（guǐ）长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度），二
十四节气如图所示．从冬至到夏至晷长逐渐变小，从夏至到冬至晷长逐渐变大，相邻两个节气晷长减少或
增加的量均相同，周而复始．若秋分的“晷长”是7.5尺，霜降的“晷长”是9.5尺，则小雪的“晷长”是_________
尺．
5．（25-26 七年级上·湖北武汉·期中）不同进位制的数之间可以转换．例如：八进制数
8
365
换算成十进制
数是
2
1
0
3 8
6 8
5 8
245
´
+ ´
+ ´
=
．
(1)直接写出二进制数
2
1101
换算成十进制数的结果；
(2)计算
2
2
110110
1101
-
；
(3)我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，如图，是一位书生在从
右到左依次排列的绳子上打结，满六进一，记录了他准备科举考试的学习天数，直接写出该书生努力学习
的天数；
(4)直接写出十进制数2025 换算成八进制数的结果．
6．（25-26 七年级上·广东中山·期中）新数学教材注重把古代数学经典问题古为今用．
(1)如图1 是中国古代“洛书”的一部分，洛书中用实心点或空心点的个数表示数字，纵、横、斜三条线上的
三个数字，其和都相等，请求出右下角代表的数．
(2)第十四届国际数学教育大会
14
ICME -
会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文
化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8 作为进位基数的数
字系统，有0
7
:
共8 个基本数字．八进制数3745 换算成十进制数是
3
2
1
0
3 8
7
8
4
8
5 8
2021
´
+
´
+
´
+
´
=
，表
示
14
ICME -
的举办年份．问：八进制2026 换算成十进制是多少？（注：
08
1
= ）
◆题型3 有理数运算的实际应用问题
7．（25-26 七年级上·山东德州·期中）某检修小组从A 地出发，在东西向的马路上检修线路，如果规定向东
行驶为正，向西行驶为负，一天中七次行驶记录如下．
（单位：km ）4, 7, 9, 8, 6, 5, 2
-
+
-
+
+
-
-
(1)在第几次记录时距A 地最远．
(2)求收工时在A 地的什么方向？距A 地多远？
(3)若每千米耗油0.3 升，问共耗油多少升？
8．（25-26 七年级上·陕西西安·阶段检测）为切实做好校园周边的安保工作，一辆巡逻车从西安某菁英学校
出发，在东西向的笔直的马路上巡视，中午到达A 地，若规定以学校为原点，向东行驶为正，向西行驶为
负，则巡逻车的行驶记录如下表：（单位：千米）
次数
第一次
第二次
第三次
第四次
第五次
行驶情况
7
+
6
-
5
-
2
-
8
+
(1)请你帮忙确定A 地在学校的什么方向？距离学校多远？
(2)出发时李警官发现汽车油表显示余油27 升，当第四次行驶结束时发现油表显示余油7.8 升，请通过计算
说明，巡逻车平均每千米耗油多少升？
9．（25-26 七年级上·广东梅州·期中）某中学饭堂出售一种成本价为每块3.5 元的“桃李手撕面包”，售价为每
块6 元，新学期第一个月为了吸引学生，于是张贴出了宣传海报：“桃李手撕面包”大酬宾，每块4.5 元．从
第二个月开始每块恢复为6 元，月末结算时，以每周销售200 块为标准，多卖的记为正，少卖的记为负，
这周的销售情况如表：
周次
一
二
三
四
销售量
28
16
6
-
12
-
(1)开学第一月中，最小销售量是第______周，销售量最高的那周销售额是______元．
(2)开学第一月的总盈利是多少元?（盈利=销售额-成本）
(3)为了拓展学生消费群体，该饭堂又决定在第二个月实行两种优惠方案：
方案一：凡来饭堂购买该面包，每块面包降价0.3元；
方案二：凡一次性购买3 块以上者，其中3 块按照原价销售，超过3 块的部分可直接打九折．
若有人一次性购买7 块，且只能选择其中一种方案购买，该饭堂更希望以哪种方案卖出?
◆题型4 有理数运算中的新定义型问题
10．（25-26 七年级上·陕西咸阳·期中）新定义：妙想在学习完有理数的运算后，借助有理数的运算，定义了
一种新运算“※”，规定如下：对于任意有理数a，b，满足
2
a
b
a b
ab
=
+
※
．
(1)求
2
3
-
※ 的值；
(2)求
5
4
2û
-
-
é
ù
ë
※
※
．
11．（25-26 七年级上·江苏苏州·阶段检测）定义新运算：
2
a
b
a
b
Ä
=
-
，如
2
3
2
3
2
9
2
11
Ä -
=
- -
=
+
=
，计
算下列各式．
(1)
2
5
-
Ä ；
(2)
3
0
3
-
Ä
Ä -
é
ù
ë
û ．
12．（23-24 七年级上·广东广州·期末）定义新运算：求若干个相同的有理数
0
a a ¹
的除法运算叫做除方．
n
a
a
a
a
a
¸
¸
¸¼¸
1442443
个
记作aⓝ，比如把2
2
2
¸
¸ 记作2③，
3
3
3
3
-
¸ -
¸ -
¸ -
记作( 3)
-
④．特别地，规定a
a
=
①
．
(1)根据除方的定义，
2
2
2
2
2
-
¸ -
¸ -
¸ -
¸ -
可记作____________；
(2)直接写出计算结果：2023
=
②
____________；
(3)计算：
2
4
( 2)
( 1)
-
¸ -
+ -
③
⑥；
(4)对于有理数
0 ,
3
a a
n
¹
³
时， aⓝ= ____________．
◆题型5 有理数运算中的规律探究问题
13．（25-26 七年级上·江苏徐州·阶段检测）观察下列各式，回答问题
2
1
1
3
1
2
2
2
-
=
´
，
2
1
2
4
1
3
3
3
-
=
´
，
2
1
3
5
1
4
4
4
-
=
´
…
按上述规律填空：
(1)
2
1
1 100
-
= ________´________．
(2)计算：
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
2
3
2022
2023
æ
ö æ
ö
æ
ö æ
ö
-
´
-
´
´
-
´
-
=
ç
÷ ç
÷
ç
÷ ç
÷
è
ø è
ø
è
ø è
ø
L
________．
14．（25-26 七年级下·安徽亳州·期末）观察以下等式：
第1 个等式：
2
1
1
1
1
2
1
2
1
3
æ
ö
=
´
-
ç
÷
-
è
ø ，
第2 个等式：
2
1
1
1
1
4
1
2
3
5
æ
ö
=
´
-
ç
÷
-
è
ø，
第3 个等式：
2
1
1
1
1
6
1
2
5
7
æ
ö
=
´
-
ç
÷
-
è
ø ，
第4 个等式：
2
1
1
1
1
8
1
2
7
9
æ
ö
=
´
-
ç
÷
-
è
ø ，
…
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第5 个等式：____________________；
(2)运用你发现的规律求
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
2
1
4
1
6
1
8
1
100
1
+
+
+
+×××+
-
-
-
-
- 的值．
15．（25-26 七年级上·江苏镇江·期中）观察下列等式：
第1 个等式：
2
3
1
1
=
；
第2 个等式：
2
3
3
1
2
1
2
+
=
+
；
第3 个等式：
2
3
3
3
1
2
3
1
2
3
+
+
=
+
+
；
第4 个等式：
2
3
3
3
3
1
2
3
4
1
2
3
4
+
+ +
=
+
+
+
；
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第5 个等式：______；
(2)计算：
3
3
3
3
3
1
2
3
4
10
+
+
+
+
+
=
L
______；
(3)利用你发现的规律计算
3
3
3
3
3
6
7
8
9
10
+
+
+
+
值．
综合攻坚·知能拔高
一、单选题
1．现定义新运算“※”，对任意有理数a 、b ，规定a ※
b
b
a
ab
=
-
，则1 2024
- ※
的值（ ）
A．-2025
B．2024
-
C．2024
D．2025
2．定义一种新运算：对于任何有理数a 和b ，规定：
2
a
b
ab
b
=
+
※
．如
2
1 2
1 2
2
6
= ´
+
=
※
，则
4
2
-
※ 的值
为（ ）
A．4
-
B．8
C．4
D．8
-
3．乐乐在数学学习中遇到了神奇的“数值转换机”，按如图所示的程序运算，如果输入1，则输出的结果是
（ ）
A．1
B．5
-
C．13
-
D．13
4．定义一种对正整数n 的“ F ”运算：①当n 为奇数时，
3
1
F n
n
=
+ ；②当n 为偶数时，
2k
n
F n =
（其
中k 是使
F n 为奇数的正整数），两种运算交替进行，例如，取
12
n =
，则有
，按此规律继续计算，则第2025 次“ F ”运算的结果是（ ）
A．1
B．3
C．4
D．5
5．如图1，八卦图是中国古代传下来的图形，八卦各有三爻（yáo），“乾、坤、震、巽、坎、离、艮、兑”
分立八方，分别代表“天、地、雷、风、水、火、山、泽”八种性质与自然现象，世间万物皆可分类归至八卦
之中，它亦是二进制与电子计算机的古老始祖．易经八卦中阴爻用中断线“--”表示或数字“0”表示，阳爻用
连线“—”表示或数字“1”表示．十进制的有理数“3”可以用图2 中八卦符号表示的是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
6．对非零有理数a，b 定义一种运算Ä，其规则是：
1
1
a
b
b
a
Ä
= -
¸
，则
3
2
-
Ä -
=
．
7．如图是一个数值转换机，当输入的数字
3
n = - 时，按照图中的程序计算，输出的答案为
8．我国古代典籍《庄子·天下篇》中有这样一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”．现有一根长为1 尺
的木杆，第1 次截取其长度的一半，第2 次截取其第1 次剩下长度的一半，第3 次截取其第2 次剩下长度
的一半，如此反复，则第99 次截取后，此木杆剩下的长度为
．
9．定义一种运算符号“※”：
2
2
,
,
m
mn m
n
m
n
mn
n
m
n
ì
-
³
ï
= í
-
<
ïî
※
．例如：
2
( 2)
4
4
4 ( 2)
24
-
=
- ´ -
=
※
，根据定义的运算
法则，解决下列问题：
（1）
4
2
-
=
※
；
（2）
3
2
3
-
-
-
=
é
ù
ë
û
※
※
．
10．用二维码可以进行身份识别，某校建立了一个身份识别系统，图1 是某个学生的识别图案，黑色小正
方形表示1，白色小正方形表示0，将每一行数字从左到右依次记为a，b，c，d，其序号为
3
2
2
2
2
a
b
c
d
´
+ ´
+ ´
+
．例如第一行数字从左往右依次是0，1，1，0，则表示的序号为
3
2
0 2
1 2
1 2
0
6
´
+ ´
+ ´
+
=
，
以此规律，第二行序号表示2，第三行序号表示2，第四行序号表示9，该生为6 年级2 班29 号，图2 学生
识别为五年级，则要在(
)涂黑．
三、解答题
11．现定义一种新的运算，规定：
2
1
a
b
a
ab
=
+
-
※
，其中a，b 均为有理数，例如：
2
1 2
1
1 2
1
2
=
+ ´
- =
※
．求：
(1)
3
-
※
2
-
的值；
(2)
3
2
5
2
2
é
ù
æ
ö
-
-
-
é
ù
ç
÷
ê
ú
ë
û
è
ø
ë
û
※
※
的值．
12．按图中程序计算，并根据要求求出输出的结果．
(1)当输入的数为3 时，直接写出输出结果为______；
(2)设输入的数记作x ，且
5
x =
，求出输出的结果．
13．（25-26 七年级上·河北衡水·期末）浆水苹果是河北省邢台市邢台县浆水镇特产．某电商把浆水苹果放到
了网上售卖，原计划每天卖100kg ，但实际每天的销量与计划相比有出入，下表是某一周的销售情况（超额
记为正，不足记为负，单位：kg ）．
星期
一
二
三
四
五
六
日
销售情
况
5
+
2
+
3
-
10
+
7
-
15
+
8
-
(1)根据表中的数据可知实际最接近原计划一天的销售量的是星期 ，这天的销售量为 kg ；
(2)根据表中数据，销量最多的一天比销量最少的一天多销售多少千克？
(3)若电商以5.5 元/kg 的价格购进浆水苹果，又按8 元/kg 的价格出售，且电商需为买家按0.5 元/kg 的价格
支付运费，求电商这一周一共赚了多少钱．
14．观察下列等式：
第1 个等式：1
1
2
1 2
2 3
1 2 3
-
=
´
´
´ ´ ；
第2 个等式：
1
1
2
2 3
3 4
2 3 4
-
=
´
´
´ ´
；
第3 个等式：
1
1
2
;
3 4
4
5
3 4
5
-
=
´
´
´ ´
LL
按照以上规律，解决下列问题：
(1)请直接写出第4 个等式：______________________；
(2)利用规律计算：
1
1
1
1 2 3
2 3 4
3 4 5
+
+
´ ´
´ ´
´ ´
的值；
(3)直接写出
1
1
4
5 6
8
9 10
+
+
´ ´
´ ´
L
的值．
15．概念感知：第十四届国际数学教育大会（
14
ICME -
）会徽（如图1）的主题图案有着丰富的数学元素，
展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制
是以8 作为进位基数的数字系统，有0~7 共8 个基本数字，八进制数3745 换算成十进制数是
3
2
1
0
3 8
7
8
4
8
5 8
2021
´
+
´
+
´
+
´
=
，表示
14
ICME -
的举办年份．（注：除0 以外的数的0 次方都是1）
(1)请把八进制数2163 换算成十进制数；
(2)应用拓展：我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，如图2，一位
妇女在从右到左依次排列的绳子上打结来记录采集到的野果数量，满六进一，她一共采集到的野果数量为
多少个?
16．定义新运算：
1
1
*
a b
a
b
=
-
，
1
a
b
ab
Ä
=
，（右边的运算为平常的加、减、乘、除）．
例如：
1
1
4
3*7
3
7
21
=
-
=
，
1
1
3
7
3 7
21
Ä
=
=
´
．
若
*
a
b
a b
Ä
=
，则称有理数a，b 为“隔一数对”．
例如：
1
1
2
3
2 3
6
Ä
=
=
´
，
1
1
1
2*3
2
3
6
=
-
=
，2
3
2*3
Ä
=
，所以2，3 就是一对“隔一数对”，
(1)下列各组数是“隔一数对”的是_____（请填序号）．
①
1
a = ，
2
b =
②
4
3
a = -
，
1
3
b = -
③
1
a = - ，
1
b =
(2)计算：
3 *4
3
4
2024 *
2024
-
- -
Ä
+ -
-
．
17．【概念学习】定义：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如2
2
2
¸
¸ 、
3
3
3
3
-
¸ -
¸ -
¸ -
等．类比有理数的乘方，我们把2
2
2
¸
¸ 记作
32 ，读作“2 的下3 次方”，
3
3
3
3
-
¸ -
¸ -
¸ -
记作
4
3
-
，读作“ 3
- 的下4 次方”一般地，把
0
a
a
a
a a
¸
¸×××××׸ ¸
¹
记作
na ，读作
“a 的下n 次方”．
（1）直接写出计算结果：
32 = ______，
3
1
2
æ
ö =
ç
÷
è
ø
______．
【深入探究】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数
的除方运算如何转化为乘方运算呢？
例如：
2
4
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
æ
ö
=
¸
¸
¸
=
´
´
´
= ç
÷
è
ø
．
（2）仿照上面的算式，将下列运算写成幂的形式：
6
2 = ______，
7
1
3
æ
ö
-
=
ç
÷
è
ø
______．
（3）将一个非零有理数a 的下n 次方写成幂的形式是：
na = ______．
（4）【结论应用】计算：
2
3
6
4
6
1
1
12
2
3
3
3
æ
ö
æ
ö
¸ -
´ -
- -
¸
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
．
18．在一次综合实践活动课上，张老师给每位同学各发了一张正方形纸片，请同学们思考如何通过折纸的
方法求出
6
1
1
1
1
2
4
8
2
+
+
+¼+
的值．
【操作探究】“乘风”小组的同学经过一番思考和讨论交流后，进行了如下操作：如图1，将一个边长为1 的
正方形纸片分割成7 个部分，第①部分是边长为1 的正方形纸片面积的一半，第②部分是第①部分面积的
一半，第③部分是第②部分面积的一半，¼，依次类推，则图1 中空白部分的面积为
6
1
1
1
1
2
4
8
2
+
+
+¼+
．
“破浪”小组是这样思考的：设
6
1
1
1
1
2
4
8
2
S =
+
+
+¼+
，
将等式两边同时乘以
1
2 得：
6
7
1
1
1
1
1
2
4
8
2
2
S =
+
+¼+
+
，
将上式减去下式得
7
1
1
1
2
2
2
S =
-
，即
6
1
63
1
2
64
S = -
=
，即
6
1
1
1
1
63
2
4
8
2
64
+
+
+¼+
=
．
【过程思考】
(1)图1 中阴影部分的面积是 ，
7
1
1
1
1
2
4
8
2
+
+
+¼+
= ．
(2)请你利用图2，再设计能求
6
1
1
1
1
2
4
8
2
+
+
+¼+
的值的几何图形．（只画出图形即可）
(3)根据以上规律，
①1
1
1
1
2
4
8
2n
+
+
+¼+
= ．（n 为正整数）
②2
4
8
16
2n
+
+
+
+¼+
= ．（n 为正整数）
