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1 / 44 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 专题03 勾股定理的应用 常考题型·精准突破 题型1 勾股定理应用之梯子滑落高度（重） 题型2 勾股定理应用之旗杆高度（高频） 题型3 勾股定理应用之小鸟飞行的距离（高频） 题型4 勾股定理应用之大树折断前的高度 题型5 勾股定理应用之水杯中的筷子问题 题型6 勾股定理应用之航海问题（重） 题型7 勾股定理应用之河的宽度 题型8 勾股定理应用之台阶上地毯长度 题型9 勾股定理应用之汽车是否超速问题（高频） 题型10 勾股定理应用之是否受台风影响问题（高频） 题型11 勾股定理应用之选扯距离相离问题（难） 题型12 勾股定理应用之几何图形中最短路径问题（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1 勾股定理应用之梯子滑落高度 1．（25-26 八年级下·辽宁大连·期末）如图，一架2.5 m 长的梯子AB 斜靠在一竖直的墙AC 上， 90 C = ， 这时，梯子的底端B 到墙底C 的距离BC 为0.7 m ． (1)求此时梯子的顶端A距地面的高度AC ． (2)如果梯子的顶端A沿墙下滑0.4 m ，那么梯子底端B 外移0.4 m 吗？通过计算说明你的结论． 【答案】(1)2.4m (2)梯子底端B 外移不是0.4m， 理由：由图可知梯子的顶端A 沿墙下滑0.4m后， 2 / 44 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ( ) = 0.4=2.4 0.4=2 m A C AC − − ， 2.5m A B AB ＝ ＝ ， ∴ ( ) 2 2 2 2 2.5 2 1.5 m B C A B A C − = = = − ， ∴ ( ) 1.5 0.7 0.8 m BB B C BC = − = − = ， 所以梯子底端B 外移不是0.4m． 【分析】（1）根据勾股定理 2 2 2 AC BC AB + = 计算AC 的长度即可； （2）先根据顶端下滑的距离计算出下滑后顶端到地面的高度A C ，再用勾股定理计算出新的底端到墙底的 距离CB，最后将CB与BC 的差和0.4m比较即可． 【详解】（1）解：∵ 90 C ＝ ， 2.5m 0.7m AB BC ＝ ， ＝ ， ∴ ( ) 2 2 2 2 2.5 0.7 2.4 AC AB BC m = − = − = ， 答：此时梯子的顶端A 距地面的高度AC 为2.4m； （2）略． 2．（25-26 八年级下·山东德州·期末）消防车上的云梯示意图如图1所示，云梯最多只能伸长到25 米，消防 车高5米，如图2 ，某栋楼发生火灾，在这栋楼的B 处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最 长，此时消防车的位置A与楼房的距离OA为15米． (1)求B 处与地面的距离； (2)完成B 处的救援后，消防员发现在B 处的上方4 米的D 处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩， 消防车从A处向着火的楼房靠近的距离AC 为多少米？ 【答案】(1) B 处与地面的距离是25 米 (2)消防车从A处向着火的楼房靠近的距离AC 为8米 【分析】（1）利用勾股定理求出OB 的长度，再根据BE OB OE = + 求出B 处与地面的距离； （2）利用勾股定理求出OC 的长度，根据AC OA OC = − 求出结果． 【详解】（1）解：在Rt OAB 中， 25 AB = 米， 15 OA= 米， 5 OE = 米， 2 2 2 2 25 15 20 OB AB OA = − = − = （米）， 20 5 25 BE OB OE = + = + = （米）， 3 / 44 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 答：B 处与地面的距离是25 米； （2）解：由题意得 4 BD = 米， 25 CD = 米， 20 4 24 OD OB BD = + = + = （米）， 2 2 2 2 2 2 25 25 24 7 OC CD OD OD = − = − = − = （米）， 15 7 8 AC OA OC = − = − = （米）． 答：消防车从A处向着火的楼房靠近的距离AC 为8米． 3．（25-26 七年级下·山东济南·期末）认真阅读下面表格中的实验探究内容并完成其中的任务． 实验情景示 意图 实验使用装 置 ①一根不可伸缩的绳子绕过定滑轮A，一端固定在滑块B 上，另一端固定 在物体C 上；（A、B 、C 可以视作三个点）②滑块B 可在水平直轨道上 左右滑动，以调节物体C 的高度． 初始状态 （图1）物体C 静止在轨道上，其到滑轮A的垂直距离为8 dm ，到滑块B 的水平距离为6dm ．（即 8 dm AC = ， 6 dm BC = ） 实验条件 绳子始终绷紧，滑轮、滑块及物体的大小均可忽略． 任务 (1)求绳子的总长度； (2)（图2）若物体C 升高7 dm ，求滑块B 向左滑动的距离． 【答案】(1)绳子的总长度为18dm (2)滑块B 向左滑动的距离为9dm 【分析】（1）直接利用勾股定理求解即可； （2）利用题意求出AB 的值，再根据勾股定理求出BD的长度，再算出BE即可． 【详解】（1）解：由题意知：ABC 是直角三角形，其中 8dm AC = ， 6dm BC = ， 2 2 10dm AB AC BC = + = ， 绳子总长度为 10 8 18dm AB AC + = + = ． （2）解：若物体C 升高7dm ，此时 10 7 17dm AB = + = ， 在Rt ABD 中，由勾股定理得， 2 2 2 2 17 8 15 BD AB AD dm = − = − = ， 15 6 9dm BE BD DE = − = −= ． 滑块B 向左滑动的距离为9dm． 4 / 44 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ◆题型2 勾股定理应用之旗杆高度 4．（25-26 八年级下·陕西榆林·期末）如图1 是小明在草地上放风筝的示意图，其中点A 为风筝所在的位置， BC 为牵线放风筝的手到风筝的水平距离，AB 为风筝线的长度，AD为风筝到地面的垂直距离（点C 在AD 上，且AC BC ⊥ ）．经测量， 24m 25m BC AB = = ， ．如图2，风筝沿DA方向再竖直上升8m 到达点E 处时 （即 8m AE = ），小明放风筝的手移至点F 处（点F 在BC 上），若风筝线的长度不变（即AB EF = ），则小 明移动的距离BF 为多少米？（整个过程中风筝线近似地看作线段） 【答案】4m 【分析】先根据勾股定理求出 2 2 AC AB BC = − ，进而得出CE AC AE = + ，再根据勾股定理求出 2 2 CF EF EC = − ，然后根据BF BC CF = − 得出答案． 【详解】解：在Rt ABC △ 中， 2 2 2 2 25 24 7 m AC AB BC = − = − = ， 15 m CE AC AE = + = ， 由题意可得， 25m EF AB = = ， 在Rt EFC 中， 2 2 2 2 25 15 20 m CF EF EC = − = − = ， 4 m BF BC CF = − = ． 答：小明移动的距离BF 为4m． 5．（25-26 八年级下·内蒙古巴彦淖尔·期末）如图，有一架秋千，静止时踏板离地0.5 米．向前推动秋千， 当踏板的水平移动距离为3 米时，离地1.5 米，此时秋千的绳索是拉直的，求绳索的长度．设绳索的长度为 x 米． (1)线段OB= （用含有x 的式子表示）； (2)线段OC= （用含有x 的式子表示）； (3)根据题意列出方程，并解决问题 5 / 44 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【答案】(1) x (2) 1 x − (3)在Rt OCB 中， 2 2 2 OC BC OB + = ， ∴( ) 2 2 2 1 3 x x − + = ， 解得 5 x = ， 答：绳索的长度为5米． 【分析】（1）利用秋千摆动时绳索长度不变，直接得到OB ； （2）通过踏板离地高度差，结合绳索总长即可得OC ； （3）在Rt OCB 中，用勾股定理列方程求解绳索长度即可． 【详解】（1）解：由题意得，秋千摆动时绳索长度不变，故OB x = 米； （2）解：∵静止踏板离地0.5米，摆动时离地1.5米， ∴踏板升高1.5 0.5 1 − = 米， ∵绳索总长为x 米， ∴ 1 OC x = −米； （3）略 6．（25-26 八年级下·河南开封·期末）综合与实践：小明同学在延时课上进行了项目式学习的实践探究，并 绘制了如表记录表格． 活动课题 在放风筝时，测量风筝离地面的垂直高度AD 问题背景 风筝由中国古代劳动人民发明于东周春秋时期，距今已2000多年，相传墨翟以木头制成木鸟， 研制三年而成，是人类最早的风筝起源，兴趣小组在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度． 模型抽象 测绘数据 ①测得水平距离ED的长为15米，BC AD ⊥ ； ②根据手中剩余线的长度，计算出风筝线AB 的长为25 米； ③牵线放风筝的手到地面的距离BE为1.7 米． 说明 点A，B ，E ，D 在同一平面内． 请根据表格信息，解答下列问题． (1)①点C 离地面的垂直高度CD = _______米，BC = _______米； ②求风筝离地面的垂直高度AD； 6 / 44 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (2)若将风筝沿AD方向下降12米至点F ，连接BF，则在ED长度保持不变的前提下，小明同学手中的风筝 线应该往回收多少米？ 【答案】(1)①1.7 ；15；②风筝离地面的垂直高度AD为21.7米 (2)小明同学手中的风筝线应该往回收8米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟记勾股定理是解题的关键． （1）①过点B 作BC AD ⊥ 于点C，证明四边形BEDC 为矩形，得出 1.7 CD BE = = 米， 15 BC ED = = 米； ②根据勾股定理求出AC 的值即可得出结果； （2）设风筝沿AD方向下降12 米至点F，连接BF ，根据勾股定理求出BF 的长即可得出结果． 【详解】（1）解：①∵BC AD ⊥ ，BE ED ⊥ ，AD ED ⊥ ， ∴ 90 BCD BED EDC = = = ， ∴四边形BEDC 为矩形， ∴ 1.7 CD BE = = 米， 15 BC ED = = 米. ②在Rt ABC △ 中， 90 ACB = ， 25 AB = 米， 由勾股定理，得 2 2 2 2 25 15 20 AC AB BC = − = − = （米）， ∴ 20 1.7 21.7 AD AC CD = + = + = （米）； （2）解：如图，设风筝沿AD方向下降12 米至点F，连接BF ， ∴ 20 12 8 CF AC AF = − = − = （米）， ∴ 2 2 2 2 8 15 17 BF CF BC = + = + = （米）， ∵原来的风筝线的长为25 米， ∴25 17 8 − = （米）． ∴小明同学手中的风筝线应该往回收8 米． ◆题型3 勾股定理应用之小鸟飞行的距离 7．（25-26 八年级上·全国·课后作业）如图，树根下有一个蛇洞，树高15m ，树顶有一只鹰，它看见一条蛇 迅速向洞口爬去，与洞口的距离还有3 倍树高时，鹰向蛇扑过去．如果鹰与蛇的速度相等，鹰与蛇的路线 都是直线段，请求出鹰向何处扑击才能恰好抓到蛇． 7 / 44 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【答案】鹰向离树20m的地方扑击才能恰好抓到蛇 【分析】此题考查了勾股定理的应用，设CB 的长为m x ，根据勾股定理列出方程求解即可． 【详解】如答图， 设点D 处为树顶，鹰向点B 处扑去才能正好抓住蛇，由题意，得DB AB = ， 设CB 的长为m x ，则 ( ) 2 2 2 15 15 3 x x + = − ， 解得 20 x = ． 答：鹰向离树20m的地方扑击才能恰好抓到蛇． 8．（24-25 七年级上·山东东营·期中）如图，小明操纵无人机从树尖A飞向旗杆顶端C ，已知树高5m ，旗杆 高21m，树与旗杆之间的水平距离为12m，则无人机飞行的最短距离为多少？ 【答案】20m 【分析】本题考查了勾股定理的应用，作AE CD ⊥ 于E ，连接AC ，由题意得： 5m DE AB = = ， 12m AE BD = = ， 90 AEC = ，求出 16m CE = ，最后由勾股定理计算即可，添加适当的辅助线构造直角三角形是解此题的关 键． 【详解】解：如图，作AE CD ⊥ 于E ，连接AC ， 由题意得： 5m DE AB = = ， 12m AE BD = = ， 90 AEC = ， 21 5 16m CE CD DE = − = −= ， 2 2 2 2 12 16 20m AC AE CE = + = + = ． 8 / 44 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 即：无人机飞行的最短距离为20m． 9．（25-26 八年级下·陕西西安·期中）2024 年12 月4 日，我国传统节日春节申遗成功．图图和涵涵在市集 上买了一个年画风筝，在试飞风筝过程中，他们想利用数学知识测量风筝的垂直高度．以下是他们测量高 度的过程：①测得水平距离BC 的长为24 米；②根据图图手中剩余线的长度计算出牵引线AB 的长为30 米； ③图图牵线放风筝的手到地面的距离为1.7 米．请你帮助解决涵涵提出的问题．放风筝小队在野外放风筝， 为了安全，风筝高度不得高于20 米，根据测量的数据判断此时风筝的高度是否安全？ 【答案】是安全的 【分析】根据勾股定理可得 18 AC = 米，然后问题可求解 【详解】解：∵ 90 , 24, 30 ACB BC AB = = = ， 由勾股定理得： 2 2 2 2 30 24 18 AC AB BC = − = − = 米， 根据题意可得 1.7 CD = 米， ∴ 18 1.7 19.7 20 AD AC CD = + = + = ， ∴此时风筝的高度是安全的． ◆题型4 勾股定理应用之大树折断前的高度 10．（25-26 八年级下·四川德阳·期中）如图，一根直立的旗杆高8 m ，因刮大风旗杆从点C 处折断，顶部B 着 地且离旗杆底部A处4 m ． (1)求旗杆从距地面多高处折断； (2)工人在修复旗杆的过程中，发现在折断点C 的下方1.25 m的点D 处，有一明显裂痕，若下次大风将旗杆 从点D处吹断，则距离旗杆底部周围多大范围内有被砸伤的危险？ 【答案】(1)3 m (2)周围6 m 范围内有被砸伤的风险 【分析】（1）利用勾股定理建立方程即可； （2）先画出图形，再求解 , B D AD ，再利用勾股定理可得答案． 【详解】（1）解：由题意知 8m AC BC + = ， 9 / 44 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 90 A = ， 在Rt ABC △ 中， 2 2 2 AB AC BC + = ， 4 m AB = ， ( ) 2 2 2 4 8 AC AC + = − ， 3 m AC = ， 5 m BC = ， 故旗杆在距地面3 m 处折断． （2）解：如图， D 点距地面 ( ) 3 1.25 1.75 m AD = − = ， ( ) 8 1.75 6.25 m B D = − = ， 90 A = ， 在Rt AB D △ 中， ( ) 2 2 6 m B A B D AD = − = ， 距离旗杆底部周围6 m 范围内有被砸伤的风险． 11．（25-26 八年级下·湖北武汉·期中）如图，一根直立于水平地面的木杆在离地面3m 的C 处折断，木杆顶 端B 落在离木杆底端A的4m 处． (1)求木杆折断之前的高度； (2)如果该木杆在点C 的下方1m的点E 处折断，木杆顶端B 落在水平地面的F 处，在距离木杆底端A的5m 的 D处有棵小草，那么小草是否会被砸到？（小草的高度忽略不计，D F ， 两点在点A的同侧．） 【答案】(1)8米 (2)小草不会被砸到 【分析】（1）利用勾股定理求出BC 即可求解； （2 ）利用勾股定理求出AF ，再与AD比较即可判断求解； 本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意知， 90 A = ， 4 AB = ， 3 AC = ， 在Rt ABC △ 中，根据勾股定理得： 2 2 2 BC AC AB = + ， 2 2 3 4 5 BC = + = ∴ ， 3 5 8 AC BC + = + = ， 10 / 44 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴木杆折断之前的高度为8米； （2）解：如图，由题意得 3 1 2 AE AC CE = − = −= ， 8 2 6 EF = − = ， 在Rt AEF 中，根据勾股定理得， 2 2 2 36 4 32 AF EF AE = − = − = ， 4 2 AF = ， 32 25 ， 4 2 5 ， AF AD ， ∴小草不会被砸到． 12． （25-26 八年级下·重庆·期中）如图1，有两棵树，一棵高10 米（ 10 AB = 米），另一棵高2 米（ 2 CD = 米）， 两树相距6 米（ 6 BD = 米） (1)求一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？ (2)如图2，台风过后，高10 米的树AB 在点M 处折断，大树顶部落在点D 处，则树AB 折断处M 距离地面 多少米？ 【答案】(1)10米； (2)16 5 米 【分析】（1）根据“两点之间，线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树尖进行直线飞行，飞行的路程最短，运 用勾股定理可将两点之间的距离求出； （2）由勾股定理求出BM 的长，即可求解． 【详解】（1）解：两棵树的高度差为10 2 8 − = （米），两树相距6 米（ 6 BD = 米）， 根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离 2 2 8 6 10 = + = （米）， 答：至少飞了10米； （2）解：由勾股定理得： 2 2 2 BM AB AM + = ， ( ) 2 2 2 6 10 BM BM + = − ， 11 / 44 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 解得： 16 5 BM = ， 答：树AB 折断处M 距离地面16 5 米． ◆题型5 勾股定理应用之水杯中的筷子问题 13．（25-26 八年级下·北京·期末）《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有池，方一丈，葭生其中央，出水一 尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何．大意是：如图，水池底面的宽 1 AB = 丈，芦苇OC 生长在 AB 的中点O 处，高出水面的部分 1 CD = 尺．将芦苇向池岸牵引，尖端达到岸边时恰好与水面平齐，即 OC OE = ，求水池的深度（1 丈等于10 尺）． 【答案】12 尺 【分析】设水池深度为x 尺，则得芦苇高度为( 1) x + 尺，在Rt EAO △ 中，利用勾股定理建立方程即可求解． 【详解】解：设水池深度为x 尺，则芦苇高度为 ( 1) OC OD CD x = + = + 尺， 由题意有： ( 1) OE OC x = = + 尺； O 为AB 中点，且 1 AB = 丈 10 = 尺， 1 1 10 5 2 2 OA AB = = = (尺)； 在Rt EAO △ 中，由勾股定理得： 2 2 2 AE OA OE + = ， 即 2 2 2 5 ( 1) x x + = + ， 解得： 12 x = ， 答：水池的深度为12 尺． 14．（25-26 八年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）寒冷的冬天，你需要一杯热热的咸奶茶．现用搪瓷茶缸制作咸 奶茶，已知，圆柱形搪瓷缸的底面直径为12cm ，高为16 cm ．老师遇到了这样一个问题：搅拌棒的长度太 短了，不能搅拌到底部． (1)当搅拌棒接触到底部时，搅拌棒至少长出杯口2cm 才合适．请你告诉老师，如图①放置时，搅拌棒至少 12 / 44 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 需要 cm； (2)如图②，老师新买的一根长为25cm 的搅拌棒，如果设其露在杯子外面的长为cm h ，你能求出h 的取值 范围吗？ 【答案】(1)18 (2)5 cm 9 cm h 【分析】 （1）图①中搅拌棒竖直放置，圆柱的高为16cm，即杯内搅拌棒长度为16cm，题目要求长出杯口2cm ， 两者相加即可解答； （2）当搅拌棒斜放，从杯口边缘到杯底对角时，杯内长度最大，当搅拌棒竖直放置时，杯内长度最小，据 此求解即可； 【详解】（1）解：根据题意可得搅拌棒至少需要16 2 18cm + = ； （2）解：当搅拌棒竖直放置时，露在杯子外的长 25 16 9 cm h = − = ； 由勾股定理得，搅拌棒在杯子里面的部分最长为 2 2 12 16 20 cm + = ， 露在杯子外面的长 25 20 5 cm h = − = ； 5 cm 9 cm h ． 15．（25-26 八年级上·河南郑州·期末）《九章算术》中记载：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭 赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何．大意是：如图，有一个水池，水面是一个边长AB 为1 丈（1 丈10 = 尺）的正方形．在水池正中央O 处有一根芦苇OC ，它高出水面的部分CD为1 尺．如果把这根芦苇垂直拉 向岸边，那么它的顶端恰好到达岸边的水面，即OC OE = ． (1)求水池的深度OD ． (2)数学家刘徽在为《九章算术》作注解时，给出了这类问题的一般解法．其解法可表示为：如图，将水池 底面边长AB 记作2a，O 为AB 的中点，水的深度OD 记作b，芦苇高出水面的部分CD记作( ) n n a ，则水 池的深度b 可通过计算 2 2 2 a n n − 得到．请说明此解法的正确性． 【答案】(1)12 尺 (2) 2 2 2 a n b n − = 【分析】本题考查了勾股定理的应用； （1）设水池深度为x 尺，则得芦苇高度为( 1) x + 尺，在Rt EAO △ 中，利用勾股定理建立方程即可求解； （2）由水池深度OD b = ，则得芦苇高度为OC OD CD b n = + = + ，由题意有：OE OC b b = −+ ；由勾股定 13 / 44 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 理即可得证． 【详解】（1）设OD 为x 尺， 则 1 OC OE x = = + （ ）尺， 5 DE = 尺． 在Rt ODE 中， 90 ODE = ， 由勾股定理，得 2 2 2 DE OD OE + = ． 2 2 2 5 ( 1) x x + = + ． 解得 12 x = ． 答：水池的深度OD 为12 尺． （2）图中OD b = ，CD n = ， 2 AB a = ， 则OC OE b n = = + ，DE a = ， 在Rt ODE 中， 90 ODE = ， 由勾股定理，得 2 2 2 DE OD OE + = ． 2 2 2 ( ) a b b n + = + ． 解得 2 2 2 a n b n − = ． ◆题型6 勾股定理应用之航海问题 16．（25-26 八年级下·陕西西安·期末）如图，一艘轮船从海港B 沿正东方向向海港C 行驶，点A处有一座灯 塔，轮船行驶了5km后到达点D 处（即 5km BD = ），此时轮船正好位于灯塔A的正南方，继续向东行驶了9km 到达海港C 处（即 9km DC = ），已知灯塔A到海港B 的距离AB 为13km ，求灯塔A到海港C 的距离AC ． 【答案】15km 【分析】由题意可知AD BC ⊥ ，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：由题意可知AD BC ⊥ ， ∵ 13km AB = ， 5km BD = ， ∴ 2 2 12km AD AB BD = − = ， ∵ 9km DC = ， ∴ 2 2 15km AC AD CD = + = ． 14 / 44 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 17．（25-26 八年级上·陕西咸阳·期中）在学校举办的科技节上，小王与小林进行遥控赛车表演．如图，终点 为点A，小王的赛车从点C 出发，以4m/s 的速度由西向东行驶，同时小林的赛车从点B 出发，以3m/s 的速 度由南向北行驶．已知赛车之间的距离小于或等于25m时，遥控信号会相互干扰， 40m AC = ， 30m AB = ．当 两车距终点A 的距离之和为35m时，遥控信号是否会相互干扰？（赛车的大小均忽略不计， 1 C 、 1 B 分别为 小王的赛车与小林的赛车在行驶至点A 的途中的任意点） 【答案】遥控信号会相互干扰 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，解题的关键是通过设时间为未知数，结合两车距终点的距离和 求出行驶时间，再利用勾股定理计算两车距离并判断是否干扰． 设行驶时间为t 秒，根据两车距A的距离之和为35m列方程求t ；再利用勾股定理计算此时两车的距离，与 25m比较得出结论． 【详解】解：设行驶时间为t 秒， 由题意得：(40 4 ) (30 3 ) 35 t t − + − = 70 7 35 t − = ， 解得 5 t = ． 此时，小王的赛车距A的距离为40 4 5 20 −= （m ）， 小林的赛车距A的距离为30 3 5 15 −= （m ）． 由勾股定理，两车之间的距离为： 2 2 20 15 400 225 625 25 + = + = = （m ）． ∵25 25 = ， ∴遥控信号会相互干扰． 答：遥控信号会相互干扰． 18．（25-26 八年级下·陕西西安·期中）如图，某日两艘渔船A和渔船B 与灯塔C 的位置如图所示，其中渔船 A在灯塔C 的北偏西57方向上，与灯塔C 的距离是400 海里，渔船B 在灯塔C 的南偏西33方向上，与灯 塔C 的距离是300 海里． 15 / 44 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (1)求渔船A与渔船B 之间的距离AB ； (2)若灯塔C 发射的信号有效覆盖半径为300 海里，已知渔船B 沿AB 所在直线向渔船A靠拢的过程中，BD段 可以接收到信号，AD段无法接收到信号，请你求出渔船B 在行驶过程中，能持续收到信号的里程（线段BD 的长）是多少？ 【答案】(1)500 海里 (2)360 海里 【分析】（1）根据题意可求出 90 ACB = ，再利用勾股定理求解即可； （2）过点C 作CE AB ⊥ 于点E，利用等面积法求出CE 的长，再利用勾股定理求出BE DE ， 的长即可得到 答案． 【详解】（1）解：由题意得， 180 57 33 90 ACB = − − = ， 400 AC = 海里， 300 BC = 海里， ∴由勾股定理得 2 2 2 2 400 300 500 AB AC BC = + = + = 海里， 答：渔船A与渔船B 之间的距离AB 为500 海里； （2）解：如图所示，过点C 作CE AB ⊥ 于点E， 则 90 AEC BEC = = ， ∵ 1 1 2 2 ABC S AC BC CE AB = = △ ， ∴1 1 300 400 500 2 2 CE = ， ∴ 240 CE = 海里， 在Rt EBC 中，由勾股定理得 2 2 2 2 300 240 180 BE BC CE = − = − = 海里， 在Rt EDC △ 中，由勾股定理得 2 2 2 2 300 240 180 DE CD CE = − = − = 海里， ∴ 360 BD DE BE = + = 海里 16 / 44 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 答：渔船B 在行驶过程中，能持续收到信号的里程（线段BD的长）是360 海里． ◆题型7 勾股定理应用之河的宽度 19． （25-26 八年级上·江苏徐州·阶段检测）为了求出湖两岸A，B 两点之间的距离，观测者小林在点C 设桩， 使ABC 恰好为直角三角形( ) 90 B = ，如图所示，通过测量得AC 长为10m，BC 长为8m ，求出图中A、 B 两点之间的距离． 【答案】A、B 两点之间的距离是6m． 【分析】本题考查勾股定理在实际问题中的应用，关键是明确直角三角形的直角顶点（ 90 B = ），从而确 定直角边与斜边，再利用勾股定理的变形公式（已知斜边和一条直角边求另一条直角边）进行计算． 题目中ABC 是直角三角形且 90 B = ，根据勾股定理，直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方， 即 2 2 2 AB BC AC + = ．要求A、B 两点间的距离即求AB 的长度，已知 10m AC = ， 8m BC = ，需将已知数值 代入勾股定理公式，通过移项、开方计算出AB 的长度． 【详解】解： ABC 是直角三角形且 90 B = ， AB 和BC 为直角边，AC 为斜边． 根据勾股定理可得： 2 2 2 AB BC AC + = ． 10m AC = ， 8m BC = ，将其代入上述公式，可得： 2 2 2 8 10 AB + = ， 2 2 2 10 8 100 64 36 AB = − = − = ， 由于线段长度为正数，得： 36 6m AB = = ． 故A、B 两点之间的距离是6m． 20．（24-25 八年级下·吉林白城·期末）某人欲从一条河岸边的点A，划船垂直河岸横渡一条河，到达河对岸 岸边的点B，由于水流的影响，实际上岸地点C 离欲到达点B 距离45m，已知他在水中实际划了75m．（假 设河两岸互相平行，预计行走路线和实际行走路线均为直线） (1)画出符合题意的图形； (2)求该河流的宽度AB ． 【答案】(1)见解析 (2)60 米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题关键． （1）根据题意画出图形即可； 17 / 44 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 （2）利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：如图所示 （2）解：由题意知，AB BC ⊥ ， 75m AC = ， 45m BC = ， 在Rt ABC △ 中，由勾股定理得 2 2 2 2 75 45 60m AB AC BC = − = − = 答：该河流的宽度为60 米． 21．（25-26 八年级上·河南·期末）勾股定理被誉为数学界的璀璨明珠，在数学发展历程中占有举足轻重的地 位．历史上有很多方法可以验证勾股定理． (1)如图1，在四边形ABCD中， 90 B C AED = = = ，B 、E 、C 三点共线，Rt Rt ABE ECD ≌ ，请利 用图1 验证勾股定理； (2)如图2，某桥洞的横截面由半圆和正方形构成， 5 AB AD m = = ，近期雨水多，水位上涨至EF ，水深 3.8 AE = 米．一艘货船装满货物后，露出水面部分横截面为长方形，高2.5 米，宽为3米，请判断这艘货船能否安全 通过此桥洞，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)可以安全通过，见解析 【分析】本题考查勾股定理的应用，熟练运用勾股定理是解题的关键． （1）根据面积公式计算，可证出勾股定理； （2）过点M 作MN CD ⊥ 交桥洞于点N ，连接PN ，结合勾股定理求出MN 的长度，计算其与水面的高度， 进行比较即可． 【详解】（1）解： ( ) ( ) 2 2 2 AB CD BC a b S + + = = 梯形 ， ∵Rt Rt ABE ECD ≌ ， ∴ 2 1 1 2 2 2 2 ABE ADE S S S ab c = + = + 梯形 , ∴( ) 2 2 1 1 ·2 2 2 2 a b ab c + = + ， 18 / 44 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴ 2 2 2 a b c + = ． （2）解：取CD中点P ，由题知： 1.5 PM = ， 过点M 作MN CD ⊥ 交桥洞于点N ，连接PN ，如下图所示： ∴ 2.5 PN = ， ∴在Rt PMN 中， 2 2 2 MN PN PM = − = ， ∴2 5 3.8 3.2 2.5 + − = ， ∴可以安全通过． ◆题型8 勾股定理应用之台阶上地毯长度 22．（25-26 八年级上·山东聊城·期末）如图1，是一段楼梯的示意图，截面是一个直角三角形ABC ．已知直 角边BC 长5m ，斜边AB 的长是13m．现打算在楼梯上铺地毯，每平方米的地毯售价是150 元，楼梯宽为 2m ．那么购买这种地毯至少需要多少元？ 【答案】5100 元 【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．理解题意，运用勾股定理得 2 2 12m AC AB BC = − = ，则得出在楼梯上铺地毯需要的长度，然后结合楼梯宽为2m ，以及每平方米的地 毯售价是150 元，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：在ABC 中， 90 ACB = ， 5m BC = ， 13m AB = 由勾股定理得， ( ) 2 2 2 2 13 5 12 m AC AB BC = − = − = ， 在楼梯上铺地毯需要的长度为 ( ) 12 5 17 m AC BC + = + = ， ∵楼梯宽为2m ， ∴需要铺地毯的面积为 ( ) 2 17 2 34 m = ， ∵每平方米的地毯售价是150 元， ∴购买这种地毯至少需要的费用为34 150 5100 = （元）． 19 / 44 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 23．（25-26 八年级下·广东惠州·期末）某公司举行开业一周年庆典，准备在一个长13m，高5m 的台阶上铺 设地毯（如图所示），已知台阶的宽为4m． (1)请你算一算共需购买多大面积的地毯； (2)若地毯的价格为120 元 2 /m ，则购买地毯需花费多少元？ 【答案】(1)共需购买68 平方米的地毯 (2)购买地毯需花费8160 元 【分析】（1）求出台阶的水平宽，计算地毯长度，再计算地毯的面积即可； （2）用地毯的单价乘以面积求出购买地毯的费用． 【详解】（1）解：依题意图中直角三角形一直角边为5m ，斜边为13m， 根据勾股定理另一直角边长，即台阶的水平宽为： 2 2 13 5 12m − = ， 则需购买地毯的长为12 5 17m + = ， 因为地毯的宽则是台阶的宽4 米， 所以面积是： 2 17 4 68m = ． 故共需购买 2 68m 的地毯． （2）解：由地毯的价格为120 元 2 /m ， 则购买地毯的费用为：120 68 8160 = 元， 故购买地毯需花费8160 元． 24．（24-25 八年级下·重庆长寿·阶段检测）某学校为防止雨天地滑，需在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将 楼梯台阶完全盖住．楼梯台阶剖面图如图所示，已知 90 C = ， 3m AC = ， 5m AB = ． (1)求BC 的长； (2)若已知楼梯宽2.8m，每平方米地毯25 元，需要花费多少钱地毯才能铺满所有台阶．（假设地毯在铺的过 程中没有损耗） 【答案】(1) BC 的长为4m ； (2)490 元 【分析】本题考查了勾股定理的应用，利用勾股定理求出BC 的长度是解题的关键． （1）由勾股定理列式计算即可； 20 / 44 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 （2）由长方形面积公式计算即可． 【详解】（1）解：∵ 90 C = ， 3m AC = ， 5m AB = ， ( ) 2 2 2 2 5 3 4 m BC AB AC = − = − = ， 答：BC 的长为4m ； （2）解：地毯长为： ( ) 3 4 7 m + = ， ∴地毯的面积为 ( ) 2 2.8 7 19.6 m = ， 每平方米地毯25 元， 需要花费25 19.6 490 = （元）； 答：需要花费490 元地毯才能铺满所有台阶． ◆题型9 勾股定理应用之汽车是否超速问题 25．（25-26 八年级下·福建厦门·期末）为了进一步规范道路交通秩序，厦门市公安交通管理局决定下调海沧 隧道主线机动车行驶最高限速值，即大型汽车限速值由80km/h 调整为70km/h ，小型汽车限速值由90km/h 调 整为80km/h ．如图，一辆小汽车在隧道内沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测像A 处的正前方60m的 C 处（即 60m AC = ），过了4s小汽车到达B 处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为100m． (1)求BC 的长； (2)这辆小汽车在BC 段是否超速行驶？请说明理由．（参考数据：1m/s 3.6km/h = ） 【答案】(1)80m (2)没有超速，理由： 结合（1）可得小汽车的速度为 80 20m/ s 20 3.6km/ h 72km/ h 4 v = = = = ； 72km/ h 80km/ h ； 这辆小汽车没有超速行驶． 【分析】（1）直接利用勾股定理计算即可； （2）根据小汽车用4s行驶的路程为BC ，那么可求出小汽车的速度，然后再判断是否超速即可． 【详解】（1）解：由题意可得： 60 AC = ， 100 AB = ， 90 ACB = ， 2 2 80m BC AB AC = − = ； （2）略 21 / 44 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 26．（25-26 八年级上·陕西咸阳·阶段检测）如图，小亮与小红进行遥控赛车游戏，终点为点A，小亮的赛车 从点C 出发，以4 米/秒的速度由西向东行驶，同时小红的赛车从点B 出发，以3 米/秒的速度由南向北行驶， 已知整个过程两辆赛车均沿直线行驶， 40 AC = 米， 30 AB = 米． (1)经过4 秒，两赛车之间的距离是多少米？ (2)已知赛车之间的距离小于或等于25 米时，遥控信号会产生相互干扰，若某一时刻，这两辆赛车距点A 的 距离之和为35 米，则此时遥控信号是否会产生相互干扰？ 【答案】(1)两赛车之间的距离是30 米 (2)当两赛车的距离之和为35米时，遥控信号将会产生干扰 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）根据题意求得 1 16 CC = 米， 1 12 BB = 米，得到 1 24 AC = 米， 1 18 AB = 米，根据勾股定理即可得到结论； （2）设出发t 秒钟时，遥控信号将会产生相互干扰，根据题意列方程即可得到结论． 【详解】（1）解：如图， 出发4 秒钟时， 1 16 4 4 CC = = 米， 1 3 4 12 BB = = 米 40 AC = 米， 30 AB = 米 1 24 AC = 米， 1 18 AB = 米 2 2 1 1 24 18 30 B C = + = （米） 答：两赛车之间的距离是30 米． （2）解：设出发t 秒钟时，两赛车距 A 点的距离之和为 35 米， 由题意得，40 4 30 3t 35 t − + − = ，解得 5 t = 此时 1 1 20, 15 AC AB = = ， 此时 2 2 2 2 1 1 1 1 20 15 25 B C C A B A = + = + = ， 即两赛车间的距离是25 米，所以遥控信号将会受到干扰， 答：当两赛车的距离之和为35米时，遥控信号将会产生干扰． 22 / 44 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 27．（25-26 八年级下·重庆南川·期末）如图，某康养基地内有一条东西向的景观公路，基地的监控中心A到 公路的垂直距离为1200 米．一天，监控员发现一辆未登记的外来车辆在公路上匀速行驶．用红外线测距仪 测得：此时车辆正在公路B 处，距A处2000 米；44 秒后，车辆行驶到公路上的D 处，距A处1300 米． (1)求外来车辆的平均速度； (2)监控中心A到景观公路只有一条长为1500 米的小路AC ．监控员发现外来车辆后，立即联系安保人员， 当外来车辆到达D处时，安保人员同时开车从A出发，沿小路AC 进行拦截，若安保人员车速为30m/ s， 能否成功在C 处拦截外来车辆？请通过计算进行说明． 【答案】(1)外来车辆的平均速度为25 m/s (2)能成功在C 处拦截外来车辆，理由如下： 由题意得 1500 m AC = ， 在Rt ACE 中，由勾股定理，得 ( ) 2 2 2 2 1500 1200 900 m CE AC AE = − = − = ， 由（1）可知 500 m DE = ， ( ) 500 900 1400 m CD DE CE = + = + = ， 外来车辆到达C 处所需的时间为 ( ) 1400 25 56 s = ． 安保人员的速度为30m/s ， 安保人员达C 处所需的时间为 ( ) 1500 30 50 s = ， 50 56 能成功在C 处拦截外来车辆． 【分析】（1）过点A作AE BC ⊥ 于点E ，由题意得 1200 m AE = ， 2000m AB = ， 1300 m AD = ，利用勾股定理 在Rt ABE △ 中，可得BE，在Rt ADE △ 中，可得DE ，从而求得BD，即可得出外来车辆的平均速度； （2）先利用勾股定理在Rt ACE 中，可得CE ，结合（1）可得CD，从而可以算出外来车辆及安保人员达C 处所需的时间，通过比较即可得出结论． 【详解】（1）解：如图，过点A作AE BC ⊥ 于点E ，则 90 AEB AEC = = ， 1200 m AE = ， 23 / 44 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 由题意得 2000m AB = ， 1300 m AD = ， 在Rt ABE △ 中，由勾股定理，得 ( ) 2 2 2 2 2000 1200 1600 m BE AB AE = − = − = ， 在Rt ADE △ 中，由勾股定理，得 ( ) 2 2 2 2 1300 1200 500 m DE AD AE = − = − = ， ( ) 1600 500 1100 m BD BE DE = − = − = ， 速度为 ( ) 1100 44 25 m/s = ， 答：外来车辆的平均速度为25 m/s ； （2）略． ◆题型10 勾股定理应用之是否受台风影响问题 28．（25-26 八年级下·湖北恩施·期中）某市夏季经常受台风天气影响，台风是一种自然灾害，它以台风中心 为圆心在周围几千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向AB 由点A 行驶向点B，已知点C 为一海港，当AC BC ⊥ 时，A 点到B，C 两点的距离分别为1000km和600km，以台 风中心为圆心周围520km以内为受影响区域． (1)求BC ； (2)海港C 受台风影响吗？为什么？ (3)若台风的速度为100km/h ，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 【答案】(1) 800km BC = (2)海港C 受台风影响， 理由如下：过点C 作CD AB ⊥ ， 1 1 2 2 AC BC CD AB = ， 1 1 600 800 1000 2 2 CD = ， ( ) 480 km CD = ， 以台风中心为圆心周围520km以内为受影响区域，480 520 ， 海港C 受台风影响； 24 / 44 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (3)海港C 受台风影响的时间会持续4h． 【分析】（1）依据勾股定理求解即可； （2）利用三角形面积得出CD的长，进而得出海港C 是否受台风影响； （3）利用勾股定理得出ED以及EF 的长，进而得出台风影响该海港持续的时间． 【详解】（1）解： AC BC ⊥ ， 90 ACB = ， 1000km AB = ， 600km AC = ， ( ) 2 2 2 2 1000 600 800 km BC AB AC = − = − = ； （2）略 （3）解：如图，当 520km EC = ， 520km FC = 时，正好影响C 港口， ( ) 2 2 200 km ED EC CD = − = ， ( ) 2 2 200 km FD FC CD = − = ， ( ) 400 km EF ED FD = + = ， 台风的速度为100km/ h ， ( ) 400 100 4 h = ， 答：海港C 受台风影响的时间会持续4h． 29． （25-26 八年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，某沿海城市A接到台风预警，在该市正南方向340km 的B 处有一台风中心，沿BC 方向以20 / h km 的速度移动，已知城市A到BC 的距离AD为160km ． (1)求台风中心从B 点移到D 点的距离BD的长？ (2)如果在距台风中心200km 的圆形区域内都将受到台风的影响，那么A市受到台风影响的时间持续多少小 时？ 【答案】(1) BD的长为300km (2) A市受到台风影响的时间持续12小时 【分析】本题考查勾股定理的实际应用，理解题意并正确计算是关键． 25 / 44 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 （1）使用勾股定理直接计算即可； （2）以点A为圆心，200km为半径作圆，交BC 于点E 、F ，使用勾股定理求出EF ，再除以台风的速度 求出持续时间． 【详解】（1）解：由题意可得AD BC ⊥ ， 340 AB km = ， 在直角ABD 中， 2 2 2 2 340 160 300 BD AB AD km = − = − = ． 答：BD的长为300km ． （2）解：如图，以点A为圆心，200km为半径作圆，交BC 于点E 、F ， 由题意可知，台风在EF 段时，对A市有影响． 在直角ADE 中， 2 2 2 2 200 160 120 DE AE AD km = − = − = ， 同理， 120 DF km = ， ∴ 240 EF DE DF km = + = ， ∴影响持续的时间为240 20 12h = ． 答：A市受到台风影响的时间持续12小时． 30．（25-26 八年级上·广东深圳·期中）2025 年9 月，台风“桦加沙”在广东珠江口附近登陆，中心附近最大风 力达14 级（强台风级别）到达深圳附近时，风力减小为七级．已知七级风圈半径约250km（即以台风中心 为圆心，250km为半径的圆形区域都会受到台风影响）．如图，线段BC 表示台风中心在深圳附近从C 地向 西北方向移动到B 地的路径，A是深圳市某观测点，且AB AC ⊥ ．已知A C 、 之间相距300km A B ，、之间相 距400km． (1)判断观测点A是否会受到台风“桦加沙”的影响，并说明理由． (2)若台风中心的移动速度为20km / h ，则观测点A受台风影响的时间有多长？ 【答案】(1)观测点A会受到台风“桦加沙”的影响，理由见解析 (2)观测点A受台风影响的时间有7 小时 26 / 44 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【分析】本题主要考查了利用勾股定理解决实际问题，解题的关键是掌握勾股定理． （1）过点A作AD BC ⊥ 于点D ，利用勾股定理求出斜边长度，然后利用等面积法求出AD长度，最后进行 比较即可； （2）作 250km AE AF = = ，根据勾股定理求出台风影响观测点的长度，然后求出时间即可． 【详解】（1）解：观测点A会受到台风“桦加沙”的影响，理由如下： 如图所示，过点A作AD BC ⊥ 于点D ， ∵AB AC ⊥ ， ∴ 90 BAC = ， ∴由勾股定理得， 2 2 500km BC AB AC = + = ， 由等面积得 300 400 240km 500 AB AC AD BC = = = ， ∵240 250 ， ∴观测点A会受到台风“桦加沙”的影响； （2）解：如图所示，作 250km AE AF = = ， 由勾股定理得， 2 2 2 2 250 240 70km DE AE AD = − = − = ， 根据题意， 2 140km EF DE = = ， 140 20 7 = （小时） ∴观测点A受台风影响的时间有7 小时． ◆题型11 勾股定理应用之选扯距离相离问题 31．（25-26 八年级下·广东广州·期中）如图，铁路上A，B 两站（视为直线上两点）相距27km ，C，D 为两 村庄（视为两个点），DA AB ⊥ 于A，CB AB ⊥ 于B ．已知 24km DA= ， 15km CB = ，现要在铁路AB 上建设 一个特产收购站E ，使得C ，D 两村到E 站的距离相等，则E 站应建在距离A 站多少千米处？ 27 / 44 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【答案】E 站应建在离A 站7km处 【分析】设AE x = ，可将DE 和CE 的长表示出来，然后根据勾股定理可得 2 2 2 2 2 2 , AE AD DE BE BC EC + = + = ， 即可列出方程进行求解． 【详解】解：∵C，D 两村到E 站的距离相等， ∴DE CE = ． ∵DA AB ⊥ 于A，CB AB ⊥ 于B， ∴ 90 A B = = ， ∴ 2 2 2 2 2 2 AE AD DE BE BC EC + = + = , ， ∴ 2 2 2 2 AE AD BE BC + = + ， 设AE x = ，则 ( ) 27 BE AB AE x = − = − ． ∵ 24km DA= ， 15km CB = ， ∴ ( ) 2 2 2 2 24 27 15 x x + = − + ， 解得： 7 x = ， ∴ 7km AE = ． 答：E 站应建在离A 站7km处． 32． （25-26 八年级下·河北雄安·期中）如图，在一条东西走向的街道l 上有两个快递投放点B，C． 12km BC = ， 快递投放点C 的正北方向有一小区A，小区A 到快递投放点B 的距离为13km ． (1)求小区A 到快递投放点C 的距离． (2)在街道l 上有另一个快递投放点D 到小区A 与快递投放点B 的距离相等，求快递投放点B，D 之间的距 离． 【答案】(1)小区A 到快递投放点C 的距离为5km (2)快递投放点B，D 之间的距离为169 km 24 【分析】（1）根据勾股定理求解即可； （2）设 ( ) km AD BD x = = ，则 ( ) 12 km CD x = − ，根据勾股定理列方程求解即可； 28 / 44 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【详解】（1）解：∵小区A 在点C 的正北方向， ∴ 90 ACB = ， ∴ 13km AB = ， 12km BC = ， ∴ ( ) 2 2 2 2 m 13 12 5 k AC AB BC = − = − = ， ∴小区A 到快递投放点C 的距离为5km； （2）解：设 ( ) km AD BD x = = ， ∴ ( ) 12 km CD x = − ， ∵ 2 2 2 AD AC CD = + ， ∴ ( ) 2 2 25 12 x x = + − ， ∴ 169 24 x = ， ∴快递投放点B，D 之间的距离为169 km 24 ． 33．（25-26 八年级下·北京密云·期末）如图，在东西走向的和平街上有两个相距12km 的快递投放点B 、C ， 快递投放点C 的正北方向有一小区A，小区A到快递投放点B 的距离为13km ． (1)求小区A到快递投放点C 的距离． (2)因快递投放量增加，现准备在和平街新增一个快递投放点D ，新的投放点D 到小区A与快递投放点B 的 距离相等，求快递投放点B 、D 之间的距离． 【答案】(1)5km (2)169 24 km 【分析】（1）根据勾股定理求解即可； （2）设 ( ) km AD BD x = = ，则 ( ) 12 km CD x = − ，根据勾股定理列方程求解即可. 【详解】（1）解：∵小区A 在快递投放点C 的正北方向， ∴ 90 ACB = ， ∴ 13km AB = ， 12km BC = ， ∴ ( ) 2 2 2 2 13 12 5 km AC AB BC = − = − = ， ∴小区A 到快递投放点C 的距离为5km； （2）解：设 ( ) km AD BD x = = ， ∴ ( ) 12 km CD x = − ， 29 / 44 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∵ 2 2 2 AD AC CD = + ， ∴ ( ) 2 2 2 5 12 x x = + − ， ∴ 169 24 x = ， ∴快递投放点B，D 之间的距离为169 km 24 ． ◆题型12 勾股定理应用之几何图形中最短路径问题 34．（25-26 八年级下·陕西渭南·期末）如图，点A、B 是位于笔直河道CD两侧的两个工厂，工厂A到河道 的距离AC 为6km，工厂B 到河道的距离BD为3km ，BF 是垂直于AC 的地下管道，且BF 交AC 的延长线 于点F ，经测量， 12km BF = ，现准备在河边某处修一个污水处理厂E ，为使点E 到工厂A、B 之间的距离 之和最小，点E 需在线段AB 上，求此时点E 到工厂A和工厂B 的距离之和AE BE + ．（污水处理厂、工厂 的大小和河道、地下管道的宽度均忽略不计） 【答案】15km 【分析】连接AB 交CD于点E ，依题意， 6 3 9 AF AC CF = + = + = ， 12 BF = ，在Rt ABF 中，根据勾股定 理即可求解． 【详解】解：如图，连接AB 交CD于点E ， 依题意， 6 3 9 AF AC CF = + = + = ， 12 BF = 在Rt ABF 中， 2 2 2 2 9 12 15 AB AF FB = + = + = ，即AE BE + 为15km ． 35．（25-26 八年级下·广东·期末）综合与实践 【问题】在圆柱表面，蚂蚁怎么爬行路径最短？（计算过程中的π 取3） 30 / 44 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 素材1 如图1，圆柱形纸盒的高AC 为12 厘米，底面直径BC 为6 厘米，在圆柱下底圆周上的A 点有一只 蚂蚁，它想吃到上底面圆周上与A 点对应的B 点处的食物． 素材2 如图3 所示的实践活动器材包括：底面直径为6 厘米，高为10 厘米的木质圆柱、橡皮筋、细线（借 助细线来反映爬行的路线）、直尺，通过调节橡皮筋的位置达到改变圆柱的高度的目的，（1）中两种路线路 程的长度如下表所示（单位：厘米）： 圆柱高度 沿路线一路程x 沿路线二路程y 比较x 与y 的大小 5 11 10.3 x y 4 10 9.85 x y 3 a 9.49 b (1)若蚂蚁沿图1 中的折线A→C→B 爬行的最短路径记为“路线一”，此时最短路程是12 6 18 + = 厘米．将圆柱 沿着AC 将侧面展开得到图2，请在图2 中画出蚂蚁爬行的最短路径（此路径记为“路线二”），此时最短路程 是_______厘米；比较可知：蚂蚁爬行的最短路径是路线______（用“一”或“二”填空） (2)填空：表格中a 的值是________；表格中b 表示的大小关系是_________； (3)经历上述探究后，请你思考：若圆柱的半径为r，圆柱的高为h．在r 不变的情况下，当圆柱半径为r 与 圆柱的高度h 存在怎样的数量关系时，蚂蚁在圆柱表面的两种爬行路线的路程相等？ 【答案】(1)画出蚂蚁爬行的最短路径,如图 15；二； (2)9，x y (3) 4 5 r h = 【分析】（1）根据勾股定理以及线段长度得出即可； （2）利用圆柱形木块的高为3，底面半径为6，即可得出沿A C B → → 爬行的路程长并比较大小； 31 / 44 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 （3）构造方程 ( ) 2 2 2 3 h r h r + = + 即可得到结论． 【详解】（1）解：展开后，半圆长为1 1 3 6 9 2 2 d = = ， 此时最短路程是 2 2 12 9 15 + = 厘米， ∵15 18 比较可知：蚂蚁爬行的最短路径是路线二， （2）解： 3 6 9 a = + = ， ∵9 9.49 ， ∴表格中b 表示的大小关系是x y ； （3）解：根据题意可得 ( ) 2 2 2 3 h r h r + = + ， 即 2 2 2 2 4 4 9 h hr r h r + + = + ， ∴ 4 5 r h = ， 故当 4 5 r h = 时，蚂蚁在圆柱表面的两种爬行路线的路程相等． 36．（25-26 八年级上·贵州·期末）【问题情境】 贵安新区某学校八年级某班学生学习勾股定理后，该班数学兴趣小组开展了实践活动，测得该学校一个四 级台阶每一级的长、宽、高分别为15dm,3dm,2dm，如图1 所示．A和B 是这个四级台阶两个相对的端点， 若点A处有一只蚂蚁，它想到点B 处的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行的最短路程是多少？ （1）数学兴趣小组经过思考得到如下解题方法：如图2，将这个四级台阶展开成平面图形，连接AB ，经过 计算得到AB 长度即为最短路程，则AB =______________dm． 【变式探究】 （2）如图3，一个圆柱形玻璃杯，若该玻璃杯的底面周长是10cm，高是15cm，一只蚂蚁从点A出发沿着 玻璃杯的侧面到与点A相对的点B 处，则该蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？ 【拓展应用】 （3）如图4，在（2）的条件下，在杯子内壁离杯底6cm的点B 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯子外 壁，离杯子上沿3cm 与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B 处的最短路程是多少厘米？（杯壁厚 度不计） 【答案】（1）25；（2）5 10 厘米；（3）13cm； 32 / 44 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【分析】本题考查了平面展开——最短路径问题，勾股定理，轴对称的性质，将图形展开，利用轴对称的 性质和勾股定理进行计算是解题的关键． （1）先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答； （2）将圆柱体展开，利用勾股定理求解即可； （3）将杯平面展开，作B 点纵向的对称点C ，A点与对称点C 的连线，即为蚂蚁从外壁A处到内壁B 处的 最短路程，再根据勾股定理计算长度即可． 【详解】解：（1）台阶平面展开图为长方形，长( ) 3+2 4 20dm = ，宽15dm， 则蚂蚁沿台阶面爬行到B 点最短路程是此长方形的对角线长． 可设蚂蚁沿台阶面爬行到B 点最短路程为dm x ， 由勾股定理得： 2 2 2 2 15 [(2 3) 4] 25 x = + + = ， 解得： 25 x = ． 故答案为：25； （2）将圆柱体侧面展开，如图： 由题意得： 1 10 5(cm) 2 AC = = ， 15cm BC = ， 2 2 15 5 10(cm) 5 AB = + = ， 该蚂蚁爬行的最短路程5 10 厘米； （3）如图，将杯平面展开，作B 点纵向的对称点C ， 连接AC ，AC 即为蚂蚁从外壁A处到内壁B 处的最短路程， 3cm EF AG = = ， ( ) 15 6 cm 9cm CF FB = = − = ， 1 10cm 5cm 2 AE = = ， 12cm CE EF CF = + = ， 根据勾股定理有： 2 2 2 2 12 13(cm) 5 AC AE CE = + = + = ， 蚂蚁从外壁A处到内壁B 处的最短路程为13cm． 33 / 44 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．（25-26 八年级下·云南昆明·期末）如图，昆明市某中学数学课外活动小组想要测量学校旗杆的高度，他 们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面并多出一段（如图1），多出的这段绳子长度为1 米．随后再将绳子拉 直（如图2），此时绳子末端C 到旗杆底部B 的距离为3 米，则旗杆的高度为（ ）米 A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】设旗杆的高度为x 米，则绳子的长度为( 1) x + 米，在Rt ABC △ 中利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：设旗杆的高度AB 为x 米，则绳子的长度AC 为( 1) x + 米， 在Rt ABC △ 中， 90 ABC = ， 3 BC = 米， 由勾股定理得： 2 2 2 AB BC AC + = ， 即 2 2 2 3 ( 1) x x + = + ， 解得 4 x = ， 旗杆的高度为4 米． 2．（25-26 八年级下·吉林·期末）《九章算术》中有一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根 三尺，问折者高几何？”题目大意是：“如图，一根竹子高1 丈（1 丈10 = 尺），在点A 处折断后竹子顶端点 B 触地，测得点B 离竹子底端点C 距离为3 尺（即 3 BC = 尺），问折断处离地面高AC 为多少尺？”．设折断 处离地面高AC 为x 尺，可列方程为（ ） A． ( ) 2 2 2 3 10 x x + = + B． ( ) 2 2 2 3 10 x x + + = C． ( ) 2 2 2 3 10 x x + − = D． ( ) 2 2 2 3 10 x x + = − 34 / 44 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【答案】D 【详解】解：由题意得 3 BC = 尺， 10 AB AC + = 尺， 90 ACB = ， 设高AC 为x 尺，则 ( ) 10 AB x = − 尺， 由勾股定理得 2 2 2 BC AC AB + = ，即 ( ) 2 2 2 3 10 x x + = − ． 3．（25-26 八年级下·河北邢台·期末）某公园有一个人工湖，湖的周围是笔直的甬道，珍珍想知道湖两岸A， B 两点间的距离，但由于湖面阻隔无法直接测量，珍珍观察公园的游览图时得到如图所示的示意图，根据图 中数据可得A，B 两点间的距离为（ ） A．9m B．12m C．15m D．20m 【答案】C 【分析】如图，延长DA、EB交于点C ，则ABC 为直角三角形，根据勾股定理即可求得A，B 两点间的 距离． 【详解】解：如图，延长DA、EB交于点C ， 则ABC 为直角三角形， 根据图中数据可得， 30 18 12m AC = − = ， 20 11 9m BC = − = ， 由勾股定理可得， 2 2 2 2 12 9 15m AB AC BC = + = + = ． 4．（25-26 七年级下·陕西西安·期末）中华儿女作为龙的传人，龙的形象符号已经深入人心．如图所示，在 底面周长为1.5m，高为6m的柱子上，有一条雕龙从柱底A点沿立柱表面盘绕3圈到达柱顶正上方的D 点， 则雕刻在柱子上的巨龙长至少为（ ） 35 / 44 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 A．4.5 米 B．7.5米 C．12.5米 D．15米 【答案】B 【分析】将圆柱体侧面展开，每圈龙的长度与高度和圆柱的周长组成直角三角形，根据勾股定理计算即可 得到答案． 【详解】解：如图， 根据题意可得，柱身高为6 米，底面周长为1.5米， ∵有一条雕龙从柱底A点沿立柱表面盘绕3圈到达柱顶正上方的D 点， ∴ 1.5 CG BF AE = = = ， 1 1 6 2 3 3 CD BC AB AD = = = = = ，CG AD ⊥ ，BF AD ⊥ ，AE AD ⊥ ，BE CF DG = = ， ∴ 2 2 2 2 2 1.5 2.5 DG CF BE AB AE = = = + = + = ， ∴ 2.5 3 7.5 DG CF BE + + = = （米）， ∴雕刻在柱子上的巨龙长至少为7.5米． 5．（25-26 八年级下·河北沧州·期末）某班数学小组到十四中平坦的操场上测量旗杆AB 的高度，信息如下： ①如图：绳子一端系在旗杆顶端A处，甲同学拉直绳子退至离旗杆3.5 米（ 3.5 CF = 米）的E 点处，此时手 上的绳子还剩0.5 米； ②甲同学继续往后退1.5 米（ 1.5 FH = 米）到达G 点，此时手上的绳子刚好用完； ③甲同学拉绳子的手到地的距离始终是1.6 米； 则旗杆AB 的高度为（ ） A．12 米 B．12.6 米 C．13 米 D．13.6 米 【答案】D 【分析】由题意可得 1.6 BC EF HG = = = 米， 3.5 CF = 米， 1.5 FH = 米，则 5 CH = 米，设绳子的长度为x 米， 则 ( ) 0.5 AF x = − 米，AH x = 米，再结合勾股定理计算即可得出结果． 36 / 44 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【详解】解：由题意可得： 1.6 BC EF HG = = = 米， 3.5 CF = 米， 1.5 FH = 米， ∴ 5 CH CF FH = + = 米， 设绳子的长度为x 米，则 ( ) 0.5 AF x = − 米，AH x = 米， 由勾股定理得 2 2 2 AC AF CF = − ， 2 2 2 = − AC AH CH ， ∴ 2 2 2 2 AF CF AH CH − = − ， ∴( ) 2 2 2 2 0.5 3.5 5 x x − − = − ， 解得 13 x = ， ∴ 2 2 2 2 13 5 12 AC AH CH = − = − = 米， ∴旗杆AB 的高度为 12 1.6 13.6 AC CB + = + = 米． 二、填空题 6．（25-26 八年级下·新疆乌鲁木齐·期末）公园内有两棵相距4 m 的树，一棵树高为5 m ，另一棵树高为8m ， 一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞__________m． 【答案】 5 【分析】根据两点之间线段最短，可知小鸟沿两棵树的顶端直线飞行时路程最短. 将问题转化为求直角三角 形的斜边长，利用勾股定理即可求解； 【详解】解：根据题意画图如下：其中 8m, 5m, 4m AB CD BD = = = ， , AB BD CD BD ⊥ ⊥ ， ∴ // AB CD ， 过C 作CE AB ⊥ ，交AB 于E ， ∴ 5m, 4m BE CD CE BD = = = = ， ∴两棵树的高度差 8 5 3m AE = −= ，两棵树的水平距离 4m CE = ， 根据勾股定理可得 ( ) 2 2 3 4 9 16 25 5 m AC = + = + = = ， 即小鸟至少要飞5m ． 7．（25-26 八年级下·内蒙古呼和浩特·期末）4 月27 日呼和浩特全域出现大风扬沙天气，瞬时最大阵风达到 12 级．如图，受大风影响，一棵树在离地面6 米处断裂，树顶端落在离底部8 米的地面上，大树底部与地 面垂直，则树折断之前有_______米． 37 / 44 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【答案】 16 【分析】根据题意构建直角三角形模型，利用勾股定理求出折断部分的长度，再加上未折断部分的高度即 可得出结果． 【详解】解：设树折断部分的长度为x 米． 由题意可知，未折断部分、折断部分与地面构成直角三角形， 其中一条直角边长为6 米，另一条直角边长为8米． 根据勾股定理，得 2 2 6 8 36 64 100 10 x = + = + = = ． 所以树折断之前的高度为6 10 16 + = 米． 8．（2026·浙江杭州·二模）绍兴舰在中俄舰艇编队开展联合演习中从点A 处出发，以20 海里/小时的速度沿 北偏东40方向航行2 小时到点B 处，接着从点B 处出发，以相同的速度沿南偏东50方向航行1.5 小时到 点C 处，则AC =________海里． 【答案】50 【分析】先求出 40 50 90 ABC = + = ，再求出两直角边长，最后利用勾股定理求解． 【详解】解：如图，由题意可知， I 40 AB = ， 50 JBC = ， ∵IA与BJ 平行， ∴ I 40 ABJ AB = = ， ∴ 40 50 90 ABC = + = ， ∴ 2 2 2 AB BC AC + = ， ∵绍兴舰从点A 处出发，以20 海里/小时的速度航行2 小时到点B 处，接着从点B 处出发，以相同的速度航 行1.5 小时到点C 处， ∴ 20 2 40 AB = = （海里）， 20 1.5 30 BC = = （海里）， ∴ 2 2 40 30 50 AC = + = （海里）． 小学 初中 38 / 44 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 9．（26-27 八年级·全国·暑假作业）如图，三级台阶每一级的长宽高分别是5cm，3cm 和1cm，A 和B 是这 个台阶的两个相对的端点，点A 上有一只蚂蚁，想到点B 去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到点B 的 最短路程长为________cm． 【答案】13 【分析】本题主要考查了平面展开图中的最短路径问题，勾股定理，熟练掌握平面展开图及勾股定理是解 决本题的关键． 先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答． 【详解】解：如图所示， ∵三级台阶平面展开图为长方形，宽为5cm，长为( ) 3 1 3 12cm + = ， ∴蚂蚁沿台阶面爬行到点B 最短路程是此长方形的对角线长， 由勾股定理得， 2 2 5 12 13 AB cm = + = ， 则蚂蚁沿着台阶面爬到点B 的最短路程是13cm； 故答案为：13 39 / 44 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 10． （25-26 八年级下·广东阳江·期末）如图，某市某海鲜配送站有一个长方体保温箱，长 4 AB = 米，宽 1 BC = 米，高 2 BB= 米．工作人员要从箱底的A点沿箱体表面，拉一根保温软管到箱顶的C点，用来输送冷气．则 这根软管的最短长度是________米． 【答案】5 【分析】根据三种平面展开图，利用勾股定理计算AC的长度，再比较即可求解． 【详解】解：情况一： 4 1 5 AC AB BC = + = + = 米， 2 CC BB = = 米， 2 2 2 2 5 2 29 AC AC CC = + = + = 米； 情况二： 4 2 6 AB AB BB = + = + = 米， 1 B C BC = = 米， 2 2 2 2 6 1 37 AC AB B C = + = + = 米； 情况三： 1 2 3 BC BC CC = + = + = 米， 4 AB = 米， 2 2 2 2 4 3 25 5 AC AB BC = + = + = = 米； 5 29 37 ， 这根软管的最短长度是5米． 三、解答题 11．（25-26 八年级下·吉林松原·期中）如图，有一个水池，水面是一个边长为10 尺的正方形，在水池正中 央有一根芦苇，它高出水面1 尺，如果把这根芦苇拉向水池一边中点，它的顶端恰好到达池边的水面，求 这根芦苇的长度是多少尺？ 40 / 44 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【答案】13 尺 【分析】设这根芦苇的长度是x 尺，则水深为(𝑥−1)尺，利用勾股定理列出关于x 的方程，解方程即可． 【详解】解：设这根芦苇的长度是x 尺，则水深为(𝑥−1)尺， 由勾股定理得(𝑥−1)2 + 52 = 𝑥2， 解得 13 x = ， 即这根芦苇的长度为13 尺． 12．（25-26 八年级下·广东湛江·期中）五一假期，数学兴趣小组的同学来到湛江渔港公园放风筝．他们想知 道风筝离地面的垂直高度，于是利用所学数学知识解决实际问题．小组成员测量了相关数据，并画出了如 图所示的示意图，测得水平距离BC 的长为15 米，根据手中剩余线的长度计算出风筝线AB 的长为17 米， 牵线放风筝的手到地面的距离为1.5 米．（即 1.5 CD BE = = 米）根据以上信息，解决下列问题： (1)求风筝离地面的垂直高度． (2)如果小明想要把风筝沿射线DA方向再上升12 米，且BC 长度不变，那么他应该再放出多少米线？ 【答案】(1)9.5 米 (2)8 米 【分析】（1）利用勾股定理求出AC 的长，再加上CD的长度，即可求解； （2）根据勾股定理计算即可得到结论． 【详解】（1）解：由题意得， 90 ACB = ， 15 BC = 米， 17 = AB 米， 在Rt ABC △ 中，由勾股定理得， 2 2 2 AC AB BC = − ， ∴ 2 2 17 15 8 AC = − = 米， 则 8 1.5 9.5 AD AC CD = + = + = 米， ∴风筝离地面的垂直高度为9.5 米． （2）解：如图，当风筝沿方向再上升12 米时， ∴ 12 8 20 A C A A AC = + + = = 米， 41 / 44 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 在Rt A BC 中，由勾股定理得， 2 2 2 A B A C BC = + ， ∴ 2 2 20 15 25 A B = + = 米， ∴25 17 8 − = 米， ∴他应该再放出8 米线． 13． （25-26 八年级下·贵州·期中）如图，A，B 两块试验田相距200 m ，C 为水源地， 160m 120m AC BC = = ， ， 为了方便灌溉，现有下面两种方案修筑水渠． 甲方案：从水源地C 分别沿线段 , CA CB 修筑两条水渠到A，B 两块试验田． 乙方案：过点C 作AB 的垂线，垂足为H，先从水源地C 沿线段CH 修筑一条水渠到AB 所在直线上，再从 H 分别沿线段 , HA HB 向A，B 两块试验田进行修筑． 以上两种方案中，哪一种方案所修的水渠较短?请通过计算说明． 【答案】甲方案所修的水渠较短，说明见解析 【分析】设 m AH x = 对Rt ACH ，Rt BCH △ ，运用勾股定理得到 2 2 2 2 AC AH BC BH − = − ，然后建立方程求 解x ，然后比较AC BC + 和CH AH BH + + 即可． 【详解】解：∵过点C 作AB 的垂线，垂足为H， ∵在Rt ACH 中， 2 2 2 AC AH CH − = ， 在Rt BCH △ 中， 2 2 2 BC BH CH − = ， 2 2 2 2 AC AH BC BH − = − 由题意得 200m AB = ，设 m AH x = ，则 (200 )m BH x = − ． 160m, 120m AC BC = = ， 2 2 2 2 160 120 (200 ) x x − = − − ， 解得 128 x = ， 128m AH = ， 42 / 44 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 2 2 2 2 160 128 96(m) CH AC AH = − = − = ． 280m, 296m AC BC CH AH BH CH AB + = + + = + = ， AC BC CH AH BH + + + ， ∴甲方案所修的水渠较短． 14．（25-26 八年级下·安徽阜阳·期中）如图，地面上放着一个小凳子（凳宽AB 与地面平行，墙面OC 与地 面OD 垂直），点A到地面的距离为80cm．在图①中，一根长100cm的木杆一端与墙角O重合，另一端靠在 点A处． (1)求小凳子顶点A与墙面OC 的距离； (2)在图②中另一木杆的一端与点B 重合，另一端靠在墙上的点C 处，若 130cm OC = ，木杆BC 比凳宽AB 长70cm，求小凳子宽AB 和木杆BC 的长度． 【答案】(1)小凳子顶点A与墙面OC 的距离为60cm (2)小凳子宽AB 的长度为60cm ，木杆BC 的长度为130cm 【分析】（1）过A作AM 垂直于墙面，垂足为点M ，则 90 AMO = ，勾股定理即可求解． （2）延长BA交墙面于点N ，则 90 BNC = ，设 cm AB x = ，根据勾股定理建立方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：如图①，过A作AM 垂直于墙面，垂足为点M ，则 90 AMO = ， 由题意可知， 80cm, 100cm OM OA = = ， 由勾股定理得： 2 2 2 2 100 80 60(cm) AM OA OM = − = − = ， 答：小凳子顶点A与墙面OC 的距离为60cm ； （2）如图②，延长BA交墙面于点N ，则 90 BNC = ， 43 / 44 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 设 cm AB x = ，则 ( 70)cm, ( 60)cm, 130 80 50(cm) CB x BN x CN OC ON = + = + = − = − = ， 在Rt BCN 中，由勾股定理得： 2 2 2 BN CN BC + = ， 即 2 2 2 ( 60) 50 ( 70) x x + + = + ， 解得： 60 x = ， 60cm, 60 70 130(cm) AB BC = = + = ， 答：小凳子宽AB 的长度为60cm ，木杆BC 的长度为130cm． 15．（25-26 八年级下·广东佛山·期中）综合与实践 如图1，点A代表某工厂大门，水平直线l 代表一条笔直的道路，工厂计划在道路l 上建一个储物点B ． (1)如图，若车间在道路的另一侧点C 处． ①工作人员每天进入工厂后，先到储物点B 处取物品，然后到车间C ，请画图说明，储物点B 设在道路l 的 何处，工作人员所走的路程最短，并说明画图的理论依据． ②如图3，在道路l 上增加一个储物点D ，要求储物点D 在储物点B 的右侧，两个储物点的间距固定，工作 人员每天进入工厂后，先到储物点B 处取物品，然后沿着道路走到储物点D 取物品，最后到车间C ，请画 图说明，储物点D设在道路l 的何处，工作人员所走的路程最短． (2)如图4，若车间与大门在道路的同一侧，点A、点C 到水平直线l 的距离分别为500 米、300 米，点A、 点C 之间的水平距离为700 米，BD的长度为100 米，工作人员所走的最短路程是多少？ 【答案】(1)①图见解析；两点之间线段最短；②图见解析 (2)1100 米 【分析】（1）①根据两点之间线段最短，直接连接AC ，AC 与直线l 的交点即为储物点B 的位置； ②将点A向右平移BD的长度至点 1A ，连接 1AC ， 1AC 与直线l 的交点即为储物点D 的位置； （2）将点A向右平移BD的长度至点 1A ，作点C 关于直线l 的对称点 1 C ，连接 1 1 AC ，作 1 1 A E CC ⊥ ，得到 1 1 1 1 1 1 AB BD CD A D AA C D AA AC + + = + + + ，进而得到当 1 1 , , A D C 三点共线时， 1 1 1 AB BD CD AA AC + + = + ， 即工作人员所走的路程最短，进行求解即可. 【详解】（1）解：①如图，点 1 B 即为所求，理论依据为：两点之间线段最短； 44 / 44 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ②如图，点 1 D 即为所求； （2）解：将点A向右平移BD的长度至点 1A ，作点C 关于直线l 的对称点 1 C ，连接 1 1 AC ，作 1 1 A E CC ⊥ ，如 图， 则： 1 1 1 1 1 1 AB BD CD A D AA C D AA AC + + = + + + ， ∴当 1 1 , , A D C 三点共线时， 1 1 1 AB BD CD AA AC + + = + ，即工作人员所走的路程最短， 由题意， 1 1 1 100, 700 100 600, 500 300 800 AA BD AE EC = = = − = = + = ， ∴ 2 2 1 1 1 1 1000 AC A E C E = + = ， ∴AB BD CD + + 的最小值为100 1000 1100 + = ； 答：工作人员所走的最短路程是1100 米.
