文档文本内容
专题03 有理数运算中的新定义型及规律探究问题
常考题型·精准突破
题型1 有理数运算中的程序问题（重）
题型2 古代中的有理数运算问题
题型3 有理数运算的实际应用问题（高频）
题型4 有理数运算中的新定义型问题
题型5 有理数运算中的规律探究问题（难）
综合攻坚·知能拔高
常考题型·精准突破
◆题型1 有理数运算中的程序问题
1．5
2．288
3．10
-
◆题型2 古代中的有理数运算问题
4．11.5
5．
【答案】(1)13；
(2)
2
101001
；
(3)2494 ；
(4)3751．
【详解】（1）解：
3
2
1
0
1 2
1 2
0 2
1 2
8
4
0 1
13
´
+ ´
+ ´
+ ´
=
+
+
+ =
Q
，
\
2
1101
13
=
；
（2）解：
2
110110
Q
5
4
3
2
1
0
1 2
1 2
0 2
1 2
1 2
0 2
= ´
+ ´
+ ´
+ ´
+ ´
+ ´
32 16
0 1 4 1 2
0
=
+
+
+ ´ + ´ +
32 16
4
2
=
+
+
+
54
=
，
2
1101
3
2
1
0
1 2
1 2
0 2
1 2
= ´
+ ´
+ ´
+ ´
8
4 1
=
+
+
13
=
，
\
2
2
110110
1101
-
；
54 13
=
-
41
=
，
如下图所示，
10
2
41
101001
\
=
，
\
2
2
2
110110
1101
101001
-
=
；
（3）解：
4
3
2
1
0
1 6
5 6
3 6
1 6
4 6
´
+ ´
+ ´
+ ´
+ ´
1296 1080 108
6
4
=
+
+
+
+
2494
=
，
答：书生努力学习的天数为2494 天；
（4）解：如下图所示，
10
8
2025
3751
\
=
．
6．
【答案】(1)6
(2)1046
【详解】（1）解：Q纵、横、斜三条线上的三个数字，其和都相等，
\最左边的一列三个数字和为4
3
8
15
+ +
=
，
\右下角代表的数是15
2
7
6
-
-
=
；
（2）解：Q八进制数3745 换算成十进制数是
3
2
1
0
3 8
7
8
4
8
5 8
2021
´
+
´
+
´
+
´
=
，
\八进制2026 换算成十进制数是
3
2
1
0
2 8
0 8
2 8
6 8
1046
´
+ ´
+ ´
+ ´
=
．
◆题型3 有理数运算的实际应用问题
7．
【答案】(1)第五次
(2)收工时在A 地正东方向，距A 地1km
(3)共耗油12.3升
【详解】（1）解：第一次记录时：
4
4 km
-
=
，
第二次记录时：
4
7
3
3 km
- +
=
=
，
第三次记录时：
3
9
6
6 km
-
= -
=
，
第四次记录时：
6
8
2
2 km
- +
=
=
，
第五次记录时：
2
6
8
8 km
+
=
=
，
第六次记录时：
8
5
3
3 km
-
=
=
，
第七次记录时：
3
2
1
1 km
-
=
=
，
由此可知，在第五次记录时距A 地最远．
（2）解：
4
7
9
8
6
5
2
-
+ +
+ -
+ +
+ +
+ -
+ -
4
7
9
8
6
5
2
= - +
-
+
+
-
-
1 km
=
，
∵规定向东行驶为正，
∴收工时在A 地正东方向，距A 地1km ．
（3）解：
4
7
9
8
6
5
2
0.3
-
+ +
+ -
+ +
+ +
+ -
+ -
´
4
7
9
8
6
5
2
0.3
=
+
+
+ +
+ +
´
41 0.3
=
´
12.3
=
（升），
答：共耗油12.3升．
8．
【答案】(1)
A 地在学校的东边，距离学校2 千米
(2)
巡逻车平均每千米耗油0.96 升
【详解】（1）解：7
( 6)
( 5)
( 2)
( 8)
15 13
2
+ + -
+ -
+ -
+ +
=
-
=
，
所以A 地在学校的东边，距离学校2 千米；
（2）解：
7
6
5
2
7
6
5
2
20
+
+ -
+ -
+ -
=
+
+ +
=
，
则(27
7.8)
20
0.96
-
¸
=
，
所以巡逻车平均每千米耗油0.96 升．
9．
【答案】(1)四，1026
(2)826元
(3)饭堂更希望方案一卖出
【详解】（1）解：由表格数据可知，最小销售量对应的是第四周，
销售量最高的是第一周，实际销售量为200
28
228(
+
=
块)
销售额为228 4.5
1026(
´
=
元) ；
（2）解：计算每周实际销售量第一周：200
28
228(
+
=
块)
第二周：200 16
216(
+
=
块)
第三周：200
6
194(
-
=
块)
第四周：200 12
188(
-
=
块)
总销售量为228
216 194 188
826(
+
+
+
=
块)
每块面包的盈利为4.5
3.5
1(
-
=
元)
总盈利为826 1
826(
´ =
元)
答：开学第一月的总盈利是826(元)
（3）解：方案一：每块面包售价为6
0.3
5.7(
-
=
元)
饭堂的利润为
7
5.7
3.5
7 2.2
15.4(
´
-
=
´
=
元)
方案二：3块面包的利润为
3
6
3.5
3 2.5
7.5(
´
-
= ´
=
元)
超过3块的数量为7
3
4(
-
=
块)
这4 块面包的售价为6 0.9
5.4(
´
=
元)
这4 块的利润为
4
5.4
3.5
4 1.9
7.6(
´
-
=
´
=
元)
总利润为7.5
7.6
15.1(
+
=
元)
15.4
15.1
>
Q
\饭堂更希望方案一卖出
◆题型4 有理数运算中的新定义型问题
10．
【答案】(1)6
(2)480
【详解】（1）解：由题意得：
2
3
-
※
2
2
3
2
3
= -
´ + -
´
12
6
=
+ -
6
=
；
（2）解：由题意得：
5
4
2û
-
-
é
ù
ë
※
※
2
5
4
2
4
2
é
ù
= -
-
´
+ -
´
ë
û
※
5
32
8
= -
-
※
5
24
= -
※
2
5
24
5
24
= -
´
+ -
´
600 120
=
-
480
=
．
11．
【答案】(1) 1
-
(2)6
【详解】（1）解：
2
2
5
4
5
1
2
5 = -
-
=
-
Ä
= -
-
；
（2）解：因为
0
3
0
3
3
Ä -
=
- -
= ，
所以
2
3
0
3
3
3
3
3
9
3
6
é
ù
-
Ä
Ä -
= -
Ä
= -
-
=
-
=
ë
û
．
12．
【答案】(1)
2
-
⑤
(2)1
(3)33
(4)
2
1
n
a
-
æ
ö
ç
÷
è
ø
【详解】（1）解：
2
2
2
2
2
2
-
¸ -
¸ -
¸ -
¸ -
= -
⑤，
故答案为：
2
-
⑤．
（2）解：2023
2023
2023
1
=
¸
=
②
，
故答案为：1．
（3）解：
2
1
4
( 2)
( 1)
16
1
33
2
æ
ö
-
¸ -
+ -
= -
¸ -
+ =
ç
÷
è
ø
③
⑥
；
（4）解：原式
2
1
2
1
1
1
1
1
n
n
a
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
-
-
æ
ö
=
¸
¸
¸¼¸
=
´
´
´¼
´ = ç
÷
è
ø
n
n
个
个
，
故答案为：
2
1
n
a
-
æ
ö
ç
÷
è
ø
．
◆题型5 有理数运算中的规律探究问题
13．
【答案】(1) 99
100 ，101
100
(2) 1012
2023
【详解】（1）解：由题中前几个式子的规律得：
2
1
99
101
1 100
100
100
-
=
´
，
故答案为：99
100 ，101
100 ；
（2）解：由题意，
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
2
3
2022
2023
æ
ö æ
ö
æ
ö æ
ö
-
´
-
´
´
-
´
-
ç
÷ ç
÷
ç
÷ ç
÷
è
ø è
ø
è
ø è
ø
L
1
3
2
4
2021
2023
2022
2024
2
2
3
3
2022
2022
2023
2023
=
´
´
´
´
´
´
´
´
L
1
2024
2
2023
=
´
1012
2023
=
，
故答案为：1012
2023 ．
14．
【答案】(1)
2
1
1
1
1
10
1
2
9
11
æ
ö
=
´
-
ç
÷
-
è
ø
(2) 50
101
【详解】（1）解：由题意得第5 个等式：
2
1
1
1
1
10
1
2
9
11
æ
ö
=
´
-
ç
÷
-
è
ø；
（2）解：
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
2
1
4
1
6
1
8
1
100
1
+
+
+
+×××+
-
-
-
-
-
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
1
3
3
5
5
7
99
101
é
ù
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
=
´
-
+
-
+
-
+×××+
-
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ê
ú
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø
ë
û
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
1
3
3
5
5
7
99
101
æ
ö
=
´
-
+
-
+
-
+×××+
-
ç
÷
è
ø
1
1
1
2
1
101
æ
ö
=
´
-
ç
÷
è
ø
50
101
=
．
15．
【答案】(1)
2
3
3
3
3
3
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
+
+ +
+
=
+
+
+
+
(2)3025
(3)2800
【详解】（1）解：由题意，得：第五个式子为：
2
3
3
3
3
3
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
+
+ +
+
=
+
+
+
+
．
（2）解：由题意，得
2
3
3
3
3
3
3
(1
2
3
4
5
)
1
2
3
4
5
n
n
+
+
+
+
+¼+
=
+
+
+
+
+¼+
，
则
3
3
3
3
3
1
2
3
4
10
+
+
+
+
+
L
2
1
2
3
... 10
=
+
+ +
+
2
11 10
2
´
æ
ö
= ç
÷
è
ø
2
55
3025
=
=
．
（3）解：
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
6
7
8
9
10
1
2
3
4
5
10
1
2
3
4
5
+
+
+
+
=
+
+
+
+
+¼+
-
+
+
+
+
2
3025
1
2
3
4
5
=
-
+
+ +
+
3025
225
=
-
2800
=
．
综合攻坚·知能拔高
一、单选题
1．D
2．A
3．B
4．A
5．C
二、填空题
6．
3
2
-
7．3
-
8．
99
1
2
9．
12
-
10
10．
4,4
三、解答题
11．
【答案】(1)14
(2) 14
-
【详解】（1）解：
3
-
※
2
-
2
3
3
2
1
= -
+ -
´ -
-
9
6
1
=
+
-
14
=
；
（2）解：
3
2
5
2
2
é
ù
æ
ö
é
ù
-
-
-
ç
÷
ê
ú
ë
û
è
ø
ë
û
※
※
2
2
3
2
2
1
5
5
2 1
2
æ
ö
é
ù
=
+ ´ -
- -
-
+ -
´ -
ç
÷
ë
û
è
ø
4
3 1
25 10 1
=
- - -
-
-
4 3 1 14
= - - -
14
= -
．
12．
【答案】(1)
1
2
-
(2) 7
4 或7
2
【详解】（1）解：
2
1
3
6
2
2
1
2
é
ù
-
+ -
¸ -
= -
> -
ë
û
∴输出
1
2
-
故答案为：
1
2
-
．
（2）解：∵
5
x =
，
∴
5
x = ± ，
当
5
x =
时，
2
3
5
6
2
2
1
2
é
ù
-
+ -
¸ -
= -
< -
ë
û
继续计算：
2
3
7
6
2
2
1
2
4
é
ù
-
-
+ -
¸ -
=
> -
ê
ú
ë
û
∴输出7
4
当
5
x = - 时，
2
7
5
6
2
2
1
2
é
ù
- -
+ -
¸ -
=
> -
ë
û
∴输出7
2
综上所述，
5
x =
，输出结果为7
4 或7
2 ．
13．
【答案】(1)二，102；
(2) 23kg ；
(3)电商这一周一共赚了1428 元．
【详解】（1）解：∵
5
5
+
=
，
2
2
+
=
，
3
3
- = ，
10
10
+
=
，
7
7
-
=
，15
15
+
=
，
8
8
-
=
，
∵2
3
5
7
8
10
15
<
<
<
<
<
<
，
∴实际最接近原计划一天的销售量的是星期二，这天的销售量为：100
2
102
+
=
kg ，
故答案为：二，102；
（2）解：由表格可知：销量最多的一天是星期六，销量最少的一天是星期日，
∴销量最多的一天比销量最少的一天多销售的千克数为：
15
8
15
8
23
- -
=
+
=
kg ；
（3）解：这一周的实际销售总量比计划总量多的千克数为：5
2
3 10
7
15
8
+
- +
-
+
-
5
2 10 15
3
7
8
=
+
+
+
- -
-
32 18
=
-
14
=
kg ，
8
5.5
0.5
2
-
-
=
（元/kg ），
∴
2
100 7 14
´
´ +
2 714
=
´
1428
=
（元），
答：电商这一周一共赚了1428 元．
14．
【答案】(1)
1
1
2
4 5
5 6
4 5 6
-
=
´
´
´ ´
(2) 9
40
(3) 7
360
【详解】（1）解：根据题意可得：
第4 个等式为：
1
1
2
4 5
5 6
4 5 6
-
=
´
´
´ ´
，
故答案为：
1
1
2
4 5
5 6
4 5 6
-
=
´
´
´ ´
；
（2）解：Q第1 个等式：1
1
2
1 2
2 3
1 2 3
-
=
´
´
´ ´ ；
第2 个等式：
1
1
2
2 3
3 4
2 3 4
-
=
´
´
´ ´
；
第3 个等式：
1
1
2
3 4
4 5
3 4 5
-
=
´
´
´ ´
；
1
1
1
1 2 3
2 3 4
3 4 5
+
+
´ ´
´ ´
´ ´
\
1
1
1
1
1
1
1
2 1 2
2 3
2 3
3 4
3 4
4 5
æ
ö
=
-
+
-
+¼+
-
ç
÷
´
´
´
´
´
´
è
ø
1
1
1
2 1 2
4 5
æ
ö
=
-
ç
÷
´
´
è
ø
1
1
1
2
2
20
æ
ö
=
´
-
ç
÷
è
ø
9
40
=
．
（3）解：
1
1
4
5 6
8
9 10
+
+
´ ´
´ ´
L
1
1
1
1
1
2 4 5
5 6
8 9
9 10
æ
ö
=
-
+¼¼+
-
ç
÷
´
´
´
´
è
ø
1
1
1
2 20
90
æ
ö
=
-
ç
÷
è
ø
7
360
=
．
15．
【答案】(1)1139
(2)1838 个
【详解】（1）解：八进制数2163 换算成十进制数为
3
2
1
0
2
8
1 8
6 8
3 8
´
+ ´
+
´
+ ´
1024
64
48
3
=
+
+
+
1139
=
；
（2）解：由题意，
4
3
2
1
0
1 6
2
6
3 6
0
6
2
6
´
+
´
+ ´
+
´
+
´
1296
432 108
2
=
+
+
+
1838
=
（个），
答：她一共采集到的野果数量为1838 个．
16．
【答案】(1)①②
(2)
1
2
-
【详解】（1）解：①∵
1
2
a
b
=
=
，
；
∴
1
1
1
*
1
2
2
a b =
-
=
，
1
1
1 2
2
a
b
Ä
=
=
´
，
∴
*
a
b
a b
Ä
=
，则①是“隔一数对”；
②∵
4
1
3
3
a
b
= -
= -
，
；
∴
1
1
9
*
4
1
4
3
3
a b =
-
=
-
-
，
1
9
4
1
4
3
3
a
b
Ä
=
=
æ
ö æ
ö
-
´ -
ç
÷ ç
÷
è
ø è
ø
，
∴
*
a
b
a b
Ä
=
，则②是“隔一数对”；
③∵
1
1
a
b
= -
=
，
；
∴
1
1
*
2
1
1
a b =
-
= -
-
，
1
1
1 1
a
b
Ä
=
= -
- ´
，
∴
*
a
b
a b
Ä
¹
，则③不是“隔一数对”；
故答案为：①②；
（2）解：
3 *4
3
4
2024 *
2024
-
- -
Ä
+ -
-
1
1
1
1
1
3
4
3
4
2024
2024
=
-
-
+
-
-
-
´
-
-
1
1
1
0
3
4
12
=
-
-
+
-
-
7
1
12
12
= -
+
1
2
= -
．
17．
【答案】（1）
1
2 ，2；（2）
4
1
( )
2
，
5
( 3)
-
；（3）
2
1
( )n
a
- ；（4）2
-
【详解】解：（1）
3
1
2
2
2
2
2
=
¸
¸
=
；
3
1
1
1
1
( )
( )
( )
( )
2
2
2
2
2
=
¸
¸
=
，
故答案为：
1
2 ，2；
（2）
6
2
2
2
2
2
2
2
=
¸
¸
¸
¸
¸
1
1
1
1
1 2
2
2
2
= ´
´
´
´
4
1
( )
2
=
，
7
1
1
1
1
1
1
1
1
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
3
3
3
3
3
3
3
3
-
= -
¸ -
¸ -
¸ -
¸ -
¸ -
¸ -
1
3
3
3
3
3
= ´ -
´ -
´ -
´ -
´ -
5
( 3)
= -
，
故答案为：
4
1
( )
2
，
5
( 3)
-
；
（3）
n
n
a
a
a
a
a
=
¸
¸
¸××× ¸
{
个
1
1
1
1
1
n
a
a
a
a
a
-
=
´
´
´
×××
n
个
2
1
( )n
a
-
=
，
故答案为：
2
1
( )n
a
- ；
（4）
2
3
4
6
6
1
1
12
(
)
( 2)
(
)
3
3
3
¸ -
´ -
- -
¸
2
4
4
3
1
144
( 3)
(
)
( 3)
3
2
=
¸ -
´ -
- -
¸
4
3
1
144
9
3
3
16
=
¸
´
-
¸
1 3
= -
2
= - ．
18．
【答案】(1) 1
64 ，127
128
(2)如图所示（标序号部分）即为所求：
(3)①
1
1
2n
-
；②
1
2
2
n+ -
【详解】（1）由题知，
正方形每次被分割的部分是前一部分面积的一半，
所以图中阴影部分的面积与部分⑥的面积相等．
又因为部分①的面积为：
1
1
1
2
2
=
，
部分②的面积为：
2
1
1
1
1
2
2
4
2
´
=
=
，
部分③的面积为：
3
1
1
1
1
1
2
2
2
8
2
´
´
=
=
，
…，
依次类图，部分n 的面积为1
2n ．
当
6
n =
时，
6
1
1
1
2
2
64
n =
=
．
所以阴影部分的面积为1
64 ．
∵
2
3
7
7
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
+
+
+
+
+
=
L
，
∴
7
7
127
128
1
1
1
1
1
1
2
4
8
2
2
+
+
+
+
= -
=
L
．
故答案为：1
64 ；127
128 ．
（2）如图所示（标序号部分）即为：求
6
1
1
1
1
2
4
8
2
+
+
+¼+
的值的几何图形
（3）①根据（2）中的发现可知，
1
1
1
1
1
1
2
4
8
2
2
+
+
+
+
= -
L
n
n ．
故答案为：
1
1
2n
-
．
②令
2
4
8 16
2n
S
+
+ +
+¼+
=
①
将等式两边同时乘以2 得：
1
2
4
8
16
2
2
n
n
S
+
=
+
+
+¼+
+
②，
将②式减去①式得
1
2
2
n
S
+
=
-
，即
1
2
2
2
4
8 16
2
n
n
+
+
+ +
+¼
=
-
+
．
故答案为：
1
2
2
n+ -
．
