文档文本内容
1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 专题03 定义与命题 （题型突破·举一反三） ▌题型01 定义的概念 【典例1】D． 【变式1-1】B． 【变式1-2】D． 【变式1-3】C． ▌题型02 画示意图 【典例1】A． 【变式1-1】C． 【变式1-2】B． 【变式1-3】A． ▌题型03 命题的概念 【典例1】A． 【变式1-1】D． 【变式1-2】D． 【变式1-3】B． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ▌题型04 命题的构成 【典例1】如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等． 【变式1-1】如果两个角是对顶角，那么这两个角相等． 【变式1-2】如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的余角 【变式1-3】两条直线都与第三条直线平行． ▌题型05 真命题与假命题 【典例1】A． 【变式1-1】A． 【变式1-2】A． 【变式1-3】A． ▌题型06 举反例 【典例1】A． 【变式1-1】A． 【变式1-2】D． 【变式1-3】a＝﹣2． ▌题型07 逆命题 【典例1】如果a+b＞0，那么a＞0，b＞0． 3 / 7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【变式1-1】B． 【变式1-2】两个角相等三角形是等腰三角形． 【变式1-3】互补的角为同旁内角． ▌题型08 根据给出的论断组命题并证明 【典例1】 【解答】解：（1）一共能组成三个命题， ①如果DE∥BC，∠1＝∠2，那么∠B＝∠C； ②如果DE∥BC，∠B＝∠C，那么∠1＝∠2； ③如果∠1＝∠2，∠B＝∠C，那么DE∥BC； （2）如果DE∥BC，∠1＝∠2，那么∠B＝∠C，是真命题， 理由如下：∵DE∥BC， ∴∠1＝∠B，∠2＝∠C， ∵∠1＝∠2， ∴∠B＝∠C； 如果DE∥BC，∠B＝∠C，那么∠1＝∠2，是真命题， 理由如下：∵DE∥BC， ∴∠1＝∠B，∠2＝∠C， ∵∠B＝∠C， ∴∠1＝∠2； 如果∠1＝∠2，∠B＝∠C，那么DE∥BC，是真命题， 理由如下：∵∠B+∠C+∠BAC＝180°， ∴∠B+∠C＝180°﹣∠BAC， ∵∠1+∠2+∠BAC＝180°， ∴∠1+∠2＝180°﹣∠BAC， ∴∠B+∠C＝∠1+∠2， ∵∠1＝∠2，∠B＝∠C， ∴∠B＝∠1， ∴DE∥BC． 4 / 7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【变式1-1】 【解答】解：（1）条件为①②，结论为④． 故答案为：①②；④． （2）证明：∵∠A＝∠D， ∴AB∥CD， ∴∠B＝∠BFD， ∵∠B＝∠C， ∴∠BFD＝∠C， ∴EC∥BF． 【变式1-2】 【解答】解：（1）命题1：若∠1＝∠2，∠B＝∠C，则AB∥CD． 命题2：若∠1＝∠2，AB∥CD，则∠B＝∠C． 命题3：若∠B＝∠C，AB∥CD，则∠1＝∠2． （2）第一种情况： 已知：∠1＝∠2，∠B＝∠C， 求证：AB∥CD． 证明：如图， ∵∠1＝∠3，∠1＝∠2， ∴∠3＝∠2， ∴EC∥BF， ∴∠AEC＝∠B， 又∵∠B＝∠C， ∴∠AEC＝∠C， ∴AB∥CD； 第二种情况： 已知：∠B＝∠C，AB∥CD， 求证：∠1＝∠2． 证明：如图， 5 / 7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∵AB∥CD ∴∠AEC＝∠C， ∵∠B＝∠C， ∴∠AEC＝∠B， ∴EC∥BF， ∴∠3＝∠2， ∵∠1＝∠3， ∴∠1＝∠2； 第三种情况： 已知：∠1＝∠2，AB∥CD， 求证：∠B＝∠C． 证明：如图， ∵∠1＝∠3，∠1＝∠2， ∴∠3＝∠2， ∴EC∥BF， ∴∠AEC＝∠B， ∵AB∥CD， ∴∠AEC＝∠C， ∴∠B＝∠C， 【变式1-3】 【解答】解：条件：①②，结论：③，理由如下： ∵BC 平分∠DCH， ∴∠BCD＝∠BCH， ∵AC⊥BC， ∴∠ACB＝90°，即∠ACD+∠BCD＝90°， 6 / 7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∵∠ACG+∠ACD+∠BCD+∠BCH＝180°， ∴∠ACG+∠BCH＝90°， ∴∠ACD＝∠ACG， ∵EF∥GH， ∴∠ACG＝∠DAC， ∴∠ACD＝∠DAC， 故答案为：①②，③． ▌题型09 定理 【典例1】 【解答】解：（1）根据三角形的内角和定理可得：∠BAC＝180°﹣∠ACB﹣∠B＝60°， ∵AD 平分∠BAC， ∴∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐷= 1 2 ∠𝐵𝐴𝐶= 30°， ∵PE⊥AD 交BC 的延长线于点E， ∴∠DPE＝90°， ∵∠ADE＝∠B+∠BAD＝75°， ∴∠E＝90°﹣∠ADE＝15°． （2）∠𝐸= 1 2 (∠𝐴𝐶𝐵−∠𝐵)； 证明：由条件可知： ∠𝐵𝐴𝐷= 1 2 ∠𝐵𝐴𝐶= 1 2 (180° −∠𝐴𝐶𝐵−∠𝐵) = 90° −1 2 ∠𝐴𝐶𝐵−1 2 ∠𝐵， ∴∠𝐴𝐷𝐸= ∠𝐵+ ∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐵+ 90° −1 2 ∠𝐴𝐶𝐵−1 2 ∠𝐵= 90° −1 2 ∠𝐴𝐶𝐵+ 1 2 ∠𝐵， ∵PE⊥AD 交BC 的延长线于点E， ∴∠DPE＝90°， ∴∠𝐸= 90° −∠𝐴𝐷𝐸= 90° −(90° −1 2 ∠𝐴𝐶𝐵+ 1 2 ∠𝐵) = 1 2 (∠𝐴𝐶𝐵−∠𝐵)， 即∠𝐸= 1 2 (∠𝐴𝐶𝐵−∠𝐵)． 【变式1-1】50． 【变式1-2】 【解答】解：（1）在△ABC 中，BE 为角平分线，∠ABC＝62°， 7 / 7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴∠𝐴𝐵𝐸= 1 2 ∠𝐴𝐵𝐶= 1 2 × 62° = 31°（角平分线的定义）， ∵CD 为△ABC 高， ∴∠BDC＝90°， ∴∠BOC＝∠BDC+∠ABE＝90°+31°＝121°， 则∠BOC 的度数为121°； （2）∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠BAC＝180°﹣80°＝100°， 在△ABC 中，BE 为角平分线，CD 为角平分线， ∴∠𝐶𝐵𝑂= 1 2 ∠𝐴𝐵𝐶，∠𝐵𝐶𝑂= 1 2 ∠𝐴𝐶𝐵（角平分线的定义）， ∴∠𝐶𝐵𝑂+ ∠𝐵𝐶𝑂= 1 2 (∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵) = 1 2 × 100° = 50°， 在△BCO 中，∠BOC＝180°﹣（∠CBO+∠BCO）＝180°﹣50°＝130°． 【变式1-3】 【解答】解：（1）∵CD 是△ABC 的角平分线， ∴∠𝐴𝐶𝐷= 1 2 ∠𝐴𝐶𝐵， ∵∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠ABC＝180°﹣36°﹣66°＝78°， ∴∠𝐴𝐶𝐷= 1 2 ∠𝐴𝐶𝐵= 1 2 × 78° = 39°， ∴∠CDB＝∠A+∠ACD＝36°+39°＝75°， ∵EF⊥AB， ∴∠EFD＝90°， ∴∠DEF＝90°﹣∠CDB＝90°﹣75°＝15°； （2）∵BD＝8，EF＝6，EF⊥AB， ∴𝑆△𝐸𝐷𝐵= 1 2 𝐵𝐷⋅𝐸𝐹= 1 2 × 8 × 6 = 24， ∵E 是CD 的中点， ∴CE＝DE， ∵△EDB 的边DE 上的高与△BCE 的边CE 上的高相同， ∴S△BCE＝S△EDB＝24．
