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1 / 39 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 专题04 二次函数的图象和性质问题的六类综合题型 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、二次函数的图象和性质 题型二、利用二次函数的增减性比较大小 题型三、已知二次函数上对称的两点求对称轴 题型四、求二次函数在某区域的最值问题 题型五、画二次函数的图象 题型六、二次函数的图象和性质综合问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 - 题型特征：围绕开口、顶点、对称轴、增减性、最值及图象平移设问，常与方程、不等式综合。 - 解题方法：配方化为顶点式y=a(x-h)2+k；利用对称轴x=− 𝑏 2𝑎判断增减分界；平移规律“左加右减、上加 下减”。 - 易错提醒：忽视a≠0 及开口方向；平移时括号内符号处理错误；顶点式中h 符号易混淆；最值未考虑自 变量取值范围。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、二次函数的图象和性质 典例1 （25-26 九年级上·山西忻州·期末）关于二次函数 的图象，下列说法正确的是（ ） A．当 时，y 随x 的增大而增大 B．当 时，y 随x 的增大而增大 C．当 时，y 随x 的增大而减小 D．当 时，y 随x 的增大而减小 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的增减性由开口方向和对称轴决定，先求对称轴， 再根据开口方向判断增减区间． 目 录 2 / 39 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【详解】解：∵二次函数为 ，其中 ， ， ， ∴对称轴为 ， ∵ ， ∴抛物线开口向下， ∴当 时，y 随x 的增大而增大；当 时，y 随x 的增大而减小， 故选：B． 题型模版 1.特征：图象是抛物线，顶点、对称轴决定增减性，开口方向由a 决定，与y 轴交于c。 2.方法：配方化为顶点式，确定顶点、对称轴；列表描点作图，结合a、b、c 符号判断性质。 变式1-1（2026·四川甘孜·中考真题）对于抛物线 ，以下说法正确的是（ ） A．开口向下 B．对称轴为直线 C．顶点坐标为 D．当 时， 随 的增大而减小 【答案】B 【分析】根据抛物线顶点式 的性质，分别判断开口方向、对称轴、顶点坐标和增减性，即 可得到正确选项． 【详解】解：∵抛物线解析式为 ∴ ∴抛物线开口向上，故A 错误 对称轴为直线 ，故B 正确 顶点坐标为 ，故C 错误 ∵抛物线开口向上，对称轴为直线 ∴当 时， 随 的增大而增大，故D 错误． 变式1-2（25-26 九年级上·重庆合川·期中）关于二次函数 ，下列说法错误的是（ ） A．函数图像的开口向下； B．拋物线的对称轴是直线 ； C．函数有最大值为 ； D．函数图像与y 轴的交点是 ． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，通过分析二次函数的开口方向、对称轴、最大值和y 轴交点， 3 / 39 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 判断各选项正误，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：∵ 二次函数为 ，二次项系数 ， ∴ 函数图像开口向下，选项A 不符合题意； ∵ 对称轴公式为 ，其中 ， ， ∴ ，即对称轴为直线 ，故B 不符合题意； ∵ 函数图象开口向下，函数有最大值，在顶点处取得， 当 时， ， ∴ 最大值为 ，故C 不符合题意； 当 时， ， ∴函数图像与y 轴的交点是 ，故D 符合题意， 故选：D． 变式1-3（25-26 九年级上·江西上饶·阶段检测）对二次函数 的性质描述正确的是（ ） A．函数图象开口向上 B．当 时， 随 的增大而减小 C．该函数图象与 轴的交点位于 轴负半轴 D．该函数图象的对称轴在 轴右侧 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，熟悉二次函数对称轴、顶点、与x 轴和 轴交点是解决此类题的 关键.二次函数 ， 决定开口方向， 开口向上， 开口向下；对称轴公式为 ；与 轴交点为 ，分别判断即可． 【详解】解： A、 ，开口向下，此选项错误，故不符合题意； B、根据对称轴公式： ，因为函数开口向下，所以在对称轴左侧( )， 随 的增大而 增大； 当 时，属于对称轴左侧( ) ，因此 随 的增大而增大，此选项错误，故不符合题意； C、令 ，代入函数得 ，即与 轴交点为 在 轴正半轴，此选项错误，故不 符合题意； D、由前面计算可知，对称轴为 ， 因此对称轴在 轴右侧，此选项正确，故符合题意． 故选：D． 4 / 39 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型二、利用二次函数的增减性比较大小 典例2 （25-26 八年级下·辽宁盘锦·期末）若点 ， ， 在二次函数 的图象上，则 ， ， 的大小关系是__________．（按从小到大表示） 【答案】 【分析】先根据二次函数解析式判断开口方向，求出对称轴，再根据开口向上的二次函数的性质，即点到 对称轴的距离越大，对应的函数值越大，计算三个点到对称轴的距离，即可比较 的大小. 【详解】解： ， 抛物线开口向上；对称轴为直线 . 分别计算三个点的横坐标到对称轴 的距离： 点 ： 点 ： 点 ： 开口向上的抛物线，点到对称轴的距离越大，对应的函数值越大，且 ， . 题型模版 1.特征：给定二次函数及多个点的横坐标，比较对应纵坐标大小，需考虑对称轴与开口方向。 2.方法：先求对称轴，判断各点与对称轴距离；开口向上时，距对称轴越远函数值越大；开口向下则相反。 变式2-1（25-26 八年级下·重庆渝中·期末）已知点 ， ， 都在函数 的图象上，则 、 、 的大小关系是___________． 【答案】 / 【分析】根据函数表达式可知抛物线开口向下，对称轴 ，在对称轴 处，函数取得最大值，分别计 算点 、点 、点 横坐标到对称轴距离进行比较即可． 【详解】解：由函数表达式 可知，函数图象为抛物线，抛物线开口向下，对称轴为直线 ， 当 时， 随着 增大而增大，当 时， 随着 增大而减小，在对称轴 处，函数取得最大值， ∴距离对称轴越近的点，函数值 越大，距离对称轴越远的点，函数值 越小， 5 / 39 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 分别计算 ，点 ， 三点的横坐标到对称轴 的距离： 点 的横坐标为 ，到对称轴的距离为 ， 点 的横坐标为 ，到对称轴的距离为 ， 点 的横坐标为 ，到对称轴的距离为 ， ∴ ． 变式2-2（2026·北京·中考真题）在平面直角坐标系 中，函数 的图象经过点 和 ．若 ，则 ________ （填“ ”“ ”或“ ”）． 【答案】 【分析】先将二次函数解析式配方，得到抛物线的开口方向与对称轴，再根据二次函数的增减性，结合 判断两点横坐标的位置，即可比较 与 的大小． 【详解】解：对函数解析式配方得 ， ， 抛物线开口向上，对称轴为直线 ， 当 时， 随 的增大而增大， ， ， ． 变式2-3（25-26 九年级上·陕西榆林·期末）已知点 ， ， 在抛物线 的图像上，则 ， ， 的大小关系是________．（用“ ”连接） 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质． 抛物线开口向下，对称轴为 ，通过比较各点与对称轴的距离确定y 值大小关系． 【详解】解：由解析式 得， ∵ ， ∴抛物线开口向下， ∴抛物线上的点距离对称轴越远，函数值越小， 6 / 39 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 对称轴为直线 ， 点 到对称轴的距离为 ， 点 到对称轴的距离为 ， 点 到对称轴的距离为 ， ∵ ， ∴ ， 故答案为： ． 题型三、已知二次函数上对称的两点求对称轴 典例3 （25-26 九年级上·上海虹口·阶段检测）如果一条抛物线经过 、 两点，那么这条抛物 线的对称轴是______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征及抛物线对称轴的求解，抛物线上的两点纵坐标相同， 说明它们关于对称轴对称，对称轴为两点横坐标的中点． 【详解】解：点 和 的纵坐标均为 ，因此这两点关于抛物线的对称轴对称， ∴对称轴为直线 ． 故答案为： ． 题型模版 1.特征：已知抛物线上两点的纵坐标相同（对称点），求对称轴方程，常结合中点公式。 2.方法：对称轴为这两点横坐标的平均值，即 x = 𝑥1+𝑥2 2 ，利用中点横坐标即为对称轴位置。 变式3-1（25-26 九年级上·福建福州·期中）若二次函数 的图像经过点 ， ，则 _____． 【答案】 【分析】本题主要考查了根据抛物线的对称性求对称轴， 由于点A 和点B 的纵坐标相同，它们关于二次函数的对称轴对称，利用对称轴公式或代入坐标解方程即可 7 / 39 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 求解． 【详解】解：∵二次函数 的图像经过点 和 ，且两点纵坐标相等， ∴它们关于抛物线的对称轴对称， ∴抛物线的对称轴为 ， 解得 ． 故答案为： ． 变式3-2（25-26 八年级下·浙江杭州·期末）已知二次函数 的图象经过点 和点 ，当 时函数取得最小值，则 的值为_______ 【答案】 【分析】根据点A 和点B 的纵坐标相同求出对称轴为直线 ，根据函数图象开口向上时，在对称轴 处取得最小值可确定对称轴为直线 ，据此建立方程求解即可． 【详解】解：∵二次函数 图象经过点 和点 ， ∴二次函数的对称轴为直线 ， ∵在 中， ， ∴该二次函数的图象开口向上， ∴在对称轴处函数有最小值， 又∵当 时函数取得最小值， ∴该函数的对称轴为直线 ， ∴ ， ∴ ． 变式3-3（25-26 九年级上·浙江温州·阶段检测）已知抛物线 的图象经过点 ，若 ，则k 的值为_________． 【答案】4 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数图象的对称性，求出抛物线与 轴的交点坐标，对称性 8 / 39 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 求出对称轴，再根据题意，得到 两点关于对称轴对称，即可得出结果． 【详解】解：∵ ， ∴当 时， ， ∴抛物线与 轴的交点坐标为 ， ∵图象过点 ， ∴抛物线的对称轴为直线 ， ∵ ， ∴ ， ∴ 两点关于对称轴对称， ∴ ； 故答案为：4． 题型四、求二次函数在某区域的最值问题 典例4 （2025·四川资阳·三模）已知函数 ，若函数在 上的最大值是 ， 则 的值为_____． 【答案】 或 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，属于“定范围动轴”的问题，正确分类讨论是解题的关键． 先求出抛物线的对称轴为 ，再根据对称轴与 的范围比较，分类讨论，利用二次函数的性质求 解即可． 【详解】解：对称轴为直线 ， ① 时， ∵ ， ∴函数在 上， 随 的增大而减小， ∴当 时， ， 解得： 或 （舍）； 9 / 39 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ②当 时，则 ， 此时当 时，函数有最大值，则 ， 解得： ； 当 时，即 ， ∵ ， ∴函数在 上， 随 的增大而增大， ∴当 时， ， 解得： （舍）， 综上： 的值为 或 ， 故答案为： 或 ． 题型模版 1.特征：在自变量给定范围内（如m≤x≤n），求二次函数的最大值或最小值。 2.方法：先求对称轴，判断其是否在区间内；在区间内则顶点为最值，否则在区间端点处取得最值。 变式4-1（25-26 八年级下·浙江宁波·期末）已知二次函数 ，当 时，y 的取值范 围为________． 【答案】 【分析】将二次函数化为顶点式，得到开口向上，对称轴为直线 ，距离对称轴越远函数值越大，即可 求解． 【详解】解： ， 开口向上，对称轴为直线 ，距离对称轴越远函数值越大， 当 时， 有最小值为1， ， 当 时， 有最大值为， y 的取值范围为 ． 变式4-2（25-26 九年级上·江苏宿迁·期末）当 时，二次函数 的最大值是5， 10 / 39 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 则 的值为______． 【答案】2 或 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键． 根据二次函数的性质，由于二次项系数为负，函数图象开口向下，最大值可能出现在顶点或区间端点，需 结合对称轴位置与 的关系分类讨论． 【详解】函数 的图象开口向下，对称轴为直线 ，顶点坐标为 ， 当 时，最大值在顶点处，则 ， 解得 或 （舍去）， ； 当 时，在 时， 随 的增大而减小， 最大值在 处取得，即 ， 解得 ，且 ，符合条件； 当 时，在 时， 随 的增大而增大， 最大值在 处取得，即 ， 解得 ，但 ，不符合 ，故舍去； 因此 的值为 或 ． 变式4-3（25-26 九年级下·湖北黄石·期中）已知二次函数 ，当 时， 的 最小值为 ，则 的值为_____． 【答案】 或6 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，熟练掌握二次函数的图象及性质，根据二次函数的 性质，在指定的范围内准确求出函数的最小值是解题的关键．由题意可知 的对称轴为 直线 ，顶点坐标为 ，分两种情况讨论：当 时， ；当 时，在 ， ， 即可求解答案． 【详解】解： 的对称轴为直线 ， 顶点坐标为 ， 11 / 39 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 当 时，在 ，函数有最小值 ， ∵ 的最小值为 ， ∴ ， ∴ ； 当 时，离对称轴越远，函数值越小， 在 ， ， ， ∴当 时，函数有最小值， ∴ ， 解得 ； 综上所述： 的值为6 或 ． 故答案为：6 或 ． 题型五、画二次函数的图象 典例5 （25-26 八年级下·北京·期末）已知：二次函数 ，y 与x 的一些对应值如表： x … 0 1 2 4 … … m 3 n 3 … (1)根据表格中的数据，确定二次函数解析式为 ； (2)表格中空白处的值 ， ； (3)用五点作图法，在给定坐标系里画出二次函数 的图象，并回答：顶点坐标为 ，对称轴方 12 / 39 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 程为 ； (4)当 时， ，则t 的取值范围为 ． 【答案】(1) (2)8；0 (3)图象如图所示： ； (4) 【分析】（1）运用待定系数法求解二次函数的解析式，即可作答． （2）理解题意，把 ， 分别代入 ，求出 的值； （3）用五点作图法即可，再化为顶点式，即可作答． （4）运用数形结合思想进行分析，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，把 分别代入 ， 得 ， 解得 ， ∴ ． （2）解：依题意，把 代入 ， 得 ，即 ； 把 代入 ， 13 / 39 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 得 ，即 ； （3）解：图略， ∴顶点坐标为 ，对称轴方程为 ． （4）解：观察（3）的函数图象： 当 时，则 ∵当 时， ， ∴结合函数图象，得 题型模版 1.特征：根据解析式在坐标系中描点画出抛物线，需确定顶点、对称轴和开口方向。 2.方法：配方求顶点和对称轴；列表取点（至少5 个），描点连线，注意抛物线平滑且对称。 变式5-1（25-26 八年级下·北京·期末）已知二次函数 的图象经过点 ， ． (1)求该二次函数的解析式，并在坐标系中画出函数图象； 14 / 39 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (2)当 时，直接写出该二次函数的函数值y 的取值范围． 【答案】(1) ， 二次函数图象如下， (2)当 时该二次函数的函数值y 的取值范围为 【分析】（1）运用待定系数法即可求解，运用五点法作图即可； （2）根据自变量的取值范围分别算出临界点的函数值，结合顶点坐标得到函数值的取值范围． 【详解】（1）解：二次函数 的图象经过点 ， ， ∴ ， 解得， ， ∴二次函数解析式为 ， ∴二次函数的顶点坐标为 ， 当 时， ， 当 时， ， 运用五点法作函数图象：略； （2）解：在二次函数 中，当 时， 时， ；顶点坐标为 ； 时， ， ∴当 时该二次函数的函数值y 的取值范围为 ． 变式5-2（25-26 八年级下·北京·期末）已知二次函数 ． 15 / 39 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (1)先补全表格，则 ______．然后在平面直角坐标系 中用“列表、描点、连线”的方法画出该二次 函数的图象： x … 0 1 2 3 … … 2 2 … (2)根据表格图象可知，当 时，y 的取值范围是______． (3)点 和 都在此函数的图象上，且点A 与点B 不重合，若 ，结合函数图象，直接写出 n 的取值范围． 【答案】(1)3；函数图象，如图所示： (2) (3) 或 【分析】（1）把 代入 得出 ，即可得出 ，先描点，再连线，画出二 次函数图象即可； （2）根据函数图象，写出当 时，y 的取值范围即可； （3）根据函数图象，得出答案即可． 【详解】（1）略 （2）解：根据函数图象可得：当 时， ； 16 / 39 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 （3）解：当 时， ，即 ， 根据函数图象可知：当 或 时， ， ∵点 和 都在此函数的图象上，且点A 与点B 不重合，且 ， ∴n 的取值范围为 或 ． 变式5-3（25-26 八年级下·北京·阶段检测）在平面直角坐标系 中，二次函数 的 对称轴为直线 ，且经过点 ． (1)当 ， 时 ①直接写出这个二次函数的解析式为 ； ②在平面直角坐标系 中画出抛物线； ③当 时，直接写出 的取值范围． (2)点 ， 是抛物线上两点，当 时，对于 ，总有 ，求的取值范围． 【答案】(1)① ；②图象如图所示： ③ 17 / 39 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (2) 【分析】（1）①根据题意得出 ， ，即可确定函数解析式； ②列表，描点，画出图象即可； ③根据题意及函数图象，求出相应临界值即可得出结果； （2）根据题意得出 需在点B 及其对称点的外侧，得出相应不等式求解即可． 【详解】（1）解：①当 ， 时，对称轴 ， ∴ ， 解得 ； ∵过点 ， ∴ ， ∴二次函数解析式为 ； ②列表如下： x 0 1 2 3 4 y 画图略； ③当 时，当 时 取最小值 ， 时 ， 时 ， 故 的取值范围为 ； （2）解：二次函数开口向上，对称轴为 ， ，点 关于对称轴的对称点为 ． 要使 时总有 ， ∴ 需在点B 及其对称点的外侧， 即 ， 解得 ， 结合 ， 的取值范围为 ． 18 / 39 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型六、二次函数的图象和性质综合问题 典例6 （2026·四川攀枝花·中考真题）已知二次函数 ，其中 为常数． (1)若 ，求此函数图象的顶点坐标； (2)当 时，y 随x 的增大而减小；当 时， 随 的增大而增大，求 的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将 代入二次函数 中，得到 ，即可得到函数图象的顶点坐 标为 ； （2）先求得抛物线的对称轴为直线 ，根据当 时，y 随x 的增大而减小；当 时， 随 的增大而增大，得到 ，即可求得 的取值范围． 【详解】（1）解：∵ ， ∴二次函数 ， ∴函数图象的顶点坐标为 ； （2）解：∵二次函数为 ， ∴对称轴为直线 ， ∵当 时，y 随x 的增大而减小， ∴ ，解得 ； ∵当 时， 随 的增大而增大， ∴ ，解得 ， ∴ 的取值范围是 ． 题型模版 1.特征：综合考查二次函数图象的开口、对称轴、顶点、增减性及与坐标轴交点等性质。 2.方法：通过配方或公式确定顶点、对称轴，列表描点作图，结合图象性质分析交点、最值等问题。 变式6-1（25-26 九年级上·河北衡水·阶段检测）如图，二次函数 的图象经过坐标原点，且 19 / 39 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 与 轴交于点 ． (1)求此二次函数的表达式； (2)在抛物线上是否存在点 ，使 的面积为1？若存在，请求出点 的坐标；如果不存在．请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，点 的坐标为 或 或 【分析】本题主要考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键； （1）利用待定系数法可进行求解； （2）设 ，由题意易得 ，则有 或 ，然后分别代入二次函数解析式进 行求解即可． 【详解】（1）解：由题意可把点 代入二次函数 得： ， 解得 ， 此二次函数的表达式为 ； （2）解：存在，理由如下： 设 ，则根据题意， 得 ， ， 解得 或 ， 当 时， ，即 ，解得 ，即 ； 当 时， ，解得 ， 20 / 39 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 则 ， ． 综上，点 的坐标为 或 或 ． 变式6-2（25-26 九年级上·重庆忠县·期末）在如图所示平面直角坐标系 中，直线 与抛物线交 于 ，B 两点，过A，B 两点分别作x 轴的垂线，垂足分别为点C、D，已知线段 的中点P 为抛物线 的顶点， ． (1)求该抛物线的解析式； (2)求 的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，二次函数与几何综合，求一次函数解析式，利用待定系数法 求出对应的函数解析式是解题的关键． （1）根据点A 的坐标求出 的长，进而求出 的长，则可推出点P 的坐标，把解析式设为顶点式，再 利用待定系数法求解即可； （2）求出直线 的解析式，进而求出点B 的坐标，再根据 列式求解即可． 【详解】（1）解：∵ 轴， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵点P 是线段 的中点， ∴ ， ∴点P 的坐标为 ， 21 / 39 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∵点P 为抛物线的顶点， ∴可设抛物线的解析式为 ， 把点A 的坐标代入 中得 ，解得 ， ∴抛物线的解析式为 ； （2）解：把点A 的坐标代入 中得 ，解得 ， ∴直线 的解析式为 ， ∵ 轴， ， ∴点B 的横坐标为4， 在 中，当 时， ， ∴点B 的坐标为 ， ∴ ， ∴ ． 变式6-3（25-26 九年级上·湖北·期末）如图①，抛物线 与 轴交于 ，两点（点 在点 的左侧），与 轴交于点 ． (1)求 ， 两点的坐标． (2)当 时． ①当 时，二次函数 的最大值与最小值的差为 ，求 的最小值． ②点 是直线 上一动点，过点 作线段 轴（点 在直线 下方），已知 ，若线段 与 抛物线有交点，请直接写出点 的横坐标 的取值范围． 【答案】(1) ， (2)①1；② 或 22 / 39 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【分析】（1）令 ，得 ，结合 ，得到 ，解方程即可得到结果． （2）①由 ，得到二次函数为 ， 分 和 两种情况，解答即可． ②分点 ， 分别在抛物线 上解答即可． 本题考查了待定系数法，抛物线的平移，二次函数的最值，根据交点求范围，熟练掌握待定系数法，抛物 线的平移，交点的意义是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，令 ，得 ， 又 ，故 ， 解得 ， 又点A 在原点的左侧，故点A 的横坐标为负数， 故 ， ． （2）①解：由 ， 故二次函数为 ， ∴抛物线的对称轴为直线 ； 当 时，对称轴的左侧，y 随x 的增大而增大， ∴当 时，取得最大值，且为 ， 当 时，取得最小值，且 ， ∵二次函数 的最大值与最小值的差为 ， ∴ ， 整理，得 ， 解得 ， ∴ ； 当 时， 当 时，取得最大值，且 ， 当 时，取得最小值，且为 ， 23 / 39 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∵二次函数 的最大值与最小值的差为 ， ∴ ， 整理，得 ， 解得 或 （舍去）， ∴ ； ∵ ∴n 的最小值为1． ②解：由 ， 得 ， ， 设直线 的表达式为 ， 故 解得 故直线 的表达式为 ， 由 轴，点N 在点M 下方，且 ．设点M 的横坐标为m， 则 ， ， 当 在 时， 与抛物线图象有交点N， 故 ，整理，得 ，解得 或 ，根据 ， 故 舍去，此时 ； 当 在 时， 与抛物线图象有交点M， 24 / 39 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 故 ，整理，得 ，解得 或 ，根据 ， 故 舍去，此时 ； 故m 的取值范围为 ； 当 在 时， 与抛物线图象有交点N， 故 ，整理，得 ，解得 或 ，根据 ， 故 舍去，此时 ； 当 在 时， 与抛物线图象有交点M， 故 ，整理，得 ，解得 或 ，根据 ， 故 舍去，此时 ； 故m 的取值范围为 综上所述，当线段 与抛物线有交点时，m 的取值范围是 或 ． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．（25-26 九年级上·广东韶关·期末）抛物线 的对称轴是直线（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：因为抛物线的解析式为 ， 所以该抛物线的对称轴为直线 ． 25 / 39 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 2．（25-26 九年级上·福建福州·期中）对于抛物线 ，下列说法错误 ．．的是（ ） A．对称轴是直线 B．顶点坐标是 C．当 时， 的最大值为2 D．当 时， 随 的增大而减小 【答案】C 【分析】 的基本特征：对称轴为直线 ，顶点坐标为 ；当 时，抛物线 开口向下，在顶点处取得最大值 ，且在对称轴右侧( )， 随 的增大而减小．解题思路是根据这些性 质逐一验证每个选项的正确性． 【详解】解：已知抛物线的解析式为 ， 对于选项A：根据顶点式性质，抛物线的对称轴为直线 ，该说法正确； 对于选项B：顶点式对应的顶点坐标为 ，该说法正确； 对于选项C： ， 抛物线开口向下，在 时取得最大值 ．该说法错误； 对于选项D： 抛物线开口向下，对称轴为直线 ， 当 时， 随 的增大而减小，该说法正确． 综上，说法错误的是选项C． 3．（25-26 九年级下·陕西榆林·期中）已知二次函数 （ 为常数），当 时，该二 次函数的最大值与最小值的差为（ ） A．9 B． C．1 D．4 【答案】D 【分析】根据二次函数解析式得到二次函数图象开口向下，对称轴直线为 ，得到离对称轴越远值越小， 则当 时，二次函数取得最大值，当 时，二次函数取得最小值，由此即可求解． 【详解】解：二次函数 （ 为常数）， ∵ ， ∴二次函数图象开口向下，对称轴直线为 ， 当 时， 随 的增大而减小，当 时， 随 的增大而增大，离对称轴越远值越小， ∵ ，则 ， 26 / 39 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴当 时，二次函数取得最大值，最大值为 ， 当 时，二次函数取得最小值，最小值为 ， ∴ ， 故选：D ． 4．（25-26 九年级下·四川成都·阶段检测）关于二次函数 的图象，下列结论正确的是（ ） A．其图象开口向下 B．其图象的对称轴是直线 C．其最小值为 D．当 时， 随 的增大而减小 【答案】D 【分析】将二次函数一般式化为顶点式，再根据二次函数的性质逐一判断选项即可． 【详解】解：把 化为顶点式： ， ∵ ， ∴图象开口向上，A 错误； 该函数的对称轴为直线 ，B 错误； ∵开口向上，顶点坐标为 ， ∴函数的最小值为 ，C 错误； ∵ ，对称轴为直线 ， ∴当 时， 随 的增大而减小． 5．（2026·陕西西安·模拟预测）已知二次函数 的图像不经过第三、四象限，且 当 时， 随 的增大而增大，则实数 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】二次函数开口向上，图像不经过第三、四象限，说明抛物线与x 轴最多有一个交点，可得判别式 ， 再根据当 时 随 增大而增大，可得对称轴位置满足不等式，联立两个不等式即可得到 的取值范 围． 【详解】解： 二次函数 中， ， ∴抛物线开口向上，且图像不经过第三、四象限， 抛物线与 轴最多有一个交点，即判别式 27 / 39 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴ 解得 ， 又 二次函数的对称轴为直线 ，且当 时， 随 的增大而增大， 对称轴满足 ， 综上，实数 的取值范围是 ． 二、填空题 6．（25-26 九年级上·宁夏固原·期中）二次函数 ，当 _______时，y 有最值，最_______ 值为_______． 【答案】 2 小 0 【分析】本题考查二次函数的性质，掌握知识点是解题的关键． 根据二次函数的性质，由于二次项系数为正，函数有最小值，通过顶点公式可求顶点坐标即可． 【详解】解：二次函数 ，其中 ， 故抛物线开口向上，函数有最小值，顶点横坐标 ，代入得 ， ∴当 时， 有最小值为 ． 故答案为：2；小；0． 7．（25-26 九年级上·江西宜春·期末）抛物线 ，当 时， 随 增大而增大，则 的 取值范围是___________． 【答案】 2 【分析】本题考查二次函数的图像与性质，先求得抛物线的对称轴，再由条件可求得关于 的不等式，求 解即可得答案．根据二次函数解析式得出对称轴为 是解题关键． 【详解】解：∵抛物线解析式为 ， 且二次项系数 ， ∴抛物线开口向上，对称轴为 ，在对称轴右侧 随 增大而增大， ∵当 时， 随 增大而增大， ∴ ， 28 / 39 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 解得： ， 即 的取值范围是 ． 故答案为： ． 8．（25-26 九年级上·河南平顶山·期末）抛物线 经过 ， ， 三点，则 ， ， 的大小关系是______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，关键是由点的横坐标到对称轴的距离判断点的纵坐标 的大小；通过计算各点到抛物线对称轴的距离，结合抛物线开口向上的性质，距离对称轴越远函数值越大， 从而比较大小． 【详解】解：∵抛物线 的对称轴为直线 ，且开口向上， ∴点 到对称轴的距离为 ，点 到对称轴的距离为 ，点 到对称轴 的距离为 ． ∵抛物线开口向上，函数值随点到对称轴距离的增大而增大， ∴ ． 故答案为： ． 9．（25-26 九年级上·四川凉山·期末）关于x 的函数 图象经过原点，则m 的 值为_____． 【答案】 或 【分析】本题主要考查了待定系数法求函数解析式，根据函数图象经过原点，把原点的坐标代入函数解析 式中计算求解即可． 【详解】解：∵关于x 的函数 图象经过原点， ∴ ， ∴ ， 解得 或 ， 当 时，原函数为 ，符合题意， 当 时，原函数为 ，符合题意， 29 / 39 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 综上所述，m 的值为 或， 故答案为： 或． 10．（25-26 九年级上·湖北孝感·期中）已知二次函数 ，当自变量x 的值满足 时，与 其对应的函数y 的最大值为 ，则常数h 的值为_______． 【答案】 或 【分析】本题考查了二次函数的性质和最值，掌握根据二次函数的性质和最值分类讨论是解题的关键． 根据二次函数的开口方向和对称轴，得到函数的增减性，分类讨论h 的取值范围，利用函数在 的范 围上的最大值为 列方程，即可求解． 【详解】解： 当 时，y 随x 的增大而增大，当 时，y 随x 的增大而减小， ①若 ，二次函数在 的范围内，y 随x 的增大而减小， 则当 时，y 有最大值， 即 ， 解得 或 （不合题意舍去）； ②若 ，二次函数在 的范围内，y 随x 的增大而增大，在 的范围内，y 随x 的增大而 减小， 则当 时，y 有最大值，最大值为0，不合题意； ③若 ，二次函数在 的范围内，y 随x 的增大而增大， 则当 时，y 有最大值， 即 ， 解得 或 （不合题意舍去）； 综上所述，常数h 的值为 或． 故答案为： 或． 三、解答题 11．（25-26 九年级上·北京·阶段检测）如图，二次函数 的图象经过坐标原点，与 轴交于 点 ． 30 / 39 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (1)求二次函数的解析式； (2)求抛物线的顶点坐标； (3)在抛物线上存在点 ，满足 ，请直接写出点 的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 或 或 【分析】（1）把点 和原点的坐标代入函数解析式，利用待定系数法求二次函数解析式即可得出答案； （2）把二次函数的解析式化为顶点式，即可得解； （3）根据三角形的面积公式求出点 到 的距离，然后分点 在 轴的上方与下方两种情况解答即可． 【详解】（1）解：将点 ， 代入 得， ，解得 ， 二次函数的解析式为 ； （2）解：∵ ， 抛物线的顶点坐标为 ； （3）解： ， ， 设点 到 轴的距离为 ，则 ， 解得 ， 当点 在 轴上方时， ， 解得 ， 点 的坐标为 ； 31 / 39 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 当点 在 轴下方时， ， 解得 ， ， 点 的坐标为 或 ； 综上所述，点 的坐标是 或 或 ． 12．（25-26 九年级上·河北·阶段检测）已知抛物线 的图象经过坐标原点O，并与x 轴交于 点 ． (1)求此抛物线的解析式 (2)利用配方法或公式法将函数写成顶点式，并写出顶点坐标、对称轴和最值 (3)若抛物线上有一点B，且 ，求点B 的坐标 【答案】(1) (2)顶点式为 ；顶点坐标为 ；对称轴为直线 ；函数的最小值为 ，无最大值． (3) 和 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）利用配方法把解析式化为顶点式即可得到答案； （3）根据三角形的面积公式得到 ，据此求出点B 的纵坐标，进而可求出点B 的坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线 的图象经过坐标原点，并与x 轴交于点 ， ∴ ， ∴ ， ∴抛物线的解析式为 ； （2）解： ， ∴顶点坐标为 ，对称轴为直线 ， ∵ ， ∴函数开口向上， ∴在对称轴处函数有最小值，最小值为 ； 32 / 39 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 （3）解：∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 在 中，当 时， ，解得 或 ， 当 时， ，此时方程无解， ∴点B 的坐标为 和 ． 13．（25-26 九年级上·河南南阳·期末）已知二次函数 中，x 与y 的几组对应值如下表所示． x … 0 1 4 … y … 3 0 3 … (1)求二次函数的表达式； (2)求二次函数的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象； (3)将二次函数向左平移 个单位长度，若当 时，函数最大值为8，请直接写出m 的值． 【答案】(1) (2) ， 33 / 39 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 二次函数图象如下图所示， (3)m 的值为4 或5 【分析】本题主要考查二次函数图象的性质，掌握待定系数法，二次函数图象的平移，二次函数最值的计 算方法是关键． （1）把表格中的自变量和函数值代入，运用待定系数法即可求解； （2）把一般式化为顶点式即可得到顶点坐标，描点、连线即可作图； （3）根据二次函数图象的平移得到平移后的函数解析式，则顶点坐标为 ，结合定义域，分类讨 论：①当 时， ②当 ， ③当 ， ④当 ，逐项分析求解即可． 【详解】（1）解：∵当 时， ，当 时， ， ∴将 分别代入 ，得 ， 解得 ， ∴二次函数解析式为： ； （2）解： ， ∴顶点坐标为 （3）解：将二次函数的图象向左平移 个单位长度后的解析式为： ， ∴此时 ，抛物线开口向上，对称轴直线为 ，顶点坐标为 ， ①当 时，即 ，如图 34 / 39 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 当 时，y 随x 的增大而增大， ∴当 时，函数的最大值为 ， 解得 或 ，都不符合题意，舍去； ②当 ，即 时，如图， 当 时的函数值小于当 时的函数值， ∴当 时，函数的最大值为 ， 解得 或 （不符合题意，舍去）， ∴ ； ③当 ，即 时，如图， 当 时的函数值大于当 时的函数值， 35 / 39 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴当 时，函数的最大值为 ， 解得 （不符合题意，舍去）或4， ∴ ； ④当 ，即 时，如图， 当 时，y 随x 的增大而减小， ∴当 时，函数的最大值为 ， 解得 或4（都不符合题意，舍去）， 综上所述， 的值为4 或5． 14．（25-26 九年级上·广东广州·期末）已知关于 的二次函数 的图象如图所示． (1)方程 的两个根为______； (2)观察图象，当 时， 的取值范围为______； (3)将该二次函数图象向上平移 个单位长度后恰好经过点 ，记此时二次函数图象与 轴的交 点为 ， (点 在点 左侧)，顶点为 ，请写出 的值，并求 的面积． 【答案】(1) ， (2) (3) ， 的面积为 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数与一元二次方程的关系以及二次函数的平移变换， 36 / 39 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 关键是利用二次函数的顶点式和图象对称性来求解． （1）根据二次函数图象与 轴交点的横坐标即为对应一元二次方程的根，利用图象的对称性找到两个交点 的横坐标； （2）先求出二次函数的解析式，再分别计算区间端点和顶点处的函数值，确定 的取值范围； （3）根据平移规律得到平移后的函数解析式，代入已知点求出 的值，再求出新函数与 轴的交点和顶点 坐标，最后计算三角形面积． 【详解】（1）解：由二次函数图象可知，对称轴为 ，与 轴的一个交点为 ， 根据对称性，另一个交点为 ， 因此方程 的两个根为 ， ； 故答案为： ， ； （2）解：设二次函数的顶点式为 ， 将点 代入得 ，解得 ， ∴函数解析式为 ． 当 时， ；当 时， ；当 时， ．∴当 时， 的 取值范围为 ； 故答案为： ； （3）解：将二次函数图象向上平移 个单位后，解析式为 ． 将点 代入得 ，解得 ． 此时解析式为 ． 令 ，则 ，解得 ， ， ∴ ， ， ． ∵顶点 的坐标为 ， ∴ 的面积为 ． 15．（25-26 九年级上·湖北·期末）如图①，抛物线 与 轴交于 ，两点（点 在 点 的左侧），与 轴交于点 ． 37 / 39 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (1)求 ， 两点的坐标． (2)当 时． ①当 时，二次函数 的最大值与最小值的差为 ，求 的最小值． ②点 是直线 上一动点，过点 作线段 轴（点 在直线 下方），已知 ，若线段 与 抛物线有交点，请直接写出点 的横坐标 的取值范围． 【答案】(1) ， (2)①1；② 或 【分析】（1）令 ，得 ，结合 ，得到 ，解方程即可得到结果． （2）①由 ，得到二次函数为 ， 分 和 两种情况，解答即可． ②分点 ， 分别在抛物线 上解答即可． 本题考查了待定系数法，抛物线的平移，二次函数的最值，根据交点求范围，熟练掌握待定系数法，抛物 线的平移，交点的意义是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，令 ，得 ， 又 ，故 ， 解得 ， 又点A 在原点的左侧，故点A 的横坐标为负数， 故 ， ． （2）①解：由 ， 故二次函数为 ， ∴抛物线的对称轴为直线 ； 38 / 39 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 当 时，对称轴的左侧，y 随x 的增大而增大， ∴当 时，取得最大值，且为 ， 当 时，取得最小值，且 ， ∵二次函数 的最大值与最小值的差为 ， ∴ ， 整理，得 ， 解得 ， ∴ ； 当 时， 当 时，取得最大值，且 ， 当 时，取得最小值，且为 ， ∵二次函数 的最大值与最小值的差为 ， ∴ ， 整理，得 ， 解得 或 （舍去）， ∴ ； ∵ ∴n 的最小值为1． ②解：由 ， 得 ， ， 设直线 的表达式为 ， 故 解得 39 / 39 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 故直线 的表达式为 ， 由 轴，点N 在点M 下方，且 ．设点M 的横坐标为m， 则 ， ， 当 在 时， 与抛物线图象有交点N， 故 ，整理，得 ，解得 或 ，根据 ， 故 舍去，此时 ； 当 在 时， 与抛物线图象有交点M， 故 ，整理，得 ，解得 或 ，根据 ， 故 舍去，此时 ； 故m 的取值范围为 ； 当 在 时， 与抛物线图象有交点N， 故 ，整理，得 ，解得 或 ，根据 ， 故 舍去，此时 ； 当 在 时， 与抛物线图象有交点M， 故 ，整理，得 ，解得 或 ，根据 ， 故 舍去，此时 ； 故m 的取值范围为 综上所述，当线段 与抛物线有交点时，m 的取值范围是 或 ．
