1 / 70
学科网（北京）股份有限公司
专题04 一次函数与反比例函数
5 年真题1 年模拟
考点分类
福建考情（2022-2026）
命题规律
考点01 一次函数
2025 福建卷、
2022 福建卷
常结合生活实际情境命题，分为填空、解答题型；
依托弹簧弹力、采购方案等现实素材构建一次函数
模型；考查待定系数法求解析式、利用一次函数性
质结合不等式求解最值；易错点：读懂文字情境提
取等量关系、自变量取值范围约束，方案最值问题
需注意整数限制。
考点02 反比例函
数
2026 福建卷、
2025 福建卷、
2024 福建卷、
2023 福建卷、
2022 福建卷
每年必考，以选择、填空题为主；核心考点：点是
否在反比例图象上、求k 值、根据象限判断k 符
号、反比例与几何图形（正方形、圆）综合；常结
合中心对称性质命题；难度中等，侧重反比例xy=k
核心关系式运用，几何综合题注重数形结合。
考点01 一次函数
1．（2025·福建·中考真题）弹簧秤是根据胡克定律并利用物体的重力来测量物体质量的．胡克定律为：在
弹性限度内，弹簧弹力F 的大小与弹簧伸长（或压缩）的长度x 成正比，即F
kx
，其中k 为常数，是弹
簧的劲度系数；质量为m 的物体重力为mg ，其中g 为常数．如图，一把弹簧秤在不挂任何物体时弹簧的长
度为6 厘米．在其弹性限度内：当所挂物体的质量为0.5 千克时，弹簧长度为6.5 厘米，那么，当弹簧长度
为6.8 厘米时，所挂物体的质量为_______千克．
【答案】0.8
2 / 70
学科网（北京）股份有限公司
【分析】本题主要考查了胡克定律的应用，熟练掌握胡克定律F
kx
（其中F 为弹力，k 为劲度系数，x 为
弹簧伸长或压缩量）及重力与质量的关系G
mg
是解题的关键．先根据已知条件求出弹簧的劲度系数k ，
再利用胡克定律求出弹簧长度为6.8厘米时所挂物体的质量．
【详解】解：不挂物体时弹簧长度
0
6
L
厘米，挂质量
1
0.5
m
千克物体时，弹簧长度
1
6.5
L
厘米，则弹簧
伸长量
1
1
0
6.5
6
0.5
x
L
L
(厘米)．
物体重力
1
1
F
m g
（g 为常量），根据胡克定律F
kx
，可得
1
1
m g
kx
，即0.5
0.5
g
k
，解得k
g
．
当弹簧长度
2
6.8
L
厘米时，弹簧伸长量
2
2
0
6.8
6
0.8
x
L
L
(厘米)．
设此时所挂物体质量为
2
m 千克，则
2
2
m g
kx
，因为k
g
，所以
2
0.8
m g
g
，两边同时除以g ，得
2
0.8
m
．
故答案为：0.8 ．
2．（2022·福建·中考真题）在学校开展“劳动创造美好生活”主题活动中，九年级（1）班负责校园某绿化角
的设计．种植与养护．同学们约定每人养护一盆绿植，计划购买绿萝和吊兰两种绿植共46 盆，且绿萝盆数不
少于吊兰盆数的2 倍．已知绿萝每盆9 元，吊兰每盆6 元．
(1)采购组计划将经费390元全部用于购买绿萝和吊兰，可购买绿萝和吊兰各多少盆？
(2)请帮规划组找出最省钱的购买方案，并求出购买两种绿植总费用的最小值．
【答案】(1)可购买绿萝38盆，吊兰8 盆
(2)购买吊兰的15盆，绿萝31盆，总花费最少，最少为369元
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键，
（1）设可购买绿萝x 盆，吊兰y 盆，根据题意：计划购买绿萝和吊兰两种绿植共46 盆，采购组计划将预算
经费390 元全部用于购买绿萝与吊兰，列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）设购买吊兰的数量为m 盆，则购买绿萝的数量为
46
m
盆，由绿萝盆数不少于吊兰盆数的2 倍，得
46
2
m
m
，求得m 的取值范围，设购买两种绿植共花费w 元，由题意得：
3
414
w
m
，根据一次函数
的增减性即可求得最省钱的方案．
【详解】（1）解：设可购买绿萝x 盆，吊兰y 盆，
依题意得：
46
9
6
390
x
y
x
y
，
解得：
38
8
x
y
，
答：可购买绿萝38盆，吊兰8 盆；
（2）解：设购买吊兰的数量为m 盆，则购买绿萝的数量为
46
m
盆，
3 / 70
学科网（北京）股份有限公司
绿萝盆数不少于吊兰盆数的2 倍，
46
2
m
m
，
解得：
46
3
m
，
设购买两种绿植共花费w 元，
由题意得：
6
9 46
3
414
w
m
m
m
，
3
0
k
，
w
随m 的增大而减小，
当
15
m
时，w 取最小值，即花费最少，
3 15
414
369
w
最小
（元），
此时购买吊兰15盆，绿萝46 15
31
（盆），
答：购买吊兰的15盆，绿萝31盆，总花费最少，最少为369元．
考点02 反比例函数
1．（2026·福建·中考真题）下列各点中，在函数
1
y
x
图象上的点是（
）
A．
1,1
B．
12,
C．
2,1
D．
2,2
【答案】A
【分析】反比例函数图象上任意一点的坐标都满足函数解析式
1
y
x
，将各选项点的横坐标代入解析式，计
算对应的y 值，和点的纵坐标对比即可得出结论．
【详解】解：对于函数
1
y
x
A、
当
1
x 时，
1
1
1
y
，
点
1,1 在函数
1
y
x
的图象上，此选项符合题意；
B、
当
1
x 时，
1
1
2
1
y
，
点
1,2 不在函数
1
y
x
的图象上，此选项不符合题意；
C、
当
2
x
时，
1
1
2
y
，
点
2,1 不在函数
1
y
x
的图象上，此选项不符合题意；
4 / 70
学科网（北京）股份有限公司
D、
当
2
x
时，
1
2
2
y
，
点
2,2 不在函数
1
y
x
的图象上，此选项不符合题意．
2．（2023·福建·中考真题）如图，正方形四个顶点分别位于两个反比例函数
3
y
x
和
n
y
x
的图象的四个分
支上，则实数n 的值为（
）
A．3
B．
1
3
C．1
3
D．3
【答案】A
【分析】如图所示，点B 在
3
y
x
上，证明AOC
OBD
≌
，根据k 的几何意义即可求解．
【详解】解：如图所示，连接正方形的对角线，过点,
A B 分别作x 轴的垂线，垂足分别为
,
C D ，点B 在
3
y
x
上，
∵OB
OA
，
90
AOB
BDO
ACO
，
∴
90
CAO
AOC
BOD
．
∴AOC
OBD
≌
．
∴
3
2
AOC
OBD
S
S
2
n
．
∵A 点在第二象限，
∴
3
n ．
故选：A．
【点睛】本题考查了正方形的性质，反比例函数的k 的几何意义，熟练掌握以上知识是解题的关键．
5 / 70
学科网（北京）股份有限公司
3．（2025·福建·中考真题）若反比例函数
k
y
x
的图象过点( 2,1)
，则常数k _______．
【答案】2
【分析】本题考查求反比例函数的解析式，待定系数法求出k 值即可．
【详解】解：∵反比例函数
k
y
x
的图象过点( 2,1)
，
∴
2 1
2
k ；
故答案为：2
．
4．（2024·福建·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，反比例函数
k
y
x
的图象与
O 交于,
A B 两点，
且点,
A B 都在第一象限．若
1,2
A
，则点B 的坐标为______．
【答案】
2,1
【分析】本题考查了反比例函数的性质以及勾股定理，完全平方公式的应用，先根据
1,2
A
得出
2
k
，设
B n
m
，
，则
2
nm
k
，结合完全平方公式的变形与应用得出
2
2
3
3
2
1
2
0
m
m
m
m
m
m
，
，
结合
1,2
A
，则
21
B
，，即可作答．
【详解】解：如图：连接OA OB
，
∵反比例函数
k
y
x
的图象与
O 交于,
A B 两点，且
1,2
A
∴2
2
1
k
k
，
6 / 70
学科网（北京）股份有限公司
设
B n
m
，
，则
2
nm
k
∵
2
2
2
1
5
OB
OA
∴
2
2
2
5
5
m
n
则
2
2
2
2
5
4
9
m
n
m
n
mn
∵点B 在第一象限
∴
3
m
n
把
2
nm
k
代入得
2
2
3
3
2
1
2
0
m
m
m
m
m
m
，
∴
1
2
1
2
m
m
，
经检验：
1
2
1
2
m
m
，
都是原方程的解
∵
1,2
A
∴
21
B
，
故答案为：
21，
5．（2022·福建·中考真题）已知反比例函数
k
y
x
的图象分别位于第二、第四象限，则实数k 的值可以是
______．（只需写出一个符合条件的实数）
【答案】-5（答案不唯一）
【分析】根据反比例函数的图象分别位于第二、四象限可知k＜0，进而问题可求解．
【详解】解：由反比例函数
k
y
x
的图象分别位于第二、第四象限可知k＜0，
∴实数k 的值可以是-5；
故答案为-5（答案不唯一）．
【点睛】本题主要考查反比例函数的图象，熟练掌握反比例函数的图象是解题的关键．
1．（2026·福建泉州·一模）如图是围棋棋盘中的3 个棋子，若两个黑子的坐标分别是
1,1
A
，
0, 2
B
，则
白子C 的坐标为（
）
7 / 70
学科网（北京）股份有限公司
A．
3,0
B．
4,0
C．
2, 1
D．
3, 1
【答案】D
【分析】根据
1,1
A
，
0, 2
B
的位置，得到平面直角坐标系，再根据白子C 的位置解答．
【详解】解：如图，
∴白子C 的坐标为
3, 1
．
2．（2026·福建宁德·二模）已知一次函数
3
y
kx
（
0
k ）的图象经过点
, 2
A m
，则m 的值可以是（
）
A．3
B．0
C．1
D．3
【答案】A
【分析】将点A 坐标代入一次函数解析式，结合
0
k 的条件判断m 的符号，即可选出符合条件的选项．
【详解】解：∵一次函数
3
y
kx
（
0
k ）的图象经过点
, 2
A m
，
∴将x
m
，
2
y
代入解析式得2
3
mk
，
整理得
1
km ，
∵
0
k ，
∴
0
m
，
选项中只有3
0
，符合条件，因此选A．
3．（2025·福建福州·三模）下列y 关于x 的函数中，当
0
x
时，函数值y 随x 的值增大而增大的是（
）
A．
2
2
x
y
B．
2
y
x
x
=
-
8 / 70
学科网（北京）股份有限公司
C．
2
2
y
x
D．
3
y
x
【答案】A
【分析】此题考查了二次函数、反比例函数和一次函数的图象和性质．根据二次函数，一次函数，反比例
函数的图象的性质解答即可．
【详解】解：A、一次函数
2
1
1
2
2
x
y
x
中一次项系数为1
0
2
，
∴y 随x 的增大而增大，故本选项符合题意；
B、∵二次函数
2
2
1
1
2
4
y
x
x
x
，中二次项系数为1
0
，
∴图象开口向上，当
1
2
x
时，y 随x 的增大而增大，故本选项不符合题意；
C、∵二次函数
2
2
y
x
中二次项系数为1
0
∴图象开口向下，当
0
x
时，y 随x 的增大而减少，故本选项不符合题意；
D、反比例函数
3
y
x
中系数为3
0
，经过一三象限，
∴在每个象限内，y 随x 的增大而减小，故本选项不符合题意；
故选：A．
4．（2025·福建泉州·模拟预测）
1
1
,
A x y
、
2
2
,
B x
y
是直线
2
5
y
m
x
图象上相异的两点，若
1
2
1
2
0
x
x
y
y
，
则m 的取值范围（
）
A．
2
m
B．
2
m
C．
2
m
D．
2
m
【答案】A
【分析】本题考查了一次函数的性质，由已知条件可判断出y 随x 的增大而增大，则
2
0
m
，然后解不等
式即可．
【详解】解：∵
1
1
,
A x y
、
2
2
,
B x
y
是直线
2
5
y
m
x
图象上相异的两点，
1
2
1
2
0
x
x
y
y
，
∴y 随x 的增大而增大，
∴
2
0
m
，
∴
2
m
，
故选：A．
5．（2025·福建福州·三模）小明发现某些函数图像上的三点
1
1
2
2
3
3
,
,
,
,
,
A x y
B x
y
C x y
满足如下性质：对
于任意非零实数k，存在位于y 轴同侧的A、B、C 三点，使这三点“横坐标之和”与“纵坐标之积”异号．下列
9 / 70
学科网（北京）股份有限公司
函数不具备该性质的是（
）
A．
1
y
kx
B．
|
|
y
k x
C．
k
y
x
D．
2
y
kx
【答案】C
【分析】本题考查了函数图象与性质，熟练掌握常见函数的图象与性质是解题的关键．
根据题意可知，具备该性质的函数需满足，对于任意非零实数k，函数图象经过第二象限或者第四象限，对
各选项进行分析即可．
【详解】解：∵对于任意非零实数k，存在位于y 轴同侧的A 、B 、C 三点，使这三点“横坐标之和”与“纵
坐标之积”异号；
∴具备该性质的函数需满足，对于任意非零实数k，函数图象经过第二象限或者第四象限，
∵当
0
k
时，
1
y
kx
的图象经过第一、二、三象限，
当
0
k
时，
1
y
kx
的图象经过第一、二、四象限，
∴选项A 不符合题意；
∵当
0
k
时，y
k x
的图象经过第一、二象限，
当
0
k
时，y
k x
的图象经过第三、四象限，
∴选项B 不符合题意；
∵当
0
k
时，
k
y
x
的图象经过第一、三象限，
当
0
k
时，
k
y
x
的图象经过第二、四象限，
∴选项C 符合题意；
∵当
0
k
时，
2
y
kx
的图象经过第一、二象限，
当
0
k
时，
2
y
kx
的图象经过第三、四象限，
∴选项D 不符合题意．
故选：C．
6．（2025·福建厦门·三模）平面直角坐标系
, (0, ), (6, )
xOy A
t B
t ，其中
0
t
．直线1 :
(
0)
l
y
kx
b k
与线段AB
交于点C（不与,
A B 重合）．点
,
D E 分别在线段
,
AC BC 上．直线2
)
:
0
(
l
y
mx
n m
过点D 交直线1l 于点
F，直线3 :
(
0)
l
y
mx
p m
过点E 交直线1l 于点G．若对于任意的点D，都存在点E，使得
4
CEG
CDF
S
S
．设
点C 的横坐标为q，则q 的取值范围为（
）
A．
6
0
5
q
B．0
2
q
C．6
6
5
q
D．2
6
q
【答案】B
10 / 70
学科网（北京）股份有限公司
【分析】本题考查的是一次函数的图象与性质，坐标与图形面积，相似三角形的判定与性质，先画好图形，
根据解析式可得2
3
l
l
∥，可得CDF
CEG
∽
，可得
1
2
CD
CE
，再进一步解答即可．
【详解】解：如图，
∵2
)
:
0
(
l
y
mx
n m
过点D 交直线1l 于点F，直线3 :
(
0)
l
y
mx
p m
过点E 交直线1l 于点G．
∴2
3
l
l
∥，
∴CDF
CEG
∽
，
∵
4
CEG
CDF
S
S
，
∴
2
1
4
CDF
CEG
S
CD
S
CE
，
∴
1
2
CD
CE
，
∵平面直角坐标系
, (0, ), (6, )
xOy A
t B
t ，其中
0
t
．点
,
D E 分别在线段
,
AC BC 上．
∴
6
CD
CE
，
设CD
e
，则
2
CE
e
，
∴
2
6
e
e
，
解得：
2
e
，即0
2
e
，
∵点C 的横坐标为q，
∴
0
2
6
q
e
q
e
，
解得：0
2
q
；
故选：B
7．（2025·福建宁德·二模）已知一次函数
3
y
kx
的图象经过点
12, ，则该函数图象不经过（
）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】C
11 / 70
学科网（北京）股份有限公司
【分析】本题主要考查了一次函数的图象（根据一次函数解析式判断其经过的象限），求一次函数解析式
等知识点，熟练掌握k 、b 的符号与一次函数图象经过的象限之间的关系是解题的关键．
将点
12, 代入
3
y
kx
，即可求出一次函数解析式，然后根据k 、b 的符号与一次函数图象经过的象限之间
的关系进行判断即可得出答案．
【详解】解：将点
12, 代入
3
y
kx
得2
3
k
，
∴
1
k ，
∴一次函数解析式为
3
y
x
，
∵
1
0,
3
0
k
b
，
∴该一次函数的图象经过第一、二、四象限，
∴该函数图象不经过第三象限，
故选：C．
8．（2025·福建泉州·三模）已知一次函数
2
2
1
y
k x
k
的图象经过
2
,
1
A a b
，
2,
B c
d 两点，则下列判
断正确的是（
）
A．可以找到一个实数b，使得
1
a
B．无论实数b 取什么值，都有
1
a
C．可以找到一个实数c，使得
1
d
D．无论实数c 取什么值，都有
1
d
【答案】C
【分析】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数性质是解题关键，求出
2
2
2
2
2
1
1
b
k
b
a
k
k
+
=
= +
³ 即可
判断A、B 选项，求出
2
2
1
1
d
k
c
即可判断C、D 选项．
【详解】解：
一次函数
2
2
1
y
k x
k
的图象经过
2
,
1
A a b
，
2
2
2
1
1
b
k a
k
\
+ =
-
+ ，
2
2
2
2
2
1
1
b
k
b
a
k
k
\
+
=
= +
³ ，故选项A、B 均错误；
一次函数
2
2
1
y
k x
k
的图象经过
2,
B c
d ，
2
2
1
1
d
k
c
，
当
2
1
c 时，
2
2
1
1
1
k
c
，故
1
d ，故选项C 正确；
12 / 70
学科网（北京）股份有限公司
当
2
1
c 时，
2
2
1
1
1
k
c
，故
1
d ，选项D 错误；
故选：C．
9．（2025·福建泉州·三模）如图，用一根12m长的铝合金型材做成一个中间有一条横档的“日字形”窗框（缝
隙忽略不计），设
m
AB
x
，
m
AC
y
，则y 与x 之间的函数关系是（
）
A．正比例函数
B．反比例函数
C．一次函数
D．二次函数
【答案】C
【分析】本题考查一次函数，矩形的周长，二元一次方程，掌握矩形周长的求法是解题的关键．
根据矩形的周长是长宽之和的2 倍，即可列出二元一次方程，即可解答．
【详解】解：由题意，得
2
12
x
y
x
，
即
3
6
2
y
x
，为一次函数．
故选C．
10．（2025·福建厦门·二模）若一个函数的自变量x 每变化一个单位，函数值y 随之变化两个单位，其解析
式可以是（
）
A．
2
y
x
B．
2
y
x
C．
2
y
x
D．
2
2
y
x
【答案】B
【分析】本题考查求函数值．（1）当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；（2）函数值
是唯一的，而对应的自变量可以是多个．自变量x 每变化一个单位，将
1
x代入函数，即可求得y 变化
了多少．
【详解】解：自变量x 每变化一个单位，即将
1
x代入函数
2
y
x
得：
2(
1)
2
2
y
x
x
；
所以，函数值y 随之变化两个单位，
故选：B．
13 / 70
学科网（北京）股份有限公司
11．（2025·福建三明·二模）若不等式
1
ax
b
的解集是
3
x
，则下列各点可能在一次函数y
ax
b
图象
上的是（
）
A．
2,2
B．
2,3
C．
4,0
D．
4,2
【答案】D
【分析】根据已知条件确定a 的符号后，结合二元一次方程组对选项进行逐一判断即可得解．
【详解】解：
1
ax
b
，
1 b
x
a
，
又不等式
1
ax
b
的解集是
3
x
，
1
3
b
a
，
0
a
，
即3
1
a
b
，
结合一次函数解析式y
ax
b
可得，
此时
3,1 一定在该函数图象上，
A 选项，将
2,2 代入解析式可得2
2
a
b
，结合3
1
a
b
可解得
1
a ，与已知
0
a
矛盾，A 选项错误；
B 选项，将
2,3 代入解析式可得2
3
a
b
，结合3
1
a
b
可解得
2
a ，与已知
0
a
矛盾，B 选项错误；
C 选项，将
4,0 代入解析式可得4
0
a
b
，结合3
1
a
b
可解得
1
a ，与已知
0
a
矛盾，C 选项错误；
D 选项，将
4,2 代入解析式可得4
2
a
b
，结合3
1
a
b
可解得
1
a ，符合
0
a
，D 选项正确．
故选：D ．
【点睛】本题考查的知识点是不等式解集与一次函数图象的关系、二元一次方程组的实际应用，解题关键
是根据已知条件确定参数的符号．
12．（2026·福建福州·三模）若一次函数y
bx
c
的图象如图所示，则关于x 的一元二次方程
2
0
x
bx
c
的根的情况是（
）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．根的情况无法确定
【答案】A
14 / 70
学科网（北京）股份有限公司
【分析】本题考查一次函数图象与系数的关系及一元二次方程根的判别式，由图象确定b 、c 的符号，计算
的值即可判断根的情况．
【详解】解：由一次函数y
bx
c
的图象可知，图象经过第一、二、四象限，
∴
0
b
，
0
c
，
在方程
2
0
x
bx
c
中，Δ ൌt hܾሻʹ h Ͷ ൈͳ ൈt hܿሻൌܾ
ʹ Ͷܿ，
∵
0
b
，
0
c
，
∴
2
0
b
，4
0
c
，
∴
2
Δ
4
0
b
c
，
∴该方程有两个不相等的实数根．
13．（2026·福建福州·三模）一个正比例函数的图像经过点
6,
A
a 和点
,9
B b
．若点A 与点B 关于原点对
称，则这个正比例函数的表达式为（）
A．
2
3
y
x
B．
2
3
y
x
C．
3
2
y
x
D．
3
2
y
x
【答案】D
【分析】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特征，求正比例函数解析式等知识，首先根据关于原点
对称的点坐标关系，求出a 和b 的值，进而确定点,
A B 坐标，再代入正比例函数的一般式，求解即可获得
答案．
【详解】解：∵点
6,
A
a 和点
,9
B b
关于原点对称，
∴
6,
9
b
a
，
∴
6, 9
A
和点
6,9
B
，
设该正比例函数为
0
y
kx k
，
将点
6, 9
A
代入，可得9
6k
，
解得
3
2
k
，
∴这个正比例函数的表达式为
3
2
y
x
．
故选：D．
14．（2026·福建福州·三模）某市出租车的计费标准如图（不足1km 按1km 计算），一天，张叔叔乘坐出
租车去上班．设行驶里程为xkm，所付的费用为y 元．则下列说法错误的是（
）
15 / 70
学科网（北京）股份有限公司
A．当行驶里程为2.8km 时，所付的费用为10 元
B．当3
6
x
时，
2
4
y
x
C．若支付了25 元，则行驶的里程数可能是8.8km
D．当行驶里程为3.5km 时，所付的费用为11 元
【答案】D
【分析】本题考查了数的混合运算的应用，分级收费问题，需明确分成的级数和每级的收费标准．根据题
意计算即可得出答案．
【详解】A．当行驶里程为2.8km 时，
10
y
，与原选项相符，正确；
B．当3
6
x
时，
10
2
3
y
x
，即
2
4
y
x
，与原选项相符，正确；
C．当
25
y
时，代入
3
2
y
x
，解得
9
x
，即实际里程8
9
x
，与原选项相符，正确；
D．当行驶里程为3.5km时，
10
2 4
3
12
y
，与原选项不符，不正确．
故选：D．
15．（2026·福建福州·三模）如图，一次函数y
kx
b
与
2
y
x
的图象相交于点
,4
P m
，则关于x，y 的
二元一次方程组
2
kx
y
b
y
x
的解是（
）
A．
3
4
x
y
B．
2
4
x
y
C．
1.8
4
x
y
D．
2.4
4
x
y
【答案】B
【分析】一次函数的交点坐标即为对应二元一次方程组的解．
【详解】解：将点
,4
m
代入
2
y
x
得：
2
m
16 / 70
学科网（北京）股份有限公司
∴交点坐标为：
2,4
由一次函数与二元一次方程组的关系可得：该方程组的解为
2
4
x
y
故选：B
【点睛】本题考查一次函数与二元一次方程组的关系．掌握相关结论即可．
16．（2026·福建厦门·三模）某款小型无人潜水器使用“可变体积气囊”控制沉浮，其工作原理是内部充入固
定质量的空气，通过液压活塞压缩或释放气囊体积V（单位：
3
100m ），改变气囊内部空气密度ρ（单位：
kg/m³），从而控制沉浮．正常工作状态下，空气密度ρ与体积V 是反比例函数关系，它的图象如图所示，
图中点A 和点B 的坐标是潜水器记录的两个异常数据，下列对这两个异常数据的解释正确的是（
）
A．点A，B 均反映潜水器充入过高质量的空气
B．点A，B 均反映潜水器充入过低质量的空气
C．点A，B 分别反映潜水器充入过高质量的空气和过低质量的空气
D．点A，B 分别反映潜水器充入过低质量的空气和过高质量的空气
【答案】C
【分析】根据反比例函数的性质，图象上的点满足
V
m
（常数），图象上方的点满足
V
m
，图象
下方的点满足
V
m
，结合质量公式m
V
进行判断即可．
【详解】解：正常工作状态下空气的质量为m ，则
m
V
，即m
V
，
点A 在反比例函数图象的上方，
点A 对应的
V
的值大于正常工作的质量m ，即充入空气质量过高，
点
B 在反比例函数图象的下方，
点
B 对应的
V
的值小于正常工作的质量m ，即充入空气质量过低，
点A ，B 分别反映潜水器充入过高质量的空气和过低质量的空气．
17．（2026·福建厦门·三模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点M 是矩形OABC 边BC 上的点．若反比例
17 / 70
学科网（北京）股份有限公司
函数
(k
0,x
0)
k
y
x
的图象经过顶点
3,2
B
，其上另一点D 与点A 关于点M 成中心对称，则点D 的
坐标为（
）
A．
3
4, 2
B．
3,2
C．3 ,4
2
D．
2,3
【答案】C
【分析】先根据点B 坐标求出反比例函数解析式，再根据矩形性质确定点A 坐标及点M 的纵坐标，利用中
心对称性质求出点D 的纵坐标，最后代入函数解析式求出横坐标．
【详解】解：
反比例函数
k
y
x
的图象经过点
(3,2)
B
，
3 2
6
k
，即
6
y
x
，
四边形OABC 是矩形，
(3,2)
B
，
(3,0)
A
，且BC 平行于x 轴，
故BC 上点的纵坐标均为2 ，
点M 在边BC 上，
点M 的纵坐标为2 ，
点D 与点A 关于点M 成中心对称，
点M 是线段AD 的中点，
设
( , )
D x y ，则
0
2
2
y
，
解得
4
y
，
点D 在反比例函数
6
y
x
图象上，
6
4
x
，
解得
3
2
x
，
点D 的坐标为3 ,4
2
．
18 / 70
学科网（北京）股份有限公司
18．（2026·福建三明·三模）如图，反比例函数
(
0)
k
y
x
x
的图象经过平行四边形ABCO 的顶点A ，已知OC
在x 轴上，点B 的坐标是
1,4
，平行四边形ABCO 的周长是10，则实数k 的值为（
）
A．4
B．8
C．
10
3
D．
20
3
【答案】D
【分析】过点A 作AD
x
轴于点D ，设
,4
A m
，则
1
AB
m
，
4
AD
，OD
m
，根据勾股定理建立
方程，解方程，求得点A 的坐标，代入反比例函数解析式，即可求解．
【详解】解：如图所示，过点A 作AD
x
轴于点D ，
∵平行四边形ABCO 的周长是10，
∴AB
OC
∥
，
,
AB
OC AO
BC
∴
5
AB
AO
∵点B 的坐标是
1,4
，
设
,4
A m
，则
1
AB
m
，
4
AD
，OD
m
∴
5
5
1
6
AO
AB
m
m
在Rt ADO 中，
2
2
2
AO
AD
DO
∴
2
2
2
6
4
m
m
解得：
5
3
m
∴
5,4
3
A
19 / 70
学科网（北京）股份有限公司
∵点A 在
(
0)
k
y
x
x
上，
∴
20
3
k
19．（2026·福建福州·三模）如图，在Rt AOB 中，两直角边OA、OB 分别在x 轴的负半轴和y 轴的正半轴
上，将AOB 绕点B 逆时针旋转90后得到A O B
．若反比例函数
k
y
x
的图象恰好经过斜边A B
的中点C ，
8
ABO
S
△
，tan
2
BAO
，则k 的值为（
）
A．6
B．8
C．10
D．12
【答案】D
【分析】设
0
OA
a a
，则
2
OB
a ，根据tan
2
OB
BAO
OA
得到
2 2
a
，继而得到点A
B
、
的坐标，
根据旋转的性质得到点A的坐标，根据中点坐标公式得到点C 的坐标，继而根据待定系数法得到k 的值．
【详解】解：∵在Rt AOB 中，
90
AOB
，
∴tan
2
OB
BAO
OA
，
设
0
OA
a a
，则
2
OB
a ，
∵
1
8
2
ABO
S
OA OB
，
∴1
2
8
2
a
a
，即
2
8
a
，解得
2 2
a
（舍去负根），
∴
2 2
OA
，
4 2
OB
，
∴点A 的坐标为
2 2,0
，点B 的坐标为
0,4 2 ，
∵AOB 绕点B 逆时针旋转90得到A O B
，
∴点A的横坐标
0
4 2
4 2
A
x
，点A的纵坐标
4 2
2 2
2 2
A
y
，即点A的坐标为
4 2,2 2 ，
∵点C 是斜边A B
的中点，点
0,4 2
B
，点
4 2,2 2
A
，
∴
0
4 2
2 2
2
C
x
，
4 2
2 2
3 2
2
C
y
，
∴点C 的坐标为
2 2,3 2 ，
20 / 70
学科网（北京）股份有限公司
设点
2 2,3 2
C
在反比例函数
k
y
x
的图象上，
∴
C
C
k
x
y
，即
2 2
3 2
6 2
12
k
．
20．（2026·福建厦门·模拟预测）如图，点A 在反比例函数
0
k
y
x
x
的图象上，点B 在反比例函数
4
0
y
x
x
的图象上，AB 平行于x 轴，连接OA OB
，
，若4
6
k
，则AOB 的面积可以是（
）
A．7
2
B．4
C．9
2
D．5
【答案】C
【分析】设
,
k
A
a
a
，
4 ,
B
a
a
，将
AOB 的面积表示出来，建立面积与k 的函数关系，结合k 的取值范
围即可求解．
【详解】解：∵点A 在反比例函数
(
0)
k
y
x
x
的图象上，
点B 在反比例函数
4 (
0)
y
x
x
的图象上，
∴设
,
k
A
a
a
，
∵AB 平行x 轴，
∴
4 ,
B
a
a
，
∴
1
1
4
4
2
2
2
2
2
AOB
k
k
k
S
AB
a
a
a
a
，
∵4
6
k
，
∴2
3
2
k
，
∴4
2
5
2
k
，即4
5
AOB
S
，只有9
2 符合题意．
21．（2026·福建泉州·三模）如图，已知直线l 与x ，y 轴分别交于A ，B 两点，与反比例函数
(
0)
k
y
x
x
的
图象交于C ，D 两点，连接OC ，OD ．若AOC 和
COD
△
的面积都为6 ，则k 的值是（
）
21 / 70
学科网（北京）股份有限公司
A．2
B．3
C．4
D．8
【答案】D
【分析】由AOC 和
COD
△
的面积都为6，得点C 为AD 的中点，设
,
k
C
m
m
，
0,
A
n ，由中点坐标公式
得
2 ,2
k
D
m
n
m
，代入解析式得出
3
2
m
n
，过点C 作CH
y
轴于点H ，利用
6
AOC
S
，即可求解．
【详解】解：∵AOC 和
COD
△
的面积都为6 ，
∴AC
CD
，即点C 为AD 的中点，
设
,
k
C
m
m
，
0,
A
n ，
∴
2 ,2
k
D
m
n
m
，
∵点D 在反比例函数
(
0)
k
y
x
x
图象上，
∴
2
2
k
m
n
k
m
，
∴
3
2
m
n
，
如图，过点C 作CH
y
轴于点H ，则
k
CH
m
，
3
2
m
OA
n
，
∵
1
1
3
6
2
2
2
AOC
m
k
S
OA CH
m
，
∴
8
k ．
22．（2026·福建漳州·模拟预测）如图，点A 是函数
4 (
0)
y
x
x
＞
的图象上的动点，过点A 作x 轴、y 轴的平
行线与函数
2 (
0)
y
x
x
＞
的图象分别交于点B，C，OA 与BC 交于点D．下列结论中正确的是（
）
22 / 70
学科网（北京）股份有限公司
A．AB 与AC 一定相等
B．△AOB 与△AOC 的面积一定相等
C．OB 与OC 一定相等
D．△BOC 与△ABC 的面积一定相等
【答案】B
【分析】根据反比例函数中k 的几何意义与方程思想将点的坐标设出来，利用点与点之间的距离求线段进行
求解．
【详解】解：如图所示，延长AB 交y 轴于点E ，延长AC 交x 轴于点F ，
∵点A 在反比例函数
4 (
0)
y
x
x
＞
图像上，点,
B C 在反比例函数
2 (
0)
y
x
x
＞
的图像上，且AC
y
∥轴，AB
x
轴，
∴
2
4
1,
2
2
2
BOE
COF
AOE
AOF
S
S
S
S
，
∵
1,
1
AOB
AOE
BOE
AOC
AOF
COF
S
S
S
S
S
S
，
∴
AOB
AOC
S
S
；
设点
4
,
0
A a
a
a
，则点
1
4
2
4
,
,
,
,
0,
,
,0
2
B
a
C a
E
F a
a
a
a
，
A，
1
1
4
2
2
,
2
2
AB
a
a
a AC
a
a
a
，a 不确定，
∴
,
AB AC 之间的关系无法确定，不符合题意；
23 / 70
学科网（北京）股份有限公司
B，
AOB
AOC
S
S
，符合题意；
C，∵
4
2
1
,
,
,
2
OE
CF
BE
a OF
a
a
a
，
∴
2
2
2
2
2
2
2
2
16
4
,
4
a
OB
BE
OE
OC
CF
OF
a
a
a
，
∵a 不确定，
∴
,
OB OC 之间的关系无法确定，不符合题意；
D，∵
1
1
1
2
1
2
2
2
2
ABC
S
AB AC
a
a
，
1
1
1
1
4
1
2
1
3
1
2
2
2
2
2
2
2
2
BOC
ABC
S
AB OE
AC OF
S
a
a
a
a
，
∴不符合题意．
23．（2026·福建漳州·模拟预测）方程
2
3
1
x
x
的根可视为函数
3
y
x
的图象与函数
1
y
x
的图象交点的
横坐标，那么用此方法可推断出方程
3
2
1
x
x
的实数根x 所在的范围是（
）
A．
1
0
4
x
B．1
1
4
3
x
C．1
1
3
2
x
D．1
1
2
x
【答案】C
【分析】仿照题干给出的方法，将原方程变形得到两个函数，方程的实数根即为两个函数图象交点的横坐
标，通过计算不同x 处两个函数的函数值，结合函数增减性即可判断交点所在范围．
【详解】解：∵
0
x
不满足方程
3
2
1
x
x
，
∴
0
x
，
方程两边同除以x ，得
2
1
2
x
x
，
因此方程
3
2
1
x
x
的实数根是函数
2
2
y
x
与
1
y
x
图象交点的横坐标，
∵当两个函数图象相交时，交点的纵坐标
2
1
2
2
0
y
x
x
，
∴当两个函数图象相交时，交点的横坐标
1
0
2
x
，
当
1
3
x
时，
2
2
1
1
2
( )
2
2
3
9
y
x
，
1
3
y
x
，可得
2
1
2
x
x
，
当
1
2
x
时，
2
2
1
1
2
( )
2
2
2
4
y
x
，
1
2
y
x
，可得
2
1
2
x
x
，
∵
2
2
y
x
在
0
x
时，y 随x 的增大而增大，
1
y
x
在
0
x
时，y 随x 的增大而减小，
∴两个函数交点的横坐标满足1
1
3
2
x
，即方程的实数根x 所在范围是1
1
3
2
x
．
24 / 70
学科网（北京）股份有限公司
24．（2026·福建漳州·模拟预测）已知点
1
2
3
1,
,
2,
,
4,
A
y
B
y
C
y
都在反比例函数
2
1
k
y
x
的图象上，
则
1
2
3
,
,
y y
y 的大小关系（
）
A．
1
2
3
y
y
y
B．
3
2
1
y
y
y
C．
2
1
3
y
y
y
D．
1
3
2
y
y
y
【答案】D
【分析】先判断反比例函数比例系数的符号，确定函数图象所在象限和增减性，再根据各点横坐标的范围
比较纵坐标的大小.
【详解】解：∵
2
0
k
，
∴
2
1
0
k
；
∴反比例函数
2
1
k
y
x
的图象位于第一、三象限，且在每个象限内y 随x 的增大而减小；
∵点A 的横坐标1
0
，
∴点A 在第三象限，可得
1
0
y
，
∵点B 、C 的横坐标2
0
，4
0
，
∴点B 、C 在第一象限，
2
0
y
，
3
0
y
，
又∵2
4
，根据第一象限内函数的增减性，可得
2
3
0
y
y
；
综上，
1
3
2
y
y
y
.
25．（2026·福建漳州·模拟预测）如图1 为亮度可调节的台灯，在电压一定的情况下，该台灯的电流I（A）
与电阻R（Ω）之间的函数关系如图2 所示，则下列说法正确的是（
）
A．I 随R 的增大而增大
B．当
0.2
I
时，
100
R
C．I 与R 的函数表达式是
50 (
0)
I
R
R
D．当10
20
R
时，I 的取值范围是0.25
0.5
I
【答案】D
【分析】由待定系数法求出反比例函数的解析式，根据反比例函数的性质，对各选项进行分析判断即可．
【详解】解：由图可知，I 随R 的增大而减小，
25 / 70
学科网（北京）股份有限公司
∴A 选项不正确，不符合题意；
设
0
U
I
R
R
，
∵图象经过点
50,0.1
A
，
∴0.1
50
U
，
∴
5
U
，
∴I 与R 的函数表达式是
5 (
0)
I
R
R
，
∴C 选项不正确，不符合题意；
把
0.2
I
代入
5 (
0)
I
R
R
，可得5
0.2
R
解得
25
R
，
∴B 选项不符合题意；
∵
5 (
0)
I
R
R
，
∴当
10
R
时，
5
0.5
10
I
，当
20
R
时，
5
0.25
20
I
，
又∵I 随R 的增大而减小，
∴当10
20
R
时，I 的取值范围是0.25
0.5
I
,
∴D 选项正确，符合题意．
26．（2026·福建宁德·一模）物理兴趣小组在实验室开展“加速度与质量关系”的验证实验．在力F 恒定的条
件下，物体的加速度a （单位：
2
m / s ）与质量m （单位：kg ）满足反比例函数
F
a
m
．为保证实验安全，
质量控制在40
60
m
范围内．若
120 N
F
，则a 的最大值是（
）
A．2
B．3
C．4
D．6
【答案】B
【分析】根据反比例函数的性质求解即可．
【详解】解：在力F 恒定的条件下，物体的加速度a （单位：
2
m / s ）与质量m （单位：kg ）满足反比例
函数
F
a
m
，
∴加速度a 随质量m 的增大而减小，
又40
60
m
，
120 N
F
，
∴当
40
m
时，加速度a 有最大值，最大值为120
3
40
．
26 / 70
学科网（北京）股份有限公司
27．（2026·福建泉州·一模）物理实验中，小明分别测量电路中经过甲、乙、丙、丁四个用电器的电流I（安）
和它们的电压U（伏），根据图象及物理学知识P
UI
，可判断这四个用电器功率（P）最大的是（
）
A．甲
B．乙
C．丙
D．丁
【答案】A
【分析】本题考查反比例函数图象与性质；根据公式P
UI
，即
P
U
I
，结合反比例函数
k
y
x
的性质，图
象离原点越远，k 值越大，即用电器功率（P）越大．
【详解】解：∵P
UI
，
∴
P
U
I
，即当电功率一定时，其图象是反比例函数的图象，
∵乙、丁两点在曲线上，
∴乙、丁两用电器的功率相等，
∵甲点在曲线上方，丙点在曲线下方，
∴功率最大的是甲．
故选：A．
28．（2026·福建泉州·一模）如图，点P 在双曲线
3
0
y
x
x
上，PB
y
轴，垂足为B ，过点B 作AB
OP
∥
交双曲线
3
0
y
x
x
于点A ，连接OA，交PB 于点Q ，则
OPQ
OBQ
S
S
的值为（
）
A．
5
1
2
B．
3
1
2
C．
7
1
2
D．
5
1
2
【答案】D
27 / 70
学科网（北京）股份有限公司
【分析】本题可先设出点P 的坐标，进而得到点B 的坐标，再根据直线OP 与AB 平行求出直线AB 的解析
式，联立直线AB 与双曲线的方程求出点A 的坐标，根据
OBQ
OCA
∽
△
△
，求得
3
5
2
BQ
a
，最后根据
OPQ
OBQ
S
PQ
S
BQ
求解即可．
【详解】解：设
3
,
0
P a
a
a
，
∵PB
y
轴，
∴点B 的坐标为
3
0, a
，
设直线OP 的解析式为y
kx
，
∴3
ak
a
，解得
2
3
k
a
，
∴直线OP 的解析式为
2
3
y
x
a
，
∵AB
OP
∥
，
∴直线AB 的解析式为
2
3
3
y
x
a
a
，
联立得
2
3
3
3
x
a
a
x
，
整理得
2
2
0
x
ax
a
，
解得
5
2
a
a
x
，
∵
0
x
，
∴
5
5
1
2
2
a
a
x
a
，
将
5
1
2
x
a
代入
3
y
x
得
3
6
3 5
3
2
5
1
5
1
2
y
a
a
a
，
∴点A 的坐标为
5
1
3 5
3
,
2
2
a
a
，
作AC
y
轴于点C ，
28 / 70
学科网（北京）股份有限公司
∵PB
y
轴，AC
y
轴，
∴BQ
AC
∥
，
∴
OBQ
OCA
∽
△
△
，
∴BQ
OB
CA
OC
，即
3
5
1
3 5
3
2
2
a
a
a
BQ
，
解得
3
5
2
BQ
a
，
∴
3
5
5
1
2
2
PQ
PB
BQ
a
a
a
，
∵AB
OP
∥
，
∴
5
1
5
1
2
2
3
5
2
OPQ
OBQ
a
S
PQ
S
BQ
a
．
29．（2025·福建泉州·模拟预测）如图，已知正比例函数
3
2
y
x
与反比例函数
6
y
x
交于A，B 两点，C 是
第三象限反比例函数图象上一点，且点C 在点A 的左侧，线段BC 交y 轴的正半轴于点P，若PAC 的面积
是12，则点C 的坐标是（
）
A．
3
8,
4
B．
3, 2
C．
3
4,
2
D．
6
1
（
，）
【答案】D
【分析】本题考查了正比例函数与反比例函数的交点问题、正比例函数与反比例函数的性质、待定系数法
求一次函数的表达式及三角形的面积．熟练掌握反比例函数的性质和两个函数的交点是解答本题的关键．
先通过函数解析式求出交点A、B 坐标，设点C 的坐标，再利用待定系数法求出BC 的解析式，最后再根据
PAC 的面积得到关于m 的方程，即可求得点C 的坐标．
【详解】解：由题可得：
29 / 70
学科网（北京）股份有限公司
3
2
6
y
x
y
x
，
解得：
2
3
x
y
或
2
3
x
y
，
2, 3
A
，
2,3
B
，
设
6
,
C m m
，设直线BC 为y
kx
b
，则
2
3
6
k
b
mk
b
m
，
解得：
3
k
m
= -
，
6
3
b
m
，
直线BC 为
3
6
3
y
x
m
m
，
过A 作y 轴的平行线交BC 于点Q,则
12
2,3
Q
m
，
12
6
AQ
m
，
1
12
2
APC
p
c
S
AQ x
x
，
即
1 12
6
12
2
m
m
，
解得：
6
m
，
6, 1
C
．
故答案为：
6, 1
．
30．（2025·福建龙岩·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，A
B
、
两点在双曲线
(
0,
0)
k
y
k
x
x
上，
连结并延长AB 交x 轴于点C ，且
:
1: 2
AB BC
；点D 在直线
:
0
l y
mx m
，直线l
AB ．若
30
ACD
S
△
，
则k 的值为（
）
30 / 70
学科网（北京）股份有限公司
A．12
B．18
C．24
D．30
【答案】C
【分析】延长CA 交y 轴于点E ，则AE
BC
，连结OA，过点A 作AF
x
轴于点F ，过点B 作BG
x
轴
于点G ，则AF
BG
∥
，设
2 ,3
A
a
b ，根据
BCG
ACF
△
∽△
，可得
3 ,2
B
a
b ，从而得到
5 ,0
C
a
，再由
BCG ∽ECO ，可求出
0,5
E
b ，然后根据直线l
AB ，可得
30
AOC
OADC
S
S
△
△
，可解决问题．
【详解】解：延长CA 交y 轴于点E ，则AE
BC
，连接OA ，过点A 作AF
x
轴于点F ，过点B 作BG
x
轴于点G ，则AF
BG
∥
，
设
2 ,3
A
a
b ，
0,
0
a
b
，则
3
AF
b
，
2
OF
a
，
A两点在双曲线
(
0,
0)
k
y
k
x
x
上，
2
3
6
k
a
b
ab
，
∴反比例函数解析式为
6
y
ab
x
，
∵AF
BG
∥
，
∴
BCG
ACF
△
∽△
，
∴BC
BG
CG
AC
AF
CF
，
∵
:
1: 2
AB BC
，
∴
2
3
3
BG
b
，即
2
BG
b
，
当
2
y
b
时，
3
x
a
，
31 / 70
学科网（北京）股份有限公司
∴
3 ,2
B
a
b ，
∴
3
OG
a
，
∴
3
2
FG
OG
OF
a
a
a
，
∴
2
CG
a
，
∴
5
OC
a
，
∴
5 ,0
C
a
，
∵BG
y
∥
轴，
∴BCG ∽ECO ，
∴BG
CG
OE
OC
，即2
2
5
b
a
OE
a
，
∴
5
OE
b
，
∴
0,5
E
b ，
直线l
AB ，
30
ACD
S
△
，
1
15
30
2
2
ACD
AOC
S
S
OC AF
ab
△
△
．
4
ab
，
∴
6
24
k
ab
．
31．（2025·福建厦门·模拟预测）现有甲、乙两款电压不同的蓄电池，蓄电池的电压都为定值，使用蓄电池
时，电流
1
2
，
I
I （单位：A ）与电阻R （单位：）是反比例函数关系，它们的图象如图所示．若平行于纵
轴的直线l 交
1I 的图象于点Q ，交
2I 的图象于点P ，过点P
Q
，
分别作纵轴的垂线，垂足为
，
N
M ，则矩形
MNPQ 的面积表示的实际意义是（
）
A．经过用电器的电流的差值
B．两款蓄电池的电压的差值
C．当经过用电器的电流相同时的电阻的差值
D．当用电器的电阻相同时的电流的差值
32 / 70
学科网（北京）股份有限公司
【答案】B
【分析】本题考查反比例函数k 的几何意义，设
U
I
R
，对于Q 所在的曲线，
1
四边形OMQB
U
S
；对于P 所在
的曲线，
2
四边形ONPB
U
S
；数形结合得到矩形MNPQ 的面积
1
2
四边形
四边形
OMQB
ONPB
S
S
U
U
，即矩形MNPQ 的
面积表示的实际意义是两款蓄电池的电压的差值，即可得到答案．熟记反比例函数k 的几何意义，数形结合
是解决问题的关键．
【详解】解：如图所示：
由题意可知，设
U
I
R
，
对于Q 所在的曲线，
1
四边形OMQB
U
S
；对于P 所在的曲线，
2
四边形ONPB
U
S
；
矩形MNPQ 的面积
1
2
四边形
四边形
OMQB
ONPB
S
S
U
U
，
即矩形MNPQ 的面积表示的实际意义是两款蓄电池的电压的差值，
故选：B．
32．（2025·福建莆田·二模）如图，将反比例函数
2
y
x
的图象向右平移1 个单位，可以得到函数
2
1
y
x
的
图象．下列关于函数
2
1
y
x
的说法中，正确的是（
）
A．该函数图象交y 轴于点
0,2
B．该函数图象关于点
0,1 对称
C．该函数图象关于直线
1
y
x
对称
33 / 70
学科网（北京）股份有限公司
D．该函数图象上任取两点
1
1
,
x y
，
2
2
,
x y
，若
1
2
x
x
，则
1
2
y
y
【答案】C
【分析】本题主要考查了反比例函数平移后的图象性质，包括对称性质、增减性及与坐标轴的交点．
根据图象结合相关计算逐选项判断即可．
【详解】解：A．当
0
x
时，
2
2
1
y
，该函数图象交y 轴于点
0, 2
，此选项错误；
B．该函数图象关于点
1,0 对称，此选项错误；
C．
2
y
x
关于直线y
x
对称，将反比例函数
2
y
x
的图象向右平移1 个单位，直线y
x
也向右平移1 个
单位，为直线
1
y
x
，
该函数图象关于直线
1
y
x
对称，此选项正确；
D．该函数图象上任取两点
1
1
,
x y
，
2
2
,
x y
，若
1
2
1
x
x
或
1
2
1
x
x
，则
1
2
y
y
，此选项错误；
故答案为：C．
33．（2026·福建漳州·模拟预测）阻力会对物体的运动产生影响，是物理学中的重要概念．兴趣小组通过实
验研究发现，一辆静止的小车从斜坡滑下后，在水平木板（长度足够长）上的运动速度v（cm / s ）与运动
时间t（s）之间满足我们学过的某种函数关系．下表是一组实验数据，根据表中数据，当运动时间为6s 时，
运动速度为_______cm / s ．
运动时间t（s）
1
2
3
……
运动速度v/
（cm / s ）
11
10
9
……
【答案】6
【分析】求出函数解析式，代入
6
t
即可求出答案．
【详解】解：由表格可知，当运动时间每增加1s ，则运动速度降低1cm / s ，则速度v（cm / s ）与运动时间
t（s）之间的函数关系式为
12
v
t
,
当
6
t
时，
12
6
v
t
，
34 / 70
学科网（北京）股份有限公司
即当运动时间为6s 时，运动速度为6cm/ s ．
34．（2026·福建漳州·模拟预测）声音在空气中传播的速度随温度的变化而变化，下表表示一定温度下声音
在空气中传播的速度v( m / s )与温度
t ℃部分对应数值：
温度t
0
10
20
声音传播的速度v
331
337
343
研究发现，v 是t 的一次函数，则当温度t 为5℃时，声音传播的速度v 为_______m / s ．
【答案】334
【分析】已知v 是t 的一次函数，设解析式为v
at
b
，利用表格给出的两组对应值，通过待定系数法求出
函数解析式，再将
5
t
代入解析式计算得到对应的v 的值．
【详解】解：设v 与t 的函数解析式为
0
v
at
b a
．
由表格可知，当
0
t
时，
331
v
，代入解析式得331
0
a
b
，解得
331
b
；
因此函数解析式为
331
v
at
．
将
10
t
，
337
v
代入解析式得337
10
331
a
，解得
0.6
a
；
因此v 与t 的函数解析式为
0.6
331
v
t
．
将
5
t
代入解析式得
0.6 5 331
3 331
334
v
．
35．（2026·福建漳州·模拟预测）智能手环的压力传感器原理：当佩戴者手腕施加压力时，传感器的弹性膜
发生形变，带动内部可变电阻R 阻值变化，进而使电路中电流发生变化，最终转化为可显示的压力值．已
知该可变电阻R（单位：欧）与手腕施加的压力F（单位：牛）之间的关系为一次函数，当
0
F
牛时，
240
R
欧；当
120
F
牛时，
0
R
欧．当可变电阻R 为60 欧时，对应手腕施加的压力F 为______牛．
【答案】90
【分析】先根据R 与F 是一次函数关系设出函数解析式，利用已知的两组对应值，用待定系数法求出函数
解析式，再将
60
R
代入解析式，计算得到对应F 的值．
【详解】设R 与F 的一次函数解析式为
0
R
kF
b k
．
将
0,
240
F
R
和
120,
0
F
R
分别代入解析式，
得：
0
240
120
0
b
k
b
，
解得：
2
240
k
b
，
35 / 70
学科网（北京）股份有限公司
因此一次函数解析式为
2
240
R
F
，
将
60
R
代入解析式得60
2
240
F
，
移项得2
240
60
F
，
计算得2
180
F
，
解得
90
F
．
36．（2026·福建漳州·模拟预测）随着电动汽车充电基础设施日趋完善，便捷的出行方式让越来越多的人青
睐电动汽车．已知某品牌电动汽车从电量0% 开始快充时，累计充电时间
min
y
与汽车仪表盘显示的电量
%
x
的关系可用二次函数
2
1
1
300
6
y
x
x
近似刻画，而电动汽车行驶过程中汽车仪表盘显示的可行驶里程
s km 与电量
%
x
的关系如下表所示．
汽车仪表盘显示的电
量
%
x
0
10
20
30
40
…
汽车仪表盘显示的可
行驶里程
s km
0
70
140
210
280
…
若王老师驾驶电动汽车前往某地，途经某一充电站，到达该充电站时汽车仪表盘显示的电量为30%，此时
到目的地的路程还有490km ．若王老师计划在该充电站一次性充电一段时间，在其他地方不再充电，且他
到达目的地时汽车仪表盘显示的电量恰好为10% ，则充电时间为________ min ．
【答案】80
3 /
2
26 3
【分析】由表可知，每行驶70 千米，需要10% 的电量，根据题意可得，电量需充到80%，根据累计充电时
间
min
y
与汽车仪表盘显示的电量
%
x
的关系，即可求解．
【详解】解：由表可知，每行驶70 千米，需要10% 的电量，
根据题意可得，电量需充到
490
70 10 10
80 %
，
在
2
1
1
300
6
y
x
x
中，
当
30
x
时，
2
1
1
30
30
8
300
6
y
，
当
80
x
时，
2
1
1
104
80
80
300
6
3
y
，
∴充电时间为
104
80
8
min
3
3
．
36 / 70
学科网（北京）股份有限公司
37．（2026·福建厦门·一模）某饮水机开机后即开始烧水，当水温到100℃时自动停止加热，随后水温逐渐
下降，根据此过程绘制了水温y（单位：℃）随时间x（单位：m ）变化的大致图象（由线段AB 与双曲线
一部分BC 组成），如图所示．则该饮水机开始烧水后水温始终保持在40℃以上的时间为________分钟．
【答案】31.5
【分析】本题是一次函数与反比例函数的综合，考查了待定系数法求函数解析式，已知函数值求自变量的
值等知识，关键是读懂题意，列出函数关系式．用待定系数法分别求直线AB 和曲线BC 的解析式，分别求
解当
40
y
时，对应的x 值，即可得该饮水机开始烧水后水温始终保持在40℃以上的时间．
【详解】解：设直线AB 解析式为：y
kx
b
，则
100
14
20
k
b
b
，
解得：
40
7
20
k
b
，
∴温度上升段（AB ）的解析式为：
40
20 0
14
7
y
x
x
，
当
40
y
时，即40
20
40
7 x
，
解得
3.5
x
；
设反比例函数的表达式为：
14
k
y
x
x
，
将点
14,100
B
的坐标代入上式得：100
14
k
，
解得：
1400
k
，
故温度下降段（BC 段）函数表达式：
1400
14
y
x
x
当
40
y
时，即1400
40
x
，
解得
35
x
；
则该饮水机开始烧水后水温始终保持在40℃以上的时间为35
3.5
31.5
（分钟），
故答案为：31.5 ．
38．（2026·福建漳州·模拟预测）漳州某中学的生物社团为了探究室内盆栽虎皮兰的生长情况，记录了其叶
37 / 70
学科网（北京）股份有限公司
片数y（片）与生长周数x（周）的关系，得到如下数据：
试验周数x/
周
0
1
2
3
4
叶片数y/片
10
13
16
19
22
则y 与x 之间的函数关系式为_______．
【答案】
3
10
y
x
【分析】由表格数据可知，y 随x 均匀变化，可判断y 与x 为一次函数关系，利用待定系数法求解即可．
【详解】解：设y 与x 的函数关系式为
(
0)
y
kx
b k
，
将
0,
10
x
y
和
1,
13
x
y
代入得：
10
13
b
k
b
，
解得
3
10
k
b
，
得到关系式
3
10
y
x
．
39．（2026·福建福州·模拟预测）已知关于x 的一次函数
4
3
y
mx
m
，那么这个函数的图象一定经过第
________象限．
【答案】
二
【分析】将已知一次函数解析式变形，可求出函数恒过的定点，根据定点所在象限即可得到结论.
【详解】解：对一次函数解析式变形可得
4
3
y
m x
，
∴当
4
x 时，
4
4
3
3
y
m
，
∴一次函数的图象恒过定点
4,3
，
∵点
4,3
在第二象限，
∴这个函数的图象一定经过第二象限．
40．（2026·福建泉州·一模）在“测量小车运动的瞬时速度”物理实验中，小明通过打点计时器记录了小车在
恒定拉力作用下运动的速度与时间关系．测得当
1
t 秒时，小车的速度
0.8
v
米/ 秒；当
3
t
秒时，小车的
速度
1.4
v
米/ 秒．已知小车速度v 与时间t 满足一次函数关系，当
2
t
秒时，小车的速度
v
___________
米/ 秒．
38 / 70
学科网（北京）股份有限公司
【答案】
1.1
【分析】根据v 与t 满足一次函数关系，设出一次函数解析式，利用待定系数法求出解析式，再将
2
t
代入
计算得到对应v 的值.
【详解】解：设v 关于t 的一次函数解析式为
0
v
kt
b k
.
将
1,
0.8
t
v
和
3,
1.4
t
v
分别代入解析式，得
0.8
{3
1.4
k
b
k
b
，
解得
0.3
0.5
k
b
，
∴
0.3
0.5
v
t
.
将
2
t
代入解析式，得
0.3 2
0.5
1.1
v
.
41．（2026·福建莆田·模拟预测）如图，反比例函数
0
k
y
x
x
的图象经过平行四边形ABCO 的顶点A ，
已知OC 在x 轴上，若点B 的坐标是
1,5
，平行四边形ABCO 的面积是4，则实数k 的值为______．
【答案】9
【分析】先求出
0.8
AB
OC
，即可得出
1.8,5
A
，代入函数表达式即可求解．
【详解】解：延长AB 交y 轴于点D，如图，
∵四边形ABCO 是平行四边形，
∴AD
OC ，
∴
90
BDO
DOC
，
39 / 70
学科网（北京）股份有限公司
∴AD
y
轴，
∵点B 的坐标是
1,5
，
∴
5
OD
，
1
BD ，
∵平行四边形ABCO 的面积是4，
∴
4
ABCO
S
OD OC
，
∴
0.8
AB
OC
，
∴
1.8
AD
AB
BD
，
∴点A 的坐标是
1.8,5
，
∴5
1.8
k
，
∴
9
k
，
故答案为：9
．
42．（2026·福建莆田·模拟预测）在平面直角坐标系中，直角三角板AOB 按如图位置摆放，直角顶点与原
点O 重合，点A 在反比例函数
0
k
y
x
x
的图像上，
30
B
．若点B 坐标为
1, 3
，则k 的值是______．
【答案】1
【分析】过点A 作AC 垂直于y 轴，过点B 作BD 垂直于y 轴，根据点B 的坐标求出
,
OD BD 的长度，利用勾
股定理求出OB 的长度，再通过解直角三角形求出OA的长度，最后利用“ K 字模型”求出
,
OC AC 的距离，根
据k 的几何意义求解．
【详解】解：如图所示，过点A 作AC 垂直于y 轴，垂足为点C ，过点B 作BD 垂直于y 轴，垂足为点D ，
40 / 70
学科网（北京）股份有限公司
∴
90
ACO
BDO
，
∵点
1, 3
B
，
∴
3,
1
OD
BD
，
在Rt BOD 中，
2
2
10
OB
OD
BD
，
在Rt AOB 中，
30
B
，
∴tan30
OA
OB
，即
3
3
10
OA
，解得
30
3
OA
，
∵
90
ACO
AOB
，
∴
90
CAO
AOC
AOC
BOD
，
∴
CAO
BOD
，
又∵
90
ACO
BDO
，
∴
AOC
OBD
△
∽△
，
∴AC
OA
OC
OD
OB
BD
，即
30
3
3
1
10
AC
OC
，解得
3
3,
3
AC
OC
，
∴
1
1
3
1
3
2
2
3
2
AOC
S
OC AC
，
又∵
2
AOC
k
S
，
∴
1
k ，
又∵反比例函数图像在第一象限，
∴
1
k ．
43．（2026·福建三明·模拟预测）如图，点A ，B 分别在反比例函数
1
k
y
x
（
0
x
），
2
3
y
x
（
0
x
）的
图象上，点C 为y 轴正半轴上一点，若平行四边形ACOB的面积是6，则k 的值为_______．
41 / 70
学科网（北京）股份有限公司
【答案】9
【分析】根据平行四边形的性质求出
1
6
3
2
AOB
S
，根据反比例函数k 的几何意义求出
3
2
BOD
S
，进而求
出
9
2
AOD
BOD
AOB
S
S
S
，然后根据
1
2
AOD
S
k
求解即可．
【详解】解：如图，延长AB 交x 轴于点D，连接OA ，
∵平行四边形ACOB的面积是6，
∴
1
6
3
2
AOB
S
．AD
OC ，
∴CO
OD
，
∴AD
OD
．
∵点B 在反比例函数
2
3
y
x
的图象上，
∴
1
3
3
2
2
BOD
S
，
∴
3
9
3
2
2
AOD
BOD
AOB
S
S
S
．
∵点A 在反比例函数
1
k
y
x
的图象上，
∴
1
2
AOD
S
k
．
∴
9
2
9
2
k
．
∵反比例函数
1
k
y
x
的图象在第二象限，
∴
9
k
．
42 / 70
学科网（北京）股份有限公司
44．（2026·福建厦门·模拟预测）在平面直角坐标系xOy 中，直线y
x
m
与双曲线
5
y
x
交于
,5
A a
a ，
B 两点，在线段AB 上取一点M （M 不与A ，B 重合），点M 的横坐标为t ，作MH
x
轴于H ，交双曲
线
5
y
x
于N ，记d
MN OH
．若d 随t 的增大而减小，则t 的取值范围是______．
【答案】3
1
t
或3
5
t
【分析】先根据点A 在双曲线上求出a 的值，进而得到直线解析式和交点B 的横坐标，确定t 的初始取值
范围，再用t 表示d，得到d 关于t 的二次函数，根据二次函数的增减性求出满足条件的t 的范围．
【详解】解：
点
,5
A a
a 在双曲线
5
y
x
上，
5
5
a
a
，
解得
2
1
a ，
即
1
a ．
①当
1
a 时，
1,5
A
，
将
1,5
A
代入y
x
m
，得
5
1
m
，
解得
6
m
，
∴直线
6
y
x
当
5
6
x
x
时，
解得
1
1
x ，
2
5
x
，
即点B 的横坐标为5 ，
点M 在线段AB 上，不与A ，B 重合，
1
5
t
．
由题意得
,
6
M t
t
，
5
,
N t t
，OH
t
，且1
5
t
时，
5
6
t
t
，
5
6
MN
t
t
，
2
5
6
6
5
d
MN OH
t
t
t
t
t
，
该二次函数开口向下，对称轴为
6
3
2
1
t
，
当
3
t
时，d 随t 的增大而减小，结合1
5
t
得3
5
t
．
②当
1
a 时，
1, 5
A
，将
1, 5
A
代入y
x
m
，得
43 / 70
学科网（北京）股份有限公司
5
1 m
，
解得
6
m
，
∴直线
6
y
x
，
当
5
6
x
x
时，
解得
1
1
x ，
2
5
x ，即点B 的横坐标为5
，
点M 在线段AB 上，不与A ，B 重合，
5
1
t
．
由题意得
,
6
M t
t
，
5
,
N t t
，OH
t
t
，
且5
1
t
时，5
6
t
t
，
5
5
6
6
MN
t
t
t
t
，
2
5
6
6
5
d
MN OH
t
t
t
t
t
，
该二次函数开口向下，对称轴为
6
3
2
1
t
，
当
3
t
时，d 随t 的增大而减小，
结合5
1
t
，得
3
1
t
．
综上，t 的取值范围是3
1
t
或3
5
t
．
45．（2026·福建厦门·二模）已知点
,
P a b 是一次函数
3
y
x
与反比例函数
2
y
x
的交点，则代数式1
1
a
b
的值是_________．
【答案】3
2
【分析】根据交点坐标满足两个函数解析式，得到,a b 的关系式，将所求代数式通分变形后，整体代入求值
即可．
【详解】解：
点
,
P a b 是一次函数
3
y
x
与反比例函数
2
y
x
的交点，
将
,
P a b 代入两个函数解析式，得
3
b
a
，
2
b
a
，
整理得
3
b
a
，
2
ab
，
对所求代数式变形，得1
1
b
a
a
b
ab
，
44 / 70
学科网（北京）股份有限公司
将
3
b
a
，
2
ab
代入，得1
1
3
3
2
2
a
b
．
46．（2026·福建三明·二模）如图，A 、B 是反比例函数
2
y
x
图象上两点，且
2
AB
OA
，过点A 、B 分别
作x 轴、y 轴的平行线，交于点C ，连接OC ，交AB 于点D ，若
45
AOC
，给出以下四个结论：①
2
AB
BC
；
②
22.5
ACO
；③AD
CD
；④
2
1
OC
OA
，其中正确的是______（写出所有正确结论的序号）．
【答案】②③④
【分析】延长CB 交x 轴于点P ，由题意得，
90
ACB
CPO
，由题意可设
2
,
A m m
，
2
,
B n n
，则
2
2
2
n
m
BC
m
n
mn
，AC
n
m
，然后证明tan
3
tan
1
，则1
3
，再根据平行线的性质得到
3
4
1
，则AD
CD
，再结合互余关系证明点D 为AB 的中点，结合已知可得AD
AO
，则ADO 为
等腰直角三角形，即可求解
22.5
ACO
，再由勾股定理得到
2
1
OC
OA
，最后根据反证法即可判断
2
AB
BC
不成立．
【详解】解：延长CB 交x 轴于点P ，由题意得，
90
ACB
CPO
由题意可设
2
,
A m m
，
2
,
B n n
，
∴
2
2
2
n
m
BC
m
n
mn
，AC
n
m
，
∵
2
2
tan
3
PC
m
OP
n
mn
，
∴
2
2
tan
1
n
m
BC
mn
AC
n
m
mn
，
∴tan
3
tan
1
，
45 / 70
学科网（北京）股份有限公司
∴1
3
，
∵AC
x 轴，
∴
3
4
，
∴
1
4
，
∴AD
CD
，故③正确；
∵
90
3,
90
1
DCB
DBC
，
∴
DCB
DBC
，
∴DC
DB
，
∴DA
DB
，
∴
2
AB
AD
，
∵
2
AB
OA
，
∴AD
AO
，
∴
2
45
AOD
，
∵
2
1
4
，1
4
∴
1
4
22.5
，故②正确；
∵
2
45
AOD
∴AOD 为等腰直角三角形，
∴
2
2
AD
AO
CD
OD
，
∴
2
2
1
OC
OD
DC
OA
OA
OA
，故④正确，
∵
90
ACB
，若
2
AB
BC
，则
1
sin
1
2
BC
AB
，则
1
30
，与
1
22.5
矛盾，故
2
AB
BC
不成立，
故①错误，
∴正确的有②③④．
47．
（2026·福建福州·模拟预测）在平面直角坐标系xOy 中，若函数
0
k
y
k
x
的图象经过点
1,4
x
和
2, 4
x
，
则
1
2
x
x
的值是______．
【答案】0
【分析】根据反比例函数的性质可得，反比例函数图象上点的横纵坐标乘积为定值k ，据此表示出
1x 与
2x ，
即可计算
1
2
x
x
的值．
46 / 70
学科网（北京）股份有限公司
【详解】解：
函数
0
k
y
k
x
的图象经过点
1,4
x
和
2, 4
x
，
1
2
4
4
k
x
x
，整理得
1
4
k
x
，
2
4
k
x
，
1
2
0
4
4
k
k
x
x
．
48．（2026·福建福州·模拟预测）用绘图软件绘制双曲线m ：
60
y
x
与动直线l ：y
a
，且交于一点，图1
为
8
a
时的视窗情形．视窗的大小不变，但其可视范围可以变化，且变化前后原点O始终在视窗中心．例
如，为在视窗中看到（1）中的交点，可将图1 中坐标系的单位长度变为原来的
1
2 ，其可视范围就由15
15
x
及10
10
y
变成了30
30
x
及20
20
y
（如图2）．当
1.2
a
和
1.5
a
时，l 与m 的交点分别是点A
和B ，为能看到m 在A 和B 之间的一整段图象，需要将图1 中坐标系的单位长度至少变为原来的1
k ，则整
数k ________．
【答案】4
【分析】当
1.2
a
和
1.5
a
时，根据一次函数、反比例函数和直角坐标系的性质，分别计算k 的值，再
根据题意分析，即可得到答案．
【详解】解：当
1.2
a
时，得
60
1.2
y
x
∴
50
x
∵
0
x
∴
50
x
是60
1.2
x
的解
∴l 与m 的交点坐标为：
50, 1.2
∵（1）视窗可视范围就由15
15
x
及10
10
y
，且10
1.2
10
∴15
50
k
根据题意，得k 为正整数
∴
10
3
k
47 / 70
学科网（北京）股份有限公司
∴
4
k
同理，当
1.5
a
时，得
40
x
∴15
40
k
∴
8
3
k
∴
3
k
∵要能看到m 在A 和B 之间的一整段图象
∴
4
k
49．（2026·福建漳州·模拟预测）如图，点A，B 分别为反比例函数
1
0
y
x
x
与
0
k
y
x
x
图象上的
点，连接OA ，OB ．若
2
OB
OA
，且满足
1
2
，则k 的值为________．
【答案】2
【分析】过点A 作AM
x
轴于点M，过点B 作BN
y
轴于点N，根据反比例函数比例系数的几何意义，
得
1
1
1
2
2
AOM
S
，
1
2
BON
S
k
，证明AMO
BNO
∽
得到
2
1
BNO
AMO
S
S
，再结合反比例函数
0
k
y
x
x
图象在第四象限即可求出k 的值．
【详解】解：过点A 作AM
x
轴于点M，过点B 作BN
y
轴于点N，则
90
AMO
BNO
，
∵点A 在反比例函数
1
0
y
x
x
的图象上，点B 在反比例函数
0
k
y
x
x
图象上，
∴根据反比例函数比例系数的几何意义，得
1
1
1
2
2
AOM
S
，
1
2
BON
S
k
，
∵
AMO
BNO
，
1
2
，
48 / 70
学科网（北京）股份有限公司
∴AMO
BNO
∽
，
∴
2
2
1
2
2
AMO
BNO
S
AO
AO
S
BO
AO
，
∴
1
2
2
1
2
BNO
AMO
S
S
，
∴1
1
2 k
∴
2
k ，
∵反比例函数
0
k
y
x
x
图象在第四象限，
∴
2
k
．
50．（2026·福建三明·二模）在平面直角坐标系xOy 中，射线
1
0
y
k x x
与双曲线
1k
y
x
和
2k
y
x
依次交
于点A，B，射线
2
0
y
k x x
与双曲线
1k
y
x
和
2k
y
x
依次交于点C，D．对于任意的
1
2
0
k
k
，给出下
列四个结论：
①AC
BD
∥
；②AB
CD
；③
1
2
k
OA
OB
k
；④
1
2
OAC
OBD
S
k
S
k
△
△
．
其中正确的是_______．（写出所有正确结论的序号）
【答案】①④/④①
【分析】先通过联立方程求出四个交点A，B，C，D 的坐标，再根据相似三角形的性质与判定，两点间距
离公式逐一验证四个结论，得到正确结论即可．
【详解】解：由题意可得如图所示：
过点A、B 分别作x 轴的垂线，垂足分别为E、F，
∴
//
AE BF ，
∴
OAE
OBF
△
∽△
，
49 / 70
学科网（北京）股份有限公司
∴OA
AE
OB
BF
，
联立
1
1
y
k x
k
y
x
，解得：
1
1
x
y
k
（负根舍去），
∴
1
1,
A
k
，
同理可得：
2
1 2
1
,
k
B
k k
k
，
1
1 2
2
,
k
C
k k
k
，
2
1,
D
k
，
∴
1
1
2
,
AE
k BF
k k
，
∴
1
1
1
2
2
k
k
OA
OB
k k
k
，故③错误；
同理可得：
1
2
1
2
2
k k
k
OC
OD
k
k
，
∴OA
OC
OB
OD
，
∵
AOC
BOD
，
∴AOC
BOD
∽
，
∴
CAO
DBO
，
2
1
2
OAC
OBD
S
k
OA
S
OB
k
，故④正确；
∴AC
BD
∥
，故①正确；
由两点间距离公式，
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
1
1
1
1
1
k
AB
k k
k
k
k
k
k
k
，
2
2
2
2
1
2
1
2
2
1
2
2
2
1
1
k
CD
k
k k
k
k
k
k
k
，
因为
1
2
0
k
k
，
所以AB
CD
，故②错误；
综上所述：正确的有①④．
51．（2026·福建南平·二模）如图，已知矩形ABCD 的顶点均在反比例函数
1
y
x
的图象上，其中顶点A，B
在第一象限（点B 在点A 右侧），顶点C，D 在第三象限（点C 在点D 右侧），若点A 的坐标为1 ,2
2
，
则点B 的坐标为______．
50 / 70
学科网（北京）股份有限公司
【答案】
1
2, 2
【详解】解：由矩形及反比例函数的轴对称性可得，A，B 两点关于直线y
x
对称，
∵点A 的坐标为1 ,2
2
，
∴点B 的坐标为
1
2, 2
．
52．（2026·福建福州·三模）【知识链接】
实验目的：探究浮力的大小与哪些因素有关．
实验过程：如图①，在两个完全相同的溢水杯中，分别盛满甲、乙两种不同密度的液体，将完全相同的两
个质地均匀的圆柱体小铝块分别悬挂在弹簧测力计A
B
，
的下方，从离桌面20cm 的高度，分别缓慢浸入到
甲、乙两种液体中，通过观察弹簧测力计示数的变化，探究浮力大小的变化．（溢水杯的杯底厚度忽略不
计）
实验结论：物体在液体中所受浮力的大小，跟它浸在液体中的体积及液体的密度有关．物体浸在液体中的
体积越大、液体的密度越大，浮力就越大．
总结公式：当小铝块位于液面上方时，F
G
拉力
重力；当小铝块浸入液面后，F
G
F
拉力
重力
浮力．
【建立模型】在实验探究的过程中，实验小组发现：弹簧测力计A
B
，
各自的示数
N
F拉力
与小铝块各自下
降的高度
cm
x
之间的关系如图2 所示．
【解决问题】
(1)当小铝块下降10cm 时，弹簧测力计A 的示数为________ N ，弹簧测力计B 的示数为________ N ；
51 / 70
学科网（北京）股份有限公司
(2)当6
10
x
时，求弹簧测力计A 的示数F拉力关于x 的函数解析式；
(3)当弹簧测力计A 悬挂的小铝块下降7cm 时，甲液体中的小铝块受到的浮力为
N
m
，若使乙液体中的小
铝块所受的浮力也为
N
m
，则乙液体中小铝块浸入的深度为
cm
n
．求m ，n 的值．
【答案】(1)2.8 ；2.5
(2)
0.3
5.8
F
x
拉力
(3)
0.3 N
m
，
0.8 cm
n
【分析】（1）观察图象即可得出答案．
（2）观察图象可知F拉力关于x 的函数为一次函数，利用待定系数法即可得出弹簧测力计A 的示数F拉力关于x
的函数解析式．
（3）根据（2）中得到的函数解析式得到小铝块下降7cm 时小铝块受到的浮力
0.3 N ，利用待定系数法求
出当6
10
x
时，弹簧测力计B 的示数F拉力关于x 的函数解析式，继而根据弹簧测力计B 的示数F拉力也为
3.7 N 得到此时的
0.8 cm
n
．
【详解】（1）解：由图像可知，当小铝块下降10cm ，即当
10cm
x
时，弹簧测力计A 的示数为2.8 N ，弹
簧测力计B 的示数为2.5 N ；
故答案为：2.8 ；2.5 ；
（2）解：当6
10
x
时，设弹簧测力计A 的示数F拉力关于x 的函数解析式为
0
F
kx
b k
拉力
，
将
6,4 和
10,2.8 分别代入F
kx
b
拉力
，得
6
4
10
2.8
k
b
k
b
，解得
0.3
5.8
k
b
，
∴当6
10
x
时，弹簧测力计A 的示数F拉力关于x 的函数解析式为
0.3
5.8
F
x
拉力
；
（3）解：根据图象，圆柱体小铝块所受重力为4N ，当
7
x
时，
0.3
7
5.8
3.7 N
F
拉力
，
4
3.7
0.3 N
，
0.3 N
m
，
当6
10
x
时，设弹簧测力计B 的示数F拉力关于x 的函数解析式为
1
1
1
0
F
k x
b k
拉力
，
将
6,4 和
10,2.5 分别代入
1
1
F
k x
b
拉力
，得
1
1
1
1
6
4
10
2.5
k
b
k
b
，解得
1
1
0.375
6.25
k
b
，
当6
10
x
时，弹簧测力计B 的示数F拉力关于x 的函数解析式为
0.375
6.25
F
x
拉力
，
52 / 70
学科网（北京）股份有限公司
乙液体中的小铝块所受的浮力也为
0.3 N ，
此时弹簧测力计B 的示数F拉力为
4
0.3
3.7 N
，
当0.375
6.25
3.7
x
时，解得
6.8 cm
x
，
6
0.8 cm
n
x
．
53．（2026·福建漳州·模拟预测）某校数学建模兴趣小组在探究“圆柱体浸入液体过程中的力学变化”课题时，
设计了一个实验：将一个挂在弹簧测力计下的实心圆柱体金属块，缓慢匀速地浸入盛有足量水的容器中（在
金属块接触容器底之前）．实验过程中，记录了圆柱体下表面所处的深度h（单位：cm）与弹簧测力计相
应的示数F（单位：N）．
【数据记录】
实验次序
1
2
3
4
5
深度
h cm
0
2
4
6
8
示数
N
F
8.0
7.5
7.0
6.5
6.0
经观察分析，在金属块完全浸没于水中之前，弹簧测力计的示数F 与圆柱体下表面所处的深度h 之间满足
一次函数关系．请根据上述信息，解决下列问题：
(1)求出弹簧测力计示数F（N）与深度h（cm）之间的函数关系式；
(2)当弹簧测力计的示数5.0N 时，求圆柱体下表面浸入水中的深度．
【答案】(1)
0.25
8
F
h
(2)12cm
【分析】（1）设F 与h 之间的函数关系式为F
kh
b
，选取两组对应数值代入求出函数解析式；
（2）将
5
F
代入（1）的解析式求出h 即可．
【详解】（1）解：设F 与h 之间的函数关系式为F
kh
b
，
由表中数据可知，当
0
h
时，
8.0
F
；当
2
h
时，
7.5
F
，
将这两组数值代入，得
8
2
7.5
b
k
b
解得
0.25
8
k
b
53 / 70
学科网（北京）股份有限公司
∴F 与h 之间的函数关系式为
0.25
8
F
h
；
（2）当
5
F
时，
∴5
0.25
8
h
.
解得
12
h
，
∴此时圆柱体下表面浸入水中的深度为12cm．
54．（2026·福建厦门·二模）某合作社精品芒果成本为60 元/箱，每天的销售量y 箱与售价x 元/箱满足关系
式
20
2200
y
x
．
(1)若芒果的售价为80 元/箱，求合作社每天芒果的销售利润．
(2)若规定芒果的售价不低于86 元/箱，且每天的销售量不少于300 箱，求芒果的售价x 应定在什么范围．
【答案】(1)12000 元
(2)86
95
x
【分析】（1）求出当
80
x
时，
600
y
，再根据总利润销售量单件利润，计算即可得出结果；
（2）根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可得出结果．
【详解】（1）解：当
80
x
时，
20 80
2200
600
y
，
600
80
60
12000
（元），
∴若芒果的售价为80 元/箱，合作社每天芒果的销售利润为2000 元；
（2）解：∵每天的销售量不少于300 箱，
∴20
2200
300
x
，
解得
95
x
，
∵规定芒果的售价不低于86 元/箱，
∴芒果的售价x 应定在86
95
x
．
55．（2026·福建厦门·三模）【项目背景】
某学习小组在学习声现象时，知道了振动频率越高，音调就越高；振动频率越低，音调也越低．由此他们
联想到在敲击装有水的玻璃杯时，杯中水位不同，音调也会不同．于是他们计划探究水位高度与振动频率
之间的关系，并依此制作水杯琴．
【实验操作】
该学习小组设计了如下实验：先在圆柱形玻璃杯中加水，加到水位高度为5 cm 时，敲击玻璃杯口，同时利
用声学设备测量其振动频率；继续加水，并测量不同水位高度时的振动频率．为减小误差，同一水位高度
下，多次敲击、测量振动频率并计算它们的平均值，获得的数据如表一．
54 / 70
学科网（北京）股份有限公司
表一
水位高度h （cm）
5
10
15
20
25
频率f （Hz ）
500
420
340
259
180
【数据查询】
通过查阅资料得知，七个音阶对应的频率如表二．
表二
音阶
Do
Re
Mi
Fa
Sol
La
Si
频率f （Hz ）
261.6
293.6
329.6
349.2
392
440
493.8
根据以上信息，解答下列问题：
(1)求一个能近似描述频率f 与水位高度h 的关系的函数解析式；
(2)用实验中同种型号的玻璃杯制作水杯琴时，请估计发出音阶为Sol和La 的两个玻璃杯中水位高度差为多
少？
【答案】(1)
16
580(
0)
f
h
h
(2)3cm
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）分别求出Sol，La 音阶对应的水的高度，进而求出水位高度差．
【详解】（1）解：根据题意可得f 与h 为一次函数的关系，
设
(
0)
f
kh
b k
，
由题意得，
5
500
10
420
k
b
k
b
，
解得
16
580
k
b
，
16
580
0
f
h
h
；
（2）解：在
16
580
f
h
中，当
392
f
时，则392
16
580
h
，
解得
11.75
h
，
当
440
f
时，则440
16
580
h
，
55 / 70
学科网（北京）股份有限公司
解得
8.75
h
，
发出音阶为Sol和La 的两个玻璃杯中水位高度差为11.75
8.75
3(cm)
．
故发出音阶为Sol和La 的两个玻璃杯中水位高度差为3cm ．
56．（2026·河南周口·模拟预测）某学校为了全面落实劳动教育，决定开设校园劳动基地．现计划购买甲、
乙两种劳动工具．已知甲种工具的单价比乙种工具的单价少10 元，且用300 元购买甲种工具的数量与用500
元购买乙种工具的数量相等．
(1)求甲、乙两种工具的单价．
(2)若该校计划购买甲、乙两种工具共80 件，且甲种工具的数量不超过乙种工具数量的3 倍．求购买这批劳
动工具所需的最低费用．
【答案】(1)
甲种工具的单价是15元，乙种工具的单价是25 元
(2)
购买这批劳动工具所需的最低费用是1400元
【分析】（1）设甲种工具的单价为x 元，根据题意表示出乙种工具的单价，再根据两种工具购买数量相等
列分式方程，求解检验后即可得到结果；
（2）设购买甲种工具m 件，总费用为w 元，列出总费用关于m 的一次函数解析式，再根据甲种工具数量的
限制条件列不等式求出m 的取值范围，利用一次函数的增减性即可求出最低费用.
【详解】（1）解：设甲种工具的单价是x 元，则乙种工具的单价是(
10)
x
元，依题意得
300
500
10
x
x
，解得
15
x
；
经检验：
15
x
是原分式方程的解；
当
15
x
时，
10
15 10
25
x
；
答：甲种工具的单价是15 元，乙种工具的单价是25 元；
（2）解：设购买甲种工具m 件，则购买乙种工具(80
)
m
件，所需总费用为w 元，依题意得
15
25(80
)
10
2000
w
m
m
m
，
3(80
)
m
m
，
解得
60
m
，
∵10
0
，
∴w 随m 的增大而减小，
∴当
60
m
时，w 取得最小值，最小值为10 60
2000
1400
（元）；
答：购买这批劳动工具所需的最低费用是1400 元.
56 / 70
学科网（北京）股份有限公司
57．（2026·福建泉州·模拟预测）项目式学习
在数学综合实践活动中，某小组开展反比例函数与几何角度项目探究学习，阅读下列材料并完成探究问题．
用固定双曲线三等分锐角
阅读材料
古希腊有著名的三等
分角难题，仅用圆规和
直尺是不可能将任意
锐角三等分．数学家帕
普斯借助反比例函数
构图，给出了一种“三
等分锐角”的方法，作
图步骤如下：
①建立直角坐标系，将
已知锐角
AOB
的顶
点与原点O 重合，角
的一边OB 与x 轴正方
向重合；
②在直角坐标系中，绘
制函数
1
y
x
的图象，
图象与已知角的另一
边OA 交于点P；
③以P为圆心、以2OP
的长为半径作弧，交函
数
1
y
x
的图象于点R；
④分别过点P 和R 作x
轴和y 轴的平行线，分
别交于点M，点Q；
⑤连接OM ，得到
MOB
．则
57 / 70
学科网（北京）股份有限公司
1
3
MOB
AOB
．
问题解决
(1)任务1：设
1
,
P a a
，
1
,
R b b
，求直线OM 的函数解析式（用含a，b 的代数式表示），并说明Q 点在
直线OM 上．
(2)任务2：证明：
1
3
MOB
AOB
(3)任务3：结合上面项目探究的构图方法、图形特征以及归纳得到的规律进行解答．如图2，若直线y
x
与
反比例函数
9
0
y
x
x
交于点C；D 为反比例函数
9
0
y
x
x
第一象限上的点，且
30
COD
，根据材
料中提供的构图方法求出D 点坐标．
【答案】(1)
1
y
x
ab
证明：
直线OM 的函数表达式为
1
y
x
ab
，
Q
的坐标
1
,a b
满足
1
y
x
ab
，
点Q 在直线OM 上.
(2)证明：连接PR ，交OM 于点S ，如图1，由题意得四边形PQRM 是矩形，
PR
QM
，
1
2
SP
PR
，
1
2
SM
QM
，
SP
SM
，
1
2
，
3
1
2
2 2
．
58 / 70
学科网（北京）股份有限公司
PR 是
P 的半径，且
P 的半径是2PO
2
PR
PO
，
1
2
SP
PR
，
PS
PO
，
4
3
2 2
．
PM
x
∥轴，
2
5
，
4
5
3 5
AOB
，即
1
3
MOB
AOB
(3)
3 6
3 2 3 6
3 2
,
2
2
D
；
3 6
3 2 3 6
3 2
,
2
2
D
【分析】（1）根据矩形的性质和点的坐标，求出M 和Q 点坐标，将M 代入正比例函数y
kx
即可求出直
线OM 的解析式，将Q 点代入即可判断是否满足Q 在直线OM 的解析上．
（2）根据矩形的性质求出SP
SM
，利用等腰对等角和外角的性质即可求出
3
和
2
的关系，根据平行线
的性质判断
5
和
2
的关系，利用作图的思想判断出
3
和
4
的关系，通过等量转化即可证明
1
3
MOB
AOB
．
（3）根据题中的作图法以及前两位的所得到的规律，先求出点C 的坐标，根据矩形的性质设点R 的坐标参
数，几何勾股定理即可求出参数的值，从而求出R 坐标，即可知道M 点坐标，联立直线解析式和反比例函
数即可求出D 的坐标．
【详解】（1）解：设直线OM 的函数表达式为y
kx
，
由题意得
90
PQR
QRM
PQR
，
四边形PQRM 为矩形，
1
,
P a a
，
1
,
R b b
，
1
,
M b a
，
1
,
Q a b
，
把点
1
,
M b a
代入y
kx
得
1
k
ab
，
直线OM 的函数表达式为
1
y
x
ab
，
（2）证明：略
（3）解：当点D 在OC 下方时，以点C 为圆心，以2OC 为半径作弧交函数
9
y
x
的图象交于点R ，分别过
59 / 70
学科网（北京）股份有限公司
点C 和R 作x 轴、和y 轴的平行线交OD 分别于点M
Q
、
．
联立方程
9
y
x
y
x
，
解得
3
x
，
3
x
（舍去），
3,3
C
，
3 2
OC
，
6 2
CR
由作图可知，
90
CQR
QCM
CQR
，
四边形PQRM 为矩形，
设
3
3 ,
R
a a
，则
3
3
QR
CM
a
，
3
3
CQ
MR
a
，
在Rt
CQR
△
中，
2
2
2
2
2
2
3
(3
3)
3
6 2
CR
CQ
QR
a
a
2
2
1
2
2
6
a
a
a
a
，
2
2
1
1
2
6
a
a
a
a
2
1
1
(
)
2(
)
8
a
a
a
a
，
1
4
a
a
，
1
4
a
a
（负值舍去）
2
4
1
0
a
a
2
3
a
．
3
3
0
QR
CM
a
>
，
1
a
，
2
3
a
（舍去）
2
3
a
2
3
a
时，
6
3 3,6
3 3
R
，
小学
初中
60 / 70
学科网（北京）股份有限公司
6
3 3,3
M
，
M 在直线OD 上，设直线OD 的解析式为y
kx
，
3
2
3
6
3 3
y
k
x
联立直线OD 解析式和反比例函数得
2
3
9
y
x
y
x
，
3 6
3 2
2
3 6
3 2
2
x
y
，
3 6
3 2 3 6
3 2
,
2
2
D
．
同理，当点D 在OC 上方，以点C 为圆心，以2OC 为半径作弧交函数
9
y
x
的图象交于点R ，分别过点C 和
R 作x 轴、和y 轴的平行线交OD 分别于点M
Q
、
．
联立方程
9
y
x
y
x
，
解得
3
x
，
3
x
（舍去），
3,3
C
，
3 2
OC
，
6 2
CR
由作图可知，
90
CQR
QCM
CQR
，
四边形PQRM 为矩形，
设
3
3 ,
R
a a
，则
3
3
QR
CM
a
，
3
3
CQ
MR
a
，
61 / 70
学科网（北京）股份有限公司
在Rt
CQR
△
中，
2
2
2
2
2
2
3
3
(3 3 )
6 2
CR
CQ
QR
a
a
2
2
1
2
2
6
a
a
a
a
，
2
2
1
1
2
6
a
a
a
a
2
1
1
(
)
2(
)
8
a
a
a
a
，
1
4
a
a
，
1
2
a
a
（负值舍去）
2
4
1
0
a
a
2
3
a
．
3
3
0
CQ
MR
a
>
，
0
1
a
，
2
3
a
（舍去），
2
3
a
时，
6
3 3,6
3 3
R
，
3,6
3 3
M
，
M 在直线OD 上，设直线OD 的解析式为y
kx
，
6
3 3
2
3
3
y
k
x
，
联立直线OD 解析式和反比例函数得
2
3
9
y
x
y
x
，
3 6
3 2
2
3 6
3 2
2
x
y
，
3 6
3 2 3 6
3 2
,
2
2
D
．
【点睛】本题考查了反比例函数和一次函数的综合，矩形的性质和判定，平行线的性质，解题的关键在于
第三问要分情况讨论，解题的易错点在于开方容易出错．
58．（2026·福建厦门·三模）考古学家通过古人肱骨长度推测身高．某次考古发现商王朝南部“长”国的部落
男性的身高y（单位：cm）与肱骨长度x（单位：cm）一次函数关系．根据考古数据，部分肱骨长度对应身
高数据如表一：
62 / 70
学科网（北京）股份有限公司
表一
肱骨长度
/ cm
x
28
30
32.5
35
36
身高
/ cm
y
153.4
159
166
173
175.8
(1)求身高y 关于肱骨长度x 的函数解析式；（不要求写出自变量取值范围）
(2)结合该部落古人骨骼数据，得到该部落成年男性肱骨长度的范围约为29
34
x
之间，试求该部落成年
男性身高y 的取值范围．
【答案】(1)
2.8
75
y
x
(2)156.2
170.2
y
【分析】（1）设身高y 关于肱骨长度x 的函数解析式为y
kx
b
，然后根据待定系数法求解即可；
（2）由题意可得当
29
x
时，
2.8 29
75
156.2
y
；当
34
x
时，
2.8 34
75
170.2
y
，然后根据一
次函数的性质可进行求解．
【详解】（1）解：设身高y 关于肱骨长度x 的函数解析式为y
kx
b
，由表格可把点
28,153.4 , 30,159 代
入得：
28
153.4
30
159
k
b
k
b
，解得：
2.8
75
k
b
，
∴身高y 关于肱骨长度x 的函数解析式为
2.8
75
y
x
；
（2）解：由（1）可知：身高y 关于肱骨长度x 的函数解析式为
2.8
75
y
x
；
∴当
29
x
时，
2.8 29
75
156.2
y
；当
34
x
时，
2.8 34
75
170.2
y
；
∵2.8
0
，
∴身高y 随肱骨长度x 的增大而增大，
∴当29
34
x
时，则156.2
170.2
y
．
59．（2026·福建漳州·模拟预测）下面两图片分别标注A、B 两种食品的营养成分表．已知这两种食品每包
质量均为50g ，根据相关信息完成下列问题：
63 / 70
学科网（北京）股份有限公司
(1)要从这两种食品中摄入4100KJ 热量和65g 蛋白质，应选用A、B 两种食品各多少包？
(2)结合《中国居民膳食指南（2022）》及国家《学生餐营养指南》标准，初中生午餐的蛋白质摄入量不低
于70g ，若午餐选用这两种食品共6 包，且热量最低，应如何选用这两种食品？
【答案】(1)A 食品2 包，B 食品3 包
(2)应选用A 食品4 包，B 食品2 包
【分析】（1）设选用A 食品x 包，B 食品y 包，根据“要从这两种食品中摄入4100KJ 热量和65g 蛋白质”
列方程组求解即可；
（2）设选用A 食品m 包则选用B 食品
6
m
包，根据蛋白质摄入量不低于70g 求出m 的取值范围，再设
每份午餐的总热量为w KJ ，列出函数解析式，根据函数的性质求解．
【详解】（1）解：设选用A 食品x 包，B 食品y 包，根据题意，得：
700
900
4100
10
15
65
x
y
x
y
，
，
解得：
2
3
x
y
，
答：选用A 食品2 包，B 食品3 包．
（2）解：设选用A 食品m 包则选用B 食品
6
m
包，根据题意，得：
10
15 6
70
m
m
，
解得：
4
m
，
设每份午餐的总热量为w KJ ，则：
700
900 6
w
m
m
，
即
200
5400
w
m
，
∵200
0
，
∴w 随m 的增大而减小，
64 / 70
学科网（北京）股份有限公司
∴当
4
m
时，w 取得最小值，此时6
6
4
2
m
，
∴应选用A 食品4 包，B 食品2 包．
60．（2026·福建泉州·二模）某研究小组为探究一种固态合金球的体积随温度变化的规律，测得不同温度下
合金球的体积数据如表（已知该合金的熔点为1000 C
）：
温度/ C
t
40
20
10
0
10
20
40
60
体积
3
/ cm
V
998.3
999.2
999.6
1000
1000.3
1000.7
1001.6
1002.3
(1)小明认为V 与t 之间近似地符合一次函数关系，他选取其中两组数据
10,1000.3 和
60,1002.3 ，请帮他
求出函数的表达式，并算出温度为200 C
时合金球的体积；
(2)小华选取其它数据算出温度为200 C
时，合金球的体积为
3
1006cm ．研究小组认为这批数据可能分布在某
条直线附近，于是他们利用某AI （人工智能）平台对全部数据进行分析，得到一次函数的最佳表达式为
0.0397
999.95
V
t
．小明和小华计算200 C
时合金球的体积结果，哪位同学的结果更接近最佳表达式？请
说明理由．
【答案】(1)
0.04
999.9
V
t
；当温度为200 C
时合金球的体积为
3
1007.9
V
cm
(2)小明的结果更接近最佳表达式，理由
将
200
t
代入
0.0397
999.95
V
t
，
得
0.0397 200
999.95
1007.89
V
，
∴1007.9 1007.89
0.01,1007.89 1006
1.89
，
∵0.01 1.89
，
∴小明的结果更接近最佳表达式．
【分析】（1）设体积V 与温度t 的函数表达式为
(
0)
V
kt
b k
，求出体积V 与温度t 的函数表达式为
0.04
999.9
V
t
，再将计算当温度为200 C
时合金球的体积为
3
0.04
200
999.9
1007.9
V
cm
，即可解
答．
（2）将
200
t
代入
0.0397
999.95
V
t
，求出
0.0397 200
999.95
1007.89
V
，再求出
1007.9 1007.89
0.01,1007.89 1006
1.89
，并比较大小，即可解答．
【详解】（1）解：设体积V 与温度t 的函数表达式为
(
0)
V
kt
b k
，将
10,1000.3 和
60,1002.3 分别代
入，得
65 / 70
学科网（北京）股份有限公司
得
10
1000.3,
60
1002.3,
k
b
k
b
解得
0.04,
999.9.
k
b
∴体积V 与温度t 的函数表达式为
0.04
999.9
V
t
．
当温度为200 C
时合金球的体积为
3
0.04
200
999.9
1007.9
V
cm
．
（2）略
61．（2026·福建福州·三模）如图，在菱形ABCD中，
120
ABC
，
9,0
A
，
1,0
B
．反比例函数
0
k
y
k
x
的图像经过点C ．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)菱形的对角线AC 与BD 相交于点E ，将菱形ABCD沿x 轴的正方向平移，当点D 恰好在反比例函数的图
像上时，试判断此时点E 是否也在反比例函数的图像上？请说明理由．
【答案】(1)
12 3
y
x
(2)解：平移后点E 不在反比例函数的图像上，理由如下：
∵
3,4 3
C
，
8
DC
，DC
AB
∥
，菱形ABCD沿x 轴的正方向平移，点D 恰好在反比例函数的图像上，
∴菱形ABCD沿x 轴的正方向平移，此时点D 和点C 重合，
即菱形ABCD沿x 轴的正方向平移8 个单位，点D 恰好在反比例函数的图像上，
∵菱形ABCD中，
∴点E 是AC 的中点，
∵
9,0
A
，
3,4 3
C
，
∴
9
3 4 3
,
2
2
E
，即
3,2 3
E
，
66 / 70
学科网（北京）股份有限公司
∴平移后点E的坐标为
3
8,2 3
E
，即
5,2 3
E
，
当
5
x
时，反比例函数值为
12 3
5
y
，而
10 3
12 3
2 3
5
5
．
∴平移后点E 不在反比例函数的图像上．
【分析】（1）如图：过点C 作CQ
x
轴于点Q，根据两点间的距离公式得到
1
9
8
AB
，根据菱形
的性质得到
8
BC
AB
，
180
120
60
CBQ
，根据勾股定理得到
2
2
4 3
CQ
BC
BQ
，求得
3
OQ
BQ
BO
，得到
3,4 3
C
，把点C 代入
k
y
x
即可解答；
（2）先说明菱形ABCD沿x 轴的正方向平移8 个单位，点D 恰好在反比例函数的图像上，然后求出平移后
点E的坐标为
3
8,2 3
E
，再判断其是否在反比例函数图像即可解答．
【详解】（1）解：如图：过点C 作CQ
x
轴于点Q，
∵
9,0
A
，
1,0
B
，
∴
1
9
8
AB
，
1
OB
∵菱形ABCD中，
120
ABC
，
∴
8
BC
AB
DC
，DC
AB
∥
，
180
120
60
CBQ
，
30
BCQ
，
1
4
2
BQ
BC
，
2
2
4 3
CQ
BC
BQ
，
4 1
3
OQ
BQ
BO
，
∴
3,4 3
C
，
∵点C 在反比例函数
k
y
x
的图像上．
3 4 3
12 3
k
，
∴反比例函数的表达式为
12 3
y
x
；
67 / 70
学科网（北京）股份有限公司
（2）略
62．（2026·福建福州·模拟预测）小明用代数推理的方法发现了反比例函数
a
y
x
（
0
a
）一个有趣的结论：
如图，直线y
kx
b
（
0
k ）与双曲线
a
y
x
（
0
a
）交于A ，B 两点，与x ，y 轴分别交于点C ，D ，
可证明AC
BD
成立．他的思路是将直线和曲线联立，进而求得
A
B
x
x
与
C
D
x
x
的值，由
C
D
A
B
x
x
x
x
，
证得线段AB 的中点与线段CD 的中点重合，即可得到AC
BD
．请按小明的思路完成证明．
【答案】见详解
【分析】首先求出直线与坐标轴的两个交点，进而求得
C
D
x
x
的值，然后将直线和曲线联立，求得
A
B
x
x
的
值，进而证明线段AB 的中点与线段CD 的中点重合即可．
【详解】解：对于直线y
kx
b
，
令
0
x
，则y
b
，则点D 的坐标为
0,b ，
令
0
y
，则
b
x
k
，则点C 的坐标为
,0
b
k
，
C
D
b
k
x
x
．
线段CD 的中点的横坐标为1
2
2
b
b
k
k
．
将y
kx
b
，
a
y
x
联立，得
y
kx
b
a
y
x
整理，得
2
0
kx
bx
a
，
由根与系数的关系可知
A
B
b
k
x
x
，
线段AB 的中点的横坐标为1
2
2
b
b
k
k
．
线段AB 的中点与线段CD 的中点都在直线AB 上，且它们的横坐标相等，
线段AB 的中点与线段CD 的中点重合．
68 / 70
学科网（北京）股份有限公司
如图，设中点为E，
AE
BE
CE
DE
，
，
AE
CE
BE
DE
，即AC
BD
．
63．（2026·福建福州·模拟预测）如图，平行于y 轴的矩形直尺与双曲线
k
y
x
（
0
x
）交于点A 和C ，与
x 轴交于点B 和D ，点A 和B 对应的刻度分别为5cm 和2cm ，直尺的宽度为3cm ，
3cm
OB
．（注：平面
直角坐标系内一个单位长度为1cm ）
(1)求k 的值．
(2)过点C 作CE
AB
于点E ，连接ED ，AC ．求证：四边形AEDC 是平行四边形．
【答案】(1)
9
k
(2)证明：由题意得，
3
BD
cm
，
3cm
OB
，CD
x
轴
3
3
6
C
x
，代入
9
y
x
得：
3
2
C
y
，
3
2
CD
，
CE
AB
，AB
y 轴，
3
2
E
C
y
y
，
3
2
A
E
AE
y
y
CD
，
直尺为矩形尺子，
AE
CD
∥
，
69 / 70
学科网（北京）股份有限公司
四边形AEDC 是平行四边形．
【分析】（1）根据题意先求出AB 长，利用AB
y 轴求出点A 的坐标，利用待定系数法求出k 的值；
（2）根据直尺的宽度求出点C 的横坐标，利用点C 在双曲线上求出点C 的坐标，结合垂线和平行线的性
质求出AE
CD
，由于直尺为矩形尺子，则AE
CD
∥
，从而得出结论．
【详解】（1）解：
点A 和B 对应的刻度分别为5cm 和2cm ，
5 2
3cm
AB
，
又
3cm
OB
，AB
y 轴，
3,3
A
，
把
3,3
A
代入
k
y
x
得：3
3
k
解得：
9
k
；
（2）略．
64．（2026·福建泉州·模拟预测）在研究一次函数的性质时，我们通过观察它的图象发现：当
0
k 时，y 随
x 的增大而增大；当
0
k
时，y 随x 的增大而减小．它们分别对应于函数的图象从左向右上升，或者从左
向右下降．我们可以证明这一性质的正确性．
我们知道，要比较
a
b
、两个数的大小，可以先求出它们的差a
b
．若
0
a
b
，则a
b
；若
0
a
b
，则a
b
；
若
0
a
b
，则a
b
．反之也正确．根据这一事实，可以证明上述结论．
设一次函数
0
y
kx
b k
，当自变量x 分别取
1
2
、
x
x ，且
1
2
x
x
时，对应的函数值分别为
1
1
2
2
,
y
kx
b y
kx
b
．它们的差为
2
1
2
1
2
1
2
1
y
y
kx
b
kx
b
kx
kx
k x
x
．由假设
1
2
x
x
可知，
2
1
0
x
x
，这样，我们就得到如下结论：
（1）当
0
k 时，
2
1
0
k x
x
，即
2
1
0
y
y
，亦即
2
1
y
y
．也就是说，y 随x 的增大而增大．
（2）当
0
k
时，
2
1
0
k x
x
，即
2
1
0
y
y
，亦即
2
1
y
y
．也就是说，y 随x 的增大而减小．
这就是一次函数的增减性．
(1)请用上述材料中的方法，证明反比例函数
0
k
y
k
x
的增减性；
(2)已知反比例函数
4
y
x
，点
1
1
,
A x y
、
2
2
,
B x
y
都在该函数的图象上，且
1
2
0
x
x
，试比较
1y 与
2y 的大
小，并说明理由．
【答案】(1)证明：设反比例函数
0
k
y
k
x
，分同一象限（即
1
2
,
x x 同号）的情况讨论：
70 / 70
学科网（北京）股份有限公司
取自变量
1
2
,
x x ，且
1
2
x
x
，对应的函数值为
1
1
k
y
x
，
2
2
k
y
x
．
1
2
2
1
2
1
2
1
1
2
1
1
x
x
k
k
y
y
k
k
x
x
x
x
x x
，
由
1
2
x
x
，得
1
2
0
x
x
；
又∵
1
2
,
x x 同号（同一象限），
∴
1
2
0
x x
，
∴
1
2
1
2
0
x
x
x x
．
当
0
k 时，
1
2
1
2
0
x
x
k
x x
，
即
2
1
0
y
y
，
2
1
y
y
．
结论：在每个象限内，y 随x 的增大而减小．
当
0
k
时，
1
2
1
2
0
x
x
k
x x
，
即
2
1
0
y
y
，
2
1
y
y
．
结论：在每个象限内，y 随x 的增大而增大．
(2)解：
1
2
y
y
，理由：
已知反比例函数
4
y
x
，其中
4
0
k
．
由（1）的结论：当
0
k 时，在每个象限内，y 随x 的增大而减小．
又
1
2
0
x
x
，
∴A ，B 两点在第一象限（同一象限），
∴
1
2
y
y
．
【分析】（1）设反比例函数
0
k
y
k
x
，取自变量
1x ，2x ，1x ，2x 同号，且
1
2
x
x
，对应的函数值为
1
1
k
y
x
，
2
2
k
y
x
，按照
0
k
和
0
k
进行分类讨论，比较
1y ，
2y 的大小，即可求解；
（2）反比例函数
4
y
x
，
4
0
k
，根据（1）所得结论即可求解．
【详解】（1）略
（2）略
