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专题 13 函数的基本性质
考情概览
考点1 列函数解析式
考点2 函数基本性质
考点 1 列函数解析式
1．（2021·北京·中考真题）如图，用绳子围成周长为 的矩形，记矩形的一边长为 ，
它的邻边长为 ，矩形的面积为 ．当 在一定范围内变化时， 和 都随 的变化而
变化，则 与 与 满足的函数关系分别是（ ）
A．一次函数关系，二次函数关系 B．反比例函数关系，二次函数关系
C．一次函数关系，反比例函数关系 D．反比例函数关系，一次函数关系
【答案】A
【分析】由题意及矩形的面积及周长公式可直接列出函数关系式，然后由函数关系式可直
接进行排除选项．
【详解】解：由题意得：
，整理得： ，
，
∴y与x成一次函数的关系，S与x成二次函数的关系；
故选A．
【点睛】本题主要考查一次函数与二次函数的应用，熟练掌握一次函数与二次函数的应用
是解题的关键．考点 2 函数基本性质
2．（2025·北京·中考真题）工厂对新员工进行某种工艺品制作的培训．在完成理论学习后，
新员工接下来先使用智能辅助训练系统进行一次为期T日（T可取0，1，2或3）的模拟练
习，然后开始试制．记一名新员工在试制阶段的第x日单日制成的合格品的个数为y，根据
以往的培训经验，对于给定的T，可以认为y是x的函数．当 和 时，部分数据如
下：
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 2 2
时y 0 7 8 10 16 23 26
2 0 5
的值
3 5 5
时y 0 26 43 m 48 51 53
7 0 2
的值
时，从试制阶段的第2日起，一名新员工每一日比前一日多制成的合格品的个数逐渐
减少或保持不变．
对于给定的T，在平面直角坐标系 中描出该T值下各数对 所对应的点，并根据变
化趋势用平滑曲线连接，得到曲线 ．当 和 时，曲线 ， 如图所示．
(1)观察曲线 ，当整数x的值为_______时，y的值首次超过35；
(2)写出表中m的值，并在给出的平面直角坐标系中画出 时的曲线 ；
(3)新员工小云和小腾刚刚完成理论学习，接下来进行模拟练习和试制．
①若新员工单日制成不少于45个合格品即可获得“优秀学员”证书，根据上述函数关系，小云最早在完成理论学习后的第_______日可获得“优秀学员”证书；
②若工厂希望小腾在完成理论学习后的4日内制成的合格品的总数最多，根据上述函数关
系，在这4日中应安排小腾先进行_______日的模拟练习．
【答案】(1)6
(2) ；画图见解析
(3)①7；②1
【分析】（1）找 图象上y的值首次超过35时的x值；
（2）根据第2日起，一名新员工每一日比前一日多制成的合格品的个数逐渐减少或保持不
变，第5日比第3日多试制5个合格产品，可知第4日比第3日多3个合格产品，即得；运
用表格数据在平面直角坐标系描点画出函数图象；
（3）①根据单日制成不少于45个合格品的只有 与 ， ： 时 ，得
； ： ，当 时 ，得 ，比较即得小云最早在完成理论学习
后的第7日可获得“优秀学员”证书；②分模拟练习 日， 日， 日， 日，
求出对应的4日内的试制日数，试制的合格产品数，比较即得应安排小腾先进行的模拟练
习日数．
【详解】（1）解：由曲线 看出，当整数x的值为6时，y的值首次超过35
故答案为：6
（2）解：∵ 日的模拟练习时，从试制阶段的第2日起，一名新员工每一日比前一日
多制成的合格品的个数逐渐减少或保持不变，在试制阶段的第3日单日制成的合格品43个，
第5日单日制成的合格品48个
∴相差 （个），
把5分成两个接近的数， ，
∴第4日增加3个，第5日增加2个，
∴ ，
画出 时的曲线 ：（3）解：①单日制成不少于45个合格品的只有 与 ，
： 日的模拟练习，然后试制阶段第 日制成的合格品达到 个，
∴ ；
： 日的模拟练习，然后试制阶段第 日制成的合格品达到 个，
∴ ，
∵ ，
故小云最早在完成理论学习后的第7日可获得“优秀学员”证书；
故答案为：7；
②当模拟练习 日时，
4日内的试制时间 日，
4日的合格产品分别是7，8，10，12，
∴合格产品共有 ；
当模拟练习 日时，
4日内的试制时间 日，
3日的合格产品分别是12，19，26，
∴合格产品共有 ；
当模拟练习 日时，
4日内的试制时间 日，
2日的合格产品分别是20，30，
∴合格产品共有 ；
当模拟练习 日时，
4日内的试制时间 日，
1日的合格产品是26；
∵ ，∴希望小腾在完成理论学习后的4日内制成的合格品的总数最多，根据上述函数关系，在
这4日中应安排小腾先进行1日的模拟练习．
故答案为：1．
【点睛】本题考查了表格法与图象法表示函数．熟练掌握函数表示的表格法与图象法，根
据表格信息画函数图象，函数的图象和性质，函数的增减性质，求函数值或自变量的值，
是解题的关键．
3．（2024·北京·中考真题）小云有一个圆柱形水杯（记为1号杯），在科技活动中，小云
用所学数学知识和人工智能软件设计了一个新水杯，并将其制作出来，新水杯（记为2号
杯）示意图如下，
当1号杯和2号杯中都有 mL水时，小云分别记录了1号杯的水面高度 （单位：cm）和
2号杯的水面高度 （单位：cm），部分数据如下：
/ 30
0 40 100 200 400 500
mL 0
/
0 2.5 5.0 7.5 10.0 12.5
cm
/
0 2.8 4.8 7.2 8.9 10.5 11.8
cm
(1)补全表格（结果保留小数点后一位）；(2)通过分析数据，发现可以用函数刻画 与 ， 与 之间的关系.在给出的平面直角坐
标系中，画出这两个函数的图象；
(3)根据以上数据与函数图象，解决下列问题：
①当1号杯和2号杯中都有320mL水时，2号杯的水面高度与1号杯的水面高度的差约为
___________cm（结果保留小数点后一位）；
②在①的条件下，将2号杯中的一都分水倒入1号杯中，当两个水杯的水面高度相同时，
其水面高度约为___________cm（结果保留小数点后一位）．
【答案】(1)1.0
(2)见详解
(3)1.2，8.5
【分析】本题考查了函数的图像与性质，描点法画函数图像，求一次函数解析式，已知函
数值求自变量，正确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键．
（1）设V与 的函数关系式为： ，由表格数据得： ，则可求
，代入 即可求解；
（2）画 与 之间的关系图象时，描点，连线即可，画 与 的关系图像时，由于
是正比例函数，故只需描出两点即可；（3）①当 时， ，由图象可知高度差 ；②在
左右两侧找到等距的体积所对应的高度相同，大致为 ．
【详解】（1）解：由题意得，设V与 的函数关系式为： ，
由表格数据得： ，
解得： ，
∴ ，
∴当 时， ，
∴ ；
（2）解：如图所示，即为所画图像，
（3）解：①当 时， ，由图象可知高度差 ，故答案为：1.2；
②由图象可知当两个水杯的水面高度相同时，估算高度约为 ，
故答案为： ．
4．（2023·北京·中考真题）某小组研究了清洗某种含污物品的节约用水策略．部分内容如
下．
每次清洗1个单位质量的该种含污物品，清洗前的清洁度均为0.800要求清洗后的清洁度为
0.990
方案一：采用一次清洗的方式．
结果：当用水量为19个单位质量时，清洗后测得的清洁度为0.990．
方案二：采用两次清洗的方式．
记第一次用水量为 个单位质量，第二次用水量为 个单位质量，总用水量为 个
单位质量，两次清洗后测得的清洁度为C．记录的部分实验数据如下：
11.0 9.0 9.0 7.0 5.5 4.5 3.5 3.0 3.0 2.0 1.0
0.8 1.0 1.3 1.9 2.6 3.2 4.3 4.0 5.0 7.1 11.5
11.8 10.0 10.3 8.9 8.1 7.7 7.8 7.0 8.0 9.1 12.5
0.99 0.98 0.99 0.99 0.99 0.99 0.99 0.98 0.99 0.99 0.99
C
0 9 0 0 0 0 0 8 0 0 0
对以上实验数据进行分析，补充完成以下内容．（Ⅰ）选出C是0.990的所有数据组，并划“√”；
（Ⅱ）通过分析（Ⅰ）中选出的数据，发现可以用函数刻画第一次用水量 和总用水量
之间的关系，在平面直角坐标系 中画出此函数的图象；
结果：结合实验数据，利用所画的函数图象可以推断，当第一次用水量约为______个单位
质量（精确到个位）时，总用水量最小．
根据以上实验数据和结果，解决下列问题：
（1）当采用两次清洗的方式并使总用水量最小时，与采用一次清洗的方式相比、可节水约
______个单位质量（结果保留小数点后一位）；
（2）当采用两次清洗的方式时，若第一次用水量为6个单位质量，总用水量为7.5个单位
质量，则清洗后的清洁度C______0.990（填“>”“=”或“<”）．
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析，4；（1）11.3；（2）<
【分析】（Ⅰ）直接在表格中标记即可；
（Ⅱ）根据表格中数据描点连线即可做出函数图象，再结合函数图象找到最低点，可得第
一次用水量约为4个单位质量时，总用水量最小；
（1）根据表格可得，用两次清洗的方式并使总用水量最小时，用水量为7.7个单位质量，
计算即可；
（2）根据表格可得当第一次用水量为6个单位质量，总用水量超过8个单位质量，则清洗
后的清洁度能达到0.990，若总用水量为7.5个单位质量，则清洁度达不到0.990．
【详解】（Ⅰ）表格如下：11.0 9.0 9.0 7.0 5.5 4.5 3.5 3.0 3.0 2.0 1.0
0.8 1.0 1.3 1.9 2.6 3.2 4.3 4.0 5.0 7.1 11.5
11.8 10.0 10.3 8.9 8.1 7.7 7.8 7.0 8.0 9.1 12.5
0.99 0.98 0.99 0.99 0.99 0.99 0.99 0.98 0.99 0.99 0.99
C 0 9 0 0 0 0 0 8 0 0 0
√ √ √ √ √ √ √ √ √
（Ⅱ）函数图象如下：
由图象可得，当第一次用水量约为4个单位质量（精确到个位）时，总用水量最小；
（1）当采用两次清洗的方式并使总用水量最小时，用水量为7.7个单位质量，
19-7.7=11.3，
即可节水约11.3个单位质量；
（2）由图可得，当第一次用水量为6个单位质量，总用水量超过8个单位质量，则清洗后
的清洁度能达到0.990，
第一次用水量为6个单位质量，总用水量为7.5个单位质量，则清洗后的清洁度 ，
故答案为：<．
【点睛】本题考查了函数图象，根据数据描绘函数图象、从函数图象获取信息是解题的关
键．
5．（2022·北京·中考真题）单板滑雪大跳台是北京冬奥会比赛项目之一，举办场地为首钢
滑雪大跳台，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面
直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度 （单位：m）与水平距离（单位：m）近似满足函数关系 ．
某运动员进行了两次训练．
(1)第一次训练时，该运动员的水平距离 与竖直高度 的几组数据如下：
水平距离x/m 0 2 5 8 11 14
竖直高度y/m 20.00 21.40 22.75 23.20 22.75 21.40
根据上述数据，直接写出该运动员竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系
；
(2)第二次训练时，该运动员的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系
记该运动员第一次训练的着陆点的水平距离为d，第二次训练的
1
着陆点的水平距离为 ，则 ______ （填“>”“=”或“<”）．
【答案】(1)23.20 m；
(2)
【分析】（1）先根据表格中的数据找到顶点坐标，即可得出h、k的值，运动员竖直高度
的最大值；将表格中除顶点坐标之外的一组数据代入函数关系式即可求出a的值，得出函
数解析式；
（2）着陆点的纵坐标为 ，分别代入第一次和第二次的函数关系式，求出着陆点的横坐标，
用t表示出 和 ，然后进行比较即可．
【详解】（1）解：根据表格中的数据可知，抛物线的顶点坐标为： ，∴ ， ，
即该运动员竖直高度的最大值为23.20 m，
根据表格中的数据可知，当 时， ，代入 得：
，解得： ，
∴函数关系关系式为： ．
（2）设着陆点的纵坐标为 ，则第一次训练时， ，
解得： 或 ，
∴根据图象可知，第一次训练时着陆点的水平距离 ，
第二次训练时， ，
解得： 或 ，
∴根据图象可知，第二次训练时着陆点的水平距离 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，待定系数法求函数关系式，设着陆点的纵坐标
为 ，用t表示出 和 是解题的关键．
1．（2025·北京通州·一模）在某项目式学习中，甲、乙两小组分别研究在不同条件下某物
质的质量随时间的变化情况．设实验时间为 分钟，甲、乙两小组研究的该物质的质量分别为 克、 克，其中 ， 与 的几组对应值如下表：
1 2 2
0 5 15
0 0 4
2 23. 2 14.
7 0
5 5 0 5
2 1
20 10 5 1
5 5
(1)通过分析数据，发现可以用函数刻画 与 与 之间的关系，且 与 之间满足某种
特殊的变化规律：
①在给出的平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象；
②直接写出 与 之间的函数表达式是_____；
(2)根据以上数据与函数图象，解决下列问题：
①当实验时间为7.5分钟时，甲、乙两小组所研究的该物质的质量的差约为_____克（结果
保留小数点后一位）；
②随着实验的进行，当 时，实验时间约为_____分钟（结果保留小数点后一位）．
【答案】(1)①见解析；②
(2)①4.5；②22.5
【分析】本题考查一次函数的应用．
（1）①描点并连线即可；②利用待定系数法解答即可；
（2）①根据图象，计算当 时对应两函数值之差即可；②根据图象，当 时对
应x的值即为所求．
【详解】（1）解：①描点并连线如图所示：②∵ 与x之间的函数图象是一条直线，
∴ 与x之间是一次函数的关系，
设 与x之间的函数表达式是 （k、b为常数，且 ），
将坐标 和 分别代入 ，
得 ，
解得 ，
∴ 与x之间的函数表达式是 ；
（2）解：①当实验时间为7.5分钟时，结合（1）函数图象，甲、乙两小组所研究的该物
质的质量的差约为 克，
故答案为：5.0；
②随着实验的进行，当 时，结合（1）函数图象，实验时间约为22.5分钟．
故答案为：22.5．
2．（2025·北京东城·一模）对于纯电动汽车而言，在行驶过程中，实际剩余里程和仪表盘
显示的剩余里程之间往往会存在一些差异．某团队对一款纯电动汽车的实际剩余里程和仪
表盘显示的剩余里程进行了一次测试，从充满电的状态出发，直到电量耗尽，实际总行驶
里程为280 ，在这个过程中，记录了已行驶里程x（单位： ）与仪表盘显示的剩余里
程 （单位： ）之间的对应关系，部分数据如下表所示：
0 40 80 12 16 20 240 0 0 0
30 26 22 17 13 10
26
1 5 2 6 8 9
在这次测试中，记实际剩余里程为 （单位： ）．（注：实际剩余里程＝实际总行驶
里程－已行驶里程）
根据以上信息，回答下列问题：
(1)写出实际剩余里程 与已行驶里程x之间的关系式： ________．
(2)通过分析数据，发现可以用函数刻画 与x， 与x之间的关系． 与x的函数图象如
下所示．在同一平面直角坐标系 中，画出 的图象．
(3)结合图象解决下列问题：
①当已行驶里程为200 时，实际剩余里程是________ ，仪表盘显示的剩余里程约为
________ ；
②当已行驶里程约为________ 时，仪表盘显示的剩余里程与实际剩余里程相等；
③当仪表盘显示的剩余里程为120 时，实际剩余里程约为________ ．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)①80，109；②232；③100
【分析】本题考查一次函数的应用，掌握根据函数关系式画出其图象的方法是解题的关键．
（1）根据实际剩余里程 实际总行驶里程 已行驶里程解答即可；
（2）根据两点确定一条直线画出图象即可；
（3）①②③根据图象作答即可．【详解】（1）解：剩余里程 与已行驶里程 之间的关系式为 ．
故答案为： ；
（2）当 时， ，
当 时， ，
的图象如图所示：
（3）①当已行驶里程为 时，实际剩余里程是 ，仪表盘显示的剩余里程约为
．
故答案为：80，109．
②当已行驶里程约为 时，仪表盘显示的剩余里程与实际剩余里程相等．
故答案为：232．
③当仪表盘显示的剩余里程为 时，实际剩余里程约为 ．
故答案为：100．
3．（2025·北京丰台·一模）某小组研究了不同温度对葡萄酒发酵速率的影响．当发酵时间
为 （单位： ）时，小组成员分别记录了 下的发酵速率
下的发酵速率 ，部分数据如下：
1 5 9 10 11 14 17 19 23 26 29 32 36
(1)当 时， 下的发酵速率每小时增加 的值为___________；(2)通过分析数据，发现可以用函数刻画 与 与 之间的关系．在给出的平面直角坐
标系中，画出了函数 的图象，描出了 与 各对对应值为坐标的点，补全函数 的图象；
(3)根据以上数据与函数图象，解决下列问题：
①当发酵时间为___________h时， 下的发酵速率等于 下的发酵速率；
②若发酵速率不低于 ，葡萄酒的发酵效果较好， 下的发酵速率不低于
的持续时间为 （单位：h）， 下的发酵速率不低于 的持续时间
为 （单位：h），则 的值为___________， 的值约为___________（结果保留小数
点后一位）．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)①25；②
【分析】本题主要考查了从函数图象中获得信息，画函数图象，求一次函数解析式，解题
的关键是熟练掌握待定系数法．
（1）根据表格中的数据求出a的值即可；
（2）根据描出的点，连线即可；
（3）①根据图象得出 时， 下的发酵速率等于 下的发酵速率；
②根据表格中的数据求出 的值，根据函数图象求出函数解析式，然后分别求出 时，的值，然后求出 的值，最后求出结果即可．
【详解】（1）解：当 时， 下的发酵速率每小时增加：
．
（2）解：如图所示：
（3）解：①根据图象得出 时， 下的发酵速率等于 下的发酵速率；
② 下的发酵速率不低于 的持续时间为 ，
根据函数图象可知：当 时或 时， 下的发酵速率是时间的一次函数，
∴设当 时， 下的发酵速率的函数解析式为： ，把 ，
代入得：
，
解得： ，
∴ ，
把 代入得： ，
解得： ，
设当 时， 下的发酵速率的函数解析式为： ，把 ，代入得：
，
解得： ，
∴ ，
把 代入得： ，
解得： ，
下的发酵速率不低于 的持续时间为：
，
∴ ．
4．（2025·北京海淀·一模）科学兴趣小组利用不同材料制作了 ， 两种太阳能电池板，
记录了在一定条件下，当光照强度为 （单位： ）时， 电池板的输出电压 （单位：
）和 电池板的输出电压 （单位： ）．部分数据如下：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0. 1. 1. 3. 3. 4. 4. 5. 6.
0 m
6 2 8 0 6 2 8 4 0
2. 3. 4. 5. 5. 5. 5. 5. 5. 6.
0
4 8 6 0 3 5 7 8 6 0
通过分析数据发现，可以用函数刻画 与 ， 与 之间的关系，回答下列问题：
(1)① 可以看作是关于 的正比例函数，则 的值为______；
②当光照强度越大时，太阳能电池板的输出电压越高．请选出 中不符合这条规律的数据，
在表格中划“×”；(2)结合（1）的研究结果，在给出的平面直角坐标系中画出 ， 两个函数的图象；
(3)根据以上数据与函数图象，解决下列问题：
①当光照强度为 时， 电池板的输出电压与 电池板的输出电压之差约为______V
（结果保留小数点后一位）；
②如果想使两块电池板的输出电压之和不低于 ，则光照强度应至少达到______
（结果保留整数）．
【答案】(1)① ；②见解析
(2)见解析
(3)① ；②31
【分析】本题考查了函数图象和正比例函数的应用，熟练掌握函数图象是解题关键．
（1）①设 ，利用待定系数法求出 ，再将 代入计算即可得；
②根据当光照强度越大时，太阳能电池板的输出电压越高即可得；
（2）根据表格数据，描点画出函数图象即可得；
（3）①根据表格和函数图象求出当 时， ， 的值，由此即可得；
②根据表格和函数图象求出当 时， ， 的值，再根据 都是随 的增大而增大
即可得．
【详解】（1）解：①由题意，设 ，
将点 代入得： ，解得 ，
则 ，
当 时， ，故答案为： ．
②当光照强度越大时，太阳能电池板的输出电压越高．选出 中不符合这条规律的数据，
在表格中划“ ”如下：
10
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
0
0. 1. 1. 3. 3. 4. 4. 5. 6.
0
6 2 8 0 6 2 8 4 0
2. 3. 4. 5. 5. 5. 5. 5. 5. 6.
0
4 8 6 0 3 5 7 8 6 0
（2）解：在给出的平面直角坐标系中画出 ， 两个函数的图象如下：
．
（3）解：①当 时， ，
由表格和函数图象可知，当 时， ，
则 ，
即当光照强度为 时， 电池板的输出电压与 电池板的输出电压之差约为 ，
故答案为： ．
②由表格数据可知，当 时， ，
当 时， ， ，
∴当 时， ，∵ 都是随 的增大而增大，
∴如果想使两块电池板的输出电压之和不低于 ，则光照强度应至少达到 ，
故答案为：31．
5．（2025·北京大兴·一模）【思维激活】
在一次综合实践活动中，数学兴趣小组提出一个问题：如果一个矩形的面积为定值，周长
是否存在最大值或最小值？
【思维引导】
由矩形面积为定值的条件联想到学过的反比例函数相关内容，为此先在平面直角坐标系中
画出反比例函数 的图象（如图1）．
如图1，在该反比例函数图象上任取一点A，作出矩形 ．为探究它的周长的最大值
或最小值情况，点A取不同位置时，分别测量 和 的长，得到部分数据如下：
1.0 1.5 2.0 3.0 3.5 4.0 5.0 6.0
AB … …
0 0 0 0 0 0 0 0
7.0 5.5 5.0 5.0 5.2 5.5 6.2 7.0
… …
0 0 0 0 1 0 0 0
【思维呈现】
（1）矩形 的面积为__________；
（2）根据上面表格中的数据，以 的长为横坐标， 的和为纵坐标，在图2的平
面直角坐标系中描出表中各组数值所对应的点 ，并用平滑的曲线连接；
（3）根据以上信息，判断 存在最__________值（填“大”或“小”），此时矩形
的周长 约为__________（结果保留小数点后一位）；
【思维拓展】（4）若一个面积为6的圆的周长记为 ，则 __________ （填“ ”，“ ”，“
”）
【答案】（1）6（2）见详解（3）小， ．（4）
【分析】本题主要考查了反比例函数k值的几何意义，画函数图像，从函数图像上获取信
息是解题的关键．
（1）根据反比例函数k值的几何意义求解即可．
（2）描点连线即可．
（3）根据函数图像可知 存在最小值， 的最小值约为 ．根据矩形
的周长 求解即可．
（4）求出圆的周长比较大小即可．
【详解】解：（1）∵在该反比例函数 图象上任取一点A，作出矩形 ，
∴矩形 的面积为∶ ．
故答案为：6．
（2）以 的长为横坐标， 的和为纵坐标的函数图如下：
（3）图2中描出的点所形成的图象趋势可以发现随着 长度的变化， 的值先减
小后增大，所以 存在最小值．从表格数据中可以看出 的最小值约为 ．
因为矩形 的周长 ，
当 约为 时，矩形 的周长C约为 ，
故答案为：小， ．
（4）面积为6的圆的半径为r，则 ，则
则 ，
∵ ，
∴ ，
故答案为：
6．（2025·北京顺义·一模）某人工智能模型用于图像识别．共有50000幅图像，其中
45000幅图像用于模型学习，剩下的5000幅图像用于模型学习后的评估测试．
下面给出了学习时的正确率和学习后评估测试的正确率，部分数据如下：
学习次数 1 3 5 7 9 10 11 13
学习时的正确率 0.530 0.670 0.750 0.800 0.850 0.870 0.890 0.905
学习后评估测试
0.605 0.710 0.755 0.780 0.795 0.800 0.800 0.800
的正确率
(1)根据表格数据，在平面直角坐标系中，以学习次数为横坐标，以学习后评估测试的正确
率为纵坐标，已经绘制了相应的点，并用虚线表达变化趋势．请你以学习次数为横坐标，
以学习时的正确率为纵坐标，绘制相应的点，并用虚线表达变化趋势；
(2)根据以上数据与函数图象，解决下列问题：
①经过第12次学习，学习后评估测试的正确率和学习时的正确率差约为_______（结果保
留小数点后三位）；
②至少经过_______次学习，学习后评估测试的正确率低于学习时的正确率；
③当学习后评估测试的正确率达到稳定时，用该模型识别100幅图像，估计_______幅能被正确识别．
【答案】(1)见解析
(2)①0.100；②6；③80
【分析】本题考查了由函数图象获取信息，描点法画函数图象，正确理解题意，读懂函数
图象是解题的关键．
（1）利用描点法即可作图；
（2）①由图象找出大致所对应的点，再作差即可；
②由图象即可求解；
③由图象可得当学习后评估测试的正确率达到稳定时，正确率约为0.800，再由100乘以
0.800即可求解．
【详解】（1）解：如图所示：
（2）解：①由图象可得：差值约为 ，
故答案为：0.100；
②由图象可得，至少经过6次学习，学习后评估测试的正确率低于学习时的正确率，
故答案为：6；
③由图象可得， ，
∴当学习后评估测试的正确率达到稳定时，用该模型识别100幅图像，估计80幅能被正确
识别，
故答案为：80．
7．（2025·北京平谷·一模）脂肪氧化率（单位： ）指单位时间内人体通过代谢途径
氧化分解脂肪产生能量的速率，我们通常用它来描述运动产生的效果．脂肪氧化率与运动
强度（单位 ）密切相关，下表记录了不同的运动强度所对应的脂肪氧化率的数据：
运动强度（ ） 45 50 55 60 65 70 75 80 85
脂肪氧化率 0.01 0.36 0.52 0.59 0.60 0.50 0.39 0.22
(1)通过观察表格数据可以看出，若设运动强度为 ，脂肪氧化率为 是 的函数．在如
图建立的平面直角坐标系，已经描出表中部分对应点，补全图形并画出函数图象：
(2)结合函数图象，解决问题：
① 的值约为___________（精确到小数点后两位）；
②当脂肪的氧化率维持在0.4及以上时，运动强度 的范围约为___________（精确到整数
位）；
③研究发现，初中生的课间跑操的运动强度与速度之间满足如下函数关系：
则若要使脂肪的氧化率达到最佳的效果，即脂肪氧化率达到
以提高初中生的耐力、强身健体，则跑步的速度应控制在___________千米/小时左右（精
确到整数位）．
【答案】(1)见详解(2)① ② ③8
【分析】本题考查了函数图象，新定义，近似数，描点法画函数图象，正确掌握相关性质
内容是解题的关键．
（1）先逐个描点，再依次连接，即可作答．
（2）①根据（1）的图象，以及结合“精确到小数点后两位”这个要求，即可作答．
②根据（1）的图象，以及结合“精确到整数位”这个要求，即可作答．
③先找出要使脂肪的氧化率达到最佳的效果，即脂肪的氧化率为 ，此时对应的运动强
度为 ，则运动强度为 所对的运动速度为 千米/小时左右，即可作答．
【详解】（1）解：如图所示：
（2）解：结合函数图象，
① 的值约为 ，
故答案为： ；
②当脂肪的氧化率维持在0.4及以上时，运动强度 的范围约为 （精确到整数
位）；
故答案为： ；
③研究发现，初中生的课间跑操的运动强度与速度之间满足如下函数关系：则若要使脂肪的氧化率达到最佳的效果，即脂肪的氧化率为 ，此时对应的运动强度为
，
则观察上表，运动强度为 所对的运动速度为 千米/小时左右，
即跑步的速度应控制在 千米/小时左右．
故答案为：8
8．（2025·北京石景山·一模）沙漏在中国古代被称为“沙钟”，是一种利用沙子流动计时
的古老工具，某学校开展了简易沙漏的原理探秘与制作活动．在以下探究实验中，沙漏容
器取材于相同规格的瓶子，所用沙子材质与规格完全一样，沙漏的孔洞均为圆形，孔径即
为孔洞的直径．
探究一：甲组同学选择某确定孔径的沙漏，探究漏下沙子的质量m（单位： ）与时间t
（单位： ）之间的关系，部分数据如下：
30 60 90 120 150
探究二：乙组同学选取除孔径外无其他差别的沙漏，探究漏完 沙子所用的时间t（单
位： ）与孔径d（单位： ）之间的关系，部分数据如下：
根据以上探究的实验数据，解决下列问题：(1)在探究一中， 时漏下沙子的质量约为______ （结果保留小数点后一位）；
(2)推断：探究一中所用沙漏的孔径为______ ；
(3)通过探究二，发现可以用函数刻画时间t与孔径d之间的关系．
①在给出的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象；
②根据函数图象，若制作一个漏完 沙子所用时间为 的沙漏，其孔径约为______
（结果保留小数点后一位）．
【答案】(1)
(2)
(3)①见解析；②
【分析】本题主要考查了求平均数，统计表，从函数图象获取信息，画函数图象，正确理
解题意是解题的关键．
（1）求出每秒平均漏出的沙子质量，再用60秒漏出的沙子质量加上15秒一共漏出的沙子
质量即可得到答案；
（2）根据探究一和探究二中表格的数据即可得到答案；
（3）①先描点，再连线画出函数图象即可；②根据函数图象找到当 时， 的值即可
得到答案．
【详解】（1）解： ，
∴在探究一中， 时漏下沙子的质量约为 ；（2）解：∵探究一中，漏完 沙子所用的时间为 ，
∴由探究二可知，探究一中所用沙漏的孔径为 ；
（3）解：①如图所示，即为所求；
②由函数图象可知制作一个漏完 沙子所用时间为 的沙漏，其孔径约为 ．
9．（2025·北京朝阳·一模）摩天轮是一种常见的游乐设施，在综合实践活动中，数学小组
的同学们借助仪器准确测量并记录了某个摩天轮的旋转时间t（单位： ）和一个座舱A
距离地面的高度h（单位： ），部分数据如下：
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
30.0 15.3 10.0 15.3 30.0 50.0 70.0 84.6 90.0 84.6 70.0
0 6 0 6 0 0 0 4 0 4 0
请解决以下问题：(1)通过分析数据，发现可以用函数刻画h与t之间的关系，在给出的平面直角坐标系中，
画出这个函数的图象；
(2)根据以上数据与函数图象，解决下列问题：
①此摩天轮座舱距离地面的高度最高为___________ ，转盘的半径约为___________ ；
②此摩天轮转一圈所用时间为___________ ；
③若当座舱A距离地面的高度为 时，座舱B距离地面的高度是 ，则至少经过
___________ （精确到0.1），这两个座舱的高度相同．
【答案】(1)见解析
(2)①90，40；②12；③1.5或4.5
【分析】本题考查了函数图象，根据函数图象获取信息．
（1）根据表格数据，在坐标系中描点，再依次连接即可；
（2）①根据函数图象发现当 时有最高点，当 时有最低点，最高和最底差距即为
直径，据此求解即可；
②根据以上数据与函数图象可知，上升和下降的过程具有对称性，从最低点到最高点用时
和从最高点到最低点用时一致，即可求此摩天轮转一圈所用时间；
③这两个座舱的高度相同时应该刚好在最高点或最低点两边，据此求解即可．
【详解】（1）解：这个函数的图象如图所示：（2）解：①根据以上数据与函数图象可知，此摩天轮座舱距离地面的高度最高为 ，
最低高度为 ，
∴转盘的直径约为 ，
∴转盘的半径约为 ，
故答案为：90，40；
②根据以上数据与函数图象可知，上升和下降的过程具有对称性，从最低点到最高点用时
为 ，
∴从最高点到最低点用时也为 ，
∴此摩天轮转一圈所用时间为 ，
故答案为：12；
③根据函数图象可得，当 时，距离地面的高度为 ，当 时，距离地面的高度是
，则两个座舱距离 分钟的路程，
∵这两个座舱的高度相同，从最低点到最高点用时为 ，
∴若逆时针旋转摩天轮，最近的是在最高点两边，则至少经过 ，这两个座
舱的高度相同．
若顺时针旋转摩天轮，最近的是在最低点两边，则至少经过 ，这两个座舱的
高度相同．故答案为：1.5或4.5．
10．（2025·北京西城·一模）在一次综合实践活动中，小菲设计了两款帐篷．图1是由线
段 绕竖直的直线 旋转一周得到的1号帐篷（点A在直线 上，点B在水平地面上）；
图2是由曲线段 绕竖直的直线旋转一周得到的2号帐篷（点C在直线 上，点D在水平
地面上）．
已知两个帐篷的底圆半径都是2.0m，点M是线段 上的一动点，点N是曲线段 上的
一动点．当M与B的水平距离和N与D的水平距离都是x（单位：m）时，小菲分别记录
了M和N的竖直高度 （单位：m）和 （单位：m），部分数据如下：
0 0.4 0.8 1.2 1.6 1.8 2.0
0.6 1.2 1.8 2.4 3.0
0
0 0 0 0 0
1.6 2.2 2.4 2.5 2.5 2.5
0
0 0 2 1 2 3
(1)补全表格（结果保留小数点后两位）；
(2)通过分析数据，发现可以用函数刻画 与x， 与x之间的关系．在给出的平面直角坐
标系中，画出这两个函数的图象；(3)将某人在帐篷内直立行走不会碰到头部时的底圆区域称为自由活动区，根据以上数据与
函数图象，解决下列问题：
①某学生的身高是1.80m，则他在两个帐篷内自由活动区的半径差约为______m（结果保留
小数点后一位）；
②甲、乙、丙三名学生的身高（单位：m）分别为 ， ， ，若 ，且
，则在2号帐篷中，甲与乙自由活动区的半径差______乙与丙自由活动区的
半径差（填“ ”“ ”“ ”）．
【答案】(1)补全表格见解析
(2)图见解析
(3)①0.7；② ．
【详解】（1）解：观察表格可知： 为定值，
∴当 时， ；
补全表格如下：
0 0.4 0.8 1.2 1.6 1.8 2.0
0.6 1.2 1.8 2.4 2.7 3.0
0
0 0 0 0 0 0
1.6 2.2 2.4 2.5 2.5 2.5
0
0 0 2 1 2 3
故答案为：2.70
（2）根据表格数据描点，连线，画图如下：（3）①由图象可知：当 时， ，
当 时， ，
∴他在两个帐篷内自由活动区的半径差约为 ；
故答案为： ；
②由图象可知， 随着 的增加而增加，且增加的速度越来越慢，
∴当增加的高度相同时，自变量的差值变的越来越大，
∵ ，且 ，
∴甲与乙自由活动区的半径差要小于乙与丙自由活动区的半径差；
故答案为： ．
11．（2025·北京房山·一模）如图， 为半圆，O为圆心．点C是半圆上一动点，过点C
作 于点D．已知 ，设弦 的长为x， 的面积为y（当点C与点A或
点B重合时，y的值为0）．小明根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化
的规律进行了探究．
下面是小明的探究过程，请补充完整：
(1)通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如表：3.4
x 0 1 1.5 2 2.5 3 3.5 3.8 3.9 4
5
0.1 0.3 0.8 1.5 2.2 2.6 2.5 2.1 1.6
y 0 m
2 9 7 2 3 0 9 3 2
m的值为________；
(2)建立平面直角坐标系，描出表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；
(3)结合画出的函数图象，解决问题：当 的面积为2时， 的长度约为________
（精确到0.01）
【答案】(1)0
(2)图见解析
(3) 或
【分析】本题考查用函数图象表示变量之间的关系，正确的画出函数图象是解题的关键：
（1）当 时，点 与点 重合，即可得出 的值；
（2）描点，连线画出函数图象即可；
（3）根据函数图象进行估算即可．
【详解】（1）解：当 时，点 与点 重合，
∴ ；
故答案为：0；
（2）描点，连线，画出函数图象，如图：
（3）由图可知：当 的面积为2时，则 或
的长度约为 或 ．
故答案为： 或 ．
12．（2025·北京·一模）某科研团队正在研究一种新型材料，他们首先在实验室内记录了该种材料的导电性 （单位：西门子/米， ）与温度x（单位： ）之间的数据．但考
虑到不同环境会影响材料的导电性，他们又在室外进行了一次实验，记录了室外的导电性
（单位：西门子/米， ）与温度x（单位： ）之间的数据，部分数据如下：
x 0 10 20 30 40 50
y 0.6 a 2.2 3.0 3.8 4.6
1
y 0.8 1.7 2.3 2.8 3.1 3.3
2
(1)补全表格中 ．（结果保留小数点后一位）；
(2)通过分析数据，发现可以用函数刻画 与x， 与x之间的关系．在给出的平面直角坐
标系中，画出这两个函数的图象；
(3)根据以上数据与函数图象，解决下列问题：
① 该种材料在温度为 时（结果保留整数），室内外的导电性相同，此时的导电性为
（结果保留小数点后一位）；
② 当温度达到 时（结果保留整数），室内外的导电性相差 ．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)①23，2.4；②10或28
【分析】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，数形结合是解答本题的关键．
（1）根据温度每增加 ，导电性能增加 求解即可；
（2）用描点法画出图象即可；
（3）①先求出 与x， 与x之间的函数解析式，由 可求解；
②分两种情况进行计算即可．
【详解】（1）解：由题意得：温度每增加 ，导电性能增加 ，∴ ，
故答案为： ；
（2）如图，
（3）由函数图象得： 与x成一次函数关系， 与x成二次函数关系，
设 ，
由题意，得 ，
解得 ，
∴ ．
设 ，
由题意，得 ，
解得 ，
∴ ，
①由题意，得 ，
整理，得 ，解得 （舍去）
把 代入 ，得 ．
∴该种材料在温度为 时，室内外的导电性相同，此时的导电性为 ，
故答案为：23，2.4；
②当室内导电性比室外导电性高 时，
由题意，得 ，
整理，得 ，
解得 （舍去），
当室外导电性比室内导电性高 时，由表格知，此时温度为 ，
故答案为：10或28．
13．（2025·北京大兴·二模）如图，在 中， ，点 到 的距离
为 ，以 为直径在 上方作半圆，点 是 上的动点，过点 作 的垂线 ，
设 ，直线 截半圆和等腰三角形得到阴影图形的面积分别记为 （单位： ），
（单位： ），部分数据如下：
(1)当 时， 与 与 对应关系的部分数据如下表：
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
0.4 1.2 2.1 4.1 5.0 5.8 6.2
0 a
5 3 5 3 5 3 80.2 2.2 4.0 5.7 7.0 7.7 8.0
0 b
5 5 0 5 0 5 0
根据以上信息，回答下列问题：
① ___________， ___________（结果保留小数点后两位）；
②通过分析数据，发现可以用函数刻画 与 与 之间的关系，在给出的平面直角坐
标系中，画出 关于 的函数图象；
③根据以上数据和函数图象，若 ，则 ___________ 时， （结果保留小数
点后一位）；
(2)当 时，对于 ___________ （填“>”“=”或“<”）．
【答案】(1) 3.14，1.00； 见详解； 1.4
(2) ① ② ③
【分析】本题主要考查了画函数图像，扇形面积公式以及二次函数的其他应用，等知识得
出 和 的面积公式是解题的关键．
（1）①利用扇形面积公式以及相似三角形的性质分别表示出 和 ，然后分别代入x，即
可求出a，b的值．
②描点，连线，画出函数图像即可．③根据函数图像即可得出答案．
（2）当 时， 保持不变， 变为原来的一半，根据图像比较即可得出答案．
【详解】（1）解：①∵ ，O为 的中点，
∴ ， ，
当 时，点O和点P重合，则 ，
当 时，
∵ ， ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
即 ，
则 ；
描点，连线，画出函数图像如下：③根据函数图像可知，若 ，则 时， ；
（2）解：当 时，可知 保持不变， 为 时 面积的一半，
根据（1）②图像可知
故当 时，对于 ，
故答案为： ．
14．（2025·北京西城·二模）小明妈妈早晨骑电动车将小明送到幼儿园后再去单位上班．
已知小明家到幼儿园的路程为 ，幼儿园到小明妈妈单位的路程为 ，小明妈妈骑电
动车带小明行驶是载重行驶，下表记录了电池中剩余电量占电池容量的百分比（简称剩余
电量占比） 与小明妈妈独自行驶和载重行驶状态下可行驶的路程 （单位： ）和
（单位： ）的部分数据：
0% 10% 20% 40% 60% 80% 100%
0 3 7 15 23 31 39
0 2 4 9 15 22 30
(1)通过分析数据，发现可以用函数刻画 与 ， 与 之间的关系．在给出的平面直角坐
标系中，补全这两个函数的图象；(2)根据上述数据和函数图象，解决下列问题：
①当该电动车剩余电量占比为50%时，小明妈妈独自行驶比载重行驶多行驶______km（结
果精确到0.1）；
②假设一天早晨该电动车剩余电量占比为30%，在电量耗尽前，判断小明妈妈骑电动车
______（填“能”“不能”）将小明送到幼儿园；
③若在电量耗尽前小明妈妈能到达单位，则当天早晨出门时该电动车剩余电量占比至少为
______（精确到1%）．
【答案】(1)见解析
(2)①7.1（答案不唯一）；②不能；③
【分析】本题主要考查函数图象的绘制、函数值的读取与计算以及利用函数模型解决实际
问题．解题关键在于准确分析表格数据，合理绘制函数图象，通过函数关系解决路程与电
量相关的实际问题．
（1）根据给定的表格数据，在平面直角坐标系中，分别找出 与 、 与 对应的坐标
点，然后用平滑曲线连接这些点，即可补全函数图象．例如对于 与 ，有 ，
等点；对于 与 ，有 ， 等点．
（2）①先根据函数图象或数据找到 时， 和 的值，然后计算两者差值．
②找到 时 的值，与小明家到幼儿园的路程 比较大小．
③小明家到幼儿园路程为 ，幼儿园到单位路程为 ，分别估算对应的 值，相加即
可得解．【详解】（1）解：如图，
（2）解：①从表格数据或图象估算，当 时， ， ，
∴ ．
②从表格数据或图象估算，当 时， 的值约为 ，
∵ ，
∴不能将小明送到幼儿园．
③观察 的数据，当 时， ，
观察 的数据，当 时 ，
∴当天早晨出门时该电动车剩余电量占比至少为 ．
15．（2025·北京海淀·二模）某科技社团正在研发一款智能巡检机器人，用于校园内自动
巡检与数据采集．该机器人机械手臂的手腕部分为合金材质．第一实验小组承担了研制这
种合金材料的任务，他们利用金属 和 制作出了合金 ，利用金属 和 制作出了合金
．在制作过程中，质量损失忽略不计，两种合金的硬度均与其所含金属 的质量百分比
有关．当合金中所含金属 的质量百分比为 时，同学们分别记录了在一定实验条件下合
金 的硬度 （单位： ）和合金 的硬度 （单位： ），部分数据如下表：
4
10 20 30 50 60 70 80 90
0
合金M的硬度
55 60 65 75 80 85 90 95合金 的硬度 7
62 68 72 75 73 71 66 59
4
根据数据可以发现， 与 之间近似满足一次函数的关系，也可以用函数刻画 与 之间
的关系．
(1)补全表格；
(2)在给出的平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象；
(3)第一实验小组准备了 金属 ，全部用于制作 合金 和 合金 ，根据以上
数据与函数图象，解决下列问题：
①两种合金中金属 的质量均为 ，则合金 与合金 的硬度差约为___________
（结果保留整数）；
②经研究发现，在此实验条件下，温度每升高 ，合金 的硬度会下降 ．若将制
作好的合金 的温度提高 ，可使得两种合金的硬度相同，则合金 中的金属 的质量
约为___________ （结果保留整数）．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)①6；②30
【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键．
（1）利用待定系数法求出 与 的函数关系式，再求出 时， 的值即可；
（2）先描点，再连线，画出函数图象即可；（3）①根据函数图象求解即可；②温度不发生变化时，合金N的硬度比合金M的硬度高
，由表格中的数据可知，当 时，合金N的硬度为 ，当
时，合金M的硬度为 ，据此可得答案．
【详解】（1）解：设 ，
把 代入到 中得： ，
∴ ，
∴ ，
在 中，当 时， ，
补全表格如下：
2 5 8
10 30 40 60 70 90
0 0 0
合金M的硬度 6 7 9
55 65 70 80 85 95
0 5 0
合金 的硬度 6 7 6
62 72 74 73 71 59
/HRC 8 5 6
（2）解：如图所示，即为所求；（3）解：①由函数图象可知，两种合金中金属 的质量均为 ，则合金 与合金 的
硬度差约为 ；
②∵温度每升高 ，合金 的硬度会下降 ．若将制作好的合金 的温度提高 ，
可使得两种合金的硬度相同，
∴温度不发生变化时，合金N的硬度比合金M的硬度高 ，
由表格中的数据可知，当 时，合金N的硬度为 ，当 时，合金M的硬度
为 ，
∴合金N中的金属C的质量约为 时，刚好满足题意．
16．（2025·北京昌平·二模）某次物理实验中，探究弹簧所挂物体质量m（单位： ）与
弹簧伸长长度 （单位： ）之间的关系．现取A，B两种型号的弹簧各一个进行实验，
当弹簧所挂物体质量为 时，记录A型弹簧和B型弹簧的伸长长度 和 ，数据如下：
所挂物
体质量
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
（
）
A型弹
簧伸长 1 1
0 5 20 25
长度 0 5B型弹
簧伸长
0 1 2 3 4 5 6
长度
通过分析数据发现，可以用函数刻画 与 与 之间的关系，回答下列问题：
(1)在给出的平面直角坐标系中，已有 的函数图象，请补全 的函数图象；
(2) 与 的关系式为____________
(3)重新取 弹簧各一个，再次进行实验．在A型弹簧上挂一些物体时伸长长度为 ，
结合函数图象回答：
①这些重物的质量为____________ ；
②若将一部分物体从A型弹簧卸下，挂到B型弹簧上（B型弹簧上原始无重物），恰使得
两个弹簧伸长长度一致，则需要挪动的物体质量约为____________ ．
【答案】(1)见详解
(2)
(3)①4，②
【分析】该题考查了正比例函数的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是数形结合．（1）根据表格数据补全 的函数图象即可；
（2）根据图象可得 与 是正比例函数，设 与 的关系式为 ，根据待定系数法
求解即可；
（3）①将 代入求解即可；
②根据图象可得当 ， 与 是正比例函数，求出 ；设需要挪动的物体质量约为
，则 ，求解即可．
【详解】（1）解：补全 的函数图象如图：
（2）解：根据图象可得 与 是正比例函数，
设 与 的关系式为 ，
代入 可得 ，解得： ，
∴ ；
（3）解：①将 时， ，
即这些重物的质量为 ；②根据图象可得当 ， 与 是正比例函数，
设 与 的关系式为 ，
代入 可得 ，解得： ，
∴ ；
设需要挪动的物体质量约为 ，
则 ，
解得： ．
17．（2025·北京朝阳·二模）科创小组分别用 两台装置提取实验物质，当 两台
装置各自工作 时，记录员分别记录了 装置提取的实验物质的体积 （单位： ）
和 装置提取的实验物质的体积 （单位： ），部分数据如下：
(1)补全表格（结果保留小数点后一位）；
(2)通过分析数据，发现可以用函数刻画 与 ， 与 之间的关系．在给出的平面直角坐
标系中，画出这两个函数的图象；(3)根据以上信息，解决问题：
若 装置比 装置早启动了 ，则 装置启动___________ 时，两台装置提取
的实验物质体积相同，约为___________ （结果保留小数点后一位）；
在 的条件下，在同一时刻， 装置最多可以比 装置多提取___________ 实验物
质（结果保留小数点后一位）．
【答案】(1)
(2)见解析；
(3) 或 ， 或 ；
【分析】本题考查了函数的图象与性质，描点法画函数图象，求一次函数解析式，已知函
数值求自变量，正确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键．
（ ）根据当 时， ，当 时， ， 与 是正比例函数，求出解析式
即可；
（ ）根据画函数图象方法步骤即可；
（ ） 根据题意将 图象向上平移 个单位，然后观察图象即可；
观察图象即可．
【详解】（1）解：∵当 时， ，当 时， ，
∴ 与 是正比例函数，设 ，
∴ ，解得： ，
∴ ，
当 时， ，
故答案为： ；
（2）解：如图，
（3）解： ∵ 装置比 装置早启动了 ，如图，
根据图象可知， 装置启动 或 时，两台装置提取的实验物质体积相同，约为或 ，
故答案为： 或 ， 或 ；
在 的条件下，根据图象可知，在同一时刻， 装置最多可以比 装置多提取
实验物质，
故答案为： ．
