专题02整式、因式分解与分式（5年汇编）（浙江专用）（解析版）_2026秋初中教辅合集_2027学科网&_2027新好题汇编_2027新好题汇编2022-2026年中考数学真题分类汇编（浙江专用）

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专题02 整式、因式分解与分式
5 年真题1 年模拟
考点分类
浙江考情（2022-2026）
命题规律
考点01 幂的运算与
整式运算
2026·浙江·中考
2024·浙江·中考
2023·浙江宁波·中考
2023·浙江温州·中考
2023·浙江嘉兴·中考
2023·浙江湖州·中考
2023·浙江衢州·中考
2023·浙江台州·中考
2023·浙江嘉兴·中考
2022·浙江宁波·中考
2022·浙江温州·中考
2022·浙江嘉兴·中考
2022·浙江绍兴·中考
2022·浙江台州·中考
2022·浙江金华·中考
2022·浙江丽水·中考
2022-2026 年浙江中考在本考点共收录16 道真题，是专
题02 中考查最稳定、题量最大的基础考点。题型几乎
全部为选择题，主要考查同底数幂的乘除法、幂的乘方、
积的乘方、合并同类项、去括号及单项式与整式的基本
运算。2022-2023 年各地市命题数量较多，常将四种不
同运算法则组合在同一道选择题中，要求学生逐项辨
析；2024 年和2026 年省级命题仍延续基础运算模式。
命题难度整体较低，但错误选项通常针对指数相加、相
乘、合并同类项和符号处理等常见误区设置。复习时应
重视不同运算法则的适用条件，避免将合并同类项与幂
的乘法混淆。
考点02 乘法公式、
整式化简求值与规
律探究
2025·浙江·中考
2025·浙江·中考
2023·浙江嘉兴·中考
2023·浙江湖州·中考
2023·浙江金华·中考
2023·浙江宁波·中考
2022·浙江宁波·中考
2022·浙江嘉兴·中考
2022·浙江金华·中考
2022·浙江丽水·中考
2022·浙江丽水·中考
2022-2025 年浙江中考在本考点共收录11 道真题，2026
年未单独收录此类题。命题内容包括平方差公式、完全
平方公式、整式化简求值、图形面积的代数表示以及代
数规律探究。早期题目以直接展开、化简和代入求值为
主，同时常把整式运算置于矩形拼图、赵爽弦图、两位
数平方规律等情境中。2025 年省级命题出现“数学文化
材料＋规律迁移”的考法，说明命题正在从单纯计算向
阅读理解、规律发现和方法迁移延伸。复习时既要掌握
乘法公式的正向展开和逆向识别，也要训练用代数式表
示图形数量关系以及验证规律的能力。
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考点03 因式分解及
其应用
2026·浙江·中考
2024·浙江·中考
2023·浙江杭州·中考
2023·浙江宁波·中考
2023·浙江温州·中考
2023·浙江台州·中考
2023·浙江金华·中考
2023·浙江嘉兴·中考
2022·浙江宁波·中考
2022·浙江温州·中考
2022·浙江台州·中考
2022·浙江丽水·中考
2022·浙江舟山·中考
2022-2026 年浙江中考在本考点共收录15 道真题，考查
频率较高。2022-2024 年的题目以直接因式分解为主，
主要方法是提公因式法、平方差公式和完全平方公式，
题型通常为填空题或选择题，运算步骤短、基础性强。
2026 年省级命题出现由等式变形、因式分解和反例构造
相结合的开放题，考查学生识别推理遗漏情形的能力，
体现出由“会分解”向“会利用因式分解分析等式和分
类讨论”的变化。复习时除了熟练掌握三种基本方法，
还要关注因式分解在等式变形、求值、反例构造和分类
讨论中的应用。
考点04 分式的概念
与基本性质
2023·浙江宁波·中考
2023·浙江湖州·中考
2022-2026 年浙江中考在本考点共收录2 道真题，均出
现在2023 年地市卷中，题量较少。命题主要考查分式
有意义的条件和分式值为零的条件，题型为基础填空题
或选择题。考查重点是区分“分母不为零”与“分子为
零且分母不为零”两个条件，计算量很小，重在概念准
确。省级统考年份未直接单独考查这一考点，但它是分
式化简和分式方程检验的基础，仍需掌握。复习时应突
出定义条件及易错边界，不必安排大量机械重复题。
考点05 分式的运
算、化简求值与规律
探究
2023·浙江温州·中考
2023·浙江衢州·中考
2022·浙江杭州·中考
2022·浙江温州·中考
2022·浙江衢州·中考
2022·浙江舟山·中考
2022-2023 年浙江中考在本考点共收录6 道真题，
2024-2026 年未直接收录。题目主要考查分式的约分、
通分、加减运算、分式恒等变形以及利用分式运算验证
规律，常与因式分解、乘法公式和实际公式变形结合。
基础题要求按照运算顺序规范化简，综合题则通过照相
机成像公式、分数等式规律等情境考查代数变形能力。
该考点与专题03 的分式方程进行区分：仅进行分式计
算和恒等变形的题归本考点，需要求未知数并检验的题
归专题03。复习时应重点训练最简公分母的确定、分母
因式分解和结果化为最简分式。
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考点01 幂的运算与整式运算
1．（2026·浙江·中考真题）计算͵ܽʹ ڄ ͷܽ
的结果是（
）
A．ͺܽʹ
B．ͺܽ͵
C．ͳͷܽʹ
D．ͳͷܽ͵
【答案】D
【分析】根据单项式乘以单项式的法则计算即可．
【详解】解：͵ܽʹ൉ሺͷܽܽ
ൌሺ͵ ൈͷܽ൉ሺܽʹ൉ܽܽ
ൌͳͷܽ͵．
2．（2024·浙江·中考真题）下列式子运算正确的是（
）
A．ݔ͵ ൅ݔʹ ൌݔͷ
B．ݔ͵ ڄ ݔʹ ൌݔ͸
C．ݔ͵ ʹ ൌݔͻ
D．ݔ͸ ൊݔʹ ൌݔͶ
【答案】D
【分析】本题考查了合并同类项，幂的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
分别利用合并同类型法则，同底数幂的乘法，幂的乘方，同底数幂的除法分别判断即可．
【详解】解：A、ݔ͵与ݔʹ不是同类项，不能合并，故本选项不符合题意；
B、ݔ͵ ڄ ݔʹ ൌݔͷ，故本选项不符合题意；
C、ݔ͵ ʹ ൌݔ͸，故本选项不符合题意；
D、ݔ͸ ൊݔʹ ൌݔͶ，故本选项符合题意．
故选：D．
3．（2023·浙江宁波·中考真题）下列计算正确的是(
)
A．ݔʹ ൅ݔൌݔ͵
B．ݔ͸ ൊݔ͵ ൌݔʹ
C．ݔ͵ Ͷ ൌݔ͹
D．ݔ͵ ڄ ݔͶ ൌݔ͹
【答案】D
【分析】根据同底数幂的乘法、除法，幂的乘方，合并同类项进行运算，然后判断即可．
【详解】解：A、ݔʹ ൅ݔ്
ݔ͵，错误，故不符合要求；
B、ݔ͸ ൊݔ͵ ൌݔ͵്
ݔʹ，错误，故不符合要求；
C、ݔ͵ Ͷ ൌݔͳʹ്
ݔ͹，错误，故不符合要求；
D、ݔ͵ ڄ ݔͶ ൌݔ͹，正确，故符合要求；
故选：D．
4．（2023·浙江温州·中考真题）化简ܽͶ ڄ ሺെܽܽ
͵的结果是（
）
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A．ܽͳʹ
B．െܽ
ͳʹ
C．ܽ͹
D．െܽ
͹
【答案】D
【分析】根据积的乘方以及同底数幂的乘法进行计算即可求解．
【详解】解：ܽ
Ͷ ڄ ሺെܽܽ
͵ ൌܽ
Ͷ ൈെܽ
͵ ൌെܽ
͹，
故选：D．
5．（2023·浙江嘉兴·中考真题）下列计算正确的是（
）
A．ܽ͵ ൅ܽ
͵ ൌܽ
͸
B．ܽ͸ െܽ
͸ ൌܽ
͸
C．ܽ
͵ ͵ ൌܽ
͸
D．ܽͳʹ ൊܽ
ʹ ൌܽ
ͳͲ
【答案】D
【分析】根据整式的加减法计算法则，幂的乘方计算法则及同底数幂除法法则依次计算判断．
【详解】解：A、ܽ͵ ൅ܽ
͵ ൌʹܽ
͵，故错误；
B、ܽ͸ െܽ
͸ ൌͲ，故错误；
C、ܽ
͵ ͵ ൌܽ
ͻ，故错误；
D、ܽͳʹ ൊܽ
ʹ ൌܽ
ͳʹെʹ ൌܽ
ͳͲ，故正确；
故选：D．
6．（2023·浙江湖州·中考真题）计算ܽ͵ ڄܽ
的结果是（
）
A．ܽʹ
B．ܽ͵
C．ܽͶ
D．ܽͷ
【答案】C
【分析】利用同底数幂的乘法法则解题即可．
【详解】解：ܽ
͵ ڄܽ
ൌܽ
Ͷ，
故选C．
7．（2023·浙江衢州·中考真题）下列运算，结果正确的是（
）
A．͵ܽ൅ʹܽ
ൌͷܽ
ʹB．͵ܽെʹܽ
ൌͳ
C．ܽʹ ڄܽ
͵ ൌܽ
ͷ
D．ܽൊܽ
ʹ ൌܽ
【答案】C
【分析】根据同底数幂相乘，同底数幂相除，合并同类项，逐一判断即可解答．
【详解】解：͵ܽ൅ʹܽ
ൌͷܽ，故A 错误；
͵ܽെʹܽ
ൌܽ
，故B 错误；ܽ
ʹ ڄܽ
͵ ൌܽ
ͷ，故C 正确；ܽ
ൊܽ
ʹ ൌܽ
െͳ，故D 错误，
故选：C．
8．（2023·浙江台州·中考真题）下列运算正确的是（
）
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A．ʹܽ
െͳ ൌʹܽ
െʹ
B．ܽ
൅㜸ʹ ൌܽ
ʹ ൅㜸ʹ
C．͵ܽ൅ʹܽ
ൌͷܽ
ʹ
D．ܽ
㜸ʹ ൌܽ
㜸ʹ
【答案】A
【分析】根据去括号法则判断A；根据完全平方公式判断B；根据合并同类项法则判断C；根据积的乘
方法则判断D 即可．
【详解】解：A．ʹܽ
െͳ ൌʹܽ
െʹ，计算正确，符合题意；
B．ܽ
൅㜸ʹ ൌܽ
ʹ ൅ʹܽ㜸൅㜸ʹ്ܽ
ʹ ൅㜸ʹ，计算错误，不符合题意；
C．͵ܽ൅ʹܽ
ൌͷ്ܽ
ͷܽʹ，，计算错误，不符合题意；
D．ܽ
㜸ʹ ൌܽ
ʹ㜸ʹ്ܽ
㜸ʹ，计算错误，不符合题意；
故选：A．
9．（2023·浙江嘉兴·中考真题）计算ʹܽʹ ൅ܽ
ʹ，结果正确的是(
)
A．ʹܽͶ
B．ʹܽʹ
C．͵ܽͶ
D．͵ܽʹ
【答案】D
【分析】合并同类项法则是指将同类项的系数相加减，字母和字母的指数不变．
【详解】原式ൌ͵ܽ
ʹ，
故选D
10．（2022·浙江宁波·中考真题）下列计算正确的是（
）
A．ܽ͵ ൅ܽ
ൌܽ
Ͷ
B．ܽ͸ ൊܽ
ʹ ൌܽ
͵
C．ܽ
ʹ ͵ ൌܽ
ͷ
D．ܽ͵ ڄܽ
ൌܽ
Ͷ
【答案】D
【分析】根据合并同类项判断A 选项；根据同底数幂的除法判断B 选项；根据幂的乘方判断C 选项；
根据同底数幂的乘法判断D 选项．
【详解】解：A 选项，a3 与a 不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意；
B 选项，原式=a4，故该选项不符合题意；
C 选项，原式=a6，故该选项不符合题意；
D 选项，原式=a4，故该选项符合题意；
故选：D．
11．（2022·浙江温州·中考真题）化简ሺെܽܽ
͵ ڄ ሺെ㜸ܽ的结果是（
）
A．െ͵ܽ㜸
B．͵ܽ㜸
C．െܽ
͵㜸
D．ܽ͵㜸
【答案】D
【分析】先化简乘方，再利用单项式乘单项式的法则进行计算即可．
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【详解】解：ሺെܽܽ
͵ ڄ ሺെ㜸ܽൌെܽ
͵൉ሺെ㜸ܽൌܽ
͵㜸，
故选：D．
12．（2022·浙江嘉兴·中考真题）计算a2·a（
）
A．a
B．3a
C．2a2
D．a3
【答案】D
【分析】根据同底数幂的乘法法则进行运算即可．
【详解】解：ܽ
ʹ൉ܽ
ൌܽ
͵ǡ
故选D
13．（2022·浙江绍兴·中考真题）下列计算正确的是（
）
A．ሺܽʹ ൅ܽ
㜸ܽൊܽ
ൌܽ
൅㜸
B．ܽʹ ڄܽ
ൌܽ
ʹ
C．ሺܽ൅㜸ܽʹ ൌܽ
ʹ ൅㜸ʹ
D．ሺܽ͵ܽʹ ൌܽ
ͷ
【答案】A
【分析】根据多项式除以单项式、同底数幂的乘法、完全平方公式、幂的乘方法则逐项判断即可．
【详解】解：A、ሺܽʹ ൅ܽ
㜸ܽൊܽ
ൌܽ
൅㜸，原式计算正确；
B、ܽʹ ڄܽ
ൌܽ
͵，原式计算错误；
C、ሺܽ൅㜸ܽʹ ൌܽ
ʹ ൅㜸ʹ ൅ʹܽ㜸，原式计算错误；
D、ሺܽ͵ܽʹ ൌܽ
͸，原式计算错误；
故选：A．
14．（2022·浙江台州·中考真题）下列运算正确的是（
）
A．ܽʹ ڄܽ
͵ ൌܽ
ͷ
B．ܽ
ʹ ͵ ൌܽ
ͺ
C．ܽ
ʹ㜸͵ ൌܽ
ʹ㜸͵
D．ܽ͸ ൊܽ
͵ ൌܽ
ʹ
【答案】A
【分析】根据同底数幂的乘除法法则以及积的乘方法则，幂的乘方法则，逐一判断选项即可．
【详解】解：A．ܽ
ʹ ڄܽ
͵ ൌܽ
ͷ，正确，该选项符合题意；
B．ܽ
ʹ ͵ ൌܽ
͸，原计算错误，该选项不符合题意；
C．ܽ
ʹ㜸͵ ൌܽ
͸㜸͵，原计算错误，该选项不符合题意；
D．ܽ
͸ ൊܽ
͵ ൌܽ
͵，原计算错误，该选项不符合题意；
故选：A．
15．（2022·浙江金华·中考真题）计算ܽ͵ ڄܽ
ʹ的结果是（
）
A．a
B．ܽ͸
C．͸ܽ
D．ܽͷ
【答案】D
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【分析】根据同底数幂的乘法法则计算判断即可．
【详解】∵ܽ
͵ ڄܽ
ʹ=ܽͷ，
故选D．
16．（2022·浙江丽水·中考真题）计算െܽ
ʹ ڄܽ
的正确结果是（
）
A．െܽ
ʹ
B．a
C．െܽ
͵
D．ܽ͵
【答案】C
【分析】根据同底数幂的乘法法则进行运算，即可判定．
【详解】解：െܽ
ʹ ڄܽ
ൌെܽ
͵，
故选：C．
考点02 乘法公式、整式化简求值与规律探究
1．（2025·浙江·中考真题）【文化欣赏】
我国南宋时期数学家杨辉于1261 年写下《详解九章算法》，书中记载的二项和的乘方ሺܽ൅㜸ܽ݊
展开式的系
数规律如图所示，其中“三乘”对应的展开式：
ሺܽ൅㜸ܽͶ ൌܽ
Ͷ ൅Ͷܽ
͵㜸൅͸ܽ
ʹ㜸ʹ ൅Ͷܽ㜸͵ ൅㜸Ͷ．
【应用体验】
已知ሺݔ൅ʹܽͶ ൌݔͶ ൅݉
ݔ͵ ൅ʹͶݔʹ ൅͵ʹݔ൅ͳ͸，则m 的值为________
【答案】ͺ
【分析】本题考查了整式规律探究，根据ሺܽ൅㜸ܽͶ ൌܽ
Ͷ ൅Ͷܽ
͵㜸൅͸ܽ
ʹ㜸ʹ ൅Ͷܽ㜸͵ ൅㜸Ͷ展开，即可求解．
【详解】解：׶ ሺܽ൅㜸ܽͶ ൌܽ
Ͷ ൅Ͷܽ
͵㜸൅͸ܽ
ʹ㜸ʹ ൅Ͷܽ㜸͵ ൅㜸Ͷ，
׵ ሺݔ൅ʹܽͶ ൌݔͶ ൅Ͷݔ͵ ڄ ʹ ൅͸ݔʹ ڄ ʹʹ ൅Ͷݔڄ ʹ͵ ൅ʹͶ
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ൌݔͶ ൅ͺݔ͵ ൅ʹͶݔʹ ൅͵ʹݔ൅ͳ͸，
׵݉
ൌͺ，
故答案为：ͺ．
2．（2025·浙江·中考真题）化简求值：ݔሺͷ െݔܽ൅ݔʹ ൅͵，其中ݔൌʹ．
【答案】ͷݔ൅͵，13
【分析】本题考查了整式的混合运算，化简求值，掌握运算法则是解题的关键．
先计算单项式乘以多项式，再进行合并同类项，然后再代入求值即可．
【详解】解：ݔሺͷ െݔܽ൅ݔʹ ൅͵
ൌͷݔെݔʹ ൅ݔʹ ൅͵
ൌͷݔ൅͵，
当ݔൌʹ 时，原式ൌͷ ൈʹ ൅͵ ൌͳ͵．
3．（2023·浙江嘉兴·中考真题）观察下面的等式：͵ʹ െͳʹ ൌͺ ൈͳ，ͷʹ െ͵ʹ ൌͺ ൈʹ，͹ʹ െͷʹ ൌͺ ൈ͵，
ͻʹ െ͹ʹ ൌͺ ൈͶ，…．
(1)尝试：ͳ͵ʹ െͳͳʹ ൌͺ ൈ___________．
(2)归纳：ʹ݊൅ͳ ʹ െʹ݊
െͳ ʹ ൌͺ ൈ___________（用含n 的代数式表示，n 为正整数）．
(3)推理：运用所学知识，推理说明你归纳的结论是正确的．
【答案】(1)6 (2)n
(3)
证明：ʹ݊൅ͳ ʹ െʹ݊
െͳ ʹ
ൌʹ݊൅ͳ ൅ʹ݊
െͳ
ʹ݊൅ͳ െʹ݊൅ͳ
ൌͶ݊
ൈʹ
ൌͺ݊．
【分析】（1）根据题目中的例子，可以直接得到结果；
（2）根据题目中给出的式子,可以直接得到答案；
（3）将（2）中等号左边用平方差公式计算即可．
【详解】（1）解：∵͵ʹ െͳʹ ൌͺ ൈͳ，ͷʹ െ͵ʹ ൌͺ ൈʹ，͹ʹ െͷʹ ൌͺ ൈ͵，ͻʹ െ͹ʹ ൌͺ ൈͶ，
∴ͳͳʹ െͻʹ ൌͺ ൈͷ，ͳ͵ʹ െͳͳʹ ൌͺ ൈ͸，
故答案为：6；
（2）由题意得：ʹ݊൅ͳ ʹ െʹ݊
െͳ ʹ ൌͺ݊，
故答案为：n；
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（3）略
4．（2023·浙江湖州·中考真题）计算：ܽ
൅ͳܽ
െͳ ൌ_____．
【答案】ܽ
ʹ െͳ/െͳ ൅ܽ
ʹ
【分析】本题考查的是平方差公式的应用，直接利用平方差公式进行计算即可.
【详解】解：ܽ
൅ͳܽ
െͳ ൌܽ
ʹ െͳ；故答案为：ܽʹ െͳ
5．（2023·浙江金华·中考真题）已知ݔൌ
ͳ
͵，求ʹݔ൅ͳ
ʹݔെͳ ൅ݔ͵ െͶݔ的值．
【答案】Ͳ
【分析】原式利用平方差公式、单项式乘多项式去括号合并得到最简结果，把已知等式变形后代入计
算即可求出值．
【详解】解：ʹݔ൅ͳ
ʹݔെͳ ൅ݔ͵ െͶݔ
ൌͶݔʹ െͳ ൅͵ݔെͶݔʹ
ൌെͳ ൅͵ݔ．
当ݔൌ
ͳ
͵时，原式ൌെͳ ൅͵ ൈ
ͳ
͵ ൌͲ．
6．（2023·浙江宁波·中考真题）计算：
(1)ሺͳ ൅
͵ ͺܽͲ ൅ȁ െʹȁ െ
ͻ．
(2)ሺܽ൅͵ܽሺܽെ͵ܽ൅ܽሺͳ െܽܽ
．
【答案】(1)Ͳ
(2)ܽെͻ
【分析】（1）根据零指数幂运算、去绝对值运算和算术平方根运算分别求解，再利用有理数加减运算
求解即可得到答案；
（2）根据平方差公式、单项式乘以多项式将原式展开，合并同类项即可得到答案．
【详解】（1）解：ͳ ൅
͵ ͺ
Ͳ ൅ȁ െʹȁ െ
ͻ
ൌͳ ൅ʹ െ͵
ൌͲ；
（2）解：ሺܽ൅͵ܽሺܽെ͵ܽ൅ܽሺͳ െܽܽ
ൌܽ
ʹ െͻ ൅ܽ
െܽ
ʹ
ൌܽ
െͻ．
7．（2022·浙江宁波·中考真题）将两张全等的矩形纸片和另两张全等的正方形纸片按如图方式不重叠地
放置在矩形ܣ㜠㘶〮内，其中矩形纸片和正方形纸片的周长相等．若知道图中阴影部分的面积，则一定能求
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出（
）
A．正方形纸片的面积
B．四边形ܧ四边形的面积
C．ᇞ㜠ܧ四的面积D．ᇞܣܧ形的面积
【答案】C
【分析】设正方形纸片边长为x，小正方形EFGH 边长为y，得到长方形的宽为x-y，用x、y 表达出阴
影部分的面积并化简，即得到关于x、y 的已知条件，分别用x、y 列出各选项中面积的表达式，判断根据已
知条件能否求出，找到正确选项．
【详解】根据题意可知，四边形EFGH 是正方形，设正方形纸片边长为x，正方形EFGH 边长为y，则
长方形的宽为x-y，
所以图中阴影部分的面积=S 正方形EFGH+2S△AEH+2S△DHG
=ݕʹ ൅ʹ ൈ
ͳ
ʹ ݕሺݔെݕܽ൅ʹ ൈ
ͳ
ʹ ݔݕ=2xy，
所以根据题意，已知条件为xy 的值，
A.正方形纸片的面积=x2，根据条件无法求出，不符合题意；
B.四边形EFGH 的面积=y2，根据条件无法求出，不符合题意；
C.ᇞ㜠ܧ四的面积=
ͳ
ʹ ݔݕ，根据条件可以求出，符合题意；
D.ᇞܣܧ形的面积=
ͳ
ʹ ݕሺݔെݕܽൌ
ݔݕെݕʹ
ʹ
，根据条件无法求出，不符合题意；
故选C．
8．（2022·浙江嘉兴·中考真题）设ܽͷ
തതത是一个两位数，其中a 是十位上的数字（1≤a≤9）．例如，当a
＝4 时，ܽͷ
തതത表示的两位数是45．
(1)尝试：
①当a＝1 时，152＝225＝1×2×100＋25；
②当a＝2 时，252＝625＝2×3×100＋25；
③当a＝3 时，352＝1225＝；
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……
(2)归纳：ܽͷ
തതതʹ与100a(a＋1)＋25 有怎样的大小关系？试说明理由．
(3)运用：若ܽͷ
തതതʹ与100a 的差为2525，求a 的值．
【答案】(1)③͵ ൈͶ ൈͳͲͲ൅ʹͷ；
(2)
相等，理由如下：
׶ܽ
ͷ
തതതʹ ൌሺͳͲܽ൅ͷܽʹ ൌͳͲͲܽʹ ൅ͳͲͲܽ൅ʹͷǡ
100a(a＋1)＋25=ͳͲͲܽʹ ൅ͳͲͲܽ൅ʹͷǡ
׵ܽ
ͷ
തതതʹ ൌͳͲͲܽሺܽ൅ͳܽ൅ʹͷ൅
(3)ܽ
ൌͷ
【分析】（1）③仔细观察①②的提示，再用含有相同规律的代数式表示即可；
（2）由ܽͷ
തതതʹ ൌሺͳͲܽ൅ͷܽʹ ൌͳͲͲܽʹ ൅ͳͲͲܽ൅ʹͷǡ再计算100a(a＋1)＋25，从而可得答案；
（3）由ܽͷ
തതതʹ与100a 的差为2525，列方程，整理可得ܽʹ ൌʹͷǡ再利用平方根的含义解方程即可．
【详解】（1）解：①当a＝1 时，152＝225＝1×2×100＋25；
②当a＝2 时，252＝625＝2×3×100＋25；
③当a＝3 时，352＝1225＝͵ ൈͶ ൈͳͲͲ൅ʹͷ；
（2）略
（3）׶ܽ
ͷ
തതതʹ与100a 的差为2525，
׵ ͳͲͲܽʹ ൅ͳͲͲܽ൅ʹͷ െͳͲͲܽ
ൌʹͷʹͷǡ
整理得：ͳͲͲܽʹ ൌʹͷͲͲǡ 即ܽʹ ൌʹͷǡ
解得：ܽ
ൌേͷǡ
׶ 1≤a≤9，
׵ܽ
ൌͷ൅
9．（2022·浙江金华·中考真题）如图1，将长为ʹܽ൅͵，宽为ʹܽ
的矩形分割成四个全等的直角三角形，
拼成“赵爽弦图”（如图2），得到大小两个正方形．
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(1)用关于a 的代数式表示图2 中小正方形的边长．
(2)当ܽ
ൌ͵ 时，该小正方形的面积是多少？
【答案】(1)ܽ൅͵ (2)36
【分析】（1）分别算出直角三角形较长的直角边和较短的直角边，再用较长的直角边减去较短的直角
边即可得到小正方形面积；
（2）根据（1）所得的小正方形边长，可以写出小正方形的面积代数式，再将a 的值代入即可．
【详解】（1）解：∵直角三角形较短的直角边ൌ
ͳ
ʹ ൈʹܽ
ൌܽ
，
较长的直角边ൌʹܽ൅͵，
∴小正方形的边长ൌʹܽ൅͵ െܽ
ൌܽ
൅͵；
（2）解：ܵ小正方形ൌሺܽ൅͵ܽʹ ൌܽ
ʹ ൅͸ܽ൅ͻ，
当ܽ
ൌ͵ 时，ܵ小正方形ൌሺ͵ ൅͵ܽʹ ൌ͵͸．
10．（2022·浙江丽水·中考真题）先化简，再求值：ሺͳ ൅ݔܽሺͳ െݔܽ൅ݔሺݔ൅ʹܽ，其中ݔൌ
ͳ
ʹ．
【答案】
ͳ ൅ʹݔ；2
【分析】先利用平方差公式，单项式与多项式乘法化简，然后代入ݔൌ
ͳ
ʹ即可求解．
【详解】ሺͳ ൅ݔܽሺͳ െݔܽ൅ݔሺݔ൅ʹܽ
ൌͳ െݔʹ ൅ݔʹ ൅ʹݔ
ൌͳ ൅ʹݔ
当ݔൌ
ͳ
ʹ时，
原式ൌͳ ൅ʹݔൌͳ ൅ʹ ൈ
ͳ
ʹ ൌʹ．
11．（2022·浙江丽水·中考真题）如图，标号为①，②，③，④的矩形不重叠地围成矩形ܲ
形ܯㄱ，已知
①和②能够重合，③和④能够重合，这四个矩形的面积都是5.ܣܧൌܽ
ǡ〮ܧൌ㜸，且ܽ
ᦙ㜸．
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（1）若a，b 是整数，则ܲ
形的长是___________；
（2）若代数式ܽʹ െʹܽ㜸െ㜸ʹ的值为零，则ܵ
四边形ܣ㜠㘶〮ܵ
矩形ܲ
形ܯㄱ
的值是___________．
【答案】ܽ
െ㜸
͵ ൅ʹ ʹ
【分析】（1）根据图象表示出PQ 即可；
（2）根据ܽʹ െʹܽ㜸െ㜸ʹ ൌͲ 分解因式可得ሺܽെ㜸൅
ʹ㜸ܽሺܽെ㜸െ
ʹ㜸ܽൌͲ，继而求得ܽ
ൌ㜸൅
ʹ㜸，
根据这四个矩形的面积都是5，可得ܧܲ
ൌ
ͷܽǡܧㄱൌ
ͷ
㜸，再进行变形化简即可求解．
【详解】（1）׶①和②能够重合，③和④能够重合，ܣܧൌܽ
ǡ〮ܧൌ㜸，
׵ܲ
形ൌܽ
െ㜸，
故答案为：ܽെ㜸；
（2）׶ܽ
ʹ െʹܽ㜸െ㜸ʹ ൌͲ，
׵ܽ
ʹ െʹܽ㜸൅㜸ʹ െʹ㜸ʹ ൌሺܽെ㜸ܽʹ െʹ㜸ʹ ൌሺܽ
െ㜸൅
ʹ㜸ܽሺܽെ㜸െ
ʹ㜸ܽൌͲ，
׵ܽ
െ㜸൅
ʹ㜸ൌͲ 或ܽ
െ㜸െ
ʹ㜸ൌͲ，即ܽ
ൌ㜸െ
ʹ㜸（负舍）或ܽ
ൌ㜸൅
ʹ㜸
׶这四个矩形的面积都是5，
׵ ܧܲ
ൌ
ͷܽǡܧㄱൌ
ͷ
㜸，
׵ܵ
四边形ܣ㜠㘶〮ܵ
矩形ܲ
形ܯㄱ
ൌܽ
൅㜸ڄ ͷ
㜸൅ͷܽܽ
െ㜸
ͷ
㜸െͷܽൌܽ
൅㜸ڄͷܽ
൅㜸ܽ
㜸ܽ
െ㜸ڄͷܽ
െ㜸ܽ
㜸
ൌܽ
൅㜸ʹܽ
െ㜸ʹ，
ൌܽ
ʹ൅㜸ʹ൅ʹܽ㜸ܽ
ʹ൅㜸ʹെʹܽ㜸ൌܽ
ʹ൅㜸ʹ൅ܽʹെ㜸ʹܽ
ʹ൅㜸ʹെܽʹ൅㜸ʹ ൌܽ
ʹ
㜸ʹ，
ൌ
ሺ㜸൅ʹ㜸ܽʹ
㜸ʹ
ൌ͵ ൅ʹ ʹ．
考点03 因式分解及其应用
1．（2026·浙江·中考真题）老师布置了一个任务：对于非零实数ܽ
，㜸，满足ܽʹ െܽ
ൌ㜸ʹ ൅㜸，探讨ܽ
െ㜸
的值．小光解得ܽ
െ㜸ൌͳ，但同桌认为小光的推理有问题．请你写出一组非零实数ܽ
，㜸，使原等式成立，
但ܽ
െ㜸്
ͳ．如：___________．
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【答案】ܽ
ൌͳ，㜸ൌെͳ（答案不唯一）
【分析】将原等式整理因式分解后可得ሺܽ൅㜸ܽሺܽെ㜸െͳܽൌͲ，满足ܽ
൅㜸ൌͲ 且ܽ
ǡ㜸非零时，即可满
足ܽ
െ㜸്
ͳ 且原等式成立．
【详解】解：ܽ
ʹ െܽ
ൌ㜸ʹ ൅㜸，ܽ
ʹ െܽ
െ㜸ʹ െ㜸ൌͲ
ሺܽʹ െ㜸ʹܽെሺܽ൅㜸ܽൌͲ
ሺܽെ㜸ܽሺܽ൅㜸ܽെሺܽ൅㜸ܽൌͲ
ሺܽ൅㜸ܽሺܽെ㜸െͳܽൌͲ
∵要求原等式成立且ܽ
െ㜸്
ͳ，ܽǡ㜸为非零实数
∴只需满足ܽ
൅㜸ൌͲ，且്ܽ
Ͳ，㜸്
Ͳ
∴可取ܽ
ൌͳ，得㜸ൌെͳ
验证：左边ܽʹ െܽ
ൌͳʹ െͳ ൌͲ，右边㜸ʹ ൅㜸ൌሺെͳܽʹ ൅ሺെͳܽൌͲ，左边ൌ右边，且ܽ
െ㜸ൌʹ്
ͳ，
符合要求．
2．（2024·浙江·中考真题）因式分解：ܽʹ െ͹ܽ
ൌ__________
【答案】ܽܽ
െ͹
【分析】本题考查了提公因式法因式分解，先提公因式ܽ
是解题的关键．
【详解】解：ܽ
ʹ െ͹ܽ
ൌܽܽ
െ͹ ．
故答案为：ܽܽ
െ͹ ．
3．（2023·浙江杭州·中考真题）分解因式：Ͷܽʹ െͳ ൌ（
）
A．ʹܽെͳ
ʹܽ൅ͳ
B．ܽ
െʹܽ
൅ʹ
C．ܽ
െͶܽ
൅ͳ D．Ͷܽെͳܽ
൅ͳ
【答案】A
【分析】利用平方差公式分解即可．
【详解】Ͷܽʹ െͳ ൌʹܽ
ʹ െͳ ൌʹܽ൅ͳ
ʹܽെͳ ．
故选：A．
4．（2023·浙江宁波·中考真题）分解因式：ݔʹ െݕʹ=__________
【答案】ሺݔ൅ݕܽሺݔെݕܽ
【详解】解：ݔʹ െݕʹ ൌሺݔ൅ݕܽሺݔെݕܽǡ
故答案为：ሺݔ൅ݕܽሺݔെݕܽ
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5．（2023·浙江温州·中考真题）分解因式：ʹܽʹ െʹܽ
ൌ____________ ．
【答案】ʹܽሺܽെͳܽ
【分析】利用提公因式法进行解题，即可得到答案．
【详解】解：ʹܽʹ െʹܽ
ൌʹܽሺܽെͳܽ．
故答案为：ʹܽሺܽെͳܽ．
6．（2023·浙江台州·中考真题）因式分解：x2﹣3x=_____．
【答案】x（x﹣3）
【详解】试题分析：提取公因式x 即可，即x2﹣3x=x（x﹣3）．
7．（2023·浙江金华·中考真题）因式分解：x2+x=_____．
【答案】ݔݔ൅ͳ
【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取
出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式．因此，直接提
取公因式x 即可．
【详解】解：ݔʹ ൅ݔൌݔݔ൅ͳ
8．（2023·浙江嘉兴·中考真题）分解因式：x2－9＝______．
【答案】(x＋3)(x－3)
【详解】解：x2-9=（x+3）（x-3），
故答案为：（x+3）（x-3）.
9．（2022·浙江宁波·中考真题）分解因式：x2-2x+1=__________．
【答案】（x-1）2
【详解】由完全平方公式可得：ݔʹ െʹݔ൅ͳ ൌሺݔെͳܽʹ
故答案为ሺݔെͳܽʹ．
10．（2022·浙江温州·中考真题）分解因式：ܽʹ െ㜸ʹ=____________．
【答案】ሺܽ൅㜸ܽሺܽെ㜸ܽ
【分析】利用平方差公式直接分解即可求得答案．
【详解】解：a2-b2=（a+b）（a-b）．
故答案为（a+b）（a-b）．
11．（2022·浙江台州·中考真题）分解因式：ܽ
ʹ െͳ=____．
【答案】ܽ
൅ͳܽ
െͳ ．
【分析】利用平方差公式分解因式即可得到答案
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【详解】解：ܽ
ʹ െͳ ൌܽ
൅ͳܽ
െͳ ．
故答案为：ܽ
൅ͳܽ
െͳ
12．（2022·浙江丽水·中考真题）分解因式：xʹ െʹx ൌ___．
【答案】x x െʹ
【分析】直接提取公因式x 即可
【详解】解：xʹ െʹx ൌx x െʹ ．
故答案为: x x െʹ .
13．（2022·浙江舟山·中考真题）分解因式：݉
ʹ ൅݉
ൌ___________．
【答案】݉
ሺ݉
൅ͳܽ
【分析】利用提公因式法进行因式分解．
【详解】解：݉
ʹ ൅݉
ൌ݉
ሺ݉
൅ͳܽ
故答案为：݉
ሺ݉
൅ͳܽ．
考点04 分式的概念与基本性质
1．（2023·浙江宁波·中考真题）要使分式
͵
ݔെʹ有意义，ݔ的取值应满足_____________．
【答案】ݔ്
ʹ
【分析】根据分式有意义的条件：分母不为零，从而得到ݔെʹ്
Ͳ，求解即可得到答案．
【详解】解：要使分式
͵
ݔെʹ有意义，ݔ的取值应满足ݔെʹ്
Ͳ，解得ݔ്
ʹ，
故答案为：ݔ്
ʹ．
2．（2023·浙江湖州·中考真题）若分式
ݔെͳ
͵ݔ൅ͳ的值为0，则x 的值是（
）
A．1
B．0
C．െͳ
D．െ͵
【答案】A
【分析】分式的值等于零时，分子等于零，且分母不等于零．
【详解】解：依题意得：ݔെͳ ൌͲ 且͵ݔ൅ͳ്
Ͳ，
解得ݔൌͳ．
故选：A．
考点05 分式的运算、化简求值与规律探究
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1．（2023·浙江温州·中考真题）计算：
(1) െͳ ൅
͵ െͺ ൅
ͳ
͵
െʹ
െെͶ ．
(2)ܽ
ʹ൅ʹܽ
൅ͳ െ
͵
ͳ൅ܽ．
【答案】(1)12
(2)ܽെͳ
【分析】（1）先计算绝对值、立方根、负整数指数，再计算加减；
（2）根据同分母分式的加减法解答即可．
【详解】（1）െͳ ൅
͵ െͺ ൅
ͳ
͵
െʹ
െെͶ
ൌͳ െʹ ൅ͻ ൅Ͷ
ൌͳʹ．
（2）ܽ
ʹ൅ʹܽ
൅ͳ െ
͵
ͳ൅ܽ
ൌܽ
ʹ ൅ʹ െ͵ܽ
൅ͳ
ൌܽ
ʹ െͳܽ
൅ͳ
ൌሺܽ൅ͳܽሺܽെͳܽܽ
൅ͳ
ൌܽ
െͳ．
2．（2023·浙江衢州·中考真题）
（1）计算：ܽ
൅ʹܽ
െʹ ；
（2）化简：ܽ
ʹെͶܽ
൅ʹ ൅ʹ．
【答案】（1）ܽʹ െͶ；（2）ܽ
【分析】（1）利用平方差公式求解即可；
（2）利用平方差公式和分式的性质进行化简即可．
【详解】解：（1）ܽ
൅ʹܽ
െʹ
ൌܽ
ʹ െͶ；
（2）ܽ
ʹെͶܽ
൅ʹ ൅ʹ
ൌܽ
൅ʹܽ
െʹܽ
൅ʹ
൅ʹ
ൌܽ
െʹ ൅ʹ
ൌܽ
．
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3．（2022·浙江杭州·中考真题）照相机成像应用了一个重要原理，用公式
ͳ݂ൌ
ͳ
ݑ൅
ͳ
ݒݒ്݂
表示，其中f
表示照相机镜头的焦距，u 表示物体到镜头的距离，v 表示胶片（像）到镜头的距离．已知f，v，则u＝（
）
A．݂
ݒ݂
െݒ
B．݂
െݒ݂
ݒ
C．݂
ݒ
ݒെ݂
D．
ݒെ݂݂
ݒ
【答案】C
【分析】利用分式的基本性质，把等式
ͳ݂ൌ
ͳ
ݑ൅
ͳ
ݒݒ്݂
恒等变形，用含f、v 的代数式表示u．
【详解】解：∵
ͳ݂ൌ
ͳ
ݑ൅
ͳ
ݒݒ്݂
，
∴
ͳ
ݑൌ
ͳ݂െ
ͳ
ɋ
∴
ͳ
ݑൌ
ɋെ݂݂
ɋ ，
∴ݑൌ݂
ɋ
ɋെ݂，
故选：C．
4．（2022·浙江温州·中考真题）计算：
ݔʹ൅ݔݕ
ݔݕ
൅
ݔݕെݔʹ
ݔݕ
ൌ___________．
【答案】2
【分析】利用分式同分母运算法则进行合并，并化简即可得出结果．
【详解】解：
ݔʹ൅ݔݕ
ݔݕ
൅
ݔݕെݔʹ
ݔݕ
ൌ
ʹݔݕ
ݔݕൌʹ，
故答案为：2．
5．（2022·浙江衢州·中考真题）（1）因式分解：ܽʹ െͳ．
（2）化简：ܽ
െͳܽ
ʹെͳ ൅
ͳܽ
൅ͳ．
【答案】ሺܽ൅ͳܽሺܽെͳܽ；
ʹܽ
൅ͳ
【分析】（1）根据平方差公式进行分解即可;
（2）先对第一个分式ܽ
െͳܽ
ʹെͳ的分母进行因式分解，得到
ͳܽ
൅ͳ，再根据分式的运算法则进行计算即可．
【详解】解：（1）ܽʹ െͳ ൌሺܽ൅ͳܽሺܽെͳܽ；
（2）ܽ
െͳܽ
ʹെͳ ൅
ͳܽ
൅ͳ
=ܽ
െͳ
ሺܽ൅ͳܽሺܽെͳܽ൅
ͳܽ
൅ͳ，
=
ͳܽ
൅ͳ ൅
ͳܽ
൅ͳ，
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=
ʹܽ
൅ͳ．
6．（2022·浙江舟山·中考真题）观察下面的等式：
ͳ
ʹ ൌ
ͳ
͵ ൅
ͳ
͸，
ͳ
͵ ൌ
ͳ
Ͷ ൅
ͳ
ͳʹ，
ͳ
Ͷ ൌ
ͳ
ͷ ൅
ͳ
ʹͲ，……
(1)按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n 的等式表示，n 为正整数）
(2)请运用分式的有关知识，推理说明这个结论是正确的．
【答案】(1)
ͳ݊ൌ
ͳ݊
൅ͳ ൅
ͳ݊
ሺ݊൅ͳܽ
(2)
证明：∵右边=
ͳ݊
൅ͳ ൅
ͳ݊
ሺ݊൅ͳܽൌ݊݊
ሺ݊൅ͳܽ൅
ͳ݊
ሺ݊൅ͳܽൌ݊
൅ͳ݊
ሺ݊൅ͳܽൌ
ͳ݊=左边，
∴
ͳ݊ൌ
ͳ݊
൅ͳ ൅
ͳ݊
ሺ݊൅ͳܽ．
【分析】（1）根据所给式子发现规律，第一个式子的左边分母为2，第二个式子的左边分母为3，第
三个式子的左边分母为4，…；右边第一个分数的分母为3，4，5，…，另一个分数的分母为前面两个分母
的乘积；所有的分子均为1；所以第（n+1）个式子为
ͳ݊ൌ
ͳ݊
൅ͳ ൅
ͳ݊
ሺ݊൅ͳܽ．
（2）由（1）的规律发现第（n+1）个式子为
ͳ݊ൌ
ͳ݊
൅ͳ ൅
ͳ݊
ሺ݊൅ͳܽ，用分式的加法计算式子右边即可证明．
【详解】（1）解：∵第一个式子
ͳ
ʹ ൌ
ͳ
͵ ൅
ͳ
͸ ൌ
ͳ
ʹ൅ͳ ൅
ͳ
ʹ ʹ൅ͳ ，
第二个式子
ͳ
͵ ൌ
ͳ
Ͷ ൅
ͳ
ͳʹ ൌ
ͳ
͵൅ͳ ൅
ͳ
͵ ͵൅ͳ ，
第三个式子
ͳ
Ͷ ൌ
ͳ
ͷ ൅
ͳ
ʹͲ ൌ
ͳ
Ͷ൅ͳ ൅
ͳ
Ͷ Ͷ൅ͳ ，
……
∴第（n+1）个式子
ͳ݊ൌ
ͳ݊
൅ͳ ൅
ͳ݊
ሺ݊൅ͳܽ；
（2）略
1．（2026·浙江温州·三模）某连锁超市有甲，乙两家分店，某天的销售记录显示，甲店m 笔交易中，手机
支付笔数占ͺͲ%；乙店n 笔交易中，手机支付笔数占ͻͲ%．该连锁超市这一天的交易中，手机支付笔数所
占的比例是______．
【答案】
ͺ݉
൅ͻ݊
ͳͲ݉൅ͳͲ݊
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【分析】先分别求出甲店和乙店的手机支付笔数，再计算两店总的手机支付笔数与总交易笔数，最后
根据比例的定义，用总手机支付笔数除以总交易笔数得到结果．
【详解】解：根据题意，甲店手机支付笔数为ͺͲ% ڄ݉
ൌͲ൅ͺ݉
，
乙店手机支付笔数为ͻͲ% ڄ݊
ൌͲ൅ͻ݊，
两店总手机支付笔数为Ͳ൅ͺ݉
൅Ͳ൅ͻ݊，
两店总交易笔数为݉
൅݊
，
因此手机支付笔数所占比例为
Ͳ൅ͺ݉൅Ͳ൅ͻ݊݉
൅݊
ൌ
ͳͲ Ͳ൅ͺ݉൅Ͳ൅ͻ݊
ͳͲ݉
൅݊
ൌ
ͺ݉
൅ͻ݊
ͳͲ݉൅ͳͲ݊．
2．（2026·浙江宁波·二模）如图1，将大正方形纸片裁去一个小正方形，将剩余部分分割为四块图形后，
拼成如图2 的正方形．则图1 大正方形与图2 正方形的面积之比为__________．
【答案】
ͻ
ͺ
【分析】设图1 大正方形的边长为ܽ
൅㜸，则面积为ܽ
൅㜸ʹ，则图2 正方形的边长为㜸ʹ ൅㜸ʹ ൌ
ʹ㜸，
面积为ʹ㜸ʹ；再根据ܽ
൅㜸ʹ െܽ
ʹ ൌʹ㜸ʹ可得㜸ൌʹܽ，然后代入求面积的比即可．
【详解】解：设图1 大正方形的边长为ܽ
൅㜸，则面积为ܽ
൅㜸ʹ，则图2 正方形的边长为㜸ʹ ൅㜸ʹ ൌ
ʹ㜸，
面积为ʹ㜸ʹ，
通过观察发现图2 的面积比图1 少了一个小正方形的面积，即ܽ
൅㜸ʹ െܽ
ʹ ൌʹ㜸ʹ，
整理得：㜸ʹܽെ㜸ൌͲ，
∵㜸്
Ͳ，
∴㜸ൌʹܽ，
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∴图1 大正方形与图2 正方形的面积之比为ܽ
൅㜸ʹ
ʹ㜸ʹ
ൌܽ
൅ʹܽ
ʹ
ʹൈʹܽ
ʹ ൌ
ͻܽʹ
ͺܽʹ ൌ
ͻ
ͺ．
3．（2026·浙江杭州·一模）已知实数a，b 均为正数，记ܽ
൅㜸
ʹ 为a，b 的算术平均数，
ʹܽ
െͳ൅㜸െͳ为a，b 的调和平
均数．
(1)当ܽ
ൌʹ，㜸ൌ͵ 时，求其算术平均数和调和平均数．
(2)试比较a，b 的算术平均数和调和平均数的大小，并说明理由．
【答案】(1)算术平均数为
ͷ
ʹ，调和平均数为
ͳʹ
ͷ
(2)算术平均数൒调和平均数，当且仅当ܽ
ൌ㜸时等号成立
【分析】（1）根据题意代入即可求解；
（2）利用作差法即可比较．
【详解】（1）解：根据题意得，当ܽ
ൌʹ，㜸ൌ͵ 时，算术平均数为
ʹ൅͵
ʹ ൌ
ͷ
ʹ，调和平均数为
ʹ
ʹെͳ൅͵െͳ ൌ
ͳʹ
ͷ ；
（2）解：ܽ
൅㜸
ʹ െ
ʹܽ
െͳ൅㜸െͳ ൌܽ
൅㜸
ʹ െ
ʹܽ㜸ܽ
൅㜸ൌܽ
൅㜸ʹെͶܽ㜸
ʹܽ
൅㜸
ൌܽ
െ㜸ʹ
ʹܽ
൅㜸，
׶ܽ
െ㜸ʹ ൒Ͳ，
׵ܽ
൅㜸
ʹ െ
ʹܽ
െͳ൅㜸െͳ ൒Ͳ，
即ܽ
൅㜸
ʹ ൒
ʹܽ
െͳ൅㜸െͳ，当且仅当ܽ
ൌ㜸时等号成立．
4．（2026·浙江杭州·二模）综合与实践
【新知理解】
对于任意实数x，y，都有ݔʹ ൅ݕʹ ൒ʹݔݕ．
证明方法如下：
因为ݔʹ ൅ݕʹ െʹݔݕൌݔെݕʹ ൒Ͳ，所以ݔʹ ൅ݕʹ ൒ʹݔݕ．
【类比发现】
小聪提出猜想：对于正实数x，y，可能存在ݔ͵ ൅ݕ͵ ൒ݔʹݕ൅ݔݕʹ的关系．对此，小亮和小敏都想到用作差法
进行探究：
小亮：
ݔ͵ ൅ݕ͵
െݔʹݕ൅ݔݕʹ
ൌݔ͵ െݔʹݕ
൅ݕ͵ െݔݕʹ
小敏：
ݔ͵ ൅ݕ͵
െݔʹݕ൅ݔݕʹ
ൌݔ͵ െݔݕʹ
൅ݕ͵ െݔʹݕ
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ൌڮڮ
ൌڮڮ
(1)请你选择其中一人的方法完成探究，并判断小聪的猜想是否正确．
(2)【简单应用】已知正实数x，y 满足ݔ൅ݕൌʹݔݕ，求证：
ݕ
ݔʹ ൅
ݔ
ݕʹ ൒ʹ．
【答案】(1)解：选择小亮的方法探究，过程如下：
ݔ͵ ൅ݕ͵ െݔʹݕ൅ݔݕʹ
ൌݔ͵ െݔʹݕ൅ݕ͵ െݔݕʹ
ൌݔʹ ݔെݕ൅ݕʹ ݕെݔ
ൌݔെݕ
ݔʹ െݕʹ
ൌݔെݕ
ݔെݕ
ݔ൅ݕ
ൌݔെݕʹ ݔ൅ݕ
∵x、y 为正实数，
∴ݔ൅ݕᦙͲ，且ሺݔെݕܽʹ ൒Ͳ，
∴ݔെݕʹ ݔ൅ݕ൒Ͳ，
即ݔ͵ ൅ݕ͵ െݔʹݕ൅ݔݕʹ ൒Ͳ，
∴ݔ͵ ൅ݕ͵ ൒ݔʹݕ൅ݔݕʹ，小聪的猜想正确．
选择小敏的方法探究，过程如下：
ݔ͵ ൅ݕ͵ െݔʹݕ൅ݔݕʹ
ൌݔ͵ െݔݕʹ ൅ݕ͵ െݔʹݕ
ൌݔݔʹ െݕʹ ൅ݕݕʹ െݔʹ
ൌݔݔʹ െݕʹ െݕݔʹ െݕʹ
ൌݔെݕ
ݔʹ െݕʹ
ൌݔെݕ
ݔെݕ
ݔ൅ݕ
ൌݔെݕʹ ݔ൅ݕ，
∵x、y 为正实数，
∴ݔ൅ݕᦙͲ，且ሺݔെݕܽʹ ൒Ͳ，
∴ݔെݕʹ ݔ൅ݕ൒Ͳ，
即ݔ͵ ൅ݕ͵ െݔʹݕ൅ݔݕʹ ൒Ͳ，
∴ݔ͵ ൅ݕ͵ ൒ݔʹݕ൅ݔݕʹ，小聪的猜想正确．
(2)证明：由（1）可知，任意正实数x、y 都满足ݔ͵ ൅ݕ͵ ൒ݔʹݕ൅ݔݕʹ，
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不等式两边同时除以正实数ݔʹݕʹ，不等号方向不变，可得：
ݔ͵ ൅ݕ͵
ݔʹݕʹ
൒ݔʹݕ൅ݔݕʹ
ݔʹݕʹ
化简左边得
ݔ
ݕʹ ൅
ݕ
ݔʹ，
化简右边得
ݔ൅ݕ
ݔݕ，
即
ݕ
ݔʹ ൅
ݔ
ݕʹ ൒
ݔ൅ݕ
ݔݕ，
∵正实数x、y 满足ݔ൅ݕൌʹݔݕ，
∴
ݔ൅ݕ
ݔݕൌ
ʹݔݕ
ݔݕൌʹ，
∴
ݕ
ݔʹ ൅
ݔ
ݕʹ ൒ʹ．
【分析】（1）先因式分解得到ݔ͵ ൅ݕ͵ െݔʹݕ൅ݔݕʹ ൌݔെݕʹ ݔ൅ݕ，然后利用非负数性质得到ݔ͵ ൅
ݕ͵ ൒ݔʹݕ൅ݔݕʹ，进而可判断小聪的猜想正确；
（2）根据不等式的性质得到
ݔ͵൅ݕ͵
ݔʹݕʹ ൒
ݔʹݕ൅ݔݕʹ
ݔʹݕʹ ，进而推导出
ݕ
ݔʹ ൅
ݔ
ݕʹ ൒
ݔ൅ݕ
ݔݕ，利用ݔ൅ݕൌʹݔݕ得到
ݔ൅ݕ
ݔݕൌ
ʹݔݕ
ݔݕൌ
ʹ，进而可得结论．
【详解】（1）略
（2）略
5．（2026·浙江宁波·二模）某班数学兴趣小组的同学在计算探究中发现：
ʹ
͵ ൅
͵
ʹ ൌ
ͳ͵
͸ ᦙʹ，ͳ ൅ͳ ൌʹ，
Ͷ
͵ ൅
͵
Ͷ ൌ
ʹͷ
ͳʹ ᦙʹ，ʹ ൅
ͳ
ʹ ൌ
ͷ
ʹ ᦙʹ，…于是猜想：任意正数与它倒数的和一定大于等
于2．
(1)这个猜想用不等式可表示为：．
(2)请用代数推理的方法证明这一猜想．
【答案】(1)݊൅
ͳ݊൒ʹ ݊
ᦙͲ
(2)见解析
【分析】（1）由题意即可写出；
（2）利用作差法即可证明．
【详解】（1）解：∵任意正数与它倒数的和一定大于等于2，
∴݊൅
ͳ݊൒ʹ ݊
ᦙͲ ．
（2）证明：݊൅
ͳ݊െʹ ൌ݊
ʹ݊
൅ 
ͳ݊െ
ʹ݊݊ൌ݊
ʹെʹ݊൅ͳ݊ൌ݊
െͳ ʹ݊
，
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∵݊
െͳ ʹ ൒Ͳ，݊
ᦙͲ
∴݊൅
ͳ݊െʹ ൌ݊
െͳ ʹ݊
൒Ͳ，
∴݊൅
ͳ݊൒ʹ ݊
ᦙͲ ．
6．（2026·福建厦门·一模）先化简，再求值：݉
൅
ͳ݉
൅ʹ ൊ݉
ʹെͳ݉
൅ʹ ，其中݉
ൌ
ʹ ൅ͳ．
【答案】݉
൅ͳ݉
െͳ，ͳ ൅
ʹ
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，二次根式的除法运算，先把小括号内的式子通分化简，再
把除法变成乘法后约分化简，最后代值计算即可得到答案．
【详解】解：݉
൅
ͳ݉
൅ʹ ൊ݉
ʹെͳ݉
൅ʹ
ൌ݉
ʹ ൅ʹ݉
൅ͳ݉
൅ʹ
ൊ݉
ʹ െͳ݉
൅ʹ
ൌ݉
൅ͳ ʹ݉
൅ʹ
ൊ݉
൅ͳ݉
െͳ݉
൅ʹ
ൌ݉
൅ͳ ʹ݉
൅ʹ
ڄ݉
൅ʹ݉
൅ͳ݉
െͳ
ൌ݉
൅ͳ݉
െͳ，
当݉
ൌ
ʹ ൅ͳ 时，
原式ൌ
ʹ൅ͳ൅ͳ
ʹ൅ͳെͳ ൌ
ʹ൅ʹ
ʹ ൌͳ ൅
ʹ．
7．（2026·浙江杭州·二模）某种产品因原料涨价，厂家决定对产品进行提价，现有三种方案：
①第一次提价݉
%，第二次提价݊
%；
②第一次提价݊
%，第二次提价݉
%；
③第一、二次提价均为݉
൅݊
ʹ %．
其中m、n 是不相等的正数，三种方案哪种提价最多？
(1)【特例猜想】：为解决这个问题，小武设产品原价为100 元，݉
ൌͳͲ，݊
ൌʹͲ，计算出方案①②③提价
后商品的价格分别为元、元、元，由此猜想，方案提价最多．
(2)【推理验证】：小林认为，这个问题可以直接运用代数推理说明哪一种方案提价最多．请你帮小林写出
完整的推理过程．
【答案】(1)ͳ͵ʹ；ͳ͵ʹ；ͳ͵ʹ൅ʹͷ；③
(2)解：方案③提价最多，理由如下：
设产品的原价为ܽ
元，
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当݉
ǡ݊
是不相等的正数时，
方案1：提价后的价格为ܽ
ͳ ൅݉
%
ͳ ൅݊
% ，
方案2：提价后的价格为ܽ
ͳ ൅݊
%
ͳ ൅݉
% ，
方案3：提价后的价格为ܽ
ͳ ൅݉
൅݊
ʹ %
ʹ
，
其中：方案1 与方案2 的价格相等；
∵ܽ
ͳ ൅݉
൅݊
ʹ %
ʹ
െܽ
ͳ ൅݉
%
ͳ ൅݊
%
ൌܽͳͲͲͲͲ
ͳͲͲ ൅݉
൅݊
ʹ
ʹ
െͳͲͲ ൅݉
ͳͲͲ ൅݊
ൌܽͳͲͲͲͲ ͳͲͲͲͲ ൅ͳͲͲ݉
൅ͳͲͲ݊൅݉
൅݊
ʹ
Ͷ
െͳͲͲͲͲ െͳͲͲ݉
െͳͲͲ݊െ݉݊
ൌܽͳͲͲͲͲ ڄ݉
ʹ ൅ʹ݉݊
൅݊
ʹ െͶ݉݊
Ͷ
ൌܽ݉
െ݊
ʹ
ͶͲͲͲͲ ᦙͲ，
∴ܽ
ͳ ൅݉
൅݊
ʹ %
ʹ
ᦙܽ
ͳ ൅݉
%
ͳ ൅݊
% ，
∴方案3 提价最多.
【分析】（1）先分别计算三种情况提价后的价格，再得出猜想即可；
（2）通过计算ܽ
ͳ ൅݉
൅݊
ʹ %
ʹ
െܽ
ͳ ൅݉
%
ͳ ൅݊
% ，证明差大于0 即可.
【详解】（1）解：小武设产品原价为100 元，݉
ൌͳͲ%，݊
ൌʹͲ%，
方案1：提价后的价格为ͳͲͲ ͳ ൅ͳͲ%
ͳ ൅ʹͲ% ൌͳ͵ʹ（元），
方案2：提价后的价格为ͳͲͲ ͳ ൅ʹͲ%
ͳ ൅ͳͲ% ൌͳ͵ʹ（元），
方案3：提价后的价格为ͳͲͲ ͳ ൅
ͳͲ൅ʹͲ
ʹ
%
ʹ
ൌͳ͵ʹ൅ʹͷ（元）.
由此猜想，方案③提价最多.
（2）略
8．（2026·浙江·模拟预测）印度数学家婆罗摩笈多曾提出过一类有趣的方程问题：求双曲型二元二次方程
的整数解．例如求方程ݔݕെʹݔെʹݕൌͳ 的正整数解．
设x，y 为正整数，将方程两边同时加上4，得ݔݕെʹݔെʹݕ൅Ͷ ൌͷ．
利用分组分解法因式分解得：ݔെʹ
ݕെʹ ൌͷ．
因为5 是质数，在整数范围内可分解为ͳ ൈͷ 或െͳ ൈെͷ
当ݔെʹ ൌെͳ 且ݕെʹ ൌെͷ，可以解得ݔͳ ൌͳ，ݕͳ ൌെ͵（舍去）
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当ݔെʹ ൌͳ 且ݕെʹ ൌͷ，可以解得ݔͳ ൌ͵，ݕͳ ൌ͹
当ݔെʹ ൌͷ 且ݕെʹ ൌͳ，可以解得ݔͳ ൌ͹，ݕͳ ൌ͵
综上所述该方程的正整数解为：ݔൌ͵
ݕൌ͹ 或者ݔൌ͹
ݕൌ͵ ．
(1)上面的解决过程中，为何将ݔͳ ൌͳ，ݕͳ ൌെ͵ 舍去？请说明理由；
(2)请你仿照上面的方法，求方程ݔݕെ͵ݔെ͵ݕൌ͵ 的整数解．
【答案】(1)
理由：题目要求方程的正整数解，该组解中ݕൌെ͵ 不是正整数，不符合要求，因此舍去；
(2)
ሼݔൌͶ
ݕൌͳͷ，ሼݔൌͷ
ݕൌͻ，ሼݔൌ͸
ݕൌ͹，ሼݔൌ͹
ݕൌ͸，ሼݔൌͻ
ݕൌͷ，ሼݔൌͳͷ
ݕൌͶ ，ሼݔൌʹ
ݕൌെͻ，ሼݔൌͳ
ݕൌെ͵，ሼݔൌͲ
ݕൌെͳ，ሼݔൌെͳ
ݕൌͲ ，ሼݔൌെ͵
ݕൌͳ ，
ሼݔൌെͻ
ݕൌʹ .
【分析】（1）根据x，y 为正整数，进行说明即可；
（2）仿照题干给出的解题思路进行求解即可.
【详解】（1）略
（2）解：对于方程ݔݕെ͵ݔെ͵ݕൌ͵，两边同时加9，得ݔݕെ͵ݔെ͵ݕ൅ͻ ൌͳʹ，
对左边分组分解因式，得ሺݔെ͵ܽሺݕെ͵ܽൌͳʹ
∵ݔǡݕ是整数，所以ݔെ͵ 和ݕെ͵ 都是12 的整数因数，所有情况如下：
当ሼݔെ͵ ൌͳ
ݕെ͵ ൌͳʹ，解得ሼݔൌͶ
ݕൌͳͷ；
当ሼݔെ͵ ൌʹ
ݕെ͵ ൌ͸，解得ሼݔൌͷ
ݕൌͻ；
当ሼݔെ͵ ൌ͵
ݕെ͵ ൌͶ，解得ሼݔൌ͸
ݕൌ͹；
当ሼݔെ͵ ൌͶ
ݕെ͵ ൌ͵，解得ሼݔൌ͹
ݕൌ͸；
当ሼݔെ͵ ൌ͸
ݕെ͵ ൌʹ，解得ሼݔൌͻ
ݕൌͷ；
当ሼݔെ͵ ൌͳʹ
ݕെ͵ ൌͳ ，解得ሼݔൌͳͷ
ݕൌͶ ；
当ሼݔെ͵ ൌെͳ
ݕെ͵ ൌെͳʹ，解得ሼݔൌʹ
ݕൌെͻ；
当ሼݔെ͵ ൌെʹ
ݕെ͵ ൌെ͸，解得ሼݔൌͳ
ݕൌെ͵；
当ሼݔെ͵ ൌെ͵
ݕെ͵ ൌെͶ，解得ሼݔൌͲ
ݕൌെͳ；
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当ሼݔെ͵ ൌെͶ
ݕെ͵ ൌെ͵，解得ሼݔൌെͳ
ݕൌͲ ；
当ሼݔെ͵ ൌെ͸
ݕെ͵ ൌെʹ，解得ሼݔൌെ͵
ݕൌͳ ；
当ሼݔെ͵ ൌെͳʹ
ݕെ͵ ൌെͳ ，解得ሼݔൌെͻ
ݕൌʹ ；
以上即为方程所有的整数解.
9．（2026·浙江宁波·二模）【阅读理解】若四位数ܽ㜸位数满足ܽ
൅㜸ൌ位൅数，则称这样的四位数为“对等四位
数”．例如：四位数2451，因为ʹ ൅Ͷ ൌͷ ൅ͳ，所以四位数2451 是对等四位数．
(1)填空：2026__________对等四位数（填“是”或“不是”）；
(2)已知一个对等四位数的百位数字为9，个位数字为2，请直接写出这个对等四位数；
(3)若ܯൌܽ
㜸位数㜸്
Ͳ 是对等四位数，将ܯ的千位数字与百位数字对调，十位数字与个位数字对调后，得
到一个新的四位数ㄱ，求证：ܯ与ㄱ的和一定能被101 整除．
【答案】(1)不是
(2)1982 或2992
(3)由题意可得ܯൌͳͲͲͲܽ൅ͳͲͲ㜸൅ͳͲ位൅数，ㄱൌͳͲͲͲ㜸൅ͳͲͲܽ൅ͳͲ数൅位，
所以ܯ൅ㄱൌͳͲͲͲܽ൅ͳͲͲ㜸൅ͳͲ位൅数൅ͳͲͲͲ㜸൅ͳͲͲܽ൅ͳͲ数൅位
ൌͳͳͲͲܽ
൅㜸൅ͳͳ 位൅数
因为ܽ
൅㜸ൌ位൅数，
所以ܯ൅ㄱൌͳͳͳͳܽ
൅㜸ൌͳͲͳ ൈͳͳܽ
൅㜸
所以ܯ与ㄱ的和一定能被101 整除
【分析】（1）根据“对等四位数”的定义判断即可；
（2）设这个对等四位数的千位数字为ܽ
，十位数字为位，根据“对等四位数”的定义得出ܽ
൅ͻ ൌ位൅ʹ，
即位ൌܽ
൅͹，再结合ͳ ൑ܽ
൑ͻ，Ͳ ൑位൑ͻ，且ܽ
、位均为整数，求解即可；
（3）表示出ܯ和ㄱ，求出ܯ൅ㄱ的值，再结合ܽ
൅㜸ൌ位൅数，化简即可得证．
【详解】（1）解：∵ʹ ൅Ͳ്
ʹ ൅͸，
∴2026 不是对等四位数；
（2）解：设这个对等四位数的千位数字为ܽ
，十位数字为位，
∵一个对等四位数的百位数字为9，个位数字为2，
∴ܽ൅ͻ ൌ位൅ʹ，
∴位ൌܽ
൅͹，
∵ͳ ൑ܽ
൑ͻ，Ͳ ൑位൑ͻ，且ܽ
、位均为整数，
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∴当ܽ
ൌͳ 时，位ൌͳ ൅͹ ൌͺ，此时这个对等四位数为ͳͻͺʹ，
当ܽ
ൌʹ 时，位ൌʹ ൅͹ ൌͻ，此时这个对等四位数为ʹͻͻʹ，
因此，这个对等四位数为1982 或2992；
（3）略
10．（2026·浙江温州·二模）观察以下等式：
①
͵
ʹ ൈ͵ ൌ
ͻ
ʹ，
͵
ʹ ൅͵ ൌ
ͻ
ʹ
②
Ͷ
͵ ൈͶ ൌ
ͳ͸
͵ ，
Ͷ
͵ ൅Ͷ ൌ
ͳ͸
͵
③
ͷ
Ͷ ൈͷ ൌ
ʹͷ
Ͷ ，
ͷ
Ͷ ൅ͷ ൌ
ʹͷ
Ͷ
④
͸
ͷ ൈ͸ ൌ
͵͸
ͷ ，
͸
ͷ ൅͸ ൌ
͵͸
ͷ
(1)按这些等式的规律，请写出第5 个等式：___________．
(2)猜想第݊
个等式________（用݊
的代数式表示），并证明．
【答案】(1)
͹
͸ ൈ͹ ൌ
Ͷͻ
͸ ， 
͹
͸ ൅͹ ൌ
Ͷͻ
͸
(2)݊
൅ʹ ʹ݊
൅ͳ ൌ݊
൅ʹ݊
൅ͳ ൅݊
൅ʹ ，见解析
【分析】（1）根据已知等式的规律写出即可；
（2）根据已知等式规律写出等式，利用分式的解法进行验证即可．
【详解】（1）解：由题意，根据等式规律可知，⑤
͹
͸ ൈ͹ ൌ
Ͷͻ
͸ ， 
͹
͸ ൅͹ ൌ
Ͷͻ
͸
（2）解：第݊
个等式݊
൅ʹ ʹ݊
൅ͳ ൌ݊
൅ʹ݊
൅ͳ ൅݊
൅ʹ
证明：݊
൅ʹ݊
൅ͳ ൅݊
൅ʹ
ൌ݊
൅ʹ݊
൅ͳ ൅݊
൅ͳ݊
൅ʹ݊
൅ͳ
ൌ݊
൅ʹ ൅݊
൅ͳ݊
൅ʹ݊
൅ͳ
ൌ݊
൅ʹ ʹ݊
൅ͳ
=左边