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专题 03 分式
模块一 考点类型
模块二 知识点一遍过
（一）分式的基本概念
（1）分式：形 如 （ A ， B 是整式，且 B 中含有字母， B ≠ 0 ）的式子叫做分式．
（2）与分式有关的结论
①分式无意义的条件是 B ＝ 0．
②分式有意义的条件是 B ≠ 0．
③分式值为0的条件是 A ＝ 0 且 B ≠ 0．
（二）分式的基本性质
（1）分式的基本性质
分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变.
＝，＝（其中M是不等于零的整式）．
（2）由基本性质可推理出变号法则为： ； .
（三）约分与通分
（1）约分：根据分式的基本性质将分子、分母中的公因式约去，叫做分式的约分．约分的依据是分
式的基本性质．
（2）通分：根据分式的基本性质将几个异分母的分式化为同分母的分式，这种变形叫分式的通分．
通分的关键是确定几个分式的最简公分母．
（四）分式的运算
分式的乘除
①乘法法则：
a c a⋅c
⋅ =
b d b⋅d
②除法法则：
a c a d a⋅d
÷ = ⋅ =
b d b c b⋅c
③分式的乘方：分式的加减
①同分母分式的加减：
；
②异分母分式的加法：
整数负指数幂：
0指数幂：
（五）分式化简求值
（1）仅含有乘除运算：首先观察分子、分母能否分解因式，若能，就要先分解后约分.
（2）含有括号的运算：注意运算顺序和运算律的合理应用.一般先算乘方，再算乘除，最后算加减，
若有括号，先算括号里面的．
失分点警示：分式化简求值问题，要先将分式化简到最简分式或整式的形式，再代入求值.代入数值
时注意要使原分式有意义.有时也需运用到整体代入.
模块三 考点一遍过
考点1：分式的定义
典例1：下列各式中x，x+ y， 2 ， 2xy ， 5 ， ，分式的个数有（ ）
− − a−2
5 15 m2 (x+ y) 2 11
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
3 a+b x+1 1 4ab x2y
【变式1】在代数式 ， ， ，
xy+x2y，
， 中，分式有（ ）
2a 2 4−x 2 π x
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
b−5 x(y+z) x2−2xy+ y2 7
【变式2】下列各式中：3x−4，x2−1， ， ，0， ， ，其中分式共
a+1 6 2x+1 a+c
有 个．
2 5 10 17 26
【变式3】观察下列分式： ,− , ,− , ⋯,按此规律第10个分式是 ．
x x2 x3 x4 x5考点2：分式有意义条件
x−5
典例2：x满足什么条件（ ）， 有意义
3x+5
5
A．x≠5 B．x≠−
3
5 5
C．x≠− 且x≠−5 D．x≠− 或x≠−5
3 3
1
【变式1】函数y=√2x−5+ 中，自变量x的取值范围是（ ）
x−3
5 5 5 5
A．x≠ B．x> 且x≠3 C．x≥ D．x≥ 且x≠3
2 2 2 2
−4
【变式2】（1）当x 时，等式 =−2成立；
x0+1
（2）当 时，等式 成立．
x (x+5) −2=1
x+n a
【变式3】已知分式 （m，n为常数）满足表格中的信息，则 的值为 ．
2x−m b
x的取值 −4 4 a 16
无意
分式的值 0 0.1 b
义
考点3：分式的值
典例3：下列关于分式的判断，正确的是（ ）
x+1
A．当x=2时， 的值为0；
x−2
x−3
B．当x≠3时， 有意义；
x
3
C．无论x为何值， 的值不可能是正整数
x+1
1
D．无论x为何值， 总有意义
x2+1
c a b 1 1 1
【变式1】a，b，c均为正数且a+b+c=5，已知 + + =2，求 + +
a+b b+c a+c a+b b+c a+c
（ ）
6
A．1 B． C．3 D．2
5
ab bc ac abc
【变式2】已知 =2， =3， =1，则 = ．
a+b b+c a+c ab+bc+ac2x−2y
【变式3】已知4x2+ y2+4x−6 y+10=0，则 的值为 ．
x+ y
考点4：分式的基本性质
典例4：下列式子从左到右变形，正确的是（ ）
A． y+1 (y+1) 2 B．x+2 x
= =
y−1 (y−1)(y+1) y+2 y
C．4x2 2x D．x x2
= =
2xy y y y2
3ab
【变式1】若分式 中的a、b的值同时扩大到原来的10倍，则分式的值（ ）
a+b
A．是原来的20倍 B．是原来的10倍
C．是原来的0.1倍 D．不变
0.02x+0.5 y
【变式2】不改变分式的值，将分式 中的分子、分母的系数化为整数，其结果为
x+0.004 y
．
【变式3】在括号里填上适当的整式：
3c 15ac
（1） = ； ．
2ab ()
3xy ()
（2） = ； ．
x2−2x x−2
3ab 6a2b
（3） = ． ．
a+b ()
考点5：约分与最简分式
典例5：下列约分正确的是（ ）
A．x6 B．x+ y C． x+ y 1 D．2x y2 1
=x3 =0 = =
x2 x+ y x2+xy x 4x2y 2
【变式1】下列分式中是最简分式的是（ ）
A． x2+xy B．x2−4 C． 5 D．x2+6x+9
5x+xy x+2 x2+1 x2−9
a−3 x−y m 2
【变式2】下列4个分式中：① ；② ；③ ；④ ，最简分式有 个．
a2+3 x2−y2 2m2n m+1
【变式3】化简： 18xy ， x2−4
= =
27x2y2 x2+5x+6考点6：通分与最简公分母
a−1 1 a−1 1
典例6：把 与 通分后， 的分母为(1−a)(a+1) 2，则 的分子变为
a2+2a+1 1−a2 a2+2a+1 1−a2
（）
A．1−a B．1＋a C．−1−a D．−1+a
【变式1】下列说法中，正确的是（ ）
2 1
A． 与 的最简公分母是5a2b
3ab 2a2
1 1
B． 与 的最简公分母是(a+b) 2
a+b2 a2+b
a+1 b+1
C． 与 的最简公分母是(a−b)(a+b)
(a−b)(a+b) (b−a)(b+a)
1 1
D． 与 的最简公分母是(x2−2x+1)⋅(x2−1)
x2−2x+1 x2−1
3 1 x
【变式2】分式 ， ， 的最简公分母是 ．
2x−2 x2+x x2−1
2x+7 M N
【变式3】对于任意的x值都有 = + ，则M，N值为 ．
x2+x−2 x+2 x−1
考点7：分式的运算——加减乘除
典例7：计算：
(1)a2+2a+1 a2−1 ；
÷
2a+6 3a+a2
3 6x
(2) − ；
x−3 x2−9
(3)(a−4 ) a−1 ．
−a+2 ÷
a+2 a2−4
【变式1】计算下列各题
(1) 2x−6 x2−4
⋅
x2−4x+4 x−3
3 2x 1
(2) − −
x−1 1−x2 x+1
(3) a2−3a a−3 2a+4
+ −
2a2+2a a2+2a+1 a+2(4)( 5 ) x−3
−x−2 +
x−2 3x2−6x
【变式2】计算：
x2 y2
(1) + ；
x−y y−x
x2−5 x 1+x
(2) − − ；
x−2 x−2 2−x
(3)2a+2 a2−1 ．
÷(a+1)−
a−1 a2−2a+1
【变式3】计算：
a+b a−b
(1) −
ab ab
(2)( 5 ) 3−a
−a−2 ÷
a−2 4−2a
(3)( 1 ) x−1
1− ÷
x2 x
(4)3x+2 5(1−x)
+
x−1 (1−x) 2
【变式4】计算
(1)−m2n −6xy；
⋅
3x 5mn2
(2)x−2 x2−9 ；
⋅
x+3 x2−4x+4
(3) b2 a a2 ；
÷ ⋅
a+b a2−b2 a−b
2x 3x−2
(4) − ；
x−2 x−2
2 8
(5) − ；
x−2 x2−4
(6)( x2 ) 4x2−4x+1
−x+1 ÷
x−1 1−x【变式5】化简：
(1)a+2 ( 2)；
÷ 1+
a2 a
(2)( a+3) a2−1．
a−1+ ÷
a+2 a+2
【变式6】计算：
(1) xy x2 ；
(xy−x2)⋅ ÷
x2−2xy+ y2 x−y
(2) ( 1 ) 2 x2−x+1 ．
1− x− ÷
1−x x2−2x+1
【变式7】计算：
(1)(−cd3 ) −3 2a (cd) 2
÷ ⋅
2a2b d6 2a
(2) 2 ( 2 1 )
÷ +
x−1 x2−1 x+1
(3)a2−6ab+9b2 ( 5b2 ) 1
÷ a+2b+ +
a2−2ab 2b−a a
(4)(a+b) 2 a−b a2 a
⋅ − ÷
a−b a+b a2−b2 4b
【变式8】计算
(1)a−2 a2−4
÷
a+3 a2+6a+9
(2)
a2−1 a2−a
÷
a2+2a+1 a+1
(3)a−1 a2−1
÷
a a2+2a
(4) x2−2xy+ y2 x−y．
(xy−x2)÷
⋅
xy x2
【变式9】计算(1)4ac 9b2
⋅
3b 2ac3
(2)a2−4 12ab
⋅
8a2b 3a−6
(3)
16−a2
(a−4)⋅
a2−8a+16
2m+4 2m−4
(4) ⋅(m2−4) ⋅ ．
m2−4m+4 m4−16
【变式10】计算：
(1)x−2 x2−6x+9
·
3−x x2−4
3x−6 x+2
(2) ÷
x2−4 x2+4x+4
(3)x2−2x+1 x−1
÷
x2−1 x2+x
(4) a2−1 a2−a a2 ．
÷ ÷
a2+2a+1 a+1 a+1
考点8：分式的运算——0/负指数幂
典例8：下列计算正确的是（ ）
A． B．(1) 0
a−1÷a−3=a2 =0
3
C．(1) −2 1 D．
= a3+a3=a6
2 4
【变式1】若 ， ， ( 1) −2， (1) 0，则 ， ， ， 的大小关系为（ ）
a=−0.32 b=−32 c= − d= a b c d
3 3
A．a
