文档文本内容
2025-2026 学年山西省朔州市部分学校八年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10 个小题，每小题3 分，共30 分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求，请把正确答案的代号填在下表中）
1．（3 分）下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（3 分）下列运算正确的是（ ）
A．2x•xy2＝2xy2
B．（﹣3x）2＝﹣9x2
C．6x3÷2x＝3x2
D．（xy2）2＝x3y4
3．（3 分）如图，将△ABC 纸片折叠，使点B，C 重合，折痕DE 与AB，BC 分别交于点E，D，连接
DE，AD，CE．下列线段中，是△BCE 的高的是（ ）
A．线段AC
B．线段AD
C．线段ED
D．线段CD
4．（3 分）下列关于甲、乙两名同学自左向右的两个变形，说法正确的是（ ）
甲：4x3（x2+y）＝4x5+4x3y．
乙：4x2﹣8x+4＝4x（x﹣2）+4．
A．甲是整式的乘法，乙是因式分解
B．甲是因式分解，乙是整式的乘法
C．甲、乙均为因式分解
D．甲、乙均不是因式分解
5．（3 分）几何中有著名的“蝴蝶定理”，小华受此启发画了两个如图所示的共直角顶点的三角形，组
成了类似于“ 蝴蝶翅膀” 的图形．若∠BAC ＝∠DAE ＝90° ，AB ＝AD ，AC ＝AE ，则证明
△ADE≌△ABC 运用的三角形全等的判定方法是（ ）
2
A．HL
B．SAS
C．AAS
D．ASA
6．（3 分）北京时间2025 年10 月7 日17 时45 分，瑞典皇家科学院宣布，将2025 年诺贝尔物理学奖授
予约翰•克拉克（JohnClarke）、米歇尔•H•德沃雷特（MichelH．Devoret）、约翰•M•马蒂尼斯
（JohnM．Martinis），以表彰他们“发现电路中宏观量子力学隧穿效应和能量量子化”．已知半导体
中的电子在10nm 以下会出现量子隧穿效应，纳米是一种长度单位，1nm＝10﹣9m，用科学记数法表示
10nm 为（ ）
A．1×10﹣8m
B．10×10﹣9m
C．0.1×10﹣10m
D．1×10﹣10m
7．（3 分）如图1，这是我们生活中常见的晾衣架，其形状可以近似地看成如图2 所示的图形．若△ABC
是等腰三角形，∠BAC＝116°，则∠DBC 的度数为（ ）
A．32°
B．116°
C．138°
D．148°
8．（3 分）如图，现有甲、乙、丙三种不同的长方形纸片，小美要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方
形，先取1 张甲纸片，再取16 张乙纸片，则需取丙纸片的张数为（ ）
3
A．4
B．8
C．32
D．64
9．（3 分）若关于x 的分式方程
x
x−1 +2=
m
1−x
的解为正数，则m 的取值范围是（ ）
A．m＞2
B．m≤2 且m≠﹣1
C．m＜2 且m≠﹣1
D．m≥2 且m≠﹣1
10．（3 分）如图，已知△ABC，P 为△ABC 外一点（点P 不在直线AB，BC，AC 上），且在BC 的上方，
连接PB，PC．若∠PBA＝α，∠PCA＝β，∠BAC＝γ，则∠BPC 的度数不可能是（ ）
A．β+γ﹣α
B．α+γ﹣β
C．γ﹣α﹣β
D．β﹣α﹣γ
二、填空题（本大题共5 个小题，每小题3 分，共15 分）
11．（3 分）分解因式：2a2﹣6a＝ ．
12．（3 分）写出命题“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题： ．
13．（3 分）如图，∠MAN＝30°，C，D 是射线AM 上的点，B，E 是射线AN 上的点，且AC＝BC＝CD，
DE∥BC．若BD＝2，则DE 的长为 ．
14．（3 分）甜菜种植不仅丰富了我省朔州市朔城区某镇的蔬菜种植结构，也给附近村民创造了家门口的
增收机会．如图，长方形ABCD 为某村的一块甜菜种植基地，其中AB＝（a+4b）m，AD＝（3a﹣2b）
m．若该甜菜种植基地扩大为长方形AEFG，其中点B 在AE 上，点D 在AG 上，BE＝bm，DG＝am，
则长方形AEFG 的面积比长方形ABCD 的面积增加了 m2．
4
15．（3 分）如图，AP 为△ABC 的角平分线，∠C＝90°，AC
AB = 5
13
，BC＝6，D 为AB 上一动点，连接
PD，则PD 的最小值为 ．
三、解答题（本大题共8 个小题，共75 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（9 分）（1）计算：(−2)
−2−( 1
2 )
0
+|−1
2 |．
（2）分解因式：x2（2x﹣1）﹣4（2x﹣1）．
17．（9 分）如图，点C 在线段AD 上，AC 平分∠BAE，∠B＝∠D，BC＝DE．
（1）求证：△ABC≌△ADE．
（2）若∠BAE＝120°，AB＝5，CE＝2，求CD 的长．
18．（9 分）已知a+b＝5，ab＝3，求下列各式的值．
（1）2a+b÷2．
（2）a2+b2．
（3）2
a + 2
b
．
19．（9 分）高铁作为中国现代化交通体系的骄傲，已经成为人们出行的重要方式之一．某地去北京南站
原来只有动车，动车路程为810km．高铁开通后，路程缩短了90km，且高铁的平均速度是动车的平均
速度的4
3
，时间缩短了1.5h．求高铁的平均速度．
5
20．（9 分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，△ABC 的三个顶点的坐标分别为A（2，3），B（3，
2），C（1，1）．
（1）在图中画出△ABC 关于x 轴对称的图形△A1B1C1．（点A，B，C 的对应点分别为点A1，B1，
C1）
（2）若点A 关于一条平行于y 轴的直线的对称点A′在y 轴上，在图中画出点B 关于这条直线的对称
点B′，连接B′C，交y 轴于点D，并求OD 的长．
（3）在（1）的条件下，请直接写出△A1B1C1重心的坐标．
21．（9 分）阅读与思考
下面是小宣同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务．
大数值式子大小的比较问题
有些大数值式子大小的比较问题可以通过用字母代替数转化成整式或分式的简化运
算，再用作差法比较大小．
例1：若x＝6788×6787，y＝6789×6786，试比较x，y 的大小．
解：设6788＝a，则x＝a（a﹣1）＝a2﹣a，y＝（a+1）（a﹣2）＝a2﹣a﹣2．
∵x﹣y＝（a2﹣a）﹣（a2﹣a﹣2）＝2＞0，
∴x＞y．
例2：若x = 2026
6789，y = 2025
6785，试比较x，y 的大小．
解：设6789＝a，则x = 2026
a
，y = 2025
a−4 ．
6
∵x−y = 2026
a
−2025
a−4 =⋯．
任务：
（1）请将例2 的解题过程补充完整．
（2）若x =−
2025
2026×2027
，y =−
2026
2027×2028
，请用小宣同学数学笔记中的方法，比较x，y 的大小．
22．（9 分）综合与实践
问题背景：若两个分式P 与Q，满足P﹣Q＝k，k 为整数且k≠0，则称Q 为P 的“差整分式”，k 称为
“差整值”．例如：分式P= 2 x +2
x +2
，Q =
x
x +2
，P﹣Q＝1，则Q 为P 的“差整分式”，“差整值”k
＝1．
探究1：
（1）已知三个分式A = x +2
x−1
，B = x−4
x−1
，C = 1−4 x
x−1
，则下列结论中，正确的是 （填序
号）．
①A 是B 的“差整分式”；②A 是C 的“差整分式”；③B 是C 的“差整分式”．
探究2：
（2）已知分式M = x−2
2 x−3，N =
S
4 x
2−9
（S 是关于x 的整式），若M 为N 的“差整分式”，且“差
整值”k＝4，求整式S．
探究3：
（3）已知分式M = ax−2
x−1 ，N =
4 x +b
x
2−2 x +1
（a，b 为整数），若M 为N 的“差整分式”，请直接写
出“差整值”k 的值．
23．（12 分）综合与探究
【模型感知】
（1）如图1，△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，其中BC 与DE 是斜边，连接BD，CE，求证：
BD＝CE．
【模型构建】
（2）如图2，△ABC 是等腰直角三角形，其中BC 是斜边，点D 在AB 的垂直平分线上，连接BD，
AD，且∠ADB＝135°．△ADE 是斜边为DE 的等腰直角三角形．
①请在图2 中作斜边为DE 的等腰直角三角形ADE．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法；
作出一种情况即可）
7
②设直线DE 与直线AC 交于点P，请直接写出∠CPE 的度数．
【模型拓展】
（3）如图3，△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，其中BC 与AE 是斜边，延长BD 至点F，使得
DF＝BD，连接CF，CE，EF，若CE＝6，求△CEF 的面积．
8
2025-2026 学年山西省朔州市部分学校八年级（上）期末数学试卷
选择题、填空题答案速查
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
C
C
D
B
A
D
B
C
D
11.2a（a﹣3） 12.两个锐角互余的三角形是直角三角形 13.4
14.（a2+8ab﹣2b2） 15.5
3
选择题、填空题解法提示
10．解：如图，延长CA 交PB 于点D，
∵∠BDA 是△PCD 的外角，
∴∠BDA＝∠BPC+β，
∵∠BAC 是△ABD 的外角，∴γ＝α+∠BDA＝α+∠BPC+β，
∴∠BPC＝γ﹣α﹣β；
如图，∠BPC+∠PDB+α＝∠ADC+β+γ，
∵∠PDB＝∠ADC，
∴∠BPC+α＝β+γ，
∴∠BPC＝β+γ﹣α；
如图，α+γ+∠ADB＝∠BPC+β+∠PDC，
∵∠ADB＝∠PDC，
∴α+γ＝∠BPC+β，
∴∠BPC＝α+γ﹣β；
9
综上，∠BPC 的度数可能是β+γ﹣α，α+γ﹣β 或γ﹣α﹣β，
结合选项可知，A、B、C 选项均不符合题意；
故选：D．
15．解：如图所示，过点P 作PE⊥AB 于点E，
∵AP 为△ABC 的角平分线，∠C＝90°，PE⊥AB，
∴PC＝PE（角平分线的性质），
∴S△ACP
S△ABP
=
1
2 AC ⋅PC
1
2 AB⋅PE
= AC
AB = 5
13
，
∵S△ACP
S△ABP
=
1
2 PC ⋅AC
1
2 PB⋅AC
= PC
PB
，
∴PC
PB = 5
13
，
设PC＝5k，PB＝13k，
∵PC+PB＝BC，
∴5k+13k＝6，
整理得，18k＝6，
解得k = 1
3
，
∴PE = PC = 5
3
，
∵D 为AB 上一动点，
∴当PD⊥AB 时，PD 有最小值，此时点D 与点E 重合，
综上所述，PD 的最小值为5
3
．
10
故答案为：5
3
．
解答题参考答案
16．解：（1）原式= 1
4 −1+ 1
2 =−1
4
；
（2）原式＝（2x﹣1）（x2﹣4）＝（2x﹣1）（x+2）（x﹣2）．
17．（1）证明：∵AC 平分∠BAE，
∴∠BAC＝∠DAE，
在△ABC 和△ADE 中，
{
∠BAC =∠DAE
∠B =∠D
BC = DE
，
∴△ABC≌△ADE（AAS）；
（2）解：∵AC 平分∠BAE，∠BAE＝120°，
∴∠CAE = 1
2 ∠BAE = 1
2 ×120° =60°，
由（1）得，△ABC≌△ADE，且AB＝5，CE＝2，
∴AC＝AE，AD＝AB＝5，
∴△ACE 是等边三角形，
∴AC＝CE＝2，
∴CD＝AD﹣AC＝5﹣2＝3．
18．解：（1）原式＝25÷2
＝32÷2
＝16；
（2）原式＝a2+b2+2ab﹣2ab
＝（a+b）2﹣2ab
＝52﹣2×3
＝25﹣6
＝19；
（3）原式= 2b+2a
ab
= 2(b+a)
ab
11
= 2×5
3
= 10
3
．
19．解：设动车的平均速度为xkm/h，则高铁的平均速度为4
3
xkm/h，
根据题意列分式方程得，
810
x = 810−90
4
3 x
+1.5，
整理得，1.5x＝270，
解得x＝180，
经检验，x＝180 是原方程的解，且符合题意，
则4
3 x = 4
3 ×180=240，
答：高铁的平均速度为240km/h．
20．解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求：
（2）∵点A 关于一条平行于y 轴的直线的对称点A′在y 轴上，A（2，3），
∴这条平行于y 轴的直线为直线x = 0+2
2
=1，
∵B（3，2），
∴B′（﹣1，2），
∴如图所示，点B′即为所求；
作CN⊥y 轴于点N，B′M⊥y 轴于点M，
则∠CND＝∠B′MD＝90°，
∵C（1，1），B′（﹣1，2），
∴N（0，1），M（0，2），
12
∴CN＝1，MN＝1，ON＝1，B′M＝1，
∴B′M＝CN，
又∵∠B′DM＝∠CDN，
∴△B′DM≌△CDN（AAS），
∴DM＝DN，
∴DN = 1
2 MN = 1
2
，
∴OD =ON + DN =1+ 1
2 = 3
2
；
（3）根据轴对称的性质得，B1（3，﹣2），C1（1，﹣1），A1（2，﹣3），
如图，取B1C1的中点F1，A1C1的中点E1，连接A1F1，B1E1、
则F1(2，−3
2 )，E1( 3
2 ，−2)，
∴中线B1E1所在直线为直线y＝﹣2，中线A1F1所在直线为直线x＝2，
∵直线y＝﹣2 与直线x＝2 的交点坐标为（2，﹣2），
∴△A1B1C1重心的坐标为（2，﹣2）．
13
21．解：（1）设6789＝a，则x = 2026
a
，y = 2025
a−4
．
∵x−y = 2026
a
−2025
a−4 = 2026(a−4)
a(a−4)
−2025a
a(a−4) = a−8104
a(a−4)，
∴x﹣y＜0，
∴x＜y；
（2）设2027＝a，
则x =−
a−2
a(a−1)，y =−
a−1
a(a+1)，
∵x−y =−
a−2
a(a−1) −(−
a−1
a(a+1) )
=−(a−2)(a+1)
a(a+1)(a−1) +
(a−1)
2
a(a+1)(a−1)
= −a
2+a+2+a
2−2a+1
a(a+1)(a−1)
=
−a+3
a(a+1)(a−1)，
又∵﹣a+3＜0，a（a+1）（a﹣1）＞0，
∴x﹣y＜0，
∴x＜y．
22．解：（1）B−A = x−4
x−1 −x +2
x−1 = −6
x−1
，结果含分母，不是整数，故①错误；
C −A = 1−4 x
x−1 −x +2
x−1 = −5 x−1
x−1
，结果含分母，不是整数，故②错误；
C −B = 1−4 x
x−1 −x−4
x−1 =−5，结果为整数且非0，故③正确；
故答案为：③；
（2）由条件可知N﹣M＝4，即
S
4 x
2−9
−x−2
2 x−3 = 4，
方程两边同时乘以（2x+3）（2x﹣3）得：S﹣（x﹣2）（2x+3）＝4（2x+3）（2x﹣3），
展开得：S﹣2x2+x+6＝16x2﹣36，
故整式S＝18x2﹣x﹣42；
（3）根据题意 4 x +b
( x−1)
2 −ax−2
x−1 =k，
14
通分合并分子得：4x+b﹣（ax﹣2）（x﹣1）＝k（x﹣1）2，
展开左边：﹣ax2+（a+6）x+（b﹣2），
展开右边：kx2﹣2kx+k，
比较系数得方程组：﹣a＝k，a+6＝﹣2k，
解得：k＝﹣6．
答：k＝﹣6．
23．（1）证明：∵△ABC 是等腰直角三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝90°，
∵△ADE 是等腰直角三角形，
∴AD＝AE，∠DAE＝90°，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
即∠BAD＝∠CAE，
在△ABD 与△ACE 中，
{
AB = AC
∠BAD =∠CAE
AD = AE
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE；
（2）解：①当点E 在AD 右侧，如图所示，等腰直角三角形ADE 即为所求：
当点E 在AD 左侧，如图所示，等腰直角三角形ADE 即为所求：
②当点E 在AD 右侧，如图，
∵点D 在AB 的垂直平分线上，
15
∴AD＝BD，
又∵∠ADB＝135°，
∴∠ABD = 180°−∠ADB
2
= 180°−135°
2
=22.5°，
∵斜边为DE 的等腰直角三角形ADE，
∴∠ADE＝45°，
∴∠ADB+∠ADE＝180°，
∴B，D，E 三点共线，
∵∠BAC＝90°，
∴∠APB＝90°﹣∠ABD＝90°﹣22.5°＝67.5°，
∴∠CPE＝∠APB＝67.5°；
当点E 在AD 左侧，如图，
∵点D 在AB 的垂直平分线上，
∴AD＝BD，
又∵∠ADB＝135°，
∴∠BAD = 180°−∠ADB
2
= 180°−135°
2
=22.5°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAP＝90°，
∴∠DAP＝∠BAP+∠BAD＝90°+22.5＝112.5°，
∵斜边为DE 的等腰直角三角形ADE，
∴∠ADE＝45°，
∴∠CPE＝180°﹣∠DAP﹣∠ADE＝180°﹣112.5°﹣45°＝22.5°；
综上，∠CPE 的度数为22.5°或67.5°；
（3）如图，延长AD 至点G，使得GD＝AD，连接FG、EG，
16
在△GDF 与△ADB 中，
{
DF = BD
∠GDF =∠ADB
GD = AD
，
∴△GDF≌△ADB（SAS），
∴FG＝AB，∠FGD＝∠BAD，
∵△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，其中BC 与AE 是斜边，
∴AB＝AC，∠BAC＝∠ADE＝90°，∠DAE＝45°，
∴FG＝AC，DE⊥AG，∠BAD+∠CAE＝90°﹣45°＝45°，
∴DE 是AG 的垂直平分线，
∴AE＝EG，
∴∠DGE＝∠DAE＝45°，
∴∠AEG＝90°，∠FGD+∠FGE＝45°，
∴∠FGD+∠FGE＝∠BAD+∠CAE＝45°，
∴∠FGE＝∠CAE，
∴△FGE≌△CAE（SAS），
∴EF＝CE＝6，∠FEG＝∠CEA，
∴∠FEG+∠FEA＝∠CEA+∠FEA，即∠AEG＝∠CEF，
∴∠CEF＝90°，
∴S△CEF = 1
2 CE⋅EF = 1
2 ×6×6=18．
