文档内容
八年级第二学期期末数学试卷
一、选择题
1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．我市教育系统为了解本地区15000名初中生的体重情况，从中随机抽取了500名初中生
的体重进行统计．以下说法正确的是（ ）
A．15000名初中生是总体
B．500名初中生是总体的一个样本
C．每名初中生的体重是个体
D．500名初中生是样本容量
3．矩形具有而一般的平行四边形不一定具有的特征（ ）
A．对角相等 B．对角线相等
C．对角线互相平分 D．对边相等
4．在有理式： ； ； ； 中，分式有（ ）个．
① ② ③ ④
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．有种传染病蔓延极快，据统计，在某城市人群密集区，每人一天能传染若干人，现有一
人患有此病，开始两天共有225人患上此病，平均每天一人传染了多少人？（ ）
A．14 B．15 C．16 D．25
6．如图，正方形ABCD的边长为3，E、F是对角线BD上的两个动点，且EF＝ ，连
接AE、AF，则AE+AF的最小值为（ ）A．2 B．3 C． D．
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
7．如果代数式 有意义，那么x的取值范围是 ．
8．当a＝ 时，最简二次根式 与 是同类二次根式．
9．已知y＝ ，当x＜0时，y随x的增大而减小，那么k的取值范围是 ．
10．一次数学测试后，某班50名学生的成绩被分为5组，第1～4组的频数分别为12、
10、15、8，则第5组的频率是 ．
11．质地均匀的骰子的6个面上分别刻有1﹣6的点数，抛掷这枚骰子，把这些事件的序号
按发生的可能性从小到大的顺序排列 ．
（1）向上一面的点数大于0
（2）向上一面的点数是7
（3）向上一面的点数是3的倍数
（4）向上一面的点数是偶数
12．设函数y＝ 与y＝x﹣1的图象的交点坐标为（a，b），则 的值为 ．
13．关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+6x+k2﹣k＝0的一个根是0，则k的值是 ．
14．如图所示，矩形ABCD的顶点D在反比例函数 （x＜0）的图象上，顶点B，C在
x轴上，对角线AC的延长线交y轴于点E，连接BE，△BCE的面积是6，则k＝
．
15．如图，A点的坐标为（﹣1，5），B点的坐标为（3，3），线段AB绕着某点旋转一个
角度与线段CD重合（C、D均为格点），若点A的对应点是点C，且C点的坐标为
（5，3），则这个旋转中心的坐标是 ．16．如图，在△ABC中，AC＝ ，∠CAB＝30°，D为AB上的动点，连接 CD，以
AD、CD为边作平行四边形ADCE，则DE长的最小值为 ．
三、解答题（本大题共10小题，共102分）
17．计算（或解方程）
（1）
（2）
（3）2x2﹣4x＝1（配方法）
18．先化简，再求值：（1﹣ ）÷ ，其中x＝5+ ．
19．为阻断新冠疫情向校园蔓延，确保师生生命安全和身体健康，教育部通知，2020年春
季学期延期开学，利用网上平台，“停课不停学”，我市某校对初二全体学生数学线上
学习情况进行调查，随机抽取部分学生的3月月诊断性测试成绩，按由高到低分为A，
B，C，D四个等级，根据调查的数据绘制成如下的条形统计图和扇形统计图，请根据图
中的信息，解答下列问题：
（1）该校共抽查了 名同学的数学测试成绩，扇形统计图中A等级所占的百分比
a＝ ；
（2）补全条形统计图；
（3）若该校初二共有1180名同学，请估计该校初二学生数学测试成绩优秀（测试成绩
B级以上为优秀，含B级）约有多少名？20．某中学组织学生到离学校15km的东山游玩，先遣队与大队同时出发，先遣队的速度
是大队的速度的1.2倍，结果先遣队比大队早到0.5h，先遣队的速度是多少？大队的速
度是多少？
21．如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，分别过点C、D作CF∥BD，
DF∥AC，连接BF交AC于点E．
（1）求证：△FCE≌△BOE；
（2）当∠ADC＝90°时，判断四边形OCFD的形状？并说明理由．
22．已知关于x的方程x2﹣2（k﹣3）x+k2﹣4k﹣1＝0．
（1）若这个方程有实数根，求k的取值范围；
（2）若以方程x2﹣2（k﹣3）x+k2﹣4k﹣1＝0的两个根为横坐标、纵坐标的点恰在反比
例函数 的图象上，求满足条件的m的最小值．
23．如图，一次函数y＝ x+b与反比例函数y＝ 的图象交于点A（4，a）、B（﹣8，﹣
2）．
（1）求k、a、b的值；
（2）求关于x的不等式 x+b＞ 的解集；
（3）若点P在y轴上，点Q在反比例函数y＝ 的图象上，且A、B、P、Q恰好是一个
平行四边形的四个顶点，试求点P的坐标．24．在平面直角坐标系中，四边形AOBC是矩形，点O（0，0），点A（6，0），点B
（0，8）．以点A为中心，顺时针旋转矩形AOBC，得到矩形ADEF，点O，B，C的
对应点分别为D，E，F，记旋转角为 （0°＜ ＜90°）．
（Ⅰ）如图 ，当 ＝30°时，求点Dα的坐标；α
（Ⅱ）如图①，当点α E落在AC的延长线上时，求点D的坐标；
（Ⅲ）当点②D落在线段OC上时，求点E的坐标（直接写出结果即可）．
25．在平面直角坐标系中，过点P（0，a）作直线l分别交y＝ （m＞0、x＞0）、y＝
（n＜0、x＜0）于点M、N，
（1）若m＝2，MN∥x轴，S ＝6，求n的值；
△MON
（2）若a＝5，PM＝PN，点M的横坐标为4，求m﹣n的值；
（3）如图，若m＝4，n＝﹣6，点A（d，0）为x轴的负半轴上一点，B为x轴上点A
右侧一点，AB＝4，以AB为一边向上作正方形ABCD，若正方形ABCD与y＝ （m＞
0、x＞0）、y＝ （n＜0、x＜0）都有交点，求d的范围．26．如图，四边形ABCO是平行四边形且点C（﹣4，0），将平行四边形ABCO绕点A逆
时针旋转得到平行四边形ADEF，AD经过点O，点F恰好落在x轴的正半轴上，若点
A，D在反比例函数y＝ 的图象上，过A作AH⊥x轴，交EF于点H．
（1）证明：△AOF是等边三角形，并求k的值；
（2）在x轴上找点G，使△ACG是等腰三角形，求出G的坐标；
（3）设P（x ，a），Q（x ，b）（x ＞x ＞0），M（m，y ），N（n，y ）是双曲线y
1 2 2 1 1 2
＝ 上的四点，m＝ ，n＝ ，试判断y，y 的大小，说明理由．
1 2参考答案
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
解：A、是轴对称图形，不是中心对称的图形，故本选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，也不是中心对称的图形，故本选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称的图形，故本选项不符合题意；
D、是轴对称图形，也是中心对称的图形，故本选项符合题意．
故选：D．
2．我市教育系统为了解本地区15000名初中生的体重情况，从中随机抽取了500名初中生
的体重进行统计．以下说法正确的是（ ）
A．15000名初中生是总体
B．500名初中生是总体的一个样本
C．每名初中生的体重是个体
D．500名初中生是样本容量
【分析】根据 总体：我们把所要考察的对象的全体叫做总体；
个体：把组①成总体的每一个考察对象叫做个体；
②样本：从总体中取出的一部分个体叫做这个总体的一个样本；
③样本容量：一个样本包括的个体数量叫做样本容量分别进行分析即可．
④解：A、15000名初中生是总体，说法错误，应为15000名初中生的体重是总体，故此
选项不合题意；
B、500名初中生是总体的一个样本，说法错误，应为 500名初中生的体重是总体的一
个样本，故此选项不合题意；
C、每名初中生的体重是个体，说法正确，故此选项符合题意；
D、500名初中生是样本容量，说法错误，应为500是样本容量，故此选项不合题意．
故选：C．3．矩形具有而一般的平行四边形不一定具有的特征（ ）
A．对角相等 B．对角线相等
C．对角线互相平分 D．对边相等
【分析】举出矩形和平行四边形的所有性质，找出矩形具有而平行四边形不具有的性质
即可．
解：矩形的性质有： 矩形的对边相等且平行， 矩形的对角相等，且都是直角，
矩形的对角线互相平分①、相等； ② ③
平行四边形的性质有： 平行四边形的对边分别相等且平行， 平行四边形的对角分
别相等， 平行四边形的①对角线互相平分； ②
∴矩形具③有而平行四边形不一定具有的性质是对角线相等，
故选：B．
4．在有理式： ； ； ； 中，分式有（ ）个．
① ② ③ ④
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含
有字母则不是分式．
解： 与 是分式，
① ③
与 是整式，
② ④
∴分式有2个．
故选：B．
5．有种传染病蔓延极快，据统计，在某城市人群密集区，每人一天能传染若干人，现有一
人患有此病，开始两天共有225人患上此病，平均每天一人传染了多少人？（ ）
A．14 B．15 C．16 D．25
【分析】根据第一天患病的人数为1+1×传播的人数，第二天患病的人数为第一天患病
的人数×传播的人数，再根据等量关系：第一天患病的人数+第二天患病的人数＝225，
列出方程求解即可．
解：设平均每天一人传染了x人，
根据题意得：1+x+x（1+x）＝225，
（1+x）2＝225，解得：x＝14，x＝﹣16（舍去）．
1 2
答：平均每天一人传染了14人．
故选：A．
6．如图，正方形ABCD的边长为3，E、F是对角线BD上的两个动点，且EF＝ ，连
接AE、AF，则AE+AF的最小值为（ ）
A．2 B．3 C． D．
【分析】如图作AH∥BD，使得AH＝EF＝ ，连接CH交BD于F，则AE+AF的值
最小．
解：如图作AH∥BD，使得AH＝EF＝ ，连接CH交BD于F，则AE+AF的值最小．
∵AH＝EF，AH∥EF，
∴四边形EFHA是平行四边形，
∴EA＝FH，
∵FA＝FC，
∴AE+AF＝FH+CF＝CH，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，∵AH∥DB，
∴AC⊥AH，∴∠CAH＝90°，
在Rt△CAH中，CH＝ ＝2 ，
∴AE+AF的最小值2 ，
故选：A．
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
7．如果代数式 有意义，那么x的取值范围是 x ≠ 1 ．
【分析】先根据分式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
解：∵代数式 有意义，
∴x﹣1≠0，解得x≠1．
故答案为：x≠1．
8．当a＝ ﹣ 4 时，最简二次根式 与 是同类二次根式．
【分析】根据同类二次根式的被开方数相同可得出关于a的方程，再由被开方数为非负
数可得出a的值．
解：∵最简二次根式 与 是同类二次根式，
∴a2﹣3＝1﹣3a，a2﹣3≥0，1﹣3a≥0，
解得：a＝﹣4．
故答案为：﹣4．
9．已知y＝ ，当x＜0时，y随x的增大而减小，那么k的取值范围是 k ＞ ．
【分析】利用反比例函数的性质，y随x的增大而减小，2k﹣3＞0，求解不等式即可．
解：∵y＝ ，当x＜0时，y随x的增大而减小，
∴2k﹣3＞0，
∴k＞ ．
故答案为：k＞ ．
10．一次数学测试后，某班50名学生的成绩被分为5组，第1～4组的频数分别为12、10、15、8，则第5组的频率是 0. 1 ．
【分析】根据第1～4组的频数，求出第5组的频数，即可确定出其频率．
解：根据题意得：50﹣（12+10+15+8）＝50﹣45＝5，
则第5组的频率为5÷50＝0.1，
故答案为：0.1．
11．质地均匀的骰子的6个面上分别刻有1﹣6的点数，抛掷这枚骰子，把这些事件的序号
按发生的可能性从小到大的顺序排列 （ 2 ）（ 3 ）（ 4 ）（ 1 ） ．
（1）向上一面的点数大于0
（2）向上一面的点数是7
（3）向上一面的点数是3的倍数
（4）向上一面的点数是偶数
【分析】根据概率公式先求出各自的概率，再进行比较即可．
解：（1）向上一面的点数大于0的可能性为1；
（2）向上一面的点数是7的可能性为0；
（3）向上一面的点数是3的倍数的可能性为 ；
（4）向上一面的点数是偶数的可能性为 ，
所以把这些事件的序号按发生的可能性从小到大的顺序排列（2）（3）（4）（1），
故答案为：（2）（3）（4）（1）．
12．设函数y＝ 与y＝x﹣1的图象的交点坐标为（a，b），则 的值为 ﹣ 1 ．
【分析】把A的坐标代入两函数得出ab＝1，b﹣a＝﹣1，把 化成 ，代入求出
即可．
解：∵函数y＝ 与y＝x﹣1的图象的交点坐标为（a，b），
∴ab＝1，b﹣a＝﹣1，
∴ ＝ ＝ ＝﹣1，
故答案为：﹣1．
13．关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+6x+k2﹣k＝0的一个根是0，则k的值是 0 ．
【分析】由于方程的一个根是0，把x＝0代入方程，求出k的值．因为方程是关于x的二次方程，所以未知数的二次项系数不能是0．
解：由于关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+6x+k2﹣k＝0的一个根是0，
把x＝0代入方程，得k2﹣k＝0，
解得，k＝1，k＝0
1 2
当k＝1时，由于二次项系数k﹣1＝0，
方程（k﹣1）x2+6x+k2﹣k＝0不是关于x的二次方程，故k≠1．
所以k的值是0．
故答案为：0
14．如图所示，矩形ABCD的顶点D在反比例函数 （x＜0）的图象上，顶点B，C在
x轴上，对角线AC的延长线交y轴于点E，连接BE，△BCE的面积是6，则k＝ ﹣
12 ．
【分析】先设D（a，b），得出CO＝﹣a，CD＝AB＝b，k＝ab，再根据△BCE的面积
是6，得出BC×OE＝12，最后根据AB∥OE，得出 ＝ ，即BC•EO＝AB•CO，求
得ab的值即可．
解：设D（a，b），则CO＝﹣a，CD＝AB＝b，
∵矩形ABCD的顶点D在反比例函数y＝ （x＜0）的图象上，
∴k＝ab，
∵△BCE的面积是6，
∴ ×BC×OE＝6，即BC×OE＝12，
∵AB∥OE，
∴ ＝ ，即BC•EO＝AB•CO，
∴12＝b×（﹣a），即ab＝﹣12，∴k＝﹣12，
故答案是：﹣12．
15．如图，A点的坐标为（﹣1，5），B点的坐标为（3，3），线段AB绕着某点旋转一个
角度与线段CD重合（C、D均为格点），若点A的对应点是点C，且C点的坐标为
（5，3），则这个旋转中心的坐标是 （ 1 ， 1 ） ．
【分析】画出平面直角坐标系，作出新的AC，BD的垂直平分线的交点J，点J即为旋
转中心．
解：平面直角坐标系如图所示，旋转中心是J点，J（1，1）．
故答案为（1，1）．
16．如图，在△ABC中，AC＝ ，∠CAB＝30°，D为AB上的动点，连接 CD，以
AD、CD为边作平行四边形ADCE，则DE长的最小值为 ．【分析】取AC的中点O，当OD⊥AB时，DE的长最小，根据含30°的直角三角形的性
质可求OD，即可得出DE的最小值．
解：如图，取AC的中点O，当OD⊥AB时，DE的长最小，
∵AC＝ ，
∴AO＝2 ，
∵∠CAB＝30°，
∴OD＝ ，
∴DE长的最小值为 ．
故答案为：2 ．
三、解答题（本大题共10小题，共102分）
17．计算（或解方程）
（1）
（2）
（3）2x2﹣4x＝1（配方法）
【分析】（1）先根据二次根式的除法法则和二次根式的性质进行计算，再算加减即可；
（2）方程两边都乘以x（x+1）得出5x+2＝3x，求出x，再进行检验即可；
（3）系数化成1，配方，开方，即可得出两个方程，求出方程的解即可．解：（1）原式＝ ﹣ + +
＝3﹣ +2+
＝5；
（2）方程两边都乘以x（x+1）得：5x+2＝3x，
解得：x＝﹣1，
检验：当x＝﹣1时，x（x+1）＝0，
所以x＝﹣1是增根，
即原方程无解；
（3）2x2﹣4x＝1，
x2﹣2x＝ ，
x2﹣2x+1＝ +1，
（x﹣1）2＝ ，
x﹣1＝ ，
x＝1+ ，x＝1﹣ ．
1 2
18．先化简，再求值：（1﹣ ）÷ ，其中x＝5+ ．
【分析】先根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算即可得．
解：原式＝（ ﹣ ）÷
＝ •
＝ ，当x＝5+ 时，
原式＝
＝
＝ ．
19．为阻断新冠疫情向校园蔓延，确保师生生命安全和身体健康，教育部通知，2020年春
季学期延期开学，利用网上平台，“停课不停学”，我市某校对初二全体学生数学线上
学习情况进行调查，随机抽取部分学生的3月月诊断性测试成绩，按由高到低分为A，
B，C，D四个等级，根据调查的数据绘制成如下的条形统计图和扇形统计图，请根据图
中的信息，解答下列问题：
（1）该校共抽查了 10 0 名同学的数学测试成绩，扇形统计图中A等级所占的百分比
a＝ 20% ；
（2）补全条形统计图；
（3）若该校初二共有1180名同学，请估计该校初二学生数学测试成绩优秀（测试成绩
B级以上为优秀，含B级）约有多少名？
【分析】（1）C级所占的部分占整体的 ，C级的频数为40，可求出调查人数；进
而求出a的值；
（2）求出“B组”频数即可补全条形统计图；
（3）样本估计总体，样本中，“优秀”等级占调查人数的 ，因此估计总体1180
人的 是“优秀”人数．解：（1）40÷ ＝100（名），a＝20÷100＝20%，
故答案为：100，20%；
（2）100﹣20﹣40﹣10＝30（名），补全条形统计图如图所示：
（3）1180× ＝590（名），
答：该校初二1180名同学中测试成绩优秀（测试成绩B级以上为优秀，含B级）约有
590名．
20．某中学组织学生到离学校15km的东山游玩，先遣队与大队同时出发，先遣队的速度
是大队的速度的1.2倍，结果先遣队比大队早到0.5h，先遣队的速度是多少？大队的速
度是多少？
【分析】首先设大队的速度为x千米/时，则先遣队的速度是1.2x千米/时，由题意可知
先遣队用的时间+0.5小时＝大队用的时间．
解：设大队的速度为x千米/时，则先遣队的速度是1.2x千米/时，
＝ +0.5，
解得：x＝5，
经检验x＝5是原方程的解，
1.2x＝1.2×5＝6．
答：先遣队的速度是6千米/时，大队的速度是5千米/时．
21．如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，分别过点C、D作CF∥BD，
DF∥AC，连接BF交AC于点E．
（1）求证：△FCE≌△BOE；
（2）当∠ADC＝90°时，判断四边形OCFD的形状？并说明理由．
【分析】（1）证明四边形OCFD是平行四边形，得出OD＝CF，证出OB＝CF，即可
得出△FCE≌△BOE（AAS）；
（2）证出四边形ABCD是矩形，由矩形的性质得出OC＝OD，即可得出四边形OCFD
为菱形．【解答】证明：（1）∵CF∥BD，DF∥AC，
∴四边形OCFD是平行四边形，∠OBE＝∠CFE，
∴OD＝CF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，
∴OB＝CF，在
△FCE和△BOE中， ，
∴△FCE≌△BOE（AAS）；
（2）当△ADC满足∠ADC＝90°时，四边形OCFD为菱形；理由如下：
∵∠ADC＝90°，四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，
∴OC＝OD，
∴四边形OCFD为菱形．
22．已知关于x的方程x2﹣2（k﹣3）x+k2﹣4k﹣1＝0．
（1）若这个方程有实数根，求k的取值范围；
（2）若以方程x2﹣2（k﹣3）x+k2﹣4k﹣1＝0的两个根为横坐标、纵坐标的点恰在反比
例函数 的图象上，求满足条件的m的最小值．
【分析】（1）根据△的意义得到4（k﹣3）2﹣4（k2﹣4k﹣1）≥0，然后解不等式得到
k≤5；
（2）设方程的两根分别为x 、x ，根据根与系数的关系得到x•x ＝k2﹣4k﹣1，再根据
1 2 1 2
反比例函数图象上点的坐标特点得m＝x•x ＝k2﹣4k﹣1，配方得到m＝（k﹣2）2﹣5，
1 2
再根据非负数的性质得到（k﹣2）2﹣5≥0，于是m的最小值为﹣5．
解：（1）根据题意得4（k﹣3）2﹣4（k2﹣4k﹣1）≥0，解得k≤5，
所以k的取值范围为k≤5；
（2）设方程的两根分别为x、x，
1 2
则x•x＝k2﹣4k﹣1，
1 2∵方程两个根为横坐标、纵坐标的点恰在反比例函数 的图象上，
∴m＝x•x＝k2﹣4k﹣1＝（k﹣2）2﹣5，
1 2
∵（k﹣2）2≥0，
∴（k﹣2）2﹣5≥﹣5，
即m的最小值为﹣5．
23．如图，一次函数y＝ x+b与反比例函数y＝ 的图象交于点A（4，a）、B（﹣8，﹣
2）．
（1）求k、a、b的值；
（2）求关于x的不等式 x+b＞ 的解集；
（3）若点P在y轴上，点Q在反比例函数y＝ 的图象上，且A、B、P、Q恰好是一个
平行四边形的四个顶点，试求点P的坐标．
【分析】（1）由点B的坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征及反比例函数图象上
点的坐标特征，可求出k，b的值，由点A的横坐标，利用反比例函数图象上点的坐标
特征，可求出a值；
（2）观察两函数图象的上下位置关系，由此可得出不等式 x+b＞ 的解集；
（3）设点P的坐标为（0，m），点Q的坐标为（n， ），分AB为边及AB为对角
线两种情况考虑： AB为边，利用平行四边形的性质（对角线互相平分）可得出关于
m，n的方程组，解①之即可得出点P的坐标； AB为对角线，利用平行四边形的性质
（对角线互相平分）可得出关于m，n的方程②组，解之即可得出点P的坐标．综上，此题得解．
解：（1）∵一次函数y＝ x+b的图象过点B（﹣8，﹣2），
∴﹣2＝﹣4+b，
∴b＝2．
∵反比例函数y＝ 的图象过点B（﹣8，﹣2），
∴k＝（﹣8）×（﹣2）＝16．
当x＝4时，a＝ ＝4，
∴点A的坐标为（4，4）．
（2）观察函数图象，可知：
当﹣8＜x＜0或x＞4时，一次函数y＝ x+2的图象在反比例函数y＝ 的图象上方，
∴不等式 x+b＞ 的解集为﹣8＜x＜0或x＞4．
（3）设点P的坐标为（0，m），点Q的坐标为（n， ）．
分两种情况考虑：
AB为边，如图2所示．
①
当四边形AP QB为平行四边形时， ，
1 1
解得： ，
∴点P 的坐标为（0， ）；
1
当四边形ABP Q 为平行四边形时， ，
2 2
解得： ，
∴点P 的坐标为（0，﹣ ）；
2AB为对角线，如图3所示．
②∵四边形APBQ为平行四边形，
∴ ，解得： ，
∴点P的坐标为（0，6）．
综上所述：当A，B，P，Q恰好是一个平行四边形的四个顶点时，点 P的坐标为（0，
），（0，﹣ ）或（0，6）．
24．在平面直角坐标系中，四边形AOBC是矩形，点O（0，0），点A（6，0），点B（0，8）．以点A为中心，顺时针旋转矩形AOBC，得到矩形ADEF，点O，B，C的
对应点分别为D，E，F，记旋转角为 （0°＜ ＜90°）．
（Ⅰ）如图 ，当 ＝30°时，求点Dα的坐标；α
（Ⅱ）如图①，当点α E落在AC的延长线上时，求点D的坐标；
（Ⅲ）当点②D落在线段OC上时，求点E的坐标（直接写出结果即可）．
【分析】（I）过点D作DG⊥x轴于G，由旋转的性质得出AD＝AO＝6， ＝∠OAD＝
α
30°，DE＝OB＝8，由直角三角形的性质得出DG＝ AD＝3，AG＝ DG＝3 ，得
出OG＝OA﹣AG＝6﹣3 ，即可得出点D的坐标为（6﹣3 ，3）；
（Ⅱ）过点D作DG⊥x轴于G，DH⊥AE于H，则GA＝DH，HA＝DG，由勾股定理
得出AE＝ ＝ ＝10，由面积法求出DH＝ ，得出OG＝OA﹣GA
＝OA﹣DH＝ ，由勾股定理得出DG＝ ，即可得出点D的坐标为（ ， ）；
（Ⅲ）连接AE，作EG⊥x轴于G，由旋转的性质得出∠DAE＝∠AOC，AD＝AO，由
等腰三角形的性质得出∠AOC＝∠ADO，得出∠DAE＝∠ADO，证出AE∥OC，由平行
线的性质的∠GAE＝∠AOD，证出∠DAE＝∠GAE，证明△AEG≌△AED（AAS），
得出AG＝AD＝6，EG＝ED＝8，得出OG＝OA+AG＝12，即可得出答案．
解：（I）过点D作DG⊥x轴于G，如图 所示：
∵点A（6，0），点B（0，8）． ①
∴OA＝6，OB＝8，
∵以点A为中心，顺时针旋转矩形AOBC，得到矩形ADEF，∴AD＝AO＝6， ＝∠OAD＝30°，DE＝OB＝8，
α
在Rt△ADG中，DG＝ AD＝3，AG＝ DG＝3 ，
∴OG＝OA﹣AG＝6﹣3 ，
∴点D的坐标为（6﹣3 ，3）；
（Ⅱ）过点D作DG⊥x轴于G，DH⊥AE于H，如图 所示：
则GA＝DH，HA＝DG， ②
∵DE＝OB＝8，∠ADE＝∠AOB＝90°，
∴AE＝ ＝ ＝10，
∵ AE×DH＝ AD×DE，
∴DH＝ ＝ ＝ ，
∴OG＝OA﹣GA＝OA﹣DH＝6﹣ ＝ ，DG＝ ＝ ＝ ，
∴点D的坐标为（ ， ）；
（Ⅲ）连接AE，作EG⊥x轴于G，如图 所示：
由旋转的性质得：∠DAE＝∠AOC，AD＝③AO，
∴∠AOC＝∠ADO，
∴∠DAE＝∠ADO，
∴AE∥OC，
∴∠GAE＝∠AOD，
∴∠DAE＝∠GAE，
在△AEG和△AED中， ，
∴△AEG≌△AED（AAS），
∴AG＝AD＝6，EG＝ED＝8，
∴OG＝OA+AG＝12，
∴点E的坐标为（12，8）．25．在平面直角坐标系中，过点P（0，a）作直线l分别交y＝ （m＞0、x＞0）、y＝
（n＜0、x＜0）于点M、N，
（1）若m＝2，MN∥x轴，S ＝6，求n的值；
△MON
（2）若a＝5，PM＝PN，点M的横坐标为4，求m﹣n的值；
（3）如图，若m＝4，n＝﹣6，点A（d，0）为x轴的负半轴上一点，B为x轴上点A
右侧一点，AB＝4，以AB为一边向上作正方形ABCD，若正方形ABCD与y＝ （m＞
0、x＞0）、y＝ （n＜0、x＜0）都有交点，求d的范围．【分析】（1）点P（0，a），则点M、N的坐标分别为（ ，a）、（ ，a），则
S ＝6＝ ×MN×OP＝ ×（ ﹣ ）×a，即可求解；
△MON
（2）点M、N的坐标分别为（ ，a）、（ ，a），PM＝PN，则 ＝﹣ ，解得：m
＝﹣n，即可求解；
（3）若正方形ABCD与y＝ （m＞0、x＞0），y＝ （n＜0，x＜0）都有交点，则
HD≥0且CG≥0，即可求解．
解：（1）点P（0，a），则点M、N的坐标分别为（ ，a）、（ ，a），
则S ＝6＝ ×MN×OP＝ ×（ ﹣ ）×a，
△MON
解得：n＝﹣10；
（2）点M、N的坐标分别为（ ，a）、（ ，a），
∵PM＝PN，则 ＝﹣ ，解得：m＝﹣n，
若a＝5，点M的横坐标为4，则点M（4，5），故m＝4×5＝20＝﹣n，
故m﹣n＝40；
（3）点A（d，0），则点B（d+4，0），点D、C的坐标分别为（d，4）、（d+4，
4），
设正方形交两个反比例函数于点 G、H，则点 G、H 的坐标分别为（d，﹣ ）、（d+4， ），
若正方形ABCD与y＝ （m＞0、x＞0），y＝ （n＜0，x＜0）都有交点，
则HD≥0且CG≥0，即 ，且d＜0，d+4＞0，
解得：﹣3≤d≤﹣ ，
故d的范围为：﹣3≤d≤﹣ ．
26．如图，四边形ABCO是平行四边形且点C（﹣4，0），将平行四边形ABCO绕点A逆
时针旋转得到平行四边形ADEF，AD经过点O，点F恰好落在x轴的正半轴上，若点
A，D在反比例函数y＝ 的图象上，过A作AH⊥x轴，交EF于点H．
（1）证明：△AOF是等边三角形，并求k的值；
（2）在x轴上找点G，使△ACG是等腰三角形，求出G的坐标；
（3）设P（x ，a），Q（x ，b）（x ＞x ＞0），M（m，y ），N（n，y ）是双曲线y
1 2 2 1 1 2
＝ 上的四点，m＝ ，n＝ ，试判断y，y 的大小，说明理由．
1 2【分析】（1）由旋转的性质可知AO＝AF，且∠AOF＝∠BAO，可证得△AOF为等边
三角形，由题意可知A、D关于原点对称，则可求得OA的长，设AH交x轴于点K，则
可中求得OK和AK的长，可求得A点坐标，代入反比例函数解析式可求得k的值；
（2）设G（x，0），由A、C的坐标可分别表示出AG、CG和AC的长，分AG＝CG、
AG＝AC和CG＝AC三种情况分别得到关于x的方程，可求得x的值，则可求得G点坐
标；
（3）把P、Q的坐标代入反比例函数解析式可用x 、x 分别表示出a、b，则可比较
1 2
m、n的大小关系，利用反比例函数的性质可求得y，y 的大小．
1 2
解：
（1）由旋转的性质可得AO＝AF＝DE＝BC，∠BAO＝∠OAF，
∵AB∥OC，
∴∠BAO＝∠AOF，
∴∠AOF＝∠OAF，
∴AF＝OF，
∴AF＝OF＝OA，
∴△AOF为等边三角形，
∵点A，D在反比例函数y＝ 的图象上，
∴A、D关于原点对称，
∴AO＝OD＝ AD＝ OC＝2，
如图1，设AH交x轴于点K，在Rt△AOK中，可得∠OAK＝30°，
∴OK＝ OA＝1，AK＝ OA＝ ，
∴A（1， ），
∴k＝1× ＝ ；
（2）设G（x，0），且A（1， ），C（﹣4，0），
∴AG＝ ＝ ，CG＝|x+4|，AC＝ ＝2
，
∵△ACG是等腰三角形，
∴有AG＝CG、AG＝AC和CG＝AC三种情况，
当AG＝CG时，则 ＝|x+4|，解得x＝﹣ ，此时G点坐标为（﹣ ，
①
0）；
当AG＝AC时，则 ＝2 ，解得x＝﹣4（与C点重合，舍去）或x＝6，
②
此时G点坐标为（6，0）；
当CG＝AC时，则|x+4|＝2 ，解得x＝﹣4+2 或x＝﹣4﹣2 ，此时G点坐标为
③
（﹣4+2 ，0）或（﹣4﹣2 ，0）；
综上可知G点坐标为（﹣ ，0）或（6，0）或（﹣4+2 ，0）或（﹣4﹣2 ，0）；（3）y＜y．理由如下：
1 2
由（1）可知反比例函数解析式为y＝ ，
∵P（x，a），Q（x，b）（x＞x＞0）在反比例函数图象上，
1 2 2 1
∴a＝ ，b＝ ，
∴m＝ ＝ ＝ ，
∴m2﹣n2＝ ﹣ ＝ ＝ ，
∵x＞x＞0，
2 1
∴ ＞0，即m2﹣n2＞0，
∴m2＞n2，
又由题意可知m＞0，n＞0，
∴m＞n，
∵M（m，y），N（n，y）在反比例函数y＝ 的图象上，且在第一象限，
1 2
∴y＜y．
1 2
