文档内容
2025-2026 学年安徽省合肥市普通高中六校联盟高三（上）第一次质检数
学试卷
一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。
1．（5分）已知集合U＝{x N*|x＜5}，M＝{1，2}，则 UM＝（ ）
A．{3，4} B．∈ {0，3，4} C．{3，∁ 4，5} D．{0，3，4，5}
2．（5分）已知z 4，z 2i，则复数z在复平面内所对应的点位于（ ）
A．第一象限 + = B．−第 =二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（5分）已知向量 ， ， ， ， 且（ ＞0），求 （ ）
→ → → → → → →
A． =( B 1．−1) =( 1) C (． + )⊥ ( −3 ) D．λ | |=
4．（5分2）在（x2+x+y）6的展开5 式中，x7y的系数为（10 ） 2 10
A．3 B．6 C．60 D．30
5．（5分）已知 ，则tan ＝（ ）
3
( − )= ( + ) α
A． 3 B． 2 6 C． D．
3 3 5 3 5 3
6．（5分）2024年8月20日国产第一款3A游戏《黑神话：悟空》上线，首日销量超450万份，总销售额
9 2 9 3
超过15亿元，视觉设计深入挖掘中国传统文化元素，其中“六角木塔”取景山西省朔州市应县老城西
北角的佛宫寺内，如图1，其最高处的塔刹下部分可以近似看成一个正六棱锥，如图2，已知正六棱锥
的高为h，其侧面与底面夹角为45°，则六棱锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
3 3 3 3 3 2 3 3 3
7．（5分）ℎ已知直线l：xcos +ysinℎ +1＝0（ R），圆C：ℎ（x﹣3）2+（y﹣24）32ℎ＝4，过l上一点P作C的
2 2 3
两条切线，切点分别为Mθ，N，θ使四边形θ∈PMCN 的面积为 的点P有且仅有一个，则此时直线MN
的方程为（ ） 8 2
第1页（共20页）A．3x+4y﹣20＝0 B．9x+12y﹣65＝0
C．11x+17y﹣81＝0 D．19x+23y﹣129＝0
8．（5分）已知a＝2.303ln（ln2.303）﹣（ln2.303）ln2.303，b＝eln（sin2.303），c＝ln（l+cos2.303），则a，b，c的
大小关系为（ ）
A．a＞c＞b B．b＞c＞a C．b＞a＞c D．c＞b＞a
二、多项选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.
全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
（多选）9．（6分）已知a＞0，b＞0，函数f（x）＝a|sinx|+b|cosx|，则下列结论一定正确的是（ ）
A．f（x）的图象关于y轴对称
B．f（x）的最小正周期为
C．f（x）的最大值为 π
2 2
D．f（x）在 ， 上的 最+小 值为a
[0 ]
2
（多选）10．（6分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，g（x）＝f′（x），g（x+1）是奇函数，且 ，
1
则下列说法中正确的有（ ） ( 2 )=−1
A．g（x）为偶函数 B．f（2+x）＝f（x）
C． D．
5 1 3
（多选 ）( 121 )．（= 6 1分）已知数列{an}，其前n项和为Sn ，(−数2列) { + bn } (，2其)=前0 n项和为Tn ，则下列说法正确的是
（ ）
A．若{an}为等差数列，则数列 也是等差数列
B．若bn+1 ＝2bn ，则数列{bn}为{等 比}数列
C．若an ＝3n﹣16，则n＝5时Sn 取到最小值
D．若{bn}为等比数列，且Tn ＝2•3n+m，则m
2
三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分=−。3
12．（5分）某单位在五一假期，需要从5人中选若干人在5天假期值班（每天只需1人值班），不出现同
一人连续值班2天，共有 种不同的安排方法．
13．（5分）过函数图像上一点，垂直于函数在该点处的切线的直线，称为函数在该点处的“法线”．若一
条直线同时是两个函数的法线，该直线称为两个函数的“公法线”．函数 与函数y＝1+ex+1
2
的“公法线”方程为 ． = 2 −
第2页（共20页）14．（5分）已知a（
i
i＝1，2，…，n）随机取﹣1或1，构成数列{an}为初始数列，当{an}不为常数列 ，， ，
︸
1 1个⋯ 1
1
时，对数列{an}进行如下操作：①统计{an}中﹣1的个数，记为k；②把ak 改为﹣ak ，其余项不变，得
到新数列；③若新数列为常数列 ，， ，，停止操作，记录操作次数x，否则将{an}替换为新数列，
︸
1 1个⋯ 1
1
重复上述操作，可知对任意初始数列{an}，必在有限次操作后停止．如：n＝2，对初始数列1，﹣1，操
作过程为
1，﹣1 1，﹣1 1，1 1，1；x＝3．
=1 =2 =1
当n＝3 →时，−对所有可→能−的初始→数列{an}，对应操作次数的和为 ．
四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）研究表明，春季早晚温差大，由于个人体质不同，可能会导致感冒患病．某医学研究小组为
了解30～40岁人群的体质健康是否与性别有关，在3月感冒易发季节对某社区中该年龄段的60位居民
进行了检测，将检测结果制成如下2×2列联表：
性别 健康状况 合计
不感冒 感冒
男 12 18 30
女 6 24 30
合计 18 42 60
（1）在上述不感冒的人群中，按照性别采用分层抽样的方法抽取9人，再从这9人中随机选取4人访
谈，记参与访谈的男性人数为X，求X的分布列和期望E（X）；
（2）依据小概率值 ＝0.01的χ2独立性检验，能否据此推断30～40岁人群的体质健康与性别有关？
若把表中所有数据扩α大到原来的10倍，在相同的检验标准下，再用独立性检验判断体质健康与性别的
关联性，结论还一样吗？请解释原因．
附录： ，其中n＝a+b+c+d．
2
2 ( − )
=
( + )( +0 .)1( + )( + )0.05 0.025 0.01 0.001
α
x 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
α
16．（15分）在矩形ABCD中，E，F为CD上两个不同的三等分点，如图1．将△AFD和△BEC分别沿
AF，BE向上翻折，使得点C，D重合，记重合后的点为P，如图2．已知AB＝6，四棱锥P﹣ABEF的
第3页（共20页）体积为 ．
8 3
3
（1）求AD；
（2）求平面PAF与平面PBE所成角的正弦值．
17．（15分）已知函数 ＞ ．
2
（1）当k＝0时，证 明( ：)= f（2 x ） ≤− 0 (；2 +1) − +1( 0)
（2）若f（x）存在极大值，且极大值大于0，求k的取值范围．
18．（17分）抛物线C：x2＝4y，F为C的焦点，过抛物线外一点N作抛物线C的两条切线，A，B是切点．
（1）若点N的纵坐标为﹣2，求证：直线AB恒过定点；
（2）若|AB|＝2，求△ABC面积的最大值；
（3）证明：|FA|•|FB|＝|FN|2．
19．（17分）已知椭圆E的中心为坐标原点，焦点在x轴上，离心率为 ，点 ， 在椭圆E上．
2 2
（Ⅰ）求E的方程；
2
(1 −
2
)
（Ⅱ）过点 ， 且斜率存在的两条直线l1 ，l2 互相垂直，直线l1 交E于A，B两点，直线l2 交E
1
于C，D两点 (，2 M，0 N )分别为弦AB和CD的中点，直线MN交x轴于点Q（qn ，0），其中n N*．
①求qn ； ∈
②设椭圆E的上顶点为P，记△PTQ的面积为Sn ，令an ＝ln（9 ），bn+1 bn ，b1 ＝1，求证：
2 2 2
= + +
＜1． 2 1− 1
3 +1
+ ⋯ +
3 2− 2 ( +1) −
第4页（共20页）2025-2026 学年安徽省合肥市普通高中六校联盟高三（上）第一次质检数
学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A A C C A C B C
二．多选题（共3小题）
题号 9 10 11
答案 AC ACD AC
一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。
1．（5分）已知集合U＝{x N*|x＜5}，M＝{1，2}，则 UM＝（ ）
A．{3，4} B．∈ {0，3，4} C．{3，∁ 4，5} D．{0，3，4，5}
【分析】结合补集的定义，即可求解，
【解答】解：集合U＝{x N*|x＜5}＝{1，2，3，4}，M＝{1，2}，
则 UM＝{3，4}． ∈
故选∁ ：A．
2．（5分）已知z 4，z 2i，则复数z在复平面内所对应的点位于（ ）
A．第一象限 + = B．−第 =二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】由已知求得z，然后再求出复数z在复平面内所对应的点的坐标即可．
【解答】解：由z 4，z 2i，得z＝2+i，则复数z在复平面内所对应的点的坐标为（2，1），位
于第一象限． + = − =
故选：A．
3．（5分）已知向量 ， ， ， ， 且（ ＞0），求 （ ）
→ → → → → → →
A． =( B 1．−1) =( 1) C (． + )⊥ ( −3 ) D．λ | |=
2 5 10 2 10
【分析】根据向量线性运算坐标表示计算 ， ，再有向量垂直数量积为0列式计算可得 ＝3，
→ → → →
+ −3 λ
第5页（共20页）即可求得 ．
→
| |
【解答】解：由题可得， ， ， ， ，
→ → → →
+ =(1+ 0) −3 =( −3 4)
又 ，则 ，
→ → → → → → → →
即（( 1++ ）)（⊥ (﹣ 3−）3＝ )0，解(得 +： )＝⋅3( 或−＝3 ﹣)=1，0
λ λ λ λ
因为 ＞0，所以 ＝3，即 ．
→
2 2
故选：λ C． λ | |= 3 +1 = 10
4．（5分）在（x2+x+y）6的展开式中，x7y的系数为（ ）
A．3 B．6 C．60 D．30
【分析】根据已知条件，结合二项式定理，即可求解．
【解答】解：（x2+x+y）6表示6个因式x2+x+y的乘积，
在6个因式中，1个因式选y，2个因式选x2，3个因式选x，
故x7y的系数为 ．
1 2 3
故选：C． 6 5 3 =60
5．（5分）已知 ，则tan ＝（ ）
3
( − )= ( + ) α
A． 3 B． 2 6 C． D．
3 3 5 3 5 3
【分析9 】根据诱导公式化简2得到 9 ，再弦化切得3 到 ，最后用
3 3
两角差的正切公式化简得解． ( + )= ( + ) ( + )=
6 2 6 6 2
【解答】解：因为 ，
3
( − )= ( + )
即 3 ， 2 6
3
( + )= ( + )
所以 6 2 ， 6
3
( + )=
则 6 2 ．
( +6)− 6 3
= [( + )− ]= =
故选：A． 6 6 1+ ( +6) 6 9
6．（5分）2024年8月20日国产第一款3A游戏《黑神话：悟空》上线，首日销量超450万份，总销售额
超过15亿元，视觉设计深入挖掘中国传统文化元素，其中“六角木塔”取景山西省朔州市应县老城西
北角的佛宫寺内，如图1，其最高处的塔刹下部分可以近似看成一个正六棱锥，如图2，已知正六棱锥
的高为h，其侧面与底面夹角为45°，则六棱锥的体积为（ ）
第6页（共20页）A． B． C． D．
3 3 3 3 3 2 3 3 3
【分析】ℎ 根据侧面与底面夹角求ℎ出底面边长，即可求出ℎ底面积，再由锥2体的3ℎ体积公式计算可得．
2 2 3
【解答】解：取CD的中点G，连接OG、SG，如图所示：
因为S﹣ABCDEF为正六棱锥，所以SG⊥CD，OG⊥CD，
所以∠SGO为侧面SCD与底面ABCDEF的夹角，所以∠SGO＝45°，
又SO⊥底面ABCDEF，OG 底面ABCDEF，所以SO⊥OG，
所以SO＝OG＝h，又底面A⊂BCDEF为正六边形，所以△COD为等边三角形，
所以DG＝OGtan30° h，则CD＝2DG h，
3 2 3
= =
所以S △COD h×3 h h2， 3
1 2 3 3
所以S 正六边形 = AB2C × DEF3＝6S △C = OD ＝3 2 h2，
3
所以六棱锥的体积为V S 正六边形ABCDEFh h3．
1 2 3
故选：C． =
3
=
3
7．（5分）已知直线l：xcos +ysin +1＝0（ R），圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝4，过l上一点P作C的
两条切线，切点分别为Mθ，N，θ使四边形θ∈PMCN 的面积为 的点P有且仅有一个，则此时直线MN
的方程为（ ） 8 2
A．3x+4y﹣20＝0 B．9x+12y﹣65＝0
C．11x+17y﹣81＝0 D．19x+23y﹣129＝0
【分析】根据题意，可得|PC|＝6，且CP⊥l，由点到直线的距离公式求得 ，进而求得
3 4
= =
5 5
第7页（共20页）直线/的方程，再求出直线PC的方程，求得点P的坐标，求出以PC为直径的圆的方程，易 知直线MN
是圆C与以PC为直径的圆的公共弦所在直线，两圆方程相减得解．
【解答】解：如图， ．解得 ．
1
=2× ×2×| |=8 2 | |= 4 2
所以 2 ，因这样的点P有且仅有一个，
2 2
由图知| 此|时= C|P ⊥ l|，+则|圆 心| C=（33.42）+到4直=线6 l：xcos +ysin +1＝0的距离为6，
即 ，化简得|5sin（ + ）+1|＝θ 6，其中θ ， ，
|3 +4 +1| 3 4
6= 2 2 θ φ = =
∴sin（ + ） ＝ +1 ， 则 ， 5 5
θ φ + = +2 ( ∈ )
2
∴ ，
3 4
= ( − )= = ( − )=
所以 ： 2 5，即3x+4y+5 2＝0，则直5线CP的斜率为 ，
3 4 4
+ +1=0
所以直线5 CP：5 ，即4x﹣3y＝0， 3
4
−4= ( −3)
3
联立 ，解得 ，即 ， ，
3
4 −3 =0 =− 5 3 4
(− − )
3 +4 +5=0 4 5 5
=−
因PC的中点坐标为 ， 且|PC|＝56，
6 8
( )
则以PC为直径的圆的5方程5为 ，
6 2 8 2
整理得5x2+5y2﹣12x﹣16y﹣2 ( 5 ＝− 0，5 ) +( − 5 ) =9
易知直线MN是圆C与以PC为直径的圆的公共弦所在直线，
将两圆的方程相减得9x+12y﹣65＝0，故直线MN的方程为9x+12y﹣65＝0．
故选：B．
8．（5分）已知a＝2.303ln（ln2.303）﹣（ln2.303）ln2.303，b＝eln（sin2.303），c＝ln（l+cos2.303），则a，b，c的
大小关系为（ ）
A．a＞c＞b B．b＞c＞a C．b＞a＞c D．c＞b＞a
第8页（共20页）【分析】根据题意，可判断a＝0，b＞0，c＜0得解．
【解答】解：因为ln2.303ln（ln2.303）＝（ln2.303）（ln（ln2.303）），
In（ln2.303）ln2.303＝（ln2.303）（ln（ln2.303）），
所以2.303ln（ln2.303）＝（ln2.303）ln2.303，则a＝0，
又b＝eln（sin2.303）＞0， ＜ ，
= (1+ 2.303) (1+ )= 1=0
所以b＞a＞c． 2
故选：C．
二、多项选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.
全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
（多选）9．（6分）已知a＞0，b＞0，函数f（x）＝a|sinx|+b|cosx|，则下列结论一定正确的是（ ）
A．f（x）的图象关于y轴对称
B．f（x）的最小正周期为
C．f（x）的最大值为 π
2 2
D．f（x）在 ， 上的 最+小 值为a
[0 ]
【分析】根据题意2，由f（﹣x）＝f（x）可得A正确；举反例可得B、D错误；由辅助角公式可得C正
确．
【解答】解：已知a＞0，b＞0，函数f（x）＝a|sinx|+b|cosx|，
对于A，f（﹣x）＝a|sin（﹣x）|+b|cos（﹣x）|＝a|sinx|+b|cosx|＝f（x），故A正确；
对于B， ， ；
2 2 3
所以最小 正(周
4
)期=不
2
是 +，故
2
B错 误(
4
；)= (
4
)
对于C， π ，由正弦函数的值域可得最大值为 ，故C正确；
2 2 2 2
对于D， 当( )= ， +时 ，| s in ( x ＞+ 0 ，)| cosx＞0， +
∈[0 ]
所以f（x）＝asinx+b2cosx，
当x＝0时，f（x）＝b，当 时，f（x）＝a，由于不确定a，b的大小，所以最小值为a不正确，故
=
D错误； 2
故选：AC．
（多选）10．（6分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，g（x）＝f′（x），g（x+1）是奇函数，且 ，
1
则下列说法中正确的有（ ） ( 2 )=−1
第9页（共20页）A．g（x）为偶函数 B．f（2+x）＝f（x）
C． D．
5 1 3
【分 析( 2】)由=1 f（x）＝﹣f（﹣x）及复合函数的导数 求(法− 2、)奇+偶 (性2定)=义0判断A；由题设有g（x）＝﹣g（2
﹣x），得f（x）＝f（2﹣x）+c，令x＝1求参数得f（x）＝f（2﹣x）判断B；利用奇偶性、对称性判断
C、D．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，由于f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（x）＝﹣f（﹣x），
则f′（x）＝f′（﹣x），即g（x）＝g（﹣x），故A正确；
对于B，因为g（x+1）是奇函数，所以g（x+1）＝﹣g（﹣x+1），即g（x）＝﹣g（2﹣x），
所以f′（x）＝﹣f′（2﹣x），则f（x）＝f（2﹣x）+c，令x＝1，所以c＝0，
所以f（x）＝f（2﹣x），即f（x）的图象关于直线x＝1对称，
则f（﹣x）＝f（2+x）＝﹣f（x），故B错误；
对于C，又由f（x+2）＝﹣f（x），则有 ，故C正确；
5 1 1
( )= (2+ )=− ( )=1
对于D， ，故D 2正确． 2 2
1 1 3
故选：AC D (．− 2 )= ( 2 )=− ( 2 )
（多选）11．（6分）已知数列{an}，其前n项和为Sn ，数列{bn}，其前n项和为Tn ，则下列说法正确的是
（ ）
A．若{an}为等差数列，则数列 也是等差数列
B．若bn+1 ＝2bn ，则数列{bn}为{等 比}数列
C．若an ＝3n﹣16，则n＝5时Sn 取到最小值
D．若{bn}为等比数列，且Tn ＝2•3n+m，则m
2
=−
【分析】根据题意，由等差数列的性质和前n项公3式求出 的通项，判断A，举出反例可得B错误，
由等差数列的性质分析C，求出数列{bn}的前三项，确定m { 的}值，从而判断D，综合可得答案．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，若{an}为等差数列，则Sn ＝na1 ，
( −1)
+
则 a1+（n﹣1） ，则数列 也是等差数2列，A正确；
对于 B =，当bn+1 ＝2b2n ＝0时，则{ 数}列{bn}不是等比数列，B错误；
第10页（共20页）对于C，若an ＝3n﹣16，则数列{an}为等差数列，
且当1≤n≤5时，an ＜0，当n≥6时，an ＞0，
故n＝5时Sn 取到最小值，C正确．
对于D，若{bn}为等比数列，且Tn ＝2•3n+m，
则b1 ＝T1 ＝6+m，b2 ＝T2 ﹣T1 ＝12，b3 ＝T3 ﹣T2 ＝36，
则有（6+m）×36＝122，解可得m＝﹣2，D错误．
故选：AC．
三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）某单位在五一假期，需要从5人中选若干人在5天假期值班（每天只需1人值班），不出现同
一人连续值班2天，共有 1280 种不同的安排方法．
【分析】根据题意，第一天有5种排法，剩余每天都有4种排法，利用分步乘法计数原理可解．
【解答】解：根据题意，第一天从5人中选一人值班有5种选法，第二天就只有4种选法，
第三天有4种选法，第四天同样有4种选法，第五天也有4种选法，
则不出现同一人连续值班2天，共有5×4×4×4×4＝1280种．
故答案为：1280．
13．（5分）过函数图像上一点，垂直于函数在该点处的切线的直线，称为函数在该点处的“法线”．若一
条直线同时是两个函数的法线，该直线称为两个函数的“公法线”．函数 与函数y＝1+ex+1
2
的“公法线”方程为 x+y﹣1＝0 ． = 2 −
【分析】设出两曲线在切点处的坐标，利用导数求在切点处的法线方程，由斜率及截距相等列方程组求
解．
【解答】解：由2x﹣x2≥0，解得0≤x≤2，
且y′ ，设切点为（x1 ，y1 ），则 ，
1− 1− 1
= 2 ′ | = 1 = 2
2 − 2 1− 1
则曲线在切点（x1 ，y1 ）处的法线方程为y ，
2
2 2 1− 1
− 2 1− 1 =− ( − 1)
即 ． 1− 1
2 2
2 1− 1 2 1− 1
由 y＝=−1+ex
1
+1
−
，
1
得y ′+＝ex
1
+
−
1，
1
设切点为（x2 ，y2 ），则 ，
2+1
则曲线在切点（x2 ，y2 ）处的法线方程为y﹣1 ′ | = 2 = （x﹣x2 ），
2+1 1
− =− 2 +1
即y ．
1 2 2+1
=− 2 +1 + 2 +1+1+
第11页（共20页）1− 1 2+1
由题意，
=
，解得：x2 ＝﹣1．
2
2 1− 1
2
2 1− 1 2 2+1
则函数y＝1+ 1 e −x+ 11在（ = ﹣ 1 2 ， +1 2） + 处 1+ 的 法线方程为y﹣2＝﹣1（x+1），即x+y﹣1＝0．
故答案为：x+y﹣1＝0．
14．（5分）已知a（
i
i＝1，2，…，n）随机取﹣1或1，构成数列{an}为初始数列，当{an}不为常数列 ，， ，
︸
1 1个⋯ 1
1
时，对数列{an}进行如下操作：①统计{an}中﹣1的个数，记为k；②把ak 改为﹣ak ，其余项不变，得
到新数列；③若新数列为常数列 ，， ，，停止操作，记录操作次数x，否则将{an}替换为新数列，
︸
1 1个⋯ 1
1
重复上述操作，可知对任意初始数列{an}，必在有限次操作后停止．如：n＝2，对初始数列1，﹣1，操
作过程为
1，﹣1 1，﹣1 1，1 1，1；x＝3．
=1 =2 =1
当n＝3 →时，−对所有可→能−的初始→数列{an}，对应操作次数的和为 24 ．
【分析】按﹣1的个数及出现的位置分类，利用列举法分别求出操作次数即可．
【解答】解：当n＝3时，按﹣1的个数及出现的位置，初始数列共有7种情况：
初始数列﹣1，﹣1，﹣1→k＝3﹣1，﹣1，1→k＝2﹣1，1，1→k＝11，1，1，x＝3；
初始数列﹣1，﹣1，1→k＝2﹣1，1，1→k＝11，1，1，x＝2；
初始数列﹣1，1，﹣1→k＝2﹣1，﹣1，﹣1→ →1，1，1，x＝4；
⋯
初始数列﹣1，1，1→k＝11，1，1，x＝1；
初始数列1，﹣1，﹣1→k＝21，1，﹣1→k＝1﹣1，1，﹣1→k＝2﹣1，﹣1，﹣1→ →1，1，1，x＝6；
⋯
初始数列1，﹣1，1→k＝1﹣1，﹣1，1→k＝2﹣1，1，1→k＝11，1，1，x＝3；
初始数列1，1，﹣1→k＝1﹣1，1，﹣1→k＝2﹣1，﹣1，﹣1→ →1，1，1，x＝5；
⋯
所以所求操作次数的和为3+2+4+1+6+3+5＝24．
故答案为：24．
四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）研究表明，春季早晚温差大，由于个人体质不同，可能会导致感冒患病．某医学研究小组为
了解30～40岁人群的体质健康是否与性别有关，在3月感冒易发季节对某社区中该年龄段的60位居民
进行了检测，将检测结果制成如下2×2列联表：
第12页（共20页）性别 健康状况 合计
不感冒 感冒
男 12 18 30
女 6 24 30
合计 18 42 60
（1）在上述不感冒的人群中，按照性别采用分层抽样的方法抽取9人，再从这9人中随机选取4人访
谈，记参与访谈的男性人数为X，求X的分布列和期望E（X）；
（2）依据小概率值 ＝0.01的χ2独立性检验，能否据此推断30～40岁人群的体质健康与性别有关？
若把表中所有数据扩α大到原来的10倍，在相同的检验标准下，再用独立性检验判断体质健康与性别的
关联性，结论还一样吗？请解释原因．
附录： ，其中n＝a+b+c+d．
2
2 ( − )
=
( + )( +0 .)1( + )( + )0.05 0.025 0.01 0.001
α
x 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
α
【分析】（1）利用分层抽样的方法可得随机变量X的所有取值为1，2，3，4，求出对应概率，即可列
出分布列，求出期望；
（2）根据列联表中的数据，经计算得到χ2，再和参考数据表中0.01对应的数据比较，即可得到结论．
【解答】解：（1）样本中不感冒的男性与女性的比例为2：1，
所以抽取男性 人，女性 人，
2 1
故随机变量X的9×所3有=取6值为1，2，9 3，× 34，=3
则 ， ， ，
1 3 2 2 3 1
6 3 1 6 3 5 6 3 10
( =1)= 4 = ( =2)= 4 = ( =3)= 4 =
P（X＝4）＝1﹣ P 9（X＝ 21 1）﹣P（X＝2） ﹣9 P（ 1 X 4 ＝3）＝1 9 21 ，
1 5 10 5
所以X的分布列为： − 21 − 14 − 21 = 42
X 1 2 3 4
P
1 5 10 5
所以 21 14 ； 21 42
1 5 10 5 8
（2） 由( 题)=，1零×假2设1 + H 2 0 ：× 3104 ∼ + 4 3 0岁× 2人1群+的4×体4质2健=康3与性别无关，
第13页（共20页）则 ＜6.635，假设H0 成立，
2
2 60×(12×24−6×18) 20
所以 依=据小1概8×率42值×30＝×03.001的=χ2 7独≈立2性.85检7验，不能据此推断30 40岁人群的体质健康与性别有关，
∼
如果把所有数据都扩α 大10倍后，
则 ＞6.635，
2
2 600×(120×240−60×180) 200
所以 依=据小1概80率×值420＝×300.001×的30χ0 2独=立性7检≈验2，8.能57据此推断30 40岁人群的体质健康与性别有关，
∼
与之前的结论不一样α ，原因是每个数据都扩大为原来的10倍，相当于样本量变大为原来的10倍，导致
推断结论发生了变化．
16．（15分）在矩形ABCD中，E，F为CD上两个不同的三等分点，如图1．将△AFD和△BEC分别沿
AF，BE向上翻折，使得点C，D重合，记重合后的点为P，如图2．已知AB＝6，四棱锥P﹣ABEF的
体积为 ．
8 3
3
（1）求AD；
（2）求平面PAF与平面PBE所成角的正弦值．
【分析】（1）设出所求线段，根据勾股定理以及余弦定理，表示出四棱锥的高，结合四棱锥的体积公式，
可得答案；
（2）由题意建立空间直角坐标系，求得平面的法向量，利用面面角的向量公式，可得答案．
【解答】解：（1）取AB，EF的中点分别为G，H，连接PH，HG，PG，
过点P作PM⊥HG，垂足为M，
设AD＝a，则HG＝a，
△PEF为等边三角形， ， ，
1
= =1 = 3
在△PAB中，PA＝PB＝a， 2 ，
2
= −9
在△PGH中， ， ，
2 2 2 2
+ − 2 3 −12
∠ = = ∠ =
PM＝PH•sin∠PHG 2 ， ⋅
2
3⋅ −12
=
第14页（共20页）又梯形ABEF的面积 ，
( + )⋅
= =4
2
所以四棱锥P﹣ABEF的体积为 ，
2 2
1 1 3⋅ −12 4 3⋅ −12 8 3
解得a＝4（a＝﹣4舍去）， ⋅ ⋅ = ⋅ 4 ⋅ = =
3 3 3 3
即AD＝4；
（2）由（1）可得HG＝AD＝4， ， ， ，
3 3 5
以M为坐标原点，MG，MP所在 直 线=分 2 别为 x 轴=， 2z轴 ， 建=立 2 如图所示的空间直角坐标系，
则 ， ， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ，， ，
5 5 3 3 3
( −3 0) ( 3 0) (− 1 0) (− −1 0) (0 0 )
所以2 ，， 2， ，2 ， ， 2 ，， ， 2 ， ， ，
→ → → →
5 3 5 3
=(−4 2 0) =(−4 −2 0) =(− 3 ) =(− −3 )
设平面PAF的法向量为 ， ， ， 2 2 2 2
→
=( 1 1 1)
则 → → ，
⋅ =−4 1+2 1 =0
→ →
5 3
⋅ =− 1+3 1+ 1 =0
取 ，得2 ， 2， ，
→
1 = 3 =( 3 2 3 −7)
设平面PBE的法向量为 ， ， ，
→
=( 2 2 2)
则 → → ，
⋅ =−4 2−2 2 =0
→ →
5 3
⋅ =− 2−3 2+ 2 =0
取 ，得2 ， 2 ， ，
→
2 = 3 =( 3 −2 3 −7)
所以 ＜ ， ＞ ，
→ →
→ →
⋅ 3−12+49 5
= → → = =
所以 ＜ ， ＞ | ||， | 3+12+49× 3+12+49 8
→ →
39
=
所以平面PAF与平面P 8 BE所成角的正弦值为 ．
39
17．（15分）已知函数 8 ＞ ．
2
（1）当k＝0时，证 明( ：)= f（2 x ） ≤− 0 (；2 +1) − +1( 0)
第15页（共20页）（2）若f（x）存在极大值，且极大值大于0，求k的取值范围．
【分析】（1）求导后分析单调性，得到最大值即可；
（2）求导后，分k≤﹣2和k＞﹣2讨论单调性和极值，当k＞﹣2时，构造函数g（x），由导数分析单
调性解抽象函数不等式可得．
【解答】解：（1）证明：根据已知：函数 ＞ ．
2
( )=2 −( +1) − +1( 0)
k＝0时，f（x）＝2lnx﹣x2+1， 2 ，
2 2(1+ )(1− )
0＜x＜1时，f′（x）＞0；x＞′ 1 时( ，)= f′ （− x 2） ＜= 0，
所以f（x）在区间（0，1）上单调递增，（1，+∞）上单调递减，
所以f（x）≤f（1）＝0．
（2） ，
2 2
k≤﹣′ 2 时( ，)= f′ （− x (） +＞2 0 )， f −（ x）=在( （+ 0 1，)[ + ∞−）( 上+单2调)]递增，无极值；
k＞﹣2时， ＜＜ 时，f′（x）＞0； ＞ 时，f′（x）＜0，
2 2
0
所以f（x）在区间 ，+2 上单调递增， +，2 上单调递减，
2 2
(0 ) ( +∞)
所以f（x）的极大值为 +2 +2 ，
2 2 2 2
( )=2 − =2 + −1
令g（x）＝2lnx+x﹣1（x＞ + 0 2），则 +2 +2＞， +2 +2
2
′ ( )= +1 0
所以g（x）在区间（0，+∞）上单调递增， 由已知 ＞ ，
2
( ) (1)
所以 ＞，解得k＜0， +2
2
综上， +k2 （1﹣2，0）．
18．（17分）∈抛物线C：x2＝4y，F为C的焦点，过抛物线外一点N作抛物线C的两条切线，A，B是切点．
（1）若点N的纵坐标为﹣2，求证：直线AB恒过定点；
（2）若|AB|＝2，求△ABC面积的最大值；
（3）证明：|FA|•|FB|＝|FN|2．
【分析】（1）利用导数分别求出直线NA和直线NB的方程，由直线NA和直线NB都过N（x0 ，y0 ）即
可求出直线AB的方程，再根据点N的纵坐标为﹣2，即可得到直线AB恒过定点；
（2）将直线AB的方程与抛物线的方程联立，利用弦长公式求出|AB|，利用点到直线距离公式求出△ABN
的高，即可求出△ABN面积的最大值．
（3）设直线方程为y＝kx+1，A（x1 ，y1 ），B（x2 ，y2 ），与抛物线方程联立，可得NA⊥NB，直线NA
第16页（共20页）的方程为 ，进而可得直线NB的方程为 ，求得N，进而可得△FNA∽△FNB，
1 1
可得结论． = 2 1 − 1 = 2 2 − 2
【解答】解：（1）证明：设A（x1 ，y1 ），B（x2 ，y2 ），N（x0 ，y0 ），
因为x2＝4y，即 ，所以 ，
1 2 1
= ′ =
则直线NA的方程为4 2 ，
1
化简得x1x＝2（y+y1 ），− 1 = 2 1( − 1)
同理，直线NB的方程为x2x＝2（y+y2 ），
又直线NA与直线NB都过N（x0 ，y0 ），
所以x1x0 ＝2（y0+y1 ），x2x0 ＝2（y0+y2 ），
从而A，B均在直线x0x＝2（y0+y）上，
所以直线AB的方程为x0x＝2（y0+y），又y0 ＝﹣2，
故直线AB的方程为2（y﹣2）＝x（x0 ﹣0），
故直线AB过定点（0，2）；
（2）联立 ，化简得x2﹣2x0x+4y0 ＝0，
0 =2( 0+ )
2
则
=4
＞，所以x1+x2 ＝2x0 ，x1x2 ＝4y0 ，
2
=4 0 −16 0 0
则
2 2
0 0 2
| |= 1+ | 1− 2|=， 1+ ⋅ ( 1+ 2) −4 1 2
4 4
2 2
= ( 0 +4)( 0 −4 0)=2
又点N到直线AB的距离 ，
2 2
| 0 −2 0−2 0| | 0 −4 0|
= =
2 2
0 +4 0 +4
所以 ，
2
1 1 0 −4 0 4 1
△ = | |⋅ = ×2× = 3 ≤
当且仅当x0 ＝ 2 0时，取等号 2 ， 0 2 +4 ( 0 2 +4) 2 2
所以△ABN面积的最大值为 ；
1
（3）证明：由题意知直线斜
2
率存在，且P（0，1），如图，
第17页（共20页）设直线方程为y＝kx+1，A（x1 ，y1 ），B（x2 ，y2 ），
由 ，得x2﹣4kx﹣4＝0，
2
=4
则Δ ＝ =1 6 k2 ++116＞0，所以x1+x2 ＝4k，x1x2 ＝﹣4．
由（1）知， ，
1
′ =
所以 2 ，
1 1 1
所以 N A ⊥⋅ N B ，= 2 1⋅ 2 2 = 4 ×(−4)=−1
则直线NA的方程为 ，
1
− 1 = 1( − 1)
又 ，所以直线NA的方2 程为 ，
1 2 1
1 = 1 = 1 − 1
同理可得4直线NB的方程为 2，
1
= 2 − 2
2
联立 ，解得 ，
1
= 1 − 1
2 =2
1 =−1
所以N （=2k， 2﹣ 1−） ，2
2
当k＝0时，|FA|＝|FB|＝2，|FN|＝2，所以|FA|•|FB|＝|FN|2；
当k≠0时， ，所以FN⊥AB，
−1−1
又NA⊥NB， 所 以⋅ △ FN = A∽2△ F NB =，−1
所以 .所以|FA|•|FB|＝|FN|2，
| | | |
综上： | |F|A = |•|F| B |＝ | |FN|2．
19．（17分）已知椭圆E的中心为坐标原点，焦点在x轴上，离心率为 ，点 ， 在椭圆E上．
2 2
（Ⅰ）求E的方程；
2
(1 −
2
)
（Ⅱ）过点 ， 且斜率存在的两条直线l1 ，l2 互相垂直，直线l1 交E于A，B两点，直线l2 交E
1
于C，D两点 (，2 M，0 N )分别为弦AB和CD的中点，直线MN交x轴于点Q（qn ，0），其中n N*．
∈
第18页（共20页）①求qn ；
②设椭圆E的上顶点为P，记△PTQ的面积为Sn ，令an ＝ln（9 ），bn+1 bn ，b1 ＝1，求证：
2 2 2
= + +
＜1． 2 1− 1
3 +1
+ ⋯ +
3 【 分2− 析 2】（Ⅰ）依 ( 题 +1 意 ) 求 − 出 a、b、c的值，即可求解椭圆E的方程；
（Ⅱ）设出直线l1 的方程及B、C、D、M、N的坐标，并与椭圆E的方程联立，结合韦达定理及中点
公式，表示出点M、N的坐标，由M、N、Q三点共线，即可求解qn ；
②依题意计算得 ＜ ，由裂项相消法求得
+1 1 1 1 1 2 3
= = − + +
( +1) − + 4 +1 +1 ，即可证明． 2 1− 1 3 2− 2
+1 1 1 1 1 1 1
⋯ + = ( − )+ ( − )+ ⋯ +( − )
【解答( 】+1解) ： （− Ⅰ ）依题 1 意， 2 设椭圆方 2 程为 3 ＞ ＞ +1 ，
2 2
2 + 2 = 1( 0)
1
则依题意有 1 2 ，解得 ，
2+ 2 =1
= 2
2 =1
=
2 =1
2 2 2
所以椭圆E的 方=程 为+ ．
2
2
+ = 1
（Ⅱ）①由题意知，直2 线l1 ，l2 的斜率均存在且不为0，设l1 的方程为 ，
1
设A（x1 ，y1 ），B（x2 ，y2 ），C（x3 ，y3 ），D（x4 ，y4 ），M（xM ，yM ），N （= x N ， + yN2） ，
联立 2 ，消去x得 ，
2
2 + =1 2 2 1
( +2) + −1 + 2 −2=0
1 2 2
= +
所以 2 ，所以 ， ，
2 −1 2 2
1+ 2 =− 2 =− 2 = 2
同理可得： +2 ， +2 ， 2 ( +2)
2
2
= 2 = 2
因为M，N，Q三2点(共1+线2 ，当) MN⊥x 2轴(2时 ，+则1) m＝1，所以 ；
1
= = = −1
当MN与x轴不垂直时，因为 ， 3⋅2
=
所以 − − ，
2
− 2 2
2 ( − 2 ) = 2 ( − 2 )
所以2 ( +2) ， 2 (1+2． ) 2 (1+2 ) 2 ( +2)
1 ∗
= −1 ( ∈ )
综上所述，3⋅2 ， ．
1 ∗
= −1 ( ∈ )
②证明：因为 3⋅2 ，所以 ，
1 1 2
△ = = | || |= +1 = (9 )=−( +1) 4
2 3⋅2
第19页（共20页）由 ，b1 ＝1得： ，且bn ＞0，
2 1 1 1
+1 = + = −
所以 ＜ +1 +1 ，
+1 1 1 1 1
= = −
所 以( +1) − + 4 +1 +1
2 3 +1 1 1 1 1 1 1 1
+ + ⋯ + = ( − )+ ( − )+ ⋯ +( − ) = −
＜2 1− 1， 3 2− 2 ( +1) − 1 2 2 3 +1 1
1 1
= 1
所 +以1 1 ＜．
2 3 +1
+ + ⋯ + 1
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/2/60:13:13；用户：量神大数学；邮箱：18600601432；学号：509251412 1− 1 3 2− 2 ( +1) −
第20页（共20页）
