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2025-2026学年安徽省合肥市普通高中六校联盟高三（上）第一次质检数
学试卷
一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。
1．（5分）已知集合U＝{x N*|x＜5}，M＝{1，2}，则 M＝（ ）
U
A．{3，4} B．∈{0，3，4} C．{3，∁4，5} D．{0，3，4，5}
2．（5分）已知z4，z2i，则复数z在复平面内所对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（5分）已知向量且（ ＞0），求（ ）
A． Bλ． C． D．
4．（5分）在（x2+x+y）6的展开式中，x7y的系数为（ ）
A．3 B．6 C．60 D．30
5．（5分）已知，则tan ＝（ ）
A． αB． C． D．
6．（5分）2024年8月20日国产第一款3A游戏《黑神话：悟空》上线，首日销量超 450万份，总销售
额超过15亿元，视觉设计深入挖掘中国传统文化元素，其中“六角木塔”取景山西省朔州市应县老城
西北角的佛宫寺内，如图1，其最高处的塔刹下部分可以近似看成一个正六棱锥，如图 2，已知正六棱
锥的高为h，其侧面与底面夹角为45°，则六棱锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
7．（5分）已知直线l：xcos +ysin +1＝0（ R），圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝4，过l上一点P作C
的两条切线，切点分别为θM，N，θ 使四边形θ∈PMCN的面积为的点P有且仅有一个，则此时直线MN的
方程为（ ）
A．3x+4y﹣20＝0 B．9x+12y﹣65＝0
第1页（共17页）C．11x+17y﹣81＝0 D．19x+23y﹣129＝0
8．（5分）已知a＝2.303ln（ln2.303）﹣（ln2.303）ln2.303，b＝eln（sin2.303），c＝ln（l+cos2.303），则a，b，c
的大小关系为（ ）
A．a＞c＞b B．b＞c＞a C．b＞a＞c D．c＞b＞a
二、多项选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.
全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
（多选）9．（6分）已知a＞0，b＞0，函数f（x）＝a|sinx|+b|cosx|，则下列结论一定正确的是（ ）
A．f（x）的图象关于y轴对称
B．f（x）的最小正周期为
C．f（x）的最大值为 π
D．f（x）在上的最小值为a
（多选）10．（6分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，g（x）＝f′（x），g（x+1）是奇函数，且，
则下列说法中正确的有（ ）
A．g（x）为偶函数 B．f（2+x）＝f（x）
C． D．
（多选）11．（6分）已知数列{a }，其前n项和为S ，数列{b }，其前n项和为T ，则下列说法正确的
n n n n
是（ ）
A．若{a }为等差数列，则数列也是等差数列
n
B．若b ＝2b ，则数列{b }为等比数列
n+1 n n
C．若a ＝3n﹣16，则n＝5时S 取到最小值
n n
D．若{b }为等比数列，且T ＝2•3n+m，则m
n n
三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）某单位在五一假期，需要从5人中选若干人在5天假期值班（每天只需1人值班），不出现
同一人连续值班2天，共有 种不同的安排方法．
13．（5分）过函数图像上一点，垂直于函数在该点处的切线的直线，称为函数在该点处的“法线”．若
一条直线同时是两个函数的法线，该直线称为两个函数的“公法线”．函数与函数 y＝1+ex+1的“公法
线”方程为 ．
14．（5分）已知a（i＝1，2，…，n）随机取﹣1或1，构成数列{a }为初始数列，当{a }不为常数列时，
i n n
对数列{a }进行如下操作：①统计{a }中﹣1的个数，记为k；②把a 改为﹣a ，其余项不变，得到新
n n k k
数列；③若新数列为常数列，停止操作，记录操作次数x，否则将{a }替换为新数列，重复上述操作，
n
可知对任意初始数列{a }，必在有限次操作后停止．如：n＝2，对初始数列1，﹣1，操作过程为
n
第2页（共17页）1，﹣11，﹣11，11，1；x＝3．
当n＝3时，对所有可能的初始数列{a }，对应操作次数的和为 ．
n
四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）研究表明，春季早晚温差大，由于个人体质不同，可能会导致感冒患病．某医学研究小组
为了解30～40岁人群的体质健康是否与性别有关，在3月感冒易发季节对某社区中该年龄段的60位
居民进行了检测，将检测结果制成如下2×2列联表：
性别 健康状况 合计
不感冒 感冒
男 12 18
女 6 24
合计 18 42
（1）在上述不感冒的人群中，按照性别采用分层抽样的方法抽取 9人，再从这9人中随机选取4人访
谈，记参与访谈的男性人数为X，求X的分布列和期望E（X）；
（2）依据小概率值 ＝0.01的χ2独立性检验，能否据此推断30～40岁人群的体质健康与性别有关？
若把表中所有数据扩α大到原来的10倍，在相同的检验标准下，再用独立性检验判断体质健康与性别的
关联性，结论还一样吗？请解释原因．
附录：，其中n＝a+b+c+d．
0.1 0.05 0.025 0.01 0.001
xα 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
16．（15分α）在矩形ABCD中，E，F为CD上两个不同的三等分点，如图1．将△AFD和△BEC分别沿
AF，BE向上翻折，使得点C，D重合，记重合后的点为P，如图2．已知AB＝6，四棱锥P﹣ABEF的
体积为．
（1）求AD；
（2）求平面PAF与平面PBE所成角的正弦值．
17．（15分）已知函数．
（1）当k＝0时，证明：f（x）≤0；
第3页（共17页）（2）若f（x）存在极大值，且极大值大于0，求k的取值范围．
18．（17分）抛物线C：x2＝4y，F为C的焦点，过抛物线外一点N作抛物线C的两条切线，A，B是切
点．
（1）若点N的纵坐标为﹣2，求证：直线AB恒过定点；
（2）若|AB|＝2，求△ABC面积的最大值；
（3）证明：|FA|•|FB|＝|FN|2．
19．（17分）已知椭圆E的中心为坐标原点，焦点在x轴上，离心率为，点在椭圆E上．
（Ⅰ）求E的方程；
（Ⅱ）过点且斜率存在的两条直线l ，l 互相垂直，直线l 交E于A，B两点，直线l 交E于C，D两
1 2 1 2
点，M，N分别为弦AB和CD的中点，直线MN交x轴于点Q（q ，0），其中n N*．
n
①求q n ； ∈
②设椭圆E的上顶点为P，记△PTQ的面积为S ，令a ＝ln（9），b b ，b ＝1，求证：1．
n n n+1 n 1
第4页（共17页）2025-2026学年安徽省合肥市普通高中六校联盟高三（上）第一次质检数
学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A A C C A C B C
二．多选题（共3小题）
题号 9 10 11
答案 AC ACD AC
一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。
1．（5分）已知集合U＝{x N*|x＜5}，M＝{1，2}，则 M＝（ ）
U
A．{3，4} B．∈{0，3，4} C．{3，∁4，5} D．{0，3，4，5}
【分析】结合补集的定义，即可求解，
【解答】解：集合U＝{x N*|x＜5}＝{1，2，3，4}，M＝{1，2}，
则 U M＝{3，4}． ∈
故∁选：A．
2．（5分）已知z4，z2i，则复数z在复平面内所对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】由已知求得z，然后再求出复数z在复平面内所对应的点的坐标即可．
【解答】解：由z4，z2i，得z＝2+i，则复数z在复平面内所对应的点的坐标为（2，1），位于第一象
限．
故选：A．
3．（5分）已知向量且（ ＞0），求（ ）
A． Bλ． C． D．
【分析】根据向量线性运算坐标表示计算，，再有向量垂直数量积为0列式计算可得 ＝3，即可求得．
【解答】解：由题可得，，， λ
又，则，
第5页（共17页）即（1+ ）（ ﹣3）＝0，解得： ＝3或 ＝﹣1，
因为 ＞λ0，所λ以 ＝3，即． λ λ
故选：λ C． λ
4．（5分）在（x2+x+y）6的展开式中，x7y的系数为（ ）
A．3 B．6 C．60 D．30
【分析】根据已知条件，结合二项式定理，即可求解．
【解答】解：（x2+x+y）6表示6个因式x2+x+y的乘积，
在6个因式中，1个因式选y，2个因式选x2，3个因式选x，
故x7y的系数为．
故选：C．
5．（5分）已知，则tan ＝（ ）
A． αB． C． D．
【分析】根据诱导公式化简得到，再弦化切得到，最后用两角差的正切公式化简得解．
【解答】解：因为，
即，
所以，
则．
故选：A．
6．（5分）2024年8月20日国产第一款3A游戏《黑神话：悟空》上线，首日销量超 450万份，总销售
额超过15亿元，视觉设计深入挖掘中国传统文化元素，其中“六角木塔”取景山西省朔州市应县老城
西北角的佛宫寺内，如图1，其最高处的塔刹下部分可以近似看成一个正六棱锥，如图 2，已知正六棱
锥的高为h，其侧面与底面夹角为45°，则六棱锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据侧面与底面夹角求出底面边长，即可求出底面积，再由锥体的体积公式计算可得．
【解答】解：取CD的中点G，连接OG、SG，如图所示：
第6页（共17页）因为S﹣ABCDEF为正六棱锥，所以SG⊥CD，OG⊥CD，
所以∠SGO为侧面SCD与底面ABCDEF的夹角，所以∠SGO＝45°，
又SO⊥底面ABCDEF，OG 底面ABCDEF，所以SO⊥OG，
所以SO＝OG＝h，又底面A⊂BCDEF为正六边形，所以△COD为等边三角形，
所以DG＝OGtan30°h，则CD＝2DGh，
所以S△COD h×hh2，
所以S正六边形ABCDEF ＝6S△COD ＝2h2，
所以六棱锥的体积为VS正六边形ABCDEF hh3．
故选：C．
7．（5分）已知直线l：xcos +ysin +1＝0（ R），圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝4，过l上一点P作C
的两条切线，切点分别为θM，N，θ 使四边形θ∈PMCN的面积为的点P有且仅有一个，则此时直线MN的
方程为（ ）
A．3x+4y﹣20＝0 B．9x+12y﹣65＝0
C．11x+17y﹣81＝0 D．19x+23y﹣129＝0
【分析】根据题意，可得|PC|＝6，且CP⊥l，由点到直线的距离公式求得，进而求得直线/的方程，再
求出直线PC的方程，求得点P的坐标，求出以PC为直径的圆的方程，易 知直线MN是圆C与以PC
为直径的圆的公共弦所在直线，两圆方程相减得解．
【解答】解：如图，．解得．
所以，因这样的点P有且仅有一个，
由图知此时CP⊥l，则圆心C（3.4）到直线l：xcos +ysin +1＝0的距离为6，
即，化简得|5sin（ + ）+1|＝6，其中， θ θ
∴sin（ + ）＝1，θ则φ，
∴， θ φ
所以，即3x+4y+5＝0，则直线CP的斜率为，
所以直线CP：，即4x﹣3y＝0，
联立，解得，即，
第7页（共17页）因PC的中点坐标为且|PC|＝6，
则以PC为直径的圆的方程为，
整理得5x2+5y2﹣12x﹣16y﹣25＝0，
易知直线MN是圆C与以PC为直径的圆的公共弦所在直线，
将两圆的方程相减得9x+12y﹣65＝0，故直线MN的方程为9x+12y﹣65＝0．
故选：B．
8．（5分）已知a＝2.303ln（ln2.303）﹣（ln2.303）ln2.303，b＝eln（sin2.303），c＝ln（l+cos2.303），则a，b，c
的大小关系为（ ）
A．a＞c＞b B．b＞c＞a C．b＞a＞c D．c＞b＞a
【分析】根据题意，可判断a＝0，b＞0，c＜0得解．
【解答】解：因为ln2.303ln（ln2.303）＝（ln2.303）（ln（ln2.303）），
In（ln2.303）ln2.303＝（ln2.303）（ln（ln2.303）），
所以2.303ln（ln2.303）＝（ln2.303）ln2.303，则a＝0，
又b＝eln（sin2.303）＞0，，
所以b＞a＞c．
故选：C．
二、多项选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.
全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
（多选）9．（6分）已知a＞0，b＞0，函数f（x）＝a|sinx|+b|cosx|，则下列结论一定正确的是（ ）
A．f（x）的图象关于y轴对称
B．f（x）的最小正周期为
C．f（x）的最大值为 π
D．f（x）在上的最小值为a
【分析】根据题意，由f（﹣x）＝f（x）可得A正确；举反例可得B、D错误；由辅助角公式可得C正
确．
第8页（共17页）【解答】解：已知a＞0，b＞0，函数f（x）＝a|sinx|+b|cosx|，
对于A，f（﹣x）＝a|sin（﹣x）|+b|cos（﹣x）|＝a|sinx|+b|cosx|＝f（x），故A正确；
对于B，，；
所以最小正周期不是 ，故B错误；
对于C，，由正弦函数π的值域可得最大值为，故C正确；
对于D，当时，sinx＞0，cosx＞0，
所以f（x）＝asinx+bcosx，
当x＝0时，f（x）＝b，当时，f（x）＝a，由于不确定a，b的大小，所以最小值为a不正确，故D错
误；
故选：AC．
（多选）10．（6分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，g（x）＝f′（x），g（x+1）是奇函数，且，
则下列说法中正确的有（ ）
A．g（x）为偶函数 B．f（2+x）＝f（x）
C． D．
【分析】由f（x）＝﹣f（﹣x）及复合函数的导数求法、奇偶性定义判断A；由题设有g（x）＝﹣g（2
﹣x），得f（x）＝f（2﹣x）+c，令x＝1求参数得f（x）＝f（2﹣x）判断B；利用奇偶性、对称性判
断C、D．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，由于f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（x）＝﹣f（﹣x），
则f′（x）＝f′（﹣x），即g（x）＝g（﹣x），故A正确；
对于B，因为g（x+1）是奇函数，所以g（x+1）＝﹣g（﹣x+1），即g（x）＝﹣g（2﹣x），
所以f′（x）＝﹣f′（2﹣x），则f（x）＝f（2﹣x）+c，令x＝1，所以c＝0，
所以f（x）＝f（2﹣x），即f（x）的图象关于直线x＝1对称，
则f（﹣x）＝f（2+x）＝﹣f（x），故B错误；
对于C，又由f（x+2）＝﹣f（x），则有，故C正确；
对于D，，故D正确．
故选：ACD．
（多选）11．（6分）已知数列{a }，其前n项和为S ，数列{b }，其前n项和为T ，则下列说法正确的
n n n n
是（ ）
A．若{a }为等差数列，则数列也是等差数列
n
B．若b ＝2b ，则数列{b }为等比数列
n+1 n n
第9页（共17页）C．若a ＝3n﹣16，则n＝5时S 取到最小值
n n
D．若{b }为等比数列，且T ＝2•3n+m，则m
n n
【分析】根据题意，由等差数列的性质和前n项公式求出的通项，判断A，举出反例可得B错误，由
等差数列的性质分析C，求出数列{b }的前三项，确定m的值，从而判断D，综合可得答案．
n
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，若{a }为等差数列，则S ＝na ，
n n 1
则a +（n﹣1），则数列也是等差数列，A正确；
1
对于B，当b ＝2b ＝0时，则数列{b }不是等比数列，B错误；
n+1 n n
对于C，若a ＝3n﹣16，则数列{a }为等差数列，
n n
且当1≤n≤5时，a ＜0，当n≥6时，a ＞0，
n n
故n＝5时S 取到最小值，C正确．
n
对于D，若{b }为等比数列，且T ＝2•3n+m，
n n
则b ＝T ＝6+m，b ＝T ﹣T ＝12，b ＝T ﹣T ＝36，
1 1 2 2 1 3 3 2
则有（6+m）×36＝122，解可得m＝﹣2，D错误．
故选：AC．
三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）某单位在五一假期，需要从5人中选若干人在5天假期值班（每天只需1人值班），不出现
同一人连续值班2天，共有 128 0 种不同的安排方法．
【分析】根据题意，第一天有5种排法，剩余每天都有4种排法，利用分步乘法计数原理可解．
【解答】解：根据题意，第一天从5人中选一人值班有5种选法，第二天就只有4种选法，
第三天有4种选法，第四天同样有4种选法，第五天也有4种选法，
则不出现同一人连续值班2天，共有5×4×4×4×4＝1280种．
故答案为：1280．
13．（5分）过函数图像上一点，垂直于函数在该点处的切线的直线，称为函数在该点处的“法线”．若
一条直线同时是两个函数的法线，该直线称为两个函数的“公法线”．函数与函数 y＝1+ex+1的“公法
线”方程为 x + y ﹣ 1 ＝ 0 ．
【分析】设出两曲线在切点处的坐标，利用导数求在切点处的法线方程，由斜率及截距相等列方程组
求解．
【解答】解：由2x﹣x2≥0，解得0≤x≤2，
且y′，设切点为（x ，y ），则，
1 1
则曲线在切点（x ，y ）处的法线方程为y，
1 1
第10页（共17页）即．
由y＝1+ex+1，得y′＝ex+1，设切点为（x ，y ），则，
2 2
则曲线在切点（x ，y ）处的法线方程为y﹣1（x﹣x ），
2 2 2
即y．
由题意，，解得：x ＝﹣1．
2
则函数y＝1+ex+1在（﹣1，2）处的法线方程为y﹣2＝﹣1（x+1），即x+y﹣1＝0．
故答案为：x+y﹣1＝0．
14．（5分）已知a（i＝1，2，…，n）随机取﹣1或1，构成数列{a }为初始数列，当{a }不为常数列时，
i n n
对数列{a }进行如下操作：①统计{a }中﹣1的个数，记为k；②把a 改为﹣a ，其余项不变，得到新
n n k k
数列；③若新数列为常数列，停止操作，记录操作次数x，否则将{a }替换为新数列，重复上述操作，
n
可知对任意初始数列{a }，必在有限次操作后停止．如：n＝2，对初始数列1，﹣1，操作过程为
n
1，﹣11，﹣11，11，1；x＝3．
当n＝3时，对所有可能的初始数列{a }，对应操作次数的和为 2 4 ．
n
【分析】按﹣1的个数及出现的位置分类，利用列举法分别求出操作次数即可．
【解答】解：当n＝3时，按﹣1的个数及出现的位置，初始数列共有7种情况：
初始数列﹣1，﹣1，﹣1→k＝3﹣1，﹣1，1→k＝2﹣1，1，1→k＝11，1，1，x＝3；
初始数列﹣1，﹣1，1→k＝2﹣1，1，1→k＝11，1，1，x＝2；
初始数列﹣1，1，﹣1→k＝2﹣1，﹣1，﹣1→⋯→1，1，1，x＝4；
初始数列﹣1，1，1→k＝11，1，1，x＝1；
初始数列1，﹣1，﹣1→k＝21，1，﹣1→k＝1﹣1，1，﹣1→k＝2﹣1，﹣1，﹣1→⋯→1，1，1，x＝6；
初始数列1，﹣1，1→k＝1﹣1，﹣1，1→k＝2﹣1，1，1→k＝11，1，1，x＝3；
初始数列1，1，﹣1→k＝1﹣1，1，﹣1→k＝2﹣1，﹣1，﹣1→⋯→1，1，1，x＝5；
所以所求操作次数的和为3+2+4+1+6+3+5＝24．
故答案为：24．
四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）研究表明，春季早晚温差大，由于个人体质不同，可能会导致感冒患病．某医学研究小组
为了解30～40岁人群的体质健康是否与性别有关，在3月感冒易发季节对某社区中该年龄段的60位
居民进行了检测，将检测结果制成如下2×2列联表：
性别 健康状况 合计
不感冒 感冒
男 12 18
第11页（共17页）女 6 24
合计 18 42
（1）在上述不感冒的人群中，按照性别采用分层抽样的方法抽取 9人，再从这9人中随机选取4人访
谈，记参与访谈的男性人数为X，求X的分布列和期望E（X）；
（2）依据小概率值 ＝0.01的χ2独立性检验，能否据此推断30～40岁人群的体质健康与性别有关？
若把表中所有数据扩α大到原来的10倍，在相同的检验标准下，再用独立性检验判断体质健康与性别的
关联性，结论还一样吗？请解释原因．
附录：，其中n＝a+b+c+d．
0.1 0.05 0.025 0.01 0.001
xα 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
【分析】α（1）利用分层抽样的方法可得随机变量X的所有取值为1，2，3，4，求出对应概率，即可
列出分布列，求出期望；
（2）根据列联表中的数据，经计算得到χ2，再和参考数据表中0.01对应的数据比较，即可得到结论．
【解答】解：（1）样本中不感冒的男性与女性的比例为2：1，
所以抽取男性人，女性 人，
故随机变量X的所有取值为1，2，3，4，
则，，，
P（X＝4）＝1﹣P（X＝1）﹣P（X＝2）﹣P（X＝3）＝1，
所以X的分布列为：
X 1 2 3 4
P
所以；
（2）由题，零假设H
0
：30∼40岁人群的体质健康与性别无关，
则6.635，假设H 成立，
0
所以依据小概率值 ＝0.01的χ2独立性检验，不能据此推断30∼40岁人群的体质健康与性别有关，
如果把所有数据都扩α大10倍后，
则6.635，
所以依据小概率值 ＝0.01的χ2独立性检验，能据此推断30∼40岁人群的体质健康与性别有关，
与之前的结论不一样α ，原因是每个数据都扩大为原来的10倍，相当于样本量变大为原来的10倍，导
致推断结论发生了变化．
16．（15分）在矩形ABCD中，E，F为CD上两个不同的三等分点，如图1．将△AFD和△BEC分别沿
AF，BE向上翻折，使得点C，D重合，记重合后的点为P，如图2．已知AB＝6，四棱锥P﹣ABEF的
第12页（共17页）体积为．
（1）求AD；
（2）求平面PAF与平面PBE所成角的正弦值．
【分析】（1）设出所求线段，根据勾股定理以及余弦定理，表示出四棱锥的高，结合四棱锥的体积公
式，可得答案；
（2）由题意建立空间直角坐标系，求得平面的法向量，利用面面角的向量公式，可得答案．
【解答】解：（1）取AB，EF的中点分别为G，H，连接PH，HG，PG，
过点P作PM⊥HG，垂足为M，
设AD＝a，则HG＝a，
△PEF为等边三角形，，
在△PAB中，PA＝PB＝a，，
在△PGH中，，，
PM＝PH•sin∠PHG，
又梯形ABEF的面积，
所以四棱锥P﹣ABEF的体积为，
解得a＝4（a＝﹣4舍去），
即AD＝4；
（2）由（1）可得HG＝AD＝4，，，，
以M为坐标原点，MG，MP所在直线分别为x轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
第13页（共17页）所以，，，，
设平面PAF的法向量为，
则，
取，得，
设平面PBE的法向量为，
则，
取，得，
所以，
所以，
所以平面PAF与平面PBE所成角的正弦值为．
17．（15分）已知函数．
（1）当k＝0时，证明：f（x）≤0；
（2）若f（x）存在极大值，且极大值大于0，求k的取值范围．
【分析】（1）求导后分析单调性，得到最大值即可；
（2）求导后，分k≤﹣2和k＞﹣2讨论单调性和极值，当k＞﹣2时，构造函数g（x），由导数分析
单调性解抽象函数不等式可得．
【解答】解：（1）证明：根据已知：函数．
k＝0时，f（x）＝2lnx﹣x2+1，，
0＜x＜1时，f′（x）＞0；x＞1时，f′（x）＜0，
所以f（x）在区间（0，1）上单调递增，（1，+∞）上单调递减，
所以f（x）≤f（1）＝0．
（2），
k≤﹣2时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上单调递增，无极值；
k＞﹣2时，时，f′（x）＞0；时，f′（x）＜0，
所以f（x）在区间上单调递增，上单调递减，
所以f（x）的极大值为，
令g（x）＝2lnx+x﹣1（x＞0），则，
所以g（x）在区间（0，+∞）上单调递增，由已知，
所以，解得k＜0，
综上，k （﹣2，0）．
18．（17分∈）抛物线C：x2＝4y，F为C的焦点，过抛物线外一点N作抛物线C的两条切线，A，B是切
点．
第14页（共17页）（1）若点N的纵坐标为﹣2，求证：直线AB恒过定点；
（2）若|AB|＝2，求△ABC面积的最大值；
（3）证明：|FA|•|FB|＝|FN|2．
【分析】（1）利用导数分别求出直线NA和直线NB的方程，由直线NA和直线NB都过N（x ，y ）
0 0
即可求出直线AB的方程，再根据点N的纵坐标为﹣2，即可得到直线AB恒过定点；
（2）将直线AB的方程与抛物线的方程联立，利用弦长公式求出|AB|，利用点到直线距离公式求出
△ABN的高，即可求出△ABN面积的最大值．
（3）设直线方程为y＝kx+1，A（x ，y ），B（x ，y ），与抛物线方程联立，可得NA⊥NB，直线
1 1 2 2
NA的方程为，进而可得直线NB的方程为，求得N，进而可得△FNA∽△FNB，可得结论．
【解答】解：（1）证明：设A（x ，y ），B（x ，y ），N（x ，y ），
1 1 2 2 0 0
因为x2＝4y，即，所以，
则直线NA的方程为，
化简得x x＝2（y+y ），
1 1
同理，直线NB的方程为x x＝2（y+y ），
2 2
又直线NA与直线NB都过N（x ，y ），
0 0
所以x x ＝2（y +y ），x x ＝2（y +y ），
1 0 0 1 2 0 0 2
从而A，B均在直线x x＝2（y +y）上，
0 0
所以直线AB的方程为x x＝2（y +y），又y ＝﹣2，
0 0 0
故直线AB的方程为2（y﹣2）＝x（x ﹣0），
0
故直线AB过定点（0，2）；
（2）联立，化简得x2﹣2x x+4y ＝0，
0 0
则，所以x +x ＝2x ，x x ＝4y ，
1 2 0 1 2 0
则
，
又点N到直线AB的距离，
所以，
当且仅当x ＝0时，取等号，
0
所以△ABN面积的最大值为；
（3）证明：由题意知直线斜率存在，且P（0，1），如图，
第15页（共17页）设直线方程为y＝kx+1，A（x ，y ），B（x ，y ），
1 1 2 2
由，得x2﹣4kx﹣4＝0，
则Δ＝16k2+16＞0，所以x +x ＝4k，x x ＝﹣4．
1 2 1 2
由（1）知，，
所以，
所以NA⊥NB，
则直线NA的方程为，
又，所以直线NA的方程为，
同理可得直线NB的方程为，
联立，解得，
所以N（2k，﹣1），
当k＝0时，|FA|＝|FB|＝2，|FN|＝2，所以|FA|•|FB|＝|FN|2；
当k≠0时，，所以FN⊥AB，
又NA⊥NB，所以△FNA∽△FNB，
所以.所以|FA|•|FB|＝|FN|2，
综上：|FA|•|FB|＝|FN|2．
19．（17分）已知椭圆E的中心为坐标原点，焦点在x轴上，离心率为，点在椭圆E上．
（Ⅰ）求E的方程；
（Ⅱ）过点且斜率存在的两条直线l ，l 互相垂直，直线l 交E于A，B两点，直线l 交E于C，D两
1 2 1 2
点，M，N分别为弦AB和CD的中点，直线MN交x轴于点Q（q ，0），其中n N*．
n
①求q n ； ∈
②设椭圆E的上顶点为P，记△PTQ的面积为S ，令a ＝ln（9），b b ，b ＝1，求证：1．
n n n+1 n 1
【分析】（Ⅰ）依题意求出a、b、c的值，即可求解椭圆E的方程；
（Ⅱ）设出直线l 的方程及B、C、D、M、N的坐标，并与椭圆E的方程联立，结合韦达定理及中点
1
公式，表示出点M、N的坐标，由M、N、Q三点共线，即可求解q ；
n
第16页（共17页）②依题意计算得，由裂项相消法求得，即可证明．
【解答】解：（Ⅰ）依题意，设椭圆方程为，
则依题意有，解得，
所以椭圆E的方程为．
（Ⅱ）①由题意知，直线l ，l 的斜率均存在且不为0，设l 的方程为，
1 2 1
设A（x ，y ），B（x ，y ），C（x ，y ），D（x ，y ），M（x ，y ），N（x ，y ），
1 1 2 2 3 3 4 4 M M N N
联立，消去x得，
所以，所以，，
同理可得：，，
因为M，N，Q三点共线，当MN⊥x轴时，则m＝1，所以；
当MN与x轴不垂直时，因为，
所以，
所以．
综上所述，．
②证明：因为，所以，
由，b ＝1得：，且b ＞0，
1 n
所以，
所以，
所以．
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