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第四章 因式分解
单元测试
参考答案与试题解析
一、单选题
1．（2022春·辽宁丹东·八年级统考期末）下列各式从左到右的变形中，为因式分解的是（ ）
A．x（a﹣b）＝ax﹣bx
B．x2﹣1+y2＝（x﹣1）（x+1）+y2
C．ax+bx+c＝x（a+b）+c
D．y2﹣1＝（y+1）（y﹣1）
【答案】D
【分析】根据因式分解的定义解答即可．
【详解】解：A、x（a﹣b）＝ax﹣bx，是整式乘法，故此选项不符合题意；
B、x2﹣1+y2＝（x﹣1）（x+1）+y2，不是因式分解，故此选项不符合题意；
C、ax+bx+c＝x（a+b）+c，不是因式分解，故此选项不符合题意；
D、y2﹣1＝（y+1）（y﹣1），是因式分解，故此选项符合题意．
故选D．
【点睛】本题主要考查了因式分解的定义，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个
多项式因式分解，也叫做分解因式．
2．（2022春·广西崇左·七年级统考期末）下面的多项式中，能因式分解的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据因式分解的各个方法逐一判断即可．
【详解】A. 不能分解因式，故本选项不符合题意，
B. 不能分解因式，故本选项不符合题意，
C. 不能分解因式，故本选项不符合题意，
D. =（m-1）2是完全平方式，故本选项符合题意．
故选：D．【点睛】此题考查的是因式分解，掌握因式分解的各个方法是解决此题的关键．
3．（2023春·全国·七年级专题练习）对于任何整数m，多项式 都能被（ ）整除．
A．8 B．m C． D．
【答案】A
【分析】直接套用平方差公式，整理即可判断．
【详解】因为
所以原式能被8整除．
故选A．
【点睛】本题考查了利用平方差公式进行因式分解，熟练掌握 是解答本题的关键．
4．（2022春·山东枣庄·八年级统考期末）下列因式分解正确的是（ ）
A．x2y2﹣z2＝x2（y+z）（y﹣z）
B．﹣x2y﹣4xy+5y＝﹣y（x2+4x+5）
C．（x+2）2﹣9＝（x+5）（x﹣1）
D．9﹣12a+4a2＝﹣（3﹣2a）2
【答案】C
【分析】利用平方差、完全平方公式先判断、利用提公因式与完全平方公式判断对选项进行判断．
【详解】解：A、 ，故选项不符合题意；
B、 ，分解不彻底，故选项不符合题意；
C、 ，故选项符合题意；
D、 ，故选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，解题
的关键是掌握如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解,分解要彻底．5．（2023春·浙江·七年级专题练习）若 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将等号右侧展开得 ，根据对应项系数相等列等式计算
求解即可．
【详解】解：∵
∴ ，
解得 ，
故选C．
【点睛】本题考查了多项式的乘法运算．解题的关键在于根据对应项系数相等列等式．
6．（2022秋·山东东营·八年级东营市东营区实验中学校考阶段练习）下列各式中，不能用平方差公式分解
因式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据平方差公式的结构特点，两个平方项，并且符号相反，对各项分析判断后利用排除法求解．
【详解】解：A． ，两个平方项的符号相反，能用平方差公式分解因式，不符合题意；
B． ，两个平方项的符号相同，不能用平方差公式分解因式，符合题意；
C． ， 可写成 ，两个平方项的符号相反，能用平方差公式分解因式，不合题意；
D． ， 可写成 ， 可写成 ，两个平方项的符号相反，能用平方差公
式分解因式，不合题意．
故选B．
【点睛】本题考查平方差公式分解因式．熟记平方差公式结构是解题的关键．
7．（2023秋·河南周口·八年级校考期末）把ax2-4ax+4a分解因式，下列结果正确的是（ ）
A．a(x-2)2 B．a(x+2)2 C．a(x-4)2 D．a(x-2)(x+2)
【答案】A【分析】首先提公因式 ，然后利用完全平方公式分解即可．
【详解】解： ＝ ．
故选：A．
【点睛】本题考查了提取公因式及完全平方公式分解因式，掌握提取公因式及完全平方公式是解题的关键．
8．已知 ，则a2－b2－2b的值为
A．4 B．3 C．1 D．0
【答案】C
【分析】先将原式化简，然后将a−b＝1整体代入求解．
【详解】
故答案选：C．
【点睛】此题考查的是整体代入思想在代数求值中的应用．
9．（2020春·贵州毕节·八年级统考期末）已知a＋ ＝3，则a2＋ 等于( )
A．5 B．7 C．9 D．11
【答案】B
【分析】利用完全平方公式把 变形成为 ，代入解答即可．
【详解】 = = =7．
故选B．
【点睛】本题考查了完全平方公式．解题的关键是把 变形成为 ．
10．（2022春·广东汕尾·八年级校考阶段练习）如图，正方形 的边长为8，点M在 上，且
，N是 上一动点，则 的最小值为（ ）．A．8 B． C． D．10
【答案】D
【分析】要使DN+MN最小，首先应分析点N的位置．根据正方形的性质：正方形的对角线互相垂直平分．
由此可知点D的对称点是点B，连接MB交AC于点N，此时DN+MN最小值即是BM的长．
【详解】解：如图，连接 ， ， ，设 交 于点 ，
四边形 正方形，
∴AC垂直平分BD，
∴点 与点 是关于直线 对称，
，
，
点 为 上的动点，
∴当B、M、N三点不共线时，BN+MN＞BM，
当点 运动到点 时， ，
∴ 的最小值为 的长度，
四边形 为正方形，
， ，
又∵ ，
∴ ，
，
的最小值是10．
故选：D．【点睛】考查正方形的性质和轴对称及勾股定理等知识的综合应用，能够根据轴对称的性质以及三角形的
三边关系找到点N与点P重合时 取最小值是解决本题的关键．
二、填空题
11．（2022秋·全国·八年级专题练习）已知a−b=3，ab=2，则 的值为____________．
【答案】6
【分析】将 提取公因式ab，再将 ， 代入进行计算求解．
【详解】解：∵ ， ，
∴
．
故答案为：6．
【点睛】本题主要考查了代数式求值，理解提取公因式法是解答关键．
12．（2020·四川眉山·统考中考真题）分解因式： ______．
【答案】
【分析】首先提取公因式 ，然后利用完全平方式进行因式分解即可．
【详解】解：
，故答案为 ．
【点睛】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意
分解要彻底．
13．（2023春·江苏·七年级专题练习）如果 是一个完全平方式，则 的值是__．
【答案】±6
【分析】利用完全平方公式的结构特征即可得．
【详解】解：∵ 是一个完全平方式，
∴ ，
解得： ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了完全平方公式，解题的关键是熟记完全平方公式．
14．（2023春·广东深圳·七年级校考阶段练习）若代数式x2﹣6x+k是完全平方式，则k＝___．
【答案】9
【分析】根据完全平方公式的展开形式可得 为一次项系数一半的平方，据此求解即可．
【详解】若代数式x2﹣6x+k是完全平方式，
故答案为：
【点睛】本题考查了完全平方式，掌握完全平方公式是解题的关键．
15．（2023春·七年级课时练习）如果 因式分解的结果为 ，则 _______．
【答案】-13
【分析】根据多项式乘多项式的法则进行计算，然后确定A，B的值，从而求解．
【详解】解：
∴A=2，B=-15
∴A+B=-13
故答案为：-13．
【点睛】本题考查多项式乘多项式的计算，掌握计算法则正确计算是解题关键．
16．如图，在一个大圆盘中有4个相同的小圆盘，已知大、小圆盘的半径 ， 都是整数，阴影部分的面积为 ，则 _______．
【答案】4
【分析】设大、小圆盘的半径分别是R cm，r cm，根据面积可得πR2−4πr2＝5π，然后化简可得R2−4r2＝5，
分解可得（R＋2r）（R−2r）＝5，根据R，r都是整数，可得 ，再求出整数解即可．
【详解】解：设大、小圆盘的半径分别是R cm，r cm，
由题意可得，πR2−4πr2＝5π，
所以R2−4r2＝5，
所以（R＋2r）（R−2r）＝5，
因为R，r都是整数，
所以 ，
解得：R=3，r=1，
所以
故答案为：4．
【点睛】此题主要考查了因式分解的应用，关键是正确确定方程组的整数解．
三、解答题
17．（2022春·江苏镇江·七年级统考期中）分解因式：
(1)
(2)
(3)(4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）利用提公因式法即可
（2）利用完全平方公式即可
（3）先提取公因式，再利用平方差公式即可
（4）先利用完全平方公式，再利用平方差公式即可
【详解】（1）
（2）
（3）
（4）
【点睛】本题考查了因式分解的相关方法，熟练运用是解题关键.
18．（2021春·八年级课时练习）当k取何值时， 是一个完全平方式？
【答案】【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可．
【详解】解：∵100x2﹣kxy+49y2是一个完全平方式，
∴﹣k＝±2×10×7，
∴k＝±140，
即当k＝±140时，100x2﹣kxy+49y2是一个完全平方式．
【点睛】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式（a±b）2＝a2±2ab+b2是解本题的关键．
19．（2022秋·全国·八年级专题练习）利用因式分解把下列各式化成乘积形式：
（1） ；（2） ．
【答案】（1） ；（2） ．
【分析】利用提取公因式法进行计算即可．
【详解】解：（1）原式
；
（2）原式
．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是了解提取公因式法的特点．
20．（2022秋·八年级单元测试）在学习中小明发现：当 时， 的值都是负数，于是小明猜
想：当n为任意正整数时， 的值都是负数．
（1）小明的猜想正确吗？说明你的理由．
（2）如果小明的猜想不正确，那么当n取哪些正整数时， 不是负数？
【答案】（1）小明的猜想不正确，理由见解析；（2）当n取大于或等于6的正整数时， 不是负数．
【分析】（1）举反例即可判断；
（2）先将原式提公因式n，然后根据n为任意正整数以及乘法法则即可求得答案．【详解】解：（1）小明的猜想不正确，理由是：当 时， ，不是负数．
（2）因为 为正整数．
所以，当 ，即 时， ，不是负数．
因此，当n取大于或等于6的正整数时， 不是负数．
【点睛】本题考查了提公因式法分解因式的应用，熟练掌握因式分解的方法以及乘法法则是解决本题的关
键．
21．（2023春·全国·七年级专题练习）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整
数为“神秘数”．如， ， ，因此4，12，20这三个数都是神秘数．
（1）28和2012这两个数是神秘数吗?为什么?
（2）设两个连续偶数为 和 （其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗?
为什么?
（3）两个连续奇数的平方差（取正数）是神秘数吗?为什么?
【答案】（1）是，理由见解析；（2）是，理由见解析；（3）不是，理由见解析
【分析】（1）根据“神秘数”的定义，只需看能否把28和2012写成两个连续偶数的平方差即可判断；
（2）根据题意，列出算式，运用平方差公式进行计算，进而判断即可；
（3）设两个连续的奇数为：2k+1，2k-1，运用平方差公式进行计算，进而判断即可．
【详解】解：（1）∵28=82-62，
∴28是“神秘数”；
∵2012=5042-5022，
∴2012是“神秘数”；
（2）两个连续偶数构成的“神秘数”是4的倍数．理由如下：
（2k+2）2-（2k）2=（2k+2+2k）（2k+2-2k）=2（4k+2）=4（2k+1），
∴两个连续偶数构成的“神秘数”是4的倍数；
（3）设两个连续的奇数为：2k+1，2k-1，则
（2k+1）2-（2k-1）2=8k，
此数是8的倍数，但不是4的奇数倍，
由（2）知“神秘数”是4的倍数，但不是8的倍数，
所以两个连续的奇数的平方差不是神秘数．【点睛】此题考查了因式分解的实际运用，掌握平方差公式，理解新定义的意义是解题关键．
