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2025 年中考第三次模拟考试
数学·全解全析
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题
目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1． 的相反数是（ ）
A． B． C．2025 D．-2025
【答案】D
【知识点】相反数、求一个数的绝对值
【分析】本题考查了绝对值的意义，倒数的定义，由绝对值的意义可得 ，再根据倒数的定义
即可求解，掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】解：∵ ，
∴ 的相反数是-2025，
故选：D．
2．将如图所示的图形绕虚线旋转一周后，得到的几何体与下列花瓶形状最相似的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平面图形旋转后所得的立体图形
【分析】本题考查了几何体，解题关键是理解面动成体．根据面动成体判断出如图所示的图形旋转得到立体图形即可得解．
【详解】
解：根据面动成体可以得出， 旋转一周后的形状最相似的是 ，
故选：A．
3．如图，直线 ，若 ，那么 的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】几何图形中角度计算问题、根据平行线的性质求角的度数
【分析】本题考查了平行线的性质，角的和差，由平行线的性质得 ，再根据平角的定义解答
即可求解，掌握平行线的性质是解题的关键．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选：A．
4．下列各式从左边到右边的变形中，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】判断是否是因式分解【分析】本题考查了因式分解的意义，把一个多项式转化成几个整式积．根据因式分解是把一个多项式转
化成几个整式积，可得答案．
【详解】解：A、是多项式乘多项式的整式乘法，不是因式分解，故A错误；
B、没把一个多项式转化成几个整式积，不是因式分解，故B错误；
C、属于整式乘法运算，不是因式分解，故C错误；
D、把一个多项式转化成几个整式积，属于因式分解，故D正确；
故选：D．
5．如图， 在 中， 平分 交 于点 D， 点E是边 的中点，连接 ， 若
， 则 的长为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】B
【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、三线合一
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形中位线的性质，
先根据等腰三角形的性质可得点D是 的中点，进而得出 是 的中位线，可得 ，最后
结合 可得答案.
【详解】解：∵ 平分 ，
∴点D是 的中点.
∵点E是边 的中点，
∴ 是 的中位线，
∴ .
∵ ，
∴ .
故选：B.
6．如图，已知直线 与 相交于点 ，则关于 的不等式 的解集是（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】根据两条直线的交点求不等式的解集
【分析】本题考查图象法求不等式的解集．利用图象法求不等式的解集即可．
【详解】解：由图象可知： 时，直线 不在直线 的下方，
∴ 的解集为 ；
故选：C．
7．如图，在平行四边形 中，点 是 边上一点，连接 、 ，已知 是 的平分线，
是 的平分线，若 ， ，则平行四边形 的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】利用平行四边形的性质求解
【分析】此题主要考查了平行四边形的性质以及直角三角形的性质．利用角平分线的定义结合平行四边形
的性质得出 ，进而利用直角三角形的性质求出答案．
【详解】解： 是 的平分线， 是 的平分线，
， ，
∵ ，
，
，， ，
，
平行四边形 的面积 ，
故选：B．
8．已知二次函数 （a为常数，且 ），当 时，函数的最大值与最小值之差为
8，则a的值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【知识点】y=ax²+bx+c的最值、y=ax²+bx+c的图象与性质
【分析】本题考查了二次函数的最值问题，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．当 时，抛
物线开口向上，则抛物线在顶点处取得最小值，在 时取得最大值，当 时， ，
当 时， ，则 ，即可求解．
【详解】由抛物线的表达式知，函数的对称轴为直线 ，
则 比 距离对称轴远，
当 时，抛物线开口向上，则抛物线在顶点处取得最小值，在 时取得最大值，
当 时， ，
当 时， ，
则 ，解得 ， ，
故选：C．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
9．计算： ．
【答案】
【知识点】同底数幂相乘【分析】本题考查了同底数幂的乘法运算，掌握 是解题的关键．
根据同底数幂的乘法计算公式直接求解．
【详解】解： ，
故答案为： ．
10．我国古代著名数学著作《九章算术》总共收集了246个数学问题，这些问题的算法要比欧洲同类算法
早1500年．其中有这样一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，
问径几何？”用数学语言可以表述为：“如图， 为 的直径，弦 于点E， 寸，
寸（注：1尺 寸），则可得直径 的长为 尺．”
【答案】1
【知识点】用勾股定理解三角形、垂径定理的实际应用
【分析】本题主要考查了勾股定理和垂径定理，根据垂径定理得出 的长，设半径为r寸，再利用勾股定
理建立方程求解即可．
【详解】解：如图所示，连接 ，
，
由垂径定理知，点E是 的中点，
寸，
设半径为r寸，则 寸
在 中，由勾股定理得， ，
∴ ，
解得： ，
，即圆的直径为 寸，即为1尺．
故答案为：1．
11．如图是由正方形 和正五边形 叠放在一起形成的图形，点 是边 的中点，则 的
度数为 ．
【答案】 / 度
【知识点】正多边形的内角问题、直角三角形的两个锐角互余
【分析】本题考查的是正多边形的性质，正多边形的内角和定理的应用，根据正五边形的内角和可得
，结合直线 为正五边形的对称轴，可得 ，进一步结合正方
形的性质可得答案.
【详解】解：∵正五边形 ，点 是边 的中点，
∴ ，直线 为正五边形的对称轴，
∴ ，
∵正方形 ，
∴ ，
∴ ；
故答案为：
12．有四张大小和形状完全相同的卡片，卡片上分别写有 ，从这四张卡片中随机抽取两张，得到
的数字分别记为m、n，则使得反比例函数 的图象经过一，三象限的概率为 ．
【答案】
【知识点】列表法或树状图法求概率、已知双曲线分布的象限，求参数范围【分析】本题考查了反比例函数的性质，列表法或树状图法求概率，先理解反比例函数 的图象经过
一，三象限，则 ，再画树状图法，得出共有12种等可能的结果，满足 的结果有4种，即可作
答．
【详解】解：∵反比例函数 的图象经过一，三象限，
则 ，
依题意，画树状图如下：
共有12种等可能的结果，满足 的结果有4种，
即使得反比例函数 的图象经过一，三象限的概率为 ，
故答案为： ．
13．如图，在矩形 中， ， 为 的中点，将边 绕点 逆时针旋转，点 落在 处，
连接 ， ，若 ， ，则 ．
【答案】
【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长、根据旋转的性质求解
【分析】如图，过 作 于 ， ，证明 ，而 ，可得
，即 ，再利用勾股定理可得答案．
【详解】解：如图，过 作 于 ， ，∴ ，
∴ ，
由旋转可得： ， ，
∵ ， 为 的中点，
∴ ，
∵矩形 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，而 ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查的是旋转的性质，等腰三角形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定
理的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键．
三、解答题（本大题共13个小题，共81分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
14．（5分）计算： ．
【答案】3
【知识点】负整数指数幂、求一个数的立方根
【分析】本题主要考查负指数幂，立方根的计算，掌握实数的混合运算法则是关键．
先算负指数幂，立方根，绝对值，再根据实数的混合运算法则计算即可．
【详解】解：．
15．（5分）解不等式组：
【答案】
【知识点】求不等式组的解集
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，分别解出每个不等式的解集，然后确定不等式组的解集即可，
熟练掌握不等式组的解法是解题的关键．
【详解】解： ，
解不等式 得， ，
解不等式 得， ，
∴不等式组的解集为 ．
16．（5分）解方程：
【答案】
【知识点】解分式方程（化为一元一次）
【分析】本题主要考查了分式方程的解法，熟练掌握解分式方程的步骤和方法是解题关键．
根据分式方程的解法求解即可，注意不要忘记检验．
【详解】解：去分母，得： ，
去括号，得： ，
移项，得： ，
合并同类项，得： ，
检验：当 时， ，
是原方程的解．
17．（5分）如图，在 中， ， ，请利用尺规（无刻度的直尺和圆规），在 上找一点 ，使 （保留作图痕迹，不写作法）．
【答案】见详解
【知识点】作角平分线(尺规作图)、含30度角的直角三角形、根据等角对等边求边长
【分析】本题考查了30度所对的直角边是斜边的一半，等角对等边，同高的两个三角形的面积的比值等于
底边的比，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解题意，因为 ， ，故
，即 ，考虑 ，则 ，因为 平分 ，则
，此时 ，所以 的平分线 与 的交点为点D，即可
作答．
【详解】解：满足题意的点 如图所示：
18．（5分）如图，在菱形 中，点 在 上，点 在 上，且 ，连接 ，求证：
．
【答案】见解析
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、根据等边对等角证明、利用菱形的性质证明
【分析】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等边对等角．根据菱形的性质可得 ，
，证明 ，即可得出结论．
【详解】证明：∵四边形 是菱形，
∴ ， ，在 和 中， ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
19．（5分）小白和小天准备从《九章算术》《周髀算经》和《五经算术》三部古代数学著作中选择一本
进行阅读．现制作背面完全相同的三张卡片，正面分别写有《九章算术》《周髀算经》和《五经算术》的
名字．
(1)将这三张卡片混合后正面朝下放置在桌面上，小白先从中抽出一张，抽到《周髀算经》的概率是
______________．
(2)将（1）中小白抽出的卡片与剩余两张卡片混合后正面朝下放置在桌面上，小天再从中抽出一张，请利
用列表法或画树状图法，求两人抽到同一张卡片的概率．
【答案】(1)
(2) ，树状图见解析
【知识点】根据概率公式计算概率、列表法或树状图法求概率
【分析】本题考查了概率计算，用列表法或画树状图法求概率，熟练掌握用列表法或画树状图法求概率的
方法是解题的关键．
（1）用概率公式计算即可；
（2）设《九章算术》《周髀算经》和《五经算术》分别为 ，画树状图，得到共有 种等可能的结果，
其中两人抽到同一张卡片的结果有 种，用概率公式计算即可．
【详解】（1）解：由题意得共有 种等可能的结果，其中抽到《周髀算经》的结果有 种，
小白先从中抽出一张，抽到《周髀算经》的概率是 ；
故答案为： ；
（2）解：设《九章算术》《周髀算经》和《五经算术》分别为 ，画树状图如下，
共有 种等可能的结果，其中两人抽到同一张卡片的结果有 种，两人抽到同一张卡片的概率为 ．
20．（5分）某商场购进一种品牌空气净化加湿器，按进价加价 作为标价，为了能吸引消费者，在实
际销售中按标价的九折出售，并且每台送“打的”费50元，这样每售出一台可获利208元，求这种空气净
化加湿器的进价是多少元．
【答案】1200元
【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用)
【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，解题的关键在于找出题干中的等量关系．根据“每售出一
台可获利208元”列出方程求解，即可解题．
【详解】解：设这种空气净化加湿器进价是 元，
根据题意，得 ，
解得 ，
答：这种空气净化加湿器的进价是1200元．
21．（6分）我国新能源汽车快速健康发展，续航里程不断提升，王师傅驾驶一辆纯电动汽车从A市前往
B市．他驾车从A市一高速公路入口驶入时，该车的剩余电量是 ，行驶 时，剩余电量
；行驶了 后，从B市一高速公路出口驶出．已知该车在高速公路上行驶的过程中耗电量是
均匀的，若剩余电量用 表示，行驶路程用 表示．
(1)求该车y与x之间的关系式；
(2)已知这辆车的“满电量”为 ，求王师傅驾车从B市这一高速公路出口驶出时，该车的剩余电
量占“满电量”的百分之多少．
【答案】(1)
(2)
【知识点】求自变量的值或函数值、其他问题(一次函数的实际应用)
【分析】本题主要考查一次函数的运用，掌握待定系数法求解析式，求函数值的计算是关键．
（1）设 ，由题意知：当 时， ；当 时， ，用待定系数法即可求解；
（2）令 ，则 ，由此即可求解．【详解】（1）解：设 ，由题意知：当 时， ；当 时， ，
代入得， ．
解得： ， ，
；
（2）解：令 ，则 ，
，
答：该车的剩余电量占“满电量”的 ．
22．（7分）综合与实践：某学校数学兴趣小组测量田径场看台对面教学楼的高度．
活动主题 测量田径场看台对面教学楼的高度
测量工具 测角仪，皮尺、计算器等
模型抽象
①用皮尺测得看台 的长为12米，看台最低点 到地面 的距离 为2米；
②用测角仪在看台最高点 处测得教学楼最高点 的仰角为 ，在看台最低点 处测
测绘过程与数据
得教学楼最高点 的仰角为 ，看台的坡角 为 ；
信息
③参考数据： ，
， ．
请你根据测量结果，帮助数学兴趣小组求出教学楼 的高度（结果精确到0.1米）．
【答案】 米
【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用)
【分析】此题考查了解直角三角形的应用，过点 作 于点 ，延长 交 于点 ，过点 作
于点 ，设 米，求出 米， 米， ，米，根据 列方程解方程即可得到答案．
【详解】解：过点 作 于点 ，延长 交 于点 ，过点 作 于点 ，设
米，
由题意可知，四边形 都是矩形，
∴ 米， ， 米，
在 中， （米），
（米），
∴ 米，
在 中， ，
∴ 米，
∴ ，
在 中， 米，
∴ ，
∴
解得，
答：教学楼 的高度为 米
23．（7分）某校举办“学生讲堂”，九年级为了选出一位同学代表年级参赛，先后进行了笔试和面试．
在笔试中，甲、乙两位同学脱颖而出，他们的笔试成绩（满分 分）分别是 分、 分．在面试中，十
位评委对甲、乙两位同学的表现进行打分，每位评委最高打 分，面试成绩等于十位评委打分之和．对甲、
乙两位同学的面试数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
信息一：评委给甲、乙两位同学打分的折线统计图 信息二：甲、乙两位同学面试情况统计表评委打分 评委打分
同学 面试成绩
的中位数 的众数
甲
乙
根据以上信息，回答下列问题：
(1)填空： ____________分．
(2)在面试中，如果评委给某位同学的打分的波动越小，则认为评委对该同学面试的评价越一致．据此推断：
甲、乙两位同学中，评委对______________的评价更一致（填“甲”或“乙”）．
(3)按笔试成绩占 ，面试成绩占 确定甲、乙两位同学的综合成绩，综合成绩最高者将代表年级参
赛，请你通过计算确定参赛同学．
【答案】(1) ；
(2)乙；
(3)选甲同学参赛．
【知识点】折线统计图、求加权平均数、求中位数、运用方差做决策
【分析】本题考查了折线统计图，中位数、众数、方差以及加权平均数，理解中位数、方差的意义和计算
方法是解题的关键．
（ ）根据中位数的定义可得答案；
（ ）根据方差的意义解答即可；
（ ）根据加权平均数公式计算即可．
【详解】（1）解：十位评委对乙同学的表现打分： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，
∴从小到大排序为： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，
∴中位数 ，
故答案为： ；
（2）解：由折线统计图可知，甲的数据在 和 之间波动，乙的数据在 和 之间波动，
∴评委对乙同学的评价更一致，
故答案为：乙；
（3）解：甲的综合成绩， （分），
乙的综合成绩， （分），
∵ ，∴选甲同学参赛．
24．（8分）如图， 是 的直径，点 均在 上，连接 ，过点A作 的切线，
交 的延长线于点M，已知 ．
(1)求证：点D是劣弧 的中点；
(2)若 ， ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求证、半圆（直径）所对的圆周角是直角、相似三角形的判定与性
质综合、已知正切值求边长
【分析】（1）由平行线的性质得出 ，根据等边对等角可得出 ，等量代换可
得出 ，即可得出 ．
（2）连接 ，交 于点E，由直径所对的圆周角等于90度，由平行线的性质得出 ，又圆
切线的定义得出 ，由三角形内角和定理可得出 ，由正切的定义得出 ，
再证明 ，由相似三角形的性质即可求出答案．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ，
∵ ，
，
，
，
点D是劣弧 的中点．
（2）解：如图，连接 ，交 于点E，∵ 是 的直径，
，
，
是 的切线，
，
∵ ，
，
在 中， ，
∴
，
，
，
，
即 ，
解得： ．
【点睛】本题主要考查了圆心角，弦的关系，直径所对的圆周角等于90度，圆切线的定义，相似三角形的
判定以及性质，根据正切的定义求出线段长，平行线的性质，勾股定理等知识，掌握这些判定定理以及性
质是解题的关键．
25．（8分）某公园要在小广场建造一个喷泉景观．在小广场中央O处垂直于地面安装一个高为1.25米的
花形柱子 ，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过 的任—平面上抛物线路径如图1所示，为使水流形状较为美观，设计成水流在距 的水平距离
为1米时达到最大高度，此时离地面2.25米．
（1）以点O为原点建立如图2所示的平面直角坐标系，水流到 水平距离为x米，水流喷出的高度为y
米，求出在第一象限内的抛物线解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
问题解决：
（2）张师傅正在喷泉景观内维修设备，期间喷水管意外喷水，但是身高1.76米的张师傅却没有被水淋到，
此时他离花形柱子 的距离为d米，求d的取值范围．
【答案】（1） ；（2）
【知识点】喷水问题(实际问题与二次函数)、待定系数法求二次函数解析式
【分析】本题考查二次函数的应用和待定系数法求解析式，
（1）根据题意得到第一象限内的抛物线的顶点坐标，将抛物线设成顶点式，再将点 坐标代入即可求出
第一象限内的抛物线解析式；
（2）直接令 ，解方程求出 的值，再根据函数的图象和性质，求出 时 的取值范围即可；
【详解】解：（1）根据题意第一象限内的抛物线的顶点坐标为 ， ，
设第一象限内的抛物线解析式为 ，
将点 代入抛物线解析式，得 ，解得 ，
∴第一象限内的抛物线解析式为 ；
（2）根据题意，令 ，
即 ，解得 ， ，
∵ ，抛物线开口向下，
∴当 时， ，∴d的取值范围为 ．
26．（10分）问题提出
（1）如图1，在正方形 中，点E是其内部一点，连接 ， ，且 ．若 ，求
的最小值；
问题解决
（2）如图2，是某公园的一块四边形 空地的平面图，其中 ， ，
， ，园区管理员计划在空地中找一点E，修建四条观光小路 ， ， ，
（小路宽度不计），将其分成四个区域，用来种植不同的花卉．根据实际要求： ，且
的面积最小，请问是否存在这样的点E，使得 ，且 的面积最小？若存在，请确定出点
E的位置，并求出 面积的最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1） （2）存在；位置见解析；
【知识点】解直角三角形的相关计算、圆周角定理、用勾股定理解三角形、等边三角形的判定和性质
【分析】（1）如图1中，取 的中点O，连接 ， ．求出 ， ．再利用两点之间线段最短解
决问题；
（2）存在．如图2中，在 的下方作等边三角形 ，作 的外接圆 ，过点K作 交
于点E，点E即为所求．过点K作 的垂线交 于点M，连接 ， ，过点D作 于点
N，则四边形 是矩形，解直角三角形求出 ， ，可得结论．
【详解】解：（1）如图1中，取 的中点O，连接 ， ．∵四边形 是正方形，
， ．
， ，
．
．
，
的最小值为 ；
（2）存在．如图2中，在 的下方作等边三角形 ，作 的外接圆 ，过点K作 交
于点E，点E即为所求．
过点K作 的垂线交 于点M，连接 ， ，过点D作 于点N，
，
则四边形 是矩形．
， ．
，
，
，
，
， ．
是等边三角形，
．．
，
．
．
，
．
， ，
．
∴四边形 是平行四边形， ．
．
．
，
．
的面积的最小值 ．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，两点之间线段最短，直角三角形斜边中线，勾股定理，等边三角
形的性质，圆周角定理，解题的关键是掌握相关知识解决问题．
