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2024 年中考第一次模拟考试（山西卷）
数学·参考答案
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
D B B D C A C D D B
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11． ﹣
12．16
13．5
14．
15．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．（10分）
【解析】（1）解：原式 ————————————3分
=1-1+2-2———————————————————————————————4分
．————————————————————————————————5分
（2）任务一：①以上解题过程中，第一步进行整式乘法用到的是完全平方公式；——6分
②第三步进行因式分解用到的方法是提公因式法；——————————————7分
任务二：小明因式分解的结果不彻底， 还可以进行因式分解；——————8分
任务三：原式
————————————————————————————9分
= ——————————————————————————————10分17．（7分）
【解析】解： ，
去分母得：x﹣4﹣3＝3﹣x，——————————————————4分
解得：x＝5， ————————————————————————6分
经检验：x＝5是分式方程的解．——————————————-------7分
18．（9分）
【解析】解：（1）360．——————————————————————————————2分
（2）C组人数为：360﹣120﹣30﹣150＝60（人），
故补充条形统计图如下图：————————————————————————4分
（3） （人），
答：这1800名学生中有300人参加了篮球社团，————————————————6分
（4）设甲乙为男同学，丙丁为女同学，画树状图如下：
∵一共有12种可能的情况，恰好选择一男一女有8种，————————————8分
∴ ．—————————————————————— ——-9分
19．（8分）
【解析】解：（1）设A品牌的足球的单价为x元/个，B品牌的足球的单价为y元/个，根据题意得： ，————————————————————————2分
解得： ．—————————————————————————————3分
答：A品牌的足球的单价为40元/个，B品牌的足球的单价为100元/个．—————4分
（2）设购买A品牌足球a个，则购买B品牌足球（100﹣a）个．
则 ，——————————————————————6分
∴ ，————————————————————————————7分
∴a可取60，61，62，63，64，65，66共7种购买方案．
答：有7种购买方案．——————————————————————————8分
20．（8分）
【解析】解：（1）如图：过点D作DG⊥AB，垂足为G，
由题意得：四边形DGBF是矩形，
∴DG＝BF＝12cm，BG＝DF＝16cm，
在Rt DGB中，tan∠BDG＝ ＝ ＝ ，——————————————————2分
△
∴∠BDG＝53°，
∴∠PDH＝∠BDG＝53°，
∴入射角α的度数为53°；——————————————————————————3分
（2）∵BG＝16cm，BC＝7cm，
∴CG＝BG﹣BC＝9（cm），
在Rt CDG中，DG＝12cm，
△
∴DC＝ ＝ ＝15（cm），—————————————————4分∴sinβ＝sin∠GDC＝ ＝ ＝ ，—————————————————————5分
由（1）得：∠PDH＝53°，
∴sin∠PDH＝sinα≈ ，——————————————————----———————6分
∴折射率n＝ ＝ ＝ ，
∴光线从空气射入水中的折射率n约为 ．——————————————————8分
21．（8分）
【解析】解：（1）在等式两边同时加上（或减去）同一个数或同一个式子，等式仍成立；——2分
（2）：AC．————————————————————————————————4分
（3）证明：过点M作ME⊥CD，垂足为E，过点P作PF⊥AD，垂足为F．
则容易证明四边形AMED和ABPF均为矩形，
∴ME＝AD，PF＝AB，
∵AB＝AD，
∴ME＝PF
在四边形QOND中，
∵∠NOQ＝∠D＝90°，∠NOQ+∠D+∠OQD+∠OND＝360°，
∴∠OQD+∠OND＝180°，
∵∠FQP+∠OQD＝180°，
∴∠FQP＝∠OND＝∠MNE，————————————————————6分
∵∠FQP+∠QPF＝90°，∠MNE+∠NME＝90°，
∴∠QPF＝∠NME，
∵∠QPF＝∠NME，ME＝PF，∠PFQ＝∠MEN＝90°，——————————7分
∴△MNE≌△PQF（SAS），
∴MN＝PQ．————————————————————————————8分
22．（12分）
【解析】解：（1）BE＝CF，∠BDC＝30°，————————————————————2分
（2）BE＝CF，∠BDC＝60°，
理由如下：如图2所示：证明：∵∠BAC＝∠EAF＝120°，
∴∠BAC﹣∠EAC＝∠EAF﹣∠EAC，
即∠BAE＝∠CAF，
又∵△ABC和△AEF都是等腰三角形，
∴AB＝AC，AE＝AF，
∴△BAE≌△CAF（SAS）——————————————————————————4分
∴BE＝CF，
∴∠AEB＝∠AFC，
∵∠EAF＝120°，AE＝AF，
∴∠AEF＝∠AFE＝30°，
∴∠BDC＝∠BEF﹣∠EFD＝∠AEB+30°﹣（∠AFC﹣30°）＝60°；——————6分
（3）BF＝CF+2AM，————————————————————————9分
（4））△ABP的面积为： 或 ．———————————————12分
23．（13分）
【解析】解：（1）当y＝ x2﹣ x﹣2＝0时，
解得：x ＝﹣1，x ＝4，
1 2
∴A（﹣1，0），B（4，0）；—————————————————————————2分
当x＝0时，y＝ x2﹣ x﹣2＝﹣2，
∴C（0，﹣2）；——————————————————————————————3分
（2）∵OE＝EC，
∴点E在OC的垂直平分线上，
∵C（0，﹣2），
∴点E的纵坐标为﹣1，——————————————————————————4分将y＝﹣1代入抛物线y＝ x2﹣ x﹣2得，
x2﹣ x﹣2＝﹣1，解得x＝ ；
∴点E的坐标为（ ，﹣1）或（ ，﹣1）；———————————6分
（3）∵y＝ x2﹣ x﹣2与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0），
∴y＝ x2﹣ x﹣2的对称轴为直线x＝ ＝ ，——————————————7分
设点F的坐标的坐标为（ ，m），
①当BC为边，BF为对角线时，BC＝CF，
∴BC2＝CF2，
∴42+22＝（ ）2+（m+2）2，
解得m＝± ，
∴点F的坐标为（ ， ﹣2）或（ ，﹣ ﹣2）；————————————9分
②当BC为边，CF为对角线时，BC＝BF，∴BC2＝BF2，
∴42+22＝（4﹣ ）2+m2，
解得m＝± ，
∴点F的坐标为（ ， ）或（ ，﹣ ）；————————————————12分
综上所述，点F的坐标为（ ， ﹣2）或（ ，﹣ ﹣2）或（ ， ）或（ ，﹣ ）．
——————————————————13分
