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2023--2024学年度人教版数学八年级上册期末复习核心考点三种题型精炼
专题13 因式分解及其应用问题
一、选择题
1.（2023浙江杭州） 分解因式： （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】利用平方差公式分解即可．
．
故选：A．
【点睛】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．因式分解的方法有：提公
因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．
2. （2023山东济宁）下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】根据因式分解的概念可进行排除选项．
A、 ，属于整式的乘法，故不符合题意；
B、 ，不符合几个整式乘积的形式，不是因式分解；故不符合题意；
C、 ，属于因式分解，故符合题意；
D、因为 ，所以因式分解错误，故不符合题意；
故选C．
【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的概念是解题的关键．
3.a4b﹣6a3b+9a2b分解因式得正确结果为( )
A．a2b（a2﹣6a+9） B．a2b（a﹣3）（a+3） C．b（a2﹣3）2 D．a2b（a﹣3）2【答案】D
【解析】提公因式法与公式法的因式分解。要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因
式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方式或平方差式，若是就考虑用公式法继续
分解因式。因此，
a4b﹣6a3b+9a2b=a2b（a2﹣6a+9）=a2b（a﹣3）2。故选D。
4．把多项式x2+ax+b分解因式，得（x+1）（x﹣3）则a，b的值分别是（ ）
A．a=2，b=3 B．a=﹣2，b=﹣3 C．a=﹣2，b=3 D．a=2，b=﹣3
【答案】B
【解析】本题考查了多项式的乘法，解题的关键是熟练运用运算法则．因式分解的应用．运用多项式乘以
多项式的法则求出（x+1）（x﹣3）的值，对比系数可以得到a，b的值．
∵（x+1）（x﹣3）=x•x﹣x•3+1•x﹣1×3=x2﹣3x+x﹣3=x2﹣2x﹣3
∴x2+ax+b=x2﹣2x﹣3
∴a=﹣2，b=﹣3．
5. 多项式 因式分解的结果是( )
A. x（x﹣4）+4 B. （x+2）（x﹣2） C. （x+2）2 D. （x﹣2）2
【答案】D
【解析】根据完全平方公式进行因式分解即可．
．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了公式法分解因式，理解完全平方公式是解答关键．
6.把多项式 x2﹣6x+9 分解因式，结果正确的是（ ）
A．（x﹣3）2 B．（x﹣9）2
C．（x+3）（x﹣3） D．（x+9）（x﹣9）
【答案】A
【解析】原式利用完全平方公式分解即可．
x2﹣6x+9=（x﹣3）2
7. 分解因式4x2－y2的结果是（ ）
A．（4x+y）（4x﹣y） B．4（x+y）（x﹣y）
C．（2x+y）（2x﹣y） D．2（x+y）（x﹣y）
【答案】C【解析】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．直接利用平方差公式分解因式得出
答案． 4x2－y2＝（2x）2－y2 =（2x+y）（2x﹣y）．
8. 下列因式分解正确的是( )
A.x2－x＝x(x+1) B.a2－3a－4＝(a+4)(a－1)
C.a2+2ab－b2＝(a－b)2 D.x2－y2＝(x+y)(x－y)
【答案】D
【解析】
A.x2－x＝x(x－1),错误;
B.a2－3a－4＝(a－4)(a+1),错误;
C.a2+2ab－b2不能因式分解,故错误;
D.x2－y2＝(x+y)(x－y),是平方差公式;
故选D
9.把多项式 分解因式，结果正确的是
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】运用公式法
，故选：B．
10.把2a2﹣8分解因式，结果正确的是（ ）
A．2（a2﹣4） B．2（a﹣2）2
C．2（a+2）（a﹣2） D．2（a+2）2
【答案】C
【解析】提公因式法与公式法的综合运用
原式＝2（a2﹣4）＝2（a+2）（a﹣2），故选：C．
11. 下列因式分解正确的是（ ）
A． x2﹣4=（x+4）（x﹣4） B． x2+2x+1=x（x+2）+1
C． 3mx﹣6my=3m（x﹣6y） D． 2x+4=2（x+2）
【答案】D
【解析】A.原式利用平方差公式分解得到结果，即可做出判断；原式=（x+2）（x﹣2），错误；
B.原式利用完全平方公式分解得到结果，即可做出判断；
原式=（x+1）2，错误；
C.原式提取公因式得到结果，即可做出判断；
原式=2m（x﹣2y），错误；
D.原式提取公因式得到结果，即可做出判断．
原式=2（x+2），正确。
12. 下列因式分解正确的是（ ）
A． a4b﹣6a3b+9a2b=a2b（a2﹣6a+9） B． x2﹣x+ =（x﹣ ）2
C． x2﹣2x+4=（x﹣2）2 D． 4x2﹣y2=（4x+y）（4x﹣y）
【答案】B
【解析】原式各项分解得到结果，即可做出判断．
A.原式=a2b（a2﹣6a+9）=a2b（a﹣3）2，错误；
B.原式=（x﹣ ）2，正确；
C.原式不能分解，错误；
D.原式=（2x+y）（2x﹣y），错误。
13. 把多项式 x2﹣6x+9 分解因式，结果正确的是（ ）
A．（x﹣3）2 B．（x﹣9）2
C．（x+3）（x﹣3） D．（x+9）（x﹣9）
【答案】A
【解析】原式利用完全平方公式分解即可．
x2﹣6x+9=（x﹣3）2
14. 把多项式4x2﹣2x﹣y2﹣y用分组分解法分解因式，正确的分组方法应该是（ ）
A. （4x2﹣y）﹣（2x+y2） B. （4x2﹣y2）﹣（2x+y）
C. 4x2﹣（2x+y2+y） D. （4x2﹣2x）﹣（y2+y）
【答案】B
【解析】把第一、三项为一组，利用平方差公式分解因式，二四项为一组，整理后再利用提公因式法分解
因式即可．
原式=4x2﹣2x﹣y2﹣y，
=（4x2﹣y2）﹣（2x+y），=（2x﹣y）（2x+y）﹣（2x+y），
=（2x+y）（2x﹣y﹣1）．
15．因式分解：1﹣4y2＝（ ）
A．（1﹣2y）（1+2y） B．（2﹣y）（2+y）
C．（1﹣2y）（2+y） D．（2﹣y）（1+2y）
【答案】A
【解析】直接利用平方差公式分解因式得出答案．
1﹣4y2
＝1﹣（2y)7
＝（1﹣2y）（2+2y）．
16.把多项式4x2﹣2x﹣y2﹣y用分组分解法分解因式，正确的分组方法应该是（ ）
A. （4x2﹣y）﹣（2x+y2） B. （4x2﹣y2）﹣（2x+y）
C. 4x2﹣（2x+y2+y） D. （4x2﹣2x）﹣（y2+y）
【答案】B
【解析】把第一、三项为一组，利用平方差公式分解因式，二四项为一组，整理后再利用提公因式法分解
因式即可．
原式=4x2﹣2x﹣y2﹣y
=（4x2﹣y2）﹣（2x+y）
=（2x﹣y）（2x+y）﹣（2x+y）
=（2x+y）（2x﹣y﹣1）．
二、填空题
1. （2023湖南张家界）因式分解： ______．
【答案】
【解析】先提取公因式，然后利用完全平方公式因式分解即可．
，
故答案为： ．
【点睛】题目主要考查因式分解的方法，熟练掌握提公因式法及公式法是解题关键．
2. （2023湖南株洲）因式分解 ______．【答案】
【解析】直接利用乘法公式分解因式得出答案．
（x﹣1）2．
故答案为：（x﹣1）2．
【点睛】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用乘法公式是解题关键．
3.（2023江苏苏州） 因式分解：a2+ab=_____．
【答案】a（a+b）．
【解析】直接提公因式a即可.
a2+ab=a（a+b）．
为
故答案 ：a（a+b）．
4. （2023江苏扬州）分解因式： __________．
【答案】
【解析】先提公因式再利用平方差公式分解因式即可．
故答案为： ．
【点睛】本题考查利用提公因式、平方差公式分解因式等知识， 是重要考点，难度较易，掌握相关知识是
解题关键．
5. （2023长春）分解因式： =____．
【答案】 ．
【解析】利用平方差公式分解因式即可得到答案
．故答案为：
【点睛】本题考查的是利用平方差公式分解因式，掌握利用平方差公式分解因式是解题的关键．
6. （2023四川内江）分解因式：x3﹣xy2=_____．
【答案】x（x+y）（x-y）
【解析】先提取公因式x，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
x3-xy2=x（x2-y2）=x（x+y）（x-y），
故答案为：x(x+y)(x-y)．
【点睛】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再
用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
7. （2023浙江温州）分解因式： ____________ ．
【答案】
【解析】利用提公因式法进行解题，即可得到答案．
．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了因式分解，解题的关键是掌握提公因式法进行解题．
8. （2023浙江台州）因式分解：x2﹣3x=_____．
【答案】x（x﹣3）
【解析】提取公因式x即可，即x2﹣3x=x（x﹣3）．
9.（2023甘肃兰州） 因式分解： ______．
【答案】
【解析】直接利用平方差分解即可．
．
故答案为： ．
【点睛】本题考查因式分解，解题的关键是熟练掌握平方差公式．10. （2023深圳）已知实数a，b，满足 ， ，则 的值为______．
【答案】42
【解析】首先提取公因式，将已知整体代入求出即可．
．
故答案为：42．
【点睛】考查了求代数式的值，提公因式法因式分解，整体思想的应用，解题的关键是掌握以上知识点．
11. （2023山东东营）因式分解： ___________．
【答案】
【解析】根据因式分解中 的提公因式法和完全平方公式即可求出答案．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了因式分解，涉及到提公因式法和完全平方公式，解题的关键需要掌握完全平方公式．
12. （2023山东菏泽）因式分解： ______．
【答案】
【解析】直接提取公因式m，进而分解因式即可．
m2-4m=m(m-4)．
故答案为：m(m-4)．
【点睛】本题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
13. （2023山东济宁）已知实数 满足 ，则 _________．【答案】8
【解析】由题意易得 ，然后整体代入求值即可．
∵ ，
∴ ，
∴
；
故答案为8．
【点睛】本题主要考查因式分解及整体思想，熟练掌握利用整体思维及因式分解求解整式的值．
14．把多项式x3+2x2﹣3x因式分解，结果为 ．
【答案】x（x+3）（x﹣1）．
【解析】先提取公因式x，再利用十字相乘法分解因式即可．
原式＝x（x2+2x﹣3）＝x（x+3）（x﹣1）．
15．x5﹣1＝ ．
【答案】(x﹣1)( x4+ x3+ x2+ x+1)
【解析】利用填项、分组、提出公因式法分解因式得出答案．
x5﹣1
＝x5﹣x4+x4﹣1
＝（x5﹣x4）+（x4﹣1）
＝x4（x﹣1）+（x2+1）（x2﹣1）
＝x4（x﹣1）+（x2+1）（x+1）（x﹣1）
=（x﹣1）[x4+（x2+1）（x+1）]=（x﹣1）[x4+（x3+ x2+x+1）]
=（x﹣1）(x4+x3+ x2+x+1）
16．分解因式：16x4﹣81＝ ．
【答案】（4x2+9）（2x+3）（2x﹣3）．
【解析】16x4﹣81＝（4x2+9）（4x2﹣9）
＝（4x2+9）（2x+3）（2x﹣3）．
故答案为：（4x2+9）（2x+3）（2x﹣3）．
17. 因式分解：a2+1﹣2a+4（a﹣1）
【答案】（a﹣1）（a+3）．
【解析】根据因式分解﹣分组分解法分解因式即可．
a2+1﹣2a+4（a﹣1）
＝（a﹣1）2+4（a﹣1）
＝（a﹣1）（a﹣1+4）
＝（a﹣1）（a+3）．
三、解答题
1.（2023齐齐哈尔）分解因式： ．
【答案】 ．
【解析】先提取公因式，然后再利用完全平方公式继续分解即可．
原式
．
【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，准确熟练地进行计算是解题的关键．
2.因式分解：
【答案】
【解析】先提公因式，再根据完全平方公式因式分解即可．
原式 ．
3.已知a+b=3，ab=2，求代数式a3b+2a2b2+ab3的值．
【答案】18【解析】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再
用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．先提取公因式ab，再根据完全平方
公式进行二次分解，然后代入数据进行计算即可得解．
a3b+2a2b2+ab3
=ab（a2+2ab+b2）
=ab（a+b）2，
将a+b=3，ab=2代入得，ab（a+b）2=2×32=18．
故代数式a3b+2a2b2+ab3的值是18．
4. 把下列各式分解因式：
x2 −2x−15 x2 −5xy+6 y2
（1） ； （2） ．
【答案】见解析。
【解析】（1）常数项－15可分为3 ×(－5)，且3＋(－5)＝－2恰为一次项系数。
x2 −2x−15=(x+3)(x−5)
6 y2
（2）将y看作常数，转化为关于x的二次三项式，常数项 可分为(－2y)(－3y)，而(－2y)＋(－3y)＝
(－5y)恰为一次项系数．
x2 −5xy+6 y2 =(x−2y)(x−3y)
5.分解因式： ．
【答案】见解析。
【解析】直接利用完全平方公式化简，进而利用平方差公式分解因式即可．
原式 ．
6. 若|m﹣4|与n2﹣8n+16互为相反数，把多项式a2+4b2﹣mab﹣n因式分解．
【答案】见解析。
【解析】∵|m﹣4|与n2﹣8n+16互为相反数，
∴|m﹣4|+n2﹣8n+16=0，
∴|m﹣4|+（n﹣4）2=0，∴m﹣4=0，n﹣4=0，
∴m=4，n=4，
∴a2+4b2﹣mab﹣n=a2+4b2﹣4ab﹣4=（a2+4b2﹣4ab）﹣4=（a﹣2b）2﹣22=（a﹣2b+2）（a﹣2b﹣2）．
7.先阅读以下材料，然后解答问题．
分解因式mx+nxmy+ny=（mx+nx）+（my+ny）=x（m+n）+y（m+n）=（m+n）（x+y）；
也可以mx+nxmy+ny=（mx+my）+（ nx+ny）=m（x+y）+n（x+y）=（m+n）（x+y）．
以上分解因式的方法称为分组分解法．请用分组分解法分解因式：a3﹣b3+a2b﹣ab2 ．
【答案】见解析。
【解析】a3﹣b3+a2b﹣ab2
=（a3+a2b）﹣（b3+ab2）
=a2（a+b）﹣b2（b+a）
=（a+b）（a2﹣b2）
=（a+b）2（a﹣b）．
8.我们知道，任意一个正整数x都可以进行这样的分解： （m，n是正整数，且 ），在x的
所有这种分解中，如果m，n两因数之差的绝对值最小，我们就称 是x的最佳分解．并规定：
．
例如：18可以分解成 ， 或 ，因为 ，所以 是18的最佳分解，所以
．
（1）填空： ； ；
（2）一个两位正整数t（ ， ，a，b为正整数），交换其个位上的数字与十位上的
数字得到的新数减去原数所得的差为54，求出所有的两位正整数；并求 的最大值；
（3）填空：① ；② ；
③ ；④ ．【答案】（1） ；1；（2）t为39，28，17； 的最大值 ；（3）
【分析】（1）6＝1×6＝2×3，由已知可求 ＝ ；9=1×9=3×3，由已知可求 =1；
（2）由题意可得：交换后的数减去交换前的数的差为：10b＋a−10a−b＝9（b−a）＝54，得到b−a＝6，
可求t的值，故可得到 的最大值；（3）根据 的定义即可依次求解．
【解析】（1）6＝1×6＝2×3，∵6−1＞3−2，∴ ＝ ；9=1×9=3×3，
∵9−1＞3−3，∴ =1，故答案为： ；1；
（2）由题意可得：交换后的数减去交换前的数的差为：10b＋a−10a−b＝9（b−a）＝54，∴b−a＝6，
∵1≤a≤b≤9，∴b＝9，a＝3或b＝8，a＝2或b＝7，a＝1，∴t为39，28，17；
∵39＝1×39＝3×13，∴ ＝ ；28＝1×28＝2×14＝4×7，∴ ＝ ；
17＝1×17，∴ ；∴ 的最大值 ．
（3）①∵ =20×21∴ ；
② =28×30∴ ；
③∵ =56×30∴ ；
④∵ =56×60∴ ，故答案为： ．
【点睛】本题考查因式分解的应用；理解题意，从题目中获取信息，列出正确的代数式，再由数的特点求解是解题的关键．
