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浙江省金华市、丽水市2020 年中考数学试卷 一、选择题(本题有10 小题，每小题3 分，共30 分) 1.有理数3 的相反数是（ ） A. ﹣3 B. ﹣ C. 3 D. 【答案】A 【解析】 分析】 依据相反数的定义求解即可． 【详解】解：3 的相反数是﹣3． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了相反数的定义．只有符号不同的两个数称互为相反数． 2.分式 的值是零，则x 的值为（ ） A 5 B. 2 C. －2 D. －5 【答案】D 【解析】 【分析】 分式的值为零：分子等于零，且分母不等于零． 【详解】解：依题意，得 x+5=0，且x-2≠0， 解得，x=-5,且x≠2,即答案为x=-5． 故选：D． 【点睛】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0； （2）分母不为0．这两个条件缺一不可． 3.下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据平方差公式的特点分析即可． 【详解】解：A、 不能运用平方差公式分解，故此选项错误； B、 不能运用平方差公式分解，故此选项错误： C、 能运用平方差公式分解，故此选项正确： D、 不能运用平方差公式分解，故此选项错误； 故答案为C． 【点睛】本题考查了平方差公式和因式分解，运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式、两项都能 写成平方的形式且符号相反． 4.下列四个图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据中心对称的图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合， 那么这个图形就是中心对称图形． 【详解】A 选项不是中心对称图形，故本选项错误； B 选项不是中心对称图形，故本选项错误； C 选项是中心对称图形，故本选项错误； D 选项不是中心对称图形，故本选项错误； 故本题答案选C． 【点睛】本题主要考查的是中心对称图形的定义，理解定义是解本题的关键． 5.如图，有一些写有号码的卡片，它们的背面都相同，现将它们背面朝上，从中任意摸出一张，摸到1 号 卡片的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据概率公式直接求解即可． 【详解】解：∵共有6 张卡片，其中写有1 号的有3 张， ∴从中任意摸出一张，摸到1 号卡片的概率是 ， 故选：A． 【点睛】此题考查了概率的求法，用到的知识点为：可能性等于所求情况数与总情况数之比． 6.如图，工人师傅用角尺画出工件边缘AB 的垂线a 和b，得到a∥b，理由是（ ） A. 连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 B. 在同一平面内，垂直于同一条直线 两条直线互相平行 C. 在同一平面内，过一点有一条而且仅有一条直线垂直于已知直线 D. 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 【答案】B 【解析】 【分析】 根据在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行判断即可． 【详解】解： ∵由题意a⊥AB，b⊥AB， ∴∠1=∠2 ∴a∥b 所以本题利用的是：同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行， 故选：B． 【点睛】本题考查平行线的判定，平行公理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 7.已知点(－2，a)，(2，b)，(3，c)在函数 的图象上，则下列判断正确的是（ ） A. a＜b＜c B. b＜a＜c C. a＜c＜b D. c＜b＜a 【答案】C 【解析】 【分析】 根据反比例函数的性质得到函数 的图象分布在第一、三象限，在每一象限， 随 的增大而 减小，则 ， ． 【详解】解： ， 函数 的图象分布在第一、三象限，在每一象限， 随 的增大而减小， ， ， ， ． 故选： ． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 8.如图，⊙O 是等边△ABC 的内切圆，分别切AB，BC，AC 于点E，F，D，P 是 上一点，则∠EPF 的 度数是（ ） A. 65° B. 60° C. 58° D. 50° 【答案】B 【解析】 【分析】 连接OE，OF．求出∠EOF 的度数即可解决问题． 【详解】解：如图，连接OE，OF． ∵⊙O 是△ABC 的内切圆，E，F 是切点， ∴OE⊥AB，OF⊥BC， ∴∠OEB=∠OFB=90°， ∵△ABC 是等边三角形， ∴∠B=60°， ∴∠EOF=120°， ∴∠EPF= ∠EOF=60°， 故选：B． 【点睛】本题考查三角形的内切圆与内心，切线的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本 知识，属于中考常考题型． 9.如图，在编写数学谜题时，“□”内要求填写同一个数字，若设“□”内数字为x，则列出方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 直接利用表示十位数的方法进而得出等式即可． 【详解】解：设“□”内数字为x，根据题意可得： 3×（20+x）+5=10x+2． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，正确表示十位数是解题关键． 10.如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCD 与正方形EFGH.连结EG，BD 相 交于点O，BD 与HC 相交于点P.若GO=GP，则 的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 分析】 证明 ，得出 ．设 ，则 ， ，由勾股定 理得出 ，则可得出答案． 【详解】解： 四边形 为正方形， ， ， ， ， ， 又 ， ， ， ， ， ， ． 设 ， 为 ， 的交点， ， ， 四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”， ， ， ， ． 故选： ． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质等知识，熟 练掌握勾股定理的应用是解题的关键． 二、填空题 (本题有6 小题，每小题4 分，共24 分) 11.点P(m，2)在第二象限内，则m 的值可以是(写出一个即可)______． 【答案】－1（答案不唯一，负数即可） 【解析】 【分析】 根据第二象限的点符号是“-，+”，m 取负数即可． 【详解】∵点P(m，2)在第二象限内， ∴ ， m 取负数即可，如m=-1， 故答案为：－1（答案不唯一，负数即可）． 【点睛】本题考查了已知点所在象限求参数，属于基础题，掌握第二象限点坐标的符号是“-，+”是解题 的关键． 12.数据1，2，4，5，3 的中位数是______． 【答案】3 【解析】 【分析】 先将题目中的数据按照从小到大排列，即可得到这组数据的中位数． 【详解】解：数据1，2，4，5，3 按照从小到大排列是1，2，3，4，5， 则这组数据的中位数是3， 故答案为：3． 【点睛】本题考查中位数，解答本题的关键是明确中位数的含义，会求一组数据的中位数． 13.如图为一个长方体，则该几何体主视图的面积为______cm2. 【答案】20 【解析】 【分析】 根据从正面看所得到的图形，即可得出这个几何体的主视图的面积． 【详解】解：该几何体的主视图是一个长为5，宽为4 的矩形，所以该几何体主视图的面积为20cm2． 故答案为：20． 【点睛】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图． 14.如图，平移图形M，与图形N 可以拼成一个平行四边形，则图中α 的度数是______°． 【答案】30 【解析】 【分析】 根据平行四边形的性质解答即可． 【详解】解： 四边形 是平行四边形， ， ， 故答案为：30． 【点睛】此题考查平行四边形的性质和多边形的内角和，关键是根据平行四边形的邻角互补解答． 15.如图是小明画的卡通图形，每个正六边形的边长都相等，相邻两正六边形的边重合，点A，B，C 均为 正六边形的顶点，AB 与地面BC 所成的锐角为β，则tanβ 的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】 作AT//BC，过点B 作BH⊥AT 于H，设正六边形的边长为a，则正六边形的半径为a，边心距= a，然 后再.求出BH、AH 即可解答． 【详解】解：如图，作AT//BC，过点B 作BH⊥AT 于H，设正六边形的边长为a，则正六边形的半径为 a，边心距= a 观察图像可知： 所以tanβ＝ ． 故答案为 ． 【点睛】本题考查了正六边形的性质和解直角三角形的应用，解题的关键在于正确添加常用辅助线、构造 直角三角形求解． 16.图1 是一个闭合时的夹子，图2 是该夹子的主视示意图，夹子两边为AC，BD（点A 与点B 重合），点 O 是夹子转轴位置，OE⊥AC 于点E，OF⊥BD 于点F，OE=OF=1cm，AC=BD=6cm， CE=DF， CE:AE=2:3.按图示方式用手指按夹子，夹子两边绕点O 转动． (1)当E，F 两点的距离最大值时，以点A，B，C，D 为顶点的四边形的周长是_____ cm． (2)当夹子的开口最大（点C 与点D 重合）时，A，B 两点的距离为_____cm． 【答案】 (1). 16 (2). 【解析】 【分析】 （1 ）当E 、O 、F 三点共线时，E 、F 两点间的距离最大，此时四边形ABCD 是矩形，可得 AB=CD=EF=2cm，根据矩形的性质求出周长即可． （2）当夹子的开口最大（点C 与D 重合）时，连接OC 并延长交AB 于点H，可得 ， AH=BH，利用已知先求出 ，在Rt△OEF 中利用勾股定理求出CO 的长，由 ，求出AH，从而求出AB=2AH 的长． 【详解】（1）当E、O、F 三点共线时，E、F 两点间的距离最大，此时四边形ABCD 是矩形， AB=CD=EF=2cm ∴ ， ∴以点A，B，C，D 为顶点的四边形的周长为2+6+2+6=16cm． （2）当夹子的开口最大（点C 与D 重合）时，连接OC 并延长交AB 于点H， ∴ ，AH=BH， AC=BD=6cm ∵ ，CE∶AE=2∶3， ∴ ， 在Rt△OEF 中， ， ∵ ， ， ∴AB=2AH= ． 故答案为16， ． 【点睛】本题主要考查了勾股定理与旋转的结合，做题时准确理解题意利用已知的直角三角形进行求解是 解题的关键． 三、解答题 (本题有8 小题，共66 分，各小题都必须写出解答过程) 17.计算： 【答案】5 【解析】 【分析】 利用零次幂的性质、二次根式的性质、特殊角的三角函数值、绝对值的性质进行计算，再算加减即可． 【详解】解：原式 ． 【点睛】此题主要考查了实数运算，关键是掌握零次幂、二次根式的性质、特殊角的三角函数值、绝对值 的性质． 18.解不等式： 【答案】x <3 【解析】 【分析】 去括号，移项、合并同类项，系数化为1 求得即可． 【详解】解： ， ， ， ． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握解不等式的步骤是解题的关键． 19.某市在开展线上教学活动期间，为更好地组织初中学生居家体育锻炼，随机抽取了部分初中学生对“最 喜爱的体育锻炼项目”进行线上问卷调查（每人必须且只选其中一项），得到如下两幅不完整的统计图表， 请根据图表信息回答下列问题： 类别 项 目 人数 A 跳绳 59 B 健身操 ▲ C 俯卧撑 31 D 开合跳 ▲ E 其它 22 （1）求参与问卷调查的学生总人数． （2）在参与问卷调查的学生中，最喜爱“开合跳”的学生有多少人？ （3）该市共有初中学生约8000 人，估算该市初中学生中最喜爱“健身操”的人数． 【答案】（1）200;（2）48;（3）1600 【解析】 【分析】 （1）从统计图表中可得，“E 组 其它”的频数为22，所占的百分比为11%，可求出调查学生总数； （2）“开合跳”的人数占调查人数的24%，即可求出最喜爱“开合跳”的人数； （3）求出“健身操”所占的百分比，用样本估计总体，即可求出8000 人中喜爱“健身操”的人数． 【详解】解：（1）22÷11%＝200. ∴参与问卷调查的学生总人数为200 人. （2）200×24%＝48. 答:最喜爱“开合跳”的学生有48 人. （3）抽取学生中最喜爱“健身操”的初中学生有200－59－31－48－22＝40（人）， . ∴最喜爱“健身操” 初中学生人数约为1600 人. 【点睛】本题考查统计表、扇形统计图的意义和制作方法，理解统计图表中的数量之间的关是解决问题的 关键． 20.如图， 的半径OA=2，OC⊥AB 于点C，∠AOC＝60°． （1）求弦AB 的长． （2）求 的长． 【答案】（1）2 ;（2） 【解析】 【分析】 （1）根据题意和垂径定理，可以求得 的长，然后即可得到 的长； （2）根据 ，可以得到 的度数，然后根据弧长公式计算即可． 【详解】解：（1） 的半径 ， 于点 ， ， ， ； （2） ， ， ， ， 的长是： ． 【点睛】本题考查弧长的计算、垂径定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 21.某地区山峰的高度每增加1 百米，气温大约降低0.6℃.气温T(℃)和高度h(百米)的函数关系如图所示.请 根据图象解决下列问题： （1）求高度为5 百米时的气温． （2）求T 关于h 的函数表达式． （3）测得山顶的气温为6℃，求该山峰的高度． 【答案】（1）12℃;（2）T＝－0.6h＋15;（2）15;（3）该山峰的高度大约为15 百米 【解析】 【分析】 （1）根据高度每增加1 百米，气温大约降低0.6℃，由3 百米时温度为13.2°C，即可得出高度为5 百米时 的气温； （2）应用待定系数法解答即可； （3）根据（2）T＝－0.6h＋15 的结论，将T＝6 代入，解答即可． 【详解】解：（1）由题意得 高度增加2 百米，则温度降低2×0.6＝1.2（℃）. ∴13.2－1.2＝12 ∴高度为5 百米时的气温大约是12℃. （2）设T=-0.6h+b(k≠0)， 当h＝3 时，T＝13.2， 13.2=－0.6 3+b， 解得 b=15. ∴T＝－0.6h＋15. （3）当T＝6 时，6＝－0.6h＋15， 解得h＝15. ∴该山峰的高度大约为15 百米. 【点睛】本题考查一次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的 思想解答问题． 22.如图，在△ABC 中，AB= ，∠B=45°，∠C=60°． （1）求BC 边上的高线长． （2）点E 为线段AB 的中点，点F 在边AC 上，连结EF，沿EF 将△AEF 折叠得到△PEF． ①如图2，当点P 落在BC 上时，求∠AEP 的度数． ②如图3，连结AP，当PF⊥AC 时，求AP 的长． 【答案】（1）4;（2）①90°；② 【解析】 【分析】 （1）如图1 中，过点A 作AD⊥BC 于D．解直角三角形求出AD 即可． （2）①证明BE=EP，可得∠EPB=∠B=45°解决问题． ②如图3 中，由（1）可知：AC= ，证明△AEF∽△ACB，推出 ，由此求出AF 即可解决问题． 【详解】解：（1）如图1，过点A 作AD⊥BC 于点D， 在Rt△ABD 中， = =4. （2）①如图2，∵△AEF≌△PEF， ∴AE＝EP. 又∵AE＝BE ， ∴BE＝EP， ∴∠EPB＝∠B＝45°， ∴∠AEP＝90°. ②如图3，由（1）可知：在Rt△ADC 中， . ∵PF⊥AC， ∴∠PFA＝90°. ∵△AEF≌△PEF， ∴∠AFE＝∠PFE＝45°，则∠AFE＝∠B. 又∵∠EAF＝∠CAB， ∴△EAF∽△CAB， ∴ ＝ ，即 ＝ ， ∴AF＝ , 在Rt△AFP 中，AF＝PF，则AP＝ ＝ . 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了解直角三角形的应用，翻折变换，全等三角形的性质，相似三角 形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型． 23.如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数 图象的顶点为A，与y 轴交于点B，异 于顶点A 的点C(1，n)在该函数图象上． （1）当m=5 时，求n 的值． （2）当n=2 时，若点A 在第一象限内，结合图象，求当y 时，自变量x 的取值范围． （3）作直线AC 与y 轴相交于点D.当点B 在x 轴上方，且在线段OD 上时，求m 的取值范围． 【答案】（1）-4（2）1≤x≤5（3）0≤m＜1 或1＜m＜2 【解析】 【分析】 1）利用待定系数法求解即可． （2）求出 时， 的值即可判断． （3）由题意点 的坐标为 ，求出几个特殊位置 的值即可判断． 【详解】解：（1）当 时， ， 当 时， ． （2）当 时，将 代入函数表达式 ，得 ， 解得 或 （舍弃）， 此时抛物线的对称轴 ， 根据抛物线的对称性可知，当 时， 或5， 的取值范围为 ． （3） 点 与点 不重合， ， 抛物线的顶点 的坐标是 ， 抛物线的顶点在直线 上， 当 时， ， 点 的坐标为 ， 抛物线从图1 的位置向左平移到图2 的位置， 逐渐减小，点 沿 轴向上移动， 当点 与 重合时， ， 解得 或 ， 当点 与点 重合时，如图2，顶点 也与 ， 重合，点 到达最高点， 点 ， ，解得 ， 当抛物线从图2 的位置继续向左平移时，如图3 点 不在线段 上， 点在线段 上时， 的取值范围是： 或 ． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法，一次函数的性质等知识，解题 的关键是理解题意，学会寻找特殊位置解决数学问题． 24.如图，在平面直角坐标系中，正方形ABOC 的两直角边分别在坐标轴的正半轴上，分别过OB，OC 的 中点D，E 作AE，AD 的平行线，相交于点F， 已知OB=8． （1）求证：四边形AEFD 为菱形． （2）求四边形AEFD 的面积． （3）若点P 在x 轴正半轴上(异于点D)，点Q 在y 轴上，平面内是否存在点G，使得以点A，P， Q，G 为 顶点的四边形与四边形AEFD 相似？若存在，求点P 的坐标；若不存在，试说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2）48；（3）点P 的坐标为(12，0)，(24，0)，( ，0)，( ，0)，(16，0) 【解析】 【分析】 （1）结合正方形性质求得△ACE ABD △ ≌ ，从而得到AE=AD，根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可． （2）连接DE，求出△ADE 的面积即可解决问题． （3）首先证明AK=3DK，①当AP 为菱形的一边，点Q 在x 轴的上方，有图2，图3 两种情形．②当AP 为菱形的边，点Q 在x 轴的下方时，有图4，图5 两种情形．③如图6 中，当AP 为菱形的对角线时，有图 6 一种情形．分别利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）∵DF∥AE，EF∥AD， ∴四边形AEFD 是平行四边形. ∵四边形ABOC 是正方形， ∴OB＝OC＝AB＝AC，∠ACE＝∠ABD＝90°. ∵点D，E 是OB，OC 的中点， ∴CE＝BD， ∴△ACE≌△ABD(SAS)， ∴AE＝AD， ∴ 是菱形 （2）如图1，连结DE ∵S△ABD＝ AB·BD＝ ， S△ODE＝ OD·OE＝ ， ∴S△AED＝S 正方形ABOC－2 S△ABD－ S△ODE＝64－2 －8＝24， ∴S 菱形AEFD＝2S△AED＝48 （3）由图1，连结AF 与DE 相交于点K，易得△ADK 的两直角边之比为1:3 1）当AP 为菱形一边时，点Q 在x 轴上方，有图2、图3 两种情况： 如图2，AG 与PQ 交于点H， ∵菱形PAQG∽菱形ADFE， ∴△APH 的两直角边之比为1:3 过点H 作HN⊥x 轴于点N，交AC 于点M，设AM=t ∵HN∥OQ，点H 是PQ 的中点， ∴点N 是OP 中点， ∴HN 是△OPQ 的中位线， ∴ON＝PN＝8－t 又∵∠1＝∠3＝90°－∠2，∠PNH＝∠AMH＝90°， ∴△HMA∽△PNH， ∴ ＝ ＝ ， ∴HN＝3AM＝3t， ∴MH＝MN－NH＝8－3t. ∵PN＝3MH， ∴8－t =3(8－3t)，解得t＝2 ∴OP＝2ON＝2(8－t)＝12 ∴点P 的坐标为(12，0) 如图3，△APH 的两直角边之比为1:3 过点H 作HI⊥y 轴于点I，过点P 作PN⊥x 轴交IH 于点N，延长BA 交IN 于点M ∵∠1＝∠3＝90°－∠2，∠AMH＝∠PNH， ∴△AMH∽△HNP， ∴ ＝ ＝ ，设MH＝t， ∴PN＝3MH＝3t， ∴AM＝BM－AB＝3t－8， ∴HN＝3AM＝3(3t－8) ＝9t－24 又∵HI 是△OPQ 的中位线， ∴OP＝2IH， ∴HI＝HN， ∴8＋t＝9t－24，解得 t＝4 ∴OP＝2HI＝2(8＋t)＝24， ∴点P 的坐标为(24，0) 2）当AP 为菱形一边时，点Q 在x 轴下方，有图4、图5 两种情况： 如图4，△PQH 的两直角边之比为1:3 过点H 作HM⊥y 轴于点M，过点P 作PN⊥HM 于点N ∵MH 是△QAC 的中位线， ∴HM＝ ＝4 又∵∠1＝∠3＝90°－∠2，∠HMQ＝∠N， ∴△HPN∽△QHM， ∴ ＝ ＝ ，则PN＝ ＝ ， ∴OM＝ 设HN＝t，则MQ＝3t ∵MQ＝MC， ∴3t＝8－ ，解得t＝ ∴OP＝MN＝4＋t＝ ， ∴点P 的坐标为( ，0) 如图5，△PQH 的两直角边之比为1:3 过点H 作HM⊥x 轴于点M，交AC 于点I，过点Q 作NQ⊥HM 于点N ∵IH 是△ACQ 的中位线， ∴CQ＝2HI，NQ＝CI＝4 ∵∠1＝∠3＝90°－∠2，∠PMH＝∠QNH， ∴△PMH∽△HNQ， ∴ ＝ ＝ ＝ ，则MH＝ NQ＝ 设PM＝t，则HN＝3t， ∵HN＝HI， ∴3t＝8+ ，解得 t＝ ∴OP＝OM－PM＝QN－PM＝4－t＝ ， ∴点P 的坐标为( ，0) 3）当AP 为菱形对角线时，有图6 一种情况： 如图6，△PQH 的两直角边之比为1:3 过点H 作HM⊥y 轴于点M，交AB 于点I，过点P 作PN⊥HM 于点N ∵HI∥x 轴，点H 为AP 的中点， ∴AI＝IB＝4， ∴PN＝4 ∵∠1＝∠3＝90°－∠2，∠PNH＝∠QMH＝90°， ∴△PNH∽△HMQ， ∴ ＝ ＝ ＝ ，则MH＝3PN＝12，HI＝MH－MI＝4 ∵HI 是△ABP 的中位线， ∴BP＝2HI＝8，即OP＝16， ∴点P 的坐标为(16，0) 综上所述，点P 的坐标为(12，0)，(24，0)，( ，0)，( ，0)，(16，0)． 【点睛】本题属于相似形综合题，考查了正方形的性质，菱形的判定和性质，解直角三角形，相似三角形 的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会寻找相似三角形，利用相似三 角形的性质构建方程解决问题，属于中考压轴题． 本试卷的题干、答案和解析均由组卷网（http://zujuan.xkw.com）专业教师团队编校出品。 登录组卷网可对本试卷进行单题组卷、细目表分析、布置作业、举一反三等操作。 试卷地址：在组卷网浏览本卷 组卷网是学科网旗下的在线题库平台，覆盖小初高全学段全学科、超过900 万精品解析试题。 关注组卷网服务号，可使用移动教学助手功能（布置作业、线上考试、加入错题本、错题训练）。 学科网长期征集全国最新统考试卷、名校试卷、原创题，赢取丰厚稿酬，欢迎合作。 钱老师 QQ：537008204 曹老师 QQ：713000635