2022 年浙江省丽水市中考数学真题
一、选择题(本题有10 小题,每小题3 分,共30 分)
1.(2022 浙江丽水,1,3 分)实数2 的相反数是( )
A.2 B.1
2
C.-1
2
D.-2
2.(2022 浙江丽水,2,3 分)如图是运动会领奖台,它的主视图是
( )
A.
B.
C.
D.
3.(2022 浙江丽水,3,3 分)老师从甲、乙、丙、丁四位同学中任选一人去学校劳
动基地浇水,选中甲同学的概率是
( )
A.1
5
B.1
4
C.1
3
D.3
4
4.(2022 浙江丽水,4,3 分)计算-a2·a 的正确结果是
( )
A.-a2
B.a C.-a3
D.a3
5.(2022 浙江丽水,5,3 分)如图,五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组
成的,同一条直线上的三个点A,B,C 都在横线上.若线段AB=3,则线段BC 的长是
( )
A.2
3
B.1 C.3
2
D.2
6.(2022 浙江丽水,6,3 分)某校购买了一批篮球和足球,已知购买足球的数量是
篮球的2 倍,购买足球用了5 000 元,购买篮球用了4 000 元,篮球单价比足球贵
30 元.根据题意可列方程5 000
2 x
=4 000
x
-30,则方程中x 表示( )
A.足球的单价
B.篮球的单价
C.足球的数量
D.篮球的数量
7.(2022 浙江丽水,7,3 分)如图,在△ABC 中,D,E,F 分别是BC,AC,AB 的中点.若
AB=6,BC=8,则四边形BDEF 的周长是
( )
A.28
B.14
C.10
D.7
8.(2022 浙江丽水,8,3 分)已知电灯电路两端的电压U 为220 V,通过灯泡的电流
强度I(A)的最大限度不得超过0.11 A.设选用灯泡的电阻为R(Ω),下列说法正确
的是
( )
A.R 至少2 000 Ω
B.R 至多2 000 Ω
C.R 至少24.2 Ω D.R 至多24.2 Ω
9.(2022 浙江丽水,9,3 分)某仿古墙上原有一个矩形的门洞,现要将它改为一个
圆弧形的门洞,圆弧所在的圆外接于矩形,如图.已知矩形的宽为2 m,高为2√3
m,则改建后门洞的圆弧长是
( )
A.5 π
3
m
B.8 π
3
m
C.10 π
3
m
D.(
5 π
3 +2)
m
10.(2022 浙江丽水,10,3 分)如图,已知菱形ABCD 的边长为4,E 是BC 的中点,
AF 平分∠EAD 交CD 于点F,FG∥AD 交AE 于点G.若cos B=1
4,则FG 的长是(
)
A.3 B.8
3 C.2√15
3
D.5
2
二、填空题(本题有6 小题,每小题4 分,共24 分)
11.(2022 浙江丽水,11,4 分)分解因式:a2-2a= .
12.(2022 浙江丽水,12,4 分)在植树节当天,某班的四个绿化小组植树的棵数如
下:10,8,9,9.则这组数据的平均数是 .
13.(2022 浙江丽水,13,4 分)不等式3x>2x+4 的解集是 .
14.(2022 浙江丽水,14,4 分)三个能够重合的正六边形的位置如图.已知B 点的坐
标是(-√3,3),则A 点的坐标是 .
15.(2022 浙江丽水,15,4 分)一副三角板按图1 放置,O 是边BC(DF)的中点,
BC=12 cm.如图2,将△ABC 绕点O 顺时针旋转60°,AC 与EF 相交于点G,则FG
的长是 cm.
16.(2022 浙江丽水,16,4 分)如图,标号为①,②,③,④的矩形不重叠地围成矩形
PQMN.已知①和②能够重合,③和④能够重合,这四个矩形的面积都是
5,AE=a,DE=b,且a>b.
(1)若a,b 是整数,则PQ 的长是 ;
(2)若代数式a2-2ab-b2的值为零,则S四边形ABCD
S矩形PQMN
的值是 .
三、解答题(本题有8 小题,第17~19 题每题6 分,第20,21 题每题8 分,第
22,23 题每题10 分,第24 题12 分,共66 分,各小题都必须写出解答过程)
17.(2022 浙江丽水,17,6 分)计算:√9-(-2 022)0+2-1.
18.(2022 浙江丽水,18,6 分)先化简,再求值:(1+x)(1-x)+x(x+2),其中x=1
2.
19.(2022 浙江丽水,19,6 分)某校为了解学生在“五·一”小长假期间参与家务劳动
的时间t(小时),随机抽取了本校部分学生进行问卷调查.要求抽取的学生在
A,B,C,D,E 五个选项中选且只选一项,并将抽查结果绘制成如下两幅不完整的
统计图,请根据图中信息回答问题:
(1)求所抽取的学生总人数;
(2)若该校共有学生1 200 人,请估算该校学生参与家务劳动的时间满足3≤t<4
的人数;
(3)请你根据调查结果,对该校学生参与家务劳动时间的现状作简短评述.
20.(2022 浙江丽水,20,8 分)如图,在6×6 的方格纸中,点A,B,C 均在格点上,试
按要求画出相应格点图形.
(1)如图1,作一条线段,使它是AB 向右平移一格后的图形;
(2)如图2,作一个轴对称图形,使AB 和AC 是它的两条边;
(3)如图3,作一个与△ABC 相似的三角形,相似比不等于1.
21.(2022 浙江丽水,21,8 分)因疫情防控需要,一辆货车先从甲地出发运送防疫
物资到乙地,稍后一辆轿车从甲地急送防疫专家到乙地.已知甲、乙两地的路程
是330 km,货车行驶时的速度是60 km/h.两车离甲地的路程s(km)与时间t(h)
的函数图象如图.
(1)求出a 的值;
(2)求轿车离甲地的路程s(km)与时间t(h)的函数表达式;
(3)问轿车比货车早多少时间到达乙地?
22.(2022 浙江丽水,22,10 分)如图,将矩形纸片ABCD 折叠,使点B 与点D 重合,
点A 落在点P 处,折痕为EF.
(1)求证:△PDE≌△CDF;
(2)若CD=4 cm,EF=5 cm,求BC 的长.
23.(2022 浙江丽水,23,10 分)如图,已知点M(x1,y1),N(x2,y2)在二次函数
y=a(x-2)2-1(a>0)的图象上,且x2-x1=3.
(1)若二次函数的图象经过点(3,1).
①求这个二次函数的表达式;
②若y1=y2,求顶点到MN 的距离;
(2)当x1≤x≤x2时,二次函数的最大值与最小值的差为1,点M,N 在对称轴的异
侧,求a 的取值范围.
24.(2022 浙江丽水,24,12 分)如图,以AB 为直径的☉O 与AH 相切于点A,点C
在AB 左侧圆弧上,弦CD⊥AB 交☉O 于点D,连接AC,AD.点A 关于CD 的对称点
为E,直线CE 交☉O 于点F,交AH 于点G.
(1)求证:∠CAG=∠AGC;
(2)当点E 在AB 上时,连接AF 交CD 于点P,若EF
CE =2
5,求DP
CP 的值;
(3)当点E 在射线AB 上,AB=2,以点A,C,O,F 为顶点的四边形中有一组对边平
行时,求AE 的长.
2022 年浙江省丽水市中考数学真题
1.D 2 的相反数是-2,故选D.
2.A 从正面看中间最高,左边比右边高,故选A.
3.B 一共有4 种等可能的情况,选甲只有一种情况,则所求概率为1
4
,故选B.
4.C -a2·a=-a3,故选C.
5.C 如图,分别作AD⊥l3,BE⊥l4,由于五条平行线的间距相同,则
AD=2BE,∠ABD=∠BCE,∴Rt△ABD∽Rt△BCE,∴BC
AB
= BE
AD
=1
2
,∴BC=1
2
AB=3
2
,故选C.
6.D 根据分式方程可知4 000
x
表示的是篮球的单价,则x 表示篮球的数量,故选D.
7.B 由中位线的性质可知DE∥AB 且DE=1
2
AB=BF,EF∥BC 且EF=1
2
BC=BD,∴四边形BDEF 的
周长是AB+BC=14,故选B.
8.A ∵I=U
R
=220
R
≤0.11 且R>0,∴R≥2 000,故选A.
解后反思
本题考查不等式的应用并以物理知识为背景进行设计,抓住电流公式是关
键.
9.C 如图所示,AC、BD 是☉O 的直径,在Rt△DBC 中,BD=√DC
2+ BC
2=√(2√3)
2+2
2=4
m,∴OB=OC=2 m=BC,∴△OBC 是等边三角形,∴∠BOC=60°,∴劣弧BC 长=60 π ×2
180
=2π
3
m,∴所求弧长为4π-2π
3
=10 π
3
m,故选C.
思路分析
连接AC 和BD 确定出圆心O,利用勾股定理求出直径长,再判断△OBC 是等边三角形,最后
运用弧长公式即可求解.
10.B 如图,分别延长AE、DC 相交于M 点,作AN⊥BC 于N 点,则cos B=BN
AB
=1
4
,∵AB=4,∴BN=1,又E 为BC 的中点,∴BE=2,∴N 点为BE 的中点,∴AE=AB=4.再由菱形
ABCD,点E 为BC 的中点可得EC∥AD,AE=EM=4,由AF 平分∠EAD 且GF∥AD 可得
∠GAF=∠GFA,GF
AD
= MG
AM
,∴AG=FG,设FG=x,则x
4
=8- x
8
,解得x=8
3
,故选B.
疑难突破
突破口有两个:一是作AN⊥BC 并利用cos B=1
4 求出AE;二是延长AE、DC 相交于M 点构
造比例线段.
一题多解
如图,过点A 作AH⊥BE 于点H,过点F 作FQ⊥AD 于点Q,
∵菱形ABCD 的边长为4,∴AB=AD=BC=4,∵cos B=BH
AB =1
4 ,∴BH=1,∴AH=√A B
2- B H
2=
√15.∵E 是BC 的中点,∴BE=CE=2,∴EH=BE-BH=1,∴直线AH 是线段BE 的垂直平分
线,∴AE=AB=4,∵AF 平分
∠EAD,∴∠DAF=∠FAG,∵FG∥AD,∴∠DAF=∠AFG,∴∠FAG=∠AFG,∴GA=GF,设
GA=GF=x,∵AE=CD,FG∥AD,∴DF=AG=x,∵cos D=cos B= DQ
DF =1
4 ,∴DQ=1
4 x,∴FQ=
√D F
2- DQ
2=√
x
2-(
1
4 x)
2
=√15
4
x,∵S 梯形CEAD=S 梯形CEGF+S 梯形FGAD,∴1
2
×(2+4)×√15=1
2
(2+x)×(√15- √15
4
x)+1
2(x+4)×√15
4
x,解得x=8
3 ,则FG 的长是8
3 .
11.答案 a(a-2)
解析 a2-2a=a(a-2).
12.答案 9
解析 平均数=10+8+9+9
4
=9.
13.答案 x>4
解析 移项得3x-2x>4,∴x>4.
14.答案 (√3,-3)
解析 由题图可知三个正六边形大小相同,且有一个共同顶点恰好在原点,可知点A 和点B 关于
原点对称,∵B 点坐标为(-√3,3),∴A 点坐标为(√3,-3).
15.答案 (3√3-3)
解析 如图所示,设BC 与EF 的交点为H,由旋转可知∠BOD=60°,∴∠FOH=60°,由三角板可知
∠F=30°,∴BC⊥EF,∵DF=BC=12 cm,点O 为DF、BC 的中点,∴OF=OC=6
cm,∴OH=6sin30°=3 cm,HF=6cos 30°=3√3 cm,∴CH=3 cm,又∵∠C=45°,∴HG=HC=3
cm,∴FG=(3√3-3)cm.
解题关键
抓住三角板及旋转推出BC⊥EF 是解答本题的关键.
16.答案 (1)1(答案不唯一,取任意一个正整数都正确)
(2)3+2√2
解析 (1)PQ=a-b,∵a,b 都是整数且a>b,∴a-b 为正整数.
(2)由a2-2ab-b2=0 可得a2-2ab+b2=2b2,即(a-b)2=2b2,∵a>b,∴a-b=√2b,∴a
b
=√2
+1.∵AE·EP=DE·EN=5,AE=a,DE=b,∴EP=5
a
,EN=5
b
,
又∵S 四边形PQMN=(EN-EP)(a-b)=(
5
b - 5
a)
(a-b)=5(a-b)
2
ab
,S 四边形ABCD=(
5
b + 5
a)
(a+b)=
5(a+b)
2
ab
,∴S四边形ABCD
S四边形PQMN
=(a+b)
2
(a-b)
2
.∵a2-2ab-b2=0,∴a2-ab=ab+b2,∴a+b
a-b
=a
b
=√2+1,∴
S四边形ABCD
S四边形PQMN
=(√2+1)
2=3+2√2
.
难点突破
本题的突破口是利用a2-2ab-b2=0 变形得到a
b =√2+1 及a+b
a-b
=a
b
.
17.解析 原式=3-1+1
2
=5
2
.
18.解析 原式=1-x2+x2+2x=1+2x,当x=1
2
时,原式=1+2x=1+2×1
2
=2.
19.解析 (1)18÷36%=50(人),∴所抽取的学生总人数为50 人.
(2)50-5-18-15-2
50
×1 200=240(人).
(3)①阐述现状,不评价.如“参与家务劳动的时间少于1 小时的有5 人”.
②既阐述现状,又有评价的.如“参与家务劳动时间少于2 小时的有23 人,占比接近50%,说明学
校对家务劳动教育还有待加强引导”.
20.解析 (1)如图1,CD 为所作.
(2)如图2(答案不唯一).
(3)如图3,△CDE 为所作(答案不唯一).
图1
图2
图3
思路分析
(1)把点B、A 分别向右平移一格得到对应点C 和D;
(2)作A 点关于BC 的对称点D 即可;
(3)延长CB 到D 使CD=2CB,延长CA 到E 使CE=2CA,则△CED 即为所
求.
21.解析 (1)∵货车行驶时的速度是60 km/h,∴a=90
60
=1.5.
(2)设轿车离甲地的路程s(km)与时间t(h)的函数表达式为s=kt+b(k≠0),把(1.5,0),(3,150)
代入得{
1.5k +b=0,
3k +b=150,解得{
k =100,
b=-150,∴s=100t-150.
(3)由图象可得货车走完全程需要330
60
+0.5=6(h),
∴货车到达乙地需6 h,∵在s=100t-150 中,当s=330 时,解得t=4.8,∴两车相差时间为6-
4.8=1.2(h),∴轿车到达乙地时,货车还需要1.2 h 才能到达,即轿车比货车早1.2 h 到达乙地.
思路分析
(1)根据路程、时间、速度三者之间的关系用货车走的路程90 km 除以速度60 km/h 即可
求出a 的值;
(2)设轿车离甲地的路程s(km)与时间t(h)的函数表达式为s=kt+b(k≠0),然后代入轿车的出
发点坐标和相遇点坐标求一次函数解析式;
(3)根据时间=路程÷速度求出货车到达终点的时间,利用轿车的解析式把轿车走的全程代入求
得轿车的时间,求差即可.
22.解析 (1)证明:由题意,得∠PDF=∠B=∠ADC=90°,PD=AB=CD,∴∠PDF-∠EDF=∠ADC-
∠EDF,即∠PDE=∠CDF,又∵∠P=∠A=∠C=90°,∴△PDE≌△CDF.
(2)如图,过点E 作EG⊥BC 于点G,∴∠EGC=90°,EG=CD=4 cm,在Rt△EGF 中,
EG2+GF2=EF2,∴GF=3 cm.设CF=x cm,由(1)得BG=AE=PE=CF=x cm,∴DF=BF=(x+3)cm,在
Rt△CDF 中,CF2+CD2=DF2,即x2+42=(x+3)2,解得x=7
6
.∴BC=BF+CF=2x+3=2×7
6
+3=16
3
cm.
思路分析
(1)抓住∠PDF=∠ADC=90°可推出∠PDE=∠CDF,再根据ASA 即可证明;
(2)作EG⊥BC,在Rt△EGF 中可求GF,设CF=x cm,结合(1)在Rt△CDF 中可求x,问题即
可解决.
23.解析 (1)①把(3,1)代入y=a(x-2)2-1,解得a=2,∴y=2(x-2)2-1.
②由①可得y=2(x-2)2-1,∴对称轴为直线x=2,顶点坐标为(2,-1),∵x2-x1=3,y1=y2,∴MN∥x
轴,∴根据图象的对称性得x2-2=3
2
,∴x2=7
2
,∴y2=7
2
,∴顶点到MN 的距离为7
2
+1=9
2
.
(2)①如图1,若点M,N 在对称轴异侧,y1≥y2,则x1+3>2,x1>-1,由(1)得x1≤1
2
,∴-1<x1≤1
2
.最
大值:y1=a(x1-2)2-1,最小值:-1,∴y1-(-1)=1,∴a=
1
( x1-2)
2
,∵在-1<x1≤1
2
范围内有9
4
≤(x1-
2)2<9,∴1
9
<a≤4
9
.
图1
②如图2,若点M,N 在对称轴异侧,y1<y2,则x1<2,由(1)得x1>1
2
,∴1
2
<x1<2,最大值:y2=a(x2-
2)2-1,最小值:-1,∴y2-(-1)=1,∴a=
1
( x1+1)
2
,∵在1
2
<x1<2 范围内有9
4
<(x1+1)2<9,∴1
9
<a<4
9
.
图2
综上所述,1
9
<a≤4
9
.
思路分析
(1)①将点(3,1)代入二次函数的表达式即可求出a;②先由(1)求出顶点坐标,当y1=y2时
MN∥x 轴,此时点M,N 关于对称轴对称,由此求出x2,再求出y2,即可求出顶点到MN 的距离.
(2)由于点M,N 在对称轴的异侧,所以存在两种情况:①y1≥y2,先确定x1的范围,再由y1-
(-1)=1 得到a 与x1的关系,从而确定a 的范围;②y1<y2,先确定x1的范围,根据x2-x1=3 及y2-
(-1)=1 得到a 与x1的关系,从而确定a 的范围.
解后反思
本题的第(2)问中由于点M,N 的位置存在不确定性,因而需要分类讨论,而分类讨论思想常
在二次函数中应用.
24.解析 (1)证明:由题意得∠FCD=∠ACD,∵AH 是☉O 的切线,
∴AH⊥AB,∵CD⊥AB,∴AG∥CD,∴∠AGC=∠FCD,∠CAG=∠ACD,∴∠CAG=∠AGC.
(2)由(1)得CA=CE,∵CD⊥AB,∴´AC= ´AD
,∴AC=AD,∠ACD=∠ADC.∴AD=CE,∠FCD=∠D,∴FG∥AD,∴△APD∽△FPC,∴DP
CP
= AD
CF
,
∵EF
CE
=2
5
,∴EF +CE
CE
=7
5
,∴CE
CF
=5
7
,∴DP
CP
= AD
CF
=CE
CF
=5
7
.
(3)①当OC∥AF 时,如图1,连接OC,OF,设∠AGF=a,可得
∠FCD=∠ADC=∠ACD=∠AFC=∠CAG=a,∵OC∥AF,∴∠OCF=∠AFC=a,∵OC=OF,∴∠OCF
=∠OFC=a,∵OC=OA,∴∠ACO=∠CAO=3a,∴∠OAG=∠GAC+∠OAC=4a=90°,∴a=22.5°,∵
∠OFC=∠AGF,∴OF∥AG,∴∠AOF=∠OAG=90°,∵∠OFA=2a=45°,∴△AOF 为等腰直角三角
形,∵△AEF∽△OEC,∴AE
OE
= AF
OC
=√2,又∵AE+OE=1,∴AE=2-√2.
图1
②当OC∥AF 时,如图2,连接OC,设
∠OAC=a1,∵OC∥AF,∴∠FAC=∠OCA=a1,∴∠COE=∠FAE=2a1,∵∠AFG=∠D,由(1),(2)得
∠AGF=∠D,∴∠AGF=∠AFG=∠E+∠FAE=3a1,∵∠AGF+∠AFG+∠GAF=180°,∴∠GAF=180°-
6a1,∵∠GAF+∠FAE=90°,∴180°-6a1+2a1=90°,解得a1=22.5°,2a1=45°,∴△COM 是等腰直角
三角形,则OC
OM
=√2,可得OM=√2
2
,AM=√2
2
+1,∴AE=2AM=2+√2.
图2
③当AC∥OF 时,如图3,连接OC,OF,设∠AGF=a2,易得
∠ACF=∠ACD+∠DCF=2a2,∵AC∥OF,∴∠CFO=∠ACF=2a2,可得∠CAO=∠ACO=4a2,易得
a2=18°,∴∠COE=∠ECO=∠CFO=36°,∴△OCE∽△FCO,∴OC2=CE×CF,则12=CE×(CE+1),解
得CE=AC=OE=√5-1
2
(舍去负值).∴AE=OA-OE=3-√5
2
.
图3
④当AC∥OF 时,如图4,连接OC,OF,BF,设∠FAO=a3,∵AC∥OF,∴∠CAF=∠OFA=a3,可得
∠COF=∠BOF=2a3,∵AC=CE,∴∠E=∠CAE=∠EFB,∴BF=BE,可证
△OCF≌△OBF,∴CF=BF=BE,∵∠E=∠COF,∴△COF∽△CEO,∴OC2=CE×CF,解得BE=CF=
√5-1
2
.∴AE=AB+BE=3+√5
2
.
图4
综上所述,AE 的长为 2-√2,2+√2,3-√5
2
,3+√5
2
.
难点突破
第(3)问的突破口:1.由于E 点在射线AB 上,∴E 点的位置分两种情况:①点E 在线段AB
上;②点E 在线段AB 外;2.①中又分两种情况:一是OC∥AF,二是AC∥OF;②中也分两种情
况:一是OC∥AF,二是AC∥OF;3.解题策略:这种综合型题目常用到三角形相似的判定与性
质、三角形全等的判定与性质.
