2022 年浙江金华数学标卷标答
一、选择题(本题有10 小题,每小题3 分,共30 分)
1.(2022 浙江金华,1,3 分)在-2,1
2,√3,2 中,是无理数的是
( )
A.-2
B.1
2 C.√3
D.2
2.(2022 浙江金华,2,3 分)计算a3·a2的结果是 ( )
A.a B.a6 C.6a
D.a5
3.(2022 浙江金华,3,3 分)体现我国先进核电技术的“华龙一号”,年发电能力相当
于减少二氧化碳排放16 320 000 吨,数16 320 000 用科学记数法表示为( )
A.1 632×104
B.1.632×107
C.1.632×106D.16.32×105
4.(2022 浙江金华,4,3 分)已知三角形的两边长分别为5 cm 和8 cm,则第三边的
长可以是
( )
A.2 cm B.3 cm C.6 cm D.13 cm
5.(2022 浙江金华,5,3 分)观察如图所示的频数直方图,其中组界为99.5~124.5
这一组的频数为
( )
A.5 B.6 C.7 D.8
6.(2022 浙江金华,6,3 分)如图,AC 与BD 相交于点O,OA=OD,OB=OC,不添加
辅助线,判定△ABO≌△DCO 的依据是( )
A.SSS
B.SAS
C.AAS
D.HL
7.(2022 浙江金华,7,3 分)如图是城市某区域的示意图,建立平面直角坐标系后,
学校和体育场的坐标分别是(3,1),(4,-2),下列各地点中,离原点最近的是
(
)
A.超市B.医院C.体育场
D.学校
8.(2022 浙江金华,8,3 分)如图,圆柱的底面直径为AB,高为AC,一只蚂蚁在C
处,沿圆柱的侧面爬到B 处,现将圆柱侧面沿AC“剪开”,在侧面展开图上画出蚂
蚁爬行的最近路线,正确的是
( )
A B C D
9.(2022 浙江金华,9,3 分)一配电房示意图如图所示,它是一个轴对称图形,已知
BC=6 m,∠ABC=a,则房顶A 离地面EF 的高度为( )
A.(4+3sin a)m B.(4+3tan a)m
C.(4+
3
sin a)
m
D.(4+
3
tan a)
m
10.(2022 浙江金华,10,3 分)如图是一张矩形纸片ABCD,点E 为AD 中点,点F 在
BC 上,把该纸片沿EF 折叠,点A,B 的对应点分别为A',B',A'E 与BC 相交于点
G,B'A'的延长线过点C.若BF
GC =2
3,则AD
AB 的值为
( )
A.2√2
B.4√10
5
C.20
7
D.8
3
二、填空题(本题有6 小题,每小题4 分,共24 分)
11.(2022 浙江金华,11,4 分)因式分解:x2-9= .
12.(2022 浙江金华,12,4 分)若分式2
x -3的值为2,则x 的值是 .
13.(2022 浙江金华,13,4 分)一个布袋里装有7 个红球、3 个白球,它们除颜色外
都相同.从中任意摸出1 个球,摸到红球的概率是 .
14.(2022 浙江金华,14,4 分)如图,在Rt△ABC 中,∠ACB=90°,∠A=30°,BC=2
cm.把△ABC 沿AB 方向平移1 cm,得到△A'B'C',连结CC',则四边形AB'C'C 的周
长为 cm.
15.(2022 浙江金华,15,4 分)如图,木工用角尺的短边紧靠☉O 于点A,长边与
☉O 相切于点B,角尺的直角顶点为C.已知AC=6 cm,CB=8 cm,则☉O 的半径为
cm.
16.(2022 浙江金华,16,4 分)图1 是光伏发电场景,其示意图如图2,EF 为吸热塔,
在地平线EG 上的点B,B'处各安装定日镜(介绍见图3).绕各中心点(A,A')旋转镜
面,使过中心点的太阳光线经镜面反射后到达吸热器点F 处.已知AB=A'B'=1
m,EB=8 m,EB'=8√3 m,在点A 观测点F 的仰角为45°.
(1)点F 的高度EF 为 m;
(2)设∠DAB=α,∠D'A'B'=β,则α 与β 的数量关系是 .
图1
图2
图3
三、解答题(本题有8 小题,共66 分,各小题都必须写出解答过程)
17.(2022 浙江金华,17,6 分)计算:(-2 022)0-2tan 45°+|-2|+√9.
18.(2022 浙江金华,18,6 分)解不等式:2(3x-2)>x+1.
19.(2022 浙江金华,19,6 分)如图1,将长为2a+3,宽为2a 的矩形分割成四个全
等的直角三角形,拼成“赵爽弦图”(如图2),得到大小两个正方形.
(1)用关于a 的代数式表示图2 中小正方形的边长;
(2)当a=3 时,该小正方形的面积是多少?
图1 图2
20.(2022 浙江金华,20,8 分)如图,点A 在第一象限内,AB⊥x 轴于点B,反比例函
数y=k
x
(k≠0,x>0)的图象分别交AO,AB 于点C,D.已知点C 的坐标为
(2,2),BD=1.
(1)求k 的值及点D 的坐标;
(2)已知点P 在该反比例函数图象上,且在△ABO 的内部(包括边界),直接写出
点P 的横坐标x 的取值范围.
21.(2022 浙江金华,21,8 分)学校举办演讲比赛,总评成绩由“内容、表达、风度、
印象”四部分组成.九(1)班组织选拔赛,制定的各部分所占比例如下图,三位同学
的成绩如下表.请解答下列问题:
演讲总评成绩各部分所占比例的统计图
三位同学的成绩统计表
内容表达风度印象总评成绩
小
明
8
7
8
8
m
小
亮
7
8
8
9
7.85
小
田
7
9
7
7
7.8
(1)求图中表示“内容”的扇形的圆心角度数;
(2)求表中m 的值,并根据总评成绩确定三人的排名顺序;
(3)学校要求“内容”比“表达”重要,该统计图中各部分所占比例是否合理?如果不
合理,如何调整?
22.(2022 浙江金华,22,10 分)如图1,正五边形ABCDE 内接于☉O,阅读以下作
图过程,并回答下列问题:
作法:如图2.
1.作直径AF.
2.以F 为圆心,FO 为半径作圆弧,与☉O 交于点M,N.
3.连结AM,MN,NA.
(1)求∠ABC 的度数;
(2)△AMN 是正三角形吗?请说明理由;
(3)从点A 开始,以DN 长为半径,在☉O 上依次截取点,再依次连结这些分点,得
到正n 边形,求n 的值.
图1 图2
23.(2022 浙江金华,23,10 分)“八婺”菜场指导菜农生产和销售某种蔬菜,提供如
下信息:
①统计售价与需求量的数据,通过描点(图1),发现该蔬菜需求量y 需求(吨)关于
售价x(元/千克)的函数图象可以看成抛物线,其表达式为y 需求=ax2+c,部分对应
值如下表:
售价x(元/千
克)
… 2.5
3
3.5
4 …
需求量y 需求
(吨)
… 7.75 7.2 6.55 5.8 …
②该蔬菜供给量y 供给(吨)关于售价x(元/千克)的函数表达式为y 供给=x-1,函数
图象见图1.
③1~7 月份该蔬菜售价x 售价(元/千克)、成本x 成本(元/千克)关于月份t 的函数表
达式分别为x 售价=1
2t+2,x 成本=1
4t2-3
2t+3,函数图象见图2.
图1
图2
请解答下列问题:
(1)求a,c 的值;
(2)根据图2,哪个月出售这种蔬菜每千克获利最大?并说明理由;
(3)求该蔬菜供给量与需求量相等时的售价,以及按此价格出售获得的总利润.
24.(2022 浙江金华,24,12 分)如图,在菱形ABCD 中,AB=10,sin B=3
5,点E 从点
B 出发沿折线B-C-D 向终点D 运动.过点E 作点E 所在的边(BC 或CD)的垂线,交
菱形其他的边于点F,在EF 的右侧作矩形EFGH.
(1)如图1,点G 在AC 上.求证:FA=FG;
(2)若EF=FG,当EF 过AC 中点时,求AG 的长;
(3)已知FG=8,设点E 的运动路程为s.当s 满足什么条件时,以G,C,H 为顶点的
三角形与△BEF 相似(包括全等)?
图1 图2(备用)
2022 年浙江金华数学标卷标答
1.C 无限不循环小数是无理数.2,-2 是整数,1
2
是分数,√3是无理数.故选C.
2.D 根据同底数幂的乘法得a3·a2=a3+2=a5,故选D.
3.B 16 320 000=1.632×107,故选B.
4.C 根据三角形的三边关系可得第三边的长大于8-5=3 cm,小于8+5=13 cm,故选C.
5.D 因为频数之和等于总数,所以99.5~124.5 这一组的频数为20-3-5-4=8.故选D.
6.B 已知OA=OD,OB=OC,且∠AOB=∠DOC,根据SAS 可判断△ABO≌△DCO,故选B.
7.A 根据学校和体育场的坐标可知平面直角坐标系如下图,离原点最近的是超市,故选A.
8.C 蚂蚁从C 处出发到B 处,并没有绕圆柱侧面一周,所以排除选项A,B.蚂蚁在C 处,沿圆柱的
侧面爬到B 处,根据两点之间线段最短可知最近路线不是曲线,故选C.
9.B 过点A 作AD⊥BC,垂足为点D,设直线AD 与EF 的交点为G(图略),则点A 离地面EF 的高
度为AG 的长.因为示意图为轴对称图形,所以AB=AC,BD=DC=1
2
BC=3 m,BE=DG.在Rt△ABD 中,
AD=BDtan a=3tan a,所以AG=AD+DG=AD+BE=(4+3tan a)m.故选B.
10.A 连结CE(图略).由折叠可知AE=EA',BF=B'F,∠EA'B'=∠A=90°.
∵B'A'的延长线过点C,∴∠EA'C=90°,
∵点E 为AD 中点,∴AE=DE,
∴A'E=DE.
又∵CE=CE,∠EA'C=∠D=90°,
∴Rt△CEA'≌Rt△CED(HL),∴CD=CA',
∴A'B'=AB=CD=A'C,
∴点A'为B'C 的中点.
∵BF
GC
=2
3
,∴设BF=2x=B'F,GC=3x,
∵点A'为B'C 的中点,A'G∥B'F,
∴GA'为△CFB'的中位线,
∴CG=FG=3x,GA'=1
2
B'F=x,
∴BC=BF+FG+GC=8x,∴AD=8x.
在Rt△CGA'中,A'C=√C G
2- A ' G
2=√(3 x)
2- x
2=2√2x,
∴AB=A'C=2√2x,
∴AD
AB
= 8 x
2√2 x
=2√2.
故选A.
难点突破
由折叠容易得出BF、GC 与BC 之间的数量关系,怎么把CD 与之关联是本题的难点所在.根
据B'A'的延长线过点C,可得出∠EA'C=∠D=90°,也就得出△CEA'≌△CED,进而得出B'A'=A'C,
由此判断A'G 为△CFB'的中位线,问题得解.
11.答案 (x+3)(x-3)
解析 x2-9=(x+3)(x-3).
12.答案 4
解析 对于2
x -3
=2,去分母得2(x-3)=2,解得x=4.
13.答案 7
10
解析 ∵袋子里有7 个红球、3 个白球,除颜色不同外均相同,∴从中任意摸出1 个球,每一个球
被摸到的可能性相等,∴摸到红球的概率是7
7+3
= 7
10
.
14.答案 (8+2√3)
解析 把△ABC 沿AB 方向平移1 cm,得到△A'B'C',则AA'=BB'=CC'=1 cm.
在Rt△ABC 中,因为∠ACB=90°,∠A=30°,BC=2 cm,
所以B'C'=BC=2 cm,AB=4 cm,
根据勾股定理得AC=√A B
2- BC
2=√4
2-2
2=2√3
(cm).
所以四边形AB'C'C 的周长为AB+BB'+B'C'+CC'+AC=4+1+2+1+2√3=(8+2√3)cm.
15.答案 25
3
解析 如图,连结OB,OA,过点A 作AD⊥OB,垂足为点D,则∠ADB=90°.因为BC 与☉O 相切于
点B,所以∠OBC=90°,又因为∠ACB=90°,所以四边形ACBD 为矩形,所以BD=AC=6
cm,AD=BC=8 cm.设☉O 的半径为R cm,在Rt△OAD 中,OA2=OD2+AD2,即R2=(R-6)2+82,解
得R=25
3
.故☉O 的半径为25
3
cm.
16.答案 (1)9 (2)α-β=7.5°
解析 (1)如图,连结A'A,并延长A'A 交EF 于点H,
由题意知四边形HEBA 和四边形HEB'A'都是矩形,
∴EB=HA=8 m,EB'=HA'=8√3 m,HE=AB=1 m,∠HEB=90°,
∵∠FAH=45°,∴FH=HA=8 m,
∴EF=FH+HE=8+1=9 m.
(2)∵FH=8 m,HA'=8√3 m,∴tan∠FA'H=√3
3
,
∴∠FA'H=30°,
∴∠FA'D'=∠FA'H+∠D'A'H=30°+90°-β,∠A'FH=90°-∠FA'H=60°,
根据入射角等于反射角可得∠NA'F=180°-2(30°+90°-β)=2β-60°,
同理可得∠MAF=2α-90°;
∵∠NA'F=∠A'MA=∠MAF+∠A'FA,
∴2β-60°=2α-90°+(60°-45°),
∴α-β=7.5°.
难点突破
对于(2),怎么把α,β 联系起来是解决本题的难点所在.我们可以用α,β 表示
∠FA'D',∠FAD,然后利用物理知识,三角形的外角以及平行线的性质建立关于α,β 的等量关系,
最后得解.
17.解析 原式=1-2×1+2+3
=1-2+2+3
=4.
18.解析 去括号,得6x-4>x+1,
移项,得6x-x>4+1,
合并同类项,得5x>5,
系数化为1,得x>1.
19.解析 (1)∵直角三角形较短的直角边的长=1
2
×2a=a,较长的直角边的长=2a+3,
∴小正方形的边长=2a+3-a=a+3.
(2)S 小正方形=(a+3)2,
当a=3 时,S 小正方形=(3+3)2=36.
20.解析 (1)把C(2,2)代入y=k
x
(k≠0),得2=k
2
,
解得k=4,∴反比例函数的解析式为y=4
x
.
把y=1 代入y=4
x
,得x=4,
∴点D 的坐标为(4,1).
(2)x 的取值范围是2≤x≤4.
提示:∵点P 在该反比例函数的图象上,且在△ABO 的内部(包括边界),∴点P 横坐标的最小值
就是点C 的横坐标,点P 横坐标的最大值就是点D 的横坐标,∴x 的取值范围为2≤x≤4.
21.解析 (1)∵“内容”所占比例为1-15%-15%-40%=30%,
∴表示“内容”的扇形的圆心角度数=360°×30%=108°.
(2)m=8×30%+7×40%+8×15%+8×15%=7.6.
∵7.85>7.8>7.6,
∴三人按成绩从高到低排序为小亮,小田,小明.
(3)班级制定的各部分所占比例不合理.
答案不唯一,如:
①“内容”比“表达”重要,调整为“内容”所占比例大于“表达”.
②“内容”“表达”所占百分比分别为40%,30%,其他不变.
22.解析 (1)∵五边形ABCDE 为正五边形,
∴´AB的度数= ´BC的度数= ´
CD的度数= ´DE的度数= ´AE的度数=360°
5
=72°,
∴
´
AEC
的度数=3 ´AE
的度数=3×72°=216°,
∴∠ABC=1
2
´
AEC的度数=1
2
×216°=108°.
(2)△AMN 是正三角形.理由如下:
如图,连结ON,FN,由作图知FN=FO.
又∵ON=OF,∴ON=OF=FN,
∴△OFN 是正三角形,
∴∠OFN=60°,∴∠AMN=∠OFN=60°.
同理,∠ANM=60°,
∴∠MAN=60°,∴∠AMN=∠ANM=∠MAN.
∴△AMN 是正三角形.
(3)∵△AMN 是正三角形,
∴´AN的度数=2∠AMN=120°.
∵´AD
的度数=2 ´AE
的度数=2×72°=144°,
∴´
DN的度数= ´AD的度数- ´AN的度数=144°-120°=24°,
∴n=360
24
=15.
方法指导
圆中求角度问题,优先考虑运用圆周角定理及推论,因此先要找出图形中的圆心角或圆周
角,再看所求角与这些特殊角之间的关系.
23.解析 (1)把{
x =3,
y =7.2,{
x = 4 ,
y =5.8代入y 需求=ax2+c 中,可得{
9a+c =7.2,①
16a+c =5.8,②
②-①,得7a=-1.4,解得a=-1
5
,
把a=-1
5
代入①,解得c=9,
综上,a=-1
5
,c=9.
(2)设这种蔬菜每千克获利w 元,根据题意,
有w=x 售价-x 成本=1
2
t+2-(
1
4 t
2- 3
2 t +3)
,
化简,得w=-1
4
t2+2t-1=-1
4
(t-4)2+3,
∵-1
4
<0,t=4 在1≤t≤7 的范围内,∴当t=4 时,w 有最大值.
答:在4 月份出售这种蔬菜每千克获利最大.
(3)由y 供给=y 需求,得x-1=-1
5
x2+9,
化简,得x2+5x-50=0,解得x1=5,x2=-10(舍去),
∴当供给量=需求量时,售价为5 元/千克.
此时,y 供给=y 需求=x-1=4(吨)=4 000(千克),
当售价为5 元/千克时,5=1
2
t+2,解得t=6,
把t=6 代入w=-1
4
t2+2t-1,得w=-1
4
×36+2×6-1=2,
∴总利润=w·y=2×4 000=8 000(元).
答:该蔬菜供给量与需求量相等时的售价为5 元/千克,按此价格出售获得的总利润为8 000 元.
方法指导
用二次函数解决实际问题中的最值问题的一般步骤: (1)设出实际问题中的变量;(2)建立
函数关系式;(3)利用待定系数法或根据题意分析列等式求出函数关系式;(4)确定自变量取值范
围;(5)利用二次函数图象的性质求出最值,对所得最值进行检验,是否符合实际意义.
24.解析 (1)∵四边形ABCD 是菱形,
∴BA=BC,
∴∠BAC=∠BCA.
∵四边形EFGH 为矩形,∴FG∥EH,
∴∠FGA=∠BCA,
∴∠BAC=∠FGA,
∴FA=FG.
(2)记AC 的中点为点O.
①当点E 在BC 上时,如图1,过点A 作AM⊥BC 于点M,则AM∥EF.
在Rt△ABM 中,AM=AB·sin B=6,
∴BM=√A B
2- A M
2=√10
2-6
2=8,
∴FG=EF=AM=6,CM=BC-BM=2.
∵OA=OC,OE∥AM,
∴CE=ME=1
2
CM=1
2
×2=1,
易知四边形MAFE 为矩形,
∴AF=ME=1,
∴AG=AF+FG=1+6=7.
图1 图2
②当点E 在CD 上时,如图2,过点A 作AN⊥CD 于点N.
根据题意,由菱形的性质可得AD=AB=10,
sin D=sin B=3
5
,
同理,FG=EF=AN=6,CN=2,
AF=NE=1
2
CN=1,
∴AG=FG-AF=6-1=5.
综上,AG=7 或5.
(3)过点A 作AM⊥BC 于点M.
①当点E 在线段BM 上时,0<s≤8,设EF=3x,则BE=4x,GH=EF=3x,
(ⅰ)若点H 在点C 的左侧或与M 重合,则s+8≤10,即0<s≤2,如图3,
CH=BC-(BE+EH)=10-(4x+8)=2-4x.
由△GHC∽△FEB,得GH
EF
=CH
BE
,
即GH
CH
= EF
BE
,∴3 x
2- 4 x
=3
4
,解得x=1
4
,
∴s=BE=4x=1.
由△GHC∽△BEF,得GH
BE
=CH
EF
,即GH
CH
= BE
EF
,
∴3 x
2- 4 x
=4
3
,解得x= 8
25
,
∴s=BE=4x=32
25
.
图3 图4
(ⅱ)若点H 在点C 的右侧,s+8>10,即2<s≤8, 如图4,
CH=(BE+EH)-BC=(4x+8)-10=4x-2.
由△GHC∽△FEB,得GH
EF
=CH
BE
,
即GH
CH
= EF
BE
,∴3 x
4 x -2
=3
4
,此方程无解.
由△GHC∽△BEF,得GH
BE
=CH
EF
,即GH
CH
= BE
EF
,
∴3 x
4 x -2
=4
3
,解得x=8
7
,
∴s=BE=4x=32
7
.
②当点E 在线段MC 上时,8<s≤10,如图5,EF=AM=6,EH=FG=8,BE=s.
∴BH=BE+EH=s+8,CH=BH-BC=s-2.
由△GHC∽△FEB,得GH
EF
=CH
BE
,
即GH
CH
= EF
BE
,
∴6
s-2
=6
s
,此方程元解.
由△GHC∽△BEF,得GH
BE
=CH
EF
,即GH
CH
= BE
EF
,
∴6
s-2
= s
6
,解得s=1±√37(舍去).
图5 图6
过点A 作AN⊥CD 于点N.
③当点E 在线段CN 上时,10≤s≤12,如图6,过点C 作CJ⊥AB 于点J,
在Rt△BJC 中,BC=10,由sin B=3
5
得CJ=6,BJ=8.
∵EH=FG=BJ=8,JF=CE,
∴BJ+JF=EH+CE,即CH=BF,
又∵GH=EF,∠GHC=∠EFB=90°,
∴△GHC≌△EFB,符合题意,
此时,10≤s≤12.
④当点E 在线段ND 上时,12<s<20,点F 在线段AD 上.
∵∠EFB>90°,∠GHC=90°,
∴△GHC 与△BEF 不相似.
综上所述,s 满足的条件为s=1 或s=32
25
或s=32
7
或10≤s≤12.
难点突破
对于(3)中的存在性问题,比较常用的是假设求解法.就是先假设结论存在,再从已知条件出
发,进行演绎推理.若得到和题意相符合的结论,则假设成立,结论也存在.否则,假设不成立,结论
不存在.
易错警示
(3)中两个三角形相似,未指明对应点,应当分情况讨论,结合两组直角边的不同对应关系,
构造比例式求解.
