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2025 年中考第一次模拟考试（安徽卷）
数学·全解全析
第Ⅰ卷
1．下列四个数中，是无理数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题考查了无理数的定义和算术平方根，无限不循环小数是无理数，据此进行解答即可．
【详解】解： ， ， ， 中， 是无理数．
故选：B．
2．山西是中国第一产煤、输煤大省及能源重化工基地，煤炭资源优势得天独厚，储量大、分布广、品种
全、质量优、易开采．据中新社报道：十年来，山西累计生产原煤98亿吨，占同期全国产量的四分之一，
将数据“98亿吨”用科学计数法表示为（ ）
A． 吨 B． 吨 C． 吨 D． 吨
【答案】C
【分析】根据科学记数法定义处理：把一个绝对值大于10的数表示成 ，其中 ，n等于
原数整数位数减1．
【详解】解：98亿 ；
故选：C
【点睛】本题考查科学记数法，熟练科学记数法的定义，理解指数的确定方程是解题的关键．
3．如图，图中几何体的左视图是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了三视图的知识，左视图是指视点在物体的左侧，投影在物体的右侧的视图．找到从左
面看所得到的图形即可，注意看不到的线应该表示为虚线．
【详解】解：从左面看该几何体，得到的视图是一个矩形，且中间有两条水平的虚线．
如图：
故选：B．
4．因式分解整式 ，结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用
的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不
能再分解为止．
【详解】解： ．
故选D．
5．如图，在 中， 的平分线为 ， 交 于点 ，若 ， ，则
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学科网（北京）股份有限公司的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查的是相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，一元二次方程的解法，根据角平分
线和平行线的性质得出 ，根据等角对等边得出 ，再由平行线得出 ，
从而得出 ，再进一步求解即可．
【详解】解：∵ 的平分线为 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
而 ， ，
∴ ，
解得： ， （舍去）；
∵ ，
∴ ，即
故选：B．
6．如图，点 为坐标原点，点 在 轴正半轴上，点 在双曲线 上，且 ，若
的面积为12，则 的值为（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A．24 B．12 C．6 D．3
【答案】C
【分析】作 轴于M，根据 ，易得点 是 中点，由 的面积为12，求出
的面积为 ，进而求出 的面积为 ，再根据 ，即可解答．
【详解】解：如图，作 轴于M，
∵ ，
∴ 是等腰三角形，
∵ ，
∴点 是 中点，
∵ 的面积为12，
∴ 的面积为 ，
∴ 的面积为 ，
∵点 在双曲线 上，
∴ ，
∴ ，
故选：C．
【点睛】本题考查反比例函数的几何意义、平行四边形的性质、等腰三角形的判定与性质等知识，解题的
关键是学会利用数形结合的思想解决问题．
7．如图，一副三角板（直角顶点重合）摆放在桌面上，若 ，则 等于（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A． B． C．30° D．
【答案】B
【分析】本题考查了与三角板有关的角度计算．解题的关键在于明确角度之间的数量关系．
根据 ，计算求解即可．
【详解】解： ，
，
，
，
故选：B．
8．下列正确的是（ ）
A． B．分式 的值为零，则 的值为
C． D．
【答案】D
【分析】运用平方差公式计算并判定A；根据分式值为0，分子等于0，分母不等于0求出x值即可判定
B；根据完全平方公式变形计算即可判定C；利用分式的乘方与幂的积的乘方公式计算并判定D．
【详解】解：A、 ，原计算错误，故此选项不符合题
意；
B、∵分式 的值为零，∴ 且 ，解得 ，故此选项不符合题意；
C、 ，原计算错误，故此选项不符合题意；
D、 ，正确，故此选项不符合题意；
故选：D．
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学科网（北京）股份有限公司【点睛】本题考查平方差公式，完全平方公式，分式值为零，分式有意义的条件，分式乘方运算等知识，
熟练掌握相关计算公式是解题的关键．
9．如图，菱形 中， ， 是 边上一点， 是 边上一点， ，连接 交
于点 ，若 ，则下列结论错误的是（ ）
A． 的最小值为 B． 的最大值为1
C． 面积的最大值是 D． 的最小值是3
【答案】D
【分析】先证明 是等边三角形；得出 ，说明当 最小时， 最小，根据垂线段最短，
得出当 时， 最小，根据等边三角形性质和勾股定理求出最小值即可判断A选项；根据
， 为定值，得出当 最小时， 最大，根据 时， 最小，此时 最
大，根据等边三角形性质和勾股定理求出结果，即可判断B选项；根据 ，得
出 ，说明当 最小时， 面积最大，根据 为等边三角形，得出当边长
最小时， 面积最小，求出 的最小值为 ，最后求出结果即可判断C选项；
设 ， ，根据 ，根据二次函数性质，说明 有
最大值，求出最大值为3，即可判断D选项．
【详解】解：∵四边形 是菱形， ，
∴ ， ，
∴ 是等边三角形，
∴ ， ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴在 和 中，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ 是等边三角形；
∴ ，
∴当 最小时， 最小，
∵垂线段最短，
∴当 时， 最小，
∵ 为等边三角形，
∴此时 ，
根据勾股定理得： ，
∴ 的最小值为 ，故A正确，不符合题意；
∵ ， 为定值，
∴当 最小时， 最大，
当 时， 最小，此时 最大，
∵ 是等边三角形，
∴当 时， ， ，
∴ ，
∴此时 平分 ，
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学科网（北京）股份有限公司∵ 为等边三角形，
∴此时 ，
∴此时 ，
∴ ，
∴此时 ，
根据勾股定理得： ，
∴此时 ，
即 的最大值为1，故B正确，不符合题意；
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴当 最小时， 面积最大，
∵ 为等边三角形，
∴当边长 最小时， 面积最小，
∵ 的最小值为 ，此时 上的高为3，
∴ 的最小值为 ，
∴ 面积的最大值为 ，故C正确，不符合题意；
∵ ，
∴ ，
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司设 ， ，
∴
，
∴当 时， 取最大值 ，
∴此时 ，
∴此时 ，
∵ 为等边三角形，
∴此时 ， ，
∴此时 ，
∴ 平分 ，
∵ 为等边三角形，
∴此时 ，
∴此时 ，
∴ ，
∴ ，
即 的最大值为3，故D错误，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，二次函数的最值，等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和
性质，三角形面积计算，勾股定理，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质，数形结合．
10．如图，已知二次函数 的图象与x轴交于点 ，与y轴的交点B在 和
之间（不包括这两点），对称轴为直线 ．下列结论：① ② ③
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学科网（北京）股份有限公司④ ⑤ ⑥若点 ， ， 在该函数图像上，则 ；其中正确的结
论的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数图象与二次函数系数之间的关系、抛物线与 轴的交点，掌握数形结合思想
是解题的关键．
根据对称轴为直线x=1及图象开口方向可判断出 、 、 的符号，从而判断①；根据对称轴得到函数图
象经过 ，则可判断②；利用 、 、 的正负性可判断③；从图象与 轴的交点在 和 之
间可判断④；根据 与 的关系可判断⑤；结合图象以及 、 、 到对称轴的距离可判断⑥．
【详解】解：①：∵函数开口方向向上，∴a>0；
∵对称轴在 轴右侧，∴ 、 异号，
∵抛物线与 轴交点在 轴负半轴，∴ ，
∴ ，
故①符合题意；
②：∵图象与 轴交于点 ，对称轴为直线x=1，
∴图象与 轴的另一个交点为 ，
∴当x=2时， ，
∴ ，
故②不符合题意；
③：∵a>0， ， ，
∴ ， ， ，
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司故③符合题意；
④：当x=−1时， ，
∴ ，
∵对称轴为直线x=1，
∴ ，∴ ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
解得 ，
故④符合题意；
⑤：由④知 ，
∵a>0，
∴ ， ，
故⑤符合题意；
⑥：抛物线开口向上且对称轴为直线x=1，
∴抛物线上到对称轴的距离越远的点，纵坐标越大，
∴ ，
故⑥符合题意；
∴正确的有①③④⑤⑥．
故选：D ．
第Ⅱ卷
11．在数轴上，点 、 对应的数分别是 和 ，点 对应的数为 ，点 到 的距离是点 到 距离的
倍，则点 对应的数 的值为 ．
【答案】 或
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学科网（北京）股份有限公司【分析】此题主要考查了数轴上两点之间的距离．一元一次方程的应用，解答此题的关键是理解：在数轴
上点 所表示的数为 ．点 所表示的数为 ．则 之间的距离为 ．首先根据数轴上两点
之间的距离公式得 ， ．再根据点 到 的距离是点 到 距离的4倍．得
．解此方程求出 的值即可．
【详解】解：∵点 、 表示的数分别是 和 ．点 表示的数为 ．
， ，
又∵点 到 的距离是点 到 距离的4倍，
，
即 ．
或 ，
由 ，解得： ．
由 ，解得： ．
综上所述：点 表示的数为 或 ，
故答案为： 或 ．
12．对于任意不相等的两个数 ， ，定义一种运算 如下： ，如 ，那么
．
【答案】
【分析】利用新定义的运算规则将原式转化为二次根式的运算，然后化简得出答案即可．
【详解】解： ，
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学科网（北京）股份有限公司，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了新定义下的实数运算，二次根式的混合运算，利用二次根式的性质化简，分母有
理化等知识点，读懂题意，熟练掌握新定义的运算规则是解题的关键．
13．如图所示，在平面直角坐标系中，直线经过点C与x轴平行，且直线分别与反比例函数 和
的图象交于点P，Q，若 的面积为8，则 ．
【答案】
【分析】由 轴及函数图象可知 ，即 ，
于是可得 ，由图象可知 ，于是得解．
【详解】解： 轴，
，
即： ，
，
而 ，
，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了反比例函数与几何综合，反比例函数的性质，三角形的面积公式，绝对值方程，
化简绝对值，等式的性质 ，等式的性质 等知识点，熟练掌握反比例函数的图象与性质以及反比例函数与
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学科网（北京）股份有限公司几何综合是解题的关键．
14．“赵爽弦图”被人们称为“中国古代数学的图腾”，是数形结合思想的典型体现．如图，将弦图放置
在以 为原点的平面直角坐标系中， ， 分别是 ， 轴正半轴上的动点，正方形 中有如图四个
全等的 、 、 、 ，若 是 中点，连接 并延长交 于点 ，连
接 并延长交 于 ，点 是反比例函数 （ ）图象上一点．
（1）若 ，则点 的坐标为 ．
（2）若点 的坐标为 ，则 ．
【答案】
【分析】（1）证明四边形 是正方形，由 是 的中点，可得 ， ，则
，由 ， ，可得 ，由 ，
可得 ，同理 ，则 ，设 ，则 ，计算求出满足要求
的解，进而可得结果；
（2）由（1）可知， ，则 ，可求 ，即 ， ， ．
【详解】（1）解：由题意可知， ， ，
，
∴ ， ，
∴四边形 是正方形，
∵ 是 的中点，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴设 ，
∵点 是反比例函数 （ ）图象上，
∴ ，
解得， ， （舍去），
∴ ，
故答案为： ；
（2）解：由（1）可知， ，
∵ 坐标为 ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∵点 是反比例函数 （ ）图象上，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，正方形的判定与性质，平行线分线段成比例，反比例函数与几何
综合，反比例函数解析式等知识．熟练掌握全等三角形的性质，正方形的判定与性质，平行线分线段成比
例，反比例函数与几何综合，反比例函数解析式是解题的关键．
评卷人 得分
三、解答题
15．解下列方程： ．
【答案】 ，
【分析】本题考查解一元二次方程，根据因式分解法解一元二次方程的步骤求解即可．
【详解】解：移项，得
则 ，即
∴ 或
解得 ， ．
16．如图，在平面直角坐标系 中， 的顶点坐标分别为 ， ，C(0,−3)．
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学科网（北京）股份有限公司(1)以点 为位似中心，在点 的上方画出 ，使 与 位似，且位似比为 （A， 的对
应点分别是 ， ）；
(2)以点 为旋转中心，将 逆时针旋转 得 ，画出 （A， ， 的对应点分别是 ，
， ）．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了画位似图形，坐标与图形变化—旋转，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键．
（1）先根据位似图形性质得到A、C的对应点 、 ，然后顺次连接即可；
（2）根据旋转性质找到A、B、C对应点 、 、 的位置，然后顺次连接 、 、 即可．
【详解】（1）解：如图所示， 即为所求；
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学科网（北京）股份有限公司（2）解：如图所示， 即为所求．
17．为了增强中学生体质，某学校倡导学生在大课间开展打羽毛球活动，需购买甲、乙两种品牌羽毛球．
已知购买甲种品牌羽毛球12个和乙种品牌羽毛球6个共需240元；购买甲种品牌羽毛球15个和乙种品牌
羽毛10个共需325元．
(1)购买一个甲种品牌羽毛球和一个乙种品牌羽毛球各需要多少元？
(2)若购买甲乙两种品牌羽毛球共花费1800元，甲种品牌羽毛球数量不低于乙种品牌羽毛球数量的5倍且
不超过乙种品牌羽毛球数量的16倍，则共有几种购买方案？
【答案】(1)每个甲品牌羽毛球15元，每个乙种品牌羽毛球10元
(2)有5种购买方案
【分析】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式组的应用，
（1）设每个甲品牌羽毛球 元，每个乙种品牌羽毛球 元，根据题意列出二元一次方程组，问题得解；
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学科网（北京）股份有限公司（2）设购买甲品牌羽毛球x个，购买乙种品牌品牌羽毛球 个，根据题意列出一元一次不等式组，
解不等式组即可求解．
【详解】（1）解：设每个甲品牌羽毛球 元，每个乙种品牌羽毛球 元，由题意得
，
解得： ，
答：每个甲品牌羽毛球15元，每个乙种品牌羽毛球10元；
（2）解：设购买甲种品牌羽毛球x个，购买乙种品牌羽毛球 个．
由题意得： ，
解得： ，
且 均为正整数，
∴ 可以为： ，
∴购买甲种品牌羽毛球106个，乙种羽毛球21个；
购买甲种品牌羽毛球108个，乙种羽毛球18个；
购买甲种品牌羽毛球110个，乙种羽毛球15个；
购买甲种品牌羽毛球112个，乙种羽毛球12个；
购买甲种品牌羽毛球114个，乙种羽毛球9个，
∴共有5种购买方案．
18．下列图形都是由同样大小的棋子按一定规律组成，其中第1个图形有1颗棋子，第2个图形一共有6
颗棋子，第3个图形一共有16颗棋子，…．
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学科网（北京）股份有限公司(1)则第4个图形中棋子的颗数为______．第5个图形中棋子的颗数为______．
(2)请探究并归纳出第n个图形中棋子的颗数．
(3)求第100个图形中棋子的颗数．
【答案】(1)31，51
(2)
(3)24751颗
【分析】（1）根据前面三个图棋子的排列规律可以写出第四、第五个图形棋子的颗数；
（2）观察前面五个图形棋子的颗数与图形的序数之间的关系可以归纳出第n个图形中棋子的颗数；
（3）把n=100代入（2）中所得的代数式即可得到解答．
【详解】解：（1）第四个图形棋子的颗数为：1+3+5+7+6+5+4=31，
第五个图形棋子的颗数为：1+3+5+7+9+8+7+6+5=51，
故答案为31，51；
（2）观察图形得到第1个图形中棋子的颗数为1=1+5×0；
第2个图形中棋子的颗数为1+5×1=6；
第3个图形中棋子的颗数为1+5+10=1+5（1+2）=16；
第4个图形中棋子的颗数为1+5+10+15=1+5（1+2+3）=31；
…
第n个图形中棋子的颗数为 ，
所以第n个图形中棋子的颗数为 ；
（3）当n=100时， ，
所以第100个图形中棋子的颗数是24751颗．
【点睛】 本题考查图形规律的探索，培养较强的观察力和归纳能力是解题关键．
19．合肥骆岗公园不仅被称为合肥市的“城市封面”与“超级生态新地标”，还被誉为“世界最大城市公
园”．如今，骆岗公园已成为合肥市民休闲娱乐的新去处，也是外地游客了解合肥、感受合肥魅力的重要
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学科网（北京）股份有限公司窗口．如图， ， ， ， 分别是骆岗公园的四个景点， 在 的正东方向， 在 的正北方向，且在
的北偏西 方向， 在 的北偏东 方向，且在 的北偏西 方向， 千米．（参考数据：
， ， ， ， ）
(1)求 的面积（结果精确到 平方千米）；
(2)求 的长度（结果精确到 千米）．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练运用三角函数是解题的关键．
（1）过点 作 于点 ，可得 ， ，在 中，根据正余弦可求得 、
的长度，在 中，根据等腰直角三角形的性质，可得 的长度，进而得出 ，根据三角形面
积公式求得结果；
（2）过点 作 于点 ，可得 ，在 中，根据正弦可求出 ，在 中，
根据正弦求出 即可．
【详解】（1）解：过点 作 于点 ，
由题意可得 ， ，
在 中， ， ，
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学科网（北京）股份有限公司在 中， ，
；
（2）解：过点 作 于点 ，易证 ，
在 中， ，
在 中， ．
20．如图，在 中， ，以 为直径作 与 交于点 ，过点 作 的切线交 的延
长线于点 ．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 ．
【答案】(1)证明见解析
(2)9
【分析】（1）根据切线的性质可得 ，从而可得 ，根据直径所对的圆周角是
直角可得 ，从而可得 ，然后利用等腰三角形的性质可得 ，
从而利用等角的余角相等即可解答；
（2）根据已知可得 ，然后利用（1）的结论可得 ，从而利用相似三角形的性质可
得 ，然后根据 ，进行计算即可解答．
【详解】（1）证明：∵ 与⊙O相切于点A，
∴ ，
∴ ，
∵ 是⊙O的直径，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴ ；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 3，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 。
【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，切线的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握
切线的性质，以及相似三角形的判定与性质是解题的关键．
21．长寿区某校非常重视培养学生的语文核心素养，在学期中段开展了名著知识竞赛，为了解初三学生的
名著阅读情况，随机抽查了初三甲、乙两班各20名学生的竞赛成绩（百分制，成绩 为整数），将成绩分
为四个组进行收集、整理、描述、分析．所有学生的成绩均高于60分，其中：A． ；B．
；C． ；D． ．下面给出了部分信息：
初三甲班20名学生的竞赛成绩为：
61，62，76，79，79，79，79，83，84，88，88，89，90，90，91，92，94，96，100，100．
初三乙班20名学生的竞赛成绩在C组的数据是：82，86，86，86，87，88，89，89．
初三甲、乙两班所抽学生的竞赛成绩统计表
班级 初三甲班 初三乙班
平均
85 85
数
中位
88
数
众数 86
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学科网（北京）股份有限公司根据以上信息，解答下列问题：
(1)上述图表中 ______， ______，扇形统计图中圆心角 的度数是______；
(2)根据以上数据分析，你认为该校初三甲、乙两班中哪个班级学生的名著知识竞赛成绩较好？请说明理由
（写出一条理由即可）；
(3)该校准备在甲、乙两班抽查的学生中，各挑选1名名著知识竞赛成绩优异（ ）的学生，进行
读书心得分享，其中初三甲班成绩优异的两名学生是一名男生、一名女生，初三乙班成绩优异的三名学生
是一名男生、两名女生，请用树状图或列表法求出挑选的两名同学恰好是一名男生一名女生的概率．
【答案】(1) ， ，
(2)甲班的学生竞赛成绩较好，理由见解析．
1
(3)
2
【分析】本题考查了列表法与树状图法、用样本估计总体、频数分布直方图、频数分布表的意义，理解中
位数的意义、掌握中位数的求法是正确解答的前提．
（1）根据众数和中位数的定义求解即可；
（2）根据中位数和众数的意义求解即可；
（3）根据树状图即可求恰好选到一名男生与一名女姓的概率．
【详解】（1）解：初三甲班20名学生的竞赛成绩中，79分出现次数最多，共4次，所以，众数 ；
初三乙班所抽学生的竞赛成绩中，A组人数为： （人），B组人数为： （人），C
组人数为8人，D组人数为： （人），
最中间的是第10，11个成绩数，即86，87，所以， （分）；
；
故答案为： ， ， ；
（2）解：甲班的学生竞赛成绩较好，理由如下：
甲、乙两班的平均数相同，但甲班成绩的中位数比乙班的大，所以甲班的学生竞赛成绩较好；
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学科网（北京）股份有限公司（3）解：用Aa，Ab表示初三甲班的一名男生、一名女生，用Ba1，Ba2，Bb表示初三乙班的两名男生、
一名女生，
画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中挑选的两名同学恰好是一名男生一名女生有3种情况，
所以，挑选的两名同学恰好是一名男生一名女生的概率为 ．
22．在 和 中， ， ， ，旋转 ，使点 在 内．
(1)如图1，求证： ；
(2)当 时，延长 交 于点 ．
①如图2，若 ， ，求 的长；
②如图3，连接 ，若点 是 的中点，判断线段 与线段 的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)① ；② ，理由见解析
【分析】（1）证明 ，再利用已知 ， ，即可证明结论；
（2）①求出 ， ．证明 ．则 ．得到
，由（1）可知， ，即可得到答案；②延长 交 于点 ．证明四边形
是正方形．则 ， ．证明 ，得到 ．得到
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学科网（北京）股份有限公司， ．即可证明 ．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ，
即 ．
∵ ， ，
∴ ．
（2）解：①∵ ，
∴ ， ．
∵ ， ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴
同（1）可知， ，
∴ ．
② ，理由如下：
如图3，延长 交 于点 ．
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学科网（北京）股份有限公司∵ ，
∴ ， ．
∴ ．
∴四边形 是矩形．
∵ ，
∴四边形 是正方形．
∴ ， ．
∴ ， ．
∵ ， ，
∴ ．
∴ ．
∴ ， ．
∴ ．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理、等腰三角形的判定
和性质、正方形的判定和性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质是解
题的关键．
23．如图,在平面直角坐标系中，一次函数 的图象与 轴交于点 与 轴交于点 抛物线
y=ax2+bx+c关于直线 对称，且经过 ， 两点，与 轴交于另一点为
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点 为直线 上方的抛物线上的一点 过点 作 轴于 ，交 于 ，求 的最大值，并求
此时 的面积；
(3)在抛物线的对称轴上找出使 为直角三角形的点 ，直接写出点 的坐标.
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学科网（北京）股份有限公司【答案】(1) ；
(2) 的最大值为 ，此时 的面积为
(3)D点的坐标为
【分析】（1）由直线过点 ，可得出点 的坐标，由 、 关于直线 对称可找出 点的坐标．由直
线经过点 可求出点 的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）直线 的解析式为 ，即 ，设点 的坐标为 ；则 点坐标
为 ，由此得到 ，由二次函数最值的求法得到：点 ，再列式
求出面积，即可作答．
（3）假设存在，设出 点坐标， 为直角三角形分三种情况：
①当点 为直角顶点时：作 轴于 由 可得： ，所以 ，即 ；
②同理当点 为直角顶点时可求 ；③当点 为直角顶点时：过 作 轴．由
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学科网（北京）股份有限公司可得： ．易得 ， ．
【详解】（1）解：∵一次函数 的图象与 轴交于点 与 轴交于点
∴令 则 ，
解得： ，
即点 的坐标为
、 关于直线 对称，
点 的坐标为
令x=0，则 ，
点 的坐标为(0,2)，
抛物线y=ax2+bx+c经过点 、 、 ，
有
解得 ， ，
故抛物线解析式为 ．
（2）解：依题意，直线 的解析式为 ，
即 ，
设点 的坐标为 ；
则 点坐标为 ，
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学科网（北京）股份有限公司当 时， ，
把 代入 ，
∴ ，
此时点 ，
连接
把 代入 ，得
．
（3）解：设 点的坐标 ，
依题意，把 为直角三角形分三种情况：
①当点 为直角顶点时：作 轴于
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学科网（北京）股份有限公司∵ ， ，
∴ ，
∴
解得： ；
，
即 ；
②同理当点 为直角顶点时可求
③当点 为直角顶点时：
过 作 轴，
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学科网（北京）股份有限公司由 可得：
，可得：
解得：
∴ ，
故D点的坐标为 ．
【点睛】主要考查了二次函数综合运用，待定系数法求一次函数的解析式、二次函数的解析式，相似三角
形的性质与判定，二次函数的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
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