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2025 年中考第一次模拟考试（云南卷）
数学·全解全析
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共15个小题，每小题2分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．肺炎支原体是一种大小介于细菌和病毒之间的微生物，肺炎支原体直径约为0.00000005米，约为一根
头发的五万分之一，却有着不可小蔇的威力．其中数据0.00000005用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为 的形式，其中
， 为整数，确定 的值时，要看把原数变成 时，小数点移动了多少位， 的绝对值与小
数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时， 是非负数，当原数绝对值小于1时， 是负数，
表示时关键是要正确确定 的值以及 的值．
【详解】解：数据0.00000005用科学记数法表示为 ，
故选：D．
2．北京时间2024年1月11日13时30分，我国太原卫星发射中心在山东海阳附近海域使用引力一号遥一
商业运载火箭，将搭载的云遥一号1820星3颗卫星顺利送入预定轨道，飞行试验任务获得圆满成功．若火
箭发射点火前5秒记为 秒，则火箭发射点火后6秒记为（ ）
A． 秒 B． 秒 C． 秒 D． 秒
【答案】A
【分析】本题主要考查了正负数的实际应用，正和负是一对具有相反意义的量，点火前用负数表示，那
么点火后用负数表示，据此求解即可．
【详解】解；若火箭发射点火前5秒记为 秒，则火箭发射点火后6秒记为 秒，
故选：A．
3．若 有意义，则x能取的最小整数值是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A．0 B．－2 C．－3 D．－4
【答案】C
【分析】根据二次根式根号下被开方数是非负数时二次根式才有意义，进行解答即可．
【详解】解：∵二次根式根号下被开方数是非负数时二次根式才有意义，
∴ ，
∴ ，
∴ 能取的最小整数值是： ．
故选：C．
【点睛】此题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式根号下被开方数是非负数时二次根式才有意
义是解题的关键．
4．下列运算结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】分别利用合并同类项、积的乘方、单项式乘单项式、同底数幂的除法运算法则化简求出即可．
【详解】解：A、 ，故此选项错误，不符合题意；
B、 ，故此选项正确，符合题意；
C、 ，故此选项错误，不符合题意；
D、 ，故此选项错误，不符合题意．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了合并同类项、积的乘方、单项式乘单项式、同底数幂的除法等知识，熟练掌握
相关运算法则是解题关键．
5．瓦楞纸箱具有较高抗压强度及防震性能，能够抵挡搬运过程中的碰撞、冲击和摔跌，在商业包装中有
着举足轻重的作用．如图所示，是一件正六棱柱瓦楞纸箱，则该几何体的主视图是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了简单几何体的三视图，根据从正面看得到的图形是主视图求解即可．
【详解】解：从正面看，可得如下图形：
故选：B．
6． 的发现使人类了解到一个全新的碳世界．如图是 的分子结构图，包括20个正六边形和12个正
五边形，其中正五边形的一个内角的大小是（ ）
A．108° B．90° C．72° D．
【答案】A
【分析】先求出正五边形的内角和，再根据正五边形的每个内角都相等求解即可．
【详解】解：∵正五边形的内角和为： ，
∴每一内角的度数为： ．
故选：A．
【点睛】本题考查正多边形内角的计算，熟练掌握多边形的内角和计算公式及正多边形关于内角的性质
是解题的关键．
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学科网（北京）股份有限公司7．如图，在 中， ， 平分 交 于点P， 于点 ，若 ， ，
则 的周长为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】C
【分析】本题主要考查了角平分线的性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理．由 ，
， ，可得到 ，由 平分 ，可得到 ，进而得到 ，
则可得 ， ，进而可得 ，即可得解．
【详解】解：∵ 中， ， ， ，
，
∵ 平分 ， ， ，
∴ ， ，
又 ，
，
，
，
．
故选：C．
8．下图是甲、乙两同学五次数学测试成绩的折线图，比较甲、乙的成绩，下列说法正确的是（ ）
A．甲平均分高，成绩稳定 B．甲平均分高，成绩不稳定
C．乙平均分高，成绩稳定 D．乙平均分高，成绩不稳定
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学科网（北京）股份有限公司【答案】D
【详解】解：
∴乙的平均数较高;乙的离散程度较高，不稳定，甲的离散程度较低，比较稳定;
故选: D.
9．把 分解因式，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】直接利用完全平方公式分解因式，即可得出答案．
【详解】解： ，
故选：D．
【点睛】本题考查了公式法分解因式，正确运用完全平方公式是解题关键．
10．某次复习课上，老师在黑板上写了一串单项式，请你观察规律： ， ， ， ， ， ，
猜想老师写出的第 个单项式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了单项式规律探索，根据给出的式子得出规律即可，正确得出规律是解此题的关键．
【详解】解：∵ ， ， ， ， ， ，
∴第 个单项式为 ，
故选：C．
11．习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”为响应
全民阅读号召，某校利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一周进馆200人次，进馆人次逐周
增加，第三周进馆242人次，若每周进馆人次的平均增长率相同．设每周进馆人次的平均增长率为 ，根
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学科网（北京）股份有限公司据题意，可列方程（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了一元二次方程与增长率的运用，根据题目中的数量关系，列式即可求解，掌握一元
二次方程是解题的关键．
【详解】解：第一周进馆200人次，第三周进馆242人次，每周进馆人次的平均增长率为 ，
∴ ，
故选：D ．
12．剪纸文化是我国最古老的民间艺术之一．下列剪纸图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（
）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查轴对称图形和中心对称图形的识别，根据轴对称图形和中心对称图形的定义，进行判
断即可．
【详解】解：A、不是中心对称图形，不符合题意；
B、既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意；
C、不是中心对称图形，不符合题意；
D、不是轴对称图形，不符合题意；
故选B．
13．如图， 的三个顶点都在正方形网格格点上，则 的值为（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A．1 B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了勾股定理，余弦的定义；由勾股定理求出 ，再由余弦的定义得
，即可求解；理解“ ”是解题的关键．
【详解】解：由题意得
，
；
故选：C．
14．如图，BD是⊙O的直径，弦AC交BD于点G．连接OC，若∠COD＝126°， ，则∠AGB的
度数为（ ）
A．108° B．103° C．98° D．139°
【答案】A
【分析】根据圆周角定理得到 ， ，结合 ，得到
，最后根据三角形的外角计算 的度数．
【详解】解：∵BD是⊙O的直径，
∴ ，
∵ ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
故选：A．
【点睛】本题考查了圆周角定理，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对
的圆心角的一半；推论：半圆或直径所对的圆周角是直角， 圆周角所对的弦是直径，熟练掌握相关
知识点是解题的关键．
15．用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台，圆台也可以看作以直角梯
形垂直于底边的腰所在直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体．直角梯形上、下底旋
转所成的圆面称为圆台的上、下底面，另一腰旋转所成的曲面称为圆台的侧面，侧面上各个位置的直角梯
形的腰称为圆台的母线，圆台的轴上的梯形的腰的长度叫做圆台的高．生活中，圆台的运用很广泛，如灯
罩、茶几等．现有一圆台体的灯罩，经过测量，圆台的母线AB长为12cm，小圆半径OB长为4cm，大圆
1
半径OA长为8cm，现需给灯罩侧面敷上一层纸，这张纸的面积至少是（圆台的侧面展开面积＝同圆心角
2
的大扇形面积﹣小扇形面积）（ ）
A．36πcm2 B．72πcm2 C．144πcm2 D．288πcm2
【答案】C
【分析】根据圆锥的侧面积：S侧＝ •2πr•l＝πrl，圆台的侧面展开面积＝同圆心角的大扇形面积﹣小
扇形面积即可．
【详解】根据题意可知：
O1B∥O2A
∴ ,
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学科网（北京）股份有限公司∴
∴
∵AB＝12，BO1＝4，AO2＝8，
∴OA＝OB+AB＝OB+12
∴
∴OB＝12
设AO2＝r1，BO1＝r2，OA＝l1＝24，OB＝l2＝12
根据圆锥的侧面积公式可知：
S大侧﹣S小侧＝πr1l1﹣πr2l2＝π×8×24﹣π×4×12＝144π（cm2）
故选：C．
【点睛】本题考查了圆锥侧面积、相似三角形、分式方程的知识；求解的关键是熟练掌握圆锥侧面积、
相似三角形、分式方程的性质，从而完成求解．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共4个小题，每小题2分，共8分）
16．当x= 时，函数 的值为零．
【答案】-2
【详解】试题分析： =0，易知x-2≠0,3x2-12=0.
解得x=-2或x=2（舍去）
考点：函数的意义
点评：本题难度较低，主要考查学生对实数及分式意义知识点的掌握．
17．关于x的方程2x2-3x+c=0 有两个不相等的实数根，则c的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于c的一元一次不等式，解之即可得出结论．
【详解】∵关于x的方程2x2﹣3x+c=0有两个不相等的实数根，∴△=（﹣3）2﹣4×2c=9﹣8c＞0，解得：
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学科网（北京）股份有限公司c＜ ．
故答案为c＜ ．
【点睛】本题考查了根的判别式，牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
18．如图， ， 分别是 的边 ， 的中点，若 的面积为 ，则 的面积等于
．
【答案】60
【分析】根据三角形中位线定理得到DE∥BC，DE＝ BC，证明△ADE∽△ABC ，根据相似三角形的性
质计算，得到答案．
【详解】解：∵D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，DE＝ BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴ ＝（ ）2＝ ，
∵△ADE的面积为15，
∴△ABC的面积为60，
故答案为：60．
【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相
似比的平方是解题的关键．
19．某校开展“我最喜爱的一项体育运动”调查，每名学生必选且只能选一项，现随机抽查了m名学生，
并将结果绘制成如图所示的不完整的条形图和扇形图，在抽查的m名学生中喜欢足球运动的有 人，
喜欢篮球的对应的扇形圆心角是 ．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】 30 36
【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图，找出统计图之间的联系是解题关键．先根据喜欢排球运
动的人数和所占百分比求出总人数，再分别求解即可．
【详解】解：总人数为 （人），
喜欢足球的人数为 ，
喜欢篮球的对应的扇形圆心角的度数为 ，
故答案为30，36．
三、解答题（本大题共8个小题，共62分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
20．（7分）计算： ．
【答案】
【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计
算是解题的关键．
21．（6分）如图所示，点 在 外部，点 在 边上． 交 于 ，若 ， ，
，求证： ．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】见解析
【分析】由题意可得出 ，再利用 即可证明 ．
【详解】证明：∵ ，
∴ ，即 ．
在 和 中， ，
∴ ．
【点睛】本题考查三角形全等的判定．掌握三角形全等的判定定理是解题关键．
22．（7分）2024年10月26日，中甲联赛第29轮，云南玉昆队坐镇玉溪高原体育运动中心迎战大连英博
队．本场比赛是本赛季云南玉昆队的主场收官之战，也是中甲联赛前两名球队之间的较量，受到广大球迷
高度关注，吸引了19981人到现场观赛．最终，玉昆队以 的比分战胜大连英博队，捍卫了“高体”主
场不败的记录．某单位组织员工从A地到B地的玉溪高原体育运动中心观看比赛，已知A地到B地的路程
为60千米，乘坐C型车比乘坐D型车少用20分钟，C型车的平均速度是D型车的1.5倍，求D型车的平
均速度．
【答案】 型车的平均速度为60千米／小时．
【分析】本题考查分式方程的应用，设 型车的平均速度为 千米／小时，则 型车的平均速度是
千米／小时，根据“乘坐 型车比乘坐 型车少用20分钟，”建立方程求解，并检验，即可解题．
【详解】解：设 型车的平均速度为 千米／小时，则 型车的平均速度是 千米／小时，
根据题意可得， ，
解得 ，
经检验 是该方程的解，
答： 型车的平均速度为60千米／小时．
12 / 20
学科网（北京）股份有限公司23．（6分）杜甫是唐代伟大的现实主义诗人，被后人誉为“诗圣”．《绝句》是杜甫住在成都浣花溪草
堂时写的，描写了草堂周围明媚秀丽的春天景色．如图，将这四句古诗分别写在编号为A，B，C，D的4
张卡片上，卡片除编号和内容外，其余完全相同，将这4张卡片背面朝上，洗匀放好，小莉和小芳玩抽诗
句的游戏．
A两个黄鹂鸣翠柳， B一行白鹭上青天．
C窗含西岭千秋雪， D门泊东吴万里船．
(1)小莉从中抽取一张卡片，恰好抽到的是这首诗的首句的概率为___________．
(2)小莉先抽一张卡片，接着小芳从剩下的卡片中抽一张，用画树状图法或列表法求两人所抽卡片上的诗句
恰好成联（注：A与B为一联，C与D为一联）的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了列表法与树状图法求概率的知识．此题比较简单，注意列表法与树状图法可以不重
复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的
事件；掌握概率=所求情况数与总情况数之比是解题的关键．
（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【详解】（1）小莉从中抽取一张卡片，恰好抽到的是这首诗的首句的概率为 ，
故答案为： ；
（2）用列表法列举所有可能的结果：
小
芳
A B C D
小
莉
A A、B A、C A、D
B B、A B、C B、D
C C、A C、B C、D
D D、A D、B D、C
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学科网（北京）股份有限公司共有12种等可能的结果，其中抽到A、B（B、A）或C、D（D、C）的情况有4种，
∴两人所抽卡片上的诗句恰好成联的概率为 ．
24．（8分）如图，在 中， ，点D是 的中点，连接 ，点E是 的中点，延长
至点F，使 ，连接 ， 与 交于点G，连接 ．
(1)求证：四边形 是矩形；
(2)若 ， ， ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）证明 ，推出 ，由等腰三角形的性质推出
，证明四边形 是平行四边形，据此即可得出结论；
（2）由等腰三角形的性质以及 ，推出 ，由勾股定理推出
，求得 ，再根据直角三角形斜边中线的性质即可求解．
【详解】（1）证明：∵点E是 中点，
∴ ，
在 和 中， ，
∴ ，
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∵ ，点D是 中点，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形，
∵ ，
∴平行四边形 是矩形；
（2）解：∵ ，点D是 中点，
∴ ， ，
∴ ，即 ，
∵ ，即 ，
∴ ， ，
∵ ，即 ，且点D是 中点，
∴ ．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，矩形的判定，解答本
题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
25．（8分）“建盏”作为一种茶器，是黑瓷的代表，更是南平的一张名片．“建盏”的焙烧方法目前有
两种：“柴烧”和“电烧”，制坯的原料是用当地的红土和白土．已知某种同样规格的建盏，一个柴烧的
坯体原料红土需要90克，白土需要60克，一个电烧的坯体原料红土需要75克，白土需要75克．在不考
虑破损的情况下，某生产车间在一次生产中恰好用了红土1530克，白土1170克．
(1)在这次生产中，“柴烧”和“电烧”建盏各生产多少个？
(2)该车间计划购买礼盒，现有两种礼盒可供选择，A礼盒可装2个建盏，B礼盒可装6个建盏，若要把本
次生产的建盏恰好全部装完，且礼盒装满，有几种购买方案？请说明理由．
【答案】(1)“柴烧”建盏生产12个，“电烧”建盏生产6个
(2)有四种购买方案，见解析
【分析】（1）设这次生产“柴烧”建盏x个，“电烧”建盏y个，根据“一个柴烧的坯体原料红土需
要90克，白土需要60克，一个电烧的坯体原料红土需要75克，白土需要75克．”再建立方程组解题
即可；
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学科网（北京）股份有限公司（2）设A礼盒购买m个，B礼盒购买n个，根据题意，得 ，再利用方程的正整数解可得
答案．
【详解】（1）解：设这次生产“柴烧”建盏x个，“电烧”建盏y个，根据题意，得
解这个方程组得： ，
答：“柴烧”建盏生产12个，“电烧”建盏生产6个．
（2）由（1）可知共生产18个建盏，设A礼盒购买m个，B礼盒购买n个，
根据题意，得 ，
化简得 ，
所以 ，
因为m，n均为非负整数，
所以 ，
所以 ，且n为非负整数，
所以当 ；
当 ，
当 ，
当 ，
所以共有四种购买方案．
【点睛】本题考查的是二元一次方程组的应用，二元一次方程的正整数解问题，理解题意，确定相等关
系建立方程或方程组是解本题的关键．
26．（8分）如图，已知二次函数 图象与x轴交于A，C两点，与y轴交于点B．
(1)连结 ，求直线 的解析式；
(2)点P为该二次函数图象在第一象限上一点，当 的面积最大时，求P点的坐标及 面积的最大
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学科网（北京）股份有限公司值．
【答案】(1)
(2) 面积的最大值为2，此时
【分析】（1）求出 ， 两点坐标，利用待定系数法求解；
（2）过 点作 轴交 于点 ，设 ，则 ，然后构建二次函数，
利用二次函数的性质求解．
【详解】（1）解： 对于 ，
令 ，可得 ，
，
令 ，可得 ，
解得 或4，
， ，
设直线 的解析式为 ，
，
解得 ，
直线 的解析式为 ；
（2）解：过 点作 轴交 于点 ，
设 ，则 ，
，
，
当 时， 的面积最大，面积的最大值为2，此时 ．
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学科网（北京）股份有限公司【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点，待定系数法求黑夜传说的解析式，二次函数的图象上的点的坐
标特征，二次函数的最值，熟练掌握二次函数的图象及性质，平行四边形的性质是解题的关键．
27．（12分）如图， ， 是 的两条直径，AB⊥CD，点E是 上一动点（点E不与B，D重合），
，分别交 ，G，连接 ．设 的半径为r， ．
(1) （用含α的代数式表示）；
(2)当 时，求证： ；
(3)判断 是否为定值．若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
【答案】(1) ；
(2)见解析；
(3) 是定值，
【分析】（1）由题意得出 ，再由三角形的内角和即可解答；
（2）连接 ，由（1）可得 ， ，再说明 ，由 ，可得
；
（3） 是定值， ，由 ，得出 即可求解．
【详解】（1）解： ，
， ，
，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
，
∴ ，
,
故答案为： ．
（2）解：证明：连接OE，
∵ ．
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（3）解： 是定值， ，
由题意知， ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴ ，
即 ，
【点睛】本题主要考查圆周角定理和相似三角形的性质，含 角的直角三角形的性质，等腰三角形的
判定和性质，熟练掌握以上性质是解题关键．
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