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2025 年中考第一次模拟考试（长沙卷）
数学·参考答案
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
A A C B D B D D C C
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．4(x+1)(x−1)
12．6
13．−2
14．60cm/60厘米
15．30
16．2701
三、解答题(本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分第 22、23题每小
题9分，第24、25题每小题10分，共72分解答应写出必要的文字说明证明过程或演算步骤)
17．【详解】解： ( − 1) −2 +(π−3) 0−4cos30°+|3−√12|
2
√3
=4+1−4× +2√3−3（4分）
2
=2．（6分）
x2−4x+4 ( 3 )
18．解： ÷ −x+1
x+1 x+1
(x−2) 2 3−(x−1)(x+1)
＝ ÷
x+1 x+1
＝(x−2) 2 x+1
⋅
x+1 3−x2+1
1 / 9
学科网（北京）股份有限公司＝ (x−2) 2
(2+x)(2−x)
2−x
＝ ，（4分）
2+x
∵x+1≠0，(2+x)(2−x)≠0，
∴x≠−1，x≠±2，
2−0
∴当x=0时，原式= =1．
2+0
2−1 1
或当x=1时，原式= = ．（6分）
2+1 3
19．【详解】解：∵PA∥QN，
∴∠PNQ=β=37°，∠PMQ=α=60°，（2分）
在Rt△PMQ中，
∵∠PQN=90°，
PQ
∴tan∠PMQ= ，
QM
PQ PQ 240
∴QM= = = =80√3≈138.4（米），（4分）
tan∠PMQ tan60° √3
PQ
在Rt△PQN中，∵tan∠PNQ= ，
QN
PQ 240
∴QN= = ≈320（米），
tan∠PNQ tan37°
∴MN=QN−QM=320−138.4≈182（米）．
答：这条河的宽度MN=182米．（6分）
20．【详解】（1）如图，连接AE，
2 / 9
学科网（北京）股份有限公司∵AB的垂直平分线EF交BC于点E，
∴AE=BE
∵BE=AC
∴AE=AC，
∵H为EC中点，
∴AH⊥BC；（4分）
（2）∵AE=BE，∠B=36°
∴∠EAB=∠B=36°
∴∠AEC=∠EAB+∠B=72°
∵AE=AC
∴∠C=∠AEC=72°
∴∠BAC=180°−∠C−∠B=72°．（8分）
21．【详解】（1）解：初三（1）班参加这次调查的学生有4÷10%＝40（人），
16
扇形统计图中类别C所对应扇形的圆心角度数为360°× ＝144°，
40
故答案为：40、144；（2分）
（2）B类学生人数为40﹣（4+16+2）＝18（人），
补全条形图如下：
；（4分）
3 / 9
学科网（北京）股份有限公司（3）列表得：
男1 男2 女1 女2
男1 ﹣﹣ 男2男1 女1男1 女2男1
男2 男1男2 ﹣﹣ 女1男2 女2男2
女1 男1女1 男2女1 ﹣﹣ 女2女1
女2 男1女2 男2女2 女1女2 ﹣﹣
由表格可知，共有12种可能出现的结果，并且它们都是等可能的，其中“1名男生、1名女生”有8种可
能．
8 2
所以所选取的2名学生中恰好有1名男生、1名女生的概率为 ＝ ．（8分）
12 3
22．【详解】（1）解：设“天宫”模型进价为每个x元，则“神舟”模型进价为每个(x+5)元，
200 200
依题意得 = +2，
x x+5
解得x=20．
经检验，x=20是原分式方程的解.x+5=25．
答：“天宫”模型的进价为每个20元，“神舟”模型的进价为每个25元．（4分）
（2）∵购进“神舟”模型a个，则购进“天宫”模型(100−a)个，
∴w=(35−25)a+(28−20)(100−a)=2a+800．
1
∵购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的 ．
4
1
∴a≤ (100−a)，
4
解得：a≤20．
∵w=2a+800，k=2>0．
∴当a=20时，w =2×20+800=840（元），
max
即购进“神舟”模型20个时，销售这批模型可以获得最大利润，最大利润为840元．（8分）
23．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠ADE=90°，
∴∠ABF+∠AFB=90°，（1分）
∵AE⊥BF，
∴∠DAE+∠AFB=90°，
4 / 9
学科网（北京）股份有限公司∴∠ABF=∠DAE， （2分）
在△ABF和△DAE中，¿，（3分）
∴△ABF≌△DAE(AAS)，
∴AB=AD，
∴矩形ABCD是正方形；（4分）
（2）证明：如图，
由（1）可知，△ABF≌△DAE，
∴AF=DE，（5分）
∵正方形ABCD，
∴AD=DC=BC=AB，∠D=∠C=90°，AB∥CD，
∴DF=CE，（6分）
∵DF2=AF⋅AD，
DF DE
∴ = ， （7分）
BC EC
∵∠FDE=∠BCE=90°，
∴△FDE∽△BCE，
∴∠≝=∠CEB，（8分）
∵AB∥CD，
∴∠ABE=∠CEB，
∴∠ABE=∠≝¿．（9分）
24．【详解】（1）由题意知，BC=BM，
∵∠ABC=66°，
∴∠BMC=∠BCM=57°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACM=∠ACB−∠BCM=90°−57°=33°；（3分）
（2）连接CD，
5 / 9
学科网（北京）股份有限公司∵BC为⊙O的直径，
∴∠ADC=90°，
∵AC为过C点的切线，过点D作⊙O的切线DE交AC于点E，
∴DE=CE，
∴∠EDC=∠ECD，
∵∠EDC+∠ADE=90°，∠ECD+∠A=90°，
∴∠A=∠ADE，
∴AE=DE，
∴AE=CE；（6分）
（3）连接CD，
由（1）（2）可得∠ADC=90°，AE=DE=CE，∠A=∠BCD=90°−∠B，
3 BD
∴tan∠DCB=tan∠A= = ，
4 CD
∴设BD=3x，CD=4x，则BC=BM=5x，
3 CD 4x BC 5x
∵tan∠A= = = = = ，
4 AD AD AC AC
16x 20x
∴AD= ，AC= ，
3 3
6 / 9
学科网（北京）股份有限公司25x
∴AB=BD+AD= ，
3
10
∴AM=AB−BC= x，
3
1 1 10 20
∴S = CD⋅AM= ×4x× x= x2，
△ACM 2 2 3 3
1 1 1 1 16 16
S = S = × CD⋅AD= ×4x× x= x2，
△ADE 2 △ACD 2 2 4 3 3
16 20 4
∴S :S = x2: x2= ．（10分）
△ADE △ACM 3 3 5
k
25．（10分）若一次函数y=mx+n与反比例函数y= 同时经过点P(x,y)则称二次函数y=mx2+nx−k
x
为一次函数与反比例函数的“共享函数”，称点P为共享点．
3
(1)判断y=2x−1与y= 是否存在“共享函数”，如果存在，请求出“共享点”．如果不存在，请说明理
x
由；
2024
(2)已知：整数m，n，t满足条件t
