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2025 年中考第一次模拟考试
数学·参考答案
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
C D D B C B D C B D D B
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
13．
14．86
15．
16．
三、解答题（本大题共7个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（8分）【详解】解：
（4分）
（6分）
．（8分）
18．（10分）
【详解】解： ，
，
，
1 / 8
学科网（北京）股份有限公司，（6分）
， ，
原式 ．（10分）
19．（10分）
【详解】（1）解：如图1所示： 即为所求；
（2）解：如图2，点P为 的外心，
∵四边形 为正方形，
∴ 为 的垂直平分线，
∵ ， ，
2 / 8
学科网（北京）股份有限公司∴ 的垂直平分线为直线 ，（8分）
由图可知， 的垂直平分线与 的垂直平分线相交于点 ，
∴点 为 外心，
∴点 坐标为 ．（10分）
故答案为： ．
20．（10分）
【详解】（1）解：由题意得， ，
∴ ，
∴ ，（3分）
故答案为： ， ；
（2）解：由（1）得硬件的人数为 （人），
∴补全统计图如下所示：
∵硬件的人数最多，
∴这组数据的众数为硬件．（3分）
（3）解： （名），
∴估计“总线”专业的毕业生有 名．（4分）
21．（10分）
【详解】（1）证明：如图，连接 ，则 ，
3 / 8
学科网（北京）股份有限公司，
，
，
，
，
于点 ，
，
是 的半径，且 ，
是 的切线．（5分）
（2）解：如图，连接 ，
是 的直径， ， 的半径为5，
， ，
，
， ，
，
，
，
4 / 8
学科网（北京）股份有限公司的长是 ．（10分）
22．（12分）
【详解】（1）解：根据题意可得 ，
∵降价要确保盈利，
∴ ，
解得： ，
∴ ；（5分）
（2）解：∵ ，
∴当 时， 有最大值 ，
即当降价6元时，每星期的利润最大，为1960元．（12分）
23．（12分）
【详解】解：（1）证明：∵ 是等腰直角三角形，且 ，
，
，
由旋转的性质得： ，
，
，
在 和 中
，
；（4分）
（2）①解：过点 作 于点 ，连接 ，如图2所示：
5 / 8
学科网（北京）股份有限公司∵ 是等腰直角三角形，且 ，
由勾股定理得： ，
∵ ，
，
∵点 关于 的对称点为 ，
∴ 是 的垂直平分线，
，
∵ ，
，
∴四边形 是菱形，
又 ∵ ，
∴菱形 是正方形，
∴四边形 面积的为 ，
根据“垂线段最短”得： ，
∴当点 与点 重合时， 为最小，此时四边形 面积的为最小，
∴四边形 面积的最小值为 16 ；（8分）
②作 的外接圆，过点 作 交 的延长线于点 ，过点 作 于点 ，如图3所
示：
6 / 8
学科网（北京）股份有限公司设 ，
，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
由勾股定理得： ，
由（1）可知： ，
，
由（2）①可知：四边形 是正方形， 为对角线，
，
∴ 是 外接圆的直径，
，
，
∴点 在 的外接圆上，
根据圆周角定理得： ，
，
∴ 是等腰直角三角形，
，
由勾股定理得： ，
，
，
在 中， ，
7 / 8
学科网（北京）股份有限公司由勾股定理得： ，
在 中， ，
由勾股定理得： ，
，
，
解得： ，
．（12分）
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学科网（北京）股份有限公司
