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2025 年邵阳市高三第一次联考试题参考答案与评分标准
数 学
一、选择题(本大题共 小题,每小题 分,共 分 在每小题给出的四个选项中,只有一项
8 5 40 .
是符合题目要求的)
题号
1 2 3 4 5 6 7 8
答案
B C C A B A B D
. 【解析】f(x) 2ωx ωx ωx ( ωx π) ,
8 D = 2cos +2sin cos = 2sin 2 + +1
4
令f(x) ,得 ( ωx π) 2.
= 0 sin 2 + = -
4 2
x [ , ], ωx π [π, ω π].
∵ ∈ 0 2π ∴ 2 + ∈ 4π +
4 4 4
令t ωx π,由y t的图象得:
=2 + =sin
4
π ω π π,
4π- ≤4π + <5π+
4 4 4
化简得7 ω 5.
≤ <
8 4
二、选择题(本大题共 小题,每小题 分,共 分.在每小题给出的选项中,有多项符合题
3 6 18
目要求.全部选对的得 分,部分选对的得部分分,有选错的得 分)
6 0
题号
9 10 11
答案
BC ABD ACD
. 解析:选项 正确;
10 ABD A
对于选项 , , ,设M( m2, m),
B C D 4 4
当m 时,t ;
=0 =1
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{#{QQABDYQEggiAQhAAARgCEQVACgKQkAGACYgOQBAYMAAACQFABAA=}#}MF m2
当m 时,t 4 +1 1
≠0 = MA = =
( m2 )2 ( m)2 ( m)2
4 +1 + 4 4
1+( m2 )2
4 +1
1 1 1 2,
= ≥ = =
16 16 2 2
1+ 1+
m2 1 2 16+8
16 +m2 +8
当且仅当m 1时,等号成立.
=±
2
故 正确;
B
m2 m
因为M( m2, m)到直线y x 的距离d 4 -4 +3 ,
4 4 = +3 =
2
当m 1时,d .故 错误;
= min= 2≠2 C
2
( m2 m)
由M→N N→F得N 4 +2,4 ,
=2
3 3
当m 时,k ;
=0 ON=0
m m
当m 时,k 4 4| | 4 4 2,
≠0 ON= m2 ≤ m2 = ≤ =
4 +2 4 +2 m 2 m · 2 2
4| |+ m 2 4| | m
| | | |
当且仅当m 2时,等号成立.
=
2
故 正确.
D
. 解析:对于选项 ,当a 1时,x R,
11 ACD A =- ∈
2
f( x) f(x) 1 ( x) 1 1 x 1
∵ - + = x +sin - - + x +sin -
-
e +1 2 e +1 2
x
e x 1 1 x 1 ,
= x-sin - + x +sin - =0
1+e 2 e +1 2
故f(x)是奇函数,故 正确;
A
对于选项 ,f( x) 1 ( x) a 1 x a f(x)不恒成立,
B π- = x +sin π- + = x +sin + =
π- π-
e +1 e +1
故 错误;
B
( )
对于选项 ,当a 时,f(x) 1 x,f 3π 1 ,故 正确;
C =0 = x +sin = 3π -1<0 C
e +1 2 2
e +1
对于选项 ,由f(x) ,得 a 1 x,
D >0 - < x +sin
e +1
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{#{QQABDYQEggiAQhAAARgCEQVACgKQkAGACYgOQBAYMAAACQFABAA=}#}令h(x) 1 x,x [ , ].
= x +sin ∈ 0 π
e +1
因为 1 1 , x .故h(x) h( ) 1 ,
x ≥ sin ≥0 ≥ π =
π π
e +1 e +1 e +1
故 a 1 ,即a 1 .故 正确.
- < >- D
π π
e +1 e +1
三、填空题(本大题共 小题,每小题 分,共 分)
3 5 15
. . .
12 2 13 96 14 58-2
A A B B
. 解析:如图(一), AMA 1 3 , BMB 1 3 .
14 58-2 ∵ tan∠ 1=MA=MA tan∠ 1=MB =MB
又 AMA BMB , MB MA.
tan∠ 1=2tan∠ 1 ∴ =2
图 一 图 二
( ) ( )
如图(二),建立平面直角坐标系,则A( , ),B( , ),D( , ),设点M(x,y).
0 0 3 0 0 3
(x )2 y2 x2 y2,化简得:(x )2 y2 (x ,y ).
-3 + =2 + +1 + =4 ≥0 ≥0
则圆心为P( , ),r ,点D( , )关于BC的对称点D′( , ).
-1 0 =2 0 3 6 3
(MN ND) ( )2 2 .
∴ + min= 6+1 +3 -2= 58-2
四、解答题(本大题共 小题,共 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
5 77
. 分 解: B 2A 2C B C
15 (13 )(1) ∵ cos2 +2sin -2sin =1-2sin sin ,
2B 2A 2C B C.
∴ 1-2sin +2sin -2sin =1-2sin sin
即 2B 2C 2A B C. 分
sin +sin -sin =sin sin ……………………………………………………… 3
由正弦定理得 b2 c2 a2 bc
: + - = ,
b2 c2 a2
A + - 1
∴ cos = bc = ,
2 2
A .
∵ ∈(0,π)
A π. 分
∴ = ………………………………………………………………………………… 6
3
易知C A B 5π 分
(2) =π-( + )= , …………………………………………………………… 8
12
B π BAC π ADC BAD B BAD
∵ = ,∠ = ,∠ =2∠ = +∠ ,
4 3
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{#{QQABDYQEggiAQhAAARgCEQVACgKQkAGACYgOQBAYMAAACQFABAA=}#}BAD B π
∴ ∠ = = ,
4
ADC π BD AD. 分
∴ ∠ = , = ………………………………………………………………… 10
2
BD AD ( )
C 5π π π .
∴ CD=CD=tan =tan =tan + =2+ 3
12 6 4
BD
的值为 . 分
∴ CD 2+ 3 …………………………………………………………………… 13
. 分 解:由题意知 f′ x f′ x 分
16 (15 )(1) , ( )= (1)e -1, ………………………………………… 2
令x 则f′ f′ f′ 1 . 分
=1, (1)= (1)e-1,∴ (1)= ………………………………………… 4
e-1
x
故f x e x f 2-e.
( )= - -1, (1)=
e-1 e-1
x
所求切线方程为 y 2-e 1 x 即y . 分
∴ : - = ( -1), = -1 ……………………………… 6
e-1 e-1 e-1
x
g x ax - x e 1 ax 1 x
(2)∵ ( )=e (e-1)· +x =e +x ( ≠0),
e-1
当x 时 g x 故函数y g x 没有零点 分
>0 , ( )>0, = ( ) ; ……………………………………… 8
x
当x 时 令g x 得a ln(- ). 分
<0 , ( )= 0, = x ………………………………………………… 9
-
t
令t x 则a ln t .
=- , = t , >0
t t
令h t ln t h′ t 1-ln .
( )= t ( >0),∴ ( )= t2
令h′ t 得t .
( )= 0, =e
当t 时 h′ t h t 单调递增 当t 时 h′ t h t 单调递减.
∈(0,e) , ( )>0, ( ) ; ∈(e,+∞) , ( )<0, ( )
h t h 1.
∴ ( )max= (e)=
e
当 t 时 h t 当t 时 h t
0< <1 , ( )<0; =1 , ( )= 0;
当 t 时 h t 1 当t 时 h t 且h t . 分
1< ≤e ,0< ( )≤ ; →+∞ , ( )>0 ( )→0 ……………………… 12
e
故函数y g x 有两个零点时 直线y a与函数y h t 的图象有两个交点
= ( ) , = = ( ) ,
( )
实数a的取值范围为 1 . 分
∴ 0, ……………………………………………………… 15
e
. 分 证明: DC BC DCB ° AD
17 (15 )(1) ∵ = = 2,∠ =90 , =2,
BD AD .
∴ = =2
又 DAB °
∠ =45 ,
ABD ° ADB °
∴ ∠ =45 ,∴ ∠ =90 ,
AD BD. 分
∴ ⊥ ……………………………………………………………………………… 3
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{#{QQABDYQEggiAQhAAARgCEQVACgKQkAGACYgOQBAYMAAACQFABAA=}#}证明:在直四棱柱ABCD A B C D 中 DD 平面ABCD
(2) - 1 1 1 1 , 1⊥ ,
DA DB DD 两两垂直 以 D 为原点 DA DB DD
∴ , , 1 , , , , 1
所在直线分别为 x 轴 y 轴 z 轴 建立如图所示的空
、 、 ,
间直角坐标系 设DD h 则 D B
, 1= , (0,0,0), (0,2,0),
C h E F D h .
1(-1,1, ), (1,0,0), (1,1,0), 1(0,0, )
D→B DC→ h E→F
=(0,2,0), 1=(-1,1, ), =(0,1,0),
ED→ h . 分
1=(-1,0, ) ……………………………… 5
设n x y z 为平面BDC 的一个法向量
1=( 1, 1, 1) 1 ,
{n D→B y
1· =2 1=0,
∴ n DC→ x y hz .
1· 1=- 1+ 1+ 1=0
令x h 得z n h . 分
1= , 1=1,∴ 1=( ,0,1) …………………………………………………… 7
同理可得 平面EFD 的一个法向量n h . 分
, 1 2=( ,0,1) …………………………………… 8
n n 平面BDC 平面EFD . 分
∵ 1∥ 2,∴ 1∥ 1 …………………………………………………… 9
当CC 时 n 为平面BDC 的一个法向量
(3) 1=2 , 1=(2,0,1) 1 ,
设F→P λFD→ λ λ λ λ λ
= 1= (-1,-1,2)=(- ,- ,2 )( ∈[0,1]),
P λ λ λ A A→P λ λ λ . 分
∴ (1- ,1- ,2 ),∵ 1(2,0,2),∴ 1 =(-1- ,1- ,2 -2) ………………… 11
设直线A P与平面BDC 所成角为θ
1 1 ,
λ λ
θ A→P n 2(-1- )+2 -2
sin = cos〈 1 , 1〉 = 2 2 λ 2 λ 2 λ 2
2 +1 (-1- ) +(1- ) +(2 -2)
4 5 4 5 4 3 2 6
= 5 6 λ2 -8 λ +6 = ( λ 2 ) 2 10 ≤ 5 2 = 5 ,
5 6 - +
3 3
当且仅当λ 2时 等号成立. 分
= , ………………………………………………………… 14
3
所以 直线A P与平面BDC 所成角的正弦值的最大值为2 6. 分
, 1 1 …………………… 15
5
. 分 解: 设双曲线的方程为x2 y2 λ λ
18 (17 ) (1) - = ( ≠0),
将点A 代入得 2 2 λ 即λ
(4,2) 4 -2 = , =12,
x2 y2
双曲线C的方程为 . 分
∴ - =1 ……………………………………………………… 3
12 12
当直线 DG 的斜率不为零时 设直线 DG 的方程为 x my F x y G x y
(2) , = +2, ( 1, 1), ( 2, 2),
E x y .
( 1,- 1)
ì
ï
x2 y2
ï
由í - =1,消去x整理得 m2 y2 my 分
ïï 12 12 ( -1) +4 -8=0,…………………………………… 4
îx my
= +2,
依题意得 m2 且Δ m2 m2 即m2 2且m2
: -1≠0, =16 +32( -1)>0, > ≠1,
3
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{#{QQABDYQEggiAQhAAARgCEQVACgKQkAGACYgOQBAYMAAACQFABAA=}#}m
y y 4 y y -8 .
1+ 2=-m2 , 1 2=m2
-1 -1
y y
易知 直线EG的斜率存在 设直线EG的方程为y y 2+ 1 x x . 分
, , + 1=x x ( - 1) ……………… 6
2- 1
令y 得
=0,
x x y x y x y my y my y
x ( 2- 1) 1 x 2 1+ 1 2 ( 2+2) 1+( 1+2) 2
= y y + 1= y y = y y
1+ 2 1+ 2 1+ 2
( )
m 8
2
my
1
y
2+2(
y
1+
y
2) 2
my
1
y
2
2 × -m2
-1 .
= y y = y y +2= m +2=6
1+ 2 1+ 2 4
-m2
-1
直线EG过定点 . 分
∴ (6,0) ……………………………………………………………… 9
当直线DG的斜率为 时 直线EG的方程为y 过点
0 , =0, (6,0),
综上 直线EG过定点 . 分
, (6,0) ………………………………………………………… 10
考虑以 y 为圆心的 子圆 Ω x2 y y 2 r 2 r
(3) (0, 0) “ ” 0: +( - 0) = 0 ( 0>0),
由Ω 的方程与C的方程消去x 得关于y的二次方程 y2 y y y 2 r 2 .
0 , 2 -2 0 + 0 +12- 0 =0
依题意 该方程的判别式Δ y 2 y 2 r 2 y 2 r 2 . 分
, =4 0 -8( 0 +12- 0 )= 0,∴ 0 =2 0 -24 …………… 12
对于外切于点R的两个 子圆 Ω Ω 显然点R在y轴上
“ ” 1, 2, ,
设R h Ω Ω 的半径分别为r r
(0, ), 1, 2 1, 2,
不妨设Ω Ω 的圆心分别为 h r h r .
1, 2 (0, + 1),(0, - 2)
则 h r 2 r 2 h r 2 r 2 .
( + 1) =2 1 -24,( - 2) =2 2 -24
两式相减得 h r r r 2 r 2
:2 ( 1+ 2)= 1 - 2 ,
r r
而r r h 1- 2. 分
1+ 2>0,∴ = ……………………………… 14
2
(r r ) 2
1- 2 r r 2 整理得
∴ + 1 =2 1 -24, :
2
r 2 r 2 r r . 分
1 + 2 -6 1 2+96=0 ………………………………… 15
d r r 点B
∵ = 1+ 2, (2 3,0),
(r r ) 2
RB 2 h2 1- 2 1 r 2 r 2 r r
∴ = +12= +12= (2 1 +2 2 -4 1 2+96)
2 8
1 r r 2 r 2 r 2 r r 1d2.
= [( 1+ 2) + 1 + 2 -6 1 2+96]=
8 8
RB 2 RB
1 故 2. 分
∴ d2 = , d = …………………………………………………………… 17
8 4
19
.
(17
分
)
解:
∵ 2
S
n=
a2n+ n
, ①
当n 时 a a2 即 a 2 a .
∴ =1 ,2 1= 1+1, ( 1-1) =0,∴ 1=1
当n
≥2
时
,2
S
n -1=
a2n
-1+(
n
-1), ②
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{#{QQABDYQEggiAQhAAARgCEQVACgKQkAGACYgOQBAYMAAACQFABAA=}#}由
①-②
得
:2
a
n=
a2n- a2n
-1+1,
即a2n
-1=(
a
n-1)
2.
a a a a 即a a .
∵ n>0, 1=1,∴ n -1= n-1, n- n -1=1
数列 a 是以 为首项 为公差的等差数列.
∴ { n} 1 ,1
a n n N
∴ n= ( ∈
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∗ . 分
) ……………………………………………………………………… 3
由题意可得当n 且b 的数列 b 为 和 . 分
(1) =5 1=2 { n} :2,4,1,3,5 2,5,3,1,4 ………… 5
数列 b 不可能为等差数列 证明如下 分
(2) { n} , : ………………………………………… 6
假设 b 是等差数列 公差为t
{ n} , ,
当t 时 由题意知 t 或
>0 , , =2 3,
此时 b b b i n .
, i≥ 1+2> 1+1( =2,3,…, )
b 不是等差数列 b 中的项 与题意不符.
∴ 1+1 { n} ,
b 不可能是等差数列 分
∴ { n} ; …………………………………………………………… 8
当t 时 由题意 t 或 .
<0 , , =-2 -3
此时 b b b i n .
, i≤ 1-2< 1-1( =2,3,4,…, )
b 不是等差数列 b 的项 与题意不符.
∴ 1-1 { n} ,
b 不可能是等差数列. 分
∴ { n} …………………………………………………………… 9
综上所述 b 不可能是等差数列. 分
,{ n} ………………………………………………… 10
由题意 d N
(3) , ∈
∗
,
当d 时
≥6 ,
b b b d 与题意不符 分
∵ 5≥1,∴ 80= 5+15 ≥1+90=91, ; …………………………………… 11
当d 时
≤3 ,
记M b b b b b k
k={ 5 k -4, 5 k -3, 5 k -2, 5 k -1, 5 k}( =1,2,3,…,16),
当 M i 时 b
80∈ i( =1,2,3,…,16) , 5 i≥80-4×3=68,
b b i k d
∴ 5 k= 5 i-( - ) ≥68-(16-1)×3=23,
记 M 表示集合M 中元素的最小值 则 M . 分
( k)min k , ( k)min≥23-4×3=11 ……………… 13
M k 与题意不符 分
∴ 1∉ k( =1,2,3,…,16), ; …………………………………………… 14
ìn n k
ï
, =5 -4,
ïn n k
ï +1, =5 -3,
当d 时 取b ín n k 此时数列 b 满足题意.
=5 , n=ï +2, =5 -2, { n}
n n k
ï
-2, =5 -1,
ï
în n k
-1, =5 ,
综上所述 d . 分
, =5 ………………………………………………………………………… 17
注:解答题有其他解法酌情给分.
{#{QQABDYQEggiAQhAAARgCEQVACgKQkAGACYgOQBAYMAAACQFABAA=}#}
