绵阳市高中2023级第一次诊断性考试数学答案_251104四川省绵阳市高中2023级第一次诊断性考试（绵阳一诊A卷）（全）

绵阳市高中 2023 级第一次诊断性考试 数学参考答案及评分标准 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1．B 2．D 3．C 4．A 5．B 6．A 7．D 8．C 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．全部选对的得6分，选对但不 全的得部分分，有选错的得0分． 9．ACD 10．AC 11．ABD 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分． 12． ； 13．2； 14． 四、解答题：本题共5小题，第15题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17 分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．解：（1）∵ ，则 ，·······························2分 又 ，∴ ，·································································4分 ；·······································································6分 ∴ ， （2）由题知： ，············································7分 ∴ ， ∴ ，···························9分 ∴ 数学参考答案及评分标准 第1页，共5页的单调递增区间为 ，···················11分 ∵ ∴ ， ·············································10分 ∴ ， ······················································12分 函数 的单调递增区间为 ．···················13分 ∴ 16．解：（1）∵ 为R上的奇函数， ∴必有 ，则 ，·························································2分 ，同理由 ，∴ ，故 ， ∴ ，对任意实数x，都满足 ，····················4分 此时， ∴ 为R上的奇函数， ；················································································6分 ∴ （2）思路一：∵当 时， ， ，解得： ，·······································9分 ∴ ， ∴ 在 上单调递增，······················································12分 易知 当 时， ，········································14分 ∴ ∴实数a的取值范围 ．·····························································15分 ： ∵ 当 时 ， ， 且 ， 即 对 任 意 ， 都 有 思 路 二 数学参考答案及评分标准 第2页，共5页恒成立，即 ，················································7分 ∴ 或 对任意的 恒成立 ， ·······················8分 ∴ 或 对任意的 恒成立，·················10分 令 ，易知 在 单调递增，························11分 ，···························································12分 故 ∴ ，··················································································13分 令 ，易知 在 无最大值，故不满足 恒成 立， ···································································································14分 综上： ．············································································15分 17．解：（1）设公差为d，则由题意可得： ，···········3分 解得： ， ，所以： ；·································6分 （2）不能构成等比数列，··································································7分 其理由如下：在数列{a}中任取三项分别为： ， n ， ，··················································9分 若 成等比数列，则 ， 即： ，····························10分 整理得： ，······························11分 数学参考答案及评分标准 第3页，共5页因为m，n，t为正整数，所以： ··················12分 化简整理得： ，所以 与题意矛盾，··························14分 所以，在数列{a}中取三个不同的项，均不能构成等比数列．··················15分 n 18．解：（1） ， 可知有一个零点一定是0，且对于方程： ， ，且0一定不 是方程 的根， ∴ 有3个相异零点；···································································3分 （2） ，其中 ， 故 是方程 的两根，················································4分 由韦达定理可得： ，故 ，······5分 ，···············7分 带入得： ，解得：a=1；······9分 另解：由 ， ， 令 =0，解得： ， 又 ，故函数 图像关于点( )成中心对称，又三次函 数的极值点关于对称中心对称，故 ，解得：a=1； （3）由三次函数图象可知， = 有且仅有两根为 ， 则 ， 数学参考答案及评分标准 第4页，共5页即 ，有且仅有两根为 ， 整理得： ， 所以x 是方程 的根，·······························12分 3 又 是方程 的根，故 ，·································13分 代入上式整理得到： ， 即 =0，·······························································15分 故 ，······················································16分 故m的最大值为−1．·······································································17分 19．解：（1）证明： ，注意到 ， ， ．························································2分 因为 ，则 ， 因此 在 单调递减，故 ，······························3分 故 在 单调递减，因此 ；·······························4分 （ 2 ） （ i ） 证 明 ： ， 故 在 点 处 的 切 线 方 程 为 ， ·······························································································5分 与 联立，可得 ， 令 ，则 ， 故 在 单调递减，在 单调递增，··················6分 数学参考答案及评分标准 第5页，共5页因为 ，则 > 1，且 ， 而 ， 故 在 上存在唯一零点，即为 ，故 ，······················7分 同理， 在点 处的切线方程为 ，·····················8分 与 联立，有 ， 令 ， ， 则 在 单调递减，在 单调递增， 因为 ，故 ，······························································9分 ．考虑 ， ， 则 在(0，1)单调递增，故 ，故 ， 且 ， 故 在 存在唯一零点，即 ，故 ， 因此 ，故 ；··················································10分 （ii）由（i）知 ，因为 ， 故 ，即 ， 整理得： ， ·······························································11分 由（1）知 在 恒成立，即 ， 得 ，···························································13分 结合 ， 数学参考答案及评分标准 第6页，共5页故 ，即 ，··············14分 ∴ ， 即 ，因此 ，··················16分 结合 ，故 ，因此 ， 所以 ．········································································17分 数学参考答案及评分标准 第7页，共5页