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2025 年中考第一次模拟考试（长沙卷）
数学·全解全析
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．下列数中是无理数的是（ ）
π 22
A． B．0 C． D．0.1223
2 7
【答案】A
【分析】本题主要考查了无理数的定义：无限不循环小数为无理数．根据无理数、有理数的定义即可判定
选择项
π
【详解】解：A、 是无理数，故选项A符合题意；
2
B、0是有理数，故选项B不合题意．
22
C、 是有理数，故选项C不合题意．
7
D、0.1223是有理数，故选项D不合题意．
故选：A．
2．“致中和，天地位焉，万物育焉”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被运用于建筑、器物、
绘画、标志等作品的设计上，使对称之美惊艳了千年的时光．下列常见的运动图标是轴对称图形的是（
）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重
合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
利用轴对称图形的定义进行解答即可．
【详解】解：选项B、C、D均不能找到这样的一条直线，使图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，
1 / 22
学科网（北京）股份有限公司所以不是轴对称图形，
选项A能找到这样的一条直线，使图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，所以是轴对称图形，
故选：A．
3．湖南自古就有“湖广熟、天下足”的美誉，2024 年全省粮食播种面积稳定在71000000亩以上，实现播
种面积、单产、总产“三增”。该数据用科学记数法表示为（ ）
A．710×103 B．71×106 C．7.1×107 D．7.1×108
【答案】C
【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤a<10，n
为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
【详解】解：71000000=7.1×107，
故选：C．
4．下列运算结果正确的是（ ）
A．4xy−3xy=1 B．(−a2) 3 =−a6
C．√(−5) 2=−5 D．√3+√12=√15
【答案】B
【分析】本题考查的是合并同类项，积的乘方运算，算术平方根的含义，二次根式的加减运算，根据以上
运算的运算法则逐一计算即可
【详解】解：4xy−3xy=xy，故A不符合题意；
(−a2) 3 =−a6，故B符合题意；
√(−5) 2=5，故C不符合题意；
√3+√12=√3+2√3=3√3，故D不符合题意；
故选B
5．为了解学生的视力情况，从甲、乙两班各随机抽取8名学生进行调查，并将统计数据绘制成如图所示的
折线统计图，图中视力值均在格线上，则下列说法错误的是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A．乙班视力值的众数是4.7
B．甲、乙两班视力值的平均数相等
C．甲、乙两班视力值的中位数相等
D．视力值的波动程度甲班大于乙班
【答案】D
【分析】本题考查折线图，求平均数，中位数，方差和众数，从折线图中获取信息，求出每组数据的平均
数，中位数，方差和乙班的众数，再进行判断即可．
【详解】解：甲班的数据为：4.8,4.9,4.6,4.8,4.7,4.5,4.6,4.7，
1
∴平均数为： (4.8+4.9+4.6+4.8+4.7+4.5+4.6+4.7)=4.7；
8
1
中位数为： (4.7+4.7)=4.7；
2
1
方差为：
[2×(4.8−4.7) 2+(4.9−4.7) 2+2×(4.6−4.7) 2+2×(4.7−4.7) 2+(4.5−4.7) 2]=0.015
8
乙班的数据为：4.8,4.7,4.7,5.0,4.9,4.4,4.7,4.4，
∴众数为4.7，
1
平均数为： (4.8+4.7+4.7+5.0+4.9+4.4+4.7+4.4)=4.7；
8
1
中位数为： (4.7+4.7)=4.7；
2
1
方差为：
[(4.8−4.7) 2+(4.9−4.7) 2+(5.0−4.7) 2+2(4.4−4.7) 2+3(4.7−4.7) 2]=0.04；
8
故：乙班视力的众数为4.7，甲班视力值的平均数等于乙班视力值的平均数，甲班视力值的中位数等于乙
班视力值的中位数，视力值的波动程度甲班小于乙班；
∴D选项描述错误；
故选：D．
6．如图，将一块有30°角的直角三角板的直角顶点C放在一张宽为2cm的长方形纸带边上．另一个顶点A
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学科网（北京）股份有限公司在纸带的另一边上，测得三角板的较短直角边AC与纸带边所在的直线成45°角，则该三角板斜边AB的长
为（ ）
A．4cm B．4√2cm C．4√3cm D．6cm
【答案】B
【分析】本题考查了本题主要考查了直角三角形的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理．首先过点A
作AD⊥CD，可得△ACD是等腰直角三角形，利用勾股定理可以求出AC=2√2cm，根据直角三角形中
30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半可以求出AB的长度．
【详解】解：如下图所示，过点A作AD⊥CD，
∵∠ACD=45°，
∴△ACD是等腰直角三角形，
根据矩形的性质可得：AD=CD=2cm，
∴AC=√22+22=2√2cm，
在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，
∴AB=2AC=2×2√2=4√2cm．
故选：B．
7．在平面直角坐标系中，已知点M(m,3m−8)，若点M在两坐标轴的角平分线上，则m的值为（ ）
A．±2 B．±4 C．−2或−4 D．2或4
【答案】D
【分析】本题考查了点的坐标，分点M在第一、三和第二、四象限的角平分线上两种情况，结合角平分线
上点的坐标特征求解即可．
【详解】解：当点M(m,3m−8)在第一、三象限的角平分线上时，
∴m=3m−8，
解得，m=4，
4 / 22
学科网（北京）股份有限公司当点M(m,3m−8)在第二、四象限的角平分线上时，
∴−m=3m−8，
解得，m=2，
综上，点M在两坐标轴的角平分线上时，m的值为2或4，
故选：D．
8．“双碳”背景下，我国新能源汽车保有量已处于世界第一，随着消费人群不断增多，某款新能源汽车
销售量持续增长，如果第三个月销售量的增长率是第二个月的2倍，第三个月的销售量是第一个月的3倍，
设第一月月销售量为a辆，第二个月销售量的增长率为x，则可列出方程是（ ）
A．a(1+x) 2=3a B．a(1+2x) 2=3a
C．a(1+2x)(1+3x)=3a D．a(1+x)(1+2x)=3a
【答案】D
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据第二个月销售量的增长率为x，则第三个月销
售量的增长率是2x，由第一月月销售量为a辆，第三个月的销售量是第一个月的3倍，列出方程即可．
【详解】解：设第二个月销售量的增长率为x，则第三个月销售量的增长率是2x，
根据题意得：a(1+x)(1+2x)=3a，
故选：D．
9．对于某个一次函数，两位同学探究了它的图象和性质．上图为两位同学的对话，如果两位同学的判断
都是正确的，设这个一次函数的解析式为y=kx+b(k≠0)，则下列结论中错误的是（ ）
1
A．k>0 B．kb<0 C．k+b>0 D．k=− b
2
【答案】C
【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质．根据一次函数的图象和性质，逐项判断即可求解．
【详解】解：∵函数图象经过点(2,0)，
∴2k+b=0，
1
即k=− b，故D选项正确，不符合题意；
2
5 / 22
学科网（北京）股份有限公司∵函数图象不经过第二象限，
∴k>0,b<0，故A选项正确，不符合题意；
∴kb<0，故B选项正确，不符合题意；
1 1
k+b=− b+b= b<0，故C选项错误，符合题意；
2 2
故选：C
10．如图，菱形ABCD∽菱形AEFG，菱形AEFG的顶点G在菱形ABCD的BC边上运动，GF与AB相交
于点H，∠E=60°，若CG=6，AH=14，则菱形ABCD的边长为（ ）
A．18√3 B．16√3 C．18 D．16
【答案】C
【分析】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，连接AC，证明
△ABC是等边三角形，设AB=BC=AC=a，则BH=a−14，BG=a−6，再证明△BGH∽△CAG，由
相似三角形的性质求解即可．
【详解】解：连接AC．
∵菱形ABCD∽菱形AEFG，
∴∠B=∠E=∠AGF=60°，AB=BC，
∴△ABC是等边三角形，
设AB=BC=AC=a，则BH=a−14，BG=a−6，
6 / 22
学科网（北京）股份有限公司∴∠ACB=60°，
∵∠AGB=∠AGH+∠BGH=∠ACG+∠CAG，
∵∠AGH=∠ACG=60°，
∴∠BGH＝∠CAG，
∵∠B=∠ACG，
∴△BGH∽△CAG，
BG BH
∴ = ，
AC CG
a−6 a−14
∴ = ，
a 6
∴a2−20a+36=0，
∴a=18或2（舍弃），
∴AB=18，
故选：C．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．因式分解4x2−4= ．
【答案】4(x+1)(x−1)
【分析】本题考查了因式分解，综合提公因式和公式法即可求解．
【详解】解；原式=4(x2−1)=4(x+1)(x−1)，
故答案为：4(x+1)(x−1)
12．已知一元二次方程x2−5x+a=0的一个根是3，则a=
【答案】6
【分析】本题主要考查一元二次方程根的意义，将根代入方程求解是解题关键．
将x=3代入方程求解即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2−5x+a=0的一个根是3，
∴32−5×3+a=0，
解得：a=6；
故答案为：6．
k
13．在平面直角坐标系中，双曲线y= 同时经过点A(a,2)，B(4,a+1)，则a的值为 ．
x
7 / 22
学科网（北京）股份有限公司【答案】−2
k
【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征．将A(a,2)，B(4,a+1)代入y= ，即可求出a的值．
x
k k
【详解】解：根据双曲线y= 同时经过点A(a,2)，B(4,a+1)，将A(a,2)，B(4,a+1)代入y= 得：
2 x
k k
2= ，a+1= ，即k=2a，k=4a+4，
a 4
得出2a=4a+4，
解得：a=−2．
故答案为：−2．
14．如图1是传统的手工推磨工具，根据它的原理设计了如图2的机械设备，磨盘半径OQ=25cm，用长
为125cm的连杆将点Q与动力装置P相连（∠OQP大小可变），点P在轨道AB上滑动，并带动磨盘绕点O
转动，OA⊥AB，OA=80cm．若磨盘转动过程中，则点P到A的最小距离为 ．
【答案】60cm/60厘米
【分析】本题考查了勾股定理的应用，由当点Q运动到Q 时，点P到A的距离最小，结合勾股定理计算即
1
可得解．
【详解】解：如图，当点Q运动到Q 时，点P到A的距离最小，
1
，
由题意得：OA=80cm，OQ =OQ=25cm，OQ +OP =P Q =125cm，
1 1 1 1 1
∴OP =100cm，
1
由勾股定理可得：P A=√OP 2−OA2=60cm，
1 1
故答案为：60cm．
8 / 22
学科网（北京）股份有限公司15．如图，在△ABC中，∠C=90°，按以下步骤作图：①以点A为圆心，小于AC的长为半径画弧，分别
1
交AB，AC于点E，F；②分别以点E，F为圆心，大于 EF的长为半径画弧，两弧相交于点G；③作射
2
线AG交BC边于点D．若CD=5，AB=12，则△ABD的面积是
【答案】30
【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积，过点D作DM⊥AB于M，由作图可知平分∠BAC，
进而由角平分线的性质可得MD=CD=5，再根据三角形的面积公式计算即可求解，掌握角平分线的性质
是解题的关键．
【详解】解：如图，过点D作DM⊥AB于M，
由作图可知，AG平分∠BAC，
∵∠C=90°，
∴DC⊥AC，
∵AG平分∠BAC，DC⊥AC，DM⊥AB，
∴MD=CD=5，
1 1
∴S = AB·DM= ×12×5=30，
△ABD 2 2
故答案为：30．
16．如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”，例如3=22−12，
7=42−32，16=52−32，3，7，16就是三个智慧数，在正整数中，从1开始，第2024个智慧数是 ．
【答案】2701
【分析】本题考查了新定义智慧数以及平方差公式的运用，如果一个数是智慧数，就能表示为两个正整数
的平方差，设两个数分别为k+1，k，其中k≥1，且k为整数，即智慧数
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学科网（北京）股份有限公司，因为k为正整数，因而 和 就是两个自然数．要判断
=(k+1) 2−k2=(k+1+k)(k+1−k)=2k+1 k+1 k−1
一个数是否是智慧数，可以把这个数分解因数，分解成两个整数的积，看这两个数能否写成两个正整数的
和与差．
【详解】解：设两个数分别为k+1，k，其中k≥1，且k为整数．则
(k+1) 2−k2=(k+1+k)(k+1−k)=2k+1．
设两个数分别为k+1和k−1，其中k≥1，且k为整数．则
(k+1) 2−(k−1) 2=(k+1+k−1)(k+1−k+1)=4k，k=2时，4k=8，
∴除4外，所有能被4整除的偶数都是智慧数．
∴4k（k≥2且k为整数）均为智慧数；
除1外，所有的奇数都是智慧数；除4外，所有能被4整除的偶数都是智慧数；这样还剩被4除余2的数，
特殊值2，6，10都不是智慧数，也就是被4除余2的正整数都不是智慧数，推广到一般式，证明如下：
∵假设4k+2是智慧数，那么必有两个正整数m和n，使得4k+2=m2−n2，
∴4k+2=2(2k+1)=(m+n)(m−n)①，
∵m+n和m−n这两个数的奇偶性相同，
∴等式①的右边要么是4的倍数，要么是奇数，而左边一定是偶数，但一定不是4的倍数．可左、右两边
不相等．所以4k+2不是智慧数，即被4除余2的正整数都不是智慧数．
∴把从1开始的正整数依次每4个分成一组，除第一组有1个智慧数外，其余各组都有3个智慧数，而且
每组中第二个不是智慧数，
又∵(2024−1)÷3=674⋯⋯1，
∴第2024个智慧数在1+674+1=676（组），并且是第1个数，即675×4+1=2701．
故答案为：2701．
三、解答题(本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分第 22、23题每小
题9分，第24、25题每小题10分，共72分解答应写出必要的文字说明证明过程或演算步骤)
17．（6分）计算： ( − 1) −2 +(π−3) 0−4cos30°+|3−√12|．
2
【答案】2
【分析】本题考查了含特殊角的三角函数值的实数的混合运算，根据负整数指数幂、零指数幂以及特殊角
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学科网（北京）股份有限公司的余弦函数值计算即可．
【详解】解： ( − 1) −2 +(π−3) 0−4cos30°+|3−√12|
2
√3
=4+1−4× +2√3−3
2
=2．
18．（6分）先化简，再求值：
x2−4x+4 ( 3 )
÷ −x+1 ，请从−2、−1、0、1、2中选择一个合适的值代入求值．
x+1 x+1
2−x 1
【答案】 ，当x=0时，原式=1；当x=1时，原式=
2+x 3
x−2
【分析】先把括号内通分和除法运算化为乘法运算，再把分子分母因式分解，则约分得到原式=− ，
x+2
然后根据分式有意义的条件把x=1代入计算即可．
x2−4x+4 ( 3 )
【详解】解： ÷ −x+1
x+1 x+1
(x−2) 2 3−(x−1)(x+1)
＝ ÷
x+1 x+1
(x−2) 2 x+1
＝ ⋅
x+1 3−x2+1
(x−2) 2
＝
(2+x)(2−x)
2−x
＝ ，
2+x
∵x+1≠0，(2+x)(2−x)≠0，
∴x≠−1，x≠±2，
2−0
∴当x=0时，原式= =1．
2+0
2−1 1
或当x=1时，原式= = ．
2+1 3
【点睛】本题考查了分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．
19．（6分）我国生产的无人机畅销世界，树立了良好的品牌形象，在一座高架桥的修建过程中，需要测
量一条河的宽度MN，工作人员使用无人飞机通过设备在P处测得M，N两处的俯角分别为α=60°和
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学科网（北京）股份有限公司β=37°，测得无人机离水平地面的高度PQ为240米，若Q，M，N三点在同一条水平直线上，则这条河
的宽度MN为多少米？（参考数据：tan37°≈0.75，√3≈1.73，结果保留整数）
【答案】MN=182米
【分析】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角、俯角问题．题目难度不大，解决本题的关键是熟练掌握
三角函数的定义．在Rt△PMQ和Rt△PQN中，利用锐角三角函数，求出QN和QM的长，然后计算出
MN的长即可．
【详解】解：∵PA∥QN，
∴∠PNQ=β=37°，∠PMQ=α=60°，
在Rt△PMQ中，
∵∠PQN=90°，
PQ
∴tan∠PMQ= ，
QM
PQ PQ 240
∴QM= = = =80√3≈138.4（米），
tan∠PMQ tan60° √3
PQ
在Rt△PQN中，∵tan∠PNQ= ，
QN
PQ 240
∴QN= = ≈320（米），
tan∠PNQ tan37°
∴MN=QN−QM=320−138.4≈182（米）．
答：这条河的宽度MN=182米．
20．（8分）如图，△ABC中，AB的垂直平分线EF交BC于点E，交AB于点F，H为EC中点，
BE=AC．
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学科网（北京）股份有限公司(1)求证：AH⊥BC；
(2)若∠B=36°，求∠BAC的度数．
【答案】(1)证明见解析
(2)∠BAC=72°
【分析】本题考查了线段垂直平分线、等腰三角形、三角形内角和、三角形外角的知识；熟练掌握以上知
识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．（1）由线段垂直平分线的性质得到AE=BE，再根
据等腰三角形三线合一的性质即可完成证明；（2）结合（1）的结论，根据三角形外角、等腰三角形和三
角形内角和的性质计算，即可完成求解．
【详解】（1）如图，连接AE，
∵AB的垂直平分线EF交BC于点E，
∴AE=BE
∵BE=AC
∴AE=AC，
∵H为EC中点，
∴AH⊥BC；
（2）∵AE=BE，∠B=36°
∴∠EAB=∠B=36°
∴∠AEC=∠EAB+∠B=72°
∵AE=AC
∴∠C=∠AEC=72°
∴∠BAC=180°−∠C−∠B=72°．
21．（8分）初三（1）班针对“垃圾分类”知晓情况对全班学生进行专题调查活动，对“垃圾分类”的知
晓情况分为A、B、C、D四类．其中，A类表示“非常了解”，B类表示“比较了解”，C类表示“基本
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学科网（北京）股份有限公司了解”，D类表示“不太了解”，每名学生可根据自己的情况任选其中一类，班长根据调查结果进行了统
计，并绘制成了不完整的条形统计图和扇形统计图．
根据以上信息解决下列问题：
(1)初三（1）班参加这次调查的学生有 人，扇形统计图中类别C所对应扇形的圆心角度数为 °；
(2)求出类别B的学生数，并补全条形统计图；
(3)类别A的4名学生中有2名男生和2名女生，现从这4名学生中随机选取2名学生参加学校“垃圾分
类”知识竞赛，请用列举法（画树状图或列表）求所选取的2名学生中恰好有1名男生、1名女生的概率．
【答案】(1)40、144
(2)18人，见解析
2
(3)
3
【分析】（1）由A类别人数及所占的百分比可得被调查学生总数，用360°乘以C类别人数所占比例可求
C所对应扇形的圆心角度数；
（2）根据各类别人数之和等于总人数可以求出B类别人数，画图即可；
（3）根据列表法求出恰好选到1名男生、1名女生的概率即可．
【详解】（1）解：初三（1）班参加这次调查的学生有4÷10%＝40（人），
16
扇形统计图中类别C所对应扇形的圆心角度数为360°× ＝144°，
40
故答案为：40、144；
（2）B类学生人数为40﹣（4+16+2）＝18（人），
补全条形图如下：
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学科网（北京）股份有限公司；
（3）列表得：
男1 男2 女1 女2
男1 ﹣﹣ 男2男1 女1男1 女2男1
男2 男1男2 ﹣﹣ 女1男2 女2男2
女1 男1女1 男2女1 ﹣﹣ 女2女1
女2 男1女2 男2女2 女1女2 ﹣﹣
由表格可知，共有12种可能出现的结果，并且它们都是等可能的，其中“1名男生、1名女生”有8种可
能．
8 2
所以所选取的2名学生中恰好有1名男生、1名女生的概率为 ＝ ．
12 3
【点睛】本题考查列表法或树状图法求概率，列表法适合两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上
完成的事件。用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
22．（9分）2024年4月底，神舟十七号载人飞船返回舱顺利返回东风着陆场，神舟十七号任务取得圆满
成功．某飞箭航模店看准商机，购进了“神舟”和“天宫”模型．已知每个“神舟”模型的进价比“天
宫”模型多5元，同样花费200元，购进“天宫”模型的数量比“神舟”模型多2个．
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学科网（北京）股份有限公司(1)“神舟”和“天宫”模型的进价各是多少元？
(2)该飞箭航模店计划购进两种模型共100个，且每个“神舟”模型的售价为35元，每个“天宫”模型的
售价为28元．设购进“神舟”模型a个，销售这批模型的利润为w元．若购进“神舟”模型的数量不超过
1
“天宫”模型数量的 ，则购进“神舟”模型多少个时，销售这批模型可以获得最大利润？最大利润是多
4
少？
【答案】(1)天宫模型的进价为每个20元，神舟模型的进价为每个25元
(2)购进神舟模型20个时，销售这批模型可以获得最大利润，最大利润为840元
【分析】本题主要考查了一次函数的应用，一元一次不等式的应用，分式方程的应用，
对于（1），先设设“天宫”模型进价为每个x元，可表示“神舟”模型进价，再根据200元购进的模型的
个数之差为2列出分式方程，求出解并检验即可；
对于（2），先设购进“神舟”模型a个，表示购进“天宫”模型的个数，用含有a的关系式表示总利润
1
w，然后根据购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的 得出不等式，求出a的取值范围，最
4
后根据一次函数的性质得出最大值．
【详解】（1）解：设“天宫”模型进价为每个x元，则“神舟”模型进价为每个(x+5)元，
200 200
依题意得 = +2，
x x+5
解得x=20．
经检验，x=20是原分式方程的解.x+5=25．
答：“天宫”模型的进价为每个20元，“神舟”模型的进价为每个25元．
（2）∵购进“神舟”模型a个，则购进“天宫”模型(100−a)个，
∴w=(35−25)a+(28−20)(100−a)=2a+800．
1
∵购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的 ．
4
1
∴a≤ (100−a)，
4
解得：a≤20．
∵w=2a+800，k=2>0．
∴当a=20时，w =2×20+800=840（元），
max
即购进“神舟”模型20个时，销售这批模型可以获得最大利润，最大利润为840元．
23．（9分）已知：如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边CD、AD上的点，且AE⊥BF，AE=BF．
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学科网（北京）股份有限公司(1)求证：矩形ABCD是正方形；
(2)连接BE、EF，若DF2=AF⋅AD，求证：∠≝=∠ABE．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）先证明△ABF≌△DAE(AAS)， 可得AB=AD，从而可得结论；
DF DE
（2）证明AF=DE，DF=CE，结合DF2=AF⋅AD，可得 = ，证明△FDE∽△BCE， 可得
BC EC
∠≝=∠CEB，再结合平行线的性质可得结论．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠ADE=90°，
∴∠ABF+∠AFB=90°，
∵AE⊥BF，
∴∠DAE+∠AFB=90°，
∴∠ABF=∠DAE，
在△ABF和△DAE中，¿，
∴△ABF≌△DAE(AAS)，
∴AB=AD，
∴矩形ABCD是正方形；
（2）证明：如图，
由（1）可知，△ABF≌△DAE，
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学科网（北京）股份有限公司∴AF=DE，
∵正方形ABCD，
∴AD=DC=BC=AB，∠D=∠C=90°，AB∥CD，
∴DF=CE，
∵DF2=AF⋅AD，
DF DE
∴ = ，
BC EC
∵∠FDE=∠BCE=90°，
∴△FDE∽△BCE，
∴∠≝=∠CEB，
∵AB∥CD，
∴∠ABE=∠CEB，
∴∠ABE=∠≝¿．
【点睛】本题考查的是正方形的性质与判定，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定
与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键．
24．（10分）在△ABC中，BC为⊙O的直径，AC为过C点的切线．
(1)如图①，以点B为圆心，BC为半径作圆弧交AB于点M，连结CM，若∠ABC=66°，求∠ACM的大
小；
(2)如图②，过点D作⊙O的切线DE交AC于点E，求证：AE=EC；
3
(3)如图③，在（1）（2）的条件下，若tan A= ，求S :S 的值．
4 △ADE △ACM
【答案】(1)33°
(2)见解析
4
(3)
5
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学科网（北京）股份有限公司【分析】本题考查圆周角定理，切线性质，三角函数的定义；
（1）由三角形内角和角的计算问题；
（2）连接CD，则∠ADC=90°，根据切线长定理得到DE=CE，则∠EDC=∠ECD，得到
∠A=∠ADE，即可求解；
3 BD
（3）根据tan∠DCB=tan∠A= = ，设BD=3x，CD=4x，则BC=BM=5x，再依据
4 CD
3 CD 4x BC 5x 16x 20x 10
tan∠A= = = = = ，求出AD= ，AC= ，再求出AM=AB−BC= x，即
4 AD AD AC AC 3 3 3
1
可计算S ，S = S ，最后求值即可．
△ACM △ADE 2 △ACD
【详解】（1）由题意知，BC=BM，
∵∠ABC=66°，
∴∠BMC=∠BCM=57°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACM=∠ACB−∠BCM=90°−57°=33°；
（2）连接CD，
∵BC为⊙O的直径，
∴∠ADC=90°，
∵AC为过C点的切线，过点D作⊙O的切线DE交AC于点E，
∴DE=CE，
∴∠EDC=∠ECD，
∵∠EDC+∠ADE=90°，∠ECD+∠A=90°，
∴∠A=∠ADE，
∴AE=DE，
∴AE=CE；
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学科网（北京）股份有限公司（3）连接CD，
由（1）（2）可得∠ADC=90°，AE=DE=CE，∠A=∠BCD=90°−∠B，
3 BD
∴tan∠DCB=tan∠A= = ，
4 CD
∴设BD=3x，CD=4x，则BC=BM=5x，
3 CD 4x BC 5x
∵tan∠A= = = = = ，
4 AD AD AC AC
16x 20x
∴AD= ，AC= ，
3 3
25x
∴AB=BD+AD= ，
3
10
∴AM=AB−BC= x，
3
1 1 10 20
∴S = CD⋅AM= ×4x× x= x2 ，
△ACM 2 2 3 3
1 1 1 1 16 16
S = S = × CD⋅AD= ×4x× x= x2 ，
△ADE 2 △ACD 2 2 4 3 3
16 20 4
∴S :S = x2: x2= ．
△ADE △ACM 3 3 5
k
25．（10分）若一次函数y=mx+n与反比例函数y= 同时经过点P(x,y)则称二次函数y=mx2+nx−k
x
为一次函数与反比例函数的“共享函数”，称点P为共享点．
3
(1)判断y=2x−1与y= 是否存在“共享函数”，如果存在，请求出“共享点”．如果不存在，请说明理
x
由；
2024
(2)已知：整数m，n，t满足条件t
