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2025 年中考第一次模拟考试
数学·全解全析
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．2025的相反数是（ ）
A． B．2025 C． D．
1．C
【分析】本题主要考查了求一个数的相反数，只有符号不同的两个数互为相反数，据此可得答案．
【详解】解：2025的相反数是 ，
故选：C．
2．保护环境，人人有责．下列四个图形是生活中常见的垃圾回收标志，属于中心对称图形的是（ ）
A． 厨余垃圾 B． 可回收物 C． 其他垃圾 D． 有害垃圾
2．D
【分析】本题考查了中心对称图形的识别，熟练掌握中心对称图形的概念是解题的关键：把一个图形绕着
某一个点旋转 ，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形称为中心对称图形，这个点
就是它的对称中心，中心对称图形是一种特殊的旋转对称图形，常见的中心对称图形有：平行四边形、矩
形、菱形、正方形、圆、线段、相交直线等．根据中心对称图形的概念逐项分析判断即可得出答案．
【详解】
解：A. 厨余垃圾，不是中心对称图形，故选项 不符合题意；
B. 可回收物，不是中心对称图形，故选项 不符合题意；
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学科网（北京）股份有限公司C. 其他垃圾，不是中心对称图形，故选项 不符合题意；
D. 有害垃圾，是中心对称图形，故选项 符合题意；
故选： ．
3．截止目前，电影《哪吒之魔童闹每》以111.7亿元票房领跑2025年春节档电影票房，其中数据111.7亿
用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3．D
【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数．科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ，
n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相
同．
【详解】解：数据111.7亿用科学记数法表示为 ．
故选：D．
4．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．B
【分析】本题主要考查同底数幂的乘除法，幂的乘方，合并同类项，掌握整式的混合运算法则是解题的关
键．
同底数幂的乘法，底数不变，指数相加；同底数幂的除法，底数不变，指数相减；幂的乘方，底数不变，
指数相乘；合并同类项，底数相同，指数也相同，合并同类项时，字母及指数不变，系数相加或相减，由
此即可求解．
【详解】解：A、 ，故此选项不符合题意；
B、 ，故此选项符合题意；
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学科网（北京）股份有限公司C、 ，故此选项不符合题意；
D、 与 不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意；
故选：B．
5．把一块含有 角的三角尺与两条长边平行的直尺按如图所示方式放置（直角顶点在直尺的一条边上）．
若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
5．C
【分析】本题考查了三角形内角和定理，平行线的性质，掌握平行线的性质，三角形内角和定理的内容是
解题的关键．
根据三角板的性质得到 ，由直尺得到 ，则 ，在
中，由三角形内角和定理得到 ，由此即可求解．
【详解】解：如图所示， ， ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
故选：C ．
6．在一个不透明的盒子中装有红球和白球共50个，这些球除颜色外都相同．现从中随机摸出一个球，记
下颜色后放回，摇匀再从中随机摸出一个球…，通过大量重复试验后发现摸出白球的频率逐渐稳定在
0.4，则盒子中白球的个数最有可能是（ ）
A．10 B．20 C．30 D．40
6．B
【分析】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并
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学科网（北京）股份有限公司且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似
值就是这个事件的概率．利用频率估计概率可估计摸到白球的概率，然后求出这个口袋中白球的个数．
【详解】解：利用频率估计概率可得，摸到白球的概率为0.4，
则这个口袋中白球的个数最有可能是： （个）．
故选：B．
7．不等式 的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．D
【分析】本题主要考查了解不等式并把解集在数轴上表示，熟练的掌握不等式的性质，会求不等式的解集，
是解题的关键．注意：“ ”在数轴上是空心小圆圈，“ ”在数轴上是实心小圆点．
根据不等式的性质，求出不等式的解集，进而判定在数轴上表示正确选项即可．
【详解】解：∵
∴ ．
在数轴上表示D选项是正确的．
故选：D．
8．若分式 的值为0，则（ ）
A． B． C． D． 或－2
8．C
【分析】此题主要考查了分式的值为零的条件，熟练掌握分式的值为零的条件是解题的关键；
根据分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零得 且 即可解答．
【详解】解：由题意得： 且 ，
解得： ，
故选C．
9．二元一次方程组 的解是（ ）
A． B． C． D．
9．B
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学科网（北京）股份有限公司【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法并灵活运用是解答的关键．利用用
加减消元法解方程组即可．
【详解】解： ，
① ②得： ，
把 代入①中得： ，
∴原方程组的解为 ，
故选：B．
10．对于反比例函数 ，下列说法不正确的是（ ）
A．点 在它的图象上 B．它的图象在第一、三象限
C．当 时， 随 的增大而减小 D．当 时，
10．D
【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，根据反比例函数的图象与性质逐一判断即可，熟练掌
握反比例函数的图象与性质是解题的关键．
【详解】解： 、当 时， ，
∴点 在它的图象上，故原选项正确，不符合题意；
、由 可知， ，
则它的图象在第一、三象限，故原选项正确，不符合题意；
、由 可知， ，
∴当 时， 随 的增大而减小，故原选项正确，不符合题意；
、当 时， ，故原选项错误，符合题意；
故选： ．
11．某超市1月份的营业额为100万元，第一季度的营业额为 万元，如果每月平均增长率为 ，那么
与 的函数关系式是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
第5题图 第12题图
11．D
【分析】本题考查了二次函数的应用，根据题意正确列出二次函数解析式是解题的关键．
根据题意列出二次函数解析式即可．
【详解】解：由题意得， 与 的函数解析式为 ，
故选：D ．
12．如图，二次函数 的图象关于直线 对称，与 轴交于 ， 两点，若
，则下列四个结论：① ② ③ ④ ，正确结论的个数
为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
12．B
【分析】结合所给函数图象，抛物线的开口方向、对称性及二次函数与一元二次方程之间的关系对所给结
论进行依次判断即可．
【详解】解： 二次函数 的图象关于直线 对称，与 轴交于 ， 两点，
， 两点关于直线 对称，
，
，
结论①正确；
直线 是二次函数对称轴，
，即 ，
，
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学科网（北京）股份有限公司由函数图象可知，该二次函数开口向上， ，
，
结论②错误；
该二次函数与 轴有两个交点，
，
由图可知，当 时， ，
即 ， ，
，
，
即 ，
结论③正确；
，即 ，
，
，
，即 ，
，
，
∴ 不一定正确，
结论④错误；
综上，正确结论为①③，共 个．
故选： ．
【点睛】本题考查的知识点是二次函数图象与性质、二次函数的图象与系数的关系、二次函数与一元二次
方程的关系，解题关键是熟练掌握二次函数的图象与系数的关系．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）
13．若代数式 在实数范围内有意义，则x的取值范围为 ．
13．
【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数为非负数，进行求解即可．
【详解】解：由题意，得： ，
解得： ；
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学科网（北京）股份有限公司故答案为：
14．学校举办了以“不负青春，强国有我”为主题的演讲比赛．已知某位选手的演讲内容、语言表达、举
止形态这三项的得分分别为90分、85分、82分，若依次按照 ， ， 的比例确定成绩，则该选
手的成绩是 分．
14．86
【分析】本题考查了加权平均数的运用，熟练掌握加权平均数的计算方法．是解题的关键．若n个数
的权分别为 ，则 叫做这n个数的加权平均数．
根据加权平均数的计算公式列出算式，进行计算即可得出答案．
【详解】解： （分），
故答案为：86．
15．如图，在 中， ， ，点D是 上一点，且 ， ，则
的长为
15．
【分析】本题考查了解直角三角形，圆周角定理，垂径定理，解一元二次方程．作 的外接圆 ，
作 的直径 ，作 于点 ，利用圆周角定理求得 ，证明四边形 是矩形，推
出 ，利用垂径定理结合圆周角定理求得 ，求得 ，证明 ，
利用相似三角形的性质求得 ，据此求解即可．
【详解】解：作 的外接圆 ，作 的直径 ，作 于点 ，连接 ， ， ，如
图，
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学科网（北京）股份有限公司∵ ，
∴ ，
∵ 是 的直径，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ，
∵ ， ，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，即 ，
整理得 ，
解得 (负值已舍)，
故答案为： ．
16．如图，在平面直角坐标系中，按如图所示放置正方形 ，D为 上一点，其坐标为 ，将正方
形 绕坐标原点 顺时针旋转，每秒旋转 ，旋转2025秒后点 的对应点坐标为 ．
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学科网（北京）股份有限公司第15题图 第16题图
16．
【分析】本题主要考查了点坐标规律的探索，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，正方形的性质，正
确找到旋转2025秒后点 的位置是解题的关键．根据旋转4秒恰好旋转 ，说明旋转2025秒后点 在
x轴下方，且 ，再求出点 的坐标即可．
【详解】解：将正方形 绕坐标原点O顺时针旋转，每秒旋转 ，旋转4秒恰好旋转 ，
…1，
∴点 在x轴下方，且 ，
过点D作 轴于点E，过点D作 轴于点F，
∵点D坐标为 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴点 ，
故答案为： ．
三、解答题（本大题共7个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．(本题满分8分)计算：
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学科网（北京）股份有限公司17．
【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
先算乘方，再算括号内，再算乘法，最后算加减即可解答．
【详解】解：
．
18．(本题满分10分)先化简，再求值： ，其中 ， ．
18． ，
【分析】本题考查的知识点是整式的加减—化简求值，解题关键是熟练掌握合并同类项法则．注意去括号
时符号的变化，原式去括号，再合并同类项进行化简，最后将 、 的值代入计算即可．
【详解】解： ，
，
，
，
， ，
原式 ．
19．(本题满分10分)如图，在平面直角坐标系中， 的三个顶点分别三个是 ， ，
．
(1)把 绕原点O旋转 后得到对应的 ，请画出旋转后的 ；
(2)若点P为 的外心，请直接写出点P的坐标 ．
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学科网（北京）股份有限公司第19题图
19．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了旋转的作图，三角形的外心，掌握旋转的作图方法，以及三角形的外心是三边垂直平
分线是交点，是解题的关键．
（1）连接 并延长，使 ，再依次连接点 即可；
（2）找出 ， 垂直平分线的交点，即可解答．
【详解】（1）解：如图1所示： 即为所求；
（2）解：如图2，点P为 的外心，
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学科网（北京）股份有限公司∵四边形 为正方形，
∴ 为 的垂直平分线，
∵ ， ，
∴ 的垂直平分线为直线 ，
由图可知， 的垂直平分线与 的垂直平分线相交于点 ，
∴点 为 外心，
∴点 坐标为 ．
故答案为： ．
20．(本题满分10分)以人工智能、大数据、物联网为基础的技术创新促进了新业态蓬勃发展，新业态发展
对人才的需求更加旺盛．某大型科技公司上半年新招聘软件、硬件、总线、测式四类专业的毕业生，现随
机调查了 名新聘毕业生的专业情况，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．请根据统计图提供
的信息，解答下列问题．
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学科网（北京）股份有限公司(1) ______， ______；
(2)请补全条形统计图，并直接写出这组数据的众数；
(3)若该公司新招聘600名毕业生，请你估计总线专业的毕业生的人数．
20．(1)50，10
(2)这组数据的众数为硬件，图见解析
(3) 人
【分析】本题主要考查了扇形统计图与条形统计图信息相关联，用样本估计总体，正确读懂统计图是解题
的关键．
（1）用总线的人数除以其人数占比即可求出m，再用测试的人数除以总人数即可求出n；
（2）先求出硬件的人数，再补全统计图即可；
（3）用 乘以样本中总线的人数占比即可得到答案．
【详解】（1）解：由题意得， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ， ；
（2）解：由（1）得硬件的人数为 （人），
∴补全统计图如下所示：
∵硬件的人数最多，
∴这组数据的众数为硬件．
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学科网（北京）股份有限公司（3）解： （名），
∴估计“总线”专业的毕业生有 名．
21 . (本题满分10分)如图，在 中， ，以 为直径作 ，交 于点D，
交 于点E，过点D作 于F．
(1)求证： 是 的切线；
(2)若 ， 的半径为5，求 的长．
第21题图
21．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接 ，则 ，所以 ，由 ，得 ，则 ，
所以 ，则 ，即可证明 是 的切线；
（2）连接 ，由 是 的直径， 的半径为5，得 ， ，则
，求得 ，由 ，即可求得 ．
【详解】（1）证明：如图，连接 ，则 ，
，
，
，
，
，
于点 ，
，
是 的半径，且 ，
是 的切线．
（2）解：如图，连接 ，
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学科网（北京）股份有限公司是 的直径， ， 的半径为5，
， ，
，
， ，
，
，
，
的长是 ．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、切线的判定定理、勾股定理、直径所对的圆周角为直角、平
行线的判定和性质，根据面积等式求线段的长度等知识，熟练掌握其性质并能正确地作出辅助线是解决此
题的关键．
22 . (本题满分12分)某商品的进价为每件30元．当售价为每件50元时，每星期可卖出80件．现需降价
处理，且经市场调查：每降价1元，每星期可多卖出10件．在确保盈利的前提下，解答下列问题：
(1)若设每件降价x元，每星期售出商品的利润为y元，请写山y与x的函数关系式，并直接写出自变量x的
取值范围；
(2)当降价多少元时，每星期的利润最大？最大利润是多少？
22．(1)
(2)当降价6元时，每星期的利润最大，为1960元
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学科网（北京）股份有限公司【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是找出等量关系和掌握二次函数的性质．
（1）根据总利润 单件利润 数量即可列出函数解析式，根据确保盈利列式求出x的取值范围；
（2）根据二次函数的性质进行解答即可得．
【详解】（1）解：根据题意可得 ，
∵降价要确保盈利，
∴ ，
解得： ，
∴ ；
（2）解：∵ ，
∴当 时， 有最大值 ，
即当降价6元时，每星期的利润最大，为1960元．
23．(本题满分12分)【综合与实践】
【实践背景】在学习几何变换旋转知识的过程中，同学们对于由几何变换引起几何图形的变化有了更深入
的了解，并对此产生浓厚的兴趣．兴趣小组同学决定利用手中的三角板进行各种变换操作，通过操作观察
分析，发现并提出系列有趣的数学问题．
【实践过程】如图1， 是等腰直角三角形，且AC=BC，点D是斜边AB上的动点（点D与点A不
重合），连接CD，将CD绕点C逆时针旋转900得到CE，连接DE，BE．
【猜想证明】经过观察分析，大家猜想 与 是全等的关系，请你说明理由．（1）求证：
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学科网（北京）股份有限公司；
【拓展应用】
（2）继续探究，作点C关于DE的对称点F，连接DF，EF（如图2），若 ．
①求四边形CDFE面积的最小值；
②请在图2中连接BF，当BF=2时，直接写出AD的长度．
第23题图
23．（1）证明见解答过程；（2）① 16 ；②
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得 ，根据旋转的性质得
，进而得 ，由此可依据“ ”判定 和 全等；
（2）①过点 作 于点 ，连接 ，先求出 ，则 ，证明四边形形
是正方形，得四边形 面积的为 ，根据“垂线段最短”得 ，即当点 与点 重合
时， 为最小，此时四边形 面积的为最小，由此即可得出答案；
②作 的外接圆，过点 作 交 的延长线于 ，过点 作 于点 ，设 ，
则 是等腰直角三角形，则 ，由（1）的结论得 ，则
，进而得点 在 的外接圆上， ，继而得 ，则 是
等腰直角三角形， ，在 和 中，由勾股定理求出 ，进而可得
的长．
【详解】解：（1）证明：∵ 是等腰直角三角形，且 ，
，
，
由旋转的性质得： ，
，
，
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学科网（北京）股份有限公司在 和 中
，
；
（2）①解：过点 作 于点 ，连接 ，如图2所示：
∵ 是等腰直角三角形，且 ，
由勾股定理得： ，
∵ ，
，
∵点 关于 的对称点为 ，
∴ 是 的垂直平分线，
，
∵ ，
，
∴四边形 是菱形，
又 ∵ ，
∴菱形 是正方形，
∴四边形 面积的为 ，
根据“垂线段最短”得： ，
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学科网（北京）股份有限公司∴当点 与点 重合时， 为最小，此时四边形 面积的为最小，
∴四边形 面积的最小值为 16 ；
②作 的外接圆，过点 作 交 的延长线于点 ，过点 作 于点 ，如图3所
示：
设 ，
，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
由勾股定理得： ，
由（1）可知： ，
，
由（2）①可知：四边形 是正方形， 为对角线，
，
∴ 是 外接圆的直径，
，
，
∴点 在 的外接圆上，
根据圆周角定理得： ，
，
∴ 是等腰直角三角形，
，
由勾股定理得： ，
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学科网（北京）股份有限公司，
，
在 中， ，
由勾股定理得： ，
在 中， ，
由勾股定理得： ，
，
，
解得： ，
．
【点睛】此题主要考查了等腰直角三角形的判定和性质，图形的旋转变换及其性质，对称的性质，全等三
角形的判定和性质，正方形的判定和性质，勾股定理等知识点，理解等腰直角三角形的判定和性质，熟练
掌握图形的旋转变换及其性质，对称的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，灵活运用
勾股定理构造方程是解决问题的关键．
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