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2025 年中考第一次模拟考试
数学·全解全析
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题
目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1． 的相反数是（ ）
A． B．5 C． D．
1.A
【分析】本题考查的是绝对值和相反数的概念．根据绝对值、相反数的定义即可得出答案．
【详解】解：根据绝对值的定义，
，
根据相反数的定义，
5的相反数是 ．
故选：A．
2．如图，直线 被直线 所截， ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
2. B
【分析】本题考查了平行线的性质，根据两直线平行，同旁内角互补即可得出答案．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ．
故选：B．
3．下列立体图形中，可能被一个平面截出的截面是长方形的是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A． B．
C． D．
3. D
【分析】本题考查的是几何体截面的形状，截面的形状既与被截几何体有关，还与截面的角度和方向有关．
认真观察图中的截面是解题的关键．根据几何体截面的概念求解即可．
【详解】解：由题意可得，可能被一个平面截出的截面是长方形的是圆柱体，
故选：D．
4．不等式组 的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4. D
【分析】此题考查了解一元一次不等式组，利用数轴表示不等式组的解集，正确掌握一元一次不等式的解
法是解题的关键
【详解】解：解不等式 ，得 ，
解不等式 ，得 ，
将解集表示在数轴上为：
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学科网（北京）股份有限公司故选：D
5．如图， ， ， 分别是 的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
5. C
【分析】本题考查三角形的三线，根据高线，中线，角平分线的定义，进行判断即可．
【详解】解：∵ ， ， 分别是 的高、角平分线、中线，
∴ ， ， ，
故选项A，B，D正确，选项C错误；
故选C．
6．如图，在 中，分别以点B，C为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧交于点D，E，且点D恰
好在 边上，直线 与 交于点F，连接 ．若 ，则四边形 的面
积为（ ）
A． B． C．4 D．8
6. A
【分析】此题考查了菱形的判定和性质、含 角的直角三角形、勾股定理等知识．由作图可得到
，四边形 是菱形，则 再由含 角的直角三角形和勾股定理求出
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学科网（北京）股份有限公司， ，即可得到 即可得到四边形 的面积．
【详解】解：由题意可知， 垂直平分 ， ，
∴ ，四边形 是菱形，
∴
∵ ，
∴ ，
∴
∴
∴四边形 的面积为 ，
故选：A
7．直线 与直线 （ ， 为常数， ）关于坐标原点中心对称，若 在直线
上，则 的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7. C
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点，坐标系中点的对称，熟练
掌握知识点是解题的关键．
先求得直线 与坐标轴的交点为 和 ，则其对称点 和 在直线 ，再用待定系数法求
直线 的表达式，把 代入即可求解．
【详解】解：当 ，则 ，
∴直线 与y轴交于点 ，
当 时， ，解得 ，
∴直线 与x轴交于点 ，
∵直线 与直线 （ ， 为常数， ）关于坐标原点中心对称，
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学科网（北京）股份有限公司∴可得 和 关于原点对称的点 和 在直线 上，
将 和 代入
得： ，
解得： ，
∴直线 的表达式为 ，
∵ 在直线 上，
∴有 ，
故选：C．
8．抛物线 上部分点的坐标如下表，下列说法错误的是（ ）
A．对称轴是直线 B．当 时，
C．当 时， 随 的增大而减小 D．抛物线开口向下
8. B
【分析】本题考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，根据二次函数的性质和表格中的数
据，可以判断各个选项中的结论是否成立，得出答案，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键．
【详解】解：A、由表格中点 ， ，可知对称轴是直线 ，故此选项不符合题意；
B、根据对称轴是直线 ，图象过点 ，则根据二次函数的对称性得当 时， ，故此
选项符合题意；
C、由表格数据可得，当 时， 随 的增大而减小，故此选项不符合题意；
D、根据对称轴是直线 ，当 时， 随 的增大而减小，得出抛物线开口向下，故此选项不符合
题意；
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学科网（北京）股份有限公司故选：B．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
9．分解因式： ．
9.
【分析】本题考查了提公因式法进行因式分解．直接提取公因式 ，即可作答．
【详解】解：∵ ，
故答案为： ．
10．如图， 是 的直径，圆上的点D与点C，E分布在直线 的两侧， ，则
．
10. /50度
【分析】本题考查了圆周角定理．根据圆周角定理可求 的度数，然后根据直径所对的圆周角是直角
得出 求解即可．
【详解】解：连接 ，
∵ ，
∴ ，
∵ 是 的直径，
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
故答案为： ．
11．幻方历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”当中，根据幻方的相等关系设计出来一个“幻
圆”，即大圆．小圆．横线．竖线上的四个数字加起来的和均相等．如图给出了部分数字，则幻圆中
的值为 ．
11.
【分析】如图所示，设小圆空白处为 ，根据题意列出等式，进而即可求解．
【详解】解：如图所示，设小圆空白处为 ，
依题意， ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了列代数式，代数式求值，等式的性质，理解题意是解题的关键．
12．反比例函数 的图象经过 、 两点，当 时， ，则k的
取值范围是 ．
12.
【分析】本题考查了反比例函数的图象上的点的特征，熟知反比例函数的性质是解题的关键．
先根据已知条件判断出函数图象所在的象限，再根据系数k与函数图象的关系解答即可．
【详解】解：∵反比例函数 的图象经过 、 两点，当 时，
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学科网（北京）股份有限公司，
∴此反比例函数的图象在二、四象限，
∴ ．
故答案为： ．
13．如图，在菱形 中， ， ， 为菱形 的对称中心，过点 的直线 交 于
点E，交 于点 为 上的一点，连接 ．若 ，则四边形 的面积为 ．
13.
【分析】本题考查菱形的性质、中心对称性以及解直角三角形的知识点，解题的关键是利用菱形的中心对
称性将四边形的面积进行转化．
通过连接相关线段，利用菱形中心对称性得到一些等量关系．过点作垂线，构造出可以计算面积的三角形．
因为菱形具有中心对称性，所以将四边形的面积转化为几个易求面积的三角形面积之和或差．利用已知条
件和所作辅助线，结合三角形面积公式（底×高÷2）来计算相关三角形面积，进而得出四边形的面积．
【详解】如图，由菱形的中心对称性可知 ，
连接 ，
∵ ，过点 作 于点 ，
作 于点 ，
，
连接 ，
则
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学科网（北京）股份有限公司三、解答题（本大题共13个小题，共81分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
14．（5分）计算：
14.
【分析】本题考查了实数的运算，熟练掌握负整数指数幂，绝对值，零指数幂是解题的关键．
分别计算负整数指数幂，绝对值，零指数幂，再进行加减运算即可．
【详解】解：原式
．
15．（5分）先化简，再求值： ，其中 ， ．
15. ，11
【分析】先算括号内的乘法，再合并同类项，最后代入求出即可．
【详解】解：
，
当 ， 时，原式 ．
【点睛】本题考查了整式的混合运算和求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键．
16．（5分）解方程： ．
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学科网（北京）股份有限公司16.
【分析】本题考查了解分式方程．分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检
验即可得到分式方程的解．
【详解】解：
，
，
，
检验：当 时， ，
∴原分式方程的解为 ．
17．（5分）如图，在 中， ， 请用尺规作图法在边 上求作一点 ，使
保留作图痕迹，不写作法
17. 见解析
【分析】根据题意，作出 的垂直平分线（或作出 的角平分线），交 于点 ，即可求解．
【详解】解法一：如图所示，作 的垂直平分线，交 于点 ，则点 ，即为所求；
解法二：如图所示，作 的角平分线，交 于点 ，则点 ，即为所求；
∵四边形 是平行四边形，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ , ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，作角平分线，作垂直平分线，平行四边形的性质，熟练掌握基本
作图是解题的关键．
18．（5分）如图，在矩形 中，对角线 与 交于点 ， ， ，垂足分别为 、
．求证： ．
18. 证明见解析．
【分析】本题主要考查了矩形的性质，全等三角形的性质和判定，掌握矩形的对角线互相平分且相等是解
决问题的关键．
根据矩形的性质求出 ，根据 推出 即可证得结论．
【详解】证明： 四边形 是矩形，
， ， ，
，
， ，
，
在 和 中，
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学科网（北京）股份有限公司，
，
．
19．（5分）某校为丰富学生的课余生活，强化学生的校园安全意识，准备举办一次趣味知识竞答活动，
计划购买 两种奖品奖励答题优秀同学．已知 种奖品比 种奖品每件贵12元，且购买 种奖品15件，
种奖品10件，共需资金280元．求 种奖品每件需要多少元．
19. 种奖品每件需要16元
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．设 种
奖品每件需要 元，则 种奖品每件需要 元，列出方程求解即可．
【详解】解：设 种奖品每件需要 元，则 种奖品每件需要 元．
根据题意，得 ，
解得 ．
答： 种奖品每件需要16元．
20．（5分）化学实验课上，王老师带来了 （镁）、 （铝）、 （锌）、 （铜）四种金属，这
四种金属分别用四个相同的不透明容器装着，让同学们随机选择一种金属与盐酸反应来制取氢气．（根据
金属活动顺序可知： 可以置换出氢气，而 不能置换出氢气）
(1)小明从四种金属中随机选一种，则选到 （镁）的概率为________；
(2)小明和小红分别从四种金属中随机选一种金属分别进行实验，请用列表或画树状图的方法，求二人所选
金属均能置换出氢气的概率．
20. (1)
(2)
【分析】本题考查的是根据概率公式求概率，用列表法求概率．
（1）直接由概率公式求解即可；
（2）根据列表法求概率即可求解．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】（1）由题意得，选到 的概率为
故答案为：
（2）列表如下：
由表格知共有16种等可能的结果，其中二人所选金属均能置换出氢气的结果有： ， ，
， ， ， ， ， ， ，共 种，
二人所选金属均能置换出氢气的概率为 ．
21．（6分）2025年春节期间，某市举办烟花表演，其中最美烟花当属“惊艳天梯”．当烟花在空中点燃
的那一刻，一段段明亮的台阶依次向上显现，在空中逐渐形成一幅美妙的“天梯”图案，十分惊艳．如图，
某专业团队在水平地面 上竖直架设测角仪 ，测量“天梯” 的长度，在 处测得“天梯”最低点
的仰角 ，最高点 的仰角 ，若 ， ， ， ， 共线且垂直于地面，
且与 ， 位于同一平面内．请你根据以上信息，计算出天梯 的长度．（结果精确到 ，参考数据：
， ， ， ）
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学科网（北京）股份有限公司21. “天梯” 的长度约为
【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，由题意得， ，在 中，
根据三角函数的定义得到 ，在 中，根据三角函数的定义得到
，于是可得到结论．
【详解】解：由题意得， ，
在 中， ，
，
解得 ，
在 中， ，
解得 ，
，
答：“天梯” 的长度约为 ．
22．（7分）某市采用分段收费标准的方式来鼓励节约用水，居民每月应交水费y(元)与用水量x(吨)之间的
关系如图所示．
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学科网（北京）股份有限公司(1)月用水量超过5吨时，试求y与x的函数关系式；
(2)若某户居民本月比上个月多用水2吨，而水费多5.5元，求该户本月用水量多少吨?
22. (1)
(2)该户居民本月用水量为6吨．
【分析】此题是一次函数的应用，关键是分析统计图，得出两个不同的直线表示的意义，再结合问题进行
解答．
（1）利用待定系数法即可求解；
（2）先判断出上月用水量不超过5吨，本月用水量超过5吨．设本月的用水量为 吨，则上个月的用水量
为 吨，根据题意列出方程，求解即可．
【详解】（1）解：设月用水量超过5吨时，y与x的函数关系式为 ，
把 ， 代入得 ，
解得 ，
∴ ；
（2）解：设月用水量不超过5吨时，y与x的函数关系式为 ，
把 代入得 ，
解得 ，
∴用水量不超过5吨时， ，
若本月和上月用水量都不超过5吨，那么水费应该多4元，
若本月和上月用水量都超过5吨，那么水费应该多7元，
所以上月用水量不超过5吨，本月用水量超过5吨．
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学科网（北京）股份有限公司设本月的用水量为 吨，则上个月的用水量为 吨，
则 ，
解得 ，
该户居民本月用水量为6吨．
23．（7分）为保护学生视力，让学生在学校专心学习，防止沉迷网络和游戏，促进学生身心健康发展，
2024年2月1日教育部印发《关于加强中小学生手机管理工作的通知》，要求中小学生原则上不得将个人
手机带入校园．某校为了解全校学生在此之前使用手机情况，随机抽取了部分学生调查其一周使用手机的
时间，并用调查结果绘制了如下统计图表，请根据统计图表解答以下问题：
组 使用时间t（小 人
别 时） 数
A a
B 20
C 50
D 10
E 5
(1) ______，填出所抽取学生一周使用手机时间的中位数落在______组；
(2)若以各组组中值（例如 的组中值为1小时）代表各组的实际数据，求出所抽取学生一周使用手
机时间的平均数及众数；
(3)若该校共有1200名中学生，请你估计该校学生中一周使用手机的时间在6小时以上的有多少人？
23. (1)15；C
(2)平均数为4.4小时，众数为5
(3)该校学生中一周使用手机的时间在6小时以上的有180人
【分析】本题考查频数分布表、扇形统计图，加权平均数、众数、用样本估计总体，解答本题的关键是明
确题意，利用数形结合的思想解答．
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学科网（北京）股份有限公司（1）根据C组的频数和所占的百分比，可以计算出本次抽取的人数，然后即可计算出A组的频数，再根
据频数分布表中的数据，即可得到相应的众数；
（2）根据频数分布表中的数据，可以计算出这组数据的平均数，写出相应的众数；
（3）根据频数分布表中的数据，可以计算出该校学生中一周使用手机的时间在6小时以上的有多少人．
【详解】（1）解：这次调查的学生人数为 (人)，
A组人数是： (人)；
，
所抽取学生一周使用手机时间的中位数落在C组，
故答案为：15；C；
（2）解：平均数为 （小时），众数为5；
（3）解： （人）
答：该校学生中一周使用手机的时间在6小时以上的有180人
24．（8分）如图，在 中， ，点O在 上，以O为圆心， 为半径的⊙O切
于点D，过点A作 交 的延长线于点E．
(1)求证： ．
(2)若 ，求 的长．
24. (1)见解析
(2)
【分析】本题是圆综合题，考查了切线的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数的定
义、三角形面积的计算等知识，熟练掌握切线的性质是解题的关键．
（1）由切线的性质得出 再证得 ，得出 ，即可得出结论；
（2）由 ，设 ，则 ，再由锐角三角函数定义求出 ，然
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学科网（北京）股份有限公司后由勾股定理求出 ，进而得出 ，求出 ，最后由 即可得
出结果．
【详解】（1） 切 于点D，
在 和 中
，
（2）在 中， ，
设 ，则 ，
在 中，
，
，
解得 ，
，
在 中，
由勾股定理得 ，
18 / 23
学科网（北京）股份有限公司，
即 的长为 ．
25．（8分）公路隧道是专供汽车运输行驶的通道，隧道的修建在缩短运行距离、提高运输能力、减少事
故等方面起到重要的作用．某隧道顶部横截面可视为抛物线，如图1．隧道底部宽 为 ，高 为
．为了避免司机在隧道内行车疲劳，交通技术部门拟在隧道顶部安装上下长度为 的警示灯带．普
通货车的高度大约为 （载货后高度），货车顶部与警示灯带底部的距离应不少于 ．
(1)在图2中建立合适的平面直角坐标系，并求抛物线的解析式．
(2)在你建立的坐标系中，在安全的前提下，确定灯带悬挂点的横坐标的取值范围．
25.(1)坐标系见解析；
(2)
【分析】本题主要考查了二次函数在实际问题中的应用，待定系数法求解析式，理清题中的数量关系、熟
练掌握待定系数法及二次函数的性质是解题的关键．
(1)以 为原点， 所在直线为 轴，以 所在直线为 轴建立如图所示的平面直角坐标系，利用待定系
数法即可得解；
(2)先计算出悬挂点的纵坐标 ，然后由纵坐标范围即可确定横坐标范围．
【详解】（1）解：以 为原点， 所在直线为 轴，以 所在直线为 轴建立如图所示的平面直角坐
标系，
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学科网（北京）股份有限公司顶点 的坐标为 ，设抛物线的解析式为： ．
抛物线过点 ，
，
解得： ，
抛物线的解析式为 ；
（2）解： 普通货车的高度大约为 （载货后高度），货车顶部与警示灯带底部的距离应不少于 ．
悬挂点的纵坐标 ，
即悬挂点的纵坐标的最小值是 ．
当 时， ，
，
悬挂点的横坐标的取值范围是： ．
26．（10分）问题探索：
（1）如图1，在矩形 中，点 、 分别在边 、 上，连接 、 ，且 于点 ，若
，则 ______；
问题解决：
（2）如图2，小明家原有一块四边形菜地，其中 ， ， 米， 米，
米，后经土地资源再分配调整为五边形 ，经测量 米， ，现需过点 修
建一条小路将五边形 分割成两个区域进行不同的蔬菜种植，设计时满足点 在边 上， 与
所夹锐角为 ，求需修小路 的长（小路宽度忽略不计）．
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学科网（北京）股份有限公司26.（1） （2） 米
【分析】（1）由相似三角形的判定方法得 ，由相似三角形的性质即可求解；
（2）过 作 交 于 ，过 作 交 于 ，交 于 ，过 作 交 于 ，
交 于 ，过 作 交 于 ，由 判定 ，由全等三角形的性质得 ，
由勾股定理得 ，求出 ， 由（1）同理可证 ，由相似三角形
的性质，即可求解．
【详解】（1）解： 四边形 是矩形，
，
，
，
，
， ，
，
，
，
，
，
故答案为： ；
（2）解：过 作 交 于 ，过 作 交 于 ，交 于 ，过 作 交 于
，交 于 ，过 作 交 于 ，
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学科网（北京）股份有限公司，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
与 所夹锐角为 ，
，
，
，
，
在 和 中
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学科网（北京）股份有限公司（ ），
，
，
，
，
，
解得： ，
，
由（1）同理可证： ，
，
，
解得∶ ；
故需修小路 的长 米．
【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，勾股定理，等腰
三角形的判定及性质等；掌握矩形中“十字架”的典型解法，矩形的性质，能构建全等三角形及相似三角
形，同时能熟练利用勾股定理求解是解题的关键．
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