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2025 年中考第一次模拟考试（全国通用）
数学·参考答案
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
C D C C D B A A C D
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共18分）
11．
12．
13．
14．108
15． 或
16．
三、解答题（本大题共8题，第17-21每题8分，第22-23每题10分，第24题12分，共72分。解答应写
出文字说明，证明过程或演算步骤）
√3 1
17．【详解】解：原式=1+4× +2+π− （6分）
2 2
5
= +2√3+π．（8分）
2
18．【详解】解：依题意，a=−3，1192，
则每天生产量为7千克时获得利润最大，最大利润为196元．（6分）
23．【详解】解：（1）四边形EBFO为菱形．理由如下：
∵四边形ABCD为菱形，
∴∠ABO=∠CBO，
∵将菱形ABCD沿EF折叠，点B的对应点与点O重合，
∴BE=OE，BF=OF，
∴∠ABO=∠EOB=∠CBO=∠FOB，
∴OF∥BE，OE∥BF，
∴四边形EBFO为平行四边形，
又∵BE=OE，
∴四边形EBFO为菱形；（3分）
（2）如下图，过点F作FH⊥AC于点H，
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学科网（北京）股份有限公司∵四边形ABCD为菱形，∠BAD=120°，
∴AB=BC，AD∥BC，
∴∠B=180°−∠BAD=60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴AB=BC=AC，∠ACB=60°，
∵CM=2,AM=4，
∴AB=BC=AC=AM+CM=6，
设FC=x，则BF=BC−FC=6−x，
由折叠的性质可得，MF=BF=6−x，
∵FH⊥AC，
1 √3
∴CH=FC⋅cos∠ACB=x⋅cos60°= x，FH=FC⋅sin∠ACB=x⋅sin60°= x，
2 2
1
∴MH=CM−CH=2− x，，
2
在Rt△FHM中，M H2+FH2=FM2，
即( 2− 1 x ) 2 + (√3 x ) 2 =(6−x) 2 ，
2 2
16
解得x= ，
5
16
∴FC= ；（7分）
5
（3）如下图，过点N作NK⊥BC，交BC延长线于点K，
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学科网（北京）股份有限公司∵点N为CD的一个三等分点(CN>DN)，且DN=a，
2
∴CD=3a，CN= CD=2a，
3
∵四边形ABCD为菱形，∠BAD=120°，
∴DC=BC=3a，∠BCD=∠BAD=120°，
∴∠NCK=180°−∠BCD=60°，
∴在Rt△NCK中，CK=CN×cos∠NCK=2a×cos60°=a，
NK=CN×sin∠NCK=2a×sin60°=√3a，
设FC= y，则BF=BC−FC=3a−y，FK=FC+CK= y+a，
由折叠的性质可得，NF=BF=3a−y，
在Rt△NFK中，N K2+FK2=N F2，
即 ，
(√3a) 2+(a+ y) 2=(3a−y) 2
5
解得y= a，
8
5
∴FC= a，
8
1 1 5 5√3
∴S = FC⋅NK= × a×√3a= a2．（10分）
△FCN 2 2 8 16
24．【详解】（1）解：∵点P(5,p)是一次函数y=mx−10的图象上的“梅岭点”，
∴p=5，
∴ P(5,5)，
∴ 5m−10=5，
解得：m=3；
4
∵点P(m,m)是函数y= 的图象上的“梅岭点”，
x−3
4
∴ =m，
m−3
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学科网（北京）股份有限公司整理得：m2−3m−4=0，
解得：m =−1，m =4，
1 2
经检验：m =−1，m =4，是此方程的根；
1 2
∴m=−1或4；
故答案：3；−1或4．（4分）
（2）解：∵点P(p,−4)是二次函数y=x2+bx+c的图象上唯一的“梅岭点”，
∴二次函数y=x2+bx+c与直线y=x有唯一的交点P(−4,−4)，
∴方程x2+bx+c=x的根为：x =x =−4，
1 2
即：x2+(b−1)x+c=0，
∴¿，
解得：¿，
∴二次函数的表达式y=x2+9x+16．（7分）
（3）解：∵二次函数y=ax2+bx+c的图象过点(0,−8)，
∴c=−8，
∴ y=ax2+bx−8，
图象上存在两个不同的“梅岭点” ， ，
∵ A(x ,x ) B(x ,x )
1 1 2 2
， ，
∴ax 2+bx −8=x ax 2+bx −8=x
1 1 1 2 2 2
， ，
∴ax 2+(b−1)x −8=0 ax 2+(b−1)x −8=0
1 1 2 2
∴x 、x 是方程ax2+(b−1)x−8=0的根，
1 2
∴ ¿，
，
∵ |x −x |=4
1 2
，
∴(x −x ) 2=16
1 2
，
∴(x +x ) 2−4x x =16
1 2 1 2
( b−1) 2 ( 8)
∴ − −4 − =16
a a
整理得： ，
(b−1) 2=16a2−32a
∴ k=−b2+2b+4
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学科网（北京）股份有限公司，
=−(b−1) 2+5
∴ k=−16a2+32a+5
，
=−16(a−1) 2+21
，
∵ |x −x |=4
1 2
∴ x −x =4或x −x =−4，
1 2 1 2
∴ x =4+x 或x =−4+x ，
1 2 1 2
∵ −10，
8
∴a> ，
5
∵−16<0，
8
∴当a> 时，k随着a的增大而减小，
5
8 (8 ) 2 381
∴当a= 时，k=−16 −1 +21= ，
5 5 25
381
∴k< ．（12分）
25
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