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2025年中考数学一轮复习学案（全国版）
第一章 数与式
1.3 分式
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 分式的概念和性质 ☆☆ 数学中考中，分式部分，每年考查1—2道题,分值为
3—6分，通常以选择题、填空题、解答题其中一种
考点2 分式的运算 ☆☆☆ 题型考查。大多省市在解答题里考查分式的化简求
值。 有的省市在选择题或填空题考查分式有意义的
条件，复习需要学生熟练掌握分式的概念和性质、
考点3 分式的化简求值 ☆☆☆
分式的运算规则，掌握解决分式问题基本要领。
☆☆☆ 代表必考点，☆☆代表常考点，☆星表示中频考点。
夯实基础考点1 分式的概念和性质
1．分式的定义
（1）一般地，整式A除以整式B，可以表示成 的形式，如果除式B中含有字母，那么称 为分
式．
（2）分式 中，A叫做分子，B叫做分母．
【注意】①若B≠0，则 有意义；②若B=0，则 无意义；③若A=0且B≠0，则 =0．
2．分式的基本性质
分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变．
用式子表示为 或 ，其中A，B，C均为整式．
考点2 分式的运算
1．约分及约分法则
（1）约分：把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分．
（2）约分法则：把一个分式约分，如果分子和分母都是几个因式乘积的形式，约去分子和分母中相
同因式的最低次幂；分子与分母的系数，约去它们的最大公约数．如果分式的分子、分母是多项
式，先分解因式，然后约分．
【注意】约分的根据是分式的基本性质．约分的关键是找出分子和分母的公因式．
2．最简分式
分子、分母没有公因式的分式叫做最简分式．
【注意】约分一般是将一个分式化为最简分式，分式约分所得的结果有时可能成为整式．
3．通分及通分法则
（1）通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分
式，这一过程称为分式的通分．
（2）通分法则
把两个或者几个分式通分：
①先求各个分式的最简公分母（即各分母系数的最小公倍数、相同因式的最高次幂和所有不同因式
的积）；
②再用分式的基本性质，用最简公分母除以原来各分母所得的商分别去乘原来分式的分子、分母，使每个分式变为与原分式的值相等，而且以最简公分母为分母的分式；
③若分母是多项式，则先分解因式，再通分．
【注意】通分的根据是分式的基本性质．通分的关键是确定几个分式的最简公分母．
4．最简公分母：几个分式通分时，通常取各分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次幂的积
作为公分母，这样的分母叫做最简公分母．
5．分式的运算
（1）分式的加减 ①同分母的分式相加减法则：分母不变，分子相加减．用式子表示为：
．
②异分母的分式相加减法则：先通分，变为同分母的分式，然后再加减．
用式子表示为： ．
（2）分式的乘法
乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母．用式子表示为：
．
（3）分式的除法
除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后与被除式相乘．
用式子表示为： ．
（4）分式的乘方
乘方法则：分式的乘方，把分子、分母分别乘方．用式子表示为： 为正整数，
．
（5）分式的混合运算
含有分式的乘方、乘除、加减的多种运算叫做分式的混合运算．
【易错点提示】
1.整式和分式进行运算时，可以把整式看成分母为1的分式．
2．注意运算顺序：分式的混合运算，先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．
考点3 分式的化简求值将给出的分式通过通分约分，然后进行加减乘除运算化为最简的代数式，再将已知条件代入最
简式子计算求值。
1．注意化简结果：运算的结果要化成最简分式或整式．分子、分母中有公因式的要进行约分化为最
简分式或整式．
2．注意运算律的应用：分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用
乘法的运算律运算，会简化运算过程．
考点1 分式的概念和性质
【例题1】（2024吉林省）当分式 的值为正数时，写出一个满足条件的x的值为______．
【答案】0（答案不唯一）
【解析】本题主要考查了根据分式的值的情况求参数，根据题意可得 ，则 ，据此可
得答案．
∵分式 的值为正数，
∴ ，
∴ ，
∴满足题意的x的值可以为0．
【对点变式练1】（2024安徽一模）从a－1，3＋π，2，x2＋5中任选2个构成分式，共可以构成
____个分式．
【答案】6
【解析】以a－1为分母，可构成3个分式；以x2＋5为分母，可构成3个分式，所以共可构成6个
分式．
【对点变式练2】（2024海南一模）下列各式与 相等的是( )
A. ; B. ; C. D.
【答案】C
【解析】 分式的基本性质是一切分式运算的基础,分子与分母只能同乘以(或除以)同一个不等于零的整式,而不能同时加上(或减去)同一个整式.
根据分式的基本性质易发现C成立.
【对点变式练 3】（2024湖南一模）如果分式 在实数范围内有意义，则 x的取值范围是（
）
A. x≠－ 1 B. x＞－1 C. 全体实数 D. x＝－1
【答案】A．
【解析】由分式 在实数范围内有意义，得x＋1≠0，所以x≠－1故选A．
考点2 分式的运算
【例题2】（2024广州）若 ，则下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】本题考查了分式 的乘法，同底数幂乘法与除法，掌握相关运算法则是解题关键．通分后变
为同分母分数相加，可判断A 选项；根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可判断 B选项；根
据分式乘法法则计算，可判断C选项；根据同底数幂除法，底数不变，指数相减，可判断D 选项．
A、 ，原计算错误，不符合题意；
B、 ，原计算正确，符合题意；
C、 ，原计算错误，不符合题意；
D、 ，原计算错误，不符合题意；故选：B．
【对点变式练1】(2024贵州贵阳一模)计算 的结果是（ ）
A． B． C．1 D．﹣1
【答案】C
【解析】根据同分母的分式加减的法则计算，分母不变，分子相加减．原式＝ ＝1．
【对点变式练2】（2024江西一模）计算 的结果为（ ）
A．1 B．﹣1 C． D．
【答案】A
【解析】根据分式的加减运算法则即可求出答案．
原式＝ ＝ ＝1．
【对点变式练3】（2024大连一模）化简（1+ ）• ．
【答案】
【解析】利用分式的运算法则将分式进行化简，然后代入已知数据进行计算即可．
原式＝ •
＝ •
＝
【对点变式练4】（2024山东青岛一模）化简 的结果是 .
【答案】 。
【解析】原式被除式括号中的第一项分子利用平方差公式分解因式，分母利用完全平方公式分解因
式，然后利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，再利用乘法分配律将括
号外边的项乘到括号中的每一项，约分后，找出两分母的最简公分母，通分并利用同分母分式的减
法法则计算，约分后得到最简结果：
。
【对点变式练5】（2024河北一模）化简 的结果是（ ）A．xy6 B．xy5 C．x2y5 D．x2y6
【答案】A
【解析】先根据分式的乘方法则计算，再根据分式的乘法法则计算．
x3（ ）2
＝x3•
＝xy6，
故选：A．
本题考查的是分式的乘除法，掌握分式的乘法法则、乘方法则是解题的关键．
考点3 分式的化简求值
【例题3】（2024深圳）先化简，再求值： ，其中
【答案】 ，
【解析】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算的运算顺序和运算法则是解题关键．
原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结
果，把a的值代入计算即可求出值．
=
=
= ，
当 时，原式= ．【对点变式练 1】（2024 云南一模）已知： （x、y、z 均不为零），则 ＝
_____．
【答案】3
【解析】根据已知条件可设 ， ， ，将其代入所求式子，计算即可．
（ ， ， 均不为零），
设 ，则 ， ，
．
【点睛】本题考查了分式的求值，解此类题可根据分式的基本性质先用未知数 表示出 ， ， ，
再代入计算．
【对点变式练2】 （2024辽宁一模）先化简，再求值： ，其中
．
【答案】 ， ．
【解析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得
到最简结果，再利用算术平方根、绝对值、负整数指数幂计算出a的值，代入计算即可求出值．= ，
当 时，
原式= = ．
【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则．还考
查了算术平方根、绝对值、负整数指数幂．
考点1. 分式的概念和性质
1. （2024江苏盐城）若分式 有意义，则x的取值范围是_________．
【答案】
【解析】本题主要考查了分式有意义的条件，根据分式有意义分母不等于零，得出 ，求出
即可．
若分式 有意义，
则 ，
∴ ．
考点2. 分式的运算
2.（2024甘肃威武）计算： （ ）A. 2 B. C. D.
【答案】A
【解析】本题主要考查了同分母分式减法计算，熟知相关计算法则是解题的关键．
．
3. （2024河北省）已知A为整式，若计算 的结果为 ，则 （ ）
A. x B. y C. D.
【答案】A
【解析】本题考查了分式的加减运算，分式的通分，平方差公式，熟练掌握分式的加减运算法则是
解题的关键．
由题意得 ，对 进行通分化简即可．
∵ 的结果为 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故选：A．
4. （2024黑龙江绥化）计算： _________．
【答案】
【解析】本题考查了分式的混合运算．先算括号内的减法，把除法变成乘法，再根据分式的乘法法
则进行计算即可．．
5. （2024黑龙江大庆）已知 ，则 的值是___________．
【答案】3
【解析】根据 ，通过平方变形可以求得所求式子的值．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是熟练掌握完全平方公式．
6. （2024江苏连云港）下面是某同学计算 的解题过程：
解： ①
②
③
上述解题过程从第几步开始出现错误？请写出完整的正确解题过程．【答案】从第②步开始出现错误，正确过程见解析
【解析】本题考查异分母分式的加减运算，先通分，然后分母不变，分子相减，最后将结果化为最
简分式即可．掌握相应的计算法则，是解题的关键．
从第②步开始出现错误．
正确的解题过程为：
原式 ．
考点3. 分式的化简求值
1.（2024山东滨州）欧拉是历史上享誉全球的最伟大的数学家之一，他不仅在高等数学各个领域作
出杰出贡献，也在初等数学中留下了不凡的足迹．设a，b，c为两两不同的数，称
为欧拉分式．
（1）写出 对应的表达式；
（2）化简 对应的表达式．
【答案】（1） （2）
【解析】【分析】本题考查分式的化简求值，弄清欧拉公式的特点，利用分式的加减法计算是解题
的关键．
（1）将 代入欧拉公式即可；
（2）将 代入欧拉公式化简计算即可．
【小问1详解】
解：当 时，
【小问2详解】．
2. （2024广州）化简： （ ）
【答案】
【解析】∵ ，
∴
3. （2024甘肃临夏）化简： ．
【答案】
【解析】本题考查分式的混合运算，掌握分式的混合运算法则是解题关键．根据分式的混合运算法
则计算即可．
，．
4. （2024江苏苏州） 先化简，再求值： ．其中 ．
【答案】 ，
【解析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式括号中两项通分并
利用同分母分式的加法法则计算，同时利用因式分解和除法法则变形，约分得到最简结果，把 x的
值代入计算即可求出值．
原式
．
当 时，原式 ．
5. （2024四川达州）先化简： ，再从 ， ，0，1，2之中选择一个合
适的数作为 的值代入求值．
【答案】 ，当 时，原式 ．
【解析】本题主要考查了分式的化简求值，先把小括号内的式子通分，再把除法变成乘法后约分化简，接着根据分式有意义的条件确定x的值，最后代值计算即可．
，
∵分式要有意义，
∴ ，
∴ 且 且 ，
∴当 时，原式 ．
6. （2024江苏盐城）先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】 ；
【解析】题目主要考查分式的化简求值，先计算分式的除法运算，然后计算加减法，最后代入求值
即可，熟练掌握运算法则是解题关键．，
当 时，原式 ．
7.（2024贵州省）先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】 ，1
【解析】先把分式的分子、分母分解因式，然后约分化为最简分式，最后代入数值解题即可．
；
当 时，原式 ．
8. （2024湖南省）先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】 ，
【解析】本题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算法则是解题的关键．先计算乘法，
再计算加法，然后把 代入化简后的结果，即可求解．，
当 时，原式 ．
9. （2024山东烟台）利用课本上的计算器进行计算，按键顺序如下： ，
若 是其显示结果的平方根，先化简： ，再求值．
【答案】 ， ．
【解析】本题考查了分式的化简求值，先利用分式的性质和运算法则对分式化简，然后根据题意求
出 的值，把 的值代入到化简后的结果中计算即可求解，正确化简分式和求出 的值是解题的
关键．
，
，
，
，
，，
，
∵ ，
∴ 的平方根为 ，
∵ ，
∴ ，
又∵ 为 的平方根，
∴ ，
∴原式 ．
考点1. 分式的概念和性质
1．在，，，2m，，中，不是分式的式子有( )个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】形如 ， 是整式， 中含有字母且 不等于0的整式叫做分式.其中 叫做分式的
分子， 叫做分式的分母.
，2m，不是分式．
2.下列分式的变形是否正确，为什么？
b ab b bc
（1）a a2 （2）a ac
【答案】见解析。
b/a a0 a
【解析】（1）∵已知分式 中已隐含了 ，∴用 分别乘以分式的分子、分母，分式的值不
变，故（1）是正确的.
a/b c c c0
（2）因为已知分式 中，没限制 ， 可以取任意数，当然也包括了 ，当分式的分子、分c0
母都乘以 时，分式没意义，故（2）是错误的.
考点2. 分式的运算
1.已知分式的值为0，求a的值及b的取值范围．
【答案】a＝1且b≠±1.
【解析】因为分式的值为0，所以a－1＝0且a2－b2≠0.解得a＝1且b≠±1.
2. 已知非零实数x，y满足y＝ ，则 的值等于 ．
【答案】4
【解析】由y＝ 得：x﹣y＝xy，整体代入到代数式中求值即可．
由y＝ 得：xy+y＝x，
∴x﹣y＝xy，
∴原式＝
＝
＝4．
本题考查了求分式的值，对条件进行化简，得到x﹣y＝xy，把x﹣y看作整体，代入到代数式求值是
解题的关键．
3. 计算 ，正确的结果是（ ）
A．1 B． C．a D．
【答案】A．
【解析】∵ ＝ ＝ ＝1，∴选A．
4．化简 的结果是________.
【答案】
【解析】
.2a 1
−
5．计算a2 −16 a−4 的结果是___________．
【答案】
【解析】原式＝ ＝ ＝ ＝
．
6.计算：（m﹣ ）• ．
【答案】m+1．
【解析】利用分式的混合运算法则进行计算即可．
原式＝ •
＝ •
＝m+1．
7. 化简： ＝____________．
【答案】
【解析】根据分式混合运算的顺序，依次计算即可．
=
【点睛】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握约分，通分，因式分解的技巧是解题的关键．
考点3. 分式的化简求值1. 先化简,再求值 ,其中
【答案】
【解析】按照分式的加减乘除混合运算顺序，先算乘除，再算加减，分子分母能够因式分解的要因
式分解，能够约分的要约分，将结果化为最简，再把a的值代入进行计算．
＝
＝
=
=-a+1；
当a=3时，原式=-3+1=-2．
【点睛】本题考查了分式的混合运算，化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
2. 先化简，再求值： ，其中
【答案】 ，0
【解析】先算括号内的减法，再将除法变成乘法进行计算，然后根据锐角三角函数，负指数幂和零
次幂的性质求出a，最后代入计算．；
∵ ，
∴原式 ．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，锐角三角函数，负指数幂和零次幂的性质，熟练掌握运算法
则是解题的关键．
3. 先化简，再求值： ，其中m为满足－1＜m＜4的整数．
【答案】 ，当 时，式子的值为 ；当 时，式子的值为 ．
【解析】先计算括号内的分式加法，再计算分式的乘法，然后根据分式有意义的条件确定 的值，
代入计算即可得．
原式
，
，
，
又 为满足 的整数，
或 ，当 时，原式 ，
当 时，原式 ，
综上，当 时，式子的值为 ；当 时，式子的值为 ．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解题关键．
4. 先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】 ， ．
【解析】根据分式的混合运算法则化简，再将a的值代入化简之后的式子即可求出答案．
原式
．
当 时，原式 ．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．
