文档内容
专题 03 分式
模块一 考点类型
模块二 知识点一遍过
（一）分式的基本概念
（1）分式：形 如 （ A ， B 是整式，且 B 中含有字母， B ≠ 0 ）的式子叫做分式．
（2）与分式有关的结论
①分式无意义的条件是 B ＝ 0．
②分式有意义的条件是 B ≠ 0．
③分式值为0的条件是 A ＝ 0 且 B ≠ 0．
（二）分式的基本性质
（1）分式的基本性质
分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变.
＝，＝（其中M是不等于零的整式）．
（2）由基本性质可推理出变号法则为： ； .
（三）约分与通分
（1）约分：根据分式的基本性质将分子、分母中的公因式约去，叫做分式的约分．约分的依据是分
式的基本性质．
（2）通分：根据分式的基本性质将几个异分母的分式化为同分母的分式，这种变形叫分式的通分．
通分的关键是确定几个分式的最简公分母．
（四）分式的运算
分式的乘除
①乘法法则：
a c a⋅c
⋅ =
b d b⋅d
②除法法则：
a c a d a⋅d
÷ = ⋅ =
b d b c b⋅c
③分式的乘方：分式的加减
①同分母分式的加减：
；
②异分母分式的加法：
整数负指数幂：
0指数幂：
（五）分式化简求值
（1）仅含有乘除运算：首先观察分子、分母能否分解因式，若能，就要先分解后约分.
（2）含有括号的运算：注意运算顺序和运算律的合理应用.一般先算乘方，再算乘除，最后算加减，
若有括号，先算括号里面的．
失分点警示：分式化简求值问题，要先将分式化简到最简分式或整式的形式，再代入求值.代入数值
时注意要使原分式有意义.有时也需运用到整体代入.
模块三 考点一遍过
考点1：分式的定义
x x+ y 2 2xy 5
典例1：下列各式中 ， ，− ， ，− ，a−2，分式的个数有（ ）
5 15 m2 (x+ y) 2 11
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【知识点】分式的判断、负整数指数幂
【分析】本题考查了负整数指数幂，分式的定义，一般地，如果A、B（B不等于零）表示两个整式，
A
且B中含有字母，那么式子 就叫做分式，其中A称为分子，B称为分母，根据定义逐个分析，即可
B
求解．x x+ y 2 2xy 5 1 2 2xy
【详解】解：在 ， ，− ， ，− ，a−2= 中，− ， ，a−2是分式，共
5 15 m2 (x+ y) 2 11 a2 m2 (x+ y) 2
3个
故选：B．
3 a+b x+1 1 4ab x2y
【变式1】在代数式 ， ， ，
xy+x2y，
， 中，分式有（ ）
2a 2 4−x 2 π x
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【知识点】分式的判断
【分析】本题考查分式的定义．注意π是数字，不是字母．直接根据分式的定义判断．分母中含有
字母的是分式．
3 a+b x+1 1 4ab x2y 3 x+1
【详解】解：在代数式 ， ， ， xy+x2y， ， 中，分式有 ，− ，
2a 2 4−x 2 π x 2a 4−x
x2y
这3个，
x
故选：B．
b−5 x(y+z) x2−2xy+ y2 7
【变式2】下列各式中：3x−4，x2−1， ， ，0， ， ，其中分式共
a+1 6 2x+1 a+c
有 个．
【答案】3
【知识点】分式的判断
A
【分析】本题考查分式的判断，根据分式的定义，形如 ，B中含有字母，这样的式子叫做分式，
B
进行判断即可．
b−5 x(y+z) x2−2xy+ y2 7 b−5
【详解】解：3x−4，x2−1， ， ，0， ， 中，分式有 ，
a+1 6 2x+1 a+c a+1
x2−2xy+ y2 7
， 共3个；
2x+1 a+c
故答案为：3．
2 5 10 17 26
【变式3】观察下列分式： ,− , ,− , ⋯,按此规律第10个分式是 ．
x x2 x3 x4 x5
101
【答案】−
x10
【知识点】分式的规律性问题n2+1
【分析】本题考查了分式的变化规律．根据题目所给的前几个分式，总结出一般规律(−1)
n+1
，
xn
即可解答．
【详解】解：根据题意可得：
2 12+1
第1个分式： =(−1) 2 ，
x x
5 22+1
第2个分式：− =(−1) 3 ，
x2 x2
10 32+1
第3个分式： =(−1) 4 ，
x3 x3
17 42+1
第4个分式：− =(−1) 5 ，
x4 x4
26 52+1
第5个分式： =(−1) 6 ，
x5 x5
……
n2+1
第n个分式：(−1)
n+1
，
xn
102+1 101
∴第10个分式为(−1) 11 =− ，
x10 x10
101
故答案为：− ．
x10
考点2：分式有意义条件
x−5
典例2：x满足什么条件（ ）， 有意义
3x+5
5
A．x≠5 B．x≠−
3
5 5
C．x≠− 且x≠−5 D．x≠− 或x≠−5
3 3
【答案】B
【知识点】分式有意义的条件
【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，
根据分式有意义的条件，即分母不等于0，可得3x+5≠0，求出解即可．x−5
【详解】因为 有意义，
3x+5
所以3x+5≠0，
5
解得x≠− ．
3
故选：B．
1
【变式1】函数y=√2x−5+ 中，自变量x的取值范围是（ ）
x−3
5 5 5 5
A．x≠ B．x> 且x≠3 C．x≥ D．x≥ 且x≠3
2 2 2 2
【答案】D
【知识点】求自变量的取值范围、分式有意义的条件、二次根式有意义的条件
【分析】本题考查函数自变量有意义的条件，根据分式的分母不为零，二次根式的被开方数为非负
数解题即可．
【详解】解：由题可得：2x−5≥0，x−3≠0，
5
解得：x≥ 且x≠3，
2
故选：D．
−4
【变式2】（1）当x 时，等式 =−2成立；
x0+1
（2）当x 时，等式(x+5) −2=1成立．
【答案】 ≠0 =−4或−6
【知识点】零指数幂、负整数指数幂、分式有意义的条件、解分式方程
【分析】该题主要考查了零次幂、负整数指数幂，分式方程等知识点，解题的关键是掌握以上知识
点．
（1）根据非零实数的零次幂为1解答即可．
1
（2）根据负整数指数幂得出
=1求解即可．
(x+5) 2
【详解】解：∵当x≠0时，x0=1，
−4 −4
∴
= =−2，
x0+1 1+1
−4
即等式
=−2成立，
x0+1
故答案为：≠0．
1
（2）∵(x+5) −2= =1，
(x+5) 2∴(x+5) 2=1，x+5≠0，
解得：x=−4或−6，
经检验，x=−4或−6是方程的解．
故答案为：=−4或−6．
x+n a
【变式3】已知分式 （m，n为常数）满足表格中的信息，则 的值为 ．
2x−m b
x的取值 −4 4 a 16
无意
分式的值 0 0.1 b
义
【答案】20
【知识点】分式值为零的条件、解分式方程、分式无意义的条件
【分析】本题主要考查了分式无意义的条件，分式的求值，解分式方程，代数式求值等等，分式无
意义的条件是分母为0，据此可求出m的值；根据当x=4时，分式的值为0，可求出n的值，进而得
到关于a的方程，解方程求出a的值，再求出b的值即可得到答案，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：∵当x=−4时分式无意义，
∴2×(−4)−m=0，
∴m=−8；
∵当x=4时，分式的值为0，
∴4+n=0，
∴n=−4；
x−4
∴分式为 ，
2x+8
a−4 16−4 3
∴根据表格可知： =0.1，b= = ，
2a+8 2×16+8 10
解得：a=6，
经检验：a=6是原分式方程的解，
a 6
= =20
∴b 3 ，
10
故答案为：20．
考点3：分式的值
典例3：下列关于分式的判断，正确的是（ ）
x+1
A．当x=2时， 的值为0；
x−2x−3
B．当x≠3时， 有意义；
x
3
C．无论x为何值， 的值不可能是正整数
x+1
1
D．无论x为何值， 总有意义
x2+1
【答案】D
【知识点】分式有意义的条件、分式值为零的条件、求使分式值为整数时未知数的整数值
【分析】本题考查了分式有意义的条件及分式值为零的条件，理解这两个条件是关键；根据分式有
意义的条件及分式值为零的条件去判断即可．
【详解】解：A、当x=2时，分式无意义，故判断错误；
x−3
B、当x≠0时， 有意义，故判断错误；
x
3
C、当x=0时， 的值是正整数3，故判断错误；
x+1
1
D、由于x2+1>0，则无论x为何值， 总有意义，故判断正确；
x2+1
故选：D．
c a b 1 1 1
【变式1】a，b，c均为正数且a+b+c=5，已知 + + =2，求 + +
a+b b+c a+c a+b b+c a+c
（ ）
6
A．1 B． C．3 D．2
5
【答案】A
【知识点】分式的求值
( c ) ( a ) ( b )
【分析】本题主要考查了分式的求值，先求出 +1 + +1 + +1 =5，即可得得到
a+b b+c a+c
a+b+c a+b+c a+b+c
+ + =5，再由a+b+c=5即可得到答案．
a+b b+c a+c
c a b
【详解】解：∵ + + =2，
a+b b+c a+c
( c ) ( a ) ( b )
∴ +1 + +1 + +1 =2+3=5，
a+b b+c a+c
a+b+c a+b+c a+b+c
∴ + + =5
a+b b+c a+c( 1 1 1 )
∴(a+b+c) + + =5，
a+b b+c a+c
∵a+b+c=5，
1 1 1
∴ + + =1，
a+b b+c a+c
故选：A．
ab bc ac abc
【变式2】已知 =2， =3， =1，则 = ．
a+b b+c a+c ab+bc+ac
12 1
【答案】 /1
11 11
【知识点】分式的求值、通分
【分析】本题主要考查了分式化简求值，解题的关键是熟练掌握分式加减运算法则，分别把已知的
三个等式的分子分母倒过来，然后利用分式的性质化简，最后把所求分式也倒过来即可求解．
ab bc ac
【详解】解：因为 =2， =3， =1，
a+b b+c a+c
a+b 1 b+c 1 a+c
所以 = ①， = ②， =1③，
ab 2 bc 3 ac
a+b b+c a+c 1 1
①+②+③得 + + = + +1，
ab bc ac 2 3
2(ab+bc+ac) 11
通分可得 = ，
abc 6
(ab+bc+ac) 11
所以 = ，
abc 12
abc 12
所以 = ．
ab+bc+ac 11
12
故答案为： ．
11
2x−2y
【变式3】已知4x2+ y2+4x−6 y+10=0，则 的值为 ．
x+ y
14
【答案】−
5
【知识点】完全平方公式分解因式、分式的求值
【分析】本题考查了完全平方公式，求分式的值；先利用完全平方公式进行化简，得到
(x+2) 2+(y−3) 2=0，然后利用非负性求出x、y的值，即可求出答案.
【详解】解：∵4x2+ y2+4x−6 y+10=0，∴(2x+1) 2+(y−3) 2=0，
∴2x+1=0，y−3=0，
1
∴x=− ，y=3；
2
( 1)
2× − −2×3
2x−2y 2 −7 14
∴ = = =− ；
x+ y 1 5 5
− +3
2 2
14
故答案为：− .
5
考点4：分式的基本性质
典例4：下列式子从左到右变形，正确的是（ ）
y+1 (y+1) 2 x+2 x
A． = B． =
y−1 (y−1)(y+1) y+2 y
4x2 2x x x2
C． = D． =
2xy y y y2
【答案】C
【知识点】判断分式变形是否正确
【分析】本题主要考查了分式的性质，分式的分子和分母同时乘以或除以一个不为0的数，分式的
值不变．根据分式的性质逐项进行判断即可．
y+1 (y+1) 2
【详解】解：A、当y≠−1时， = ，故本选项不符合题意；
y−1 (y−1)(y+1)
x+2 x
B、 ≠ ，故本选项不符合题意；
y+2 y
4x2 2x
C、 = ，故本选项不符合题意；
2xy y
x x2
D、 ≠ ，故本选项不符合题意；
y y2
故选：C．
3ab
【变式1】若分式 中的a、b的值同时扩大到原来的10倍，则分式的值（ ）
a+b
A．是原来的20倍 B．是原来的10倍
C．是原来的0.1倍 D．不变【答案】B
【知识点】利用分式的基本性质判断分式值的变化
【分析】本题主要考查了分式基本性质．依题意分别用10a和10b去代换原分式中的a和b，利用分
式的基本性质化简即可．
3ab 3×10a×10b 10×3ab
【详解】解：分式 中的a、b的值同时扩大到原来的10倍，得 = ，
a+b 10a+10b a+b
即分式的值是原来的10倍，故B正确．
故选：B．
0.02x+0.5 y
【变式2】不改变分式的值，将分式 中的分子、分母的系数化为整数，其结果为
x+0.004 y
．
5x+125 y
【答案】
250x+ y
【知识点】将分式的分子分母各项系数化为整数
【分析】本题考查了分式的基本性质：分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的
值不变．把分子、分母都乘以1000即可求解．
0.02x+0.5 y (0.02x+0.5 y)×1000 20x+500 y 5x+125 y
【详解】解： = = = ．
x+0.004 y (x+0.004 y)×1000 1000x+4 y 250x+ y
5x+125 y
故答案为： ．
250x+ y
【变式3】在括号里填上适当的整式：
3c 15ac
（1） = ； ．
2ab ()
3xy ()
（2） = ； ．
x2−2x x−2
3ab 6a2b
（3） = ． ．
a+b ()
【答案】 10a2b 3 y 2a(a+b)
【知识点】判断分式变形是否正确
【分析】本题考查了分式的性质．根据分式的性质计算即可求解．
3c 3c⋅5a 15ac
【详解】解：（1） = = ；
2ab 2ab⋅5a 10a2b
故答案为：10a2b；
3xy 3xy 3 y
（2） = = ；
x2−2x x(x−2) x−2
故答案为：3 y；3ab 3ab⋅2a 6a2b
（3） = = ．
a+b (a+b)⋅2a 2a(a+b)
故答案为：2a(a+b)．
考点5：约分与最简分式
典例5：下列约分正确的是（ ）
x6 x+ y x+ y 1 2x y2 1
A． =x3 B． =0 C． = D． =
x2 x+ y x2+xy x 4x2y 2
【答案】C
【知识点】约分
【分析】本题考查了约分，根据分式的性质逐项分析即可得解，熟练掌握分式的性质是解此题的关
键．
x6
【详解】解：A、
=x4
，故约分错误，不符合题意；
x2
x+ y
B、 =1，故约分错误，不符合题意；
x+ y
x+ y x+ y 1
C、 = = ，故约分正确，符合题意；
x2+xy x(x+ y) x
2x y2 2xy⋅y y
D、 = = ，故约分错误，不符合题意；
4x2y 2xy⋅2x 2x
故选：C．
【变式1】下列分式中是最简分式的是（ ）
x2+xy x2−4 5 x2+6x+9
A． B． C． D．
5x+xy x+2 x2+1 x2−9
【答案】C
【知识点】最简分式
【分析】本题主要考查最简分式，一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式．根据最简分
式的概念求解即可．
x2+xy x(x+ y) x+ y
【详解】A． = = ，不符合题意；
5x+xy x(5+ y) 5+ y
x2−4 (x−2)(x+2)
B． = =x−2，不符合题意；
x+2 x+25
C． 是最简分式，符合题意；
x2+1
x2+6x+9 (x+3) 2 x+3
D． = = ，不符合题意；
x2−9 (x+3)(x−3) x−3
故选：C．
a−3 x−y m 2
【变式2】下列4个分式中：① ；② ；③ ；④ ，最简分式有 个．
a2+3 x2−y2 2m2n m+1
【答案】2
【知识点】最简分式
【分析】本题考查了最简分式，若一个分式的分子与分母没有公因式，那么这个分式就叫做最简分
式，据此逐一判断即可求解，掌握最简分式的定义是解题的关键．
a−3
【详解】解：① 是最简分式，符合题意；
a2+3
x−y x−y 1
= =
② ，不是最简分式，不合题意；
x2−y2 (x+ y)(x−y) x+ y
m 1
=
③ ，不是最简分式，不合题意；
2m2n 2mn
2
④ 是最简分式，符合题意；
m+1
∴最简分式有2个，
故答案为：2．
18xy x2−4
【变式3】化简： = ， =
27x2y2 x2+5x+6
2 2 x−2
【答案】 /
3xy 3 yx x+3
【知识点】约分
【分析】本题主要考查了分式的约分，掌握分式的基本性质是解答本题的关键．根据分式的基本性
质解答即可．
18xy 2
=
【详解】解： ，
27x2y2 3xy
x2−4 (x+2)(x−2) x−2
= = ，
x2+5x+6 (x+2)(x+3) x+3
2 x−2
故答案为： ， ．
3xy x+3
考点6：通分与最简公分母a−1 1 a−1 1
典例6：把 与 通分后， 的分母为(1−a)(a+1) 2，则 的分子变为
a2+2a+1 1−a2 a2+2a+1 1−a2
（）
A．1−a B．1＋a C．−1−a D．−1+a
【答案】B
【知识点】通分
【分析】直接利用已知进行通分运算，进而得出答案．
1 1 1+a
= =
【详解】解∶ ，
1−a2 (1−a)(1+a) (1−a)(1+a) 2
1
故 的分子为1+a．
1−a2
故选∶B．
【点睛】此题主要考查了通分，正确进行通分运算是解题关键．
【变式1】下列说法中，正确的是（ ）
2 1
A． 与 的最简公分母是5a2b
3ab 2a2
1 1
B． 与 的最简公分母是(a+b) 2
a+b2 a2+b
a+1 b+1
C． 与 的最简公分母是(a−b)(a+b)
(a−b)(a+b) (b−a)(b+a)
1 1
D． 与 的最简公分母是(x2−2x+1)⋅(x2−1)
x2−2x+1 x2−1
【答案】C
【知识点】最简公分母
【分析】本题考查了分式的最简公分母，属于简单题，熟悉概念是解题关键．
根据最简公分母定义：数字部分要取最小公倍数，相同字母取最高次幂，并且包含所有字母都要出
现，熟悉概念即可解题．
2 1
【详解】A． 与 的最简公分母是6a2b，选项错误；
3ab 2a2
1 1
B． 与 的最简公分母是(a+b2)(a2+b)，选项错误；
a+b2 a2+b
a+1 b+1
C． 与 的最简公分母是(a−b)(a+b)，选项正确；
(a−b)(a+b) (b−a)(b+a)
1 1
D． 与 的最简公分母是(x−1) 2 (x+1)，选项错误．
x2−2x+1 x2−1
故选：C．3 1 x
【变式2】分式 ， ， 的最简公分母是 ．
2x−2 x2+x x2−1
【答案】2x(x+1)(x−1)
【知识点】最简公分母
【分析】本题考查了求最简公分母．根据最简公分母就是各分母所有因式的最高次幂的积，进行作
答即可．
3 3 1 1 x x
= = =
【详解】解：因为 ， ， ，
2x−2 2(x−1) x2+x x(x+1) x2−1 (x+1)(x−1)
所以它们的最简公分母是2x(x+1)(x−1)，
故答案为：2x(x+1)(x−1)．
2x+7 M N
【变式3】对于任意的x值都有 = + ，则M，N值为 ．
x2+x−2 x+2 x−1
【答案】−1,3
【知识点】通分、异分母分式加减法、加减消元法
【分析】本题考查分式的加法运算，涉及异分母分式加法运算、通分、多形式相等的条件等知识，
由题中给的等式，将右边异分母分式通分后相加，再由等式左右两边分子相等列方程组求解即可得
到答案，熟记分式的加法运算法则是解决问题的关键．
M N
【详解】解：∵ +
x+2 x−1
M(x−1) N(x+2)
= +
(x+2)(x−1) (x+2)(x−1)
M(x−1)+N(x+2)
=
(x+2)(x−1)
Mx−M+Nx+2N
=
(x+2)(x−1)
(M+N)x+(2N−M)
=
x2+x−2
2x+7
=
，
x2+x−2
∴¿，解得¿，
故答案为：−1,3．
考点7：分式的运算——加减乘除
典例7：计算：a2+2a+1 a2−1
(1) ÷ ；
2a+6 3a+a2
3 6x
(2) − ；
x−3 x2−9
(a−4 ) a−1
(3) −a+2 ÷ ．
a+2 a2−4
a2+a
【答案】(1)
2a−2
3
(2)−
x+3
(3)−a2+2a
【知识点】异分母分式加减法、分式加减乘除混合运算、分式除法
【分析】本题主要考查分式的除法，分式的减法以及分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本
题的关键．
（1）原式中分子与分母各自因式分解，再将除法转换为乘法后进行约分计算即可；
（2）将原式中的分母通分后，根据同分母分式加减法法则进行计算即可；
（3）原式先计算括号内的，再把除法转换为乘法，进行约分计算即可．
a2+2a+1 a2−1
【详解】（1）解： ÷
2a+6 3a+a2
(a+1) 2 a(a+3)
= ⋅
2(a+3) (a+1)(a−1)
a(a+1)
=
2(a−1)
a2+a
= ；
2a−2
3 6x
（2）解： −
x−3 x2−9
3 6x
= −
x−3 (x+3)(x−3)
3(x+3) 6x
= −
(x+3)(x−3) (x+3)(x−3)3(x+3)−6x
=
(x+3)(x−3)
9−3x
=
(x+3)(x−3)
3(3−x)
=
(x+3)(x−3)
3
=− ；
x+3
(a−4 ) a−1
（3）解： −a+2 ÷
a+2 a2−4
a−4−(a−2)(a+2) a−1
= ÷
a+2 a2−4
a−4−a2+4 a−1
= ÷
a+2 (a+2)(a−2)
−a(a−1) (a+2)(a−2)
= ⋅
a+2 a−1
=−a2+2a．
【变式1】计算下列各题
2x−6 x2−4
(1) ⋅
x2−4x+4 x−3
3 2x 1
(2) − −
x−1 1−x2 x+1
a2−3a a−3 2a+4
(3) + −
2a2+2a a2+2a+1 a+2
( 5 ) x−3
(4) −x−2 +
x−2 3x2−6x
2x+4
【答案】(1)
x−2
4
(2)
x−1
−3a2−8a−13
(3)
2(a+1) 2−3x3+28x−3
(4)
3x2−6x
【知识点】分式乘法、异分母分式加减法
【分析】本题主要考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
（1）先将分子分母分解因式，再进行分式的约分即可求解；
（2）先通分再进行分式的加减运算即可求解；
（3）先将分子分母分解因式化简后再进行通分计算即可求解；
（4）先将分式通分再进行加减计算即可求解．
2x−6 x2−4
【详解】（1）解： ⋅
x2−4x+4 x−3
2(x−3) (x+2)(x−2)
= ·
(x−2) 2 x−3
2x+4
= ；
x−2
3 2x 1
（2）解： − −
x−1 1−x2 x+1
3x+3+2x−(x−1)
=
x2−1
4(x+1)
=
(x+1)(x−1)
4
= ；
x−1
a2−3a a−3 2a+4
（3）解： + −
2a2+2a a2+2a+1 a+2
a(a−3) a−3 2(a+2)
= + −
2a(a+1) (a+1) 2 a+2
a−3 a−3
= + −2
2(a+1) (a+1) 2
(a−3)(a+1)+2(a−3)−4(a+1) 2
=
2(a+1) 2
−3a2−8a−13
= ；
2(a+1) 2( 5 ) x−3
（4）解： −x−2 +
x−2 3x2−6x
9−x2 x−3
= +
x−2 3x(x−2)
27x−3x3+x−3
=
3x(x−2)
−3x3+28x−3
= ．
3x2−6x
【变式2】计算：
x2 y2
(1) + ；
x−y y−x
x2−5 x 1+x
(2) − − ；
x−2 x−2 2−x
2a+2 a2−1
(3) ÷(a+1)− ．
a−1 a2−2a+1
【答案】(1)x+ y
(2)x+2
(3)−1
【知识点】分式加减乘除混合运算、分式加减混合运算
【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的运算法则是解答本题的关键．
（ 1）原式变形后，利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果；
（ 2）原式变形后，利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果；
（ 3）原式第一项利用除法法则变形，约分得到结果，第二项约分得到结果，再利用同分母分式的
减法法则计算即可得到结果．
x2 y2 x2−y2
【详解】（1）解：原式= − =
x−y x−y x−y
(x−y)(x+ y)
=
x−y
=x+ y；
x2−5−x+1+x
（2）解：原式=
x−2
(x+2)(x−2)
=
x−2=x+2；
2(a+1) 1 (a+1)(a−1)
（3）解：原式= ⋅ −
a−1 a+1 (a−1) 2
2 a+1
= −
a−1 a−1
2−a−1
=
a−1
−(a−1)
=
a−1
=−1．
【变式3】计算：
a+b a−b
(1) −
ab ab
( 5 ) 3−a
(2) −a−2 ÷
a−2 4−2a
( 1 ) x−1
(3) 1− ÷
x2 x
3x+2 5(1−x)
+
(4)
x−1 (1−x) 2
2
【答案】(1)
a
(2)−2a−6
x+1
(3)
x
(4)3
【知识点】异分母分式加减法、分式加减乘除混合运算
【分析】本题考查了分式的混合运算；
（1）根据同分母分式的减法进行计算即可求解；
（2）先计算括号里面的异分母分式减法，再计算分式的除法即可；
（3）利用分式的除法法则先将除法转化为乘法，再利用分式的乘法法则约分计算即可得解；
（4）先化简，然后根据同分母分式的加法进行计算即可求解．
a+b a−b
【详解】（1）解： −
ab aba+b−a+b
=
ab
2b
=
ab
2
= ；
a
( 5 ) 3−a
（2）解： −a−2 ÷
a−2 4−2a
[ 5 (a+2)(a−2)] 3−a
= − ÷
a−2 a−2 4−2a
5−a2+4 2(2−a)
= ×
a−2 3−a
(3+a)(3−a) 2(2−a)
= ×
a−2 3−a
=−2(3+a)
=−2a−6；
( 1 ) x−1
（3）解： 1− ÷
x2 x
x2−1 x
= ×
x2 x−1
(x+1)(x−1) x
= ×
x2 x−1
x+1
= ；
x
3x+2 5(1−x)
（4）解： +
x−1 (1−x) 2
3x+2 5
= +
x−1 1−x
3x+2 5
= −
x−1 x−1
3(x−1)
=
x−1
=3．
【变式4】计算−m2n −6xy
(1) ⋅ ；
3x 5mn2
x−2 x2−9
(2) ⋅ ；
x+3 x2−4x+4
b2 a a2
(3) ÷ ⋅ ；
a+b a2−b2 a−b
2x 3x−2
(4) − ；
x−2 x−2
2 8
(5) − ；
x−2 x2−4
(
x2
)
4x2−4x+1
(6) −x+1 ÷
x−1 1−x
2my
【答案】(1)
5n
x−3
(2)
x−2
(3)ab2
(4)−1
2
(5)
x+2
1
(6)−
2x−1
【知识点】分式乘除混合运算、分式加减乘除混合运算、分式乘法、异分母分式加减法
【分析】（1）根据分式的乘法运算法则解答即可；
（2）根据分式的乘法运算法则解答即可；
（3）根据分式的乘法，除法混合运算法则解答即可；
（4）根据同分母分式的减法计算即可；
（5）根据异分母分式的减法计算即可；
（6）根据得加减乘除混合预算解答即可
−m2n −6xy
【详解】（1）解： ·
3x 5mn2
m 2y
= ×
1 5n2my
= ．
5n
x−2 x2−9
（2）解： ·
x+3 x2−4x+4
x−2 (x+3)(x−3)
= ·
x+3 (x−2) 2
x−3
= ．
x−2
b2 a a2
（3）解： ÷ ·
a+b a2−b2 a−b
b2 (a+b)(a−b) a2
= · ·
a+b a a−b
=ab2．
2x 3x−2
（4）解： −
x−2 x−2
2x−(3x−2)
=
x−2
2x−3x+2
=
x−2
=−1．
2 8
（5）解： −
x−2 x2−4
2 8
= −
x−2 (x+2)(x−2)
2x+4−8
=
(x+2)(x−2)
2(x−2)
=
(x+2)(x−2)
2
= ．
x+2
(
x2
)
4x2−4x+1
（6）解： −x+1 ÷
x−1 1−x
(x2−x2+x+x−1) (2x−1) 2
= ÷
x−1 1−x2x−1 1−x
= ×
x−1 (2x−1) 2
1
=− ．
2x−1
【点睛】本题考查了分式的加减运算，分式的乘除法运算，分式的加减，乘除混合运算，约分，因
式分解，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【变式5】化简：
a+2 ( 2)
(1) ÷ 1+ ；
a2 a
(
a+3) a2−1
(2) a−1+ ÷ ．
a+2 a+2
1
【答案】(1) ；
a
a+1
(2) ．
a−1
【知识点】分式加减乘除混合运算
【分析】本题主要考查了分式的混合计算：
（1）先把小括号内的式子通分，再把除法变成乘法后约分化简即可得到答案；
（2）先把小括号内的式子通分，再把除法变成乘法后约分化简即可得到答案．
a+2 a+2
【详解】（1）解：原式= ÷
a2 a
a+2 a
= ⋅
a2 a+2
1
=
∙
a
a2−a+2a−2+a+3 a2−1
（2）解：原式= ÷
a+2 a+2
a2+2a+1 a+2
= ⋅
a+2 (a+1)(a−1)
(a+1) 2 a+2
= ⋅
a+2 (a+1)(a−1)
a+1
= ．
a−1
【变式6】计算：xy x2
(1)(xy−x2)⋅ ÷ ；
x2−2xy+ y2 x−y
( 1 ) 2 x2−x+1
(2)1− x− ÷ ．
1−x x2−2x+1
【答案】(1)−y
(2)−x2+x
【知识点】分式加减乘除混合运算
【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的运算法则是解题关键．
（1）先化简、将除法变形为乘法，再计算分式的乘法即可得；
（2）先计算括号内的减法，再计算乘方，然后计算除法，最后计算加减法即可得．
xy x−y
【详解】（1）解：原式 =x(y−x)⋅ ⋅
(x−y) 2 x2
xy x−y
=−x(x−y)⋅ ⋅
(x−y) 2 x2
=−y．
[x(1−x) 1 ] 2 x2−x+1
（2）解：原式=1− − ÷
1−x 1−x (x−1) 2
(x−x2−1) 2 (x−1) 2
=1− ⋅
1−x x2−x+1
(x2−x+1) 2 (x−1) 2
=1− ⋅
x−1 x2−x+1
(x2−x+1) 2 (x−1) 2
=1− ⋅
(x−1) 2 x2−x+1
=1−(x2−x+1)
=1−x2+x−1
=−x2+x．
【变式7】计算：
(−cd3 ) −3 2a (cd) 2
(1) ÷ ⋅
2a2b d6 2a2 ( 2 1 )
(2) ÷ +
x−1 x2−1 x+1
a2−6ab+9b2 ( 5b2 ) 1
(3) ÷ a+2b+ +
a2−2ab 2b−a a
(a+b) 2 a−b a2 a
(4) ⋅ − ÷
a−b a+b a2−b2 4b
a3b3
【答案】(1)−
cd
(2)2
2
(3)
a+3b
a−b
(4)
a+b
【知识点】分式加减乘除混合运算
【分析】本题考查分式的混合运算：
（1）原式先计算乘方运算，再计算乘除运算即可得到结果；
（2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得
到结果；
（3）原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分后两项
通分并利用同分母分式的加法法则计算即可得到结果；
（4）原式先计算乘方及除法运算，再计算加减运算即可得到结果．
(−cd3 ) −3 2a (cd) 2
【详解】（1）解： ÷ ⋅
2a2b d6 2a
8a6b3 d6 c2d2
=− ⋅ ⋅
c3d9 2a 4a2
a3b3
=− ；
cd
2 ( 2 1 )
（2）解： ÷ +
x−1 x2−1 x+1
2 2+x−1
= ÷
x−1 (x+1)(x−1)
2 (x+1)(x−1)
= ⋅
x−1 x+1=2；
a2−6ab+9b2 ( 5b2 ) 1
（3）解： ÷ a+2b+ +
a2−2ab 2b−a a
(a−3b) 2 a2−4b2−5b2 1
= ÷ +
a(a−2b) a−2b a
(a−3b) 2 a−2b 1
= ⋅ +
a(a−2b) (a+3b)(a−3b) a
a−3b 1
= +
a(a+3b) a
a−3b+a+3b
=
a(a+3b)
2a
=
a(a+3b)
2
= ；
a+3b
(a+b) 2 a−b a2 a
（4）解： ⋅ − ÷
a−b a+b a2−b2 4b
(a+b) 2 a−b a2 4b
= ⋅ − ⋅
(a−b) 2 a+b (a+b)(a−b) a
a+b 4ab
= −
a−b (a+b)(a−b)
(a+b) 2−4ab
=
(a+b)(a−b)
(a−b) 2
=
(a+b)(a−b)
a−b
= ．
a+b
【变式8】计算
a−2 a2−4
(1) ÷
a+3 a2+6a+9
a2−1 a2−a
(2) ÷
a2+2a+1 a+1a−1 a2−1
(3) ÷
a a2+2a
x2−2xy+ y2 x−y
(4)(xy−x2)÷ ⋅ ．
xy x2
a+3
【答案】(1)
a+2
1
(2)
a
a+2
(3)
a+1
(4)−y
【知识点】分式除法、分式乘除混合运算
【分析】本题考查了分式的乘除运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
（1）把除法转化为乘法，把分子、分母约分化简即可；
（2）把除法转化为乘法，并把分子、分母约分化简即可；
（3）把除法转化为乘法，并把分子、分母约分化简即可；
（4）把除法转化为乘法，并把分子、分母约分化简即可；
a−2 (a+3) 2 a+3
【详解】（1）解：原式= ⋅ = ；
a+3 (a+2)(a−2) a+2
(a+1)(a−1) a+1 1
（2）解：原式= ⋅ = ；
(a+1) 2 a(a−1) a
a−1 a(a+2) a+2
（3）解：原式= · = ；
a (a+1)(a−1) a+1
xy x−y
（4）解：原式 =x(y−x)· ⋅ =−y．
(x−y) 2 x2
【变式9】计算
4ac 9b2
(1) ⋅
3b 2ac3
a2−4 12ab
(2) ⋅
8a2b 3a−616−a2
(3)(a−4)⋅
a2−8a+16
2m+4 2m−4
(4) ⋅(m2−4) ⋅ ．
m2−4m+4 m4−16
6b
【答案】(1)
c2
a+2
(2)
2a
(3)−4−a
4(m+2)
(4)
(m−2)(m2+4)
【知识点】分式乘法
【分析】本题考查分式的乘法运算，将分子乘分子作为积的分子，分母乘分母作为积的分母，能约
分的进行约分即可．
（1）直接根据分式的乘法法则进行计算即可；
（2）直接根据分式的乘法法则进行计算即可；
（3）直接根据分式的乘法法则进行计算即可；
（4）直接根据分式的乘法法则进行计算即可．
6b
【详解】（1）解：原式= ；
c2
(a+2)(a−2) 12ab
（2）解：原式= ⋅
8a2b 3(a−2)
a+2
＝ ；
2a
−(a+4)(a−4)
（3）解：原式=(a−4)⋅
(a−4) 2
=−4−a；
2(m+2) 2(m−2)
（4）解：原式= ⋅(m+2)(m−2)⋅
(m−2) 2 (m2+4)(m2−4)
2(m+2) 2 2(m−2)
= ⋅
m−2 (m2+4)(m+2)(m−2)4(m+2)
=
．
(m−2)(m2+4)
【变式10】计算：
x−2 x2−6x+9
(1) ·
3−x x2−4
3x−6 x+2
(2) ÷
x2−4 x2+4x+4
x2−2x+1 x−1
(3) ÷
x2−1 x2+x
a2−1 a2−a a2
(4) ÷ ÷ ．
a2+2a+1 a+1 a+1
x−3
【答案】(1)−
x+2
(2)3
(3)x
a+1
(4)
a3
【知识点】分式乘法、分式除法
【分析】本题考查了分式的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
（1）把分子、分母约分化简即可；
（2）把除法转化为乘法，并把分子、分母约分化简即可；
（3）把除法转化为乘法，并把分子、分母约分化简即可；
（4）把除法转化为乘法，并把分子、分母约分化简即可；
x−2 (x−3) 2 x−3
【详解】（1）解：原式= · =− ；
3−x (x−2)(x+2) x+2
3(x−2) (x+2) 2
（2）解：原式= · =3；
(x−2)(x+2) (x+2)
(x−1) 2 x(x+1)
（3）解：原式= · =x；
(x−1)(x+1) x−1
(a−1)(a+1) a+1 a+1 a+1
（4）解：原式＝ ⋅ ⋅ = ．
(a+1) 2 a(a−1) a2 a3考点8：分式的运算——0/负指数幂
典例8：下列计算正确的是（ ）
(1) 0
A．a−1÷a−3=a2 B． =0
3
(1) −2 1
C． = D．a3+a3=a6
2 4
【答案】A
【知识点】零指数幂、负整数指数幂、合并同类项、同底数幂的除法运算
【分析】本题考查了零指数幂与负整数指数幂，同底数幂的除法，同类项合并；掌握这些知识是关
键；分别按照同底数幂的除法，零指数幂，负整数指数幂，同类项合并的知识进行分析判断即可；
【详解】解：A、a−1÷a−3=a−1−(−3)=a2，故计算正确；
(1) 0
B、 =1，故计算错误，不符合题意；
3
C、
(1) −2
=22=4，故计算错误，不符合题意；
2
D、a3+a3=2a3，故计算错误，不符合题意；
故选：A．
( 1) −2 (1) 0
【变式1】若a=−0.32，b=−32，c= − ，d= ，则a，b，c，d的大小关系为（ ）
3 3
A．ad>b>a/a1>−0.09>− ，
9
∴c>d>b>a．
故答案为：c>d>b>a．
【变式4】计算：(−2x2y) 2 ÷(2x−1y)⋅(x−5y−1)= ．
【答案】2
【知识点】分式乘法、负整数指数幂、积的乘方运算
【分析】本题考查了积的乘方、负整数指数幂、单项式的乘除，先根据积的乘方和负整数指数幂进
行计算，再根据单项式的乘除运算法则计算即可得出答案．
【详解】解： (−2x2y) 2 ÷(2x−1y)⋅(x−5y−1)=4x4 y2÷ 2y ⋅ 1 =4x4 y2 ⋅ x ⋅ 1 =2，
x x5y 2y x5y
故答案为：2．
考点9：分式的运算——化简求值(x2−2x+1 4−x2 ) x−4
典例9：先化简： − ÷ ，然后从¿的解集中选一个x的整数值代入求值．
x2−x x2+2x x
2x−3 1
【答案】 ，当x=−1时，原式=1；当x=2时，原式=− ．
x−4 2
【知识点】分式化简求值、求一元一次不等式组的整数解
【分析】本题考查了分式的化简求值，解不等式组．先根据完全平方公式、平方差公式以及分式的
乘法运算化简分式，然后解不等式，将x的值代入原式即可求出答案．
[ (x−1) 2 (x+2)(x−2)] x
【详解】解：原式= + ⋅
x(x−1) x(x+2) x−4
(x−1 x−2) x
= + ⋅
x x x−4
2x−3 x
= ⋅
x x−4
2x−3
= ．
x−4
由¿，
解得−2
