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专题 03 位似（分层训练）
【基础训练】
一、单选题
1．如图，以原点O为位似中心，将△OAD放大为原来的2倍，得到△OBC．点D(2，2)是抛物线
y=ax2+bx+c的顶点，点C在抛物线上，则抛物线的解析式是（ ）
1 1
A．y= x2+2x+4 B．y=x2−4x+6 C．y= (x−2) 2+2 D．
2 2
y=(x−2) 2+2
【答案】C
【知识点】待定系数法求二次函数解析式、求位似图形的对应坐标
【分析】本题考查了位似图形的性质，待定系数法求二次函数的解析式．利用位似图形的性质求得
点C(4，4)，再利用待定系数法求解即可．
【详解】解：∵将△OAD放大为原来的2倍，得到△OBC，点D(2，2)，
∴点C(2×2，2×2)，即点C(4，4)，
∵点D(2，2)是抛物线y=ax2+bx+c的顶点，
∴y=a(x−2) 2+2，
将C(4，4)代入得，4=a(4−2) 2+2，
1
解得a= ，
2
1
∴抛物线的解析式是y= (x−2) 2+2，
2
故选：C．
2．如图，将视力表中的两个“E”放在平面直角坐标系中，两个“E”是位似图形，且相似比为2:1，
位似中心为坐标原点O，点M与点N为一组对应点，若点M的坐标为(1,2)，则点N的坐标为（ ）A．(2,3) B．(2,4) C．(3,4) D．(1,4)
【答案】B
【知识点】求位似图形的对应坐标
【分析】本题考查关于原点位似的坐标特征，根据这个特征求解即可．
【详解】解：∵两个“E”的相似比为2:1，点M的坐标为(1,2)，
∴点N的坐标为(2,4)，
故选B．
3．如图， ABC与 ADE成位似图形，位似中心为点A，若AD:AB=1:3，则 ADE与四边形
DECB面积△之比为（△ ） △
A．1:2 B．1:3 C．1:8 D．1:9
【答案】C
【知识点】求两个位似图形的相似比、利用相似三角形的性质求解
【分析】由相似三角形面积比等于相似比的平方，可求得S ：S 的值，继而求得 ADE与四
ADE ABC
△ △
边形DBCE的面积比． △
【详解】解：∵△ABC与 ADE成位似图形，位似中心为点A，
∴△ADE△ABC， △
∵AD：AB=1：3，
∴S ：S =1：9，
ADE ABC
△ △
∴S ：S =1：8．
ADE 四边形DBCE
△
故选：C．
【点睛】本题考查了位似变换，注意掌握相似三角形面积比等于相似比的平方定理的应用是解此题
的关键．
4．如图，在平面直角坐标系中，已知A(1,0)，D(3,0)，且△ABC与△≝¿位似，原点O是位似中心，若△ABC的面积为0.6，则△≝¿的面积为（）
A．1.2 B．2.4 C．5.4 D．6
【答案】C
【知识点】在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比
AO AB 1
【分析】根据位似图形的性质得出AO,DO的长，进而得出 = = ，求出DE的长即可．
DO DE 3
【详解】解：∵△ABC与△≝¿是位似图形，它们的位似中心恰好为原点，已知A点坐标为(1,0),D
点坐标为(3,0)，
∴AO=1,DO=3,
AO AB 1
∴ = = ,
DO DE 3
S
∴ △ABC
1
S = ¿
△≝¿ 9
∵S =0.6,
△ABC
∴S
△≝¿=0.6×9=5.4.¿
故选：C．
AO
【点睛】此题主要考查了位似图形的性质以及坐标与图形的性质，根据已知点的坐标得出 =
DO
AB 1
= 是解题关键．
DE 3
5．如图，已知△ABC和△ADE是以点A为位似中心的位似图形，且S =4S ，则△ABC和
ΔABC ΔADE
△ADE的位似比是（ ）
A．1∶4 B．4∶1 C．1∶2 D．2∶1
【答案】D【知识点】求两个位似图形的相似比
【分析】根据相似三角形的性质求出相似比，进而求出位似比．
【详解】解：∵△ABC和△ADE是以点A为位似中心的位似图形，
∴△ABC∽△ADE，
∵S =4S ，
ΔABC ΔADE
∴△ABC和△ADE的相似比是2：1，即△ABC和△ADE的位似比是2：1，
故选：D．
【点睛】本题考查的是位似变换的概念和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题
的关键．
6．如图，平面直角坐标系中，△ABC与△≝¿关于原点O位似，OB=2OE，若四边形AOCB的面积
为4，则四边形FODE的面积为（ ）
1 3
A． B．1 C． D．2
2 2
【答案】B
【知识点】在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比
【分析】直接利用位似图形的性质得出△≝¿与△ABC的面积比，得出四边形AOCB与四边形
FODE的位似比，推出四边形AOCB与四边形FODE的面积比，即可得出答案．
【详解】∵△ABC与△≝¿关于原点O位似，OB=2OE，
∴△ABC与△≝¿的相似比为：2:1，
∵OB=2OE，
∴△AOB与△FOE的相似比为：2:1，△COB与△DOE的相似比为：2:1，
∵S =S +S ，S =S +S ，
四边形AOCB △AOB △BCO 四边形FODE △FOE △EDO
∴四边形AOCB与四边形FODE的位似比为：2:1，
∴四边形AOCB与四边形FODE的面积比为：4:1，
∵四边形AOCB的面积为4，
∴四边形FODE的面积为1
故选：B
【点睛】此题主要考查了位似变换，熟练掌握位似变换的相关知识是解题的关键．7．如图，△A′B′C′是△ABC以点O为位似中心经过位似变换得到的，若OB′:B′B=3:2，则
△A′B′C′的面积与△ABC的面积之比为（ ）
A．3:5 B．4:9 C．4:25 D．9:25
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定与性质综合、求两个位似图形的相似比
【分析】本题主要考查了位似图形的性质，相似三角形的判定和性质，先根据△A′B′C′与△ABC是
A′B′ OB′ 3
位似图形，得出A′B′∥AB，△A′B′C′∽△ABC，证明△OA′B′∽△OAB，得出 = = ，
AB OB 5
最后求出结果即可．
【详解】解：∵OB′:B′B=3:2，
∴OB′:OB=3:5，
∵△A′B′C′与△ABC是位似图形，
∴A′B′∥AB，△A′B′C′∽△ABC，
∴△OA′B′∽△OAB，
A′B′ OB′ 3
∴ = = ，
AB OB 5
(3) 2 9
∴△A′B′C′的面积与△ABC的面积之比= = ，
5 25
故选：D．
8．如图，△ABC与△≝¿关于点O位似，位似比为3:4，已知AC=3， 则DF的长等（ ）
16 28
A．3 B． C． D．4
3 3
【答案】D
【知识点】求两个位似图形的相似比【分析】本题主要考查位似的定义．解题的关键是掌握位似图形是相似图形的特殊形式，位似比等
于相似比的特点．位似图形就是特殊的相似图形位似比等于相似比．利用相似三角形的性质即可求
解．
【详解】解：∵ △ABC与△≝¿关于点O位似，位似比为3:4，
∴ AC:DF=3:4，
∵ AC=3，
∴ 3:DF=3:4，
则DF=4．
故选：D．
9．如图，以点O为位似中心，将△ABC缩小后得到△A′B′C′，已知OB:OB′=4:3，则△ABC
与△A′B′C′的面积比为（ ）
A．2:3 B．2:√3 C．4:3 D．16:9
【答案】D
【知识点】利用相似三角形的性质求解、求两个位似图形的相似比
【分析】根据位似变换的性质得到△ABC∽△A′B′C′，BC∥B′C′，可得△OBC∽△OB′C′，从
而得到△A′B′C′与△ABC的相似比，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方进行计算即可．
【详解】解：∵△A′B′C′是△ABC以点O为位似中心经过位似变换得到的三角形，
∴△ABC∽△A′B′C′，BC∥B′C′
∴△OBC∽△OB′C′,
OB BC 4
∴ = =
OB′ B′C′ 3
∴△ABC与△A′B′C′的相似比为4:3，
∴△ABC与△A′B′C′的面积比为16:9．
故选：D．
【点睛】本题考查的是位似变换的概念和性质，位似图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相
交于一点，对应边也互相平行，牢固掌握位似图形的概念和性质是解题的关键．
10．如图，在平面直角坐标系中，已知点A(−2,1)，B(−1,2)，以原点O为位似中心，相似比为
2，把△ABO放大，则点B的对应点B′的坐标是（ ）A．(−4,2) B．(−2,4) C．(−4,2)或(−2,4) D．(−2,4)或(2,−4)
【答案】D
【知识点】求位似图形的对应坐标
【分析】设△ABO的位似图形为△A′B′O，根据△ABO和△A′B′O与点O的位置关系分类讨论，分
别画出对应的图形，分类求解即可．
【详解】解：设△ABO的位似图形为△A′B′O
若△ABO和△A′B′O在点O的同侧，如下图所示
∵B(−1,2)，△A′B′O与△ABO的位似比为2
∴B′的坐标是(−1×2,2×2)= (−2,4)；
若△ABO和△A′B′O在点O的异侧，如下图所示∵B(−1,2)，△A′B′O与△ABO的位似比为2
∴B′的坐标是(−1×(−2),2×(−2))= (2,−4)；
综上：B′的坐标是(−2,4)或(2,−4)
故选D．
【点睛】此题考查的是位似图形，掌握位似图形的性质是解题关键．
11．如图，等腰RtΔABC与等腰RtΔCDE是以点O为位似中心的位似图形，位似比为
k=1:3,∠ACB=90∘,BC=4，则点D的坐标是（ ）
A．(18,12) B．(16,12) C．(12,18) D．(12,16)
【答案】A
【知识点】求位似图形的对应坐标
OC BC 1
【分析】根据位似比为k=1:3，BC=4，可得 = = ，从而得：CE=DE=12，进而求得
OE DE 3
OC=6，即可求解．
【详解】∵等腰RtΔABC与等腰RtΔCDE是以点O为位似中心的位似图形，位似比为
k=1:3,∠ACB=90∘,BC=4，OC BC 1
∴ = = ，即：DE=3BC=12，
OE DE 3
∴CE=DE=12，
OC 1
∴ = ，解得：OC=6，
OC+12 3
∴OE=6+12=18，
∴点D的坐标是：(18,12)．
故选A．
【点睛】本题主要考查位似图形的性质，掌握位似图形的位似比等于相似比，是解题的关键．
12．如图，△ABC和△≝¿是以点O为位似中心的位似图形，OA:AD=2:3，△ABC的周长为8，
则△≝¿的周长为（ ）
A．12 B．18 C．20 D．50
【答案】C
【知识点】求两个位似图形的相似比、相似三角形的判定与性质综合
【分析】根据位似图形的性质，得到△OAC∽△OFD，根据OA:AD=2:3得到相似比为：
OA OA OA 2
= = =
OD OA+AD 3 5，再结合三角形的周长比等于相似比即可得到答案．
OA+ OA
2
【详解】解：∵ △ABC和△≝¿是以点O为位似中心的位似图形，
∴ △OAC∽△OFD，
CA OA
∴ = ，
FD OD
∵ OA:AD=2:3，
CA OA OA OA 2
∴ = = = =
FD OD OA+AD 3 5，
OA+ OA
2
C
△ABC
∴ CA 2 ，
C = = ¿
△≝¿ FD 5
∵ C =8，
△ABC∴C ，
△≝¿=20¿
故选：C．
【点睛】本题考查了相似图形的性质，掌握位似图形与相似图形的关系，熟记相似图形的性质是解
决问题的关键．
13．如图，△ABC与△≝¿是位似图形，点O为位似中心，OC:CF=1:2．若△ABC的周长为6，
则△≝¿的周长是（ ）
A．6 B．12 C．18 D．24
【答案】C
【知识点】利用相似三角形的性质求解、求两个位似图形的相似比
【分析】本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的性质，熟记相似三角形的周长比等于相似比
是解题的关键．
根据位似图形的概念得到△ABC∽△≝¿，BC∥EF，进而得到△BOC∽△EOF，则
BC OC 1
= = ，根据相似三角形的性质即可解答．
EF OF 3
【详解】解：∵OC:CF=1:2，
∴OC:OF=1:3，
∵△ABC与△≝¿是位似图形，
∴△ABC∽△≝¿，BC∥EF，
∴△BOC∽△EOF，
BC OC 1
∴ = = ，
EF OF 3
∴△ABC的周长:△≝¿的周长=1:3，
∵△ABC的周长为6，
∴△≝¿的周长为18，
故选：C．
14．如图，线段AB两个端点的坐标分别为A(6,6)，B(8,2)，以原点O为位似中心，在第一象限内
1
将线段AB缩小为原来的 后得到线段CD，则点B的对应点D的坐标为（ ）
2A．(3,3) B．(1,4) C．(3,1) D．(4,1)
【答案】D
【知识点】求位似图形的对应坐标
【分析】利用位似图形的性质，结合两图形的位似比，进而得出D点坐标．
【详解】解：∵线段AB的两个端点坐标分别为A(6,6)，B(8,2)，以原点O为位似中心，在第一象
1
限内将线段AB缩小为原来的 后得到线段CD，
2
CD OD 1
∴ = =
AB OB 2
即点D的横坐标和纵坐标都变为B点的一半，
∴点D的坐标为：(4,1)．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了位似图形的性质，利用两图形的位似比得出对应点横纵坐标关系是解题关
键．在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点
的坐标的比等于k或－k．
15．如图，线段AB∥CD∥EF,AD、BC相交于点O，点E、F分别在线段OC、OD上，则图中
与△AOB位似的三角形是（ ）．
A．△AOB B．△COD C．△EOF D．△EOF与△COD
【答案】D
【知识点】位似图形的识别
【分析】本题考查位似图形．如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同
一个点，（对应边互相平行(或共线)），那么这样的两个图形叫做位似图形．根据位似图形的定义，
判定即可．【详解】解：∵AB∥CD
∴△AOB∽△DOC，
∵AB∥EF
∴△AOB∽△FOE，
∵AD、BC相交于点O，点E、F分别在线段OC、OD上，
∴与△AOB位似的三角形有△DOC和△FOE．
故选：D．
二、填空题
16．在平面直角坐标系中，已知点A(−4,2)，B(−6,−4)，以原点O为位似中心，画△A′B′O，使
它与△ABO位似，且相似比为1:2，则点B的对应点B′的坐标是 ．
【答案】(−3,−2)或(3,2)
【知识点】求位似图形的对应坐标
【分析】根据位似变换的性质计算，得到答案．
【详解】解：∵△A′B′O与△ABO位似，以原点O为位似中心，且相似比为1:2，B(−6,−4)，
( 1 1) ( ( 1) ( 1))
∴点B的对应点B′的坐标是 −6× ,−4× 或 −6× − ,−4× − ，
2 2 2 2
即(−3,−2)或(3,2)，
故答案为：(−3,−2)或(3,2)．
【点睛】本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似
比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或−k．
17．如图，在平面直角坐标系xOy中，点D在x轴上，D(2,0)，点D的上方为点C(2,1)，以原点O
为位似中心，相似比为1:3，在第一象限内把线段CD扩大后得到线段AB，则点A的坐标为
．
【答案】（6，3）
【分析】根据位似变换的性质可知，△ODC∽△OBA，相似比是1:3，根据已知数据可以求出点A的
坐标．
【详解】解：由题意得， ODC∽△OBA，相似比是1:3，
△OD DC 1
∴ = = ，
OB AB 3
又∵D(2,0)，C(2,1)
∴OD=2，CD=1，
∴OB=6，AB=3，
∴点A的坐标为：（6，3），
故答案为：（6，3）．
【点睛】本题考查的是位似变换，掌握位似变换与相似的关系是解题的关键，注意位似比与相似比
的关系的应用．
18．如图，△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是(1,0)，以点C为位似中心，在x
轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C′位似比为1:2，设点B的坐标是(3,1)，则点B的对应点B′的
坐标是 ．
【答案】(−3,−2)
【知识点】求位似图形的对应坐标、相似三角形的判定与性质综合
【分析】本题考查的是位似图形的性质，相似三角形的判定与性质，先证明△BCD∽△B′CE，再
利用相似三角形的性质求解坐标即可，熟记位似图形的性质是解本题的关键．
【详解】解：过点B作BD⊥x轴于点D，B′E⊥x轴于点E，
则BD∥B′E，
∴△BCD∽△B′CE，
CD BC BD 1
= = =
∴ ，
CE B′C B′E 2
∵点C的坐标是(1,0)，
∴OC=1，
∵点B的坐标是(3,1)，∴CD=3−1=2，BD=1，
∴CE=2CD=2×2=4，BE=2BD=2×1=2，
∴OE=4−1=3，
∴点B′的(−3,−2)．
故答案为：(−3,−2)．
19．平面坐标系中，点P（3，4）是线段AB上一点，以原点为位似中心把△AOB扩大到原来的2倍，
则点P对应的点的坐标是 ．
【答案】（6，8）或（﹣6，﹣8）．
【知识点】求位似图形的对应坐标、坐标与图形
【分析】根据位似变换的性质计算即可．
【详解】点P（3，4）是线段AB上一点，以原点O为位似中心把△AOB放大到原来的两倍，
则点P的对应点的坐标为（3×2，4×2）或（3×（﹣2），4×（﹣2）），即（6，8）或（﹣6，﹣
8），
故答案为（6，8）或（﹣6，﹣8）．
【点睛】本题考查的是位似变换、坐标与图形的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原
点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．
OA 1
20．如图，△ABC与△≝¿是以点O为位似中心的位似图形，且 = ，若△ABC的面积为5，则
OD 2
△≝¿的面积为 ．
【答案】20
【知识点】利用相似三角形的性质求解、求两个位似图形的相似比
【分析】此题考查了位似变换，由位似比得到相似比，根据面积比等于相似比的平方即可求解，掌
握相似三角形的性质是解题的关键．
【详解】解：∵△ABC与△≝¿是以点O为位似中心的位似图形，
∴△ABC∽△≝¿，
OA 1
∵位似比k= = ，
OD 2
AB 1
∴相似比 = ，
DE 2S
△ABC
∴ ( AB) 2 (1) 2 ，
S = = ¿
△≝¿ DE 2
5
即 1 ，
S = ¿
△≝¿ 4
∴S ，
△≝¿=20¿
故答案为：20．
21．如图，平面直角坐标系xOy中，点A、B的坐标分别为(3,0)、(2,−3)，△AB'O'是△ABO关
于点A的位似图形，且O'的坐标为(−1,0)，则点B'的坐标为 ．
5
【答案】( ,−4)
3
【知识点】求位似图形的对应坐标
【分析】过点B作BE⊥x轴于点E，B′作B′F⊥x轴于点F，根据位似性质可知OA：OA′=AB：
AB′=3：4，根据平行线分线段成比例性质可知AE：AF=BE：FB′=AB：AB′=3：4，即可求出AF和
FB′的长，进而求出OF的长即可知B′的坐标.
【详解】如图，过点B作BE⊥x轴于点E，B′作B′F⊥x轴于点F，
∵点A、B的坐标分别为（3，0）、（2，﹣3），
∴AE=1，EO=2，BE=3，
∵△AB′O′是△ABO关于的A的位似图形，且O′的坐标为（﹣1，0），
∴△AOB∽△AO′B′，
∴OA：OA′=AB：AB′=3：4，
∵BE//FB′，
∴AE：AF=BE：FB′=AB：AB′=3：4，
即：1：AF=3：4； 3：FB′=3：4
4
∴AF= ；FB′=4，
3
4 5
∴OF=3- = ，
3 3
∵B′在第四象限，5
∴B′点的坐标为：（ ，-4）
3
【点睛】本题考查位似图形的性质及平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理求出
AF和FB′的长是解题关键.
22．如图，△ABC和△≝¿是以点O为位似中心的位似图形．若OA=AD，则△ABC与△≝¿的面积
比是 ．
【答案】1:4
【知识点】在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比
【分析】本题考查的是位似变换，相似三角形的判定和性质，掌握位似图形的概念、相似三角形的
面积比等于相似比的平方是解题的关键．
根据位似变换的性质及相似三角形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案．
【详解】解：∵OA=AD，
∴OA：OD=1：2，
∵△ABC和△≝¿是以点O为位似中心的位似图形，
∴△ABC∽△≝¿，AB∥DE，
∴∠ODE=∠OAB,∠OBA=∠OED，
∴△AOB∽△DOE，
AB OA 1
∴ = = ，
DE OD 2
(1) 2 1
∴△ABC与△≝¿的面积比为： = ，
2 4
故答案为：1：4．
23．如图，正方形ABDC和正方形OEFG中．点C和点F的坐标分别为(−3,2)，(1,−1)，则两个正
方形的位似中心的坐标是 ．【答案】(−1,0)或(5,−2)
【知识点】求位似图形的对应坐标、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、两直线的
交点与二元一次方程组的解、求一次函数解析式
【分析】根据正方形的性质求得A(−5,2)，B(−5,0)，E(1,0)，G(0,−1)，①直线AF和直线CG的
交点即为位似中心，利用待定系数法求得直线AF和直线CG的解析式，再建立二元一次方程组进行
求解，②当位似中心在正方形OGFE右侧，连接CE并延长，连接DF并延长，过点M作MN⊥x轴，
由位似比为2:1可得EF是△MCD的中线，从而证明△CDE≅△MNE，进行求解即可．
【详解】解：∵四边形ABDC和四边形OEFG是正方形，点C和点F的坐标分别为(−3,2)，(1,−1)，
∴A(−5,2)，B(−5,0)，E(1,0)，G(0,−1)，
设直线AF的解析式为：y=k x+b (k ≠0)，
1 1 1
把A(−5,2)、F(1,−1)代入y=k x+b (k ≠0)得，
1 1 1
1
k =−
1 2
¿，解得： ，
1
b =−
1 2
1 1
∴直线AF的解析式为：y=− x− ，
2 2
设直线CG的解析式为：y=k +b (k ≠0)，
2 2 2
把 G(0,−1)，C(−3,2)代入y=k x+b (k ≠0)得，
2 2 2
¿，解得：¿，
∴直线CG的解析式为：y=−x−1，
①直线AF和直线CG的交点即为位似中心，
∴建立方程组得，¿，解得：¿，
∴位似中心的坐标为：(−1,0)，
②当位似中心在正方形OGFE右侧，连接CE并延长，连接DF并延长，过点M作MN⊥x轴，
∵C(−3,2)、F(1,−1)，
∴位似比为：2:1，1
∴EF= CD，即EF是△MCD的中线，
2
∴CE=EM，
又∵∠CED=∠MEN，∠CDE=∠MNE=90°，
∴△CDE≅△MNE，
∴EN=DE=DO+OE=3+1=4，MN=CD=2，
∴ON=OE+EN=1+4=5，
∴点M的坐标为：(5,−2)
故答案为：(−1,0)或(5,−2)．
【点睛】本题考查正方形的性质、位似变换、一次函数与二元一次方程组、三角形全等的判定与性
质，熟练掌握位似变换，确定位似中心的位置是解题的关键．
24．已知ΔABC与ΔA B C 是位似图形，位似比是1:3，则ΔABC与ΔA B C 的面积比 ．
1 1 1 1 1 1
1
【答案】1:9/
9
【知识点】利用相似三角形的性质求解、求两个位似图形的相似比
【分析】根据位似图形的性质可得ΔABC∽ΔA B C ，然后再利用相似三角形的面积之比等于相
1 1 1
似比的平方，即可得到答案．
【详解】解：∵ ΔABC与ΔA B C 是位似图形，位似比是1:3，
1 1 1
∴ΔABC∽ΔA B C ，且相似比为1:3，
1 1 1
∴ ΔABC与ΔA B C 的面积比为：1:9；
1 1 1
故答案为：1:9．
【点睛】此题考查位似变换的性质，熟练掌握位似图形的性质与相似三角形的性质是解答此题的关
键．
(1 )
25．如图，线段CD两个端点的坐标分别为C ,1 ,D(1,0)，以原点为位似中心，将线段CD放大
2
得到线段AB，若点B的坐标为(3,0)，则点A的坐标为 ．3
【答案】( ，3)
2
【知识点】求位似图形的对应坐标
【分析】利用位似图形的性质结合对应点坐标与位似比的关系即可得出A点坐标．
【详解】解：∵以原点O为位似中心，在第一象限内，将线段CD放大得到线段AB，
∴B点与D点是对应点，则位似比为：1：3，
1
∵C( ，1)，
2
3
∴点A的坐标为：( ，3)．
2
3
故答案为 ( ，3) ．
2
【点睛】此题主要考查了位似图形以及坐标与图形的性质，正确得出位似比是解题关键．
三、解答题
26．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的8×9的网格中，已知△ABC的顶点均为网格
线的交点．
(1)在给定的网格中，画出△ABC关于直线AB对称的△ABC ．
1
(2)将△ABC绕着点O旋转后能与△ABC 重合，请在网格中画出点O的位置．
1
(3)在给定的网格中，画出以点C为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍后得到的△A B C.．
2 2
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）详见解析【知识点】画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形、画旋转图形、画轴对称图形
【分析】（1）根据轴对称的性质，找到点C关于AB的对称点C ，即可得到△ABC ，
1 1
（2）根据图形旋转变换的性质，可知：对应点的连线的交点，即为旋转中心O，
（3）根据图形位似变换的性质，找出B，C的对应点，即可．
【详解】（1）如图所示△ABC 的即为所求；
1
（2）点O的位置如图所示；
（3）如图所示的△A B C即为所求．
2 2
【点睛】本题主要考查图形的轴对称变换，旋转变换以及位似变换，掌握轴对称变换，旋转变换以
及位似变换的性质，是解题的关键．
27．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的12×12网格中建立平面直角坐标系，格点
△ABC（顶点是网格线的交点）的坐标分别是A（﹣2，2）、B（﹣3，1）、C（﹣1，0）．
（1）将△ABC先向右平移2个单位长度，向下平移7个单位长度，得到△DEF，画出△DEF；
（2）以O为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍，在网格内画出放大后的△AB C ，若P（x，
1 1 1
y）为△ABC中的任意一点，其对应点P 的坐标为 ．
1
【答案】（1）见解析；（2）见解析，（﹣2x，﹣2y）
【知识点】在坐标系中画位似图形、画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形、平移(作图)
【分析】（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）直接利用位似图形的性质得出对应点位置，进而得出答案．【详解】解：（1）如图所示：△DEF即为所求；
（2）如图所示：△AB C 即为所求，若P（x，y）为△ABC中的任意一点，
1 1 1
其对应点P 的坐标为：（﹣2x，﹣2y）．
1
【点睛】此题主要考查了位似变换以及平移变换，正确得出对应点位置是解题关键．
28．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A(1,1)、B(5,3)、C(2,4)．
（1）请作出△ABC绕点O逆时针旋转90°后的△A B C ；
1 1 1
（2）以点O为位似中心，将△ABC扩大为原来的2倍，在y轴的左侧得到△A B C ，请画出
2 2 2
△A B C ．
2 2 2
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【知识点】画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形
【分析】（1）利用网格特点和旋转的性质画出A、B、C的对应点A、B、C 即可；
1 1 1
（2）把A、B、C点的横纵坐标都乘以-2得到对应点A、B、C 的坐标，然后描点即可．
2 2 2
【详解】解：（1）如图， ABC 为所作；
1 1 1
（2）如图， A
2
B
2
C
2
为所作△；
△【点睛】本题考查了作图-位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相
似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k．也考查了旋转变换和解直角三角形．
29．每个小方格是边长为1个单位长度的小正方形，菱形OABC在平面直角坐标系的位置如图所示．
(1)以O为位似中心，在第一象限内将菱形OABC放大为原来的2倍得到菱形OA B C ，请画出菱
1 1 1
形OA B C ，并直接写出点B 的坐标；
1 1 1 1
(2)将菱形OABC绕原点O顺时针旋转90°菱形OA B C ，请画出菱形OA B C ，并求出点B旋转
2 2 2 2 2 2
到点B 的路径长．
2
【答案】(1)图形见解析，B (8,8)
1
(2)图形见解析，点B旋转到点B 的路径长为2√2π
2
【知识点】求某点的弧形运动路径长度、画旋转图形、在坐标系中画位似图形
【分析】（1）将菱形OABC的边长均扩大为原来的两倍即可得到菱形OA B C ，直接根据点B 在
1 1 1 1
坐标系中的位置写出其坐标即可；（2）根据图形旋转的性质画出菱形OA B C ，由弧长公式即可求出BB 的弧长．
2 2 2 2
【详解】（1）解：如图所示：
由点B 在坐标系中的位置可知，B (8,8)；
1 1
（2）如图所示：
∵OB=√42+42=√32=4√2，
90π×4√2
∴BB 的弧长= =2√2π．
2 180
答：点B旋转到点B 的路径长为2√2π．
2
【点睛】本题考查的是旋转变换、相似变换及弧长公式，熟知图形旋转不变性的性质是解答此题的
关键．
30．在13×13的网格图中，已知△ABC和点M(1，2)．
(1)以点M为位似中心，画出△ABC的位似图形△A′B′C′，其中△A′B′C′与△ABC的位似比为2；
(2)写出△A′B′C′的各顶点坐标．【答案】（1）画图见解析；（2）A′(3，6)，B′(5，2)，C′(11，4)．
【知识点】在坐标系中画位似图形、求位似图形的对应坐标
【分析】（1）延长MA到A′使AA′=MA，则点A′为A的对应点，同样方法作出B、C的对应点
B′、C′，从而得到△A′B′C′；
（2）利用（1）所画图形可得到△A′B′C′的各顶点坐标．
【详解】解：（1）如图，△A′B′C′为所作；
（2）A′（3，6），B′（5，2），C′（11，4）；
【点睛】本题考查作图-位似变换．
31．在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出格点（网格线的交点）△ABC及点O．
（1）画出△ABC关于点O的中心对称图形△A′B′C′；
1
（2）以点A′为位似中心，画出将△A′B′C′缩小为原来的 后得到的△A B C （任意画出一个即
2 1 1 1
可）．【答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析
【知识点】画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形、成中心对称
【分析】（1）根据中心对称图形的性质作图，即可得到答案；
（2）结合（1）的结论，根据位似的性质作图，即可得到答案．
【详解】（1）根据题意，△A′B′C′作图如下：
（2）根据结合（1）的结论，结合题意，△A B C 作图如下：
1 1 1【点睛】本题考查了中心对称图形、位似的知识；解题的关键是熟练掌握中心对称、位似的性质，
从而完成求解．
32．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A(2，-1) ，B(1，-2) ，C(3，-
3)
(1)以 O为位似中心，将△ABC在第二象限内放大2倍得到△ABC ；
1 1 1
(2)将△ABC绕点O顺时针旋转90°得到△ABC ，请画出△ABC ，并求出点C经过的路径长．
2 2 2 2 2 2
【答案】(1)答案见解析；
3√2π
(2)△ABC 见解析，点C经过的路径长为：
2 2 2 2
【知识点】用勾股定理解三角形、求某点的弧形运动路径长度、画旋转图形、画已知图形放大或缩
小n倍后的位似图形【分析】（1）连接AO并延长到A，使OA=2OA，同理得B、C ，连接ABC ，即可得到
1 1 1 1 1 1 1
△ABC ；
1 1 1
（2）连接AO，作∠AOA =90°，作OA=AO，得到点A，同理得到点B、C ，即可得到△ABC ，
2 2 2 2 2 2 2 2
然后利用弧长公式计算点C经过的路径长．
【详解】（1）解：如下图，连接AO并延长到A，使OA=2OA，同理得B、C ，连接ABC ，即可
1 1 1 1 1 1 1
得到△ABC ；
1 1 1
（2）连接AO，作∠AOA =90°，作OA=AO，得到点A，同理得到点B、C ，即可得到△ABC ，
2 2 2 2 2 2 2 2
∵OC=√32+32=3√2 ，
90×π×3√2 3√2π
∴点C经过的路径长= = ．
180 2
【点睛】本题考查了位似作图、旋转作图、弧长的求法，解题的关键是掌握作图方法，找到对应点．
33．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，△ABC的顶点都在格点上，
建立平面直角坐标系．
（1）以原点O为位似中心，将△ABC放大，使变换后得到的△ABC 与△ABC对应边的比为2∶1，
1 1 1
请在给定的网格内画出△ABC ．
1 1 1
（2）设点P（a，b）为△ABC内一点，请直接写出依上述变换后点P在△ABC 内的对应点P 的坐
1 1 1 1
标是 ．【答案】（1）见解析；（2）(−2a,−2b)
【知识点】在坐标系中画位似图形、求位似图形的对应坐标
【分析】（1）根据题意和给定的网格，则位似图形与原图形位于O点的两侧，即可位似比为−2，
将点A(−2,1),B(−3,−2),C(1,−2)的横纵坐标都乘以−2，即得到A ,B ,C 的坐标，进而顺次
1 1 1
连接A ,B ,C ，则△ABC 即为所求；
1 1 1 1 1 1
（2）根据（1）的变换可知，将P (a,b)的横纵坐标都乘以−2，即P (−2a,−2b)
1
【详解】（1）如图，将点A(−2,1),B(−3,−2),C(1,−2)的横纵坐标都乘以−2，即得到
A ,B ,C 的坐标，进而顺次连接A ,B ,C ，则△ABC 即为所求；
1 1 1 1 1 1 1 1 1
（2）根据（1）的变换可知，将P (a,b)的横纵坐标都乘以−2，即P (−2a,−2b)
1
故答案为：(−2a,−2b)
【点睛】本题考查了画位似图形，求位似图形对应的坐标，掌握位似的性质是解题的关键．
34．如图，△ABC在平面直角坐标系内，顶点坐标分别为A(−1,2)，B(−3,3)，C(−3,1)．(1)画出△ABC绕O点逆时针旋转90°的△A B C ；
1 1 1
(2)以A为位似中心，在网格中画出△ADE，使△ADE与△ABC位似且面积比为4:1．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【知识点】画旋转图形、画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形
【分析】本题主要考查了中心对称作图和位似作图，解题的关键是作出对应点．
（1）根据旋转的性质作出点A、B、C的对称点A 、B 、C ，然后顺次连接即可；
1 1 1
（2）以A为位似中心，作出点A、B、C的位似点，然后顺次连接即可．
【详解】（1）解：如图，△A B C 即为所求作的三角形．
1 1 1
；
（2）解：如图，△AD E 与△AD E 即为所求作的三角形．
1 1 2 2
35．在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．(1)以原点O为位似中心，在网格中y轴右侧作出△ABC的位似图形△A B C ，使△ABC与
1 1 1
△A B C 的相似比为1：2；
1 1 1
(2)作出△ABC绕点C顺时针旋转90°后的图形△A B C．
2 2
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【知识点】画旋转图形、在坐标系中画位似图形
【分析】本题考查了位似作图，旋转作图，熟练掌握作图的基本步骤是解题的关键．
（1）根据位似中心，位似比，位似位置，画图即可；
（2）根据旋转性质，画图即可．
【详解】（1）根据位似中心，位似比，位似位置，画图如下：
则△A B C 即为所求．
1 1 1
（2）
根据旋转性质，画图如下：．则△A B C即为所求．
2 2
【能力提升】
36．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格图中有格点△ABC．（注：顶点在网格
线交点处的三角形叫做格点三角形）
（1）图中AC边上的高为_________个单位长度；
（2）只用没有刻度的直尺，按如下要求画图：
①以点C为位似中心，作△DEC∽△ABC，且相似比为1∶2；
②以AB为一边，作矩形ABMN，使得它的面积恰好为△ABC的面积的2倍．
【答案】（1） ；（2）作图见解析．
【知识点】在坐标系中画位似图形
【详解】试题分析：（1）利用三角形面积公式求出AC边上的高即可；
（2）①利用位似图形的性质得出对应点位置得出即可；
②利用矩形的判定方法得出即可．
试题解析：（1）由三角形面积公式可得： ×3×4= x× ，解的x= ．故答案为
． 2分
（2）①如图所示，D，D 即为所求．（点D不是用交轨法得到扣2分） 6分
1 2②如图所示，矩形ABMN即为所求．（ 每条线1分 ） 9分
考点：作图-位似变换．
37．△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A(0,3)、B(3,4)、C(2,2)（正方形网格中每
个小正方形的边长是一个单位长度）．
(1)将△ABC向下平移4个单位长度得到的△A B C ，则点C 的坐标是____________；
1 1 1 1
(2)以点B为位似中心，在网格上画出△A B C ，使△A B C 与△ABC位似，且位似比为2：1，
2 2 2 2 2 2
求点C 的坐标；
2
(3)若⊙M是△A B C 外接圆，求⊙M的半径．
2 2 2
【答案】(1)（2，-2）
(2)图见解析，（1，0）
(3)r=√10
【知识点】在坐标系中画位似图形、求特殊三角形外接圆的半径、坐标与图形
【分析】（1）根据平移的性质得出平移后的图从而得到点的坐标；（2）根据位似图形的性质得出对应点位置，从而得到点的坐标；
（3）证明△A B C 是直角三角形，根据直角三角形外切圆半径公式计算即可．
2 2 2
【详解】（1）如图所示：C （2，﹣2）；
1
故答案为（2，﹣2）；
（2）如图所示：C （1，0）；
2
故答案为（1，0）；
（3）由图可知: ∵A C =√22+42=2√5，B C =√22+42=2√5，A B =√22+62=2√10
2 2 2 2 2 2
∴A C 2+B C 2=A B 2
2 2 2 2 2 2
∴△A B C 是直角三角形，
2 2 2
∴能盖住△A B C 的最小圆即为△A B C 外接圆，设其半径为R；
2 2 2 2 2 2
1
则R= A B =√10
2 2 2
【点睛】本题考查作图—平移变换，作图—位似变换、三角形外接圆，正确理解位似变换的定义，
会进行位似变换的作图是解题的关键．
38．图①、图②、图③都是6×6的网格，每个小正方形的顶点称为格点．△ABC顶点A、B、C均
在格点上，在图①、图②、图③给定网格中按要求作图，并保留作图痕迹．
（1）在图①中画出△ABC中BC边上的中线AD；
（2）在图②中确定一点E，使得点E在AC边上，且满足BE⊥AC；
（3）在图③中画出△BMN，使得△BMN与△BCA是位似图形，且点B为位似中心，点M、N分别
1
在BC、AB边上，位似比为 ．
3【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析
【知识点】画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形
【分析】（1）根据中线的定义，取BC中点D，连接AD即可；
（2）将AC所在的2×4的长方形逆时针旋转90°即可确定点E；
（3）将AC向左平移4个单位后，分别与BC、AB交于点M、N即可得出答案．
【详解】解：（1）如图①所示，AD即为所求；
（2）如图②所示，点E即为所求；
（3）如图③所示，△BMN即为所求．
【点睛】本题主要考查作图﹣位似变换，解题的关键是掌握位似变换的定义和性质及平行线分线段
成比例定理．
39．在平面直角坐标系中，抛物线L：y＝﹣x2+x+2与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点（点A在
点B的左侧）．(1)求A、B、C三点的坐标；
(2)连接AC、BC，以点C为位似中心，将△ABC扩大到原来的2倍得到△ABC，其中点A、B 分别
1 1 1 1
是点A、B的对应点，如何平移抛物线L才能使其同时经过点A、B，求出所有的平移方式．
1 1
【答案】(1)A（-1，0），B（2，0），C（0，2）
3 51 13 95
(2)向左移动 个单位，向上移动 个单位位或向左移动 个单位，向上移动 个单位
2 4 6 18
【知识点】求位似图形的对应坐标、求抛物线与x轴的交点坐标、二次函数图象的平移、待定系数
法求二次函数解析式
【分析】（1）分别令y=0和x=0求解即可；
（2）判断出A，B，A，B 的坐标，利用待定系数法求出函数解析式，再根据平移的性质判断即可；
1 1 2 2
【详解】（1）解：在y=-x2+x+2中，令y=0，即0=-x2+x+2，
解得：x=2，x=-1，
1 2
∴A（-1，0），B（2，0），
令x=0，即y=2，
∴C（0，2）；
1 9
（2）解：y=-x2+x+2=-(x- )2+ ，
2 4
1 9
∴顶点坐标为：（ ， ），
2 4
∵以点C为位似中心，将 ABC扩大到原来的2倍得到 ABC，
1 1
∴分别延长AC、BC，使A△1 C=2AC，B
1
C=2BC，可得A
1
（△2，6），B
1
（-4，6），
分别延长CA、CB，使AC=2CA，BC=2CB，可得A（-2，-2），B（4，-2）时，
2 2 2 2
如图，当抛物线经过A（2，6），B（-4，6）时，设抛物线的解析式，y=-x2+bx+c，
1 1
则有¿，
解得，¿，
∴抛物线的解析式为y=-x2-2x+14=-(x+1)2+15，
∴顶点坐标为：（-1，15），
3 51
∴把抛物线y=-x2+x+2向左移动 个单位，向上移动 个单位可同时经过点A、B；
2 4 1 1
10 14
当抛物线经过A（-2，-2），B（4，-2）时，同法可得抛物线的解析式为：y=−x2− x− =
2 2 3 3
( 5) 2 67
− x+ + ，
3 95 67
∴顶点坐标为：（- ， ），
3 9
13 95
∴把抛物线y=-x2+x+2向左移动 个单位，向上移动 个单位可同时经过点A、B；
6 18 2 2
3 51
综上所述，把抛物线y=-x2+x+2向左移动 个单位，向上移动 个单位或把抛物线y=-x2+x+2向左移
2 4
13 95
动 个单位，向上移动 个单位可同时经过点A、B；．
6 18 1 1
【点睛】本题考查位似变换，二次函数的性质，待定系数法等知识，解题的关键是理解题意，学会
用分类讨论的思想思考问题．
40．在12×12的正方形网格中，△TAB的顶点坐标为T(1,1)、A(2,3)、B(4,2)．
(1)以T为位似中心，相似比4：1在位似中心的同侧将△TAB放大为△T A′B′，放大后点A、B的对
应点分别为A′、B′，画出△T A′B′；
(2)写出点A′的坐标___________；点B′的坐标___________；(3)在（1）中，若C(a,b)为线段AB上任一点，写出变化后点C的对应点C′的坐标___________．
【答案】(1)见解析图；
(2)(5,9)，(13,5)；
(3)(4a−3,4b−3)．
【知识点】画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形
【分析】（1）根据题目的叙述，相似比4：1在位似中心的同侧将△TAB放大为△T A′B′得到对应
点坐标，正确地作出图形即可；
（2）根据图象确定各点的坐标即可；
（3）根据（2）中变换的规律，即可写出变化后点C的对应点C′的坐标．
【详解】（1）根据相似比为：4:1进行放大后如图，
∵相似比4：1在位似中心的同侧将△TAB放大为△T A′B′，
TA 1
=
∴ ，
T A′ 4
∴△T A′B′即为所求；
（2）由题意得：
A′(5,9)，B′(13,5)；
故答案为：(5,9)，(13,5)；
（3）设变化后点C的对应点C′的坐标为(m,n)， 由相似比为4：1，
∴m−1=4(a−1)， n−1=4(b−1)，
解得：m=4a−3， n=4b−3，
∴点C′的坐标为(4a−3,4b−3)，
故答案为：(4a−3,4b−3)．【点睛】此题考查了作图-位似变换，正确理解位似变换的定义，会进行位似变换的作图是解题的关
键．
