文档内容
专题 03 位似
模块一 考点类型
模块二 知识点一遍过
（一）位似图形的概念
（1）如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，这样的图形叫做位似图形，这个
点叫做位似中心．
注意：
①成位似的两个图形必须是相似形；但相似图形不一定是位似图形
②位似图形对应点的连线都经过同一个点；
③位似图形对应边平行．
（二）位似图形的性质
①对应角相等，对应边之比等于位似比；
②位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比．
③位似三角形的对应边的比、周长比、对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于位似
比，但面积的比等于位似比的平方．
模块三 考点一遍过
考点1：位似图形的识别
典例1：视力表用来测试一个人的视力，如图是视力表的一部分，图中的“ ”均是相似图形，其中不是位似图形的是（ ）
A．①和② B．②和③ C．①和④ D．②和④
【答案】B
【知识点】位似图形的识别
【分析】位似图形必须同时满足两个条件：（1）两个图形是相似图形；（2）两个相似图形每组对
应点连线所在的直线都经过同一个点，对应边互相平行（或共线），据此逐项判断即可得．
【详解】解：A、①和②是位似图形，则此项不符合题意；
B、②和③对应点的连线不在同一个点，不是位似图形，则此项符合题意；
C、①和④是位似图形，则此项不符合题意；
D、②和④是位似图形，则此项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了位似图形，熟记定义是解题关键．
【变式1】下列每组的两个图形中，不是位似图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】位似图形的识别
【分析】根据位似图形的概念对各选项逐一判断，即可得出答案．
【详解】对应顶点的连线相交于一点的两个相似多边形叫位似图形．
据此可得A、C、D三个图形中的两个图形都是位似图形；
而B的对应顶点的连线不能相交于一点，故不是位似图形．
故选B．
【点睛】此题考查位似变换，解题关键在于掌握位似与相似既有联系又有区别，相似仅要求两个图
形形状完全相同；而位似是在相似的基础上要求对应点的连线相交于一点．【变式2】在如图所示的网格中，△ABC的位似图形是 ．
【答案】△NMP
【知识点】位似图形的识别、相似三角形的判定与性质综合
【分析】根据位似图形的对应点连线，经过位似中心，由图可知，线段CP经过点O，确定位似中心
为点O，进而求解即可．
【详解】如图，线段CP经过点O，并且OP=2OC，则位似中心为点O，
连接AO并延长到点N，连接BO并延长到点M，
连接NM、MP、PN，
由图可知：OA=√32+22=√13,OB=√32+12=√10，
OM=√62+22=2√10,ON=√62+42=2√13，
OC OB OA 1
∴ = = = ，
OP OM ON 2
∴△ABC的位似图形是△NMP，位似中心为点O；
故答案为：△NMP．
【点睛】本题考查位似图形．熟练掌握位似图形的性质，确定位似中心，是解题的关键．【变式3】△ABC中，点D、E、F分别是AB、BC、AC的中点，则与△ADF位似的三角形是
.
【答案】△ABC
【知识点】位似图形的识别、与三角形中位线有关的求解问题
【分析】利用三角形中位线定理以及位似变换的定义得出即可．
【详解】∵点D. E. F分别是AB、BC、AC的中点，
∴DF∥BC,ED∥AC,EF∥AB，
∴△ADF∽△ABC，则 ADF与 ABC是位似图形．
故答案为 ABC. △ △
【点睛】△此题考查位似变换，三角形中位线定理，解题关键在于掌握其性质定义.
考点2：判断位似中心
典例2：如图，在4×7的方格中，点A，B，C，D在格点上，线段CD是由线段AB位似放大得到，
则它们的位似中心是（ ）
A．点P B．点P C．点P D．点P
1 2 3 4
【答案】A
【知识点】判断位似中心
【分析】此题考查了位似变换．注意根据位似图形的性质求解是关键．
连接CA，DB，并延长，则交点即为它们的位似中心．继而求得答案．
【详解】解：如图，连接CA，DB，并延长，则交点即为它们的位似中心．∴它们的位似中心是P ．
1
故选：A．
【变式1】把△ABC放大为原图形的2倍得到△A′B′C′，则位似中心可以是（ ）
A．D点 B．E点 C．F点 D．G点
【答案】C
【知识点】判断位似中心
【分析】本题考查了位似中心，解决本题的关键是熟练掌握位似中心的定义．如果两个图形不仅是
相似图形，而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行，这个点叫做位似中心，据此解答即
可．
【详解】解：如图，连接A A′、BB′、CC′，交于点F，
由位似中心的定义可知，此位似中心可以是点F，
故选：C
【变式2】如图，在平面直角坐标系中，阴影所示的两个正方形是位似图形，若位似中心在两个正
方形之间，则位似中心的坐标为 ．【答案】(2，1)
【知识点】判断位似中心
【分析】连接各组对应点，它们在两个正方形之间相交于点P，则P点为位似中心，然后写出P点坐
标即可．
【详解】解：如图，点P为位似中心，P(2，1)．
故答案为：(2，1)．
【点睛】本题考查位似变换：位似的两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，
对应边互相平行（或共线），掌握位似变换的性质是解题的关键．
【变式3】如图，在边长为1的正方形网格中，两个三角形的顶点都在小正方形的顶点，且两个三角
形是位似图形，点O和点P也在小正方形的顶点，则这两个三角形的位似中心是点 ．
【答案】P．
【知识点】判断位似中心
【分析】把图形的对应定点连线，都相交的那个点就是位似中心.
【详解】如图所示：这两个三角形的位似中心是点P．
故答案为：P．【点睛】本题考查的是位似图形的位似中心，解题的关键是知道位似图形的对应点的连线相交的点
就是位似中心.
考点3：求位似图形的位似比
典例3：如图，△ABC 与△A′B′C′、位似，位似中心为点 O ，OC′:CC′=3:1，△A′B′C′的周长
为18，则△ABC周长为（ ）
9
A．54 B．24 C．32 D．
16
【答案】B
【知识点】利用相似三角形的性质求解、求两个位似图形的相似比
【分析】本题考查位似的性质、相似三角形的性质．由OC′:CC′=3:1得到OC′:OC=3:4，从而
得到△A′B′C′与△ABC的相似比为3:4，C :C =3:4，进而即可解答．
△A′B′C′ △ABC
【详解】解：∵OC′:CC′=3:1，
∴OC′:OC=3:4，
∵△A′B′C′与△ABC位似，
∴△A′B′C′∽△ABC，且△A′B′C′与△ABC的相似比为3:4，
∴C :C =3:4，
△A′B′C′ △ABC
∵△A′B′C′的周长为18，
4
∴△ABC的周长为18× =24．
3
故选：B．
【变式1】如图，已知△A′B′C′与△ABC是以点O为位似中心的位似图形，位似比为2:3，则下列
说法错误的是（ ）A．△BCO∽△B′C′O
B．△A′B′C′与△ABC周长比为2:3
C．S :S =4:9
△A′B′C′ △ABC
D．OB′:BB′=3:2
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定与性质综合、求两个位似图形的相似比
【分析】本题考查的是位似变换，掌握位似图形是相似图形，相似图形的面积比等于相似比的平方
是解题的关键．根据位似变换得到△A′B′C′∽△ABC，AC∥A′C′，BC∥B′C′，则
S :S =4:9，△BCO∽△B′C′O′，△A′B′C′与△ABC周长比为2:3，OB′:BB′=2:1，即
△A′B′C′ △ABC
可得到答案．
【详解】解：∵△A′B′C′与△ABC是以点O为位似中心的位似图形，位似比为2:3，
∴△A′B′C′∽△ABC，AC∥A′C′，BC∥B′C′，
∴S :S =4:9，△BCO∽△B′C′O，△A′B′C′与△ABC周长比为2:3，
△A′B′C′ △ABC
∴OB′:OB=2:3，
∴OB′:BB′=2:1，
故A、B、C正确，不符合题意，D错误，符合题意．
故选：D．
【变式2】如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A′B′C′是位似图形，位似中心为点O．若点
A(−3,1)的对应点为A′(−6,2)，则点B(−2,4)的对应点B′的坐标为（ ）A．(−4,8) B．(8,−4) C．(−8,4) D．(4,−8)
拓展设问：△ABC与△A′B′C′的面积比为________，周长之比为________．
【答案】A；拓展设问：1:4，1:2
【知识点】求两个位似图形的相似比、求位似图形的对应坐标
【分析】本题考查坐标与图形，位似图形的性质，根据位似推行的性质解答即可．
【详解】解：∵△ABC与△A′B′C′是位似图形，位似中心为点O，点A(−3,1)的对应点为A′(−6,2)，
∴△ABC与△A′B′C′的相似比为1:2，
∵点B的坐标为(−2,4)，
∴点B的对应点B′的坐标为(−2×2,4×2)，即(−4,8)，
拓展设问：
∵△ABC与△A′B′C′的相似比为1:2，
∴ △ABC与△A′B′C′的面积比为1:4，周长之比为1:2．
故答案为：A；1:4；1:2．
AO 3
【变式3】如图，已知△ABC与△≝¿位似，位似中心为点O．若 = ，△ABC的周长与△≝¿的
DO 2
周长之比为 ．
3
【答案】
2
【知识点】求两个位似图形的相似比
【分析】根据位似三角形的周长之比等于位似比，计算即可，本题考查了位似三角形的性质，熟练
掌握性质是解题的关键．
AO 3
【详解】∵△ABC与△≝¿位似，位似中心为点O．且 = ，
DO 2
3
∴△ABC的周长与△≝¿的周长之比为 ，
2
3
故答案为： ．
2
考点4：求位似图形的坐标
典例4：在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点坐标分别是O(0,0)，A(6,0)，B(3,6)，C(−3,3)，以原点O为位似中心画一个四边形，使它与四边形OABC位似且相似比是2:3，则点B的
对应点的坐标为（ ）
(9 ) ( 9 )
A． ,9 或 − ,−9 B．(2,4)
2 2
(9 )
C．(2,4)或(−2,−4) D． ,9
2
【答案】C
【知识点】求位似图形的对应坐标
【分析】本题考查了位似变换，熟悉掌握位似变换的概念是解题的关键．
根据图形的相似比，分类讨论位似图形的位置情况解答即可．
【详解】解：∵相似比为2:3，
( 2 2)
∴当所画四边形与四边形OABC同侧时，B 3× ,6× ，则对应点为：(2,4)；
3 3
( ( 2) ( 2))
当所画四边形与四边形OABC关于原点中心对称方向时，B 3× − ,6× − ，则对应点为：
3 3
(−2,−4)；
故选：C．
【变式1】如图，在平面直角坐标系中，A，B，C，D四个点都在格点上．若正方形ABCD和正方
形A′B′C′D′是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为1:2，则点B′的坐标为（ ）
A．(4,2)或(4,−2) B．(−4,−2)或(−4,2)
C．(4,2)或(−4,−2) D．(4,−2)或(−4,2)
【答案】C
【知识点】求位似图形的对应坐标
【分析】本题考查了中心位似图形，根据正方形ABCD和正方形A′B′C′D′是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为1:2，即可得出答案，掌握中心位似图形的定义是解题的关键．
【详解】解：如图：
由图可知，点B(2,1)，
∵正方形ABCD和正方形A′B′C′D′是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为1:2，
∴点B′(4,2)或B″(−4,−2)，
故选：C．
【变式2】如图，在平面直角坐标系中，点A(−2,1)、B(0,−2)，以O为位似中心将△OAB放大，
若点B的对应点B′坐标为(0,4)，则点A的对应点A′坐标为 ．
【答案】(4,−2)
【知识点】求位似图形的对应坐标
【分析】本题考查位似图形的性质．先根据B和B′的坐标求出位似比，再根据位似比和点A的坐标
求出A′的坐标．位似图形中对应点的坐标变化规律是：在位似比为k的位似变换下，原图形上的点
(x,y)，经过位似变换后的对应点的坐标为(kx,ky)或(−kx,−ky)，本题中位似中心为原点，位似比
为2，所以A点坐标变为(−2×−2,1×−2)．
【详解】已知以O为位似中心将△OAB放大，点B(0,−2)的对应点B′坐标为(0,4)，则位似比为| 4 | ．
=2
−2
因为点A(−2,1)，注意坐标值的正负变化，原图形放大的方向是反向延长的，
所以点A的对应点A′的坐标为(−2×−2,1×−2)，即(4,−2)．
故答案为：(4,−2)．
【变式3】如图，点E(−4,2)，F(−2,−2)，以O为位似中心，将△EFO放大2倍，则点E的对应点
E 的坐标是 ．
1
【答案】(−8,4)或(8,−4)
【知识点】求位似图形的对应坐标
【分析】本题考查了位似变换及坐标与图形，关于原点成位似的两个图形，若位似比是k，则原图形
上的点(x,y)，经过位似变化得到的对应点的坐标是(kx,ky)或(−kx,−ky)．以O为位似中心，将
△EFO放大2倍，则点E的对应点E 的坐标是E(−4,2)的坐标同时乘以±2计算即可．
1
【详解】解：∵将△EFO放大2倍，点E(−4,2)，
∴点E 的坐标是(−4×2,2×2)或(−4×(−2),2×(−2))，即(−8,4)或(8,−4)，
1
故答案为：(−8,4)或(8,−4)．
考点5：坐标系中求位似图形相似比
典例5：如图，在平面直角坐标中，已知A(1，0)，D(3，0)，△ABC与△≝¿位似，原点O是位
似中心．若AB=1.5，则DE长为（ ）
A．4. 5 B．6 C．7.5 D．9
【答案】A
【知识点】坐标与图形、在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比AB OA 1
【分析】由A(1，0)，D(3，0)得出OA=1，OD=3，由位似图形的性质可得 = = ，
DE OD 3
即可求出DE长．
【详解】解：∵ A(1，0)，D(3，0)，
∴OA=1，OD=3
∵ △ABC与△≝¿位似，原点O是位似中心，
AB OA 1
∴ = = ，
DE OD 3
∵AB=1.5，
∴DE=4.5，
故选：A．
AB OA 1
【点睛】本题主要考查了位似图形的性质以及坐标与图形的性质，根据题意得出 = = 是解
DE OD 3
此题的关键．
【变式1】如图，线段AB两个端点的坐标分别为A(−2,0)，B(−1,2)，以原点为位似中心，将线段
AB放大得到线段CD，若点C坐标为(−6,0)，则点D的坐标为（ ）
A．(3,6) B．(−3,6) C．(2,4) D．(−2,4)
【答案】B
【知识点】坐标与图形、求位似图形的对应坐标、在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或
面积比
【分析】根据位似变换的概念得到△OAB∼△OCD，根据题意求出相似比，即可求出结果．
【详解】解：由题意得，△OAB与△OCD为位似图形，
∴△OAB∼△OCD，
由题意得，OA=2，OC=6，
∴△OAB与△OCD的相似比为1:3，
∴点D的坐标为(−1×3,2×3)，即(−3,6)，
故选：B．
【点睛】本题考查的是位似变换、坐标与图形性质，掌握位似变换的概念、相似三角形的性质是解题的关键．
【变式2】如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A′B′C′是位似图形，位似中心是原点O，已知
点A(2,a)、A′ (4,b)，则△ABC与△A′B′C′的相似比是 ．
【答案】1:2
【知识点】在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比
【分析】本题考查了位似图形的性质，解决问题的关键在于掌握在平面直角坐标系中，如果位似变
换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或−k．
【详解】解：∵△ABC与△A′B′C′是位似图形，位似中心是原点O，A(2,a)、A′ (4,b)，
x 2 1
∴△ABC∽△A′B′C′，且相似比为 A = = ，
x 4 2
A′
故答案为：1:2．
【变式3】如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点为O(0，0)，A(4，3)，B(3，0)，以点
1
O为位似中心，在第三象限内作与△OAB的位似比为 的位似图形△OCD，则边CD的长为 ．
3
√10 1
【答案】 / √10
3 3
【知识点】在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比、用勾股定理解三角形
【分析】过点A作AH⊥x轴于H，根据勾股定理求出AB，根据位似即可得出结果．
【详解】解：过点A作AH⊥x轴于H，
∵A(4，3)，B(3，0)，
∴BH=4−3=1，AH=3，由勾股定理得：AB=√AH2+BH2=√32+12=√10，
1
∵△OCD与△OAB位似，且位似比为 ，
3
√10
∴CD= ，
3
√10
故答案为： ．
3
【点睛】本题考查勾股定理，位似图形的性质，根据勾股定理和位似比计算边长是解题的关键．
考点6：坐标系中位似图形周长比、面积
典例6：如图，在直角坐标系中，△ABC和△A′B′C′位似，位似中心为点O，点A(−1,2)、点
A′(2,−4)，若△ABC的面积为4，则△A′B′C′的面积是（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
【答案】D
【知识点】利用相似三角形的性质求解、求两个位似图形的相似比、在坐标系中求两个位似图形的
相似比、周长比或面积比
【分析】此题主要考查了位似变换，相似三角形的性质，正确得出相似比是解题关键．
直接利用位似图形对应点坐标得出相似比，进而利用相似三角形的性质得出答案．
【详解】解：∵△ABC和△A′B′C′位似，位似中心为点O，点A(−1,2)、点A′(2,−4)，
∴△ABC和△A′B′C′的相似比为1:2，
∴△ABC和△A′B′C′的面积比为1:4，
∵△ABC的面积为4，∴△A′B′C′的面积是16．
故选：D．
【变式1】如图，△ABC与△≝¿是位似图形，位似中心为点O．若OA:AD=1:3，△ABC的周长
为9，则△≝¿的周长为（ ）
A．18 B．27 C．32 D．36
【答案】D
【知识点】在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比、利用相似三角形的性质求解
【分析】本题考查位似变换，相似三角形的性质等知识，解题的关键是掌握位似变换的性质．利用
位似图形，相似三角形的性质求解．
【详解】解：∵△ABC与△≝¿是位似图形，点O是位似中心，
∴△ABC∽△≝¿，AC∥DF，
∵OA:AD=1:3，
∴OA:OD=1:4，
AC OA 1
∴ = = ，
DF OD 4
△ABC的周长 1
∴ = ，
△≝的周长 4
∵△ABC的周长为9，
∴△≝¿的周长为36．
故选：D
【变式2】如图，四边形ABCD与四边形A′B′C′D′是位似图形，点O是位似中心，点A′是线段OA
S
的中点，则
A′B′C′D′=
．
S
ABCD1
【答案】 /0.25
4
【知识点】在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比
【分析】本题主要考查了位似图形的性质，掌握位似图形面积比等于相似比的平方成为解题的关键．
由题意可得根据位似图形面积比等于相似比的平方直接求解即可得到答案．
【详解】解：∵点A′是线段OA的中点，
1
∴OA′= OA，
2
∵四边形ABCD与四边形A′B′C′D′是位似图形，
∴ S A′B′C′D′= (OA′ ) 2 = (1) 2 = 1 ．
S OA 2 4
ABCD
1
故答案为： ．
4
【变式3】如图，在平面直角坐标系中，△OAB和△OCD是以原点O为位似中心的位似图形．若
OB=2OD，△OCD的周长为3，则△OAB的周长为 ．
【答案】6
【知识点】在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比
【分析】本题考查坐标与位似．根据位似比等于相似比，周长比等于相似比，即可得出结果．
【详解】解：∵△OAB和△OCD是以原点O为位似中心的位似图形，OB=2OD，
∴△OAB和△OCD的相似比为：2:1，
∴△OAB和△OCD的周长比为：2:1，
∵△OCD的周长为3，
∴△OAB的周长为6；
故答案为：6．
考点7：坐标系中画位似图形
典例7：在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别是A(1,3)，B(4,1)，C(1,1)．(1)画出△ABC关于x轴成轴对称的△A B C 并写出A ，B ，C 坐标．
1 1 1 1 1 1
(2)画出△ABC以点O为位似中心，位似比为1:2的△A B C （关于点O异侧）．并写出A ，B ，
2 2 2 2 2
C 坐标．
2
(3)求△AB B 的面积（写出求解过程）
1 2
【答案】(1)图见解析，A (1,−3)，B (4,−1)，C (1,−1)
1 1 1
(2)图见解析，A (−2,−6)，B (−8,−2)，C (−2,−2)．
2 2 2
(3)25.5
【知识点】坐标与图形变化——轴对称、在坐标系中画位似图形、利用网格求三角形面积
【分析】本题考查了画轴对称图形，画位似图形；
（1）作出点A、B、C分别关于x轴的对称点，然后再连接对称后的各个顶点即可得到△A B C ；
1 1 1
（2）以点O为位似中心，根据位似的性质找到A ，B ，C 的位置，连接即可；
2 2 2
（3）利用割补法求解即可．
【详解】（1）解：△A B C 即为所求，如下图所示，
1 1 1
A (1,−3) B (4,−1) C (1,−1)
1 1 1
， ， ；
（2）解：如图，△A B C 为所求，
2 2 2∴A (−2,−6)，B (−8,−2)，C (−2,−2)．
2 2 2
1 1 1
（3）解：△AB B 的面积=5×12− ×1×12− ×3×4− ×5×9
1 2 2 2 2
=60−6−6−22.5
=25.5．
【变式1】如图，△ABC与△A B C 是位似图形．
1 1 1
(1)在网格上建立平面直角坐标系，使得点A的坐标为(−6,−1)，点C 的坐标为(−3,2)，则点B的坐
1
标为 ．
(2)以点A为位似中心，在网格图中作△AB C ，使△AB C 和△ABC位似，位似比为1:2；
2 2 2 2
(3)在图上标出△ABC与△A B C 的位似中心P，并写出点P的坐标为 ．
1 1 1
【答案】(1)(−2,−5)
(2)图见解析；
(3)图见解析，(−2,1)．
【知识点】求两个位似图形的相似比、求位似图形的对应坐标、在坐标系中画位似图形、在坐标系
中画位似中心【分析】本题考查了位似变换，正确利用位似图形的性质分析是解题的关键．
（1）直接利用已知点位置得出B点坐标即可；
（2）直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案；
（3）直接利用位似图形的性质得出对应点交点即为位似中心，并得出点P的坐标．
【详解】（1）解：如图：点B的坐标为(−2,−5)，
故答案为：(−2,−5)；
（2）解：在网格中取格点B ，C ，连接B C ，如图：
2 2 2 2
1 1 1
由网格可知，AB = AB，AC = AC，B C = BC，
2 2 2 2 2 2 2
AB AC B C 1
∴ 2= 2= 2 2= ，
AB AC BC 2
∴△AB C 和△ABC位似，位似比为1:2，
2 2
则△AB C 即为所求三角形；
2 2
（3）解：如图，分别连接A A ，BB ，CC 交于点P，则点P即为△ABC与△A B C 的位似中心
1 1 1 1 1 1
P，
由网格可知，点P的坐标为(−2,1)，故答案为：(−2,1)．
【变式2】如图，已知O是坐标原点，A，B两点的坐标分别为(3,−1)，(2,1)．
(1)以点O为位似中心，在y轴左侧将△OAB放大为原来的两倍，画出△OA′B′；
(2)A点的对应点A′的坐标是 ；△OA′B′的面积是 ；
(3)在y轴上找一点P，使△A A P是以A A′为底边的等腰三角形，则P点坐标为 ．
1
【答案】(1)见解析
(2)(−6,2)，10
(3)(0,5)
【知识点】用勾股定理解三角形、求位似图形的对应坐标、在坐标系中画位似图形、等腰三角形的
定义
【分析】本题主要考查了作图-位似变换，勾股定理，等腰三角形的性质．
（1）利用位似变换的性质分别作出A，B的对应点A′，B′即可；
（2）根据点的位置写出坐标，利用分割法求出三角形面积；
（3）设点P(0,m)，利用勾股定理结合等腰三角形的性质即可求解．
【详解】（1）解：如图，△OA′B′即为所求；
；
（2）解：A点的对应点A′的坐标是(−6,2)，
1 1 1
△OA′B′的面积=4×6− ×2×4− ×2×6− ×2×4=10；
2 2 2
故答案为：(−6,2)，10；
（3）解：设点P(0,m)，
∵A(3,−1)，A′(−6,2)，∴PA2=(3−0) 2+(m+1) 2，PA′2=(−6−0) 2+(m−2) 2，
由题意得PA=PA′，即PA2=PA′2，
∴(−6−0) 2+(m−2) 2=(3−0) 2+(m+1) 2，
解得m=5，
∴P点坐标为(0,5)，
故答案为：(0,5)．
【变式3】如图所示，已知O是坐标原点，B，C两点的坐标分别为(3,−1)，(2,1)，△OB′C′与
△OBC位似，O点为位似中心，点B的对应点为B′(−6,2)．
(1)△OB′C′与△OBC的相似比为______；
(2)在图中画出△OB′C′；
(3)点M(1,0)是△OBC内部一个点，M的对应点M′的坐标为______．
【答案】(1)2：1
(2)见解析
(3)(−2,0)
【知识点】求位似图形的对应坐标、在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比、在坐
标系中画位似图形
【分析】本题考查作图−位似变换，熟练掌握位似的性质是解答本题的关键．
（1）结合位似的性质可得答案．
（2）结合位似的性质确定对应点再作图即可．
（3）根据位似的性质可得点M′的坐标．
【详解】（1）解：∵△OB′C′与△OBC位似，O点为位似中心，点B(3,−1)的对应点为B′(−6,2)，
∴△OB′C′与△OBC的相似比为2：1．
（2）解：如图，△OB′C′即为所求．（3）解：由题意得，点M′的坐标为(−2,0)．
考点8：坐标系中确定位似中心
典例8：图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC与△A′B′C′是以点O为位似中心的位似图形，
它们的顶点都在小正方形的顶点上．
(1)画出位似中心点O；
(2)求△ABC与△A′B′C′的相似比；
(3)以点O为位似中心，再画一个△A B C ，使它与△ABC的相似比等于1.5．
1 1 1
【答案】(1)作图见解答过程
1
(2)
2
(3)作图见解答过程
【知识点】在坐标系中画位似中心、在坐标系中画位似图形、在坐标系中求两个位似图形的相似比、
周长比或面积比
【分析】本题考查位似图形的意义及作图能力．画位似图形的一般步骤为：（1）确定位似中心；
（2）分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；（3）根据相似比，确定能代表所作的位似
图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．
（1）位似图形对应点连线所在的直线经过位似中心，如图，直线A A′、BB′的交点就是位似中心O；
（2）△ABC与△A′B′C′的位似比等于AB与A′B′的比，也等于AB与A′B′在水平线上的投影比，即
位似比为3:6=1:2；
（3）要画△A B C ，先确定点A 的位置，因为△A B C 与△ABC的位似比等于1.5，因此
1 1 1 1 1 1 1
OA =1.5OA，所以OA =9．再过点A 画A B ∥AB交OB′于B ，过点A 画A C ∥AC交OC′
1 1 1 1 1 1 1 1 1
于C ．
1【详解】（1）解：如图所示，点O即为所求；
OA 6 1
（2）解：△ABC与△A′B′C′的位似比等于 = = ；
OA′ 12 2
（3）解：如图所示，△A B C 即为所求．
1 1 1
【变式1】如图，图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC与△A′B′C′是关于点O为位似中心
的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上．
(1)画出位似中心点O；
(2)求出△ABC与△A′B′C′的位似比．
【答案】(1)图见解析；
1
(2) ．
2
【知识点】求两个位似图形的相似比、在坐标系中画位似中心
【分析】本题主要考查位似，相似三角形的性质，熟练掌握位似变换是解题的关键．
（1）对应点连线所在的直线的交点即为位似中心；
（2）求出AO=6，A′O=12，即可得到位似比．
【详解】（1）解：作图如示．注：画出任二条线并标出点O（2）解：由题意得：AO=6，A′O=12，
AO 1
∴
△ABC与△A′B′C′的位似比k= =
．
A′O 2
【变式2】如图，已知图中的每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点．
若△ABC与△A′B′C′是位似图形且顶点均在格点上．
(1)请在图中画出位似中心的位置，位似中心的坐标为______．
(2)△ABC与△A′B′C′的位似比为______，面积比为______．
(3)若通过平移△ABC，使点B与点B′重合，直接写出平移的最短路程．
【答案】(1)作图见解析，(9,0)；
(2)1:2，1:4
(3)√13
【知识点】坐标与图形、勾股定理与网格问题、求两个位似图形的相似比、在坐标系中画位似中心
【分析】（1）连接CC′、BB′，两线相交于点D，根据位似中心的概念、结合图形解答即可；
（2）根据BC=2，B′C′=4，即可得出相似比和面积比．
（3）根据勾股定理即可得解．
【详解】（1）解：如图，位似中心的坐标为：(9,0)．（2）解：∵BC=2，B′C′=4，
BC 2 1
∴△ABC与△A′B′C′的位似比为： = = =1:2，
B′C′ 4 2
(1) 2 1
△ABC与△A′B′C′的面积比为： = =1:4．
2 4
故答案为：1:2，1:4．
（3）解：由图可知B(6,2)，B′ (3,4)，
∴通过平移△ABC，使点B与点B′重合，平移的最短路程为√(3−6) 2+(4−2) 2=√13．
【点睛】本题考查的是勾股定理、位似变换的概念和性质，如果两个图形不仅是相似图形，而且对
应顶点的连线所在直线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点
叫做位似中心．
【变式3】如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为(−4,3)，(−3,−1)，(0,2)．(1)△A B C 与△ABC是位似图形，位似中心是点E，请在图中标出点E的位置，并写出点E的坐
1 1 1
标；
(2)以点D(−2,1)为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍得到△A B C （其中A 与A，B 与B，
2 2 2 2 2
C 与C是对应点，并且每对对应点分别在点D的同侧）．
2
【答案】(1)图见解析，点E的坐标为(−1,−1)．
(2)见解析
【知识点】画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形、在坐标系中画位似中心
【分析】本题考查根据位似图形找位似中心，位似作图，掌握位似图形的特征是解题的关键．
（1）由位似中心是对应点连线的交点作图即可，再根据点的位置直接写出点的坐标即可解题；
（2）根据位似比确定A 、B 、C 的位置，再连线即可得到△A B C ．
2 2 2 2 2 2
【详解】（1）解：点E的位置如下图所示：
由图知，点E的坐标为(−1,−1)．
（2）解：得到△A B C 如图所示：
2 2 2
